武汉理工大学数学建模与仿真论文

武汉理工大学2014年数学建模课程论文题目：金属板的切割问题

姓名：李冬波

学院：自动化学院

专业：自动化

学号：012121136329

选课老师：何朗

2014年6月22日

摘要

金属板的切割问题要求对金属板的切割方式进行构思，希望通过数学可以达到效率较高、成本较低的可能性。应该先通过穷举的方法找到所有可能性，在所有可能性中保留最优的可能性。所谓最优即效率较高、成本较低的可能。

在确立了6种切割模式的基础上，再建立非线性规划的数学模型，以模式为基点，将题中订单需求转化为求解金属原料此目标函数的约束条件。在通过LINGO软件的数学规划模型求解功能求解出目标函数值，并通过检验证明，该模型求解出的最少原料使用量与具体切割模式是完全满足题目要求的。

关键词：切割模式、非线性规划、 LINGO

目录

一、问题重述 ------------------------------4

二、问题假设 ------------------------------4

三、模型建立----------------------------------------------5

符号说明------------------------------------------------5

建立模型------------------------------------------------5

四、模型求解----------------------------------------------6

五、求解结果---------------------------------------------7

六、结果检验分析---------------------------------------7 七丶结论-----------------------------------------------8 八、参考文献---------------------------------------------8

板材切割的最优化问题

一、问题重述

本题主要是讨论在切割大面积金属时，通过建立数学模型的方法使切割时的成本最低、效率最高。本题中只考虑切割切割金属的面积。题目中已经给出了已知大面积金属板的实际面积大小，并给消费者们需要切割的小块金属的面积与需要的个数。由于利润和控制成本是生产商最重要的东西，所以在实际切割的时候，一定要考虑效率和成本。尽量最大的进行成本节约。我们采用数学建模的方式来解决这一实际问题。通过这样的方式处理问题可以做到高效、直观和准确。

二、模型假设

（1）假设车间是以减少原料投入为主要节省方式。实际上，金属加工生产中的余废料价值远远小于完整的原料价值，因此这样假设确立了模型是以最小原料使用量为目标。

（2）金属切割时不发生原料总面积减少。在生产实践当中，由于切割工艺问题，在切割板材是会使切割线位置出现原料耗损（如融化，形变等）。在模型中假设这种耗损不存在。

（3）不考虑切割方式增加所带来的成本成本增加。作为简单的直线切割问题，生产模式的增加对设备要求、人力要求很少，因此对成本的增加微乎其微可以忽略，即不限制切割模式的数量。

（4）假设所有原材料的大小规格完全一致，这样假设避免一些不确定因素对模型求解时的不利影响，简化模型。

三、模型建立

符号说明：

Z 原料使用量

Xi(i=1,2,3,4,5,6) 第i种方案所用的原料数

A 36*50（dm）的产品

B 24*36（dm）的产品

C 18*30（dm）的产品

问题分析：

根据题目可知，将原料48*96的金属板切割成A、B、C三种样式的产品。由于题中所设计的数据量较少，因此只需建立一个简单的非线性规划模型，求解目标函数Z的最优解即可。

在求解Z的最优值的时候，根据订单所需的各项指标，采用原料使用量最小原则，已达到工厂经济效益的最大化。

建立模型

1.利用穷举法得到一个所有情况的表格：

2.非线性规划：

确立目标函数：

Z=X1+X2+X3+X4+X5+X6

由于采用原料使用量最少原则，因此只需将各种模式下使用原材料的数量加和得到目标函数Z，并求解其最小值。

再确立目标函数的各项约束条件:

x1+x2+x3>=8;

图表中所给模式当中，有模式1、2、3可以切割A型产品，且其条件如上，其余依次可得：

2*x1+x2+5*x4+4*x5>=13;

x2+3*x3+x5+8*x6>=15;

四、模型求解

编写lingo软件程序，利用其中的数学规划功能求解该问题。

MIN=x1+x2+x3+x4+x5+x6;

x1+x2+x3>=8;

2*x1+x2+5*x4+4*x5>=13;

x2+3*x3+x5+8*x6>=15;

@gin(x1);@gin(x2);@gin(x3);

@gin(x4);@gin(x5);@gin(x6);

五、求解结果

Global optimal solution found.

Objective value: 10.00000

Objective bound: 10.00000

Infeasibilities: 0.000000

Extended solver steps: 0

Total solver iterations: 7

Variable Value Reduced Cost

X1 7.000000 1.000000

X2 0.000000 1.000000

X3 1.000000 1.000000

X4 0.000000 1.000000

X5 0.000000 1.000000

X6 2.000000 1.000000

由计算结果知，最少用金属块数量为10，其分配方案为7块采用x1切割方式,1块用x3切割方式，2块用x6切割方式。虽然有些许多余金属块，但此方案还是符合条件下的最佳分配方式。

六、结果检验分析

由运算结果可知，将10块金属板材分别用模式1、3、6进行切割，最终可得：8块大小为36分米×50分米的矩形金属板，13块大小为24分米×36分米的矩形金属板，以及15块大小为18分米×30分米的矩形金属板。虽然部分产品型号超过了订单需求，而使超过需求的部分成为废料，但如此规划切割模式，仍然能使所用大金属板的数量达到最小。在实际生产当中，成型的板材废料比切割过程中出现的边角废料的可利用率更高。因此，该模型求解结果依然具