解三角形中的取值范围问题

解三角形中的取值范围问题

1、已知a ,b ,c 分别为ABC ∆的三个内角,,A B C 的对边，且2cos 2b C a c =-。

（1）求角B 的大小；

（2）若ABC ∆b 的长度的取值范围。

解析：（1）由正弦定理得2sin cos 2sin sin B C A C =-，在ABC ∆中，

sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C =+=+，所以sin (2cos 1)0C B -=。 又因为0,sin 0C C π<<>，所以1cos 2B =

，而0B π<<，所以3B π=

（2）因为1sin 2ABC S ac B ∆=

= 所以4ac = 由余弦定理得222222scos b a c ac B a c ac ac =+-=+-≥，即2

4b ≥，所以2b ≥

2、在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,已知cos (cos )cos 0C A A B +-=.

(1) 求角B 的大小;（2）若a +c =1,求b 的取值范围

【答案】解:(1)由已知得cos()cos cos cos 0A B A B A B -++= 即有sin sin cos 0A B A B =

因为sin 0A ≠,所以sin 0B B -=,又cos 0B ≠,所以tan B =, 又0B π<<,所以3B π=

. (2)由余弦定理,有2222cos b a c ac B =+-. 因为11,cos 2a c B +==

,有22113()24b a =-+. 又01a <<,于是有

2114b ≤<,即有112

b ≤<. 3、已知，满足．

（I ）将表示为的函数，并求的最小正周期；

（II ）已知分别为的三个内角对应的边长，若，且，求的取值范围．

4、已知向量,1)4x m =u r ，2(cos ,cos )44

x x n =r ，()f x m n =u r r g (1)若()1f x =，求cos()3x π

+的值；

(2)在ABC ∆中，角A B C 、、的对边分别是a b c 、、，且满足1cos 2a C c b +

=，求函数()f B 的取值范围. 【解析】

解：（1）()2111cos cos cos sin ,4442222262

x x x x x x f x m n π⎛⎫=⋅=+=++=++ ⎪⎝⎭Q

而()11,sin .262

x f x π⎛⎫=∴+= ⎪⎝⎭ 21cos cos 212sin .326262

x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+=+=-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ （2）22211cos ,,222a b c a C c b a c b ab +-+=∴⋅+=Q 即2221,cos .2

b c a bc A +-=∴= 又()0,,3A A π

π∈∴=Q 又20,,36262B B ππππ<<∴<+

5、已知锐角中内角、、的对边分别为、、，，且.

（Ⅰ）求角的值；

（Ⅱ）设函数，图象上相邻两最高点间的距离为，求的取值范围. 解：（Ⅰ）因为,由余弦定理知所以.

又因为,则由正弦定理得:,

所以,所以.

（Ⅱ）

由已知,则

因为,,由于,

所以, .

根据正弦函数图象,所以.

6、在中，内角、、的对边分别为、、，,32C ππ<< 且

sin 2sin sin 2b C a b A C =--。 （1）判断的形状；（2）若||2BA BC +=u u u r u u u r ，求BA BC ⋅u u u r u u u r 的取值范围。 答案：（1）sin sin 2,sin sin 2,22sin sin sin sin 2B C B C B C B C A B A C

π=∴=∴=+=--或，若2B C =，因为2,,()323C B B C πππππ<<∴<<∴+>舍2,,B C A C ABC π∴+=∴=∴∆为等腰三角形。 （2）222

2

2||2,2cos 4,cos a BA BC a c ac B B a -+=∴++=∴=u u u r u u u r ， 而2142cos cos 2,cos 1,1,,1233B C B a BA BC ⎛⎫=-∴<<∴<<∴⋅∈ ⎪⎝⎭u u u r u u u r ，