28.极点留数的计算

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留数计算规则

cos z 1 dz 2i Re s[ f ( z ),0] 2i ( ) i 3 z 1 z 2
例4
计算
z n
tanzdz ( n N )
si nz 解 tanz cosz 解得z k
令 cosz 0 1 即, z k ( k 0,1,2, ) 2
0
当m=1时，式(5)即为式(4). p( z ) p( z ), Q( z )在z0处解析, 规则III 设f ( z ) Q( z ) p( z0 ) 0, Q( z0 ) 0, Q' ( z0 ) 0
p( z0 ) z0是f ( z )的一级极点 , 且 Re s[ f ( z ), z0 ] ( 6) Q' ( z 0 ) 事实上， Q( z 0 ) 0及Q' ( z 0 ) 0
z z0
( 4)
规则II 若z0是f ( z )的m级极点
1 d m 1 Re s[ f ( z ), z0 ] lim m 1 {( z z0 )m f ( z )} (5) ( m 1)! z z0 dz
事实上，由条件 f ( z ) c m ( z z0 ) m c 2 ( z z0 )2 c1 ( z z0 )1
z z0
p( z 0 ) p( z ) lim (Q' ( z 0 ) 0 ) 得证！ z z0 Q ( z ) Q ( z ) Q' ( z 0 ) 0 z z0
5z 2 dz 例1 计算 : z 2 2 z( z 1)
5z 2 在 z 2的内部有一个一级极点解 f (z) 2 z( z 1) z 0和一个二级极点 z 1

计算留数的方法

计算留数的方法一、留数的概念。

1.1 留数啊，就像是函数在孤立奇点周围的一个小秘密。

它反映了函数在这个奇点附近的一种特殊性质。

想象一下，函数就像一个复杂的迷宫，而孤立奇点就是迷宫里的特殊点，留数就是这个特殊点周围隐藏的小线索。

1.2 从数学定义来讲，对于一个以孤立奇点为中心的洛朗级数展开式，留数就是这个展开式中负一次幂项的系数。

这就好比在一堆数字和式子组成的宝藏里，我们专门挑出那一个特别的系数当作留数。

二、计算留数的常见方法。

2.1 可去奇点处的留数。

对于可去奇点，这是一种比较温和的奇点类型。

就像一个小坎坷，很容易就跨过去了。

在可去奇点处的留数是0。

这就好像这个小坎坷周围没有什么特别的东西留下，干干净净的，留数为0很符合它的特性。

2.2 极点处的留数。

一阶极点。

如果函数f(z)在z = a处有一阶极点，那么计算留数就有一个简单的公式，留数等于lim(z→a) (z a)f(z)。

这就像是我们有一把专门的钥匙来打开一阶极点处留数的大门。

比如说，有个函数f(z)=(1/(z 1))，在z = 1处是一阶极点，那我们用这个公式一算，留数就是1。

简单直接，就像我们走直路一样顺畅。

高阶极点。

当z = a是函数f(z)的m阶极点时，计算留数就稍微复杂一点。

留数等于lim(z→a) [(1/(m 1)!)]×(d^(m 1)/dz^(m 1))[(z a)^m f(z)]。

这就像在走一条有点绕的小路，不过只要按照这个公式一步一步来，也能算出留数。

比如说有个函数f(z)=1/(z 2)^3，在z = 2处是三阶极点，按照这个公式算下来，留数是1/2。

虽然过程有点繁琐，但就像解一道有点难度的谜题，解开的时候还是很有成就感的。

2.3 本性奇点处的留数。

本性奇点可就比较调皮了。

它没有像极点那样有比较规矩的计算留数的公式。

我们通常得通过函数的洛朗级数展开式来求留数。

这就像在一个没有明显标记的森林里找东西，只能靠自己慢慢探索。

第二节留数的计算方法

证因为 Q(z0 ) 0, Q(z0 ) 0
所以z0为 Q(z) 的一级零点, 1
z0 为 Q(z) 的一级极点.
10
因此 1 1 (z),
Q(z) z z0
其中 (z)在 z0 解析且 (z0 ) 0,
f (z) 1 P(z) (z) . z z0 在 z0 解析且 P(z0 ) (z0 ) 0.
第二节留数
一、留数的引入二、利用留数求积分三、在无穷远点的留数四、典型例题五、小结与思考
一、留数的引入
设 z0 为 f (z)的一个孤立奇点;
C .z0
z0的某去心邻域 0 z z0 R C:邻域内包含z0 的任一条正向简单闭曲线
f (z) 在 0 z z0 R 内的洛朗级数: f (z) cn(z z0 )n c1(z z0 )1 c0
C
C1
C2
Cn
C
.zn
两边同时除以 2i 且
z1 . .z2

D
1 2i

C1
f
( z )dz

1 2i

C2
f
( z )dz

1 2i

Cn
f
( z )dz
Res[ f (z), z1] Res[ f (z), z2] Res[ f (z), zn]
n
Res[ f (z), zk ] 即可得.
Res[
f
(z),
z0
]limzz0(zz0
)
f
(z).
7
•规则2 如果 z0为 f (z)的 m 级极点, 那末

留数计算规则

例3：计算积分
c
z4
z
1
dz
，
C
为正向圆周
z
3
。
解：
f
(z)

z z4 1
四个一级极点 z1,2 1, z3,4 i 都在C 内，
由规则Ⅲ，
P zk Q zk

zk 4 zk 3

1 4zk 2
故由留数定理

c
z4
z
1
dz

2
i

1 4

1 4
解：
f
(z)

ez
z z 12
的一级极点z 0 二级极点 z 1 都在C 内
由规则Ⅰ，
Res
f
z,0
lim z z0
ez
z z 12

lim
z0

z
ez
12
1
由规则Ⅱ ，
Res
f
z,1

(2
1 lim 1)! z1
d dz
Res f
z, z0

1
m 1
lim ! zz0
d m1 dz m1
z z0 m
f
z
规则Ⅲ
设
f

z

=
P Q

z z
，其中 P(z，) Q(z)
在
z0
处解析，且 P(z0 ) 0
，
Q(z0 ) 0, Q(z0 ) 0 即 z0 为 f (z)的一级极点，那么
即 z0 为 f (z)的一级极点，那么

留数的计算

在扩充复平面内只有有限个孤立奇点, 定理二如果 f (z)在扩充复平面内只有有限个孤立奇点在扩充复平面内只有有限个孤立奇点在所有各奇点(包括的留数总和必等于零. 那末 f (z)在所有各奇点包括∞点)的留数总和必等于零在所有各奇点包括∞ 的留数总和必等于零证：除∞点外, 设f (z)的有限个奇点为zk(k=1,2,...,n). 且C为一条绕原点的并将zk(k=1,2,...,n)包含在它内部的正向简单闭曲线, 则根据留数定理与在无穷远点的留数定义, 有
1. 留数的计算规则规则1 规则如果z0为f (z)的一级极点, 则
Res[ f (z), z0 ] = lim(z − z0 ) f (z)
z→z0
规则2 规则如果z0为f(z)的m级极点, 则 1 dm−1 Res[ f (z), z0 ] = lim m−1 {(z − z0 )m f (z)} (m −1)! z→z0 d z 事实上, 由于 f (z)=c−m(z−z0)−m+...+c−2(z−z0)−2+c−1(z−z0)−1+c0+c1(z−z0)+..., (z−z0)m f (z)=c−m+c−m+1(z−z0)+...+c−1(z−z0)m−1+c0(z−z0)m+...,
根据规则1,Res[ f (z), z0 ] = lim(z − z0 ) f (z),而 Q(z0)=0.
z→z0
P( z0 ) P(z) 所 lim(z − z0 ) f (z) = lim 以 , = z→z0 z→z0 Q(z) − Q(z ) Q′( z0 ) 0 z − z0 即得规则规则3。
⇒ Ι = −2π i

留数的定义留数定理留数的计算规则无穷远点的留数

( g ( z ) ( z ) p( z ) 在z0解析, 且 g ( z0 ) 0 )
则z0为f ( z)的一级极点,由规则
Re s[ f ( z ), z0 ] lim ( z z0 ) f ( z )
z z0
Re s[ f ( z ), z0 ] lim ( z z0 ) f ( z )

(5)
事实上，由条件
f ( z ) cm ( z z0 ) m c2 ( z z0 ) 2 c1 ( z z0 ) 1 c0 c1 ( z z0 ) , (cm 0)
以( z z0 )m 乘上式两边 ,得
( z z0 ) m f ( z ) cm cm1 ( z z0 ) c1 ( z z0 ) m1 c0 ( z z0 ) m

当 m = 1时，式(5)即为式(4).
p( z ) , Q( z ) p( z ), Q( z )在z0 处解析,
规则III 设f ( z )
p( z0 ) 0 , Q( z0 ) 0 , Q' ( z0 ) 0，则
z0 是f ( z )的一级极点 ,且 p( z0 ) Re s[ f ( z ), z0 ] Q' ( z 0 ) ( 6)
c k 1
n
k
]
(3)
证明
用互不包含 , 互不相交的正向简单闭曲线ck (k 1,2,n)，将 c内的弧立奇点zk 围绕,
由复合闭路定理得：
f ( z)dz
c
c1
f ( z )dz f ( z )dz f ( z )dz
c2 cn

z变换留数计算法

z变换留数计算法
z变换留数计算法是z变换的一种计算方法，在计算z变换时，当极点处于单位圆上时，可以使用留数定理进行求解。

留数计算法的步骤如下：
1. 将z变换的极点表示为z=k，其中|k|=1
2. 利用留数定理，求出极点k处的留数res(k)
3. 根据留数定理，z变换的值等于所有极点留数的总和，即
Z(f(k)) = Σ res(k)
4. 最后，将得到的结果进行逆变换，以得到原始信号的时域表示
需要注意的是，在计算留数时，可以使用极点处的导数来计算留数，也可以使用主值来估算留数。

此外，在计算留数时，需要排除掉重根的情况，并且极点必须在信号的收敛域内。

总体来说，留数计算法是一种非常高效而又实用的z变换求解方法，可以在计算z变换时大大减少计算量和复杂度。

28.极点留数的计算

(z z0 )n f (z) cm (z z0 )nm L c1(z z0 )n1
c0(z z0 )n c1(z z0 )n1 L .
对上式求 n 1 阶导数, 得
dn1 dz n1
[(z

z0 )n
f
(z)]

(n

1)!c1+(含有
极点留数的计算
•法则1 如果 z0为 f (z)的1级极点, 那么
Re
s[
f
(
z
),
z0
]

lim[(
z z0
z

z0
)
f
(
z)].
证明由于z0是 f (z)的1级极点，所以在z0的
某个去心邻域内的Laurent级数展开式为
f (z) c1(z z0 )1 c0 c1(z z0 ) L .
1)! zz0
dn1 dz n1
[( z

z0 )n
f
( z )].
证明由于z0是 f (z)的m级极点，所以在z0的某个去心邻域内的Laurent级数展开式为
f (z) cm (z z0 )m c2(z z0 )2
因此
c1(z z0 )1 c0 c1(z z0 ) L ,
故 (z z0 ) f (z) c1 c0(z z0 ) c1(z z0 )2 L ,
所以 lim[( z z z0

z0 )
f
(z)]

c1

Res[
f
(z),
z0 ].
例1
求 f (z)

用留数计算积分例题

用留数计算积分例题留数理论的一个重要应用就是用来计算实函数的积分，我们先从复变函数的孤立奇点的分类将起：定义： f:D\rightarrow C 是一个全纯函数：当存在一个半径 r>0 时，有 K_{0,r}\left( z_{0}\right)\subset D 时。

这时称 z_{0} 为复变函数 f\left( z \right) 的一个孤立奇点。

现在假设 f 在K_{0,r}\left( z_{0} \right) 中展开点为 z_{0} 的Laurent 级数为：f\left( z \right)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}{a_{k}\left( z-z_{0} \right)^{k}}则有一下关于孤立奇点的定义：a) 当 \forall k<0:a_{k}=0 ,则 z_{0} 叫做可去奇点。

b) 当\exists m\in N:a_{-m}\ne0\wedge\forall k<-m:a_{k}=0 ,则 z_{0} 叫做m 阶极点。

c) 当z_{0} 既不是可去奇点也不是极点时，则z_{0}称为 f 的本质奇点。

对于该定义可以这样理解：a)可去奇点意味着可以在D\cup z_{0} 上找到一个全纯函数 g ，使得：f=g且g 在 z_{0} 处有定义。

这种 g 其实就是 f 在 z_{0}的 Taylor 级数。

\lim_{z \rightarrowz_{0}}{f\left( z\right)}<\inftyLaurent 级数不含主部分。

b)m 阶极点意味着可以在 D\cup z_{0}上找到一个全纯函数 g ，使得:f=\frac{g}{\left( z-z_{0}\right)^{m}}\lim_{z \rightarrowz_{0}}{f\left( z\right)}=\infty Laurent 级数含主部分的有限项（ m 为记就含有几项）。

留数计算规则

1 2
故
由留数定理得：
tanzdz 2i
k 1 n 2

z n
Re s(tanz ) 2i(
2n
) 4ni

如
(1)要灵活运用规则及洛朗级数展开来求留数，不要死套规则。
P ( z ) z sinz f (z) Q( z ) z6
由于p(0) 0

2
(cotz )' z k 1 csc2 z 0 1 zk 2 2 1 z k 为一级极点 ,由法则 III得 2 1 sinz 1 Re s[tanz , k ] ( k 0,1,) 2 (cosz )' z k
c0 c1 ( z z0 ) , (c m 0)
以( z z0 )m 乘上式两边 ,得
( z z 0 ) f ( z ) c m c m 1 ( z z 0 ) c 1 ( z z 0 )
m m 1
c0 ( z z 0 ) m
cos z dz 例3 计算 3 z 1 z cos z 解 f (z) 3 有一个 z 0的三级奇点 z 由规则
1 d2 3 Re s[ f ( z ),0] l i m [ z f ( z )] 2 z 0 ( 3 1)! dz 1 1 lim (cosz )'' 2 z 0 2

1 d5 1 1 ( z sinz ) lim( cos z ) 5 5! dz 5! z 0 5!
两边求 m 1阶导数得 d m 1 m {( z z ) f ( z )} ( m 1)!c1 m! ( z z0 ) 0 m 1 dz m 1 d lim m 1 {( z z0 )m f ( z )} ( m 1)!c1 , 移项得 (5)式. z z dz

数学物理方法留数定理

[( z z 0 ) P( z )]' P( z 0 ) = lim = . z z0 Q( z )' Q( z 0 )
12
三、在无穷远点的留数
1.定义设函数 f (z )在圆环域 R z +内解析，
C为圆环域内绕原点的任何一条正向简单闭曲线，
1 则称此定值那末积分 1 f ( z)dz 的值与C无关， 2 i C
1 z z = 6[ + L], z 3! 5!
1 z sin z Res ,0 = c1 = . 6 5! z
3
5
19
说明:在实际计算中应灵活运用计算规则. 如 z0 为 m 级极点，当 m 较大而导数又难以计算时, 可直接展开罗朗级数求 c1 来计算留数 .
23
z dz , C为正向圆周: z = 2 . 例5 计算积分 4 z 1 C z 在 z = 2 的外部, 除点外没有解函数 4 z 1
其他奇点. z z 4 1 dz = 2iRes f ( z ), C
z z 1
4
=z
3
1 1 1 4 z
=z
3
+ a0 ( z z0 )m + a1 ( z z0 )m +1 + L
9
两边求 m 1 阶导数,
d m 1 m 得 m 1 [( z z0 ) f ( z )] dz
= ( m 1)!a1 +(含有 z z0 正幂的项) d lim m 1 [( z z0 )m f ( z )] = ( m 1)!a1 , z z0 dz 所以 Res[ f ( z ), z0 ] = a1

数学物理方法留数定理

k =0

(
1 z
)k 4
(2 z )
z z 4 1 dz C
= 0.
24
与以下解法作比较 : z 有四个一级极点 1 , i 都被积函数 4 z 1 在圆周 z = 2 的内部 , 所以
z z 4 1 dz = 2iRes[ f ( z ),1] + Res[ f ( z ),1] C
Res[ f ( z ), z0 ] = lim ( z z0 ) f ( z ).
z z0
8
•规则2 如果 z0 为 f (z ) 的 m 级极点, 那么
1 d Res[ f ( z ), z0 ] = lim m 1 [( z z0 )m f ( z )]. ( m 1)! z z0 dz
k =1
[证毕]
14
说明: 由定理得
Res[ f ( z ), zk ] = Res[ f ( z ), ],
k =1
n

C
f ( z )dz = 2i Res[ f ( z ), zk ] k =1
= 2iRes[ f ( z ), ].
n
(留数定理)
计算积分
f ( z )dz
1 = . ( n 1)!
17
P ( z ) z sin z = 例2 求 f ( z ) = 在 z = 0 的留数. 6 Q( z ) z
分析
P (0) = P (0) = P (0) = 0 , P (0) 0 .
z = 0 是 z sin z 的三级零点
所以 z = 0 是 f ( z )的三级极点，由规则2得
= Res[ f ( z ), z1 ] + Res[ f ( z ), z2 ] + L + Res[ f ( z ), zn ]

《数学物理方法》3留数定理及其应用

1 n1 zn2 z
1）
z0 1 是f（z）的单极点
Re s f（1） lim（ z 1）f（z） 1
z1
n
[解2]
Re
s
f（1）
lzim1（ zn
1 1）
lzim1
1 nz n1
1 n
[例3] 求 f（z） 1 的极点及其留数
sin z
[解] z n（n 0， 1， 2，）
z0
z0 z 2i 2i 2
z0 0 是f（z）的三阶极点
Re
s
f（0）
lim
z0
1 2！
d2 dz 2
z3 f（z）
1 d2
lim
z0
2！
dz
2
1
z
2i
lim
z0
1 2！（z
2 2i）3
1 i
8i 8
[例2] [解1]
求
f（z）
1 zn 1
f（z）（z 1）（z
在z0=1的留数
f（z）
z n 是f（z）的单极点
Re
s
f（n）
zlimn（ z
n） 1
sin
z
lim
zn
（ z n）
（sin z）
lim
zn
1 cos
z
（
1）n
[例] 求
f（z）（szin
2z 1）3
ez 的极点及其留数
z1
[解] z0 1是f（z）的单极点
z0 1 是f（z）的三阶极点
zkdz （re i）kd（re i）
C
C
ir
k
1
2
e

《高等数学教学资料》第二节留数与留数定理

z
z4
dz 1
,
其中C
为正向圆周 z
解： ( z 1 )4 sin 1
z 1
(
z
1 )4 [
z
1 1
3!(
1 z 1 )3
5!(
1 z 1 )5
L
]
( z 1 )3 1 ( z 1 ) 1 L
3!
5!( z 1 )
Re
s[(
z
1 )4
sin
z
1 1
,1]
c1
1 5!
1 120
。
练习：求下列函数在有限奇点处的留数。 1 e2z
f(z)
f(1
)（记作 (
)
）， (
)
在原点
的邻域 0
1
R 解析，它的
Laurent
展开式为
(
)
f(1
) cn n
n
定义：
L
cm m
L
c1
c0
c1
L
cn
n
L
义：
1
2
f( 1 )L
cm m2 L
c1
c0
2
L
cn
n2
L
义：它在 0 的留数恰好是c1 ，故
11
定义： Re s[ f ( z ),] c1 Re s[ f ( ) 2 ,0].
2 i
m
j1
Re s[
f ( z ),bj
],
f ( z )dz 2i{
Re s[ f ( z ),bj ] Re s[ f ( z ),]},
j1
m
义：或 f ( z )dz 2i{ Re s[ f ( z ),bj ] Re s[ f ( z ),]}. j1

留数定理的计算及应用

留数及其应用摘要留数理论是复积分和复级数理论相结合的产物，利用留数定理可以把沿闭路的积分转化为计算孤立点处的留数．此外，在数学分析及实际问题中，往往一些被积函数的原函数不能用初等函数表示，有时即便可以，计算也非常复杂．我们利用留数定理可以把要求的积分转化为复变函数沿闭曲线的积分，从而把待求积分转化为留数计算．本文首先介绍留数定义及留数定理，然后针对具体不同的积分类型有不同的计算方法以及留数理论在定积分中的一些应用．关键词留数定理；留数计算；应用引言对留数理论的学习不仅是前面知识的延伸，更为对原函数不易直接求得的定积分和反常积分的求法提供了一个较为方便的方法．一. 预备知识孤立奇点1．设()f z 在点a 的某去心邻域内解析，但在点a 不解析，则称a 为f 的孤立奇点.例如sin zz，1z e 以0=z 为孤立奇点.z 以0=z 为奇点，但不是孤立奇点，是支点.11sinz 以0=z 为奇点（又由1sin0=z ，得1(1, 2...,)π==±±z k k 故0=z 不是孤立奇点） 2．设a 为()f z 的孤立奇点，则()f z 在a 的某去心邻域内，有1()()()，∞∞-===+-∑∑-nnnnn n f z c z a c z a 称()n=1∞-∑-nnc z a 为()f z 在点a 的主要部分，称()∞=-∑nnn z a c 为()f z 在点a 的正则部分，当主要部分为0时，称a 为()f z 的可去奇点；当主要部分为有限项时，设为(1)11(0)()()------+++≠---m mm m m c c c c z a z a z a称a 为()f z 的m 级极点；当主要部分为无限项时，称a 为本性奇点.二. 留数的概念及留数定理 1. 留数的定义设函数()f z 以有限点a 为孤立点，即()f z 在点a 的某个去心邻域0z a R <⋅<内解析，则积分()()1:,02f z dz z a R i ρρπΓΓ⋅=<<⎰为()f z 在点a 的留数，记为：()Re z as f z =．2. 留数定理介绍留数定理之前，我们先来介绍复周线的柯西积分定理：设D 是由复周线012C C C C --=+++…nC -所围成的有界连通区域，函数()f z 在D 内解析，在_D D C =+上连续，则()0Cf z dz =⎰．定理1[]1（留数定理）设()f z 在周线或复周线C 所范围的区域D 内，除12,,a a …,n a 外解析，在闭域_D D C =+上除12,,a a …,n a 外连续，则（ “大范围”积分） ()()12Re k nz a k Cf z dz i s f z π===∑⎰．（1）证明以k a 为心，充分小的正数k ρ为半径画圆周:k k z a ρΓ⋅=（1,2,k =…,n ）使这些圆周及内部均含于D ，并且彼此相互隔离，应用复周线的柯西定理得()()1knk Cf z dz f z dz =Γ=∑⎰⎰，由留数的定义，有()()2Re kkz a f z dz i s f z π=Γ=⎰．特别地，由定义得 ()2Re kkz a f z dz i s π=Γ=⎰，代入（1）式得 ()()12Re knz a k Cf z dz i s f z π===∑⎰．定理2 设a 为()f z 的n 阶极点，()()()nz f z z a ϕ=-，其中()z ϕ在点a 解析，()0a ϕ≠，则()()()()11!n z aa Res f z n ϕ-==-．这里符号()()0a ϕ代表()a ϕ，且有()()()()11lim n n z aa z ϕϕ--→=．推论3 设a 为()f z 的一阶极点，()()()z z a f z ϕ=-，则 ()()z aRes f z a ϕ==．推论4 设a 为()f z 的二阶极点，()()()2z z a f z ϕ=-，则 ()()'z aRes f z a ϕ==．3. 留数的引理引理1 设()f z 沿圆弧:i R S z Re θ= (12θθθ≤≤，R 充分大)上连续，且()lim R zf z λ→+∞=于R S 上一致成立(即与12θθθ≤≤中的θ无关)，则()()21limRS R f z dz i θθλ→+∞=-⎰．引理2(若尔当引理) 设函数()g z 沿半圆周:i R z Re θΓ= (0θπ≤≤，R 充分大)上连续，且()lim 0R g z →+∞=在R Γ上一致成立，则()()lim00Rimz R g z e dz m Γ→+∞=>⎰．引理3 (1)设a 为()f z 的n 阶零点，则a 必为函数()()'f z f z 的一阶极点，并且 ()()'z a f z Res n f z =⎡⎤=⎢⎥⎣⎦； (2)设b 为()f z 的m 阶极点，则b 必为函数()()'f z f z 的一阶极点，并且()()'z bf z Res m f z =⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦．三. 留数的计算1. 函数在极点的留数法则1：如果0z 为)(z f 的简单极点，则)()(lim ]),([Re 000z f z z z z f s z z -=-法则2：设)()()(z Q z P z f =，其中)(,)(z Q z P 在0z 处解析，如果0)(≠z P ，0z 为)(z Q 的一阶零点，则0z 为)(z f 的一阶极点，且)()(]),([Re 0z Q z P z z f s '=. 法则3：如果0z 为)(z f 的m 阶极点，则)]()[(lim !11]),([Re 01100z f z z dzd m z z f s m m m z z --=---）（. 2. 函数在无穷远点的留数定理 1 如果)(z f 在扩充复平面上只有有限个孤立奇点（包括无穷远点在内）为∞,,,21n z z z ，则)(z f 在各点的留数总和为零.关于在无穷远点的留数计算，我们有以下的规则.法则 4： 211Re [,]Re [(),0]s f z s f z z∞=-⋅（）. 例 1 求函数2()1ize f z z=+在奇点处的留数．解 ()f z 有两个一阶极点z i =±，于是根据（6.5）得2()Re (,)()22i P i e is f i Q i i e===-'2()Re (,)()22i P i e is f i e Q i i ---==='--例 2 求函数3cos ()zf z z=在奇点处的留数．解 ()f z 有一个三阶极点0z =，故由（6.7）得33001cos 11Re (,0)lim()lim(cos )222z z z s f z z z →→''=⋅=-=-四. 留数定理在定积分中的应用利用留数计算定积分活反常积分没有普遍的实用通法，我们只考虑几种特殊类型的积分．1. 形如()20cos ,sin f x x dx π⎰型的积分这里()cos ,sin f x x 表示cos ,sin x x 的有理函数，并且在[]0,2π上连续，把握此类积分要注意，第一：积分上下限之差为2π，这样当作定积分时x 从0经历变到2π，对应的复变函数积分正好沿闭曲线绕行一周．第二：被积函数是以正弦和余弦函数为自变量。

极点处留数的计算方法与技巧

极点处留数的计算方法与技巧作者：小结常水珍王华敏来源：《科教导刊·电子版》2020年第20期摘要本文将利用函数在极点的特征，对极点处的留数的计算方法进行分析，并结合函数在极点的去心邻域内洛朗级数展开式，给出复变函数的留数计算的又一计算技巧。

关键词极点留数邻域积分中图分类号：G642 文献标识码：A函数的留数的计算，是我们复变函数学习的重点和难点，留数的计算也提供了我们计算周线积分的又一方法。

因此，留数的计算方法研究，显得尤为重要。

孤立奇点的不同的特征，对应有该点处的留数的特殊的计算方法。

我们下面给出极点处的留数的计算技巧，方便学生掌握并应用它的结论求出相应点的留数解决其它问题。

根据留数的定义，运用极点的邻域内的洛朗级数展开式的的系数来求，是我们求留数的一般方法。

但很多函数展开过程比较复杂，我们希望根据极点的特征，寻找极点处的留数的求法。

下面我们分类寻找极点处留数的计算方法及使用技巧和关键点。

首先给出如下定理1、2。

定理1、2证明方法类似，我们仅给出定理2的证明，进而分析二者的各自的适用范围。

由例3、4可知，一般定理1都可以运用，但必须保证整个分式求导简单，且极限计算简单。

运用定理3，对分子分母各自求导，还是适当简化了运算，但也需要导数好求，才能快捷计算出答案，读者可以根据情况做出选择。

若极点的阶数更高一些呢，我們运用定理3，估计计算也比较复杂，期待以后能够找到更简单的计算方法。

参考文献[1] 钟玉泉.复变函数论[M].北京：高等教育出版社，2012.[2] 王见勇.无穷远点的留数计算及留数定理的推广[J].高等数学研究，2004（07）.[3] 张家骥等.浅析留数在积分中的应用[J].科技信息，2007，36（04）.。

极点处留数公式

极点处留数公式
《极点处留数公式》是数学中一个重要的概念。

它是一种利用函数极点处的值来确定函数行为的方法。

它可以帮助我们确定函数的极点，从而更好地理解函数的性质。

极点处留数公式是一个非常简单的公式，它可以帮助我们确定函数的极点。

它的公式如下：f（x）= a（x-x0）2+b，其中a为函数极点处的斜率，b为函数的常数项，x0为函数的极
点处的横坐标值。

极点处留数公式的优点是，它可以帮助我们快速确定函数的极点，从而更好地理解函数的性质。

它也可以帮助我们计算函数的极值，从而更好地研究函数的行为。

极点处留数公式是一个非常有用的数学工具，它可以帮助我们快速确定函数的极点，从而更好地理解函数的性质，计算函数的极值，从而更好地研究函数的行为。

m阶极点的留数公式

对于一个m阶极点，其留数公式为：
Res(f(z), 0) = (1/π)∫(f(z)/z)dz
其中，Res(f(z), 0)表示函数f(z)在极点处的留数，积分路径以极点为中心，半径趋于0。

这个公式是利用复变函数的留数定理推导出来的。

留数定理指出，一个复函数在闭合曲线上的积分等于其围道内所有奇点的留数之和。

对于一个m阶极点，其留数就是该点的m阶导数除以2πi的m次方。

因此，通过将围道内只有一个极点的情况进行特殊处理，就可以得到上述留数公式。

需要注意的是，这个公式只适用于极点处的留数计算，对于其他类型的奇点（如可去奇点、无穷远处的奇点等）需要采用不同的方法进行处理。

28.极点留数的计算

留数计算规则

计算留数的方法

第二节留数的计算方法

留数计算规则

留数的计算

留数的定义留数定理留数的计算规则无穷远点的留数

z变换留数计算法

28.极点留数的计算

用留数计算积分例题

留数计算规则

数学物理方法留数定理

数学物理方法留数定理

《数学物理方法》3留数定理及其应用

《高等数学教学资料》第二节 留数与留数定理

留数定理的计算及应用

极点处留数的计算方法与技巧

极点处留数公式

m阶极点的留数公式

《高等数学教学资料》第二节留数与留数定理