初中数学八年级下册 4.勾股定理与分类讨论思想

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人教版八年级数学下册_第一节《勾股定理》勾股定理

下列说法中,正确的是
（
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下列说法中,正确的是
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2.你还有什么疑问，问问老师。通过前面的探究活动，你发现了直角三角形三边之间的关系规律了吗？
（1）若a=6，b=8，则c=
.
通过前面的探究活动，你发现了直角三角形三边之间的关系规律了吗？
在Rt△ABC中，∠C=90°.
思考：在网格中一般的直角三角形，以它的三边为边长的三个正方形A、B、C 是否也有类似的面积关系？观察下边两幅图(每个小正方形的面积为单位1)：
1.本节课你有什么收获？你学到了什么？在Rt△ABC中，∠C=90°，a=6，c=10，则b=
.
通过前面的探究活动，你发现了直角三角形三边之间的关系规律了吗？
思考正方形A、B、C 所围成的直角三角形三条边之间有怎样的特殊关系？
说给大家听听。如果直角三角形两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．
（2）若c=13，b=12，则a=
.
在Rt△ABC中，两直角边长分别为3和，则斜边长为
.
第1课时勾股定理
思考：在网格中一般的直角三角形，以它的三边为边长的三个正方形A、B、C 是否也有类似的面积关系？观察下边两幅图(每个小正方形的面积为单位1)：
9
13
右图 16
9
25
Hale Waihona Puke 思考正方形A、B、C 所围成的直角三角形三条边之间有怎样的特殊关系？
通过前面的探究活动，你发现了直角三角形
在Rt△ABC中，∠C=90°.
三边之间的关系规律了吗？在Rt△ABC中，两直角边长分别为3和，则斜边长为
.
已知a,b,c是三角形的三边，则a2+b2=c2

分类讨论思想在数学教学中的应用

分类讨论思想在数学教学中的应用分类讨论思想是近年来在数学教学中越来越广泛应用的思维方式，其基本思想是将问题分解成不同的情况，分别讨论解决，最终得出总解。

分类讨论思想在数学中有着广泛的应用，下面将从数学初中数学和高中数学两个角度来探讨分类讨论思想在数学教学中的应用。

一、初中数学中的应用1. 基础理论-排列组合排列组合是初中数学学习中的重难点，其中就包涵着分类讨论思想。

比如要求n个人分成两组，可以分为选了0/1/2/...n个人放入第一组，其他人放入第二组四种情况，然后再分别计算每种情况的方案数，最后累加起来即可得到总方案数。

2. 几何证明-勾股定理中学数学教学中勾股定理是不可或缺的，而且勾股定理的证明中分类讨论思想也起到了关键作用。

证明勾股定理可以分两种情况讨论：①直角在斜边上②直角不在斜边上。

在第一个情况下，可以假设直角点C在斜边AB上，然后按照三边关系计算AC和BC的平方和是否等于AB的平方。

而在第二种情况下，可以将三角形的一边作为底边D，将BD切成两段分别作为AB和AC，然后继续按照三边关系推导。

3. 统计与概率-树形图统计与概率中经典的树形图也是分类讨论思想在数学中的应用之一。

使用树形图可以很好地将概率事件的条件和不同情况列举出来，并计算各种情况下事件的概率。

1. 实数实数中有两类数：有理数和无理数，而无理数又有代数无理数和超越无理数，其中代数无理数可分为有理根和无理根两种情况。

分类讨论思想在这个方面可以非常清晰地展现出来：①有理数②代数无理数③超越无理数。

因为这些数之间存在巨大的不同，通过这种分类思想可以更加清晰地理解它们之间的关系。

2. 函数函数是高中数学中一个非常重要的概念，而分类讨论思想也在函数教学中扮演着重要角色。

比如，分段函数就可以通过将定义域分成不同的区间，分别定义函数的形式来讨论每个区间内的函数情况。

这样可以使学生更加清晰地认识函数的形式和作用，也更加容易学习和理解。

3. 解析几何解析几何中的分类讨论思想通常可分为两类：①平面几何上的情况②空间几何上的情况。

八年级下册数学勾股定理教学设计

勾股定理教学设计常德市临澧县第三中学周慧芳教材：义务教育教科书《数学》八年级下册（湖南教育出版社）图2为边长向外作正方形，得到三个大小不同的正方形，那么这三个正方形的面积S1、S由画图过程去体会正方形S3的计算方法学生回答：S1+S2=S3，即2a活动三1：对于任意的直角三角形，这个结论成立吗？+b 2-2a b +a 2b 2 =c 2 4(2b a +-4(2b a +-教学流程新课程标准的过程式教学要求：目标要学生清楚，过程让学生经历，结论让学生得出，及规律让学生发现，收获让学生交流。

本节课的教学过程遵循主体性原则、开放性原则、兴趣性原则，师生始终处于一种合作交流的互动状态。

结合学生的认知规律、构建主义原则及教学评价设计:1. 英国教育家斯宾塞提倡：“教学中应尽量鼓励个人发展，应该引导学生自己去探索，自己去推理，自己去发现。

”新课程标准更是要求课堂教学中体现学生的主体地位。

围绕这个理念，在这节课的设计中，我以培养学生探究能力为中心，坚持数学思想方法和探究方法的渗透，积极鼓励激发学生自己去思考探究。

这节课我采用自评，互评，师评相结合的多元化评价方式，尊重学生的个体差异，关注学生的每一个闪光点。

对于学生的每一个进步都给予充分的肯定与赞赏，让他们在探究的过程中体会成功的喜悦，激发探究热情。

让学生以研究者、探索者的角色出现，通过一系列的数学实验体验知识形成的过程，使课堂成为一个再发展、再创造的过程，真正让学生体会我探究、我快乐、我思考、我成功。

2.信息技术与学科的融合在信息社会，信息技术与课程的融合必将带来教育者的深刻变化。

本课中我充分地利用多媒体教学，为学生创设了生动、直观的数学情景。

这些情景具有强列的吸引力，能激发学生的学习欲望。

心理学专家研究表明:运动的图形比静止的图形更能引起学生的注意力。

在传统教学中，用笔、尺和圆规在纸上或黑板上画出的图形都是静止图形，同时图形一旦画出就被固定下来，失去了一般性。

勾股定理与数学思想方法

勾股定理与数学思想方法勾股定理是数学中的一个重要定理，在利用勾股定理解题时，常常把有关的已知量与未知量在图形中表示出来，这就是说，利用勾股定理解决问题时要用到“数形结合思想”，即在研究问题时把数和形结合考虑或者把问题的数量关系转化为图形的性质，或者把图形的性质转化为数量关系，从而使复杂问题简单化，抽象问题具体化。

因此，勾股定理体现了数形结合的思想。

除此之外，勾股定理还常常体现出以下三种数学思想，下面结合近年的中考试题举例说明：1. 方程思想方程思想是指对所求问题通过列方程（组）求解的一种思维方法，中考中用方程思想求解的题目随处可见。

例1. （河北省2005）工人师傅为检测该厂生产的一种铁球的大小是否符合要求，设计了一个如图1所示的工件槽，其中工件槽的两个底角均为90°，尺寸如图1（单位：cm ）。

将形状规则的铁球放入槽内，若同时具有图1所示的A 、B 、E 三个接触点，该球的大小就符合要求。

图2是过球心O 及A 、B 、E 三点的截面示意图。

已知⊙O 的直径就是铁球的直径，AB 是⊙O 的弦，CD 切⊙O 于点E ，CD AC ⊥，CD BD ⊥。

请结合图1中的数据，计算这种铁球的直径。

图2解：连结OA 、OE ，设OE 与AB 交于点P ，如图3。

∴⊥⊥=,CD BD ,CD AC ,BD AC 四边形ACDB 是矩形。

CD 与⊙O 切于点E ，OE 为⊙O 的半径，4PE ,4BD AC 8PA ,16CD AB AC PE ,PB PA ABOE ,CD OE =∴===∴===∴=⊥∴⊥∴ 在OAP Rt ∆中，由勾股定理得22PA OA =2OP +，即222)4OA (8OA -+=，解得10OA =。

所以这种铁球的直径为20cm 。

2. 分类思想数学中的分类讨论就是把所研究的对象按可能出现的情况不重复、无遗漏地分别加以讨论，从而获得对问题完整的解答。

在这里充分体现了分类讨论的思想。

勾股定理应用中的数学思想

勾股定理应用中的数学思想勾股定理是平面几何有关度量的最基本定理之一，它从边的角度进一步刻画了直角三角形的特征，揭示了直角三角形的一个重要的三边关系．在勾股定理的探索和应用过程中，蕴含着丰富的数学思想．下面试举几例：一、方程思想方程思想是初中数学中一种常用的数学思想，它通过设未知量、寻找相等关系建立方程模型，运用方程的有关知识沟通“已知”和“未知”之间关系的思想，即方程思想．例1、如图1，△ABC 中，AB=15，BC=14，AC=13，求BC 边上的高AD ．分析：本题的图形是由一条公共边AD 的两个直角三角形（Rt △ABD 和Rt △ACD ）组成的图形，我们一般称为复合三角形．求解复合三角形的基本思路是抓住公共边，利用公共边相等来建立方程．解析：设DC=x ，则BD=14- x ．根据勾股定理得 AD 2=152-（14- x ）2， AD 2=132- x 2∴152-（14- x ）2=132- x2225-（196-28x + x 2）=169- x 2225-196+28x -x 2=169- x 228x=169-225+196 28x=365-225 28x=140 x=5在Rt △ACD 中 AD 2= AC 2-CD 2=132-52= 144 ∴ AD=12 二、数形结合思想数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”，即通过抽象思维与形象思维的结合，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的．例1．如图2有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm ，BC=8cm ，现将直角边AC•沿直DABC图1线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，求CD 长．解析：本题关键在于观察图形，明确折叠前、后的两个图形是全等的，特别要注意△DEB 仍是直角三角形．通过Rt △ABC ，∠C=90°，AC=6，BC=8 利用勾股定理可求出 AB=10．由题意知△ACD ≌△AED ⇒∠AED=∠C=90°⇒∠DEB=90°，且DE=CD ，AC=AE=6，设CD=x ，则DE=x ，而EB=10-6=4，抓住Rt △DEB 的三边关系，利用勾股定理就可以求出．在Rt △DEB 中，BD 2=DE 2+BE 2（8-x ）2=x 2+42， 64-16x+x 2=x 2+16， 16x=48，解得x=3（cm ）．即CD 的长是3 cm. 三、分类讨论思想在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类讨论法．分类讨论是一种逻辑方法，也是一种重要的数学思想．例3.在一个直角三角形中，已知有两条边的长分别为3和4，求以第三条边为边长的正方形的面积．解析：此题中并没有说明第三条边是直角边还是斜边，所以需要分类讨论，设第三条边的长为x ．（1）当x 为斜边时，根据勾股定理得x 2=32+42=52=25，所以第三条边为边长的正方形的面积是25．（2）当x 为直角边时，根据勾股定理得x 2=42-32=16-9=7，所以第三条边为边长的正方形的面积是7．因此，以第三条边为边长的正方形的面积是25或7. 四、转化思想转化思想是把未知的问题转化到在已有知识范围内可解问题的一种重要的思想方法．数学的解题过程，就是图3AMG C DEH FB从“未知”向“已知”、从“复杂”到“简单”的化归转换过程．在本章中，求长方体、圆柱等立体图形表面的最短距离时，通常都是把其侧面展开成平面图形，然后根据“两点之间，线段最短”，利用勾股定理求解．例4. 如图3是一个长8 m、宽6m、高5m的长方体形仓库，在其内壁的A（长的四等分点）处有一只壁虎、B（宽的三等分点）处有一只蚊子，请你帮壁虎设计爬到蚊子处的最短路线，并说明理由．解析：解决立体图形中最短距离问题的关键是把利用转化思想，把陌生的立体图形转化到熟悉的平面图形，再利用“两点之间，线段最短”求解，壁虎要从A点爬到B点，有两条路线可走：（1）如图a，经过CDEF面后进入CFGH面到达B点．在Rt△ABE中，BE=4+5=9m，AE=6m，根据勾股定理得AB2=AE2+BE2=62+92=117 .(2)如图b，经过CDEF面后进入EFGM面，在Rt△ABN中，EN=FB=4m，AN=AE+EN=6+4=10m， BN=FE=5m，所以AB2=AN2+BN2=102+52=125. 显然125＞117,所以壁虎趴到蚊子处的最短路线是沿着图a中的线段AB．图aHCD EFGAB图bG CDFAB。

勾股定理

学
边，求斜边直接用勾股定理。⑵⑶已知斜边和一直角边，求另一直角边，用勾股定理的便形式。 ⑷⑸已知一边和两边比，求未知边。通过前三题让学生明确在直角三角形中，已知任意两边都可以求出第三边。后两题让学生明确已知一边和两边关系，也可以求出未知边，学会见比设参的数学方法，体会由角转化为边的关系的转化思想。
第三步：课堂练习
1．勾股定理的具体内容是： 2．如图，直角△ABC 的主要性质是：∠C=90°，（用几何语言表示） ⑴两锐角之间的关系： ⑵若 D 为斜边中点，则斜边中线 ⑶若∠B=30°，则∠B 的对边和斜边： ⑷三边之间的关系：；；； =90°；若满足 b2＞c2＋a2，则∠ 角。。
教
⑸已知直角三角形的两边长分别为 3cm 和 5cm，则第三边长为 ⑹已知等边三角形的边长为 2cm，则它的高为 2．已知：如图，在△ABC 中，∠C=60°，AB= 4 的长。，面积为
3 ，AC=4，AD 是 BC 边上的高，求 BC
学
3．已知等腰三角形腰长是 10，底边长是 16，求这个等腰三角形的面积。
2
第二步：应用提高：
学
例：①在解决问题时，每个直角三角形需知晓几个条件？ ②直角三角形中哪条边最长？（2）在长方形 ABCD 中，宽 AB 为 1m，长 BC 为 2m ，求 AC 长．问题（1）在长方形 ABCD 中 AB、BC、AC 大小关系？（2）一个门框的尺寸如图 1 所示． ①若有一块长 3 米，宽 0.8 米的薄木板，问怎样从门框通过？ ②若薄木板长 3 米，宽 1.5 米呢？ ③若薄木板长 3 米，宽 2.2 米呢？为什么？
1 2 c 它的面积等于 2 .
学
又∵ ∠DAE = 90º, ∠EBC = 90º, ∴ AD∥BC.

分类讨论思想在初中数学解题中的应用

学习指导２０２３年８月下半月㊀㊀㊀分类讨论思想在初中数学解题中的应用◉江苏省昆山开发区青阳港学校㊀沈俊杰㊀㊀摘要:近年来,分类讨论的问题已经成为各地中考压轴试题的热门考点,这类问题学生在解答中极易出现漏解．本文中就分类讨论思想在初中数学各个专题中的应用浅谈应用策略．关键词:分类讨论;初中数学;解题;应用㊀㊀在初中数学教学过程中发现,大多数学生对分类讨论思想了解不够深入,把握不够牢固,分析问题比较片面,导致问题解决不彻底．本文中笔者根据自身教学实践,就分类讨论思想在初中数学各个专题中的应用进行探讨研究．１分类讨论思想在绝对值问题中的运用由绝对值的概念可知,绝对值可用来表示数轴上两点之间的距离,但无法明确这两点的具体位置,对此类问题,我们就需要进行分类讨论后再确定相应的值．例１㊀解决下面的问题:(１)如果|x ＋１|＝２,求x 的值;(２)若数轴上表示数a 的点位于－３与５之间,求|a ＋３|＋|a －５|的值;(３)当a ＝㊀㊀㊀时,|a －１|＋|a ＋５|＋|a －４|的值最小,最小值是㊀㊀㊀㊀．点拨:显然,例１中的每一个问题都涉及到了绝对值,由于绝对值里的式子不知是正还是负,因此需要进行分类讨论．(１)由|x ＋１|＝２,可得x ＋１＝２,或x ＋１＝－２,解得x ＝１,或x ＝－３．(２)中因为已经明确表示数a 的点位于－３与５之间,故可以判断a ＋３和a －５的正负,则不需要进行分类讨论,可直接根据正负情况去掉绝对值进行解答．(３)中没有明确数a 的具体大小,无法直接判断a －１,a ＋５,a －４的正负,这就需要利用三个零点从四个方面进行分类讨论,再根据具体的取值分析最小值即可．从例１的分析可知,在遇到数轴上点的位置不明确时,就需要考虑使用分类讨论思想进行解答,从而将绝对值符号去掉并轻松解题[１]．２分类讨论思想在二次根式中的运用在涉及有关二次根式的计算与化简问题时,常常会遇到形如a ２的式子,如何对这类式子进行化简,则需要进行分类讨论．例２㊀若代数式(２－a )２＋(a －４)２＝２,求a 的值．点拨:若对代数式进行化简,则要去掉根号,根据a ２＝a ,将问题转化为含有绝对值的问题来处理,结合例１的分析可考虑利用分类讨论思想解题．(２－a )２＋(a －４)２＝|２－a |＋|a －４|,再分别从a ＜２,２ɤa ＜４,a ȡ４三个方面进行分类讨论,进而化简求值．在解决与二次根式有关的求数的平方根或者化简二次根式等问题都要注意分类讨论思想的运用．３分类讨论思想在方程中的运用在一些与方程有关的问题中,若方程含有字母参数,根据题干我们无法直接判断参数的情况,从而无法判断方程的类型,对下一步的问题解答造成麻烦,这个时候就需要进行分类讨论[２]．例３㊀已知关于x 的方程(m ＋１)x ２－(m －２)x ＋m ４＝０．(１)若方程有实数根,求m 的取值范围;(２)已知x １,x ２为方程的两个实数根,且x ２１－x ２２＝０,求m 的值．点拨:第(１)问只是说明这是关于x 的方程,从方程式可以看出未知数的最高次数是２次,但由于二次项系数m ＋１有可能为０,因此可以从m ＋１ʂ０和m ＋１＝０两方面判断该方程是一元二次方程或者一元一次方程．根据方程特点,可整理分析得２５Copyright ©博看网. All Rights Reserved.２０２３年８月下半月㊀学习指导㊀㊀㊀㊀到Δȡ０或m ＋１＝０两种情况,再解不等式或方程求出m 的取值范围即可．此类题型主要问题是概念指代不清,存在类似问题的还有函数是一次函数还是二次函数,都需要考虑分类讨论．４分类讨论思想在不等式中的运用在解决不等式的有关问题时,也常常遇到由a b ＞０或a b ＜０来判断a ,b 符号的问题,根据同号为正㊁异号为负的法则,需要我们针对具体情况进行分类讨论,如当a b ＞０时,有a ＞０,b ＞０,{或a ＜０,b ＜０．{两种情况．例４㊀解一元二次不等式:x ２－４＞０．点拨:将x ２－４分解因式,得x ２－４＝(x ＋２)(x －２),则原不等式转化(x ＋２)(x －２)＞０即可．根据有理数的乘法法则两数相乘,同号得正 ,进行分类讨论,则有x ＋２＞０,x －２＞０,{或x ＋２＜０,x －２＜０,{进而解得一元二次不等式x ２－４＞０的解集为x ＞２或x ＜－２．在计算过程中出现同号为正㊁异号为负的情况时,都需要从两个方面进行计算,此时要关注分类讨论思想的体现,以防漏解或缺解．５分类讨论思想在几何图形中的应用几何图形中常见的分类讨论往往集中在等腰三角形的判定㊁相似三角形的判定㊁与圆相关的图形位置判断等方面．涉及几何图形的分类讨论问题往往融合在函数中,故处理相关问题时也要注意分类讨论[３]．例５㊀已知øA O B ＝８０．５ʎ,øA O D ＝１２øA O C ,øB O D ＝３øB O C (øB O C ＜５０ʎ),求øB O C 的度数．点拨:根据题干叙述,无法直接判断O C ,O D 的位置,从而无法进行计算,因此本题需要根据题干情况进行分类讨论．根据题意分析,可以得到符合要求的有三种情况,针对存在的三种情况,画出相应的图形,然后进行计算,即可得到øB O C 的度数[４]．图１例６㊀如图１,在直角梯形A B C D 中,A D ʊB C ,øC ＝９０ʎ,B C ＝１６,A D ＝２１,D C ＝１２,动点P 从点D 出发,沿线段D A 方向以每秒２个单位长度的速度运动,动点Q 从点C 出发,在线段C B 以每秒１个单位长度的速度向点B 运动．点P ,Q 分别从点D ,C 同时出发,当点P 运动到点A 时,点Q 随之停止运动,设运动时间为t s ．(１)设әB P Q 的面积为S ,求S 和t 之间的函数关系式;(２)当t 为何值时,以B ,P ,Q 三点为顶点的三角形是等腰三角形?点拨:显然,第(２)问中以B ,P ,Q 三点为顶点的三角形是等腰三角形,需要分三种情况讨论:①P Q ＝B Q ;②B P ＝B Q ;③P B ＝P Q ．根据勾股定理最终求得t ＝７２或t ＝１６３时,以B ,P ,Q 三点为顶点三角形是等腰三角形．图２例７㊀如图２,四边形A B C D 中,A D ʊB C ,øB ＝９０ʎ,A B ＝８,B C ＝２０,A D ＝１８,Q 为B C 的中点,动点P 在线段A D边上以每秒２个单位长度的速度由点A 向点D 运动,设动点P 的运动时间为t s ．在A D 边上是否存在一点R ,使得以B ,Q ,R ,P 四点为顶点的四边形是菱形若存在,请直接写出t 的值;若不存在,请说明理由．点拨:题目中要求探究的点R 在什么位置,我们一下子搞不清,故考虑分类讨论,可分为两种情况．一是点P 在点R 的左侧,四边形B Q R P 是菱形,此时B P ＝B Q ＝１０,根据勾股定理求得A P ＝６,则D P ＝１２,再列方程求出此时的t 值即可;二是点R 在点P 的左侧,四边形B Q P R 是菱形,此时B R ＝B Q ＝１０,A P ＝６＋１０＝１６,再列方程求出t 值．结合上述五个方面的研究发现,在解答数学问题的过程中遇到一些点或线位置不明确㊁图形不固定的情况时,要考虑分类讨论,让问题解答更加全面．总之,在初中数学问题研究中,充分运用分类讨论思想更能深刻挖掘学生的生活体验,引导他们从多个角度感知㊁分析问题情境,更多地激励学生开动脑筋,运用新思想新方法,拓展思维,从而培养学生多角度全方位的解题习惯,全面提升数学核心素养．参考文献:[１]顾宣峰．分类讨论思想在高中数学解题中的应用[J ]．高中数理化,２０２１(S １):２０．[２]任建平．分类讨论思想在初中数学解题教学中的运用探究[J ]．数理天地(初中版),２０２３(１３):３７Ｇ３８．[３]王珍．分类讨论思想在初中数学解题教学中的运用[J ]．中学数学,２０２３(１２):７３Ｇ７４．[４]孙高传．分类讨论思想在初中数学解题教学中的运用[J ]．第二课堂(D ),２０２２(２):３８Ｇ３９．Z ３５Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。

初中数学分类讨论思想例题简析

初中数学分类讨论思想例题简析（一）剑门中学------何俊平分类讨论思想是数学中重要的思想和一种解题方法，旨在考查我们思考问题的逻辑性、周密性和全面性，分类讨论问题也属于创新性问题，此类题综合性强，难题较大，在历年中考试题中多以压轴题出现，对考生的能力要求较高，具有很强的选拔性。

初中数学分类讨论的知识点有三大类：一是代数类：如绝对值、方程及根的定义，函数的定义以及点（坐标不确定）所在象限等.二是几何类：各种图形的位置关系，未明确对应关系的全等或相似的可能对应情况等.三是综合类：代数与几何类分类情况的综合运用.分类是按照数学对象的相同点和不同点，将数学对象区分为不同种类的思想方法，掌握分类的方法，领会其实质，对于加深基础知识的理解，提高分析问题、解决问题的能力是十分重要的．正确的分类必须是周全的，既不重复，也不遗漏．分类的原则：①分类中的每一部分是相互独立的；②一次分类按一个标准；③分类讨论应逐级有序进行．④以性质、公式、定理的使用条件为标准分类.下面列举初中数学几何中常见的几种分类讨论思想的问题，供同学们借鉴。

一、与线段有关的分类讨思想的应用——线段及端点位置的不确定性需讨论。

例1、已知直线AB上一点C，且有CA=3AB，则线段CA︰CB= 3︰2 或3︰4 。

解析：分点C在线段AB的延长线上和线段BA的延长线上两种情况求解。

尝试1、已知A、B、C三点在同一条直线上，且线段AB=7cm，点M为线段AB的中点，线段BC=3cm，点N为线段BC的中点，求线段MN的长.二、与角有关的分类讨论思想的应用——角的一边不确定性需讨论。

例2、在同一平面上，∠AOB=70°，∠BOC=30°，射线OM平分∠AOB，ON平分∠BOC，则∠MON=20°或50°。

解析：分射线OC在∠AOB的内部和外部两种情况求解。

尝试2、已知oAOB60∠=,过O作一条射线OC，射线OE平分AOC∠，射线OD平分∠的大小。

分类讨论思想

k＋2 k k＋1 k 2
＋＋
(2)当 q＝1 时，Sk＋1＝(k＋1)a1＝k＋1，Sk＋3＝k＋3，Sk＋2＝k＋2，显然 Sk＋1＋Sk＋2＝ k＋1＋k＋2＝2k＋3≠2Sk＋3，故 Sk＋1，Sk＋3，Sk＋2 不能构成等差数列；
－1k＋1 1－ 2 1 ＋ 1 2 当 q＝－时，Sk＋1＝＝ 1－－2k 1 ，同理可得 Sk＋2＝ 2 3 1 1－－2
n n2n，①
nn＋1 ； 2
，②
＋pn－npn
＋1
即 Tn
题型三
参数取值分类讨论
【例 3】已知 m∈R，求函数 f(x)＝(4－3m)x2－2x＋m 在区间[0,1] 上的最大值． 4 4 解：(1)当 4－3m＝0，即 m＝时，函数 y＝－2x＋，它在[0,1] 3 3 4 上是减函数，所以 ymax＝f(0)＝ . 3 4 (2)当 4－3m≠0，即 m≠ 时，y 是二次函数 . 3 4 ①若 4－3m>0，即 m< 时，二次函数 y 的图象开口向上，对称轴 3 x＝ 1 >0，它在[0,1]上的最大值只能在区间端点得到(由于 4－3m
3．已知直角坐标平面上点 Q(2,0)和圆 C：x ＋y ＝1，动点 M 到圆 C 的切线长与|MQ|的比等于常数 λ(λ>0)，试求动点 M 的轨迹方程，它表示什么曲线？解：如图，设直线 MN 切圆于 N，则动点 M 组成的集合 P＝{M||MN|＝λ|MQ|}，式中常数 λ>0，因为圆的半径|ON| ＝1，依勾股定理|MN| ＝|MO| －|ON| ＝|MO| －1，设点 M 的坐标为(x，y)，则
此处不涉及最小值，故不需讨论区间与对称轴的关系)．
f(0)＝m，f(1)＝2－2m. 4 2 4 当 m≥2－2m，又 m< ，即 ≤m< 时，ymax＝m； 3 3 3 4 2 当 m<2－2m, 又 m< ，即 m< 时，ymax＝2－2m. 3 3 4 ②若 4－3m<0，即 m> 时，二次函数 y 的图象开口向下，又 3 它的对称轴方程 x＝于是 ymax＝f(0)＝m. 由(1)、(2)可知，这个函数的最大值为

八下数学勾股定理

勾股定理是一个基本的几何定理，它指出直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。

如果直角三角形的直角边长度分别为a 和b，斜边长度为c，那么勾股定理可以表示为：a^2 + b^2 = c^2。

勾股定理的应用非常广泛，它可以用于解决各种与直角三角形相关的问题。

例如，如果已知直角三角形的一边和另两边的关系，可以使用勾股定理来求出其他两边。

勾股定理的逆定理是：如果一个三角形的三边满足a^2 + b^2 = c^2，那么这个三角形是直角三角形。

这个逆定理常常用于判断一个三角形是否为直角三角形。

勾股定理和勾股定理的逆定理都是非常重要的数学定理，它们在几何学、三角学、代数学等领域都有广泛的应用。

在中国，勾股定理也被称作商高定理，并且早在周朝时期就已被提出。

在世界范围内，勾股定理也是被广泛接受和应用的数学定理之一，至今已有500多种证明方法。

勾股定理与数学思想方法

勾股定理与数学思想方法李树臣勾股定理是数学中的一个重要定理，在利用勾股定理解题时，常常把有关的已知量与未知量在图形中表示出来，这就是说，利用勾股定理解决问题时要用到“数形结合思想”，即在研究问题时把数和形结合考虑或者把问题的数量关系转化为图形的性质，或者把图形的性质转化为数量关系，从而使复杂问题简单化，抽象问题具体化。

因此，勾股定理体现了数形结合的思想。

将形状规则的铁球放入槽内，若同时具有图1所示的A 、B 、E 三个接触点，该球的大小就符合要求。

图2是过球心O 及A 、B 、E 三点的截面示意图。

已知⊙O 的直径就是铁球的直径，AB 是⊙O 的弦，CD 切⊙O 于点E ，CD AC ⊥，CD BD ⊥。

请结合图1中的数据，计算这种铁球的直径。

图2解：连结OA 、OE ，设OE 与AB 交于点P ，如图3。

∴⊥⊥=,CD BD ,CD AC ,BD AC 四边形ACDB 是矩形。

所以这种铁球的直径为20cm 。

2. 分类思想数学中的分类讨论就是把所研究的对象按可能出现的情况不重复、无遗漏地分别加以讨论，从而获得对问题完整的解答。

在这里充分体现了分类讨论的思想。

八年级数学下册教学课件《勾股定理》

c2=a2+b2
在等腰直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方和.
探究
A的面积 B的面积 C的面积（单位面积）（单位面积）（单位面积）
探究直角三
角形三边的
4
关系
9
13
9
25
34
A,B,C的面积关系
直角三角形三边关系
SA+SB=SC a2+b2=c2
猜一猜：直角三角形三边之间应该有什么关系？
练习
随堂练习
1.设直角三角形的两条直角边长分别为a和b，斜边长为c.
（1）已知a=6，c=10，求b；b=8
（2）已知a=5，b=12，求c； c=13
（3）已知c=25，b=15，求a. a=20
【选自教材第24页练习第1题】
c a
a2+b2=c2
b
2.如图所示，已知以直角三角形的三边为边长做3个正方形，求出其中问号正方形的面积.
4.求证：S1+S2=S3.
证明：由圆的面积计算公式可知：
S则1=S118+πSa2=2，18 Sπ2(=a218+bπ2b)2，，S3=
1 8
πc2，
S1 a
S3 c
b
在直角三角形中，a2+b2=c2，
S2
∴S1+S2=S3.
拓展延伸
如图，已知长方形ABCD沿直线BD折叠，使点C落在C′ 处，BC′交AD于E，AD=8，AB=4，求DE的长.
A
猜想：如果直角三角形的两条
直角边长分别为a，b，斜边长 b
c
为c，那么a2+b2=c2.
C
a
B
探究利用拼图来验证猜想：

勾股定理知识点总结

第十七章
勾股定理知识点总结
1.勾股定理
如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b, 斜边长为c,那么a2+b2=c2.
练习：
1.如图所示，用硬纸板做成的四个全等的直角三角形（两直角边长分别是a，b，斜边长为c）和一个边长为 c的正方形，请你将它们拼成一个能证明勾股定理的图形。
（1）画出拼成的图形的示意图；
8
x
15
y
25
24
1.勾股定理
如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b, 斜边长为c,那么a2+b2=c2.
勾股定理的主要应用：（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边;
练习：
1.若一个直角三角形的一条直角边长是7cm，另一条直角边比斜边短1cm，则斜边的长是___2_5___cm.
么它也是一个定理, 这两个定理叫做互逆定理, 其中一个叫做另一个的逆定理.
练习：
1.下列说法，正确的是（ D ） A.真命题的逆命题是真命题 B.原命题是假命题，它的逆命题也是假命题 C.定理一定有逆定理 D.命题一定有逆命题
练习：
2.下列定理，有逆定理的是（ D ） A.对顶角相等 B.全等三角形的对应角相等 C.两个全等三角形的面积相等 D.平面内，线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等
5.分类讨论思想
1.已知：直角三角形的边长分别是3,4, x,
则x2 ___2_5__或__7____.
解：情形一：当斜边为x时，则两直角边分别为3，4. 根据勾股定理
x2 32 42 9 16 25
解：情形二：当斜边为4时，则两直角边分别为x，3.
根据勾股定理
x2 32 42

专题二：勾股定理与探究性问题

专题二：勾股定理与探究性问题勾股定理的运用二——与分类讨论、最短路径、坐标问题、三角形的存在性问题等探究问题一、勾股定理与分类讨论思想的运用1.当边的属性不确定时，需要分类讨论，判断是直角边还是斜边。

例如：已知一个直角三角形的两边长分别为5和12，则第三边长是多少？2.当高的位置不确定时，需要判断这个三角形是锐角、直角、钝角三角形中的哪一种。

例如：在△ABC中，AB=10，AC=210，BC边上的高AD=6，则BC等于多少？3.当等腰三角形的腰和底不确定时，需要分类讨论。

例如：已知等腰三角形的两边为10和12，则这个三角形的面积是多少？4.当没有图形，且点的位置不确定时，需要根据重点语句进行分类讨论。

例如：在△ABC中，AB=22，BC=1，∠ABC=45°，以AB为一边作等腰三角形ABD，使∠ABD=90°，连接CD，则线段CD的长为多少？5.对于立体图形上求最短路径的问题，需要将立体图形展开成平面图形，利用“两点之间，线段最短”确定最短路线，构造直角三角形，最后利用勾股定理求解。

例如：如图，有一圆柱形油罐，已知：油罐的底面周长是12m，XXX是5m，要从A点环绕油罐建梯子，正好到A的正上方B点，梯子最短需要多长？二、最短路径对于立体图形上求最短路径的问题，需要将立体图形展开成平面图形，利用“两点之间，线段最短”确定最短路线，构造直角三角形，最后利用勾股定理求解。

例如：如图，圆柱形玻璃杯高为14 cm，底面周长为32 cm，在杯内壁离杯底5 cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3 cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为多少厘米。

注：删除了明显有问题的第5题，对其他题目进行了小幅度改写，使其更加准确和清晰。

2、长方体的长为5cm，宽为4cm，高为3cm，一只蚂蚁在长方体表面从点A爬到点B的最短路径是多少厘米？要求：删除明显有问题的段落，改写每段话。

人教版数学八年级下册《勾股定理》

C A
B
C A
B
这两幅图中A,B的面积都好求，该怎样求C的面积呢？
方法1：补形法(把正方形C补成各边都在网格线上的正方形）：
C A
B
C A
B
左图：右图：
SC
55
4
1 2
2 3
13
SC
77
4
1 2
4 3
25
方法2：分割法(把正方形C分割成易求出面积的三角形和四边形）：
C A
B
C A
B
左图：
SC
4
1 2
2 3
11
13
右图：
SC
4
1 2
4 3
11
25
根据前面求出的C的面积直接填出下表：
C A
B
C A
B
S正方形A S正方形B S正方形C
A的面积 B的面积 C的面积
左图 4
9
13
右图 16
9
25
一直角边2 + 另一直角边2 =
斜边2
也就是说，由这三个正方形围成的直角三角形的三边也满足两直角边的平方和等于斜边的平方这种关系。
a
c
数学上，经过证明被确认为正确的命题叫做定理，所以我们刚刚猜想的命题1在我国叫做勾股定理.
Cb
A 勾股定理: 如果直角三角形两直角边长分别为a，b，
斜边长为c，那么a2+b2=c2．（即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方）.
公式变形：
a c2 - b2 , b c2 - a2 , c a2 b2
证法3 美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”. 如图，图中的三个三角形都是直角三角形，求证： a2 + b2 = c2.

初中数学勾股定理(精选课件)

初中数学勾股定理聚智堂学科教师辅导讲义年级：课时数：学科教师：学员姓名：辅导科目：数学辅导时间:课题勾股定理教学目的1、勾股定理：直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。

(即：a2+b２=ｃ2)2、勾股定理的逆定理:如果三角形的三边长:ａ、b、c有关系a２+b２=ｃ２，那么这个三角形是直角三角形。

３、满足的三个正整数,称为勾股数。

教学内容一、日校回顾二、知识回顾1。

勾股定理如图所示,在正方形网络里有一个直角三角形和三个分别以它的三条边为边的正方形，通过观察、探索、发现正方形面积之间存在这样的关系：即C的面积=B的面积+Ａ的面积，现将面积问题转化为直角三角形边的问题,于是得到直角三角形三边之间的重要关系,即勾股定理。

勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为a，ｂ，斜边为c，那么即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

说明:(1)勾股定理只有在直角三角形中才适用，如果不是直角三角形,那么三条边之间就没有这种关系了。

（2）我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股,斜边称为弦。

在没有特殊说明的情况下，直角三角形中,ａ,b是直角边，ｃ是斜边，但有时也要考虑特殊情况。

（3）除了利用a，ｂ,ｃ表示三边的关系外，还应会利用AＢ，BC，CA表示三边的关系,在△AＢC中,∠Ｂ＝９0°,利用勾股定理有。

2. 利用勾股定理的变式进行计算ﻩ由,可推出如下变形公式:(１）;（2）(3）（4)（5)（平方根将在下一章学到）说明：上述几个公式用哪一个,取决于已知条件给了哪些边，求哪条边，要判断准确。

三、知识梳理１、勾股定理的应用勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一,其主要应用有:(1)已知直角三角形的两边求第三边（２）已知直角三角形的一边与另两边的关系。

求直角三角形的另两边（３)利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题2、如何判定一个三角形是直角三角形（1）先确定最大边(如c)（2）验证与是否具有相等关系（3）若=，则△ＡBC是以∠C为直角的直角三角形；若≠则△ABＣ不是直角三角形。

人教版八年级数学下册《勾股定理》复习课教学设计 (1)

《勾股定理》复习课教学设计一、教学目标：1、理解本章节知识构建过程，进一步理解勾股定理及其逆定理，掌握常见的勾股定理题型，能熟练进行常规题型通性通法的运算。

2、在观察、比较、分析、概括、猜想、验证等学习活动过程中，有条理、有根据地思考、探究问题，渗透数形结合的数学思想，并培养学生的抽象概括能力。

3、感受主动参与、合作交流的乐趣，培养学生自主探索的学习习惯，乐于探究的学习态度。

二、教学重点：勾股定理及其逆定理的特征和计算。

教学难点：运用转化思想构造所需要的直角三角形。

三、教学准备教师准备：课件（图片资料、视频等）、勾股定理直观演示教具；学生准备：练习本。

四、教学过程：教学引入：勾股定理描述了直角三角形三边之间的数量关系，是沟通了几何图形与数的运算一个重要桥梁，同时又蕴含了多种数学思想，如：数形结合、分类讨论、转化、方程等，所以本单元在中考中从思想方法和计算能力上要求都比较高。

学习目标展示：设计目的：让学生学习有目标，努力有方向。

素养小题抢答：1、勾股定理的内容是什么？2、若直角三角形的两条边长分别为3cm，4cm，另外一条边长为多少.3、如果一个直角三角形的两直角边分别为6，8，则斜边上的是多少.4、勾股定理逆定理的内容是什么？5、给出下列4组数据：(1) 9、12、15 ；（2）7、24、25；（3）32、42、52；（4）3a、4a、5a （a>0）；其中可构成直角三角形的有______________ (填序号）。

6、勾股定理有什么作用？学习过程：让各组学生抢答，根据抢答情况分组加分，同时组织学生纠错。

教师活动：针对易出错问题进行及时强调。

思维导图扬帆：学习过程：教师检查小组长的学案，然后让小组长检查纠错。

设计目的：进一步形成知识网络题型分类助航：教师活动：为学生展示美丽的“勾股树”，引出勾股定理的证明，并为学生展示动图证明勾股定理，激发学习的学习欲望和爱国热情。

题型一、“勾股树”问题典型例题1 —（同步学习33页，练习1）如下图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A,B,C,D的边长分别为3,5,2，3，则正方形E的面积为（）A. 13B. 26C. 47D. 94活动设计：自主思考，举手回答，到屏幕处讲解。