2014年唐山三模理科数学试卷及答案

2014年唐山市高三第三次模拟考试

唐山市2013—2014学年度高三年级第三次模拟考试

理科数学参考答案

一、选择题：

A 卷：CBDAA CBCBA

DB B 卷：BCDAA BCDBA

AD 二、填空题：

（13）x －y －2＝0

（14）x 2＋(y －2)2＝3 （15）sin α＋sin βcos α＋cos β

＝tan α＋β2 （16） 3 2

三、解答题：

（17）解： （Ⅰ）在△BDE 中，由正弦定理得DE ＝BD sin 60︒sin(120︒－θ)＝32sin(60︒＋θ)

， 在△ADF 中，由正弦定理得DF ＝AD sin 60︒sin(30︒＋θ)＝32sin(30︒＋θ)

． …4分 由tan ∠DEF ＝32，得sin(60︒＋θ)sin(30︒＋θ)＝32

，整理得tan θ＝3， 所以θ＝60︒． …6分 （Ⅱ）S ＝ 1 2DE ·DF ＝38sin(60︒＋θ)sin(30︒＋θ)＝32(3cos θ＋sin θ)(cos θ＋3sin θ)

＝32[3(cos 2θ＋sin 2θ)＋4sin θcos θ]＝32(3＋2sin 2θ)

． …10分 当θ＝45︒时，S 取最小值32(3＋2)

＝6－332． …12分 （18）解：

（Ⅰ）因为平面A 1ACC 1⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，所以BC ⊥平面A 1ACC 1， 所以A 1A ⊥BC ．

因为A 1B ⊥C 1C ，A 1A ∥C 1C ，所以A 1A ⊥A 1B ，

所以A 1A ⊥平面A 1BC ，所以A 1A ⊥A 1C ． …5分

1

（Ⅱ）建立如图所示的坐标系C -xyz ．

设AC ＝BC ＝2，因为A 1A ＝A 1C ，

则A (2，0，0)，B (0，2，0)，A 1(1，0，1)，C (0，0，0)．

CB →＝(0，2，0)，CA 1→＝(1，0，1)，A 1B 1

→＝AB →＝(－2，2，0)． 设n 1＝(a ，b ，c )为面BA 1C 的一个法向量，则n 1·CB →＝n 1·CA 1→＝0， 则⎩⎨⎧2b ＝0，a ＋c ＝0，

取n 1＝(1，0，－1)． 同理，面A 1CB 1的一个法向量为n 2＝(1，1，－1)． …9分

所以cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1||n 2|＝63

， 故二面角B -A 1C -B 1的余弦值为63

． …12分 （19）解：

（Ⅰ）记事件：“一顾客购买一件饮品获得i 等奖”为A i ，i ＝1，2，则

P (A 1)＝663＝136，P (A 2)＝4A 3363＝ 4 36

， 则一顾客一次购买一件饮品获得奖励的概率为

P (A 1＋A 2)＝P (A 1)＋P (A 2)＝536

． …4分 故一顾客一次购买两件饮品，至少有一件获得奖励的概率

p ＝1－(1－536)

2＝3351296． …6分 （Ⅱ）设一顾客每购买一件饮品所得奖金额为X 元，则X 的可能取值为x ， x 2

，0． 由（Ⅰ）得P (X ＝x )＝136，P (X ＝ x 2)＝ 4 36，E (x )＝x 36＋2x 36＝x 12

． …9分 该商场每天销售这种饮品所得平均利润

Y ＝y [(36－20)－E (x )]＝( x 4＋24)(16－x 12)＝－148

(x －48)2＋432． 当x ＝48时，Y 最大．故x 设定为48（元）为最佳． …12分

（20）解：

（Ⅰ）抛物线C 的准线x ＝－ p 2，依题意M (4－ p 2

，4)， 则42＝2p (4－ p 2

)，解得p ＝4． 故抛物线C 的方程为y 2＝8x ，点M 的坐标为(2，4)， …3分 （Ⅱ）设A (y 218，y 1)，B (y 228

，y 2)

． 直线MA 的斜率k 1＝y 1－4y 218

－2＝8y 1＋4，同理直线MB 的斜率k 2＝8y 2＋4． 由题设有8y 1＋4＋8y 2＋4

＝0，整理得y 1＋y 2＝－8． 直线AB 的斜率k ＝y 1－y 2y 218－y 228

＝8y 1＋y 2＝－1． …6分 设直线AB 的方程为y ＝－x ＋b ．

由点M 在直线AB 的上方得4＞－2＋b ，则b ＜6．

由⎩⎨⎧y 2＝8x ，y ＝－x ＋b

得y 2＋8y －8b ＝0． 由Δ＝64＋32b ＞0，得b ＞－2．于是－2＜b ＜6． …9分 |y 1－y 2|＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝42b ＋4，

于是|AB |＝2|y 1－y 2|＝8b ＋2．

点M 到直线AB 的距离d ＝6－b 2

，则△MAB 的面积 S ＝ 1 2

|AB |·d ＝22(b ＋2)(6－b )2． 设f (b )＝(b ＋2)(6－b )2，则f '(b )＝(6－b )(2－3b )．

当b ∈(－2， 2 3)时，f '(x )＞0；当b ∈( 2 3

，6)时，f '(x )＜0． 当b ＝ 2 3时，f (b )最大，从而S 取得最大值12839

． …12分 （21）解：

（Ⅰ）h (x )＝f (x )－g (x )＝e x －1－x ，h '(x )＝e x －1．

当x ∈(－∞，0)时，h '(x )＜0，h (x )单调递减；

当x ∈(0，＋∞)时，h '(x )＞0，h (x )单调递增． 当x ＝0时，h (x )取最小值h (0)＝0． …4分 （Ⅱ）[f ( x k )g (－ x k )]k ＞1－x 2k 即[e x k (1－ x k )]k ＞1－x 2k

． ① 由（Ⅰ）知，f ( x k )－g ( x k )≥0，即e x k ≥1＋ x k

， 又1－ x k ＞0，则e x k (1－ x k )＞(1＋ x k )(1－ x k )＝1－x 2

k 2＞0． 所以[e x k (1－ x k )]k ＞(1－x 2k

2)k ． ② …7分 设φ(t )＝(1－t )k －1＋kt ，t ∈[0，1]．

由k ＞1知，当t ∈(0，1)时，φ'(t )＝－k (1－t )k －1＋k ＝k [1－(1－t )k ]＞0， φ(t )在[0，1]单调递增，当t ∈(0，1)时，φ(t )＞φ(0)＝0．

因为x 2k 2∈(0，1)，所以φ(x 2k 2)＝(1－x 2k 2)

k －1＋k ·x 2

k

2＞0， 因此不等式②成立，从而不等式①成立． …12分

（22）解：

（Ⅰ）连结OA ，则OA ＝OD ，所以∠OAD ＝∠ODA ，

又∠ODA ＝∠ADE ，所以∠ADE ＝∠OAD ，所以OA ∥即CE ．

因为AE ⊥CE ，所以OA ⊥

AE ．

所以AE 是⊙O 的切线． …5分

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得△ADE ∽△BDA ，