集合相关的知识点

一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合(简称集)．

1.集合中元素具的有几个特征

⑴确定性－因集合是由一些元素组成的总体，当然，我们所说的“一些元素”是确定的．

⑵互异性－即集合中的元素是互不相同的，如果出现了两个(或几个)相同的元素就只能算一个，即集合中的元素是不重复出现的．

⑶无序性－即集合中的元素没有次序之分．

2.常用的数集及其记法

我们通常用大写拉丁字母Ａ，Ｂ，Ｃ，…表示集合，用小写拉丁字母a，b，c，…表示集合中的元素．

常用数集及其记法

非负整数集（或自然数集），记作N

正整数集，记作N*或N+；

整数集，记作Z

有理数集，记作Q

实数集，记作R

3．元素与集合之间的关系

4.反馈演练

1.填空题

2．选择题

⑴以下说法正确的( )

(A) “实数集”可记为{R}或{实数集}

(B){a,b,c,d}与{c,d,b,a}是两个不同的集合

(C)“我校高一年级全体数学学得好的同学”不能组成一个集合,因为其元素不确定

⑵已知2是集合M={ }中的元素，则实数为( )

(A) 2 (B)0或3 (C) 3 (D)0,2,3均可

二、集合的几种表示方法

1、列举法－将所给集合中的元素一一列举出来，写在大括号里，元素与元素之间用逗号分开．

*有限集与无限集*

⑴有限集-------含有有限个元素的集合叫有限集

例如: A={1~20以内所有质数}

⑵无限集--------含有无限个元素的集合叫无限集

例如: B={不大于3的所有实数}

2、描述法－用集合所含元素的共同特征表示集合的方法.

具体方法:在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及以取值(或变化)范围,再画一条竖线,在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.

3、图示法 -- 画一条封闭曲线,用它的内部来表示一个集合.常用于表示不需给具体元素的抽象集合.对已给出了具体元素的集合也当然可以用图示法来表示

如: 集合{1,2,3,4,5}用图示法表示为:

三、集合间的基本关系

观察下面几组集合，集合A与集合B具有什么关系？

(1) A={1，2，3}，B={1，2，3，4，5}.

(2) A={x|x>3},B={x|3x-6>0}.

(3) A={正方形}，B={四边形}.

(4) A=∅，B={0}.

1.子集

定义：一般地，对于两个集合A与B，如果集合A中的任何一个元素都是集合

B的元素，我们就说集合A包含于集合B，或集合B包含集合A，记作A⊆B（或B⊇A）,即若任意x∈A,有x∈B，则A⊆B(或A⊂B)。这时我们也说集合A是集合

B的子集（subset）。

如果集合A不包含于集合B，或集合B不包含集合A,就记作A⊈B（或B⊉A），即:若存在x∈A,有x∉B，则A⊈B(或B⊉A)

说明：A⊆B与B⊇A是同义的，而A⊆B与B⊆A是互逆的。

规定:空集∅是任何集合的子集，即对于任意一个集合A都有∅⊆A。

例1．判断下列集合的关系.

(1) N_____Z; (2) N_____Q; (3) R_____Z; (4) R_____Q;

(5) A={x| (x-1)2=0}， B={y|y2-3y+2=0};

(6) A={1,3}， B={x|x2-3x+2=0};

(7) A={-1,1}， B={x|x2-1=0};

（8）A={x|x是两条边相等的三角形} B={x|x是等腰三角形}。

问题：观察（7）和（8），集合A与集合B的元素，有何关系？

⇒集合A与集合B的元素完全相同，从而有：

2.集合相等

定义：对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素

（即A⊆B），同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素（即B⊆A），则称集

合A等于集合B，记作A=B。如：A={x|x=2m+1，m∈Z}，B={x|x=2n-1，n∈Z}，此时有A=B。

问题：（1）集合A是否是其本身的子集？（由定义可知，是）

（2）除去∅与A本身外，集合A的其它子集与集合A的关系如何？（包含于A，但不等于A）

3.真子集：

由“包含”与“相等”的关系，可有如下结论：

(1)A⊆A (任何集合都是其自身的子集)；

(2)若A⊆B，而且A≠B（即B中至少有一个元素不在A中），则称集合A是集

合B的真子集（proper subset），记作A⊂≠B。（空集是任何非空集合的真子集）

(3)对于集合A，B，C，若A⊆B，B⊆C，即可得出A⊆C；对A⊂

≠B，B⊂

≠

C，同样

有A⊂

≠

C, 即：包含关系具有“传递性”。

4.证明集合相等的方法：

（1）证明集合A，B中的元素完全相同；（具体数据）

（2） 分别证明A ⊆B 和B ⊆A 即可。（抽象情况）

对于集合A ，B ，若A ⊆B 而且B ⊆A ，则A=B 。

例1．判断下列两组集合是否相等？

（1）A={x|y=x+1}与B={y|y=x+1}; (2)A={自然数}与B={正整数} 例2．解不等式x-3>2，并把结果用集合表示。

结论：一般地，一个集合元素若为n 个，则其子集数为2n 个，其真子集数为2n -1个，特别地，空集的子集个数为1，真子集个数为0。

5.课堂练习

1.设A={0，1}，B={x|x ⊆A}，问A 与B 什么关系？

2.判断下列说法是否正确？

（1）N ⊆Z ⊆Q ⊆R ； （2）∅⊂A ⊂A ；

（3）{圆内接梯形}⊇{等腰梯形}； （4）N ∈Z ；

（5）∅∈{∅}； （6）∅⊆{∅}

4.有三个元素的集合A ，B ，已知A={2，x ，y}，B={2x ，2，2y}，且A=B ，求x ，y 的值。

6.本节小结

1. 能判断存在子集关系的两个集合，谁是谁的子集，进一步确定其是否为真子集；

注意：子集并不是由原来集合中的部分元素组成的集合。（因为：“空集是任何集合的子集”，但空集中不含任何元素；“A 是A 的子集”，但A 中含有A 的全部元素，而不是部分元素）。

2. 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集；

3．注意区别“包含于”，“包含”，“真包含”，“不包含”；

4. 注意区别“∈”与“⊆”的不同涵义。

课堂练习：

集合的含义与表示

1.用符号∈或∉填空：

（1）}11|{

（2）3 },1|{2+∈+=N n n x x ；

（3）)1,1(- }|{2x y y =，)1,1(- }.|),{(2x y y x =

2.用列举法表示下列集合：

（1）},,3|),{(N y N n y x y x ∈∈=+； （2）}.,2||,1|),{(2Z x x x y y x ∈≤-=

3.可以表示方程组⎩

⎨⎧-=-=+1,3y x y x 的解集是 。（写出所有正确答案的序号）