初中数学八年级下册 4.勾股定理与分类讨论思想
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解得x＝ , 则三角形周长为6+8+ ＝14+ .
典例精解
类型二：动点位置不明求长度 例2：在Rt△ABC中，∠A=90°，有一个锐角为60°，BC=6， 若点P在直线AC上（不与A、C重合），且∠ABP=30°，则 6或2 3或4 3 CP的长为_________________.
解:(1)如图1，当∠C=60°，∠ABC=30°，与 ∠ABP=30°矛盾；
D B
2
2
2
2
2
2
A
可得BC＝CD-BD＝15-6＝9cm;
图2
C
则△ABC的周长＝AB+AC+BC＝10+17+9＝36cm;
课堂小结
直角边、斜边不明求长度 动点位置不明求长度
勾股定理与分类讨论思想
腰不明，与勾股定理结合求长度 三角形形状不明时，含高利用勾股定理 求长度
…………
A
可得BC＝BD+CD＝6+15＝21cm;
C
图1
D
B
则△ABC的周长＝AB+AC+BC＝10+17+21＝48cm;
变 式 题
△ABC中，AB＝10cm，AC＝17cm，BC边上的高线AD＝8cm， 求△ABC的周长？ 解:(2)当AD在△ABC外部时，如图2所示， 可得BD ＝AB -AD ，CD ＝AC -AD , 计算可得，BD＝6，CD＝15,
C
P
A
图1
B
(2)如图2，当∠C=60°，∠ABC=30°，∵∠ABP=30°， ∴∠CBP=60°，∴△PBC是等边三角形，∴CP=BC=6；
C
A
B
P
图2
(3)如图3，当∠ABC=60°，∠C=30°，∵∠ABP=30°， ∴∠CBP=60°-30°=30°，∴PC=PB，∵BC=6，∴AB=3， C ∴PC=PB= PA2 AB2 2 3 ；
解得AD＝ ； 可得42＝32+AD2， 则△ADC周长＝4+3+ ＝7+ ； (2)当以6cm为腰，4cm为底时，如图2所示， 解得AD＝ ； 可得62＝22+AD2， 则△ADC周长＝6+2+ ＝10+ ；
典例精解
类型四：三角形形状不明时，含高利用勾股定理求长度 例4：在△ABC中，AB＝15cm，AC＝13cm，高AD＝12cm， 则BC＝_________.
解:(1)当AD在△ABC内部时，如图1所示， 可得BD2＝AB2-AD2，CD2＝AC2-AD2, 计算可得，BD＝9，CD＝5, 可得BC＝BD+CD＝9+5＝14cm;
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B
图1
D C
典例精解
类型四：三角形形状不明时，含高利用勾股定理求长度 例4：在△ABC中，AB＝15cm，AC＝13cm，高AD＝12cm， 或4cm 则BC＝14cm _________.
变式题
已知一个直角三角形的两边长为6cm和8cm，则这个直角三 24cm或(14+ )cm 角形的周长为__________________. 解:设第三边长为xcm，
可得x2＝62+82， (1)当6cm,8cm两边为直角边时，
解得x＝10, 则三角形周长为6+8+10＝24；
可得62+x2＝82， (2)当6cm,xcm为直角边，8cm为斜边时，
解:(1)当6cm为腰,8cm为底时，如图1所示， 解得AD＝ ； 可得62＝42+AD2， (2)当以8cm为腰，6cm为底时，如图2所示， 解得AD＝ ； 可得82＝32+AD2，
变式题
在等腰三角形ABC中，已知其中两边长为4cm和6cm，AD为 或 △ABC底边上的高，则△ADC的周长为_______________cm. 解:(1)当4cm为腰,6cm为底时，如图1所示，
解:(2)当AD在△ABC外部时，如图2所示， 可得BD2＝AB2-AD2，CD2＝AC2-AD2, 计算可得，BD＝9，CD＝5, 可得BC＝BD-CD＝9-5＝4cm;
A
D
C
图2
B
变 式 题
△ABC中，AB＝10cm，AC＝17cm，BC边上的高线AD＝8cm， 求△ABC的周长. 解:(1)当AD在△ABC内部时，如图1所示， 可得BD2＝AB2-AD2，CD2＝AC2-AD2, 计算可得，BD＝6，CD＝15,
P A B
图3
(4)如图4，当∠ABC=60°，∠C=30°，∵∠ABP=30°， ∴∠CBP=60°+30°=90°，∴PC== BC2 PB2 4 3 ；
C
A P 图3
B
典例精解
类型三：腰不明，与勾股定理结合求长度 例3：在等腰三角形ABC中，已知其中两边长为6cm和8cm， 则等腰三角形ABC中高的长为：__________cm. 或
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初中数学知识点精讲课程
勾股定理与分类讨论思想
在一个直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方 c
勾股定理
a b
a2+b2＝c2
典例精解
类型一：直角边、斜边不明求长度 例1：如果三条线段的长分别为3cm,xcm,5cm,这三条线段 4或 恰好能组成一个直角三角形，那么x等于__________. 解:(1)当以3cm,xcm为直角边，5cm为斜边时， 解得x＝4； 可得52＝32+x2， (2)当以3cm,5cm为直角边，xcm为斜边时， 解得x＝ ； 可得32+52＝x2，
典例精解
类型二：动点位置不明求长度 例2：在Rt△ABC中，∠A=90°，有一个锐角为60°，BC=6， 若点P在直线AC上（不与A、C重合），且∠ABP=30°，则 6或2 3或4 3 CP的长为_________________.
解:(1)如图1，当∠C=60°，∠ABC=30°，与 ∠ABP=30°矛盾；
D B
2
2
2
2
2
2
A
可得BC＝CD-BD＝15-6＝9cm;
图2
C
则△ABC的周长＝AB+AC+BC＝10+17+9＝36cm;
课堂小结
直角边、斜边不明求长度 动点位置不明求长度
勾股定理与分类讨论思想
腰不明，与勾股定理结合求长度 三角形形状不明时，含高利用勾股定理 求长度
…………
A
可得BC＝BD+CD＝6+15＝21cm;
C
图1
D
B
则△ABC的周长＝AB+AC+BC＝10+17+21＝48cm;
变 式 题
△ABC中，AB＝10cm，AC＝17cm，BC边上的高线AD＝8cm， 求△ABC的周长？ 解:(2)当AD在△ABC外部时，如图2所示， 可得BD ＝AB -AD ，CD ＝AC -AD , 计算可得，BD＝6，CD＝15,
C
P
A
图1
B
(2)如图2，当∠C=60°，∠ABC=30°，∵∠ABP=30°， ∴∠CBP=60°，∴△PBC是等边三角形，∴CP=BC=6；
C
A
B
P
图2
(3)如图3，当∠ABC=60°，∠C=30°，∵∠ABP=30°， ∴∠CBP=60°-30°=30°，∴PC=PB，∵BC=6，∴AB=3， C ∴PC=PB= PA2 AB2 2 3 ；
解得AD＝ ； 可得42＝32+AD2， 则△ADC周长＝4+3+ ＝7+ ； (2)当以6cm为腰，4cm为底时，如图2所示， 解得AD＝ ； 可得62＝22+AD2， 则△ADC周长＝6+2+ ＝10+ ；
典例精解
类型四：三角形形状不明时，含高利用勾股定理求长度 例4：在△ABC中，AB＝15cm，AC＝13cm，高AD＝12cm， 则BC＝_________.
解:(1)当AD在△ABC内部时，如图1所示， 可得BD2＝AB2-AD2，CD2＝AC2-AD2, 计算可得，BD＝9，CD＝5, 可得BC＝BD+CD＝9+5＝14cm;
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B
图1
D C
典例精解
类型四：三角形形状不明时，含高利用勾股定理求长度 例4：在△ABC中，AB＝15cm，AC＝13cm，高AD＝12cm， 或4cm 则BC＝14cm _________.
变式题
已知一个直角三角形的两边长为6cm和8cm，则这个直角三 24cm或(14+ )cm 角形的周长为__________________. 解:设第三边长为xcm，
可得x2＝62+82， (1)当6cm,8cm两边为直角边时，
解得x＝10, 则三角形周长为6+8+10＝24；
可得62+x2＝82， (2)当6cm,xcm为直角边，8cm为斜边时，
解:(1)当6cm为腰,8cm为底时，如图1所示， 解得AD＝ ； 可得62＝42+AD2， (2)当以8cm为腰，6cm为底时，如图2所示， 解得AD＝ ； 可得82＝32+AD2，
变式题
在等腰三角形ABC中，已知其中两边长为4cm和6cm，AD为 或 △ABC底边上的高，则△ADC的周长为_______________cm. 解:(1)当4cm为腰,6cm为底时，如图1所示，
解:(2)当AD在△ABC外部时，如图2所示， 可得BD2＝AB2-AD2，CD2＝AC2-AD2, 计算可得，BD＝9，CD＝5, 可得BC＝BD-CD＝9-5＝4cm;
A
D
C
图2
B
变 式 题
△ABC中，AB＝10cm，AC＝17cm，BC边上的高线AD＝8cm， 求△ABC的周长. 解:(1)当AD在△ABC内部时，如图1所示， 可得BD2＝AB2-AD2，CD2＝AC2-AD2, 计算可得，BD＝6，CD＝15,
P A B
图3
(4)如图4，当∠ABC=60°，∠C=30°，∵∠ABP=30°， ∴∠CBP=60°+30°=90°，∴PC== BC2 PB2 4 3 ；
C
A P 图3
B
典例精解
类型三：腰不明，与勾股定理结合求长度 例3：在等腰三角形ABC中，已知其中两边长为6cm和8cm， 则等腰三角形ABC中高的长为：__________cm. 或
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勾股定理与分类讨论思想
在一个直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方 c
勾股定理
a b
a2+b2＝c2
典例精解
类型一：直角边、斜边不明求长度 例1：如果三条线段的长分别为3cm,xcm,5cm,这三条线段 4或 恰好能组成一个直角三角形，那么x等于__________. 解:(1)当以3cm,xcm为直角边，5cm为斜边时， 解得x＝4； 可得52＝32+x2， (2)当以3cm,5cm为直角边，xcm为斜边时， 解得x＝ ； 可得32+52＝x2，