实数指数幂及其运算教学设计新部编版+姚璐

教师学科教案[ 20 – 20 学年度第__学期]

任教学科：_____________

任教年级：_____________

任教老师：_____________

xx市实验学校

实数指数幂及其运算（Ⅰ）教学设计

首都师范大学附属中学 姚璐

课程名称：3.1.1实数指数幂及其运算（第一节）

教材分析：

1. 数系的扩充

众所周知，人类对于数的认识经历了漫长的过程，从Z 到Q ，从Q 到R ，从R 到C ，乃至扩充到四元数等等。虽然每一次数的范围的扩大往往伴随着质疑，但随着时间的发展，人们逐渐能够接受越来越多的数，而且寻找到了许多新的数背后所蕴含的实际意义。

数系扩充的动力主要包括两个方面：

（1）生产生活的推动

就本节课所涉及内容而言，指数模型是一种重要的数学模型，能较好的刻画许多自然现象（如放射性元素的衰变），在模型中变量t 显然是连续的，因此要求我们将指数推广到实数范围内。

（2）数学本身的推动

许多数的出现都与方程有关（如负数，分数，复数等），根式也不例外。当我们将数系扩充后，我们任然希望新的数系能较好的继承原有数系的一些性质。

事实上，如果我们假定指数运算拓展到实数范围内后，仍然继承下述性质：

（1）m n m n a a a +=⋅（0a >，,m n ∈R ）

（2）当1a >时，若m n >，则m n a a >（0a >，,m n ∈R ）

当1a =时，若m n >，则m n a a =（0a >，,m n ∈R ）

当1a <时，若m n >，则m n a a <（0a >，,m n ∈R ）

则指数n a 的定义是唯一的

2. Cauchy 法

从Z 到Q 是非常重要的一步，这一步将一个疏集上定义的函数延拓到了一个稠密集上的函数，依靠的是,,<+⋅>Q 是,,<+⋅>Z 的分式环；从Q 到R 也是非常重要的一步，这一步将一个稠密集上的函数延拓到了一个连续集上的函数，依靠的是逼近的想法。

这种方法即为Cauchy 法.

事实上，如果附加上连续性条件，我们可以得到许多函数的“特征性质”如：

（1）()f x 是正比例函数或零函数()()(),,f m n f m f n m n ⇔+=⋅∀∈R

（2）()f x 是指数函数或零函数()()(),,f m n f m f n m n ⇔+=⋅∀∈R

（3）()f x 是对数函数或零函数()()(),,0f m n f m f n m n ⇔⋅=+∀>

（4）()f x 是幂函数或零函数()()(),,0f m n f m f n m n ⇔⋅=⋅∀>

3. 指数运算和加法运算，乘法运算的区别

乘法运算是连加法运算的推广，指数运算是连乘法运算的推广。但是同加法运算以及乘法运算相比，指数运算有一个非常大的区别，即一个幂的底数与指数的地位是不平等的。

换言之，一般的b a a b ≠

因此尽管有幂指数对底数的分配律成立，即

()

c c c a b a b ⋅=⋅

一般的，仍然有： ()()c c b b a a ≠，b c b c a a a ⋅≠⋅

而这恰恰是学生的易错点

学情分析：

1. 初中阶段，学生学习过整数指数幂，经历了从正整数指数幂到整数指数幂的推演过程，能较为熟练的运用整数指数幂的运算性质解题，但零次幂和负整数指数幂为何选用该方式定义则较模糊，不够深刻。

初中阶段，学生学习过平方根运算和立方根运算，对于平方根和立方根运算相关性质掌握较好，易于接受高次方根的概念。

2. 本班是一个普通班，纯数学的推导较为抽象，相对较难，从具体模型入手则相对容易。

教学目标：

知识与技能： 1.了解指数模型的实际背景

2.理解根式及有理指数幂的含义

3.掌握有理指数幂的运算性质

过程与方法： 在解决简单实际问题的过程中，体会有理指数幂的含义 情感态度与价值观：体验数学与生产实践的紧密联系，提高数学应用意识 教学重点、难点：

教学重点：分数指数幂的概念和分数指数幂的运算性质

教学难点：根式的概念及分数指数概念

教学设计：

一、课前阅读：

阅读下述材料，回答问题

衰变是放射性元素放射出粒子后变成另一种元素的现象。不稳定（即具有放射性）的原子核在放射出粒子及能量后，可变得较为稳定，这个过程称为衰变。

放射性同位素衰变的快慢有一定的规律。

例如，氡-222经过α衰变为钋-218，如果隔一段时间测量一次氡的数量级就会发现，每过3.8天就有一半的氡发生衰变。也就是说，经过第一个3.8天，剩

下一半的氡，经过第二个3.8天，剩有1/4的氡；再经过3.8天，剩有1/8的氡......

因此，我们可以用半衰期来表示放射性元素衰变的快慢。放射性元素的原子核有半数发生衰变所需的时间，叫做这种元素的半衰期。不同的放射性元素，半衰期不同，甚至差别非常大。

例如，氡-222衰变为钋-218的时间为3.8天，镭-226衰变为氡-222的时间为1620年，铀-238衰变为钍-234的半衰期竟长达4.5×109年。

设计意图：创设问题情境

问题一：

现有一种新的放射性物质M，自然条件下每经过一年，剩余M的量为一年前的量的a倍。假设某时刻放射性物质M的量为1，则在自然条件下：（1）1年后，剩余放射性物质M的量为多少？

（2）2年后，剩余放射性物质M的量为多少？

（3）3年后，剩余放射性物质M的量为多少？

（4）n年后，剩余放射性物质M的量为多少？为什么？

问题二：

现有一种新的放射性物质M，自然条件下每经过一年，剩余M的量为一年前的量的a倍。假设在自然条件下，放射性物质M放置了一段时间，剩余的量为1，则：

（1）若放置时间为1年，则1年前放射性物质M的量为多少？

（2）若放置时间为2年，则2年前放射性物质M的量为多少？

（3）若放置时间为3年，则3年前放射性物质M的量为多少？

（4）若放置时间为n年，则n年前放射性物质M的量为多少？

为什么？

二、问题引入

问题四：前述表达中，n的取值范围是什么？

问题五：现有一种新的放射性物质M，自然条件下每经过一年，剩余M的量为一年前的量的a倍。假设某时刻放射性物质M的量为1，则在自然条件下：（1）半年后，剩余放射性物质M的量为多少？为什么？

（2）一个月后，剩余放射性物质M的量为多少？为什么？

（3）一年半后，剩余放射性物质M的量为多少？为什么？

设计意图：结合具体模型为进一步引入有理指数幂及根式的概念作必要的准备

三、概念形成：

一般地，设a，b是实数，n为正整数.若n b a

，则称b为a的n次单位根.

（1）当n为奇数时，任何实数均恰有一个n