高中数学A版二 《九章算术》优秀课件
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刘徽(魏晋, 公元3世 纪)（中国，2002）
教学 目标
知识与能力
了解中国最早的经典数学著作之一 的《九章算术》的深远影响；
初步熟悉我国古代数学家刘徽的杰 出贡献； 学习《九章算术》介绍的各种实际 问题解法.
过程与方法
《九章算术》总结了自周代以来的中国 古代数学，学习其中代表性的“盈不足 术”“方程术”“正负术”.
情感态度与价值观
《九章算术》是中国古代最著名的传世 数学著作，又是中国古代最重要的数学典籍， 对中国古代数学的发展起到了巨大的推动作 用.
教学重难点
重点
《九章算术》的主要内容以及其深远影 响.
难点
《九章算术》中介绍的各种实际问题的 解法以及其现实意义.
内容介绍
《九章算术》秉承了先秦以 来数学的发展源流，流传近2000 年.后世的数学家多是从《九章 算术》开始学习和研究数学.唐 宋两代成为官学采用的算学教 学书，并在北宋是成为世界上 最早的印刷版教学书.
21 将第二行交错相乘
物价
人数
53
7
现在一般地，设x人共出y钱购物.若每人 出m钱则盈n钱；每人出m’钱则不足n’钱， 求x与y，按“盈不足术”得如下的解法公式：
百度文库
n + n' mn' + m'n x= ,y = m - m' m - m'
这是个“一盈一不足”问题，还有“两 盈”“两不足”“一盈一适足”“一不足一 适足”等四类问题.
中国古代数学瑰宝
九 章 算 术
秦始皇陵兵马俑（中国, 1983）
知识回顾
《周髀算经》是中国 最早的天文学著作；赵 爽称为中算史上最早给 出勾股定理理论证明的 数学家；“赵爽弦图” 表现出的中国古代数学 的独具特色以及中国古 代的聪明才智和独具匠 心.
导入新课
《九章算术》大约成书于公元1世纪， 是我国古代最著名的传世数学著作，又是 中国古代最重要的数学书籍.它从成书直到 西方数学传入之前，一直是中国古代数学 学习者的首选教材.对古代数学的发展起了 巨大的推动作用.
《九章算术》 （东汉，公元100年）
1.《九章算术》的重要成就举例
《九章算术》以应用问题集的形式表述， 收有246个数学问题，分为九章．它们的主 要内容分别是：第一章“方田”：田亩面积 计算；第二章“粟米”：谷物粮食的按比例 折换；第三章“衰分”：比例分配问题；第 四章“少广”：已知面积、体积、求其一边 长和径长等；第五章“商功”：土石工程、 体积计算；第六章“均输”：合理摊派赋税；
把方程组的系数从上至下 摆成三列，运算采用“遍乘直 除”的方法，
0 4 0 4 0 0
26 34 39
11 17 37
把某一列系数全部乘 一个适当的倍数，然后再 直接减去另一列的若干倍， 一直算到每一列上只剩下 分别与三个未知数对应的 系数.
《九章算术》中的一次方程组有两元、 三元、四元和五元的，全部用上述演算程 序. 多元方程组的解法在印度最早出现在7 世纪初婆罗摩芨多所著的书中.在欧洲，最 早提出三元一次方程组解法的人是16世纪 的法国数学家比特奥.而多元一次方程组的 一般解法直到18世纪才由法国数学家贝祖 建立.
按代数解法，可设人数为x，物价为y，则有 方程组：
y = 8x - 3 y = 7x + 4
文钱.
x=7 y = 53 人数为7，物价为53
盈不足术用表格表示： 所出率 盈不足 维乘 实 法 所出率差 8 3 32 53 7 1 7 4 把所有人的钱写出来
多余、不足的钱数 相加后的结果称为“实”
盈、不足相加称为法 所出率中，大数减小数 所出率差除“实” 所出率差除“法”
有关正负数的乘除运算法则，直到元代， 朱世杰的《算学启蒙》中才明确给出.
我国对正负数四则运算所做的总结不晚 于13世纪.而国外首先认为负数的人是三个世 纪后的印度数学家婆罗摩芨多，欧洲对负数 的认识就更晚了.
2.《九章算术》的深远影响
《九章算术》总结了自周代以来的中国 古代数学，包含了以前已经解决了的数学问 题，又有汉朝时新取得的数学成就.
二、《九章算术》》
《九章算术》的作者 不详，现在传世的是三国 时代刘徽于263年完成的 注释本.内容是由周代的 “九数”发展而来的。刘 徽称：“周公制礼而有九 数，九数之流则 《九章》是矣”.
明代刊印的《九章算术注》
公元263年撰《九章 算术注》 阐述了中国传 统数学的理论体系与数学 原理； 中国传统数学最 具代表性的人物 .
标志着中国古代数学体系的形成.
《九章算术》及其注文中蕴涵的数学思 想不仅对我国古代数学产生了巨大影响，也 极大地促进了世界数学的发展.
对比《原本》和《九章算术》
《原本》是以形式逻辑方法把所有内容组 织为有机整体，《九章算术》则按问题的性 质和解法分类编排； 《原本》注重演绎推理，较少实用，《九 章算术》则全是实用算法； 《原本》内容全部为几何或几何外衣下的 算术，《九章算术》则集中了算术、代数、 几何等我国当时的全部数学知识.
正负术
方程的每一行是由多项未 知量和一个已知量所组成的等 式，其中可能有相反意义的数 量；再者，在通过“遍乘直除” 来求解多元一次方程组时，也 会出现大数减小数的情况，由 此产生正数与负数的对立概念.
负数记号
《九章算术》最早给出的正负数加减法 则的条文如下：正负术曰，同名相除，异名 相益.正无入负之，负无入正之.其异名相除， 同名相益.正无入正之，负无入负之. 刘徽在《九章算术注》中给出了正、负 数的定义：两算得失相反，要令“正”“负” 以名之.同时用红色算筹表示正数，用黑色的 表示负数；12世纪，李冶首创了在数字上加 斜划以表示负数.
第七章“盈不足”：即双设法问题；第八章 “方程”：一次方程组问题；第九章“勾 股”：利用勾股定理求解的各种问题.
《九章算术》主要有算术、代数和几何 三部分的内容，概括了我国古人创造的领先 于世界的数学成就.
盈不足术
盈不足问题是我国数学的古典名题： 今有共买物，人出八盈三，人出七不足四， 问人数、物价各几何.
方程术
《九章算术》中的“方程”专指多元一次 方程组.古人在求解多元一次方程时，把方程 组的系数和常数项用算筹摆成方阵（称这样 的方阵为“方程”），再做行之间的加法， 以减少系数，最后求得方程组的解.
3x + 2y + z = 39 2x + 3y + z = 34 x + 2y + 3z = 26 1 2 3 2 3 1 3 0 2 0 → 1 4
教学 目标
知识与能力
了解中国最早的经典数学著作之一 的《九章算术》的深远影响；
初步熟悉我国古代数学家刘徽的杰 出贡献； 学习《九章算术》介绍的各种实际 问题解法.
过程与方法
《九章算术》总结了自周代以来的中国 古代数学，学习其中代表性的“盈不足 术”“方程术”“正负术”.
情感态度与价值观
《九章算术》是中国古代最著名的传世 数学著作，又是中国古代最重要的数学典籍， 对中国古代数学的发展起到了巨大的推动作 用.
教学重难点
重点
《九章算术》的主要内容以及其深远影 响.
难点
《九章算术》中介绍的各种实际问题的 解法以及其现实意义.
内容介绍
《九章算术》秉承了先秦以 来数学的发展源流，流传近2000 年.后世的数学家多是从《九章 算术》开始学习和研究数学.唐 宋两代成为官学采用的算学教 学书，并在北宋是成为世界上 最早的印刷版教学书.
21 将第二行交错相乘
物价
人数
53
7
现在一般地，设x人共出y钱购物.若每人 出m钱则盈n钱；每人出m’钱则不足n’钱， 求x与y，按“盈不足术”得如下的解法公式：
百度文库
n + n' mn' + m'n x= ,y = m - m' m - m'
这是个“一盈一不足”问题，还有“两 盈”“两不足”“一盈一适足”“一不足一 适足”等四类问题.
中国古代数学瑰宝
九 章 算 术
秦始皇陵兵马俑（中国, 1983）
知识回顾
《周髀算经》是中国 最早的天文学著作；赵 爽称为中算史上最早给 出勾股定理理论证明的 数学家；“赵爽弦图” 表现出的中国古代数学 的独具特色以及中国古 代的聪明才智和独具匠 心.
导入新课
《九章算术》大约成书于公元1世纪， 是我国古代最著名的传世数学著作，又是 中国古代最重要的数学书籍.它从成书直到 西方数学传入之前，一直是中国古代数学 学习者的首选教材.对古代数学的发展起了 巨大的推动作用.
《九章算术》 （东汉，公元100年）
1.《九章算术》的重要成就举例
《九章算术》以应用问题集的形式表述， 收有246个数学问题，分为九章．它们的主 要内容分别是：第一章“方田”：田亩面积 计算；第二章“粟米”：谷物粮食的按比例 折换；第三章“衰分”：比例分配问题；第 四章“少广”：已知面积、体积、求其一边 长和径长等；第五章“商功”：土石工程、 体积计算；第六章“均输”：合理摊派赋税；
把方程组的系数从上至下 摆成三列，运算采用“遍乘直 除”的方法，
0 4 0 4 0 0
26 34 39
11 17 37
把某一列系数全部乘 一个适当的倍数，然后再 直接减去另一列的若干倍， 一直算到每一列上只剩下 分别与三个未知数对应的 系数.
《九章算术》中的一次方程组有两元、 三元、四元和五元的，全部用上述演算程 序. 多元方程组的解法在印度最早出现在7 世纪初婆罗摩芨多所著的书中.在欧洲，最 早提出三元一次方程组解法的人是16世纪 的法国数学家比特奥.而多元一次方程组的 一般解法直到18世纪才由法国数学家贝祖 建立.
按代数解法，可设人数为x，物价为y，则有 方程组：
y = 8x - 3 y = 7x + 4
文钱.
x=7 y = 53 人数为7，物价为53
盈不足术用表格表示： 所出率 盈不足 维乘 实 法 所出率差 8 3 32 53 7 1 7 4 把所有人的钱写出来
多余、不足的钱数 相加后的结果称为“实”
盈、不足相加称为法 所出率中，大数减小数 所出率差除“实” 所出率差除“法”
有关正负数的乘除运算法则，直到元代， 朱世杰的《算学启蒙》中才明确给出.
我国对正负数四则运算所做的总结不晚 于13世纪.而国外首先认为负数的人是三个世 纪后的印度数学家婆罗摩芨多，欧洲对负数 的认识就更晚了.
2.《九章算术》的深远影响
《九章算术》总结了自周代以来的中国 古代数学，包含了以前已经解决了的数学问 题，又有汉朝时新取得的数学成就.
二、《九章算术》》
《九章算术》的作者 不详，现在传世的是三国 时代刘徽于263年完成的 注释本.内容是由周代的 “九数”发展而来的。刘 徽称：“周公制礼而有九 数，九数之流则 《九章》是矣”.
明代刊印的《九章算术注》
公元263年撰《九章 算术注》 阐述了中国传 统数学的理论体系与数学 原理； 中国传统数学最 具代表性的人物 .
标志着中国古代数学体系的形成.
《九章算术》及其注文中蕴涵的数学思 想不仅对我国古代数学产生了巨大影响，也 极大地促进了世界数学的发展.
对比《原本》和《九章算术》
《原本》是以形式逻辑方法把所有内容组 织为有机整体，《九章算术》则按问题的性 质和解法分类编排； 《原本》注重演绎推理，较少实用，《九 章算术》则全是实用算法； 《原本》内容全部为几何或几何外衣下的 算术，《九章算术》则集中了算术、代数、 几何等我国当时的全部数学知识.
正负术
方程的每一行是由多项未 知量和一个已知量所组成的等 式，其中可能有相反意义的数 量；再者，在通过“遍乘直除” 来求解多元一次方程组时，也 会出现大数减小数的情况，由 此产生正数与负数的对立概念.
负数记号
《九章算术》最早给出的正负数加减法 则的条文如下：正负术曰，同名相除，异名 相益.正无入负之，负无入正之.其异名相除， 同名相益.正无入正之，负无入负之. 刘徽在《九章算术注》中给出了正、负 数的定义：两算得失相反，要令“正”“负” 以名之.同时用红色算筹表示正数，用黑色的 表示负数；12世纪，李冶首创了在数字上加 斜划以表示负数.
第七章“盈不足”：即双设法问题；第八章 “方程”：一次方程组问题；第九章“勾 股”：利用勾股定理求解的各种问题.
《九章算术》主要有算术、代数和几何 三部分的内容，概括了我国古人创造的领先 于世界的数学成就.
盈不足术
盈不足问题是我国数学的古典名题： 今有共买物，人出八盈三，人出七不足四， 问人数、物价各几何.
方程术
《九章算术》中的“方程”专指多元一次 方程组.古人在求解多元一次方程时，把方程 组的系数和常数项用算筹摆成方阵（称这样 的方阵为“方程”），再做行之间的加法， 以减少系数，最后求得方程组的解.
3x + 2y + z = 39 2x + 3y + z = 34 x + 2y + 3z = 26 1 2 3 2 3 1 3 0 2 0 → 1 4