互斥事件(2)

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【数学课件】互斥事件有一个发生的概率(二)

【数学课件】互斥事件有一个发生的概率(二)

解一:A=两球颜色相同; B=两白球; C=两黑球
A=B+C 其中B、C互斥
∴P(A)=P(B+C)=
解二: A =两球颜色不同
C52 C82

C32 C82
0.357 0.107
0.464
P( A)

1
P(
A)

1
C51 C31 C84
1 0.536 0.464
例3:在20件产品中,有15件一级品5件二级品,从 中任取3件,其中至少有1件为二级品的概率是多少? 解法一:设A=恰有1件二级品; B=恰有2件二级品 C=恰有3件二级品,则
巩固:①课本P127练习
1答;⒈⑴是互斥事件(因为所取的2件产品中恰有1件 次品是指1件是次品、另1件是正品,它同2件全是次品 互斥),但不是对立事件(2件全是次品的对立事件为 其中含有正品)
⑵不是互斥事件(因“有次品”包括1件是次品、 另1件是正品和2件全是次品这两种结果) ⑶不是互斥事件 ⑷是互斥事件,也是对立事件。
⑶这样的事件A与B的概率关系如何呢?
①对立事件的概念: ⑴对于上述问题中的事件A与B,由于它 们是不可能同时发生,所以它们是互斥 事件;又由于摸出的1个球要么是红球 要么是白球,所以事件A与B必有一个发生 对于事件A和B,如果它们互斥,且其中必有一个要发生, 则称A和B为对立事件。
⑵事件A的对立事件通常记作 A
⑶在一次试验中,两个互斥事件有可能不发生,只有两个互 斥事件在一次试验中必有一个发生时,这样的两个互斥事件 才叫做对立事件,也就是说两个互斥事件不一定是对立事件 而两个对立事件必是互斥事件,即两个事件对立是这两个事 件互斥的充分不必要条件
⑷从集合的角度看,由事件 A 所含的结

互斥事件

互斥事件

互斥事件
地位作用:
“互斥事件”是北师大版数学(必修3)第三章中第2节的内容.<新课程标准>的要求是:通过实例,了解两个互斥事件的概率加法公式.虽然是了解的内容,但它为以后学习相互独立事件和n次独立重复试验做好铺垫。

因此这节课有着深化知识层面、拓展能力范围的作用,是本章的重点内容之一。

课时安排:
课标中安排了二课时,本节是第一课时。

重在研究概念的建构。

学情分析:
在本节课之前,学生们已经了解了随机事件的概率的意义,学习了等可能性事件的概率。

在这节课中我们主要是研究怎样从一些简单事件的概率计算来推算较复杂事件的概率。

教学目标:
知识目标:掌握互斥事件的概念,能判断两个事件是否为互斥事件,能求互斥事件至少有一个发生的概率。

能力目标:通过互斥事件的概率计算,进一步理解随机事件的概率的意义,提高学生分析问题、解决问题的能力。

情感目标:结合互斥事件的概念及其概率的计算,培养学生以辩证唯物主义,观点和用对立统一的思想分析问题的能力。

教学重点:利用互斥事件及对立事件概率的运算法则求随机事件的概
率。

教学难点:互斥事件及对立事件概率的计算。

教法选择:
以问题为主线,引导发现法。

学法指导:
实践探究与设问讨论相结合。

教学过程:
一. 实例引入,提出问题
回答问题,引出概念
二. 共同探究,寻找关系
三. 实例讲解巩固概念
四.练习
五. 系统归纳,巩固新知
六. 系统归纳,巩固新知
七.作业布置。

3.2.3.2互斥事件2-导学案

3.2.3.2互斥事件2-导学案

互斥事件2(导学案)使用说明:1.自学143~147页内容,提高自学能力;2.限时完成导学案的预习案部分,找出自己的疑惑和需要解决的问题,准备课上讨论探究,学有余力的学生可提前完成其他部分。

【学习目标】(1)区分互斥事件与对立事件;(2)用集合的观点理解互斥与对立事件;(3)注意一题多解,和方法的灵活性。

【重点难点】重点:概率的加法公式及其应用难点:事件的关系与运算相关知识:1.什么是互斥事件,什么是对立事件。

2. 互斥事件与对立事件的关系是什么?3. 如果事件A,B互斥,当事件A,B有一个发生,则P(A+B)=。

4. P(A)+P(A)=P(A+A)=.预习自测1.从一堆产品(其中正品与次品都多于2件)中任取2件,观察正品件数与次品件数,判断下列每件事件是不是互斥事件,如果是,再判断它们是不是对立事件。

(1)恰好有1件次品恰好有2件次品;(2)至少有1件次品和全是次品;(3)至少有1件正品和至少有1件次品;(4)至少有1件次品和全是正品;2.某人射击1次,命中7~10环的概率如表所示:命中环数10环9环8环7环概率0.12 0.18 0.28 0.32(1)求射击1次,至少命中7环的概率;(2)求射击1次,命中不足7环的概率.3.在一次抽奖活动中,中奖者必须从一个箱子中取出一个数字来决定他获得什么奖品。

5种奖品的编号如下:1)一次欧洲旅行;2)一辆摩托车;3)一套高保真音响;3)一台数字电视;5)一台微波炉。

(1)他获得去欧洲旅行的概率是多少?(2)他获得高保真音响或数字电视的概率是多少?(3)他不获得微波炉的概率是多少?基础知识探究班级联欢时,主持人拟出了如下一些节目:跳双人舞、独唱、朗诵等。

指定3个男生和2个女生来参与,把5个人分别编号为1,2,3,4,5,其中1,2,3号是男生,4,5号是女生。

将每个人的号分别写在5张相同的卡片上,并放入一个箱子中充分混合,每次从中随机地取出一张卡片,取出谁的编号谁就参与表演节目。

高中数学第2课时 互斥事件(2)人教版必修三

高中数学第2课时   互斥事件(2)人教版必修三

普通高中课程标准实验教科书—数学必修三[苏教版]§3.4第2课时 互斥事件(2)教学目标(1)了解互斥事件及对立事件的概念,能判断某两个事件是否是互斥事件,进而判断它们是否是对立事件.(2)了解两个互斥事件概率的加法公式,知道对立事件概率之和为1的结论.会用相关公式进行简单概率计算.(3)注意学生思维习惯的培养,在顺向思维受阻时,转而逆向思维. 教学重点互斥事件和对立事件的概念,互斥事件中有一个发生的概率的计算公式. 教学难点利用对立事件的概率间的关系把一个复杂事件的概率计算转化成求其对立事件的概率.教学过程一、复习回顾1.判别下列每对事件是不是互斥事件,如果是,再判别它们是不是对立事件.从一堆产品(其中正品与次品都多于2个)中任取2件,其中:(1)恰有1件次品和恰有2件正品;(2)至少有1件次品和全是次品;(3)至少有1件正品和至少有1件次品;(4)至少有1件次品和全是正品;答案:(互斥但不对立,不互斥,不互斥,互斥对立)2.在一个盒子内放有10个大小相同的小球,其中有7个红球、2个绿球、1个黄球,从中任取一个球,求:⑴得到红球的概率; ⑵得到绿球的概率; ⑶得到红球或绿球的概率; ⑷得到黄球的概率.(5) “得到红球”和“得到绿球”这两个事件A 、B 之间有什么关系,可以同时发生吗?(6) ⑶中的事件D “得到红球或者绿球”与事件A 、B 有何联系?答案:(1)107 (2)51 (3)109 (4)101 (5)互斥事件 (6))()()(B P A P D P +=. 二、数学运用1.例题例1.在一只袋子中装有7个红玻璃球,3个绿玻璃球.从中无放回地任意抽取两次,每次只取一个.试求:(1)取得两个红球的概率; (2)取得两个绿球的概率;(3)取得两个同颜色的球的概率; (4)至少取得一个红球的概率. (答案: (1)157 (2)151 (3)158 (4)1514) 例2.盒中有6只灯泡,其中2只次品,4只正品,有放回地从中任取两次,每次取一只,试求下列事件的概率:(1)取到的2只都是次品; (2)取到的2只中正品、次品各一只;(3)取到的2只中至少有一只正品.解:从6只灯泡中有放回地任取两只,共有36种不同取法. (1)取到的2只都是次品情况为4种.因而所求概率为91364=. (2)由于取到的2只中正品、次品各一只有两种可能:第一次取到正品,第二次取到次品;及第一次取到次品,第二次取到正品.因而所求概率为9423624=⨯⨯=P . (3)由于“取到的两只中至少有一只正品”是事件“取到的两只都是次品”的对立事件.因而所求概率为98911=-=P . 例3.从男女学生共有36名的班级中,任意选出2名委员,任何人都有同样的当选机会.如果选得同性委员的概率等于21,求男女生相差几名? 解:设男生有x 名,则女生有x -36名.选得2名委员都是男性的概率为3536)1(⨯-x x . 选得2名委员都是女性的概率为3536)35)(36(⨯--x x . 上两种选法是互斥的,又选得同性委员的概率等于21,得213536)35)(36(3536)1(=⨯--+⨯-x x x x .解得15=x 或21=x即男生有15名,女生有36-15=21名,或男生有21名,女生有36-21=15名.总之,男女生相差6名.2.练习1.若A 表示四件产品中至少有一件是废品的事件,B 表示废品不少于两件的事件,试问对立事件A 、B 各表示什么?答案:(A 表示四件产品中没有废品的事件;B 表示四件产品中没有废品或只有一件废品的事件.)2.下列说法中正确的是( D )A .事件A 、B 中至少有一个发生的概率一定比A 、B 中恰有一个发生的概率大B .事件A 、B 同时发生的概率一定比事件A 、B 恰有一个发生的概率小C .互斥事件一定是对立事件,对立事件不一定是互斥事件D .互斥事件不一定是对立事件,对立事件一定是互斥事件3.回答下列问题:(1)甲、乙两射手同时射击一目标,甲的命中率为0.65,乙的命中率为0.60,那么能否得出结论:目标被命中的概率等于0.65+0.60=1.25,为什么?(2)一射手命中靶的内圈的概率是0.25,命中靶的其余部分的概率是0.50,那么能否得出结论:目标被命中的概率等于0.25+0.50=0.75,为什么?(3)两人各掷一枚硬币,“同时出现正面”的概率可以算得为221.由于“不出现正面”是上述事件的对立事件,所以它的概率等于432112=-这样做对吗?说明道理.解: (1)不能.因为甲命中目标与乙命中目标两事件不互斥.(2)能.因为命中靶的内圈和命中靶的其余部分是互斥事件.(3)不对.因为“不出现正面”与“同时出现正面”不是对立事件,故其概率和不为1.4. 某市派出甲、乙两支球队参加全省足球冠军赛.甲乙两队夺取冠军的概率分别是73和41.试求该市足球队夺得全省足球冠军的概率.(2819) 5. 在房间里有4个人.问至少有两个人的生日是同一个月的概率是多少?(9641) 6.某单位36人的血型类别是:A 型12人,B 型10人,AB 型8人,O 型6人.现从这36人中任选2人,求此2人血型不同的概率.(4534) 五、回顾小结:1.互斥事件和对立事件的概念;2.互斥事件中有一个发生的概率的计算公式;3.对立事件的概率间的关系.六、课外作业:课本第109页第5,7题、第112页第3,9题.。

第3章 2.3 互斥事件

第3章  2.3 互斥事件

2.3 互斥事件学习目标 1.了解互斥事件、事件A +B 及对立事件的概念和实际意义.2.能根据互斥事件和对立事件的定义辨别一些事件是否互斥、对立.3.学会用互斥事件概率加法公式计算一些事件的概率.知识点一 互斥事件思考 从一副去掉大小王的扑克牌中任抽一张,“抽到红桃”与“抽到方块”能否同时发生? 答案 不能.梳理 在一个随机试验中,我们把一次试验下不能同时发生的两个事件A 与B 称作互斥事件.知识点二 事件A +B给定事件A ,B ,我们规定A +B 为一个事件,事件A +B 发生是指事件A 和事件B 至少有一个发生.知识点三 互斥事件概率加法公式思考 一枚均匀的骰子抛掷一次,记事件A =“向上的点数大于2”;B =“向上的点数大于3”;则P (A +B )是否等于P (A )+P (B )? 答案 A +B 即:向上的点数大于2, ∴P (A +B )=46=23,而P (A )=46,P (B )=36,P (A )+P (B )=76≠P (A +B ).梳理 互斥事件概率加法公式(1)在一个随机试验中,如果随机事件A 和事件B 是互斥事件,那么有P (A +B )=P (A )+P (B ). (2)如果随机事件A 1,A 2,…,A n 中任意两个是互斥事件,那么有P (A 1+A 2+…+A n )=P (A 1)+P (A 2)+…+P (A n ). 知识点四 对立事件思考从一副去掉大小王的扑克牌中任抽一张,记A=“抽到红色牌”;B=“抽到黑色牌”,则A,B的关系与知识点一思考中两事件关系有何异同?答案共同点:都不能同时发生;不同点:在一次试验中,A,B必有一个发生.梳理在同一次试验中,不能同时发生且必有一个发生的两个事件叫作互为对立事件,事件A的对立事件记作A;对立事件概率公式P(A)=1-P(A).1.若两个事件是互斥事件,则这两个事件是对立事件.(×)2.若两个事件是对立事件,则这两个事件也是互斥事件.(√)3.若两个事件是对立事件,则这两个事件概率之和为1.(√)类型一事件的关系与判断例1判断下列各对事件是不是互斥事件,并说明理由.某小组有3名男生和2名女生,从中任选2名同学去参加演讲比赛,其中:(1)“恰有1名男生”和“恰有2名男生”;(2)“至少有1名男生”和“至少有1名女生”;(3)“至少有1名男生”和“全是男生”;(4)“至少有1名男生”和“全是女生”.解(1)是互斥事件.理由是:在所选的2名同学中,“恰有1名男生”实质是选出的是“1名男生和1名女生”,它与“恰有2名男生”不可能同时发生,所以是一对互斥事件.(2)不是互斥事件.理由是:“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“2名都是男生”两种结果.“至少有1名女生”包括“1名女生、1名男生”和“2名都是女生”两种结果,它们可能同时发生.(3)不是互斥事件.理由是:“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“2名都是男生”,这与“全是男生”可能同时发生.(4)是互斥事件.理由是:“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“2名都是男生”两种结果,它和“全是女生”不可能同时发生.反思与感悟如果A,B是两个互斥事件,反映在集合上,是表示A,B这两个事件所含结果组成的集合交集为空集.跟踪训练1一个射手进行一次射击,试判断下列事件哪些是互斥事件?哪些是对立事件?事件A:命中环数大于7环;事件B:命中环数为10环;事件C:命中环数小于6环;事件D:命中环数为6,7,8,9,10环.解A与C互斥(不可能同时发生),B与C互斥,C与D互斥,C与D是对立事件(至少一个发生).类型二概率的加法公式例2从一箱产品中随机地抽取一件产品,设事件A=“抽到的是一等品”,事件B=“抽到的是二等品”,事件C=“抽到的是三等品”,且P(A)=0.7,P(B)=0.1,P(C)=0.05.求下列事件的概率:(1)事件D=“抽到的是一等品或三等品”;(2)事件E=“抽到的是二等品或三等品”.解(1)事件D即事件A+C,因为事件A=“抽到的是一等品”和事件C=“抽到的是三等品”是互斥事件,由互斥事件的概率加法公式知,P(D)=P(A+C)=P(A)+P(C)=0.7+0.05=0.75.(2)事件E即事件B+C,因为事件B=“抽到的是二等品”和事件C=“抽到的是三等品”是互斥事件,由互斥事件的概率加法公式知,P(E)=P(B+C)=P(B)+P(C)=0.1+0.05=0.15.反思与感悟在求某些较为复杂事件的概率时,先将它分解为一些较为简单的、并且概率已知(或较容易求出)的彼此互斥的事件,然后利用概率的加法公式求出概率.因此互斥事件的概率加法公式具有“化整为零、化难为易”的功效,但需要注意的是使用该公式时必须检验是否满足它的前提条件“彼此互斥”.跟踪训练2在数学考试中,小明的成绩在90分以上的概率是0.18,在80~89分的概率是0.51,在70~79分的概率是0.15,在60~69分的概率是0.09,计算小明在数学考试中取得80分以上成绩的概率和小明考试及格的概率.解 分别记小明的成绩在90分以上,在80~89分,在70~79分,在60~69分为事件B ,C ,D ,E ,这四个事件是彼此互斥的.根据概率的加法公式,小明的考试成绩在80分以上的概率是P (B +C )=P (B )+P (C )=0.18+0.51=0.69.小明考试及格的概率为P (B +C +D +E )=P (B )+P (C )+P (D )+P (E )=0.18+0.51+0.15+0.09=0.93.类型三 对立事件的概率例3 某学校成立了数学、英语、音乐3个课外兴趣小组,3个小组分别有39,32,33个成员,一些成员参加了不止1个小组,具体情况如图所示,随机选取1个成员:(1)他至少参加2个小组的概率是多少? (2)他参加不超过2个小组的概率是多少?解 (1)从题图可以看出,3个课外兴趣小组总人数为60.用A 表示事件“选取的成员只参加1个小组”,则A 就表示“选取的成员至少参加2个小组”, 所以P (A )=1-P (A )=1-6+8+1060=35=0.6.因此,随机选取1个成员至少参加2个小组的概率是0.6. (2)用B 表示事件“选取的成员参加3个小组”, 则B 就表示“选取的成员参加不超过2个小组”, 所以P (B )=1-P (B )=1-860=1315.所以随机选取的1个成员参加不超过2个小组概率等于1315.反思与感悟 求复杂事件的概率通常有两种方法: 一是将所求事件转化成彼此互斥事件的和事件;二是先求对立事件的概率,进而再求所求事件的概率.跟踪训练3某战士射击一次,若事件A=“中靶”的概率为0.95,事件B=“中靶环数大于5”的概率为0.7.(1)A的概率为多少?(2)事件C=“中靶环数小于6”的概率为多少?(3)事件D=“中靶环数大于0且小于6”的概率是多少?解(1)因为A与A互为对立事件,所以P(A)=1-P(A)=0.05.(2)事件B与事件C互为对立事件,所以P(C)=1-P(B)=0.3.(3)事件D的概率应等于中靶环数小于6的概率减去未中靶的概率,即P(D)=P(C)-P(A)=0.3-0.05=0.25.1.给出以下结论:①互斥事件一定对立;②对立事件一定互斥;③互斥事件不一定对立;④事件A与B的和事件的概率一定大于事件A的概率;⑤事件A与B互斥,则有P(A)=1-P(B).其中正确命题的个数为()A.0 B.1 C.2 D.3答案 C解析对立必互斥,互斥不一定对立,∴②③正确,①错;又当A+B=A时,P(A+B)=P(A),∴④错;只有当A与B为对立事件时,才有P(A)=1-P(B),∴⑤错.2.把语文、数学、物理、化学四本书随机地分给甲、乙、丙、丁四位同学.每人一本,则事件“甲同学分得语文书”与事件“乙同学分得语文书”是()A .对立事件B .不可能事件C .互斥但不对立事件D .以上答案都不对答案 C解析 由于只有一本语文书,甲、乙两同学不可能同时得到,所以这两个事件为互斥事件.又因为甲、乙可以都得不到语文书,所以这两事件不是对立事件.3.在同一事件下,若P (A +B )=P (A )+P (B )=1,事件A 与事件B 的关系是( ) A .互斥不对立 B .对立不互斥 C .互斥且对立 D .以上答案都不对答案 C4.从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球,那么,互斥而不对立的事件是( ) A .至少有一个红球;都是红球 B .至少有一个红球;都是白球 C .至少有一个红球;至少有一个白球 D .恰有一个红球;恰有两个红球 答案 D解析 可以先考虑哪几对事件是互斥的,然后从中排除还是对立的事件后,即可获得互斥而不对立的事件.在各选项所涉及的四对事件中,仅选项B 和D 中的两对事件是互斥事件.同时,又可以发现选项B 所涉及事件是一对对立事件,而D 中的这对事件可以都不发生,故不是对立事件. 5.甲、乙两队进行足球比赛,若两队战平的概率是14,乙队胜的概率是13,则甲队胜的概率是________. 答案512解析 记甲队胜为事件A , 则P (A )=1-14-13=512.1.互斥事件与对立事件的判定(1)利用基本概念:①互斥事件不可能同时发生;②对立事件首先是互斥事件,且必须有一个要发生.(2)利用集合的观点来判断:设事件A与B所含的结果组成的集合分别是A,B.①事件A与B 互斥,即集合A∩B=∅;②事件A与B对立,即集合A∩B=∅,且A∪B=I,也即A=∁I B 或B=∁I A;③对互斥事件A与B的和A+B,可理解为集合A∪B.2.运用互斥事件的概率加法公式解题时,首先要分清事件之间是否互斥,同时要学会把一个事件分拆为几个互斥事件,做到不重不漏,分别求出各个事件的概率,然后用加法公式求出结果.3.求复杂事件的概率通常有两种方法:一是将所求事件转化成彼此互斥的事件的和;二是先求其对立事件的概率,然后再运用公式求解.如果采用方法一,一定要将事件分拆成若干互斥的事件,不能重复和遗漏;如果采用方法二,一定要找准其对立事件,否则容易出现错误.一、选择题1.P(A)=0.1,P(B)=0.2,则P(A+B)等于()A.0.3 B.0.2C.0.1 D.不确定答案 D解析由于不能确定A与B是否互斥,所以P(A+B)的值不能确定.2.对同一事件来说,若事件A 是必然事件,事件B 是不可能事件,则事件A 与事件B 的关系是( ) A .互斥不对立 B .对立不互斥 C .互斥且对立 D .不互斥、不对立答案 C解析 必然事件与不可能事件不可能同时发生,但必有一个发生,故事件A 与事件B 的关系是互斥且对立.3.从1,2,…,9中任取两个数,其中:①恰有一个偶数和恰有一个奇数;②至少有一个是奇数和两个都是奇数;③至少有一个奇数和两个都是偶数;④至少有一个奇数和至少有一个偶数.在上述几对事件中是对立事件的是( ) A .① B .②④ C .③ D .①③ 答案 C解析 从1,2,…,9中任取两个数,有以下三种情况:(1)两个奇数;(2)两个偶数;(3)一个奇数和一个偶数.①中“恰有一个偶数”和“恰有一个是奇数”是同一个事件,因此不互斥也不对立;②中“至少有一个是奇数”包括“两个都是奇数”这个事件,可以同时发生,因此不互斥也不对立;④中“至少有一个奇数”和“至少有一个偶数”,可以同时发生,因此不互斥也不对立;③中是对立事件,故选C.4.从一批羽毛球产品中任取一个,其质量小于4.8 g 的概率为0.3,质量小于4.85 g 的概率为0.32,那么质量在4.8~4.85(g)范围内的概率是( ) A .0.62 B .0.38 C .0.02 D .0.68 答案 C解析 设“质量小于4.8g ”为事件A ,“质量小于4.85 g ”为事件B ,“质量在4.8 g ~4.85 g ”为事件C ,则A +C =B ,且A ,C 为互斥事件,所以P (B )=P (A +C )=P (A )+P (C ),则P (C )=P (B )-P (A )=0.32-0.3=0.02.5.现有语文、数学、英语、物理和化学共5本书,从中任取1本,取出的是理科书的概率为( )A.15B.25C.35D.45 答案 C解析 记取到语文、数学、英语、物理、化学书分别为事件A ,B ,C ,D ,E ,则A ,B ,C ,D ,E 互斥,取到理科书的概率为事件B ,D ,E 概率的和. ∴P (B +D +E )=P (B )+P (D )+P (E )=15+15+15=35.6.某城市2017年的空气质量状况如下表所示:其中污染指数T ≤50时,空气质量为优;50<T ≤100时,空气质量为良;100<T ≤150时,空气质量为轻微污染,该城市2017年空气质量达到良或优的概率为( ) A.35 B.1180 C.119 D.56 答案 A解析 由于空气质量达到良或优包含污染指数T ≤100,由互斥事件概率的加法公式,得该城市2017年空气质量达到良或优的概率为110+16+13=35.7.掷一枚骰子的试验中,出现各点的概率都为16.事件A 表示“小于5的偶数点出现”,事件B 表示“小于5的点数出现”,则一次试验中,事件A +B (B 表示事件B 的对立事件)发生的概率为( ) A.13 B.12 C.23 D.56 答案 C解析 由题意知,B 表示“大于或等于5的点数出现”, 事件A 与事件B 互斥,由概率的加法计算公式, 可得P (A +B )=P (A )+P (B )=26+26=46=23.8.在5件产品中,有3件一级品和2件二级品,从中任取2件,下列事件中概率为710的是( )A .都是一级品B .都是二级品C .一级品和二级品各1件D .至少有1件二级品 答案 D解析基本事件总数为10,2件都是一级品包含的基本事件有3种,因此至少有1件二级品的基本事件有7种,故“至少有1件二级品”的概率为710.二、填空题9.同时抛掷两枚骰子,没有5点或6点的概率为49,则至少有一个5点或6点的概率是________.答案 59解析 记“同时抛掷两枚骰子,没有5点或6点”的事件为A ,则P (A )=49,至少有一个5点或6点的事件为B .则A 与B 是对立事件,所以P (B )=1-P (A )=1-49=59. 故至少有一个5点或6点的概率为59. 10.盒子里装有6个红球,4个白球,从中任取3个球.设事件A 表示“3个球中有1个红球,2个白球”,事件B 表示“3个球中有2个红球,1个白球”.已知P (A )=310,P (B )=12,则“3个球中既有红球又有白球”的概率为________.答案 45解析 记事件C 为“3个球中既有红球又有白球”,则它包含事件A “3个球中有1个红球,2个白球”和事件B “3个球中有2个红球,1个白球”,而且事件A 与事件B 是互斥的,所以P (C )=P (A +B )=P (A )+P (B )=310+12=45. 11.在一次教师联欢会上,到会的女教师比男教师多12人,从这些教师中随机挑选一人表演节目,若选中男教师的概率为920,则参加联欢会的教师共有________人. 答案 120解析 可设参加联欢会的教师共有n 人,由于从这些教师中选一人,“选中男教师”和“选中女教师”两个事件是对立事件,所以选中女教师的概率为1-920=1120. 再由题意,知1120n -920n =12,解得n =120. 三、解答题12.某公务员去开会,他乘火车、轮船、汽车、飞机去的概率分别为0.3,0.2,0.1,0.4.(1)求他乘火车或乘飞机去的概率;(2)求他不乘轮船去的概率;(3)如果他乘某种交通工具的概率为0.5,请问他有可能乘哪种交通工具?解 (1)记“他乘火车去”为事件A 1,“他乘轮船去”为事件A 2,“他乘汽车去”为事件A 3,“他乘飞机去”为事件A 4,这四个事件不可能同时发生,故它们彼此互斥.故P (A 1+A 4)=P (A 1)+P (A 4)=0.3+0.4=0.7.所以他乘火车或乘飞机去的概率为0.7.(2)设他不乘轮船去的概率为P ,则P =1-P (A 2)=1-0.2=0.8,所以他不乘轮船去的概率为0.8.(3)由于P (A 1)+P (A 2)=0.3+0.2=0.5,P (A 3)+P (A 4)=0.1+0.4=0.5,故他可能乘火车或乘轮船去,也有可能乘汽车或乘飞机去.13.玻璃盒里装有红球、黑球、白球、绿球共12个,从中任取1球,设事件A 为“取出1个红球”,事件B 为“取出1个黑球”,事件C 为“取出1个白球”,事件D 为“取出1个绿球”.已知P (A )=512,P (B )=13,P (C )=16,P (D )=112. (1)求“取出1个球为红球或黑球”的概率;(2)求“取出1个球为红球或黑球或白球”的概率.解 方法一 (1)因为事件A ,B ,C ,D 彼此为互斥事件,所以“取出1个球为红球或黑球”的概率为P (A +B )=P (A )+P (B )=512+13=34. (2)“取出1个球为红球或黑球或白球”的概率为P (A +B +C )=P (A )+P (B )+P (C )=512+13+16=1112. 方法二 (1)“取出1个球为红球或黑球”的对立事件为“取出1个球为白球或绿球”,即A +B 的对立事件为C +D ,所以P (A +B )=1-P (C +D )=1-P (C )-P (D )=1-16-112=34,即“取出1个球为红球或黑球”的概率为34. (2)“取出1个球为红球或黑球或白球”的对立事件为“取出1个球为绿球”,即A +B +C 的对立事件为D ,所以P (A +B +C )=1-P (D )=1-112=1112, 即“取出1个球为红球或黑球或白球”的概率为1112.四、探究与拓展14.事件A ,B 互斥,它们都不发生的概率为25,且P (A )=2P (B ),则P (A )=________. 答案 35解析 由题意知P (A +B )=P (A )+P (B )=1-25=35.又P (A )=2P (B ),联立方程组解得P (A )=25,P (B )=15,故P (A )=1-P (A )=35. 15.袋中装有红球、黑球、黄球、绿球共12个.从中任取一球,取到红球的概率是13,取到黑球或黄球的概率是512,取到黄球或绿球的概率是512.试求取到黑球、黄球、绿球的概率各是多少.解 从袋中任取一球,记事件“取到红球”“取到黑球”“取到黄球”和“取到绿球”分别为A ,B ,C ,D ,则事件A ,B ,C ,D 显然是两两互斥的. 由题意,得⎩⎪⎨⎪⎧ P (A )=13,P (B +C )=512,P (C +D )=512,P (A +B +C +D )=1,即⎩⎪⎨⎪⎧ P (B )+P (C )=512,P (C )+P (D )=512,13+P (B )+P (C )+P (D )=1,解得⎩⎪⎨⎪⎧ P (B )=14,P (C )=16,P (D )=14, 故取到黑球的概率是14,取到黄球的概率是16,取到绿球的概率是14.。

随机事件的互斥事件和独立事件

随机事件的互斥事件和独立事件

随机事件的互斥事件和独立事件1. 互斥事件1.1 定义互斥事件(Mutually Exclusive Events)指的是两个事件不可能同时发生。

用数学符号表示为:A ∩ B = ∅,即事件A和事件B的交集为空集。

1.2 性质(1)完备性:对于任意事件A,有P(A) = P(A ∩ B’) + P(A ∩ B),其中B’为事件B的补集。

(2)互斥事件的概率公式:若A1, A2, …, An为互斥事件,则P(A1 ∪ A2 ∪ … ∪ An) = P(A1) + P(A2) + … + P(An)。

1.3 应用互斥事件在实际生活中有很多应用,如在抽奖活动中,中奖和不中奖这两个事件就是互斥的。

在统计分析中,也可以利用互斥事件来计算概率。

2. 独立事件2.1 定义独立事件(Independent Events)指的是两个事件的发生与否互不影响。

用数学符号表示为:P(A ∩ B) = P(A)P(B)。

2.2 性质(1)组合性:对于任意事件A和B,有P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)。

(2)独立事件的乘法公式:若A1, A2, …, An和B1, B2, …, Bm为独立事件,则P(A1 ∩ B1 ∩ … ∩ An ∩ Bm) = P(A1)P(B1) … P(An)P(Bm)。

2.3 应用独立事件在实际生活中也有很多应用,如在投掷两个骰子的情况下,第一个骰子出现1点,第二个骰子出现2点的概率就是独立事件。

在统计分析中,独立事件可以用来计算联合概率。

3. 互斥事件与独立事件的区别与联系3.1 区别(1)定义不同:互斥事件指的是两个事件不可能同时发生,而独立事件指的是两个事件的发生与否互不影响。

(2)概率公式不同:互斥事件的概率公式为P(A ∩ B’) + P(A ∩ B),独立事件的概率公式为P(A)P(B)。

3.2 联系(1)互补事件:互斥事件和独立事件都可以看作是互补事件。

高中数学 第3章 概率 §2 2.3 互斥事件数学教案

高中数学 第3章 概率 §2 2.3 互斥事件数学教案

2.3 互斥事件1.互斥事件的定义在一个随机试验中,我们把一次试验下不能同时发生的两个事件A与B称作互斥事件.2.事件A与B至少有一个发生给定事件A,B,我们规定A+B为一个事件,事件A+B发生是指事件A和事件B至少有一个发生.根据上述定义推广可得:事件A1+A2+…+A n表示在一次随机试验中,事件A1,事件A2,…,事件A n中至少有一个发生.3.互斥事件的概率加法公式一般地,如果事件A,B互斥,那么事件A+B发生(即A,B中至少有一个发生)的概率等于事件A,B分别发生的概率的和,即P(A+B)=P(A)+P(B).这个公式称为互斥事件的概率加法公式.如果事件A1,A2,…,A n彼此互斥,那么事件A1+A2+…+A n发生(即A1,A2,…,A n中至少有一个发生)的概率,等于这n个事件分别发生的概率的和,即P(A1+A2+…+A_n)=P(A1)+P(A2)+…+P(A n).二、对立事件及其概率的求法公式1.定义在每一次试验中,如果两个事件A与B不能同时发生,并且一定有一个发生,那么事件A与B称作是对立事件,事件A的对立事件记为A.2.性质P(A)+P(A)=1,即P(A)=1-P(A).思考:(1)在掷骰子的试验中,事件A={出现的点数为1},事件B={出现的点数为奇数},事件A与事件B应有怎样的关系?(2)判断两个事件是对立事件的条件是什么?[提示](1)因为1为奇数,所以A⊆B.(2)①看两个事件是不是互斥事件;②看两个事件是否必有一个发生.若满足这两个条件,则是对立事件;否则不是.1.对同一事件来说,若事件A是必然事件,事件B是不可能事件,则事件A与事件B 的关系是()A.互斥不对立B.对立不互斥C.互斥且对立D.不互斥、不对立C[必然事件与不可能事件不可能同时发生,但必有一个发生,故事件A与事件B的关系是互斥且对立.]2.从一批产品中取出三件产品,设A={三件产品全不是次品},B={三件产品全是次品},C={三件产品有次品,但不全是次品},则下列结论哪个是正确的() A.A与C互斥B.B与C互斥C.任何两个都互斥D.任何两个都不互斥C[由题意可知,事件A,B,C两两不可能同时发生,因此两两互斥.]3.从1,2,3,…,9中任取两数,其中:①恰有一个偶数和恰有一个奇数;②至少有一个奇数和两个都是奇数;③至少有一个奇数和两个都是偶数;④至少有一个奇数和至少有一个偶数.在上述事件中,是对立事件的是()A.①B.②④C.③D.①③C[从1~9中任取两个数,有以下三种情况.(1)两个均为奇数,(2)两个均为偶数,(3)一个奇数和一个偶数,故③为对立事件.]4.从几个数中任取实数x,若x∈(-∞,-1]的概率是0.3,x是负数的概率是0.5,则x∈(-1,0)的概率是________.0.2[设“x∈(-∞,-1]”为事件A,“x是负数”为事件B,“x∈(-1,0)”为事件C,由题意知,A,C为互斥事件,B=A+C,∴P(B)=P(A)+P(C),P(C)=P(B)-P(A)=0.5-0.3=0.2.]互斥事件与对立事件的判断每对事件是不是互斥事件,如果是,再判断它们是不是对立事件.(1)恰有1名男生与恰有2名男生;(2)至少1名男生与全是男生;(3)至少1名男生与全是女生.[解]从3名男生和2名女生中任选2名同学有3类结果:两男或两女或一男一女.(1)因为恰有1名男生与恰有2名男生不可能同时发生,所以它们是互斥事件但不是对立事件;(2)当恰有2名男生时,至少1名男生与全是男生同时发生,所以它们不是互斥事件.(3)因为至少1名男生与全是女生不可能同时发生,所以它们是互斥事件,由于它们必有一个发生,所以它们是对立事件.1.判断两个事件是否为互斥事件,主要看它们能否同时发生.若能同时发生,则这两个事件不是互斥事件;若不能同时发生,则这两个事件是互斥事件.2.判断两个事件是否为对立事件,主要看是否同时满足两个条件:一是不能同时发生;二是必有一个发生.这两个条件同时成立,那么这两个事件是对立事件,只要有一个条件不成立,那么这两个事件就不是对立事件.[跟进训练]1.(1)抛掷一枚骰子,记事件A为“落地时向上的数是奇数”,事件B为“落地时向上的数是偶数”,事件C为“落地时向上的数是2的倍数”,事件D为“落地时向上的数是2或4”,则下列每对事件是互斥事件但不是对立事件的是()A.A与B B.B与CC.A与D D.B与D(2)一个均匀正方体玩具的各个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6.将这个玩具向上抛掷1次,设事件A表示向上的一面出现奇数点,事件B表示向上的一面出现的点数不超过3,事件C 表示向上的一面出现的点数不小于4,则下列结论正确的序号为________.①A与B是互斥而非对立事件;②A与B是对立事件;③B与C是互斥而非对立事件;④B与C是对立事件.(3)从装有2个红球和2个白球(球除颜色外其他均相同)的口袋中任取2个球,观察红球个数和白球个数,判断下列每对事件是不是互斥事件,如果是,再判断它们是不是对立事件.①至少有1个白球,都是白球;②至少有1个白球,至少有一个红球;③至少有1个白球,都是红球.[解](1)C(2)④[(1)A与D互斥,但不对立.(2)一个均匀正方体玩具的各个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6.将这个玩具向上抛掷1次,所得到的基本事件有6种:得到的点数为1点、得到的点数为2点、得到的点数为3点、得到的点数为4点、得到的点数为5点、得到的点数为6点.事件A包含的结果有得到的点数为1点、得到的点数为3点、得到的点数为5点,事件B包含的结果有得到的点数为1点、得到的点数为2点、得到的点数为3点,事件C包含的结果有得到的点数为4点、得到的点数为5点、得到的点数为6点,所以B与C是对立事件.故填④.](3)解:①不是互斥事件.因为“至少有1个白球”即“1个白球1个红球或两个白球”和“都是白球”可以同时发生,所以不是互斥事件.②不是互斥事件.因为“至少有1个白球”即“1个白球1个红球或2个白球”,“至少有1个红球”即“1个红球1个白球或2个红球”,两个事件可以同时发生,故不是互斥事件.③是互斥事件也是对立事件.因为“至少有1个白球”和“都是红球”不可能同时发生,且必有一个发生,所以是互斥事件也是对立事件.互斥事件的概率 得到红球的概率是13,得到黑球或黄球的概率是512,得到黄球或绿球的概率也是512. (1)求得到黑球、得到黄球及得到绿球的概率;(2)求得到的小球既不是黑球也不是绿球的概率.[思路探究] 从12球中任取一球,取到红球、黑球、白球互斥,所以可用互斥事件概率的加法公式求解.[解] (1)从袋中任取一球,记事件A 为“得到红球”,B 为“得到黑球”,C 为“得到黄球”,D 为“得到绿球”,则事件A ,B ,C ,D 两两互斥.由已知P (A )=13, P (B +C )=P (B )+P (C )=512, P (C +D )=P (C )+P (D )=512, ∴P (B +C +D )=1-P (A )=1-13=23. ∵B 与C +D ,B +C 与D 也互斥,∴P (B )=P (B +C +D )-P (C +D )=23-512=14, P (D )=P (B +C +D )-P (B +C )=23-512=14, P (C )=1-P (A +B +D )=1-(P (A )+P (B )+P (D ))=1-⎝⎛⎭⎫13+14+14 =1-56=16. 故得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率分别是14,16,14. (2)∵得到的球既不是黑球也不是绿球,∴得到的球是红球或黄球,即事件A +C ,∴P (A +C )=P (A )+P (C )=13+16=12, 故得到的小球既不是黑球也不是绿球的概率为12. 1.解决本题的关键是明确取到不同颜色的球不可能同时发生,即互斥.由此可知用概率加法公式求解.2.若随机试验中,涉及多个事件,应先分析判断这几个事件是否互斥(或对立),若是,可利用互斥事件概率的加法公式求解.当某一事件包含几个互斥的事件时,求该事件发生的概率也用上述规律.[跟进训练]2.(1)一个口袋内装有大小相同的红球、白球和黑球,从中摸出一个球,摸出红球或白球的概率为0.58,摸出红球或黑球的概率为0.62,那么摸出红球的概率为( )A .0.42B .0.38C .0.2D .0.8(2)向三个相邻的军火库投一枚炸弹,炸中第一个军火库的概率为0.2,炸中第二个军火库的概率为0.12,炸中第三个军火库的概率为0.28,三个军火库中,只要炸中一个另两个也会发生爆炸,求军火库发生爆炸的概率.[解] (1)C [记分别摸一个球为红球、白球和黑球为事件A ,B ,C ,则A ,B ,C 为互斥事件,且A +B +C 为必然事件,由题意知P (A )+P (B )=0.58,P (A )+P (C )=0.62,P (A )+P (B )+P (C )=1,解得P (A )=0.2.](2)设A ,B ,C 分别表示炸中第一、第二及第三个军火库这三个事件,事件D 表示军火库爆炸,已知P (A )=0.2,P (B )=0.12,P (C )=0.28.又因为只投掷了一枚炸弹,故不可能炸中两个及以上军火库,所以A ,B ,C 是互斥事件,且D =A +B +C ,所以P (D )=P (A +B +C )=P (A )+P (B )+P (C )=0.2+0.12+0.28=0.6,即军火库发生爆炸的概率为0.6.对立事件的概率与求法 1.若令A =“小明考试及格”,A =“小明考试不及格”,则事件A 与事件A 能不能同时发生,或者都不发生?为什么?提示:不可能同时发生,由于事件A 与A 是互斥事件,所以不可能同时发生,事件A 与A 也不可能都不发生,因为一次考试中,小明的成绩要么及格,要么不及格,二者必居其一,故A 与A 必有一个发生.2.将一枚质地均匀的骰子随机抛掷一次,观察骰子向上一面的点数.设U =“出现点数的全体”,A =“出现的点数是偶数”,B =“出现的点数是奇数”,则A ,U 是互斥事件吗?A ,B 是互斥事件吗?B ,U 是互斥事件吗?”提示:A ,U 不是互斥事件,A ,B 是互斥事件,B ,U 不是互斥事件.【例3】 一盒中装有各色球12个,其中5个红球、4个黑球、2个白球、1个绿球.从中随机取出1球,求:(1)取出1球是红球或黑球的概率;(2)取出1球是红球或黑球或白球的概率.[思路探究] 先设出有关的互斥事件,然后把所求事件的概率转化为求某些互斥事件和的概率,另外也可考虑用古典概型以及对立事件来解决.[解] 法一:利用等可能事件求概率.(1)从12个球中任取1球得红球有5种取法,得黑球有4种取法,得红球或黑球共有5+4=9(种)不同取法,任取1球有12种取法.所以任取1球得红球或黑球的概率为P 1=912=34. (2)从12个球中任取一球得红球有5种取法,得黑球有4种取法,得白球有2种取法.从而得红球或黑球或白球的概率为P 2=5+4+212=1112. 法二:利用互斥事件求概率.记事件A 1={任取1球为红球};A 2={任取1球为黑球};A 3={任取1球为白球};A 4={任取1球为绿球},则P (A 1)=512,P (A 2)=412,P (A 3)=212,P (A 4)=112.根据题意知,事件A1,A2,A3,A4彼此互斥,由互斥事件概率公式,得(1)取出1球为红球或黑球的概率为P(A1+A2)=P(A1)+P(A2)=512+412=34.(2)取出1球为红球或黑球或白球的概率为P(A1+A2+A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)=512+412+212=1112.法三利用对立事件求概率的方法.(1)由法二知,取出1球为红球或黑球的对立事件为取出1球为白球或绿球,即A1+A2的对立事件为A3+A4.所以取得1球为红球或黑球的概率为P(A1+A2)=1-P(A3+A4)=1-P(A3)-P(A4)=1-212-112=912=34.(2)A1+A2+A3的对立事件为A4,所以P(A1+A2+A3)=1-P(A4)=1-112=1112.求复杂事件的概率通常有两种方法:(1)将所求事件转化成几个彼此互斥的事件的和事件;(2)若将一个较复杂的事件转化为几个互斥事件的和事件时,需要分类太多,而其对立面的分类较少,可考虑利用对立事件的概率公式,即“正难则反”.它常用来求“至少…”或“至多…”型事件的概率.[跟进训练]3.据统计,某储蓄所一个窗口等候的人数及相应概率如下表:(2)求至少2人排队等候的概率.[解]记在窗口等候的人数为0,1,2分别为事件A,B,C,则A,B,C两两互斥.(1)至多2人排队等候的概率是P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.1+0.16+0.3=0.56.(2)至少2人排队等候的反面是“等候人数为0或1”,而等候人数为0或1的概率为P (A +B )=P (A )+P (B )=0.1+0.16=0.26,故至少2人排队等候的概率为1-0.26=0.74.1.互斥事件和对立事件既有区别又有联系.互斥未必对立;对立一定互斥.2.互斥事件的概率加法公式是一个很基本的计算公式,解题时要在具体的情景中判断各事件间是否互斥,只有互斥事件才能用概率加法公式P (A +B )=P (A )+P (B ).3.求复杂事件的概率通常有两种方法:(1)将所求事件转化成彼此互斥事件的并事件;(2)先求其对立事件的概率,再求所求事件的概率.1.思考辨析(1)已知事件A 与事件B ,则P (A +B )=P (A )+P (B ).( ) (2)若三个事件A ,B ,C 两两互斥,则P (A )+P (B )+P (C )=1.( )(3)事件A 与事件B 互斥,则事件A 与B 互为对立事件.( ) (4)事件A 与事件B 若满足P (A )+P (B )=1,则A ,B 是对立事件.( )[解析] (1)×,A 与B 互斥时,P (A +B )=P (A )+P (B ).(2)×,P (A )+P (B )+P (C )的值不确定.(3)×,A 与B 不一定对立.(4)×,例如a ,b ,c ,d 四个球,选中每个球的概率相同,事件A 为选中a ,b 两个球,则P (A )=12;事件B 为选中b ,c 两个球,则P (B )=12,则P (A )+P (B )=1,但A ,B 不是对立事件.[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×2.某产品共有三个等级,分别为一等品、二等品和不合格品.从一箱产品中随机抽取1件进行检测,若“抽到一等品”的概率为0.65,“抽到二等品”的概率为0.3,则“抽到不合格品”的概率为________.0.05 [“抽到一等品”与“抽到二等品”是互斥事件,所以“抽到一等品或二等品”的概率为0.65+0.3=0.95,“抽到不合格品”与抽到“一等品或二等品”是对立事件,故其概率为1-0.95=0.05.]3.中国乒乓球队甲、乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单打比赛,甲夺得冠军的概率为37,乙夺得冠军的概率为14,那么中国队夺得乒乓球单打冠军的概率为________. 1928[由于事件“中国队夺得女子乒乓球单打冠军”包括事件“甲夺得冠军”和“乙夺得冠军”,但这两个事件不可能同时发生,即彼此互斥,所以由互斥事件概率的加法公式得,中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为37+14=1928.] 4.在数学考试中,小明的成绩在90分以上(含90分)的概率是0.18,在80分~89分的概率是0.51,在70分~79分的概率是0.15,在60分~69分的概率是0.09,在60分以下的概率是0.07.(1)求小明在数学考试中,取得80分以上(含80分)成绩的概率;(2)求小明考试及格的概率(60分才及格).[解] 分别记小明的成绩“在90分以上”“在80分~89分”“在70分~79分”“在60分~69分”为事件B ,C ,D ,E ,这四个事件彼此互斥.(1)小明的成绩在80分以上的概率是P (B +C )=P (B )+P (C )=0.18+0.51=0.69.(2)小明考试及格的概率是P (B +C +D +E )=P (B )+P (C )+P (D )+P (E )=0.18+0.51+0.15+0.09=0.93.。

互斥事件2

互斥事件2

安边中学高一年级下学期数学学科导学稿执笔人:邹英总第课时备课组长签字:包级领导签字:学生:上课时间:集体备课个人空间一、课题:3.2.3互斥事件(2)二、学习目标1.理解互斥事件、对立事件的概念,会判断所给事件的类型;2.能利用互斥事件与对立事件的概率公式进行相应的概率运算;3.理解互斥事件与对立事件的区别。

三、教学过程【自主预习】阅读教材143-146页1、如果随机事件A和B是互斥事件,那么有P(A+B)=___ _____;2、事件A的对立事件记为,满足P(A)=1-________。

3、若两个事件A与B是事件,那么它们一定是事件;反之(成立或不成立)。

4、从集合的角度怎么看待互斥事件和对立事件?【合作探究】一、互斥事件对立事件综合运用例1、一盒中装有各色球12只,其中5只红球、4只黑球、2只白球、1只绿球.从中随机取出1球,求:(1)取出1球是红球或黑球的概率;(2)取出的1球是红球或黑球或白球的概率。

例2、见143页例7。

- 1 -- 2 - 例3、见143页例8。

【检测训练】1、某射手在一次射击中射中10环,9环,8环的概率分别为0.24,0.28,0.19,则这个射手在一次射击中不够8环的概率是( )A. 0.75B. 0.52C. 0.29D.0.192.一只口袋中有4个红球,5个黄球,6个白球,若他任意摸出1个球,这球是红球或白球的概率为( )A. 154B. 52C. 32D. 7583.若A 、B 是互斥事件,P(A)=0.4, P(A+B)=0.7 则P(B)=4.一个袋中装有大小相同,编号分别为1,2,3,4,5,6,7,8的八个球,,从中有放回的每次取一个球,共取2次,则取得两个球的编号之和不小于15的概率为( )A 321B 641C 323D 6435.从0、1、2、3这四个数字中任取三个组成没有重复数字的三位数,求三位数是偶数的概率。

6.抛掷一枚均匀的骰子(它的每一面上分别标有数字1,2,3,4,5,6),事件A 表示“朝上一面的数是奇数”,事件B 表示“朝上一面的数不超过3”,求P(A +B)。

互斥事件(1-2)导学案设计

互斥事件(1-2)导学案设计

主备人:李斌审核:高一备课组使用日期:负责人签字:§3.2.3 互斥事件(1)导学案设计班级小组姓名小组评价: 教师评价: 授课时间第周星期第节课型新授课主备课人李斌学习目标1理解互斥事件、对立事件的定义,会判断所给事件的类型;2.掌握互斥事件的概率加法公式并会应用。

重点难点重点:概率的加法公式及其应用;事件的关系与运算难点:互斥事件与对立事件的区别与联系学习过程与方法【使用说明及学法指导】试验、交流、归纳等方法的综合应用.先由学生认真阅读教材,按照学习目标提出的要求,完成:“自主学习”,再去完成:“合作交流”部分,学习组长做好督导、检查。

【知识链接】古典概型概率公式学习过程:自主学习1.互斥事件:在一个随机试验中,把一次试验下___________的两个事件A与B称作互斥事件。

2.事件A+B:给定事件A,B,规定A+B为,事件A+B发生是指事件A和事件B________。

3.对立事件:事件“A不发生”称为A的对立事件,记作_________,对立事件也称为________,在每一次试验中,相互对立的事件A与事件A不会__________,并且一定____________.4.互斥事件的概率加法公式:(1)在一个随机试验中,如果随机事件A和事件B是互斥事件,那么有P(A+B)=_________.(2)如果随机事件nAAA,,,21中任意两个是互斥事件,那么有=+++)(21nAAAP ____________。

5.对立事件的概率运算:=)(AP_____________。

合作交流:1.如何从集合的角度理解互斥事件?2.互斥事件与对立事件有何异同?3.对于任意两个事件A,B,P(A+B)=P(B)+P(B)是否一定成立?4.某战士在一次射击训练中,击中环数大于6的概率为0.6,击中环数是6或7或8的概率为0.3,则该战士击中环数大于5的概率为0.6+0.3=0.9,对吗?5.什么情况下考虑用对立事件求概率呢?6.阅读p143 例3和p144例4,你的问题是什么?拓展交流:例1.判断下列给出的每对事件是否为互斥事件,是否为对立事件,并说明理由。

概率2.3 互斥事件

概率2.3 互斥事件

2.3互斥事件[学习目标] 1.理解互斥事件、对立事件的定义,会判断所给事件的类型.2.掌握互斥事件的概率加法公式并会应用.3.正确理解互斥、对立事件的关系,并能正确区分判断.知识点一互斥事件与对立事件发生是指思考(1)在掷骰子的试验中,事件A={出现的点数为1},事件B={出现的点数为奇数},事件A与事件B应有怎样的关系?(2)判断两个事件是对立事件的条件是什么?知识点二概率的几个基本性质1.概率的取值范围(1)由于事件的频数总是小于或等于试验的次数,所以频率在0~1之间,从而任何事件的概率在0~1之间,即.(2) 的概率为1.(3) 的概率为0.2.互斥事件的概率加法公式当事件A与事件B互斥时,A+B发生的频数等于A发生的频数与B发生的频数之和,从而A+B的频率f n(A+B)=f n(A)+f n(B),则概率的加法公式为P(A+B)=.3.对立事件的概率公式若事件A与事件B互为对立事件,则A+B为必然事件,P(A+B)=1.再由互斥事件的概率加法公式P(A+B)=P(A)+P(B),得P(A)=.题型一互斥事件、对立事件的概念例1从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花,点数从1~10各10张)中,任取一张.(1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”;(2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”;(3)“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”.判断上面给出的每对事件是否为互斥事件,是否为对立事件,并说明理由.反思与感悟 1.要判断两个事件是不是互斥事件,只需要分别找出各个事件包含的所有结果,看它们之间能不能同时发生.在互斥的前提下,看两个事件的和事件是否为必然事件,从而可判断是否为对立事件.2.考虑事件的结果间是否有交事件.可考虑利用Venn图分析,对于较难判断的关系,也可考虑列出全部结果,再进行分析.跟踪训练1从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球,那么下列各对事件中,互斥而不对立的是()A.至少有一个红球与都是红球B.至少有一个红球与都是白球C.至少有一个红球与至少有一个白球D.恰有一个红球与恰有两个红球题型二和事件的概念例2在掷骰子的试验中,可以定义许多事件.例如,事件C1={出现1点},事件C2={出现2点},事件C3={出现3点},事件C4={出现4点},事件C5={出现5点},事件C6={出现6点},事件D1={出现的点数不大于1},事件D2={出现的点数大于3},事件D3={出现的点数小于5},事件E={出现的点数小于7},事件F={出现的点数为偶数},事件G={出现的点数为奇数},请根据上述定义的事件,回答下列问题:(1)请举出符合包含关系、相等关系的事件;(2)利用和事件的定义,判断上述哪些事件是和事件.反思与感悟事件间运算方法:(1)利用事件间运算的定义.列出同一条件下的试验所有可能出现的结果,分析并利用这些结果进行事件间的运算.(2)利用Venn图.借助集合间运算的思想,分析同一条件下的试验所有可能出现的结果,把这些结果在图中列出,进行运算.跟踪训练2盒子里有6个红球,4个白球,现从中任取3个球,设事件A={3个球中有一个红球,两个白球},事件B={3个球中有两个红球,一个白球},事件C={3个球中至少有一个红球},事件D={3个球中既有红球又有白球}.则:(1)事件D与事件A、B是什么样的运算关系?(2)事件C与事件A的交事件是什么事件?题型三对立事件、互斥事件的概率例3同时抛掷两枚骰子,求至少有一个5点或6点的概率.反思与感悟 1.互斥事件的概率的加法公式P(A+B)=P(A)+P(B).2.对于一个较复杂的事件,一般将其分解成几个简单的事件,当这些事件彼此互斥时,原事件的概率就是这些简单事件的概率的和.3.当求解的问题中有“至多”、“至少”、“最少”等关键词语时,常常考虑其反面,通过求其反面,然后转化为所求问题.跟踪训练3某射手在一次射击中,射中10环、9环、8环、7环的概率分别为0.21,0.23,0.25,0.28,计算这个射手一次射击中射中的环数低于7环的概率.求复杂事件的概率例4 玻璃盒里装有红球、黑球、白球、绿球共12个,从中任取1球,设事件A 为“取出1个红球”,事件B 为“取出1个黑球”,事件C 为“取出1个白球”,事件D 为“取出1个绿球”.已知P (A )=512,P (B )=13,P (C )=16,P (D )=112.(1)求“取出1个球为红球或黑球”的概率; (2)求“取出1个球为红球或黑球或白球”的概率.解后反思 求复杂事件的概率通常有两种方法:一是将所求事件转化成彼此互斥事件的和;二是先求对立事件的概率,再求所求事件的概率,即P (A )=1-P (B )(B 是A 的对立事件).1.互斥事件和对立事件既有区别又有联系.互斥未必对立,对立一定互斥.2.互斥事件的概率加法公式是一个很基本的计算公式,解题时要在具体的情景中判断各事件间是否互斥,只有互斥事件才能用概率加法公式P (A +B )=P (A )+P (B ). 3.求复杂事件的概率通常有两种方法: (1)将所求事件转化成彼此互斥事件的和事件; (2)先求其对立事件的概率,再求所求事件的概率.1.给出以下结论:①互斥事件一定对立;②对立事件一定互斥;③互斥事件不一定对立;④事件A 与B 的和事件的概率一定大于事件A 的概率;⑤事件A 与B 互斥,则有P (A )=1-P (B ).其中正确命题的个数为( )A .0B .1C .2D .32.对同一事件来说,若事件A 是必然事件,事件B 是不可能事件,则事件A 与事件B 的关系是( ) A .互斥不对立 B .对立不互斥 C .互斥且对立D .不互斥、不对立3.从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球,那么互斥而不对立的两个事件是( ) A .“至少有1个白球”和“都是红球” B .“至少有1个白球”和“至多有1个红球” C .“恰有1个白球”和“恰有2个白球” D .“至多有1个白球”和“都是红球”4.对空中飞行的飞机连续射击两次,每次发射一枚炮弹,设A ={两次都击中飞机},B ={两次都没击中飞机},C ={恰有一弹击中飞机},D ={至少有一弹击中飞机},下列关系不正确的是( ) A .A ⊆D B .B ∩D =∅ C .A ∪C =DD .A ∪C =B ∪D5.从集合{a ,b ,c ,d ,e }的所有子集中任取一个,若这个子集不是集合{a ,b ,c }的子集的概率是34,则该子集恰是集合{a ,b ,c }的子集的概率是( )A.35B.25C.14D.186.从几个数中任取实数x ,若x ∈(-∞,-1]的概率是0.3,x 是负数的概率是0.5,则x ∈(-1,0)的概率是________.7.同时抛掷两枚骰子,既不出现5点也不出现6点的概率为49,则5点或6点至少出现一个的概率是________.8.袋中装有红球、黑球、黄球、绿球共12个.从中任取一球,取到红球的概率是13,取到黑球或黄球的概率是512,取到黄球或绿球的概率是512.试求取到黑球、黄球、绿球的概率各是多少.一、选择题1.已知P (A )=0.1,P (B )=0.2,则P (A +B )等于( ) A .0.3 B .0.2 C .0.1D .不确定2.若A 、B 是互斥事件,则( ) A .P (A +B )<1 B .P (A +B )=1 C .P (A +B )>1D .P (A +B )≤13.某产品分甲、乙、丙三级,其中丙级为次品.若生产中出现乙级品的概率为0.03,丙级品的概率为0.01,则对该产品抽查一件抽到正品的概率为( ) A .0.09 B .0.97 C .0.99D .0.964.从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球,那么互斥而不对立的两个事件是( ) A .“至少有1个白球”和“都是红球” B .“至少有1个白球”和“至多有1个红球” C .“恰有1个白球”和“恰有2个白球” D .“至多有1个白球”和“都是红球”5.从1,2,3,…,9中任取两数,其中:①恰有一个偶数和恰有一个奇数;②至少有一个奇数和两个都是奇数;③至少有一个奇数和两个都是偶数;④至少有一个奇数和至少有一个偶数.则在上述事件中,是对立事件的是( ) A .① B .②④ C .③D .①③6.下列四个命题:①对立事件一定是互斥事件;②若A ,B 为两个事件,则P (A +B )=P (A )+P (B );③若事件A ,B ,C 两两互斥,则P (A )+P (B )+P (C )=1;④事件A ,B 满足P (A )+P (B )=1,则A ,B 是对立事件.其中错误命题的个数是( ) A .0 B .1 C .2D .37.掷一枚骰子的试验中,出现各点的概率为16.事件A 表示“小于5的偶数点出现”,事件B表示“小于5的点数出现”,则一次试验中,事件A +B (B 表示事件B 的对立事件)发生的概率为( )A.13B.12C.23D.56二、填空题8.若A ,B 为互斥事件,P (A )=0.4,P (A +B )=0.7,则P (B )=________.9.在一次教师联欢会上,到会的女教师比男教师多12人,从这些教师中随机挑选一人表演节目,若选中男教师的概率为920,则参加联欢会的教师共有________人.10.对一批产品的长度(单位:毫米)进行抽样检测,下图为检测结果的频率分布直方图.根据标准,产品长度在区间[20,25)上的为一等品,在区间[15,20)和区间[25,30)上的为二等品,在区间[10,15)和[30,35)上的为三等品.用频率估计概率,现从该批产品中随机抽取一件,则其为二等品的概率为________.三、解答题12.袋中装有红球、黑球、黄球、绿球共12个.从中任取一球,取到红球的概率是13,取到黑球或黄球的概率是512,取到黄球或绿球的概率是512.试求取到黑球、黄球、绿球的概率各是多少.解 从袋中任取一球,记事件“取到红球”“取到黑球”“取到黄球”和“取到绿球”分别为A ,B ,C ,D ,则事件A ,B ,C ,D 显然是两两互斥的.由题意,得⎩⎨⎧P (A )=13, P (B +C )=512, P (C +D )=512, P (A +B +C +D )=1,即⎩⎨⎧P (B )+P (C )=512, P (C )+P (D )=512, 13+P (B )+P (C )+P (D )=1,解得⎩⎨⎧P (B )=14, P (C )=16, P (D )=14,故取到黑球的概率是14,取到黄球的概率是16,取到绿球的概率是14.13.黄种人群中各种血型的人所占的比例如下表所示.互相输血.小明是B型血,若小明因病需要输血,则:(1)任找一个人,其血可以输给小明的概率是多少?(2)任找一个人,其血不能输给小明的概率是多少?解(1)对任一个人,其血型为A,B,AB,O的事件分别为A′,B′,C′,D′,它们是互斥的.由已知得P(A′)=0.28,P(B′)=0.29,P(C′)=0.08,P(D′)=0.35.由于B,O型血可以输给B型血的人,因此“可以输血给B型血的人”为事件B′+D′,根据互斥事件的概率加法公式,得:P(B′+D′)=P(B′)+P(D′)=0.29+0.35=0.64.(2)由于A,AB型血不能输给B型血的人,因此“不能输血给B型血的人”为事件A′+C′,所以P(A′+C′)=P(A′)+P(C′)=0.28+0.08=0.36.[学习目标] 1.初步体会模拟方法在概率方面的应用.2.理解几何概型的定义及其特点,会用公式计算简单的几何概型问题.3.了解古典概型与几何概型的区别与联系.知识点一 几何概型的含义1.几何概型的定义向平面上有限区域(集合)G 内随机地投掷点M ,若点M 落在子区域G 1 G 的概率与G 1的面积成正比,而与G 的形状、位置无关,即P (点M 落在G 1)=G 1的面积G 的面积,则称这种模型为几何概型.2.几何概型的特点(1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个. (2)每个基本事件出现的可能性相等. 思考 几何概型与古典概型有何区别? 答 几何概型与古典概型的异同点P (A )=构成事件A 的区域长度(面积或体积)试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积).思考 计算几何概型的概率时,首先考虑的应该是什么? 答 首先考虑取点的区域,即要计算的区域的几何度量.题型一 与长度有关的几何概型例1 取一根长为3 m 的绳子,拉直后在任意位置剪断,那么剪得两段的长都不小于1 m 的概率有多大?解 如图,记“剪得两段的长都不小于1 m ”为事件A .把绳子三等分,于是当剪断位置处在中间一段时,事件A 发生,因为中间一段的长度为1 m ,所以事件A 发生的概率为P (A )=13.反思与感悟 在求解与长度有关的几何概型时,首先找到试验的全部结果构成的区域D ,这时区域D 可能是一条线段或几条线段或曲线段,然后找到事件A 发生对应的区域d ,在找区域d 的过程中,确定边界点是问题的关键,但边界点是否取到却不影响事件A 的概率. 跟踪训练1 平面上画了一组彼此平行且相距2a 的平行线.把一枚半径r <a 的硬币任意投掷在平行线之间,求硬币不与任一条平行线相碰的概率.解 设“硬币不与任一条平行线相碰”为事件A .如图,在两条相邻平行线间画出与平行线间距为r 的两条平行虚线,则当硬币中心落在两条虚线间时,与平行线不相碰.故P (A )=虚线间距离平行线间距离=2a -2r 2a =a -ra .题型二 与面积有关的几何概型例2 如图,射箭比赛的箭靶中有五个涂有不同颜色的圆环,从外向内分别为白色、黑色、蓝色、红色,靶心是金色,金色靶心叫“黄心”.奥运会的比赛靶面直径为122 cm ,靶心直径为12.2 cm ,运动员在一定距离外射箭,假设每箭都能中靶,且射中靶面内任意一点是等可能的,那么射中黄心的概率为多少?解 记“射中黄心”为事件B .因为中靶点随机地落在面积为⎝⎛⎭⎫14×π×1222cm 2的大圆内,而当中靶点落在面积为⎝⎛⎭⎫14×π×12.22cm 2的黄心内时,事件B 发生,所以事件B 发生的概率P (B )=14×π×12.2214×π×1222=0.01.反思与感悟 解此类几何概型问题的关键:(1)根据题意确定是不是与面积有关的几何概型问题.(2)找出或构造出随机事件对应的几何图形,利用图形的几何特征计算相关面积,套用公式从而求得随机事件的概率.跟踪训练2 一只海豚在水池中自由游弋,水池为长30 m ,宽20 m 的长方形,求此刻海豚嘴尖离岸边不超过2 m 的概率.解 如图所示,区域Ω是长30 m 、宽20 m 的长方形.图中阴影部分表示事件A :“海豚嘴尖离岸边不超过2 m ”,问题可以理解为求海豚嘴尖出现在图中阴影部分的概率.由于区域Ω的面积为30×20=600(m 2),阴影部分的面积为30×20-26×16=184(m 2). 所以P (A )=184600=2375≈0.31.即海豚嘴尖离岸边不超过2 m 的概率约为0.31. 题型三 与体积有关的几何概型例3 已知正三棱锥S -ABC 的底面边长为a ,高为h ,在正三棱锥内取点M ,试求点M 到底面的距离小于h2的概率.解 如图,分别在SA ,SB ,SC 上取点A 1,B 1,C 1,使A 1,B 1,C 1分别为SA ,SB ,SC 的中点,则当点M 位于平面ABC 和平面A 1B 1C 1之间时,点M 到底面的距离小于h2.设△ABC 的面积为S ,由△ABC ∽△A 1B 1C 1,且相似比为2,得△A 1B 1C 1的面积为S4.由题意,知区域D (三棱锥S -ABC )的体积为13Sh ,区域d (三棱台ABC -A 1B 1C 1)的体积为13Sh -13·S 4·h 2=13Sh ·78.所以点M 到底面的距离小于h 2的概率P =78.反思与感悟 如果试验的全部结果所构成的区域可用体积来度量,我们要结合问题的背景,选择好观察角度,准确找出基本事件所占的区域体积及事件A 所占的区域体积.其概率的计算公式为P (A )=构成事件A 的区域体积试验的全部结果构成的区域体积.跟踪训练3 一只小蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行,若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个面的距离均大于1,称其为“安全飞行”,求蜜蜂“安全飞行”的概率. 解 依题意,在棱长为3的正方体内任意取一点,这个点到各面的距离均大于1.则满足题意的点区域为:位于该正方体中心的一个棱长为1的小正方体.由几何概型的概率公式,可得满足题意的概率为P =1333=127.题型四 与角度有关的几何概型例4 如图,在平面直角坐标系内,射线OT 落在60°角的终边上,任作一条射线OA ,求射线OA 落在∠xOT 内的概率.解 以O 为起点作射线OA 是随机的,因而射线OA 落在任何位置都是等可能的,落在∠xOT 内的概率只与∠xOT 的大小有关,符合几何概型的条件. 于是,记事件B ={射线OA 落在∠xOT 内}. 因为∠xOT =60°,所以P (B )=60°360°=16.反思与感悟 当涉及射线的运动,扇形中有关落点区域问题时,常以角的大小作为区域度量来计算概率,切不可用线段代替,这是两种不同的度量手段.跟踪训练4 如图,在等腰直角三角形ABC 中,过直角顶点C 在∠ACB 内部作一条射线CM ,与线段AB 交于点M .求AM <AC 的概率.解 因为CM 是∠ACB 内部的任意一条射线,而总的基本事件是∠ACB 的大小,即为90°, 所以作AC ′=AC ,且∠ACC ′=180°-45°2=67.5°.如图,当CM 在∠ACC ′内部的任意一个位置时,皆有AM <AC ′=AC ,即P (AM <AC )=67.5°90°=34.转化与化归思想例5 把长度为a 的木棒任意折成三段,求它们可以构成一个三角形的概率.分析 将长度为a 的木棒任意折成三段,要能够构成三角形必须满足“两边之和大于第三边”这个条件,进而求解即可.解 设将长度为a 的木棒任意折成三段的长分别为x ,y ,a -x -y ,则(x ,y )满足的条件为⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤a ,0≤y ≤a ,0≤x +y ≤a ,它所构成的区域为图中的△AOB .设事件M ={能构成一个三角形}, 则当(x ,y )满足下列条件时,事件M 发生.⎩⎪⎨⎪⎧x +y >a -x -y ,x +a -x -y >y ,y +a -x -y >x ,即⎩⎪⎨⎪⎧x +y >a 2,y <a2,x <a 2,它所构成的区域为图中的阴影部分, 故P (M )=S 阴影S △AOB =12×⎝⎛⎭⎫a 2212×a 2=14.故满足条件的概率为14.解后反思 解决本题的关键是将之转化为与面积有关的几何概型问题.一般地,有一个变量可以转化为与长度有关的几何概型,有两个变量可以转化为与面积有关的几何概型,有三个变量可以转化为与体积有关的几何概型.1.在区间[0,3]上任取一个数,则此数不大于2的概率是( ) A.13 B.12 C.23 D.79答案 C解析 此数不大于2的概率P =区间[0,2]的长度区间[0,3]的长度=23.2.在半径为2的球O 内任取一点P ,则|OP |>1的概率为( ) A.78 B.56 C.34 D.12 答案 A解析 问题相当于在以O 为球心,1为半径的球外,且在以O 为球心,2为半径的球内任取一点,所以P =43π×23-43π×1343π×23=78.3.如图,边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域.在正方形中随机撒一粒豆子,它落在阴影区域内的概率是13,则阴影区域的面积是( )A.13B.23C.43 D .无法计算答案 C解析 在正方形中随机撒一粒豆子,其结果有无限个,属于几何概型.设“落在阴影区域内”为事件A ,则事件A 构成的区域是阴影部分.设阴影区域的面积为S ,全部结果构成的区域面积是正方形的面积,则有P (A )=S 22=S 4=13,解得S =43.4.当你到一个红绿灯路口时,红灯的时间为30秒,黄灯的时间为5秒,绿灯的时间为45秒,那么你看到黄灯的概率是( ) A.112 B.38 C.116 D.56 答案 C解析 由题意可知,在80秒内路口的红、黄、绿灯是随机出现的,可以认为是无限次等可能出现的,符合几何概型的条件.事件“看到黄灯”的时间长度为5秒,而整个灯的变换时间长度为80秒,据几何概型概率计算公式,得看到黄灯的概率为P =580=116.5.在1 000 mL 水中有一个草履虫,现从中随机取出3 mL 水样放到显微镜下观察,则发现草履虫的概率是________. 答案31 000解析 由几何概型知,P =31 000.1.几何概型适用于试验结果是无穷多且事件是等可能发生的概率模型. 2.几何概型主要用于解决与长度、面积、体积有关的题目.3.注意理解几何概型与古典概型的区别.4.理解如何将实际问题转化为几何概型的问题,利用几何概型公式求解,概率公式为P(A)=构成事件A的区域长度(面积或体积)试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积).。

高二数学 互斥事件

高二数学 互斥事件

高二数学 互斥事件一、知识要点:1、互斥事件① 如果两个事件A 和B 不能同时发生,则称A 和B 是互斥事件。

② 如果事件n A A A ,,,21 中的任意两个都是互斥事件,就说事件n A A A ,,,21 彼此互斥。

2、对立事件两个互斥事件必有一个发生,则称这两个事件为对立事件。

事件A 的对立事件记为A 。

3、互斥事件的概率加法公式如果事件A ,B 为互斥,当事件A 、B 至少有一个发生,我们把这个事件记作A+B 。

如果事件A ,B 互斥,那么事件B A +发生的概率,等于事件A ,B 分别发生的概率的和,即)()()(B P A P B A P +=+.一般地,如果事件n A A A ,,,21 两两互斥,则)()()()(2121n n A P A P A P A A A P +++=+++4、对立事件的性质对立事件A 和A 必有一个发生,故A A +是必然事件,从而1)()()(=+=+A P A P A A P .因此,我们可以得到一个重要公式)(1)(A P A P -=。

5、互斥事件有与对立事件的区别与联系对立必互斥,互斥未必对立。

二、典型例题:例1、 某城市有甲、乙两种报纸供居民们订阅,记事件A 为“只订甲报”,事件B 为“至少订一种报”,事件C 为“至多订一种报”,事件D 为“不订甲报”,事件E 为“一种报也不订”。

判断下列每对事件是不是互斥事件;如果是,再判断它们是不是对立事件。

⑴A 与C ⑵B 与E ⑶B 与D ⑷B 与C ⑸C 与E(2)求射击1次,命中不足7环的概率。

例3、盒中有6只灯泡,其中2只次品,4只正品,有放回地从中任取两次,每次取一只,试求下列事件的概率:(1)取到的2只都是次品;(2)(2)取到的2只中正品、次品各一只;(3)取到的2只中至少有一只正品。

例4、鞋柜有4双不同的鞋,随机取出4只,试求下列事件的概率:(1)取出的鞋都不成对;(2)取出的鞋恰好有2只是成对的;(3)取出的鞋至少有2只成对;(4)取出的鞋全部成对。

《互斥事件》 讲义

《互斥事件》 讲义

《互斥事件》讲义在我们的日常生活和数学世界中,经常会遇到各种各样的事件。

其中,有一种特殊的关系叫做互斥事件。

今天,就让我们一起来深入了解一下互斥事件的奥秘。

一、互斥事件的定义互斥事件,简单来说,就是指两个或多个事件不能同时发生。

比如说,掷一枚骰子,出现点数为 1 和出现点数为 2 这两个事件就是互斥的,因为骰子在一次投掷中不可能同时出现 1 点和 2 点。

再举个生活中的例子,明天是晴天和明天是雨天,这两个事件也是互斥的,因为明天不可能既是晴天又是雨天。

用数学语言来表述,如果事件 A 和事件 B 是互斥事件,那么它们的交集为空集,即A∩B =∅。

二、互斥事件的特点1、不可能同时发生这是互斥事件最核心的特点。

就像前面提到的例子,在同一条件下,两个互斥事件不会同时出现结果。

2、互斥事件的并集等于它们各自发生的概率之和假设事件 A 的概率为 P(A),事件 B 的概率为 P(B),因为 A 和 B 互斥,所以 A 或 B 发生的概率 P(A∪B) = P(A) + P(B)。

三、互斥事件与对立事件的区别在学习互斥事件时,很多同学容易把它和对立事件混淆。

其实,对立事件是一种特殊的互斥事件。

互斥事件只是说两个事件不能同时发生,但它们有可能都不发生。

而对立事件则是“非此即彼”的关系,除了这两个事件,没有其他可能。

比如,掷骰子出现奇数点和出现偶数点就是对立事件。

四、互斥事件的实际应用1、抽奖活动在抽奖活动中,假设一等奖、二等奖、三等奖的设置是互斥的。

那么一个人不可能同时获得多个奖项。

通过计算每个奖项的概率,可以预估中奖的可能性。

2、体育比赛比如在足球比赛中,主队获胜和客队获胜是互斥事件。

通过分析两支球队的实力、状态等因素,计算出各自获胜的概率。

3、市场调查在市场调查中,消费者选择品牌 A 和选择品牌 B 可能是互斥的。

了解这些互斥事件的概率,可以帮助企业制定营销策略。

五、如何判断互斥事件1、从事件的描述入手仔细分析事件的本质,如果两个事件的结果不可能同时出现,那么它们很可能是互斥事件。

2互斥事件有一个发生概率

2互斥事件有一个发生概率

第二节 互斥事件有一个发生的概率一、基本知识概要:1、互斥事件:如果事件A 与B 不能同时发生(即A 发生B 必不发生或者B 发生A 必不发生),那么称事件A ,B 为互斥事件(或称互不相容事件)。

如果事件A 1,A 2,…n A 中任何两个都是互斥事件,那么称事件A 1,A 2,…A n 彼此互斥。

互斥事件的概率加法公式:如果事件A ,B 互斥,那么P (A+B )=P (A )+P (B ); 如果事件A 1,A 2,…n A 彼此互斥,则P (A 1+A 2+…+n A )=P (A 1)+P (A 2)+…+P (n A );2、对立事件:如果事件A 与B 不能同时发生,且事件A 与B 必有一个发生,则称事件A 与B 互为对立事件,事件A 的对立事件通常记作A 。

对立事件A 与A 的概率和等于1,即:P (A )+P (A )=P (A+A )=1;注:对立事件是针对两个事件来说的,一般地说,两个事件对立是这两个事件互斥的充分条件,但不是必要条件。

3、事件的和事件:对于事件A 与B ,如果事件 A 发生或事件B 发生,也即A ,B 中有一个发生称为事件A 与B 的和事件。

记作:A+B , 此时P (A+B )=P (A )+P (B )()B A P ⋂-;4、从集合的角度来理解互斥事件,对立事件及互斥事件的概率加法公式:设事件A 与B 它们所含的结果组成的集合分别是A ,B 。

若事件A 与B 互斥,即集合Φ=⋂B A ,若事件A 与B 对立,即集合Φ=⋂B A 且U B A =⋃,也即:B C A U =或A C B U =,对互斥事件A+B (即事件A 发生或事件B 发生)即可理解为集合B A ⋃。

有等可能事件的概率公式知: )()()()()()()()(U card B card A card U card B A card U card B A card B A P +=⋃=+=+ =)()(U card A card +)()(U card B card =P (A )+P (B ) 二、重点难点: 互斥事件的概念和互斥事件的概率加法公式是重点;互斥事件、对立事件的概念及二者的联系与区别及应用是难点。

互斥事件练习

互斥事件练习

1 1 1 1 P(B)=P(C1∪C2∪C3)=P(C1)+P(C2)+P(C3)= + + = . 6 6 6 2 1 1 故 P(A∪B)=P(A)+P(B)= + =1. 2 2
[错因分析] 错解的原因在于忽视了“事件和”概率公 式应用的前提条件,由于“朝上一面的数是奇数”与“朝上 一面的数不超过3”这二者不是互斥事件,即出现1或3时, 事件A,B同时发生,所以不能应用公式P(A∪B)=P(A)+P(B) 求解.
[正解]
记事件“出现1点”“出现2点”“出现3
点”“出现5点”分别为A1,A2,A3,A4,由题意知这四个事 件彼此互斥.则A∪B=A1∪A2∪A3∪A4. 故P(A∪B)=P(A1∪A2∪A3∪A4)=P(A1)+P(A2)+P(A3)+ 1 1 1 1 2 P(A4)= + + + = . 6 6 6 6 3
(2)若(1)中所要拆分的事件非常繁琐,而其对立事件较为 简单,可先求其对立事件的概率,再运用公式求解.但是一 定要找准其对立事件,避免错误.
2.互斥事件的概率加法公式应用: (1)将一个事件的概率问题分拆为若干个互斥事件,分别 求出各个事件的概率然后用加法公式求出结果. (2)运用互斥事件的概率加法公式解题时,首先要分清事 件之间是否互斥,同时要学会把一个事件分拆为几个互斥事 件,做到不重不漏.
同时发生,且必有一个发生.
命题方向3
事件的运算
事件间运算的类型与方法: (1)事件间运算的类型:
(2)事件间运算方法: ①利用事件间运算的定义.列出同一条件下的试验所有 可能出现的结果,分析并利用这些结果进行事件间的运算. ②利用Venn图.借助集合间运算的思想,分析同一条件 下的试验所有可能出现的结果,把这些结果在图中列出,进 行运算.

15.3.2 互斥事件和独立事件(2)

15.3.2 互斥事件和独立事件(2)
解 设“三人考试后恰有两人获得合格证书”为事件D, 由题意知三人是否获得合格证书相互独立,则 P(D)=P(AB C )+P(A B C)+P( A BC) =25×12×49+25×12×59+35×12×59=3110.
反思 感悟
求较复杂事件的概率的一般步骤如下 (1)列出题中涉及的各个事件,并且用适当的符号表示. (2)理清事件之间的关系(两个事件是互斥还是对立,或者是相互独立 的),列出关系式. (3)根据事件之间的关系准确选取概率公式进行计算. (4)当直接计算符合条件的事件的概率较复杂时,可先间接地计算其 对立事件的概率,再求出符合条件的事件的概率.
反思 感悟
(1)求相互独立事件同时发生的概率的步骤 ①首先确定各事件之间是相互独立的. ②求出每个事件的概率,再求积. (2)使用相互独立事件同时发生的概率计算公式时,要掌握公式的适 用条件,即各个事件是相互独立的.
跟踪训练2 甲、乙两人破译一密码,他们能破译的概率分别为13和14,两 人能否破译密码相互独立,求两人破译密码时,以下事件发生的概率: (1)两人都能破译出密码的概率;
由事件A与B相互独立,得“两根保险丝都熔断”为事件AB,
∴P(AB)=P(A)P(B)=0.85×0.74=0.629.
12345
3.某人提出一个问题,甲先答,答对的概率为0.4,如果甲答错,由乙答,
答对的概率为0.5,则问题由乙答对的概率为
A.0.2
B.0.8
√ C.0ห้องสมุดไป่ตู้4
D.0.3
解析 事件“问题由乙答对”的含义是甲答错与乙答对同时发生了, 由相互独立事件同时发生的概率可知,概率为P=0.6×0.5=0.3.
苏教版必修第二册
第十五章 概率

高中数学知识点:事件间的关系

高中数学知识点:事件间的关系

高中数学知识点:事件间的关系
(1)互斥事件:不能同时发生的两个事件叫做互斥事件;
(2)对立事件:不能同时发生,但必有一个发生的两个事件叫做对立事件;
(3)包含:事件A发生时事件B一定发生,称事件A包含于事件B(或事件B包含事件A);
要点诠释:
从集合角度理解互斥事件为两事件交集为空,对立事件为两事件互补.
若两事件A与B对立,则A与B必为互斥事件,而若事件A与B 互斥,则不一定是对立事件.
“对立”只能是两个事件之间的关系,不会出现多个事件之间相互“对立”.
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江苏省江阴市成化高级中学高中数学课件:3.4 互斥事件(2)

江苏省江阴市成化高级中学高中数学课件:3.4 互斥事件(2)
高中数学 必修3
姓名:孟 进
单位:泰州市蒋垛中学
第一页,编辑于星期日:十四点 三分。
复习回顾
一、什么是互斥事件? 互斥事件:不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件. 彼此互斥:一般地,如果事件A1、 A2、 … An中的任何两个都是互斥的,那 么就说事件A1、 A2、… An彼此互斥.
二、什么是对立事件?对立事件和互斥事件的关系是什么?
解:从5只球中任意取2只含有的基本事件总数为10. 记:“从5只球中任意取2只球颜色相同”为事件A, “从5只球中任意取2只 红球”为事件B, “从5只球中任意取2只黄球”为事件C,则A=B+C.
P(B) 3 , P(C) 1 ,
10
10
P( A) P(B C) 3 1 2, 10 10 5
(2)任找一个人,其血不能输给小明的概率是多少?
在求某些稍复杂的事件的概率时,通常有两种方法:一是将所求事件的概率
化成一些彼此互斥的事件的概率的和,二是先去求此事件的对立事件的概率.
第五页,编辑于星期日:十四点 三分。
练习1: 一只口袋有大小一样的5只球,其中3只红球,2只黄球,从中摸 出2只球,求两只颜色不同的概率.
P(A) 1 P(A)
四、在求某些复杂事件(如“至多、至少”的概率时,通常有两种方法: 1.将所求事件的概率化为若干互斥事件的概率的和; 2.求此事件的对立事件的概率.
第三页,编辑于星期日:十四点 三分。
例1. 某人射击1次,命中7~10环的概率如下表所示:
命中环数 10环
9环
概率
0.12
0.18
P( An )
P( A A) P( A) P( A) 1
P( A) 1 P( A)

概率的乘法公式中,事件a、b是互斥事件。(2分

概率的乘法公式中,事件a、b是互斥事件。(2分

概率的乘法公式中,事件a、b是互斥事件。

(2分全文共四篇示例,供读者参考第一篇示例:概率论是数学中重要的一个分支,主要讨论在给定一定条件下某个事件发生的可能性。

概率的乘法公式是计算联合概率的一种方法,其中事件a、b是互斥事件。

互斥事件指的是两个事件之间不存在交集,即一个事件发生时另一个事件不可能发生。

在这篇文章中,我们将探讨概率的乘法公式的基本原理以及互斥事件的特点。

概率的乘法公式主要用于计算两个或多个事件同时发生的概率。

在计算概率时,我们通常会使用事件的发生次数除以总的可能性次数来得到概率值。

而在计算联合概率时,需要考虑多个事件同时发生的情况。

对于两个事件a、b来说,它们的联合概率可以通过乘法公式来表示:P(a∩b) = P(a) * P(b)其中P(a∩b)表示事件a和事件b同时发生的概率,P(a)和P(b)分别表示事件a和事件b单独发生的概率。

概率的乘法公式告诉我们,两个事件同时发生的概率等于这两个事件单独发生的概率相乘。

在概率论中,互斥事件是一个重要的概念。

互斥事件是指两个事件之间不存在交集,即一个事件发生时另一个事件不可能发生。

举个简单的例子,假设有一个骰子,事件A表示掷出的点数是奇数,事件B表示掷出的点数是偶数。

由于点数不能既是奇数又是偶数,所以事件A 和事件B是互斥事件。

在计算互斥事件的联合概率时,可以直接使用概率的乘法公式来计算。

因为互斥事件的概率不会同时发生,所以它们的交集概率为零,即P(a∩b) = 0。

概率的乘法公式在计算互斥事件的概率时可以简化为:这个公式告诉我们,互斥事件的联合概率等于零,即互斥事件不可能同时发生。

这也符合互斥事件的定义,即两个事件之间不存在交集。

第二篇示例:在概率论中,乘法公式是一种用来计算两个事件同时发生的概率的方法。

当事件a和事件b是互斥事件时,它们之间不存在交集,即两个事件不可能同时发生。

在这种情况下,乘法公式可以简化为P(a和b) = 0,即事件a和事件b同时发生的概率为零。

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3.4互斥事件(二)
教学精讲:
例1.黄种人群中各种血型的人所占的比如下表所示:
血型 A B AB O 该血型的人所占比/% 28 29 8 35
给AB型血的人,其他不同血型的人不能互相输血.小明是B型血,若小明因病需要输血,问:
(1)任找一个人,其血可以输给小明的概率是多少?
(2)任找一个人,其血不能输给小明的概率是多少?
例2.一只袋子中装有7个红玻璃球,3个绿玻璃球.从中无放回地任意抽取两次,每次只取一个.
试求:(1)取得两个红球的概率;(2)取得两个绿球的概率;
(3)取得两个同颜色的球的概率;(4)至少取得一个红球的概率.
变题:盒中有6只灯泡,其中2只次品,4只正品,有放回地从中任取两次,每次取一只,试求下列事件的概率:
(1)取到的2只都是次品;(2)取到的2只中正品、次品各一只;
(3)取到的2只中至少有一只正品.
例3.在一次口试中,要从5道题中随机抽出3道进行回答,答对其中的2道题就获得优
秀,答对其中的1道题就获得及格,某考生会回答5道题中的2道题,
试求:(1)他获得优秀的概率是多少? (2)他获得及格与及格以上的概率是多大?
例4.将20个相同的小球分别标上数字1,2,… ,20后放入一盒中,现从中任取一个
球,记“所标数字是偶数”为事件A ,“所标数字是3的倍数”为事件B ,“所标数字是2或3的倍数”为事件C .分别求事件A ,B ,C 发生的概率.
变题:从男女学生共有36名的班级中,任意选出2名委员,任何人都有同样的当选机会.如果选得同性委员的概率等于2
1,求男女生相差几名?
【课堂练习】
1.某人射击了两次,A ={两次都击中},B ={两次都没有击中},C ={恰有一次击中},
D ={至少有一次击中},其中彼此互斥的事件是 ,互为对立事件的是 .
2.判断下列说法是否正确:
(1)一个新手在很远处命中靶的内圈的概率是0.3,则命中靶的其余部分的概率是0.7.
(2)甲、乙两射手同时射击一目标,甲的命中率为0.3,乙的命中率为0.5,则目标被
命中的概率等于0.3+0.5=0.8.
3.下列叙述错误的是 .
(1)由生物学知识知生男生女的概率约为21,一对夫妇生两个孩子,则一定为一男一女;
(2)一次摸奖活动中,中奖概率为51,是指摸5张奖券,一定有一张中奖;
(3)5张奖券中有1张可中奖,5个人摸,谁先摸,谁摸到奖的可能性就大;
(4)5张奖券中有1张可中奖,5个人摸,无论谁先摸,中奖的概率都是51;
(5)若随机事件A 发生的概率为()A p ,则()10≤≤A p ;
(6)互斥事件不一定是对立事件,但是对立事件一定是互斥事件.
4.从三件正品、一件次品中随机取出两件,则取出的产品全是正品的概率是 ;
5.某产品分为甲、乙、丙三级,其中乙、丙两级均属次品,若生产中出现乙级品的概率
为03.0,出现丙级品的概率为01.0,则对产品抽查一次抽得正品的概率是 ;
6.甲、乙两人进行下棋比赛,甲获胜的概率是0.4,两人下成和棋的概率是0.2,则甲不
输的概率是 .
7.袋中有12个小球,其中有外形,重量一样的红球、黑球、黄球、绿球.从中任取一球得到红球的概率是13,得到黑球或黄球的概率是512,得到黄球或绿球的概率也是512,分别试求得到黑球、黄球、绿球的概率各是多少?
【课后作业】
1.已知直线36y x =-+与4y x =-+,现将一个骰子连掷两次,设第一次得的点数为x ,
第二次得的点数为y ,则点(x ,y )在已知直线下方的概率为_____________.
2.掷一个骰子的试验,事件A 表示“大于2的点数出现”,事件B 表示“大于2的奇数点出现”,则一次试验中,事件B A +发生概率为 .
3.某市派出甲、乙两支球队参加全省足球冠军赛.甲乙两队夺取冠军的概率分别是7
3和4
1.则该市足球队夺得全省足球冠军的概率为_____________.
4.某单位36人的血型类别是:A型12人,B型10人,AB型8人,O型6人.现从这36人中任选2人,则此2人血型不同的概率为_____________.
5.一只口袋有大小一样的5只球,其中3只红球,2只黄球,从中摸出2只球,则两只颜色不同的概率
为_____________.
6.袋中装有红、黄、白3种颜色的球各1只,每次从中任取1只,有放回地抽取3次,则:(1)3只全是红球的概率为_____________;(2)3只颜色全相同的概率为_____________;
(3)3只颜色不全相同的概率为____________.
7.某单位36人的血型类别是:A型12人,B型10人,AB型8人,O型6人.现从这36人中任选2
人,则此2人血型不同的概率为_____________.
8.某学校成立了数学、英语、音乐课外兴趣小组,3组各有39,32,33人,参加情况如图,随机选取1名成员,
求:(1)他至少参加2个小组的概率;
(2)他参加不超过2个小组的概率.
9.9个国家乒乓球队中有3个亚洲国家队,抽签分成甲、乙、丙三组(每组3队)进行预赛,试求:
(1)三个组各有一个亚洲队的概率;(2)至少有两个亚洲队分在同一组的概率.
10.把写有1,2,3,4,5,6的6个球放入盒子中,从袋中任意取出1个球,求:(1)球上的数是偶数的概率;(2)球上的数是奇数的概率;(3)球上的数不小于4的概率.。

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