2014年唐山三模理科数学试卷及答案

2014年唐山市高三第三次模拟考试
唐山市2013—2014学年度高三年级第三次模拟考试
理科数学参考答案
一、选择题：
A 卷：CBDAA CBCBA
DB B 卷：BCDAA BCDBA
AD 二、填空题：
（13）x －y －2＝0
（14）x 2＋(y －2)2＝3 （15）sin α＋sin βcos α＋cos β
＝tan α＋β2 （16） 3 2
三、解答题：
（17）解： （Ⅰ）在△BDE 中，由正弦定理得DE ＝BD sin 60︒sin(120︒－θ)＝32sin(60︒＋θ)
， 在△ADF 中，由正弦定理得DF ＝AD sin 60︒sin(30︒＋θ)＝32sin(30︒＋θ)
． …4分 由tan ∠DEF ＝32，得sin(60︒＋θ)sin(30︒＋θ)＝32
，整理得tan θ＝3， 所以θ＝60︒． …6分 （Ⅱ）S ＝ 1 2DE ·DF ＝38sin(60︒＋θ)sin(30︒＋θ)＝32(3cos θ＋sin θ)(cos θ＋3sin θ)
＝32[3(cos 2θ＋sin 2θ)＋4sin θcos θ]＝32(3＋2sin 2θ)
． …10分 当θ＝45︒时，S 取最小值32(3＋2)
＝6－332． …12分 （18）解：
（Ⅰ）因为平面A 1ACC 1⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，所以BC ⊥平面A 1ACC 1， 所以A 1A ⊥BC ．
因为A 1B ⊥C 1C ，A 1A ∥C 1C ，所以A 1A ⊥A 1B ，
所以A 1A ⊥平面A 1BC ，所以A 1A ⊥A 1C ． …5分
1
（Ⅱ）建立如图所示的坐标系C -xyz ．
设AC ＝BC ＝2，因为A 1A ＝A 1C ，
则A (2，0，0)，B (0，2，0)，A 1(1，0，1)，C (0，0，0)．
CB →＝(0，2，0)，CA 1→＝(1，0，1)，A 1B 1
→＝AB →＝(－2，2，0)． 设n 1＝(a ，b ，c )为面BA 1C 的一个法向量，则n 1·CB →＝n 1·CA 1→＝0， 则⎩⎨⎧2b ＝0，a ＋c ＝0，
取n 1＝(1，0，－1)． 同理，面A 1CB 1的一个法向量为n 2＝(1，1，－1)． …9分
所以cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1||n 2|＝63
， 故二面角B -A 1C -B 1的余弦值为63
． …12分 （19）解：
（Ⅰ）记事件：“一顾客购买一件饮品获得i 等奖”为A i ，i ＝1，2，则
P (A 1)＝663＝136，P (A 2)＝4A 3363＝ 4 36
， 则一顾客一次购买一件饮品获得奖励的概率为
P (A 1＋A 2)＝P (A 1)＋P (A 2)＝536
． …4分 故一顾客一次购买两件饮品，至少有一件获得奖励的概率
p ＝1－(1－536)
2＝3351296． …6分 （Ⅱ）设一顾客每购买一件饮品所得奖金额为X 元，则X 的可能取值为x ， x 2
，0． 由（Ⅰ）得P (X ＝x )＝136，P (X ＝ x 2)＝ 4 36，E (x )＝x 36＋2x 36＝x 12
． …9分 该商场每天销售这种饮品所得平均利润
Y ＝y [(36－20)－E (x )]＝( x 4＋24)(16－x 12)＝－148
(x －48)2＋432． 当x ＝48时，Y 最大．故x 设定为48（元）为最佳． …12分
（20）解：
（Ⅰ）抛物线C 的准线x ＝－ p 2，依题意M (4－ p 2
，4)， 则42＝2p (4－ p 2
)，解得p ＝4． 故抛物线C 的方程为y 2＝8x ，点M 的坐标为(2，4)， …3分 （Ⅱ）设A (y 218，y 1)，B (y 228
，y 2)
． 直线MA 的斜率k 1＝y 1－4y 218
－2＝8y 1＋4，同理直线MB 的斜率k 2＝8y 2＋4． 由题设有8y 1＋4＋8y 2＋4
＝0，整理得y 1＋y 2＝－8． 直线AB 的斜率k ＝y 1－y 2y 218－y 228
＝8y 1＋y 2＝－1． …6分 设直线AB 的方程为y ＝－x ＋b ．
由点M 在直线AB 的上方得4＞－2＋b ，则b ＜6．
由⎩⎨⎧y 2＝8x ，y ＝－x ＋b
得y 2＋8y －8b ＝0． 由Δ＝64＋32b ＞0，得b ＞－2．于是－2＜b ＜6． …9分 |y 1－y 2|＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝42b ＋4，
于是|AB |＝2|y 1－y 2|＝8b ＋2．
点M 到直线AB 的距离d ＝6－b 2
，则△MAB 的面积 S ＝ 1 2
|AB |·d ＝22(b ＋2)(6－b )2． 设f (b )＝(b ＋2)(6－b )2，则f '(b )＝(6－b )(2－3b )．
当b ∈(－2， 2 3)时，f '(x )＞0；当b ∈( 2 3
，6)时，f '(x )＜0． 当b ＝ 2 3时，f (b )最大，从而S 取得最大值12839
． …12分 （21）解：
（Ⅰ）h (x )＝f (x )－g (x )＝e x －1－x ，h '(x )＝e x －1．
当x ∈(－∞，0)时，h '(x )＜0，h (x )单调递减；
当x ∈(0，＋∞)时，h '(x )＞0，h (x )单调递增． 当x ＝0时，h (x )取最小值h (0)＝0． …4分 （Ⅱ）[f ( x k )g (－ x k )]k ＞1－x 2k 即[e x k (1－ x k )]k ＞1－x 2k
． ① 由（Ⅰ）知，f ( x k )－g ( x k )≥0，即e x k ≥1＋ x k
， 又1－ x k ＞0，则e x k (1－ x k )＞(1＋ x k )(1－ x k )＝1－x 2
k 2＞0． 所以[e x k (1－ x k )]k ＞(1－x 2k
2)k ． ② …7分 设φ(t )＝(1－t )k －1＋kt ，t ∈[0，1]．
由k ＞1知，当t ∈(0，1)时，φ'(t )＝－k (1－t )k －1＋k ＝k [1－(1－t )k ]＞0， φ(t )在[0，1]单调递增，当t ∈(0，1)时，φ(t )＞φ(0)＝0．
因为x 2k 2∈(0，1)，所以φ(x 2k 2)＝(1－x 2k 2)
k －1＋k ·x 2
k
2＞0， 因此不等式②成立，从而不等式①成立． …12分
（22）解：
（Ⅰ）连结OA ，则OA ＝OD ，所以∠OAD ＝∠ODA ，
又∠ODA ＝∠ADE ，所以∠ADE ＝∠OAD ，所以OA ∥即CE ．
因为AE ⊥CE ，所以OA ⊥
AE ．
所以AE 是⊙O 的切线． …5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得△ADE ∽△BDA ，
所以AE AD ＝AB BD ，即2AD ＝4BD
，则BD ＝2AD ， 所以∠ABD ＝30︒，从而∠DAE ＝30︒，
所以DE ＝AE tan 30︒＝233
． 由切割线定理，得AE 2＝ED ·EC ，
所以4＝233 (233＋CD )，所以CD ＝433
． …10分 （23）解：
（Ⅰ）曲线C 1的极坐标方程为ρ2cos 2θ4＋ρ2sin 2θ＝1，即cos 2θ4＋sin 2θ＝1ρ
2． 在极坐标系中，设M (ρ，θ)，P (ρ1，α)，则
题设可知，ρ1＝ ρ 2，α＝ θ 2
． ① 因为点P 在曲线C 1上，所以cos 2α4＋sin 2α＝1ρ21
． ② 由①②得曲线C 2的极坐标方程为1ρ2＝cos 2 θ 216＋sin 2 θ 24
． …6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得
1|OM |2＝116
(1＋3sin 2 θ 2)． 因为1|OM |
2的取值范围是[116， 1 4]，所以|OM |的取值范围是[2，4]． …10分 （24）解：
（Ⅰ）记f (x )＝|x －1|－|x ＋2|＝⎩⎪⎨⎪⎧3，
x ≤－1，－2x －1，－1＜x ＜1，－3，
x ≥1． 由－2＜－2x －1＜0解得－ 1 2＜x ＜ 1 2，则M ＝(－ 1 2， 1 2
)． …3分 所以| 1 3a ＋ 1 6b |≤ 1 3|a |＋ 1 6|b |＜ 1 3× 1 2＋ 1 6× 1 2＝ 1 4
． …6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得a 2＜ 1 4，b 2＜ 1 4
． 因为|1－4ab |2－4|a －b |2＝(1－8ab ＋16a 2b 2)－4(a 2－2ab ＋b 2)
＝(4a 2－1)(4b 2－1)＞0， …9分
所以|1－4ab |2＞4|a －b |2，故|1－4ab |＞2|a －b |． …10分。