3-6原点矩与中心矩
数理统计7：矩法估计（MM）、极大似然估计（MLE），定时截尾实验
数理统计7：矩法估计（MM）、极⼤似然估计（MLE），定时截尾实验在上⼀篇⽂章的最后，我们指出，参数估计是不可能穷尽讨论的，要想对各种各样的参数作出估计，就需要⼀定的参数估计⽅法。
今天我们将讨论常⽤的点估计⽅法：矩估计、极⼤似然估计，它们各有优劣，但都很重要。
由于本系列为我独⾃完成的，缺少审阅，如果有任何错误，欢迎在评论区中指出，谢谢！⽬录Part 1：矩法估计矩法估计的重点就在于“矩”字，我们知道矩是概率分布的⼀种数字特征，可以分为原点矩和中⼼矩两种。
对于随机变量X⽽⾔，其k阶原点矩和k阶中⼼矩为a_k=\mathbb{E}(X^k),\quad m_k=\mathbb{E}[X-\mathbb{E}(X)]^k,特别地，⼀阶原点矩就是随机变量的期望，⼆阶中⼼矩就是随机变量的⽅差，由于\mathbb{E}(X-\mathbb{E}(X))=0，所以我们不定义⼀阶中⼼矩。
实际⽣活中，我们不可能了解X的全貌，也就不可能通过积分来求X的矩，因⽽需要通过样本(X_1,\cdots,X_n)来估计总体矩。
⼀般地，由n个样本计算出的样本k阶原点矩和样本k阶中⼼矩分别是a_{n,k}=\frac{1}{n}\sum_{j=1}^{n}X_j^k,\quad m_{n,k}=\frac{1}{n}\sum_{j=1}^{n}(X_j-\bar X)^k.显然，它们都是统计量，因为给出样本之后它们都是可计算的。
形式上，样本矩是对总体矩中元素的直接替换后求平均，因此总是⽐较容易计算的。
容易验证，a_{n,k}是a_k的⽆偏估计，但m_{n,k}则不是。
特别地，a_{n,1}=\bar X，m_{n,2}=\frac{1}{n}\sum_{j=1}^{n}(X_j-\bar X)^2=\frac{n-1}{n}S^2\xlongequal{def}S_n^2,⼀阶样本原点矩就是样本均值，⼆阶样本中⼼矩却不是样本⽅差，⽽需要经过⼀定的调整，这点务必注意。
原点矩与中心矩
试求在仪器使用的最初500小时内，至少有一个电子元 件损坏的概率. 6. 某商店出售的灯泡来自甲、乙两个工厂，甲厂产品 占70%，乙厂产品占30%，甲厂、乙厂的产品合格率分 别为0.92和0.87。某顾客从该商店买了一个灯泡。 （1）求该灯泡是合格品的概率； （2）若该灯泡是次品，问它是甲厂生产的概率多大？ 7. 一袋中装有5只球，编号为1，2，3，4，5。在袋中 同时取3只，以表示取出的3只球中的最大号码，写出 随机变量的分布律并写出分布函数。
(3) E ( 2 ) D( ) E ( ) 16 1 17
2
E ( 2 ) 13, E ( ) Cov( , ) E ( ) E ( ) 4 E ( )2 E ( 2 ) 2 E ( ) E ( 2 ) 22
3. 设随机变量的分布律为 -1 0 1 2 p 0.4 0.2 0.3 0.1 试求随机变量 2 3 及 ( 1)2 的分布律。
4. 设 ~ N ( , 2 ), 且P( 0) 0.6915, P( 1) 0.5000. 求 P(1.2 3), P( 4), P(| | 2).
1 k k 1 k 1 k (b b a ba a ） k 1
又因为 ,
ab E 2
b a
故 E[ E ]
3
ab 3 1 (x ) dx 2 ba
令t x a b 2
1 ba
ba 2 ba 2
t dt 0
(已知(0.1) 0.5398, (1) 0.8413, (1.5) 0.9332, (0.5) 0.6915)
5. 某仪器装有四只独立工作的同型号电气元件，其寿 命(单位：小时)都服从同一指数分布，密度函数为：
矩
)
k
E ⎡ X Y ⎤ = E ⎡ X ⎤ • E ⎡Y ⎤ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
E ( X 1 − EX 1 ) 1 ( X 2 − EX 2 ) 2 L( X n − EX n ) n
k k
则X 和 Y 统计独立。
见书p.51
23
见书p.44
24
4
若n维随机变量 ( X 1 , X 2 , L, X n ) 用随机矢量
若 E X − EX p ∞ k = 0, 1, 2, L
k 阶中心矩
E ( X − EX )
k
k = 2 时， E ( X − EX ) 为方差
2
9 10
见书p.44
方差
我们常常除了需要知道某一随机变量的平均值 外，还要知道随机变量与其期望之间的偏离程 度。
2. 性质 ⑴ DC = 0 ，C 为常数； ⑵ DX = EX 2 − ( EX ) ；
27
⎡ C11 C12 L C1n ⎤ ⎢C C L C ⎥ 2n ⎥ = CX DX = ⎢ 21 22 ⎢ M M L M ⎥ ⎢ ⎥ ⎣Cn1 Cn 2 L Cnn ⎦
又可称为n维随机变量的协方差矩阵
28
5
2
1. 定义 DX = E ( X − EX )
2
⑶ D ( C + X ) = DX ；
2
⑴离散型随机变量的方差： = DX ⑵连续型随机变量的方差：
∑ ( x − EX )
i =1 i
∞
pi
⑷ D ( CX ) = C 2 DX ； ⑸ D ( X 1 ± X 2 ± L ± X n ) = DX 1 + DX 2 + L + DX n ，
概率论与数理统计(第三版)第三章4协方差与相关系数-PPT精品文档
o 3 X , Y 不相关 E ( XY ) E ( X ) E ( Y ).
3. 相关系数的性质
是一个用来表征 X ,Y之间线性关系紧密 XY
程度的量 .
1 . 1 ρ XY
a , b使 1 的充要条件是 :存在常数 2 ρ XY
P { Y a bX } 1 .
0.3 0.7
0 . 3 0 0 . 7 1 0 . 7
0 . 6 1 0 . 4 2 1 . 4
0 . 9 50 . 7 1 . 4 0.03
c o v (,) X Y E X Y E X E Y
三、 相关系数的意义
1 . 当 ρ 表明 X,Y的线性关系联 XY 较大时
例1 已知 (X,Y)的分布律求Cov(X，Y)
x 0 1 y 1 2 0.15 0.15 0.45 0.25
解: c o v (,) X Y E X Y E X E Y
EX ( Y ) 0 .9 5
x 0 1
EX ( ) EY ( )
y 1 0.15 0.45 0.6
2 0.15 0.25 0.4
3.设X和Y是随机变量，若
E(XkYL)
k, L=1,2,…
存在，
称它为X和Y的k+L阶混合（原点）矩.
k L 4.若 E {[ X E ( X )] [ Y E ( Y )] } 存在，
称它为X和Y的k+L阶混合中心矩.
二、协方差与相关系数的概念及性质
1. 问题的提出
若随机变量 X 和 Y 相ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ独立 ,那么
3 Cov( X X , Y ) Cov( X , Y ) Co X , Y ). 1 2 1 2
二阶原点矩和二阶中心矩
二阶原点矩和二阶中心矩1.引言1.1 概述二阶原点矩和二阶中心矩是统计学中常用的描述统计量，用于描述一个随机变量或随机过程的分布特征。
它们在统计分析、概率论、图像处理等领域都有广泛的应用。
二阶原点矩是描述一个随机变量的离散程度的量度，在二维平面上表示为(X, Y)。
它是指将随机变量的值与原点(0, 0)的距离的平方加权求和的期望值。
直观上，它可以理解为随机变量分布的离散程度，越大表示分布越分散，越小则表示分布越集中。
而二阶中心矩则是描述随机变量相对于其均值的离散程度的量度。
与二阶原点矩不同的是，二阶中心矩是在原点平移后进行计算的，它用于分析随机变量的对称性和形状特征。
二阶中心矩的计算方法是将随机变量的值减去均值后的差的平方加权求和的期望值。
二阶原点矩和二阶中心矩在统计分析中起到了关键的作用。
它们可以帮助我们更加全面地了解数据的分布情况，从而进行更精确的统计推断和预测。
在实际应用中，我们可以利用这些统计量来比较各个样本之间的差异、评估模型的拟合程度、寻找异常值等。
本文旨在介绍二阶原点矩和二阶中心矩的定义、计算方法以及它们的应用领域。
通过深入理解这两个概念，我们能够更好地进行数据分析和解释，为我们的研究和决策提供更有力的支持。
在接下来的章节中，我们将详细讨论它们的定义和计算方法，并探讨它们在实际应用中的作用和意义。
文章结构如下：首先，我们将在第2节介绍二阶原点矩的定义和计算方法；然后，在第3节讨论二阶中心矩的内涵和计算方法；最后，我们将在第4节总结并提出本文的结论。
通过阅读本文，读者将对二阶原点矩和二阶中心矩有更为深刻的理解，并能够灵活应用它们进行数据分析和解释。
希望本文能对读者在统计分析和概率论学习中起到一定的帮助和指导。
文章结构部分的内容可以参考以下样例:"1.2 文章结构本文将以二阶原点矩和二阶中心矩为主题，通过引言、正文和结论三个部分对其进行详细的阐述和分析。
引言部分将首先概述二阶原点矩和二阶中心矩的概念和重要性，以引起读者的兴趣和注意。
原点矩和中心矩
k阶原点距和k阶中心距各是说明什么数字特征在数学的概率领域中有一类数字特征叫矩.(X^k为X的k次方)原点矩：对于正整数k,如果E|X^k|<无穷,称Vk＝E(X^k) 为随机变量X的k阶原点矩.X的数学期望是X的一阶原点矩,即E(x)=v1.k阶矩定义：设X为随机变量,c为常数,k为正整数,如果E[|X-c|^c]<无穷大,则称E[（X -c）^k]为X关于点c的k阶矩.c=0时,称其为X的k阶原点矩；c=E[X]时,称为k阶中心矩.原点矩顾名思义，是随机变量到原点的距离（这里假设原点即为零点）。
中心矩则类似于方差，先要得出样本的期望即均值，然后计算出随机变量到样本均值的一种距离，与方差不同的是，这里所说的距离不再是平方就能构建出来的，而是k次方。
这也就不难理解为什么原点矩和中心矩不是距离的“距”，而是矩阵的“矩”了。
仅凭本人目前的所学，我认为通过随机试验得出的各种结果虽然都假定为实值单值函数，但它们完全有可能是空间分布，即不在一个平面上。
那么这是的距离就类似于一个向量的模了，于是在空间的范围内也能比较出大小来了。
我们都知道方差源于勾股定理，这就不难理解原点矩和中心矩了。
还能联想到力学中的力矩也是“矩”，而不是“距”。
力矩在物理学里是指作用力使物体绕着转动轴或支点转动的趋向。
力矩也是矢量，它等于力乘力臂。
由此可见数学和物理关系非同一般！二阶中心距，也叫作方差，它告诉我们一个随机变量在它均值附近波动的大小，方差越大,波动性越大。
方差也相当于机械运动中以重心为转轴的转动惯量。
(The moment of iner tia.)三阶中心距告诉我们一个随机密度函数向左或向右偏斜的程度。
在均值不为零的情况下，原点距只有纯数学意义。
A1,一阶矩就是 E(X),即样本均值。
具体说来就是A1=(西格玛Xi)/n ----（1）A2,二阶矩就是 E(X^2)即样本平方均值 ,具体说来就是 A2=(西格玛Xi^2)/n-----(2)Ak,K阶矩就是 E(X^k)即样本K次方的均值,具体说来就是 Ak=(西格玛Xi^k)/n，-----(3)用样本的K阶矩代替总体的K阶矩来估计总体中未知参数的方法。
中心矩和原点矩的关系推导
中心矩和原点矩的关系推导在代数几何中，中心矩是一个被广泛应用的概念，用于描述一个图形或区域与一个固定点（通常是原点）之间的关系。
它是一组数值，可以反映出图形的几何特征和分布情况。
而原点矩则是中心矩的一种特殊情况，即当固定点为原点时的中心矩。
要理解中心矩和原点矩之间的关系，我们首先需要了解中心矩是如何定义和计算的。
中心矩主要用于描述图形的形态和分布，可以通过将图形上各点的坐标与中心点的坐标之差的幂次方相乘，并对所有点进行求和来计算。
中心矩的计算公式如下：μ'pq = ∑(x-xc)^p * (y-yc)^q其中，μ'pq表示中心矩的阶数。
p和q分别代表x和y轴坐标的幂次方。
x和y分别表示图形上每个点的横纵坐标，而xc和yc则表示中心点的横纵坐标。
而∑则表示对所有点的坐标差的幂次方相乘进行求和。
当我们将中心点取为原点时，即xc和yc都为0时，中心矩就变为了原点矩。
原点矩的计算公式如下：μpq = ∑x^p * y^q可以看出，原点矩的计算方法与中心矩的计算方法非常相似，只是去掉了对坐标差的计算，而直接使用了图形上每个点的坐标的幂次方相乘进行求和。
通过对比中心矩和原点矩的计算公式，我们可以得出一个重要的结论：中心矩可以通过原点矩和中心点的坐标来计算。
具体而言，对于同一阶数的中心矩μ'pq和原点矩μpq，它们之间的关系可以通过以下公式推导得到：μ'pq = μpq - xc^p * yc^q这个公式的意义在于，它告诉我们如何通过已知的原点矩和中心点的坐标，计算出对应的中心矩。
通过减去中心点坐标的幂次方乘积，我们可以将原点矩转化为中心矩。
这个过程实质上是将图形在平面上平移，使中心点变为原点，从而得到新的中心矩。
中心矩和原点矩的关系推导在实际应用中具有重要的意义。
通过计算中心矩，我们可以得到图形的几何特征和分布情况，帮助我们理解和描述图形的形态。
而对于那些需要对坐标进行平移的情况，中心矩和原点矩的关系可以帮助我们在不重新计算原点矩的基础上，获得新的中心矩。
原点矩与中心矩
第10讲 原点矩与中心矩 协方差与相关系数教学目的：掌握矩、协方差及相关系数的概念、性质及计算。
教学重点：矩、协方差及相关系数的概念和性质。
教学难点：矩、协方差及相关系数的概念。
教学学时：2学时教学过程：第三章 随机变量的数字特征§3.3 原点矩与中心矩随机变量的数字特征除了数学期望和方差外，为了更好的描述随机变量分布的特征，有时还要用到随机变量的各阶矩（原点矩与中心矩），它们在数理统计中有重要的应用。
定义1 设X 是随机变量，若),2,1)(( =k X E k 存在，则称它为X 的k 阶原点矩，记作)(X v k ，即)()(k k X E X v =， ,2,1=k显然，一阶原点矩就是数学期望，即)()(1X E X v =。
定义2 设随机变量X 的函数),2,1()]([ =-k X E X k 的数学期望存在，则称})]({[k X E X E -为X 的k 阶中心矩，记作)(X k μ，即})]({[)(k k X E X E X -=μ， ,2,1=k易知，一阶中心矩恒等于零，即0)(1≡X μ；二阶中心矩就是方差，即)()(2X D X =μ。
不难证明，原点矩与中心矩之间有如下关系：2122v v -=μ31213323v v v v +-=μ412121344364v v v v v v -+-=μ等。
定义3 设X 和Y 是随机变量，若),2,1,)(( =l k Y X E l k 存在，则称它为X 和Y 的l k +阶混合矩。
若),2,1,}()]([)]({[ =--l k Y E Y X E X E l k 存在，则称它为X 和Y 的l k +阶混合中心矩。
§3.4 协方差与相关系数1.协方差与相关系数的定义二维随机变量的数字特征中最常用的就是协方差与相关系数。
定义 3 设有二维随机变量),(Y X ，如果)]()][([Y E Y X E X E --存在，则称)]()][([Y E Y X E X E --为随机变量X 与Y 的协方差，记作),cov(Y X ，即=),cov(Y X )]()][([Y E Y X E X E -- 而)()(),cov(Y D X D Y X 称为随机变量X 与Y 的相关系数，记作),(Y X R ，即)()(),cov(),(Y D X D Y X Y X R =)()(),cov(Y X Y Xσσ=显然，协方差),cov(Y X 是X 和Y 的二阶混合中心矩。
统计矩原理及其在药物动力学中的应用
统计矩原理及其在药物动力学中的应用统计矩理论基础1978年先后有Yamaoka 等及Culture 发表了就将矩量的统计概念应用于药物动力学研究。
1980年Riegelman 等将统计矩应用与评价剂型在药物体内的溶出，释放及吸收过程。
目前，统计矩分析已作为一种研究药物在体内吸收、分布、代谢及排泄过程的新方法。
用统计矩分析药物体内过程，主要一句血药浓度时间-时间曲线下面积，不受数学模型的限制，适用于任何隔室模型，故为非隔室分析方法之一。
药物体内过程是一个随机过程，血药浓度-时间曲线可以看成是一个统计分布曲线，不论哪种给药途径，从统计矩理论可定 义3个矩量。
数学期望和统计矩量（1）数学期望（总体均值）设连续变量X(a ，b)的概率密度函数为f(x)。
而函数在(-∞，+∞)区间是有限值，则样品的总体均值(数学期望)为:概率统计中关于“矩” 的概念由力学中移植而来，借以表征随机变量的某种分布特征。
•常用的“矩”有两种，即原点矩和中心矩。
•随机变量t 的k 阶矩原点矩μk （k ＝1，2，3等）是指t k 的 理论平均值。
若t 为连续型变量，概率密度函数为f （t ）。
（2）原点矩（均值）样品随机变量t 的k 次幂的数学期望，称为随机变量t 的k 阶 原点矩。
即：k*C()k 2*111*t 0C t t C C AUC i i ni i i +-+=-=-→∑ 零阶矩 K=0一阶矩 K=1二阶矩 K=2第一节 统计矩的基本概念统计矩原理也称为矩量法，统计矩源于概率统计理论，将药物的体内转运过程视为随机过程血药浓度-时间曲线可看作是药物的统计分布曲线，用于统计矩分析。
主要优点:不受数学模型的限制，适用于线性动力学的任何隔室模型。
非房室模型的统计矩方法以概率论和数理统计学 中的统计矩(Statistical Moment)方法为理论基 础，对数据进行解析，包括零阶矩、一阶矩和二 阶矩，体现平均值、标准差等概念，反映了随机 变量的数字特征。
图像的矩特征
图像的矩特征1. 矩的概念图像识别的⼀个核⼼问题是图像的特征提取，简单描述即为⽤⼀组简单的数据（图像描述量）来描述整个图像，这组数据越简单越有代表性越好。
良好的特征不受光线、噪点、⼏何形变的⼲扰。
图像识别发展⼏⼗年，不断有新的特征提出，⽽图像不变矩就是其中⼀个。
矩是概率与统计中的⼀个概念，是随机变量的⼀种数字特征。
设X为随机变量，c为常数，k为正整数。
则量E[(x-c)^k]称为X关于c点的k阶矩。
⽐较重要的有两种情况：1. c=0。
这时a_k=E(X^k)称为X的k阶原点矩2. c=E(X)。
这时\mu_k=E[(X-EX)^k]称为X的k阶中⼼矩。
⼀阶原点矩就是期望。
⼀阶中⼼矩\mu_1=0，⼆阶中⼼矩\mu_2就是X的⽅差Var(X)。
在统计学上，⾼于4阶的矩极少使⽤。
\mu_3可以去衡量分布是否有偏。
\mu_4可以去衡量分布（密度）在均值附近的陡峭程度如何。
针对于⼀幅图像，我们把像素的坐标看成是⼀个⼆维随机变量(X,Y)，那么⼀幅灰度图像可以⽤⼆维灰度密度函数来表⽰，因此可以⽤矩来描述灰度图像的特征。
不变矩(Invariant Moments)是⼀处⾼度浓缩的图像特征，具有平移、灰度、尺度、旋转不变性。
M.K.Hu在1961年⾸先提出了不变矩的概念。
1979年M.R.Teague根据正交多项式理论提出了Zernike矩。
下⾯主要介绍这两种矩特征的算法原理与实现。
2. Hu矩⼀幅M\times N的数字图像f(i,j)，其p+q阶⼏何矩m_{pq}和中⼼矩\mu_{pq}为：m_{pq}=\sum_{i=1}^M\sum_{j=1}^Ni^pj^qf(i,j)\mu_{pq}=\sum_{i=1}^M\sum_{j=1}^N(i-\bar{i})^p(j-\bar{j})^qf(i,j)其中f(i,j)为图像在坐标点(i,j)处的灰度值。
\bar{i}=m_{10}/m_{00},\bar{j}=m_{01}/m_{00}若将m_{00}看作是图像的灰度质量，则(\bar{i},\bar{j})为图像的质⼼坐标，那么中⼼矩\mu_{pa}反映的是图像灰度相对于其灰度质⼼的分布情况。
随机变量的协方差和相关系数
cov(X,Y)=E[X-EX][Y-EY]=EXY-EXEY
1) 当(X,Y)是离散型随机变量时,
cov( X , Y ) ( xi EX )( y j EY ) pij量时,
cov( X , Y )
( x EX )( y EY ) f ( x, y)dxdy.
存在，称它为X的k阶中心矩. 注：均值 E(X)是X一阶原点矩, 方差D(X)是X的二阶中心矩.
设 X 和 Y 是随机变量，若
E( X Y )
k
l
k,l=1,2,… 存在，
称它为 X 和 Y 的 k+l 阶混合原点矩.
若 E{[ X E ( X )]k [Y E (Y )]l } 存在， 称它为X 和 Y 的 k+l 阶混合中心矩. 注:协方差cov(X,Y)是X和Y的二阶混合中心矩.
例1 设X~N(0,1), Y=X2, 求X和Y的相关系数。
4. 若 XY 0 ，则称X和Y（线性）不相关。
定理：若随机变量X与Y的数学期望和方差都存 在，且均不为零，则下列四个命题等价： （1） XY 0 ； （2）cov(X ,Y) = 0；
（3）E(XY)=EXEY；
（4）D(X ±Y)=DX+DY。
n2
为(X1,X2, …,Xn) 的相关系数矩阵。
由于 i i
cov( X i , X i ) 1, D( X i ) D( X i )
故相关系数矩阵的主对角元素均为1.
五、 原点矩和中心矩
定义 设X和Y是随机变量，若
E ( X k ), k 1,2, 存在，称它为X的k阶原点矩，简称 k阶矩. 若 E{[ X E ( X )]k }, k 2,3,
k阶原点矩和k阶中心矩
k阶原点矩和k阶中心矩随着数字图像处理技术的使用越来越广泛，各种图像特征的提取也变得越来越重要。
其中，矩是一种常见的特征，常用于图像处理中的形状描述、边缘检测、目标跟踪等领域。
本文将介绍两种常用的矩：k阶原点矩和k阶中心矩。
k阶原点矩指的是对于一幅图像I(x,y)而言，对其像素值进行k次幂次方的累加和，即：Mk0 = ΣΣx^k y^0 I(x,y)其中，k阶原点矩表示的是图像的像素分布情况，也称为“零阶矩”。
这种矩能够提供有关图像亮度和对比度的信息，同时还能提供图像的整体大小和形状信息。
k阶中心矩是指对于一幅图像I(x,y)而言，对其像素值进行k次幂次方的累加和，同时将每个像素的坐标减去图像的中心点坐标，即：Mkpq = ΣΣ(x-xc)^p(y-yc)^q I(x,y)其中，xc、yc是图像的中心坐标，p+q=k，表示了图像的几何特征，如重心、惯性矩等。
一般而言，k阶中心矩提供的信息更加丰富，能够描述图像的细节特征。
对于一般图像而言，我们常常会先求出其一阶原点矩和二阶中心矩，来估计图像的重心坐标和形状。
一阶原点矩可以用来计算图像的总亮度，从而可以做灰度直方图均衡化等预处理；而二阶中心矩可以用来计算图像的旋转角度、长宽比等重要的形状信息。
需要注意的是，由于矩的定义中包含了像素的幂次方，所以其值通常会非常大，可能超过数据类型所能表示的范围。
因此，在计算矩的过程中可能需要进行数据类型转换，或者使用double等数据类型来存储结果。
总的来说，k阶原点矩和k阶中心矩是图像处理中常用的特征描述工具，能够提供图像的亮度、形状等重要信息。
对于需要进行图像处理操作的人员和学生而言，了解矩的相关知识是非常重要的，能够更好地理解和利用图像特征提取技术。
色谱术语大全
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色谱字典（术语大全）中文英文色谱图 chromatogram色谱峰 chromatographic peak峰底 peak base峰高 h, peak height峰宽 W, peak width半高峰宽 Wh/2, peak width at half height峰面积 A, peak area拖尾峰 tailing area前伸峰 leading area假峰 ghost peak畸峰 distorted peak反峰 negative peak拐点 inflection point原点ori£in斑点spot区带zone复班 multiple spot区带脱尾zone tailing基线 base line基线漂移 baseline drift基线噪声 X, baseline noise统讣矩moment一阶原点矩Y 1, first origin moment二阶中心矩 u 2, second central moment三阶中心矩 u 3, third central moment液相色谱法 liquid chromatography, LC液液色谱法 liquid liquid chromatography, LLC 液固色谱法 liquid solid chromatography, LSC 正相液相色谱法normal phase liquidchromatography液固色谱法 liquid solid chromatography, LSC反相液相色谱法reversed phase liquidchromatography,RPLC柱液相色谱法 liquid column chromatography高效液相色谱法high performance liquidchromatography, HPLC尺寸排除色谱法 size exclusion chromatography,SEC凝胶过滤色谱法 gel filtration chromatography凝胶渗透色谱法 gel permeation chromatography,GPC亲和色谱法 affinity chromatography离子交换色谱法ion exchange chromatography, IEC离子色谱法ion chromatography离子抑制色谱法 ion suppression chromatography离子对色谱法 ion pair chromatography疏水作用色谱法 hydrophobic interaction chromatography制备液相色谱法 preparative liquid chromatography 平面色谱法 planar chromatography纸色谱法 paper chromatography薄层色谱法 thin layer chromatography, TLC高效薄层色谱法 high performance thin layer chromatography, HPTLC浸渍薄层色谱法 impregnated thin layer chromatography凝胶薄层色谱法 gel thin layer chromatography离子交换薄层色谱法 ion exchange thin layer chromatography制备薄层色谱法 preparative thin layer chromatography薄层棒色谱法 thin layer rod chromatography液相色谱仪 liquid chromatograph制备液相色谱仪 preparative liquid chromatograph凝胶渗透色谱仪 gel permeation chromatograph涂布器spreader点样器 sample applicator色谱柱 chromatographic column棒状色谱柱 monolith column monolith column微粒柱 microparticle column填充毛细管柱 packed capillary column空心柱 open tubular column微径柱 microbore column混合柱 mixed column组合柱 coupled column预柱 precolumn保护柱 guard column预饱和柱 presaturation column浓缩柱 concentrating column抑制柱 suppression column薄层板 thin layer plate浓缩区薄层板 concentrating thin layer plate 荧光薄层板fluorescence thin layer plate 反相薄层板 reversed phase thin layer plate 梯度薄层板 gradient thin layer plate烧结板 sintered plate展开室 development chamber以上为美瑞泰克公司中国办事处从网上搜集并加以整理的，U的只有一个，就是能让每一个应用色谱分析的朋友能够更方便。
范文：概率论与数理统计复习
概率论与数理统计复习概率论与数理统计复习一、概率论的基本概念：1、事件的运算律：交换律：，；结合律：，；分配律：，；德·摩根法则：，；减法运算：。
2、概率的性质：性质1；性质2（有限可加性）当个事件两两互不相容时，；性质3对于任意一个事件，；性质4当事件满足时，，；性质5对于任意两个随机事件，；性质6对于任意一个事件；性质7（广义加法法则）对于任意两个事件，。
3、条件概率：在已知发生的条件下，事件的概率为：（）。
注意：所有概率的性质对条件概率依然适用，但使用公式必须在同一条件下进行。
4、全概率公式与贝叶斯公式：设个事件构成样本空间的一个划分，是一个事件，当（）时，全概率公式：；贝叶斯公式：当时，，。
应用全概率公式和贝叶斯公式计算事件的概率或其在已知条件下的条件概率时，关键的问题是找到一个完备事件组，使得能且仅能与之一同时发生，然后运用古典概型、概率的加法和乘法法则计算出和，，并套用全概率公式或贝叶斯公式即可。
若一个较复杂的事件是由多种“原因”产生的样本点构成时，多考虑用全概率公式，而这些样本点就构成一个完备事件组；若已知试验结果而要追查“原因”时，往往使用贝叶斯公式，这些“原因”的全体即是所求的完备事件组。
5、随机事件的独立性：事件独立性的结论：（1）事件与独立；（2）若事件与独立，则与，与，与中的每一对事件都相互独立；（3）若事件与独立，且，，则，；（4）若事件相互独立，则；（5）若事件相互独立，则。
注意：（1）事件相互独立只要求满足，而事件互斥（互不相容）只要求，这两个概念前一个与事件的概率有关，后一个与事件有关，两者之间没有必然的联系；（2）如果事件相互独立，则与不相关，反之一般不成立。
（3）对于任意个随机事件，相互独立则两两独立，反之未必；（4）对于任意个相互独立的随机事件，它们中任意一部分事件的运算结果（和、差、积、逆等）与其他一部分事件或它们的运算结果都相互独立，如：与，与，与都相互独立；6、贝努利概型与二项概率公式：设一次试验中事件发生的概率为，则重贝努利试验中，事件恰好发生次的概率为，。
零阶距名词解释
零阶距名词解释
物理意义
在物理学中，矩是表示距离和物理量乘积的物理量，表征物体的空间分布。
矩通常需要一个参考点（基点或参考系）来定义距离。
如力和参考点距离乘积得到的力矩（或扭矩），原则上任何物理量和距离相乘都会产生力矩，质量，电荷分布等。
如果点表示质量：
零阶矩是总质量
一阶原点矩是质心
二阶原点矩是转动惯量
如果点表示高度：
零阶矩是所有点高度之和
一阶原点矩是点的位置和对应高度乘积之和，表示所有高度的中心
二阶中心矩是所有点的高度波动范围
数学意义
数学上，“矩”是一组点组成的模型的特定的数量测度。
应用
如今矩技术已广泛应用于图像检索和识别、图像匹配、图像重建、数字压缩、数字水印及运动图像序列分析等领域。
常见的矩描述子可以分为以下几种：几何矩、正交矩、复数矩和旋转矩。
概率分布
在统计学中，矩表征随机量的分布。
如一个“二阶矩”在一维上可测量其“宽度”，在更高阶的维度上由于其使用于橢球的空间分布，我们还可以对点的云结构进行测量和描述。
其他矩用来描述诸如与均值的偏差分布情况（偏态），或峰值的分布情况（峰态）。
如果点表示概率密度，则第零阶矩表示总概率（即1）,1,2,3阶矩依次为以下三项。
数学中的概念与物理学中矩的概念密切相关。
一级注册结构工程师——基础资料总结(原创)
常微分方程一、可分离变量方程一阶可分离变量方程：()()dy f x dx g y =，可分离变量，方程通解为： ()()G y f x C =+二、一阶线性微分方程一阶线性微分方程：()()y p x y Q x '+=，通解如下： 当()0Q x =时，上式称为线性齐次方程，通解为In y C =-或()p x dxy Ce -⎰= 当()0Q x ≠时，上式称为线性非齐次方程，通解为()()[()]p x dx p x dxy e Q x e dx C -⎰⎰=+⎰三、可降阶微分方程1、()()n y f x =对此类微分方程，多次直接积分即可求得通解。
2、(,)y f x y '''=——不显含y 的二阶微分方程，令y p '=，则y p '''=，代入得(,)p f x p '=，该一阶微分方程可求解，从而求得()y f x =。
3、(,)y f y y '''=——不显含x 的二阶微分方程，令y p '=，则dpy pdy''=，代入得(,)dppf y p dy=，该一阶微分方程可求解，再经分离变量可求得()y f x =。
四、二阶常系数线性微分方程1、二阶常系数齐次线性微分方程0y py qy '''++=，其中p 、q 为常数它的特征方程为20r pr q ++=，其中r 为特征根。
根据r 的情况，二阶常系数齐次微分方程的通解如下：(1)1r 、2r 为两个不等实根时，方程的通解为1212r x r x y C e C e =+；(2)1r 、2r 为两个相等实根时(12r r r ==)，方程的通解为12()rx y C C x e =+； (3)1r 、2r 为一对共轭复根i αβ±时，方程的通解为12(cos sin )x y e C x C x αββ=+； 2、二阶常系数齐次线性微分方程 设*()y y x =是非齐次线方程()y py qy f x '''++=，其中p 、q 为常数的一个特解，()y y x =是对应的齐次方程0y py qy '''++=的通解，则该二阶线性非齐次微分方程的通解为*()()y y x y x =+。
矩、协方差矩阵【概率论与数理统计+浙江大学】
E(Z)=2E(X)-E(Y)&#(Y)=8+1=9
Z~N(5, 32)
故 Z 的概率密度是
fZ (z)
3
1
2
( z5)2
e 18 ,
z
例 设随机变量X,Y独立,均服从正态分布 N (, 2)
令U=aX+bY, V=aX-bY,问常数a,b满足什么条件时 随机变量U,V相互独立？
若它的概率密度为
f
(x1,x2,
…,xn)
(2
1 )n 2
|
C
|1
2
exp{
1 2
(X
)C 1( X
)}
则称 X 服从 n 元正态分布.
其中C是(X1,X2, …,Xn) 的协方差矩阵.
|C|是它的行列式，C 1表示C的逆矩阵，
X 和 是 n 维列向量，X 表示X 的转置.
概率论与数理统计
第四节 矩、协方差矩阵
原点矩 中心矩 协方差矩阵 n 元正态分布的概率密度
一、 原点矩 中心矩
定义 设X和Y是随机变量，若 E( X k ), k 1,2,
存在，称它为X的k阶原点矩，简称 k阶矩. 若 E{[ X E( X )]k}, k 2,3,
存在，称它为X的k阶中心矩.
2. 正态变量的线性变换不变性.
若 X=(X1, X2 , … , Xn) 服从 n 元正态分布， Y1,Y2, …，Yk是Xj（j=1,2,…,n）的线性函数， 则 (Y1,Y2, …，Yk) 也服从多元正态分布.
3. 设(X1,X2, …,Xn)服从n元正态分布，则 “X1,X2, …,Xn相互独立”
可见，均值 E(X)是X一阶原点矩，方差D(X)
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X 若 为离散随机变量，
则
k ( X ) [xi E( X )]k p(xi );
i
X 若 为连续随机变量，
则
k (X )
[x
E(X
)]k
f
(x)dx.
§3.6 原点矩与中心矩
一阶中心矩恒等于零： 二阶中心矩就是方差：
1( X ) 0. 2( X ) D( X ).
§3.6 原点矩与中心矩
原点距与中心矩的一些关系
记 k k ( X ), vk vk ( X ). (1) 2 v2 v12,
D(X ) E(X 2) [E(X )]2;
(2) 3 v3 3v2v1 2v13; (3) 4 v4 4v3v1 6v2v12 3v14.
§3.6 原点矩与中心矩
[例] 设随机变量
第三章 随机变量的数字特征
§3.6 原点矩与中心矩
§3.6 原点矩与中心矩
原点矩
k [定义1]
随机变量 的 X次幂的数学期望
（ k为正整数）
叫做随机变量
X 的 k 阶原点矩.
记作： vk ( X ), 即
vk ( X ) E( X k ).
X 若 为离散随机变量， X 若 为连续随机变量，
则 vk ( X ) xik p(xi ).
X 服从指数分布
矩及三、四阶中心矩.
பைடு நூலகம்
e() , 求 X的 阶原k 点
解： 因为随机变量
X 的概率密度
ex , x 0 ;
f (x) 0 , x0.
所以， X 的 k 阶原点矩
vk ( X )
xk exdx 0
xk exdx, 0
置换积分变量
x t , 得
§3.6 原点矩与中心矩
i
则
vk ( X )
xk f (x)dx.
特别，一阶原点矩就是数学期望：
v1( X ) E( X ).
§3.6 原点矩与中心矩
中心矩
[定义2]
X k 随机变量 的离差的 次幂的数学期望
(k为
X k 正整数)叫做随机变量 的 阶中心矩.
即
记作： k ( X ).
k ( X ) E{[ X E( X )]k}.
vk ( X )
1
k
t k etdt
0
(k
k
1)
k!
k
,
X 的三阶中心矩
k 1,2 ,3 ,4 ,
3 ( X
)
3!
3
3
2!
2
1
2( 1 )3
2
3
.
X 的四阶中心矩
4(X )
4!
4
4
3!
3
1
6
2!
2
(1
)2
3(
1
)4
9
4
.
§3.6 原点矩与中心矩
小结
k 阶原点矩： k 阶中心矩：
k (X ) E(X k ) k ( X ) E{[ X E( X )]k}