第二章 推理与证明(A)

实用文档第二章 推理与证明(A)一、选择题1、已知△ABC 中，cos A ＋cos B >0，则必有( )A ．0<A ＋B <π B ．0<A ＋B <π2C ．π2<A ＋B <πD ．π2≤A ＋B <π2、已知扇形的弧长为l ，半径为r ，类比三角形的面积公式：S ＝底×高2，可推知扇形面积公式S 扇等于( )A ．r 22B ．l 22C ．lr 2D ．不可类比3、设凸n 边形的内角和为f (n )，则f (n ＋1)－f (n )等于( )A ．n πB ．(n －2)πC ．πD ．2π实用文档4、观察下列数表规律则从数2 010到2 011的箭头方向是( ) A ．2 010↑→ B ．→C ．→D ．→2 010↓5、对于定义在数集R 上的函数f (x )，如果存在实数x 0，使f (x 0)＝x 0，则x 0叫函数f (x )的一个不动点．已知f (x )＝x 2＋2ax ＋1不存在不动点，那么a 的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－12 C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，126、已知p ＝a ＋1a －2 (a >2)，q ＝2－a 2＋4a －2 (a >2)，则( ) A ．p >q B ．p <qC ．p ≥qD ．p ≤q实用文档7、有一个奇数列1,3,5,7,9，…，现进行如下分组：第1组含有一个数{1}；第2组含两个数{3,5}；第3组含三个数{7,9,11}；…试观察每组内各数之和与其组的编号数n 的关系为( )A ．等于n 2B ．等于n 3C ．等于n 4D ．等于n (n ＋1)8、已知c >1，a ＝c ＋1－c ，b ＝c －c －1，则正确的结论是( )A ．a >bB ．a <bC ．a ＝bD ．大小不定9、设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 为其前n 项和．已知a 2a 4＝1，S 3＝7，则S 5等于( )A ．152B ．314C ．334D ．17210、下图为一串白黑相间排列的珠子，按这种规律往下排起来，那么第36颗珠子的颜色应该是( )A．白色B．黑色C．白色可能性大D．黑色可能性大11、函数f(x)是[－1,1]上的减函数，α、β是锐角三角形的两个内角，且α≠β，则下列不等式中正确的是( )A．f(sin α)>f(cos β) B．f(cos α)<f(cos β)C．f(cos α)>f(sin β) D．f(sin α)>f(sin β)12、平面内原有k条直线，它们的交点个数记为f(k)，则增加了一条直线后，它们的交点个数最多为( )A．f(k)＋k B．f(k)＋1C．f(k)＋k＋1 D．k·f(k)二、填空题13、观察：7＋15<211； 5.5＋16.5<211；3－3＋19＋3<211；….实用文档实用文档对于任意正实数a ，b ，试写出使a ＋b ≤211成立的一个条件可以是__________．14、若不等式(－1)n a <2＋(－1)n ＋1n对任意正整数n 恒成立，则实数a 的取值范围是________．15、由“等腰三角形的两底角相等，两腰相等”可以类比推出正棱锥的类似属性是__________________________________________________．16、将“函数f (x )＝4x 2－2(p －2)x －2p 2－p ＋1在区间[－1,1]上至少存在一个实数c ，使f (c )>0”反设，所得命题为“________________________”．三、解答题17、等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1＋2，S 3＝9＋3 2.(1)求数列{a n }的通项a n 与前n 项和S n ；(2)设b n ＝S n n(n ∈N *)，求证：数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列．实用文档18、已知a 、b 、c 是不等正数，且abc ＝1， 求证：a ＋b ＋c <1a ＋1b ＋1c.19、把下面在平面内成立的结论类比地推广到空间，并判断类比的结论是否成立．(1)如果一条直线和两条平行线中的一条相交，则必和另一条相交；(2)如果两条直线同时垂直于第三条直线，则这两条直线互相平行．20、已知函数f (x )(x ∈R )，对于任意x 1、x 2∈R ，等式f (x 1)＋f (x 2)＝2f (x 1＋x 22)·f (x 1－x 22)恒成立，但f (x )不恒为0，求证：f (x )是偶函数．实用文档21、已知a ，b ，c 均为正数，证明：a 2＋b 2＋c 2＋(1a ＋1b ＋1c )2≥63，并确定a ，b ，c 为何值时，等号成立．22、先解答(1)，再通过类比解答(2)(1)求证：tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝1＋tan x 1－tan x ； (2)设x ∈R 且f (x ＋1)＝1＋f (x )1－f (x )，试问f (x )是周期函数吗？证明你的结论．以下是答案一、选择题1、A [由cos A ＋cos B >0得cos A >－cos B ，实用文档∴cos A >cos(π－B )，∵0<A <π，0<B <π，且y ＝cos x 在x ∈(0，π)上单调递减．∴A <π－B ，∴A ＋B <π，即0<A ＋B <π.]2、C [由扇形的弧与半径类比于三角形的底边与高可知选C.]3、C [作凸(n ＋1)边形的一条对角线，使之成为一个凸n 边形和一个三角形．]4、A5、A [因为f (x )＝x 2＋2ax ＋1不存在不动点，所以f (x )＝x 无实根．由x 2＋2ax ＋1＝x 得x 2＋(2a －1)x ＋1＝0，此方程若无实根，则Δ＝(2a －1)2－4<0，解得－12<a <32.]6、A [∵p ＝a ＋1a －2＝a －2＋1a －2＋2≥4，q ＝2－a 2＋4a －2＝2－(a －2)2＋2<4 (a >2)，∴p >q .]7、B [前三组数分别求和得1,8,27，即13,23,33，所以猜想第n 组数的和为n 3.]8、B [∵a ＝c ＋1－c ＝1c ＋1＋c ，实用文档b ＝c －c －1＝1c ＋c －1，又∵c >1， ∴c ＋1＋c >c ＋c －1>0， ∴1c ＋1＋c <1c ＋c －1.即a <b .]9、B [∵{a n }是由正数组成的等比数列，且a 2a 4＝1，∴设{a n }的公比为q ，则q >0，且a 23＝1，即a 3＝1.∵S 3＝7，∴a 1＋a 2＋a 3＝1q 2＋1q ＋1＝7， 即6q 2－q －1＝0. 故q ＝12或q ＝－13(舍去)，∴a 1＝1q2＝4. ∴S 5＝4(1－125)1－12＝8(1－125)＝314.故选B.]10、A [由图知：三白二黑周而复始相继排列，因36÷5＝7余1，所以第36颗应与第1颗珠子的颜色相同，即为白色．]实用文档 11、C [因为α、β是锐角三角形的两个内角，所以α＋β>π2，所以π2>α>π2－β>0， 所以cos α<cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－β＝sin β. 而cos α∈(0,1)，sin β∈(0,1)，f (x )在[－1,1]上是减函数，故f (cos α)>f (sin β)．]12、A [增加一条直线后，最多和原来的k 条直线都相交，有k 个交点，所以交点个数最多为f (k )＋k .]二、填空题13、a ＋b ＝22解析 ∵7＋15＝22,5.5＋16.5＝22,3－3＋19＋3＝22，∴猜测a ＋b ＝22.14、－2≤a <32解析 当n 为偶数时，a <2－1n， 而2－1n ≥2－12＝32，∴a <32.实用文档 当n 为奇数时，a >－2－1n， 而－2－1n<－2，∴a ≥－2. 综上可得－2≤a <32.15、正棱锥各侧面与底面所成二面角相等，各侧面都是全等的三角形或各侧棱相等解析 等腰三角形的底与腰可分别与正棱锥的底面与侧面类比．16、函数f (x )＝4x 2－2(p －2)x －2p 2－p ＋1在区间[－1,1]上恒小于等于0三、解答题17、(1)解 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝2＋1，3a 1＋3d ＝9＋32，∴d ＝2，故a n ＝2n －1＋2，S n ＝n (n ＋2)．(2)证明 由(1)得b n ＝S n n ＝n ＋ 2.假设数列{b n }中存在三项b p 、b q 、b r (p 、q 、r ∈N *且互不相等)成等比数列，则b 2q ＝b p b r ， 即(q ＋2)2＝(p ＋2)(r ＋2)，实用文档∴(q 2－pr )＋2(2q －p －r )＝0.∵p 、q 、r ∈N *，∴⎩⎪⎨⎪⎧ q 2－pr ＝0，2q －p －r ＝0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫p ＋r 22＝pr ，(p －r )2＝0， ∴p ＝r ，这与p ≠r 矛盾．∴数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列．18、证明 ∵a 、b 、c 是不等正数，且abc ＝1， ∴a ＋b ＋c ＝1bc ＋1ca ＋1ab <1b ＋1c2＋1c ＋1a 2＋1a ＋1b 2 ＝1a ＋1b ＋1c. 故a ＋b ＋c <1a ＋1b ＋1c.实用文档19、解 (1)类比为：如果一个平面和两个平行平面中的一个相交，则必和另一个相交． 结论是正确的：证明如下：设α∥β，且γ∩α＝a ，则必有γ∩β＝b ，若γ与β不相交，则必有γ∥β，又α∥β，∴α∥γ，与γ∩α＝a 矛盾，∴必有γ∩β＝b .(2)类比为：如果两个平面同时垂直于第三个平面，则这两个平面互相平行，结论是错误的，这两个平面也可能相交．20、证明 方法一 (分析法)要证f (x )是偶函数，只需证对于任意x ∈R ，都有f (－x )＝f (x )． 由f (x 1)＋f (x 2)＝2f (x 1＋x 22)·f (x 1－x 22)得f (－x )＋f (x )＝2f (0)·f (－x )，欲证f (－x )＝f (x )，需先证f (0)＝1.由f (x )不恒为0，即存在一个x 0使f (x 0)≠0，从而f (x 0)＋f (x 0)＝2f (x 0)·f (0)，由2f(x0)＝2f(x0)·f(0)．因为f(x0)≠0，所以f(0)＝1，命题得证．方法二(综合法)设x0∈R，f(x0)≠0，则f(x0)＋f(x0)＝2f(x0)·f(0)，即2f(x0)＝2f(x0)·f(0)．因为f(x0)≠0，所以f(0)＝1.对于任意x∈R，有f(x)＋f(－x)＝2f(0)·f(x)，所以f(x)＋f(－x)＝2f(x)，所以f(－x)＝f(x)．因此，函数f(x)为偶函数．21、证明因为a，b，c均为正数，由基本不等式得a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac.所以a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac. ①同理1a2＋1b2＋1c2≥1ab＋1bc＋1ac，②实用文档实用文档故a 2＋b 2＋c 2＋(1a ＋1b ＋1c )2 ≥ab ＋bc ＋ac ＋3ab ＋3bc ＋3ac ≥6 3. ③所以原不等式成立．当且仅当a ＝b ＝c 时，①式和②式等号成立，当且仅当a ＝b ＝c ，(ab )2＝(bc )2＝(ac )2＝3时，③式等号成立．故当且仅当a ＝b ＝c ＝314时，原不等式等号成立．22、(1)证明 tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝tan x ＋tan π41－tan x tan π4＝1＋tan x 1－tan x； (2)解 f (x )是以4为一个周期的周期函数．证明如下：∵f (x ＋2)＝f ((x ＋1)＋1)＝1＋f (x ＋1)1－f (x ＋1)＝1＋1＋f(x)1－f(x)1－1＋f(x)1－f(x)＝－1f(x)，∴f(x＋4)＝f((x＋2)＋2)＝－1f(x＋2)＝f(x)，∴f(x)是周期函数．实用文档。