专题二 三角函数与平面向量的综合应用
高考数学二轮复习 专题2 三角函数、三角变换、解三角形、平面向量 第一讲 三角函数的图象与性质 理-
专题二 三角函数、三角变换、解三角形、平面向量第一讲 三角函数的图象与性质1．角的概念．(1)终边相同的角不一定相等，相等的角终边一定相同(填“一定”或“不一定”)． (2)确定角α所在的象限，只要把角α表示为α＝2k π＋α0[k ∈Z，α0∈[0，2π)]，判断出α0所在的象限，即为α所在象限．2．诱导公式．诱导公式是求三角函数值、化简三角函数的重要依据，其记忆口诀为：奇变偶不变，符号看象限．1．三角函数的定义：设α是一个任意大小的角，角α的终边与单位圆交于点P (x ，y )，则sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx.2．同角三角函数的基本关系． (1)sin 2α＋cos 2α＝1. (2)tan α＝sin αcos α．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．(1)角α终边上点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，那么sin α＝32，cos α＝－12；同理角α终边上点Q 的坐标为(x 0，y 0)，那么sin α＝y 0，cos α＝x 0.(×)(2)锐角是第一象限角，反之亦然．(×) (3)终边相同的角的同一三角函数值相等．(√)(4)常函数f (x )＝a 是周期函数，它没有最小正周期．(√) (5)y ＝cos x 在第一、二象限上是减函数．(×) (6)y ＝tan x 在整个定义域上是增函数．(×)1．(2015·某某卷)若sin α＝－513，且α为第四象限角，则tan α的值等于(D )A.125 B ．－125 C.512 D ．－512解析：解法一：因为α为第四象限的角，故cos α＝1－sin 2α＝1－（－513）2＝1213，所以tan α＝sin αcos α＝－5131213＝－512. 解法二：因为α是第四象限角，且sin α＝－513，所以可在α的终边上取一点P (12，－5)，则tan α＝y x ＝－512.故选D.2．已知α的终边经过点A (5a ，－12a )，其中a ＜0，则sin α的值为(B ) A ．－1213 B.1213 C.513 D ．－5133．(2014·新课标Ⅰ卷)在函数①y ＝cos|2x |，②y ＝|cos x |，③y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，④y＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4中，最小正周期为π的所有函数为(A ) A ．①②③ B ．①③④C ．②④D ．①③解析：①中函数是一个偶函数，其周期与y ＝cos 2x 相同，T ＝2π2＝π；②中函数y ＝|cos x |的周期是函数y ＝cos x 周期的一半，即T ＝π；③T ＝2π2＝π；④T ＝π2.故选A.4．(2015·某某卷)如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y ＝3sin(π6x ＋φ)＋k .据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为(C )A ．5B ．6C ．8D ．10解析：根据图象得函数的最小值为2，有－3＋k ＝2，k ＝5，最大值为3＋k ＝8.一、选择题1．若sin(α－π)＝35，α为第四象限角，则tan α＝(A )A ．－34B ．－43C.34D.43 解析：∵sin(α－π)＝35，∴－sin α＝35，sin α＝－35.又∵α为第四象限角， ∴cos α＝ 1－sin 2α＝ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－352＝45， tan α＝sin αcos α＝－3545＝－34.2. 定义在R 上的周期函数f (x )，周期T ＝2，直线x ＝2是它的图象的一条对称轴，且f (x )在[－3，－2]上是减函数，如果A ，B 是锐角三角形的两个内角，则(A )A ．f (sin A )>f (cosB ) B ．f (cos B )>f (sin A )C ．f (sin A )>f (sin B )D ．f (cos B )>f (cos A )解析：由题意知：周期函数f (x )在[－1，0]上是减函数，在[0，1]上是增函数．又因为A ，B 是锐角三角形的两个内角，A ＋B >π2，得：sin A >cos B ，故f (sin A )>f (cos B )．综上知选A.3．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx 6－π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为(A )A ．2－ 3B ．0C ．－1D ．－1－ 3解析：用五点作图法画出函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx 6－π3(0≤x ≤9)的图象，注意0≤x ≤9知，函数的最大值为2，最小值为－ 3.故选A.4. 把函数y ＝cos 2x ＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移 1个单位长度，得到的图象是(A )解析：y ＝cos 2x ＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的解析式为y ＝cos (x ＋1)．故选A.5．(2015·新课标Ⅰ卷)函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则f (x )的单调递减区间为(D )A.⎝⎛⎭⎪⎫k π－14，k π＋34，k ∈ZB.⎝⎛⎭⎪⎫2k π－14，2k π＋34，k ∈Z C.⎝ ⎛⎭⎪⎫k －14，k ＋34，k ∈ZD.⎝⎛⎭⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z 解析：由图象知周期T ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫54－14＝2，∴2πω＝2，∴ω＝π.由π×14＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，不妨取φ＝π4，∴f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫πx ＋π4.由2k π＜πx ＋π4＜2k π＋π，得2k －14＜x ＜2k ＋34，k ∈Z ，∴f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z.故选D.6．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(x ∈R，A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的图象(部分)如图所示，则f (x )的解析式是(A )A ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π6(x ∈R)B ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2πx ＋π6(x ∈R)C ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π3(x ∈R)D ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2πx ＋π3(x ∈R) 解析：由图象可知其周期为：4⎝ ⎛⎭⎪⎫56－13＝2，∵2πω＝2，得ω＝π，故只可能在A ，C 中选一个，又因为x ＝13时达到最大值，用待定系数法知φ＝π6.二、填空题7．若sin θ＝－45，tan θ＞0，则cos θ＝－35．8．已知角α的终边经过点(－4，3)，则cos α＝－45．解析：由题意可知x ＝－4，y ＝3，r ＝5，所以cos α＝x r ＝－45.三、解答题9. (2014·某某卷)已知函数f (x )＝2cos x (sin x ＋cos x )． (1)求f ⎝⎛⎭⎪⎫5π4的值；(2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间．分析：思路一 直接将5π4代入函数式，应用三角函数诱导公式计算．(2)应用和差倍半的三角函数公式，将函数化简2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1. 得到T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，解得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z.思路二 先应用和差倍半的三角函数公式化简函数f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1.(1)将5π4代入函数式计算；(2)T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，解得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z.解析：解法一 (1)f ⎝⎛⎭⎪⎫5π4＝2cos 5π4⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 5π4＋cos 5π4＝－2cos π4⎝ ⎛⎭⎪⎫－sin π4－cos π4＝2.(2)因为f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2x ＝sin 2x ＋cos 2x ＋1 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1. 所以T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z ，所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z.解法二 因为f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2x ＝sin 2x ＋cos 2x ＋1 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1.(1)f ⎝⎛⎭⎪⎫5π4＝2sin 11π4＋1＝2sin π4＋1＝2. (2)T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z ，所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z.10．函数f (x )＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＋1(A ＞0，ω＞0)的最大值为3, 其图象相邻两条对称轴之间的距离为π2.(1)求函数f (x )的解析式；word(2)设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝2，求α的值． 解析：(1)∵函数f (x )的最大值为3，∴A ＋1＝3，即A ＝2.∵函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2， ∴最小正周期为 T ＝π，∴ω＝2，故函数f (x )的解析式为y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋1. (2)∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＋1＝2， 即sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＝12， ∵0＜α＜π2，∴－π6＜α－π6＜π3. ∴α－π6＝π6，故α＝π3. 11．(2015·卷)已知函数f (x )＝2sin x 2cos x 2－2sin 2x 2. (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间[－π，0]上的最小值．解析：(1)由题意得f (x )＝22sin x －22(1－cos x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－22，所以f (x )的最小正周期为2π.(2)因为－π≤x ≤0，所以－3π4≤x ＋π4≤π4. 当x ＋π4＝－π2，即x ＝－3π4时，f (x )取得最小值． 所以f (x )在区间[－π，0]上的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π4＝－1－22.。
高考数学备考攻略平面向量与三角函数的综合应用
高考数学备考攻略平面向量与三角函数的综合应用高考数学备考攻略：平面向量与三角函数的综合应用在高考数学中，平面向量与三角函数是两个重要的概念和工具。
它们在各种数学问题中都有广泛的应用，特别是在几何和三角函数的综合题目中。
本文将介绍一些关于平面向量与三角函数的综合应用。
希望通过这些攻略，能够帮助大家在高考中更好地理解和应用这些知识点。
一、平面向量的几何应用平面向量的几何应用主要体现在它们的加法、减法、数量积、向量积等运算上。
下面将介绍其中的一些典型应用。
1. 平面向量的加法平面向量的加法可以用来解决平面上的位移问题。
例如，在平面直角坐标系中，有一个点A(2,3)，以向量a(1,2)为位移，求终点B的坐标。
我们可以通过向量加法得到：B = A + a = (2,3) + (1,2) = (3,5)通过这个简单的例子，我们可以看到，平面向量的加法可以用来求解平面上的位移问题，这在几何中有着重要的应用。
2. 平面向量的数量积平面向量的数量积可以用来解决两个向量之间的夹角问题。
例如，已知两个向量a(3,4)和b(5,12)，求它们的夹角θ。
我们可以通过向量的数量积求解：a·b = |a||b|cosθ其中，“·”表示向量的数量积，|a|和|b|分别表示向量的模，θ表示夹角。
根据给定的向量值代入公式计算，可以得到θ≈0.68弧度。
3. 平面向量的向量积平面向量的向量积可以用来解决平行四边形的面积、三角形的有向面积问题。
例如，在平面直角坐标系中，已知两个向量a(2,3)和b(4,1)，求平行四边形的面积。
我们可以通过向量的向量积求解：S = |a×b|其中，“×”表示向量的向量积，|a×b|为向量的模。
根据给定的向量值代入公式计算，可以得到平行四边形的面积为2。
二、三角函数的综合应用三角函数是数学中的一个重要分支，在高考数学中占有很大的比重。
下面将介绍一些关于三角函数综合应用的例子。
高考数学大一轮专题复习 专题二 三角函数与平面向量配套课件 文
则cos∠MNP＝|NN→→MM|··N|→N→PP|＝
Hale Waihona Puke －6 5×25＝－35.
由∠MNP∈[0，π]，得sin∠MNP＝ 1－cos2∠MNP＝45.
2 值；最后由点M在图象上求得φ的值，进而得到函数的解析 式；先由x的范围，求得2x＋ π 的范围，把ωx＋φ看作一个整
6 体，再求得fx的值域.
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【互动(hù dònɡ)探究】
2．(2012年湖北八校联考)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ) A>0，ω>0，|φ|<π2，x∈R图象的一部分如图2-1.
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题型 2 三角变换与三角函数(sānjiǎhánshù)性质的整合 例2：(2012年陕西西安模拟)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)， x∈R 其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜π2 的图象与x轴的交点中，相邻两 个交点之间的距离为π2，且图象上的一个最低点为M23π，－2. (1)求f(x)的解析式； (2)当x∈1π2，π2时，求f(x)的值域．
对广东的试题而言，2008 年、2009 年、2010 年、2011 年、 2012 年、2013 年连续六年都是考查三角变换及三角函数求值． 这个数据足以说明广东对该题型的情有独钟，但绝对不能因此
还有两个现象也应该引起(yǐnqǐ)我们备考时注意：①三角函数与 而放松对整章知识系统而全面地复习． 平面向量的综合，是近几年全国各地高考试题中的一种重要题 型，已成为热点．而广东高考仅在 2007 年、2009 年在三角函
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题型 1 三角变换(biànhuàn)与求值的整合
例1：(2012年广东)已知函数f(x)＝Acos4x＋π6
专题二三角函数
例1
解：(1)由 f(x)＝2 3sin xcos x＋2cos2x－1. 得 f(x)＝ 3(2sin xcos x)＋(2cos2x－1) 2x＋π . ＝ 3sin 2x＋cos 2x＝2sin 6 所以函数 f(x)的最小正周期为 π.
目录
2x＋π 在区间0，π 上为增函数，在区间 因为 f(x)＝2sin 6 6 π，π 上为减函数，又 f(0)＝1，fπ ＝2，fπ ＝－1，所以 6 2 6 2 0，π 上的最大值为 2，最小值为－1. 函数 f(x)在区间 2 2x0＋π . (2)由(1)，可知 f(x0)＝2sin 6
专题二
三角函数、平面向
量综合题的解答
本节目录
专 题 探 究 突 破 热 点
知 能 演 练 轻 松 闯 关
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专题探究•突破热点
方法综述
在高考中，涉及三角函数与平面向量的考题主要考查学生 分析问题、解决问题和处理交汇性问题的能力．在高考试 卷中一般有 2－4 题分值约占全卷的 14%～20%， 三角函数 部分解答题是每年高考的必考题目，主要通过三角恒等变 换考查三角函数的求值、三角函数的性质及解三角形．对 于三角函数与向量结合在一起命制的综合题，首先利用向 量的运算，将向量式转化为代数式，再进行有关的三角恒 等变换．
目录
专题探究
专题 1 利用三角恒等变换求三角函数值
三角恒等变换是研究三角函数的图像与性质， 解三角形的基 础． 高考中对该部分考查的重点是三角函数公式、 同角三角 函数基本关系，两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二 倍角公式，熟记各类公式是解决该部分试题的关键．
目录
已知函数 f(x)＝2 3sin xcos x＋2cos2x－1(x∈R)． 0，π 上的最大值和 (1)求函数 f(x)的最小正周期及在区间 2 最小值； 6 π，π ，求 cos 2x0 的值． (2)若 f(x0)＝ ，x0∈ 4 2 5
平面向量与三角函数的关系
平面向量与三角函数的关系在数学中，平面向量和三角函数是两个重要的概念，它们之间存在着紧密的关联。
平面向量主要用来表示空间中的方向和大小，而三角函数则描述了角度和长度之间的关系。
本文将探讨平面向量与三角函数之间的关系，并介绍其在数学和物理中的应用。
一、平面向量的表示与性质平面向量可以用有序的数对表示，其中第一个数表示向量在x轴上的分量，第二个数表示向量在y轴上的分量。
例如，向量a可以表示为(a1, a2)，其中a1为x轴分量，a2为y轴分量。
平面向量有以下性质：1. 向量的模：向量的模表示向量的大小，可以通过勾股定理计算得到。
对于向量a(a1, a2)，它的模可以表示为|a| = √(a1² + a2²)。
2. 向量的方向角：向量的方向角表示向量与x轴正方向的夹角。
根据三角函数的定义，可以得到向量的方向角θ = arctan(a2 / a1)。
3. 向量的单位向量：单位向量是模为1的向量，可以表示为a/|a|。
单位向量的方向与原向量相同，但大小为1。
二、三角函数的定义与性质三角函数包括正弦函数(sin)、余弦函数(cos)和正切函数(tan)等。
它们的定义如下：1. 正弦函数：在直角三角形中，正弦函数表示对边与斜边的比值。
正弦函数的定义域为实数集，值域在[-1, 1]之间。
2. 余弦函数：在直角三角形中，余弦函数表示邻边与斜边的比值。
余弦函数的定义域为实数集，值域在[-1, 1]之间。
3. 正切函数：在直角三角形中，正切函数表示对边与邻边的比值。
正切函数的定义域为实数集，值域为全体实数。
三、平面向量与三角函数之间存在着一种重要的关系，即向量的模可以与其方向角的三角函数相关联。
具体而言，对于向量a(a1, a2)，有以下关系：1. a的模与sinθ的关系：|a| = √(a1² + a2²) = √[(|a1|^2 + |a2|^2) * (sin²θ + cos²θ)] = √(sin²θ + cos²θ) * √(|a1|^2 + |a2|^2) = √(|a1|^2 + |a2|^2)2. a的模与cosθ的关系：|a| = √(a1² + a2²) = √[(|a1|^2 + |a2|^2) * (sin²θ + cos²θ)] = √(sin²θ + cos²θ) * √(|a1|^2 + |a2|^2) = √(|a1|^2 + |a2|^2)3. a的模与tanθ的关系：|a| = √(a1² + a2²) = √[(|a1|^2 + |a2|^2) * (sin²θ + cos²θ)] = √(sin²θ + cos²θ) * √(|a1|^2 + |a2|^2) = √(|a1|^2 + |a2|^2)由上述关系可知，向量的模与其方向角的三角函数之间存在着简洁的关系，通过利用这些关系，我们可以在计算中更加方便地处理向量的模和角度。
高考数学二轮复习 专题二 三角函数、平面向量与复数 第3讲 平面向量与复数教案-高三全册数学教案
第3讲 平面向量与复数平面向量的概念与线性运算[核心提炼]1．在平面向量的化简或运算中，要根据平面向量基本定理选好基底，变形要有方向不能盲目转化；2．在用三角形加法法则时要保证“首尾相接”，结果向量是第一个向量的起点指向最后一个向量终点所在的向量；在用三角形减法法则时要保证“同起点”，结果向量的方向是指向被减向量．[典型例题](1)(2019·杭州模拟)如图所示，已知AB 是圆O 的直径，点C ，D 是半圆弧的两个三等分点，AB →＝a ，AC →＝b ，则AD →＝( )A ．a －12bB ．12a －bC ．a ＋12bD ．12a ＋b(2)(2019·金华市十校联考)已知A 、B 、C 是平面上不共线的三点，O 是△ABC 的重心，点P 满足OP →＝14(OA →＋OB →＋2OC →)，则S △PAB S △OAB为( )A ．32 B ．23C ．2D ．12(3)(2019·嘉兴七校联考)在△ABC 中，点D 满足BD →＝34BC →，当点E 在射线AD (不含点A )上移动时，若AE →＝λAB →＋μAC →，则(λ＋1)2＋μ2的取值范围为________．【解析】 (1)连接CD ，由点C ，D 是半圆弧的三等分点，得CD ∥AB 且CD →＝12AB →＝12a ，所以AD →＝AC →＋CD →＝b ＋12a .(2)如图，延长CO ，交AB 中点D ，O 是△ABC 的重心，则OP →＝14(OA →＋OB →＋2OC →)＝14(2OD →＋2OC →)＝14(－OC →＋2OC →)＝14OC →，所以OP ＝14OC ＝14×23CD ＝16CD ；所以DP ＝DO ＋OP ＝13CD ＋16CD ＝12CD ，DO ＝13CD ；所以S △PAB S △OAB ＝DP DO ＝12CD13CD ＝32.(3)因为点E 在射线AD (不含点A )上，设AE →＝kAD →(k >0)，又BD →＝34BC →，所以AE →＝k (AB →＋BD →)＝k ⎣⎢⎡⎦⎥⎤AB →＋34（AC →－AB →）＝k 4AB →＋3k 4AC →， 所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝k 4μ＝3k4，(λ＋1)2＋μ2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k 4＋12＋916k 2＝58⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋252＋910>1，故(λ＋1)2＋μ2的取值范围为(1，＋∞)．【答案】 (1)D (2)A (3)(1，＋∞)平面向量的线性运算技巧(1)对于平面向量的线性运算，要先选择一组基底，同时注意共线向量定理的灵活运用． (2)运算过程中重视数形结合，结合图形分析向量间的关系．[对点训练]1．(2019·瑞安市四校联考)设M 是△ABC 边BC 上的点，N 为AM 的中点，若AN →＝λAB →＋μAC →，则λ＋μ的值为( )A.14B.13C.12D.1 解析：选C.因为M 在BC 边上，所以存在实数t ∈[0，1]使得BM →＝tBC →. AM →＝AB →＋BM →＝AB →＋tBC →＝AB →＋t (AC →－AB →)＝(1－t )AB →＋tAC →，因为N 为AM 的中点， 所以AN →＝12AM →＝1－t 2AB →＋t 2AC →，所以λ＝1－t 2，μ＝t 2，所以λ＋μ＝1－t 2＋t 2＝12，故C 正确．2．(2019·宁波诺丁汉大学附中期中考试)在△ABC 中，BC ＝7，AC ＝6，cos C ＝267.若动点P 满足AP →＝(1－λ)AB →＋2λ3AC →，(λ∈R )，则点P 的轨迹与直线BC ，AC 所围成的封闭区域的面积为( )A ．5B ．10C ．2 6D ．4 6解析：选A.设AD →＝23AC →，因为AP →＝(1－λ)AB →＋2λ3AC →＝(1－λ)AB →＋λAD →，所以B ，D ，P 三点共线． 所以P 点轨迹为直线BC .在△ABC 中，BC ＝7，AC ＝6，cos C ＝267，所以sin C ＝57，所以S △ABC ＝12×7×6×57＝15，所以S △BCD ＝13S △ABC ＝5.3．(2019·高考浙江卷)已知正方形ABCD 的边长为1.当每个λi (i ＝1，2，3，4，5，6)取遍±1时，|λ1AB →＋λ2BC →＋λ3CD →＋λ4DA →＋λ5AC →＋λ6BD →|的最小值是________，最大值是________．解析：以点A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，如图，则A (0，0)，B (1，0)，C (1，1)，D (0，1)，所以λ1AB →＋λ2BC →＋λ3CD →＋λ4DA →＋λ5AC →＋λ6BD →＝(λ1－λ3＋λ5－λ6，λ2－λ4＋λ5＋λ6)，所以当⎩⎪⎨⎪⎧λ1－λ3＋λ5－λ6＝0λ2－λ4＋λ5＋λ6＝0时，可取λ1＝λ3＝1，λ5＝λ6＝1，λ2＝－1，λ4＝1，此时|λ1AB →＋λ2BC →＋λ3CD →＋λ4DA →＋λ5AC →＋λ6BD →|取得最小值0；取λ1＝1，λ3＝－1，λ5＝λ6＝1，λ2＝1，λ4＝－1，则|λ1AB →＋λ2BC →＋λ3CD →＋λ4DA →＋λ5AC →＋λ6BD →|取得最大值22＋42＝2 5.答案：0 2 5平面向量的数量积 [核心提炼]1．平面向量的数量积的两种运算形式(1)数量积的定义：a ·b ＝|a ||b |cos θ(其中θ为向量a ，b 的夹角)；(2)坐标运算：a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)时，a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2. 2．平面向量的三个性质(1)若a ＝(x ，y )，则|a |＝a·a ＝x 2＋y 2. (2)若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 |AB →|＝（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1）2.(3)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ为a 与b 的夹角，则cos θ＝a·b |a||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22. [典型例题](1)(2018·高考浙江卷)已知a ，b ，e 是平面向量，e 是单位向量．若非零向量a与e 的夹角为π3，向量b 满足b 2－4e·b ＋3＝0，则|a －b |的最小值是( )A ．3－1B ．3＋1C ．2D ．2－ 3(2)(2019·浙江新高考研究联盟)已知向量a ，b ，c 满足|a |＝1，|b |＝k ，|c |＝2－k 且a ＋b ＋c ＝0，则b 与c 夹角的余弦值的取值范围是________．【解析】 (1)设O 为坐标原点，a ＝OA →，b ＝OB →＝(x ，y )，e ＝(1，0)，由b 2－4e ·b ＋3＝0得x 2＋y 2－4x ＋3＝0，即(x －2)2＋y 2＝1，所以点B 的轨迹是以C (2，0)为圆心，1为半径的圆．因为a 与e 的夹角为π3，所以不妨令点A 在射线y ＝3x (x >0)上，如图，数形结合可知|a －b |min ＝|CA →|－|CB →|＝3－1.故选A. (2)设b 与c 的夹角为θ，由题b ＋c ＝－a ， 所以b 2＋c 2＋2b ·c ＝1.即cos θ＝2k 2－4k ＋32k 2－4k ＝1＋32（k －1）2－2. 因为|a |＝|b ＋c |≥|b －c |，所以|2k －2|≤1. 所以12≤k ≤32.所以－1≤cos θ≤－12.【答案】 (1)A (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－12(1)平面向量数量积的计算①涉及数量积和模的计算问题，通常有两种求解思路(ⅰ)直接利用数量积的定义； (ⅱ)建立坐标系，通过坐标运算求解．②在利用数量积的定义计算时，要善于将相关向量分解为图形中模、夹角和已知的向量进行计算．(2)求解向量数量积最值问题的两种思路①直接利用数量积公式得出代数式，依据代数式求最值．②建立平面直角坐标系，通过坐标运算得出函数式，转化为求函数的最值．[对点训练]1．(2019·嘉兴市高考一模)已知平面向量a 、b 满足|a |＝|b |＝1，a ·b ＝12，若向量c满足|a －b ＋c |≤1，则|c |的最大值为( )A ．1B ． 2C ． 3D ．2解析：选D.由平面向量a 、b 满足|a |＝|b |＝1，a ·b ＝12，可得|a|·|b |·cos 〈a ，b 〉＝1·1·cos 〈a ，b 〉＝12，由0≤〈a ，b 〉≤π，可得〈a ，b 〉＝π3，设a ＝(1，0)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，c ＝(x ，y )，则|a －b ＋c |≤1，即有⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋x ，y －32≤1，即为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322≤1，故|a －b ＋c |≤1的几何意义是在以⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32为圆心，半径等于1的圆上和圆内部分，|c |的几何意义是表示向量c 的终点与原点的距离，而原点在圆上，则最大值为圆的直径，即为2.2．如图，已知平面四边形ABCD ，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝AD ＝2，CD ＝3，AC 与BD 交于点O .记I 1＝OA →·OB →，I 2＝OB →·OC →，I 3＝OC →·OD →，则( )A ．I 1＜I 2＜I 3B ．I 1＜I 3＜I 2C ．I 3 ＜ I 1＜I 2D ．I 2＜I 1＜I 3解析：选C.如图所示，四边形ABCE 是正方形，F 为正方形的对角线的交点，易得AO <AF ，而∠AFB ＝90°，所以∠AOB 与∠COD 为钝角，∠AOD与∠BOC 为锐角．根据题意，I 1－I 2＝OA →·OB →－OB →·OC →＝OB →·(OA →－OC →)＝OB →·CA →＝|OB →|·|CA →|·cos ∠AOB <0，所以I 1<I 2，同理得，I 2>I 3，作AG ⊥BD 于G ，又AB ＝AD ，所以OB <BG ＝GD <OD ，而OA <AF ＝FC <OC ，所以|OA →|·|OB →|<|OC →|·|OD →|，而cos ∠AOB ＝cos ∠COD <0，所以OA →·OB →>OC →·OD →，即I 1>I 3.所以I 3<I 1<I 2.3．(2019·金华十校高考模拟)若非零向量a ，b 满足：a 2＝(5a －4b )·b ，则cos 〈a ，b 〉的最小值为________．解析：非零向量a ，b 满足：a 2＝(5a －4b )·b ，可得a ·b ＝15(a 2＋4b 2)＝15(|a |2＋4|b |2)≥15·2|a |2·4|b |2＝45|a |·|b |，即有cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a |·|b |≥45·|a |·|b ||a |·|b |＝45，当且仅当|a |＝2|b |，取得最小值45.答案：45平面向量与其他知识的交汇[核心提炼]平面向量具有代数形式与几何形式的“双重身份”，常与三角函数、解三角形、平面解析几何、函数、数列、不等式等知识交汇命题，平面向量的“位置”为：一是作为解决问题的工具，二是通过运算作为命题条件．[典型例题](1)如图，已知点D 为△ABC 的边BC 上一点，BD →＝3DC →，E n (n ∈N *)为边AC 上的列点，满足E n A →＝14a n ＋1·E n B →－(3a n ＋2)E n D →，其中实数列{a n }中，a n ＞0，a 1＝1，则数列{a n }的通项公式为a n ＝( )A ．3·2n －1－2 B ．2n－1 C ．3n－1 D ．2·3n －1－1(2)已知在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量p ＝(cos B ＋sinB ，2sin B －2)，q ＝(sin B －cos B ，1＋sin B )，且p ⊥q .①求B 的大小；②若b ＝2，△ABC 的面积为3，求a ，c .【解】 (1)选D.因为BD →＝3DC →，所以E n C →＝E n B →＋BC →＝E n B →＋43BD →＝E n B →＋43(BE n →＋E n D →)＝－13E n B→＋43E n D →.设mE n C →＝E n A →，则由E n A →＝14a n ＋1E n B →－(3a n ＋2)E n D →，得(14a n ＋1＋13m )E n B →－(43m ＋3a n ＋2)E n D →＝0，则－13m ＝14a n ＋1，43m ＝－(3a n ＋2)，所以14a n ＋1＝14(3a n ＋2)，所以a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)．因为a 1＋1＝2，所以数列{a n ＋1}是以2为首项，3为公比的等比数列，所以a n ＋1＝2·3n －1，所以a n ＝2·3n －1－1.(2)①因为p ⊥q ，所以p ·q ＝(cos B ＋sin B )(sin B －cos B )＋(2sin B －2)·(1＋sin B )＝0，即3sin 2B －cos 2B －2＝0，即sin 2B ＝34，又角B 是锐角三角形ABC 的内角，所以sin B ＝32，所以B ＝60°. ②由①得B ＝60°，又△ABC 的面积为3， 所以S △ABC ＝12ac sin B ，即ac ＝4.①由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， 又b ＝2，所以a 2＋c 2＝8，② 联立①②，解得a ＝c ＝2.平面向量与其他知识的交汇点主要体现在与三角函数、立体几何、解析几何，求最值． (1)利用平面向量的知识给出三角函数之间的一些关系，解题的关键还是三角函数的知识．在解析几何中只是利用向量知识给出一些几何量的位置关系和数量关系，在解题中要善于根据向量知识分析解析几何中几何量之间的关系，最后的解题还要落实到解析几何知识上．(2)因为向量是沟通代数、几何的工具，有着极其丰富的实际背景，对于某些代数问题，可构造向量，使其转化为向量问题求解．[对点训练]1．(2019·杭州市高三二模)△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4，BC ＝3，D 是AB 的中点，E ，F 分别是边BC 、AC 上的动点，且EF ＝1，则DE →·DF →的最小值等于( )A.54 B.154 C.174D.174解析：选B.以三角形的直角边为坐标轴建立平面直角坐标系，如图所示：则A (0，4)，B (3，0)，C (0，0)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2. 设E (x ，0)，则F (0，1－x 2)，0≤x ≤1. 所以DE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32，－2，DF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，1－x 2－2.所以DE →·DF →＝94－32x ＋4－21－x 2＝254－3x 2－21－x 2.令f (x )＝254－3x 2－21－x 2，当x ≠1时，则f ′(x )＝－32＋2x1－x 2. 令f ′(x )＝0得x ＝35.当0≤x ＜35时，f ′(x )＜0，当35＜x ＜1时，f ′(x )＞0.所以当x ＝35时，f (x )取得最小值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫35＝154.当x ＝1时，f (1)＝254－32＝194＞154，故选B.2．(2019·浙江新高考研究联盟联考)已知向量a ，b 满足|a ＋b |＝4，|a －b |＝3，则|a |＋|b |的取值范围是( )A ．[3，5]B ．[4，5]C ．[3，4]D ．[4，7]解析：选B.|a |＋|b |≥max{|a ＋b |，|a －b |}＝4， (|a |＋|b |)2≤|a ＋b |2＋|a －b |2＝25，所以|a |＋|b |≤5.3．(2019·江苏常州武进区高三上学期期中考试改编)已知数列{a n }中，a 1＝2，点列P n (n ＝1，2，…)在△ABC 内部，且△P n AB 与△P n AC 的面积比为2∶1.若对n ∈N *都存在数列{b n }满足b n P n A →＋12a n ＋1P n B →＋(3a n ＋2)P n C →＝0，求a 4.解：在线段BC 上取点D ，使得BD ＝2CD ，则P n 在线段AD 上， 因为b n P n A →＋12a n ＋1P n B →＋(3a n ＋2)P n C →＝0，所以－12a n ＋1BP n →＝b n AP n →＋(3a n ＋2)CP n →＝b n (BP n →－BA →)＋(3a n ＋2)(BP n →－BC →)，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a n ＋1－b n －3a n －2BP n →＝－b n BA →－32×(3a n ＋2)BD →.因为A ，P n ，D 三点共线，所以－12a n ＋1－b n －3a n －2＝－b n －32(3a n ＋2)，即a n ＋1＝3a n ＋2，所以a 2＝3a 1＋2＝8，a 3＝3a 2＋2＝26，a 4＝3a 3＋2＝80.复 数 [核心提炼]1．复数的除法复数的除法一般是将分母实数化，即分子、分母同乘以分母的共轭复数再进一步化简． 2．复数运算中常见的结论(1)(1±i)2＝±2i ，1＋i 1－i ＝i ，1－i 1＋i ＝－i.(2)－b ＋a i ＝i(a ＋b i)． (3)i 4n＝1，i 4n ＋1＝i ，i4n ＋2＝－1，i4n ＋3＝－i.(4)i 4n＋i4n ＋1＋i 4n ＋2＋i4n ＋3＝0.[典型例题](1)(2019·杭州学军中学高考模拟)设复数z 满足1＋z1－z ＝i ，则|z |＝( )A ．1B ． 2C ． 3D ．2(2)设有下面四个命题p 1：若复数z 满足1z∈R ，则z ∈R ；p 2：若复数z 满足z 2∈R ，则z ∈R ； p 3：若复数z 1，z 2满足z 1z 2∈R ，则z 1＝z 2； p 4：若复数z ∈R ，则z ∈R .其中的真命题为( ) A ．p 1，p 3 B ．p 1，p 4C ．p 2，p 3D ．p 2，p 4(3)(2019·浙江新高考冲刺卷)已知复数z ＝1＋i ，其中i 为虚数单位，则复数1＋z ＋z 2＋…＋z 2 017的实部为( )A ．1B ．－1C ．21 009D ．－21 009【解析】 (1)因为复数z 满足1＋z1－z＝i ，所以1＋z ＝i －z i ，所以z (1＋i)＝i －1，所以z ＝i －1i ＋1＝i ，所以|z |＝1，故选A.(2)对于命题p 1，设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，由1z ＝1a ＋b i ＝a －b ia 2＋b 2∈R ，得b ＝0，则z ∈R成立，故命题p 1正确；对于命题p 2，设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，由z 2＝a 2－b 2＋2ab i ∈R ，得ab ＝0，则a ＝0或b ＝0，复数z 可能为实数或纯虚数，故命题p 2错误；对于命题p 3，设z 1＝a ＋b i(a ，b ∈R )，z 2＝c ＋d i(c ，d ∈R )，由z 1·z 2＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i ∈R ，得ad ＋bc ＝0，不一定有z 1＝z 2，故命题p 3错误；对于命题p 4，设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则由z ∈R ，得b ＝0，所以z ＝a ∈R 成立，故命题p 4正确．故选B.(3)因为z ＝1＋i ， 所以1＋z ＋z 2＋…＋z2 017＝1×（1－z 2 018）1－z＝z 2 018－1z －1＝（1＋i ）2 018－11＋i －1＝（2i ）1 009－1i ＝（－1＋21 009i ）（－i ）－i2＝21 009＋i. 所以复数1＋z ＋z 2＋…＋z2 017的实部为21 009.故选C.【答案】 (1)A (2)B (3)C复数问题的解题思路(1)以复数的基本概念、几何意义、相等的条件为基础，结合四则运算，利用复数的代数形式列方程或方程组解决问题．(2)若与其他知识结合考查，则要借助其他的相关知识解决问题．[对点训练]1．(2019·福建省普通高中质量检查)若复数z 满足(1＋i)z ＝|3＋i|，则在复平面内，z 对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选A.由题意，得z ＝（3）2＋121＋i ＝2（1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝1－i ，所以z ＝1＋i ，其在复平面内对应的点为(1，1)，位于第一象限，故选A.2．(2019·金丽衢十二校联考)设z 是复数，|z －i|≤2(i 是虚数单位)，则|z |的最大值是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C.因为|z －i|≤2，所以复数z 在复平面内对应点在以(0，1)为圆心，以2为半径的圆及其内部．所以|z |的最大值为3.故选C.3．(2019·高考浙江卷)复数z ＝11＋i (i 为虚数单位)，则|z |＝________．解析：通解：z ＝11＋i ＝1－i 2＝12－i2，所以|z |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＝22. 优解：|z |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪11＋i ＝1|1＋i|＝112＋12＝22.答案：22专题强化训练1．(2019·绍兴诸暨高考二模)已知复数z 满足z (1＋i)＝2i ，则z 的共轭复数z 等于( )A ．1＋iB ．1－iC ．－1＋iD ．－1－i解析：选B.由z (1＋i)＝2i ，得z ＝2i 1＋i ＝2i （1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝1＋i ，则z 的共轭复数z ＝1－i.故选B.2．在等腰梯形ABCD 中，AB →＝－2CD →，M 为BC 的中点，则AM →＝( ) A.12AB →＋12AD → B.34AB →＋12AD →C.34AB →＋14AD → D.12AB →＋34AD → 解析：选B.因为AB →＝－2CD →，所以AB →＝2DC →.又M 是BC 的中点，所以AM →＝12(AB →＋AC →)＝12(AB →＋AD →＋DC →)＝12(AB →＋AD →＋12AB →)＝34AB →＋12AD →，故选B.3．(2019·嘉兴一中高考模拟)复数z 满足z ·(2－i)＝3－4i(其中i 为虚数单位)，则复数|zi|＝( )A.253 B.2C.553D. 5解析：选D.复数z 满足z ·(2－i)＝3－4i(其中i 为虚数单位)，所以z ·(2－i)(2＋i)＝(3－4i)(2＋i)，化为：5z ＝10－5i ，可得z ＝2－i.则复数|z i |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2－i i ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－i （2－i ）－i·i＝|－1－2i|＝|1＋2i|＝12＋22＝ 5.故选D.4.在边长为2的正方形ABCD 中，E ，F 分别为BC 和DC 的中点，则DE →·BF →＝( )A ．－52B ．32C ．－4D ．－2解析：选C.通过建系求点的坐标，然后求解向量的数量积．在边长为2的正方形ABCD 中，E ，F 分别为BC 和DC 的中点，以A 为坐标原点，AB ，AD 为坐标轴，建立平面直角坐标系，则B (2，0)，D (0，2)，E (2，1)，F (1，2)．所以DE →＝(2，－1)，BF →＝(－1，2)，所以DE →·BF →＝－4.5．(2019·台州市书生中学检测)已知点O 是△ABC 的外接圆圆心，且AB ＝3，AC ＝4.若存在非零实数x 、y ，使得AO →＝xAB →＋yAC →，且x ＋2y ＝1，则cos ∠BAC 的值为( )A.23B.33C.23D.13解析：选A.设线段AC 的中点为点D ，则直线OD ⊥AC .因为AO →＝xAB →＋yAC →，所以AO →＝xAB →＋2yAD →.又因为x ＋2y ＝1，所以点O 、B 、D 三点共线，即点B 在线段AC 的中垂线上，则AB ＝BC ＝3.在△ABC 中，由余弦定理得，cos ∠BAC ＝32＋42－322×3×4＝23.故选A.6．在△ABC 中，AB ＝3，BC ＝2，∠A ＝π2，如果不等式|BA →－tBC →|≥|AC →|恒成立，则实数t 的取值范围是( )A ．[1，＋∞)B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1C ．⎝⎛⎦⎥⎤－∞，12∪[1，＋∞) D ．(－∞，0]∪[1，＋∞)解析：选C.在直角三角形ABC 中，易知AC ＝1，cos ∠ABC ＝32，由|BA →－tBC →|≥|AC →|，得BA →2－2tBA →·BC →＋t 2BC →2≥AC →2，即2t 2－3t ＋1≥0，解得t ≥1或t ≤12.7．称d (a ，b )＝|a －b |为两个向量a ，b 间的“距离”．若向量a ，b 满足：①|b |＝1；②a ≠b ；③对任意的t ∈R ，恒有d (a ，t b )≥d (a ，b )，则( )A ．a ⊥bB ．b ⊥(a －b )C ．a ⊥(a －b )D ．(a ＋b )⊥(a －b )解析：选B.由于d (a ，b )＝|a －b |，因此对任意的t ∈R ，恒有d (a ，t b )≥d (a ，b )，即|a －t b |≥|a －b |，即(a －t b )2≥(a －b )2，t 2－2t a ·b ＋(2a ·b －1)≥0对任意的t ∈R 都成立，因此有(－2a ·b )2－4(2a ·b －1)≤0，即(a ·b －1)2≤0，得a ·b －1＝0，故a ·b －b 2＝b ·(a －b )＝0，故b ⊥(a －b )．8．(2019·温州市高考模拟)记max{a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≥bb ，a ＜b ，已知向量a ，b ，c 满足|a |＝1，|b |＝2，a ·b ＝0，c ＝λa ＋μb (λ，μ≥0，且λ＋μ＝1，则当max{c ·a ，c ·b }取最小值时，|c |＝( )A.255B.223 C.1D.52解析：选A.如图，设OA →＝a ，OB ＝b ，则a ＝(1，0)，b ＝(0，2)， 因为λ，μ≥0，λ＋μ＝1，所以0≤λ≤1. 又c ＝λa ＋μb ，所以c ·a ＝(λa ＋b －λb )·a ＝λ；c ·b ＝(λa ＋b －λb )·b ＝4－4λ.由λ＝4－4λ，得λ＝45.所以max{c ·a ，c ·b }＝⎩⎪⎨⎪⎧λ，45≤λ≤14－4λ，0≤λ＜45.令f (λ)＝⎩⎪⎨⎪⎧λ，45≤λ≤14－4λ，0≤λ＜45.则f (λ)∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤45，1. 所以f (λ)min ＝45，此时λ＝45，μ＝15，所以c ＝45a ＋15b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫45，25. 所以|c |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫452＋⎝ ⎛⎭⎪⎫252＝255.故选A.9．(2019·绍兴市柯桥区高三期中检测)已知平面向量a ，b ，c 满足|a |＝4，|b |＝3，|c |＝2，b ·c ＝3，则(a －b )2(a －c )2－[(a －b )·(a －c )]2的最大值为( )A ．43＋37B ．47＋3 3C ．(43＋37)2D ．(47＋33)2解析：选D.设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，a －b 与a －c 所成夹角为θ， 则(a －b )2(a －c )2－[(a －b )·(a －c )]2＝|AB |2|AC |2－|AB |2|AC |2cos 2θ＝|AB |2|AC |2sin 2θ＝|AB |2|AC |2sin 2∠CAB ＝4S 2△ABC ， 因为|b |＝3，|c |＝2，b ·c ＝3，所以b ，c 的夹角为60°， 设B (3，0)，C (1，3)，则|BC |＝7，所以S △OBC ＝12×3×2×sin 60°＝332，设O 到BC 的距离为h ，则12·BC ·h ＝S △OBC ＝332， 所以h ＝3217，因为|a |＝4，所以A 点落在以O 为圆心，以4为半径的圆上， 所以A 到BC 的距离最大值为4＋h ＝4＋3217.所以S △ABC 的最大值为 12×7×⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋3217 ＝27＋332， 所以(a －b )2(a －c )2－[(a －b )·(a －c )]2最大值为4⎝ ⎛⎭⎪⎫27＋3322＝(47＋33)2.故选D.10．(2019·金华市东阳二中高三月考)若a ，b 是两个非零向量，且|a |＝|b |＝λ|a ＋b |，λ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤33，1，则b 与a －b 的夹角的取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，23πB.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，5π6C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π3，πD.⎣⎢⎡⎭⎪⎫5π6，π 解析：选B.因为|a |＝|b |＝λ|a ＋b |，λ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤33，1， 不妨设|a ＋b |＝1，则|a |＝|b |＝λ.令OA →＝a ，OB →＝b ，以OA 、OB 为邻边作平行四边形OACB ，则平行四边形OACB 为菱形．故有△OAB 为等腰三角形，故有∠OAB ＝∠OBA ＝θ，且0<θ<π2.而由题意可得，b 与a －b 的夹角，即OB →与BA →的夹角，等于π－θ，△OAC 中，由余弦定理可得|OC |2＝1＝|OA |2＋|AC |2－2|OA |·|AC |·cos 2θ＝λ2＋λ2－2·λ·λcos 2θ，解得cos 2θ＝1－12λ2.再由33≤λ≤1，可得12≤12λ2≤32，所以－12≤cos 2θ≤12，所以π3≤2θ≤2π3，所以π6≤θ≤π3，故2π3≤π－θ≤5π6，即b 与a －b 的夹角π－θ的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，5π6.11．(2019·杭州市高考二模)已知复数z ＝1＋a ii (a ∈R )的实部为1，则a ＝________，|z |＝________．解析：因为z ＝1＋a i i ＝（1＋a i ）（－i ）－i 2＝a －i 的实部为1， 所以a ＝1，则z ＝1－i ，|z |＝ 2. 答案：1212．(2019·嘉兴一中高考适应性考试)设e 1，e 2为单位向量，其中a ＝2e 1＋e 2，b ＝e 2，且a 在b 上的投影为2，则a ·b ＝________，e 1与e 2的夹角为________．解析：设e 1，e 2的夹角为θ，因为a 在b 上的投影为2， 所以a ·b |b |＝（2e 1＋e 2）·e 2|e 2|＝2e 1·e 2＋|e 2|2＝2|e 1|·|e 2|cos θ＋1＝2，解得cos θ＝12，则θ＝π3.a ·b ＝(2e 1＋e 2)·e 2＝2e 1·e 2＋|e 2|2＝2|e 1|·|e 2|cos θ＋1＝2. 答案：2π313．已知向量a ，b ，|a |＝1，|b |＝2.若对任意单位向量e ，均有|a ·e |＋|b ·e |≤6，则a ·b 的最大值是________．解析：由题意，令e ＝(1，0)，a ＝(cos α，sin α)，b ＝(2cos β，2sin β)，则由|a ·e |＋|b ·e |≤6，可得|cos α|＋2|cos β|≤ 6.①令sin α＋2sin β＝m ，②①2＋②2得4[|cos αcos β|＋sin αsin β]≤1＋m 2对一切实数α，β恒成立，所以4[|cos αcos β|＋sin αsin β]≤1，故a·b ＝2(cos αcos β＋sin αsin β)≤2[|cos αcos β|＋sin αsin β]≤12.答案：1214．(2019·温州市十五校联合体联考)已知坐标平面上的凸四边形ABCD 满足AC →＝(1，3)，BD →＝(－3，1)，则凸四边形ABCD 的面积为________；AB →·CD →的取值范围是________． 解析：由AC →＝(1，3)，BD →＝(－3，1)得AC →⊥BD →，且|AC →|＝2，|BD →|＝2，所以凸四边形ABCD 的面积为12×2×2＝2；因为ABCD 为凸四边形，所以AC 与BD 交于四边形内一点，记为M ，则AB →·CD →＝(MB →－MA →)(MD →－MC →)＝MB →·MD →＋MA →·MC →－MB →·MC →－MA →·MD →，设AM →＝λAC →，BM →＝μBD →，则λ，μ∈(0，1)，且MA →＝－λAC →，MC →＝(1－λ)AC →， MB →＝－μBD →，MD →＝(1－μ)BD →，所以AB →·CD →＝－4μ(1－μ)－4λ(1－λ)∈[－2，0)，所以有λ＝μ＝12时，AB →·CD →取到最小值－2.答案：2 [－2，0)15．(2019·嘉兴一中高考适应性考试)在△ABC 中，∠ACB 为钝角，AC ＝BC ＝1，CO →＝xCA →＋yCB →且x ＋y ＝1，函数f (m )＝|CA →－mCB →|的最小值为32，则|CO →|的最小值为________．解析：在△ABC 中，∠ACB 为钝角，AC ＝BC ＝1，函数f (m )的最小值为32. 所以函数f (m )＝|CA →－mCB →| ＝CA →2＋m 2CB →2－2mCA →·CB →＝1＋m 2－2m cos ∠ACB ≥32， 化为4m 2－8m cos ∠ACB ＋1≥0恒成立．当且仅当m ＝8cos ∠ACB8＝cos ∠ACB 时等号成立，代入得到cos ∠ACB ＝－12，所以∠ACB ＝2π3.所以|CO →|2＝x 2CA →2＋y 2CB →2＋2xyCA →·CB →＝x 2＋y 2＋2xy ×cos 2π3＝x 2＋(1－x )2－x (1－x )＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋14， 当且仅当x ＝12＝y 时，|CO →|2取得最小值14，所以|CO →|的最小值为12.答案：1216．在△OAB 中，已知|OB →|＝2，|AB →|＝1，∠AOB ＝45°，若OP →＝λOA →＋μOB →，且λ＋2μ＝2，则OA →在OP →上的投影的取值范围是________．解析：由OP →＝λOA →＋μOB →，且λ＋2μ＝2， 则OA →·OP →＝OA →·⎣⎢⎡⎦⎥⎤λOA →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－λ2OB →＝λOA →2＋⎝⎛⎭⎪⎫1－λ2OA →·OB →，又|OB →|＝2，|AB →|＝1，∠AOB ＝45°， 所以由余弦定理求得|OA →|＝1，所以OA →·OP →＝λ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－λ2×1×2×22＝1＋λ2，|OP →|＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤λOA →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－λ2OB →2＝ λ2|OA →|2＋2λ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－λ2OA →·OB →＋⎝⎛⎭⎪⎫1－λ22|OB →|2＝λ22＋2，故OA →在OP →上的投影OA →·OP →|OP →|＝1＋λ2λ22＋2＝22·λ＋2λ2＋4(*)． 当λ＜－2时，(*)式＝－22·（λ＋2）2λ2＋4＝－221＋4λλ2＋4＝－221＋4λ＋4λ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0； 当λ≥－2时，(*)式可化为22（λ＋2）2λ2＋4；①λ＝0，上式＝22；②－2≤λ＜0，上式＝221＋4λ＋4λ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，22； ③λ＞0，上式＝221＋4λ＋4λ∈⎝⎛⎦⎥⎤22，1. 综上，OA →在OP →上的投影的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－22，1.答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤－22，1 17．已知OA →，OB →是非零不共线的向量，设OC →＝1r ＋1·OA →＋r r ＋1OB →，定义点集P ＝⎩⎪⎨⎪⎧K ⎪⎪⎪⎪KB →·KC →|KB →|＝KA →·KC→|KA →|，⎭⎪⎬⎪⎫KC →≠0，当K 1，K 2∈P 时，若对于任意的r ≥3，不等式|K 1K 2→|≤c |AB→|恒成立，则实数c 的最小值为________．解析：由OC →＝1r ＋1·OA →＋r r ＋1OB →，可得A ，B ，C 三点共线，由KB →·KC →|KB →|＝KA →·KC→|KA →|，可得|KC →|cos ∠AKC ＝|KC →|cos ∠BKC ，即有∠AKC ＝∠BKC ，则KC 为∠AKB 的角平分线． 由角平分线的性质定理可知|KA ||KB |＝|AC ||BC |＝r ， 以AB 所在的直线为x 轴，以线段AB 上某一点为原点建立直角坐标系，设点K (x ，y )，A (－a ，0)，B (b ，0)，所以（x ＋a ）2＋y 2（x －b ）2＋y2＝r 2，化简得(1－r 2)x 2＋(1－r 2)y 2＋(2a ＋2br 2)x ＋(a 2－b 2r 2)＝0.由方程知K 的轨迹是圆心在AB 上的圆，当|K 1K 2|为直径时最大，方便计算，令K 1K 2与AB 共线，如图，由|K 1A |＝r |K 1B |，可得|K 1B |＝|AB |r ＋1，由|K 2A |＝r |K 2B |，可得|K 2B |＝|AB |r －1，可得|K 1K 2|＝|AB |r ＋1＋|AB |r －1＝2r r 2－1|AB |＝2r －1r|AB |，而易知r －1r ≥3－13＝83，即有|K 1K 2|≤34|AB |，即|K 1K 2||AB |≤34，即c ≥⎝⎛⎭⎪⎫|K 1K 2||AB |max ＝34， 故c 的最小值为34.答案：3418．在△ABC 中，已知C ＝π6，向量p ＝(sin A ，2)，q ＝(2，cos B )，且p ⊥q .(1)求角A 的值；(2)若BC →＝2BD →，AD ＝7，求△ABC 的面积．解：(1)因为p ⊥q ，所以p ·q ＝0⇒p ·q ＝2sin A ＋2cos B ＝0，又C ＝π6，所以sin A ＋cos B ＝sin A ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－A ＝0，化简得tan A ＝33，A ∈(0，π)，所以A ＝π6. (2)因为BC →＝2BD →，所以D 为BC 边的中点， 设|BD →|＝x ，|BC →|＝2x ，由(1)知A ＝C ＝π6，所以|BA →|＝2x ，B ＝2π3，在△ABD 中，由余弦定理，得|AD →|2＝|BA →|2＋|BD →|2－2|BA →|·|BD →|·cos 2π3＝(2x )2＋x 2－2·2x ·x ·cos 2π3＝7，所以x ＝1，所以AB ＝BC ＝2，所以S △ABC ＝12BA ·BC ·sin B ＝12×2×2×sin 2π3＝ 3.19．已知m ＝(2sin x ，sin x －cos x )，n ＝(3cos x ，sin x ＋cos x )，记函数f (x )＝m ·n .(1)求函数f (x )的最大值以及取得最大值时x 的取值集合；(2)设△ABC 的角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若f (C )＝2，c ＝3，求△ABC 面积的最大值．解：(1)由题意，得f (x )＝m ·n ＝23sin x cos x ＋sin 2x －cos 2x ＝3sin 2x －(cos 2x －sin 2x )＝3sin 2x －cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6，所以f (x )max ＝2；当f (x )取最大值时，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＝1，此时2x －π6＝2k π＋π2(k ∈Z )，解得x ＝k π＋π3(k ∈Z )，所以x 的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＝k π＋π3，k ∈Z .(2)由f (C )＝2，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2C －π6＝1，又0＜C ＜π，即－π6＜2C －π6＜11π6，所以2C －π6＝π2，解得C ＝π3，在△ABC 中，由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得3＝a 2＋b 2－ab ≥ab ，即ab ≤3，当且仅当a ＝b ＝3时，取等号，所以S △ABC ＝12ab sinC ＝34ab ≤334， 所以△ABC 面积的最大值为334.。
平面向量与三角函数的_碰撞_
( A ) 等边三角形 ( sinx - cosx, ( B) 直角三角形 ( C) 等腰非等边三角形 ( D ) 三边均不相等的三角形 解: 由 ( → → → AC AB + ) BC = 0可知 , 由 → → | AB | | AC |
→ → 与 AB, A C 同向的单位向量 , 构成的平行四边形 的对角线与 BC 垂直, 则可推出 → AB 三角形 . 由 → | AB | 60 , 所以 ABC 为等腰 BAC = → AC 1 = , 可知 → 2 | AC |
= 1 + 2sin ( 2x + 由 1 + 2sin ( 2x + 得 sin ( 2x + 因为 所以 所以 2x + 3 2 6 x 2x + =3 6
) = 1- 3 , 3 . 2
6
) =3 ,
图象如图 1 所示, 则平移 后的图象所对应函数的解析式是 ( ( A ) y = sin ( x + ( B ) y = sin (x ( C ) y = sin ( 2x + ( D ) y = sin ( 2x 6 6 ) ) ) )
7 3 ( + ) = , 所以 12 6 2 ( C ).
→ 评析: 将三角函数的图象按向量 a = ( , 0 ) 平移, 要注意平移的方向性 , 一般地 , 当 22 <
数理化学习 ( 高中版 ) → → → → ( b + c ), 其中向量 a = ( sinx, - cosx ), b → = ( sinx, - 3cosx ), c = ( - co sx, sinx ), x R . (Ⅰ ) 求函数 f ( x ) 的最大值和最小正周期 ; → ( Ⅱ ) 将函数 y = f ( x ) 的图象按向量 d 平移 , 使平移后 得到的图象关于坐标原点成中心对 → 称 , 求长度最小的 d . 解 : (Ⅰ ) 由题意得 → → → f( x ) = a ( b + c ) = ( sinx, - co sx ) sinx - 3co sx ) = sin x - 2sinx co sx + 3co s x = 2 + co s2x - sin2x 3 ). = 2 + 2sin ( 2x + 4 所以, f ( x ) 的最大值为 2 + 2 , 最小正周期 是 2 = 2 . 3 ) = 0得 4
平面向量与三角函数的关系
平面向量与三角函数的关系平面向量是数学中一个重要的概念，而三角函数则是数学中不可或缺的工具。
本文将探讨平面向量与三角函数之间的关系，揭示它们在数学和物理问题中的应用。
一、平面向量的定义与表示方法平面向量是指具有大小和方向的量，通常用箭头表示。
一个平面向量可以由两个有序实数构成，分别表示向量在水平方向和垂直方向的分量。
常用的表示方法有坐标表示法和向量代数表示法。
二、平面向量的加减运算平面向量的加法和减法运算可以理解为将向量按照箭头首尾相接的方式进行连接或相减。
具体计算时，将向量的坐标分量相加或相减即可。
三、平面向量的数量积平面向量的数量积又称为点积或内积，用符号"·"表示。
数量积的结果是一个实数，表示两个向量的夹角的余弦值与向量的模的乘积。
数量积的计算公式为：A·B = |A||B|cosθ，其中A和B分别为平面向量，θ为它们的夹角。
四、平面向量的叉积平面向量的叉积又称为向量积或外积，用符号"×"表示。
叉积的结果是一个向量，垂直于原来两个向量所在的平面，并满足右手定则。
叉积的计算公式为：A×B = |A||B|sinθn，其中A和B分别为平面向量，θ为它们的夹角，n为垂直于二维平面的单位向量。
五、三角函数的定义与性质三角函数是以三角形的边长比值来定义的。
常见的三角函数有正弦函数、余弦函数和正切函数等。
它们的定义与性质如下：1. 正弦函数：sinθ = 对边/斜边；2. 余弦函数：cosθ = 邻边/斜边；3. 正切函数：tanθ = 对边/邻边；4. 三角函数的周期性和奇偶性等性质。
六、平面向量与三角函数的关系平面向量与三角函数之间存在着密切的关系。
具体来说，平面向量A的模可以表示为：|A| = √(x² + y²)，其中(x, y)为向量的坐标分量。
而三角函数中的正弦函数和余弦函数也是以二维平面上的点的坐标为基础来定义的。
专题二 三角函数与平面向量的综合应用
cos 2x＋1 1 1 解 (1)f(x)＝ sin 2xsin φ＋ cos φ－ cos φ 2 2 2 1 1 ＝ (sin 2xsin φ＋cos 2xcos φ)＝ cos(2x－φ)． 2 2 π 1 1 1 π π 又∵f(x)过点 ， ，∴ ＝ cos －φ，cos( －φ)＝1. 2 2 3 3 6 2 π 由 0<φ<π 知 φ＝ . 3 1 π (2)由(1)知 f(x)＝ cos2x－ .将 f(x)图象上所有点的横坐标缩 2 3 1 1 π 短到原来的 ，纵坐标不变，得到 g(x)＝ cos(4x－ )． 2 2 3 π π π 2π ∵0≤x≤ ，∴－ ≤4x－ ≤ . 4 3 3 3 π π 1 当 4x－ ＝0，即 x＝ 时，g(x)有最大值 ； 3 12 2 π 2π π 1 当 4x－ ＝ ，即 x＝ 时，g(x)有最小值－ . 3 3 4 4
审题视角 (1)利用向量的垂直关系，将向量间的 关系转化成三角函数式，化简求值．(2)根据向量 模的定义，将求模问题转化为求三角函数最值的 问题．(3)转化成证明与向量平行等价的三角函 数式．
题型三
平面向量与三角函数 x x 2x 例 3 已知向量 m ＝ 3sin ，1，n＝cos ，cos . 4 4 4 2π (1)若 m · n＝1，求 cos －x的值； 3 (2)记 f(x)＝m · n，在△ABC 中，角 A，B，C 的对边 分别是 a，b，c，且满足(2a－c)cos B＝bcos C，求 函数 f(A)的取值范围．
答题模板 8．平面向量与三角函数综合问题 试题：(12 分)设向量 a＝(4cos α，sin α)，b＝(sin β， 4cos β)，c＝(cos β，－4sin β)． (1)若 a 与 b－2c 垂直，求 tan(α＋β)的值； (2)求|b＋c|的最大值； (3)若 tan αtan β＝16，求证：a∥b.
平面向量与三角函数的综合习题
三角函数与平面向量综合题题型一：三角函数与平面向量平行(共线)的综合【例1】 已知A 、B 、C 为三个锐角，且A ＋B ＋C ＝π.若向量→p ＝(2－2sinA ，cosA ＋sinA)与向量→q ＝(cosA －sinA ，1＋sinA)是共线向量.（Ⅰ）求角A ；（Ⅱ）求函数y ＝2sin 2B ＋cos C －3B 2的最大值. 题型二. 三角函数与平面向量垂直的综合【例2】 已知向量→a ＝(3sinα,cosα)，→b ＝(2s inα，5sinα－4cosα)，α∈(3π2，2π)，且→a ⊥→b ． （Ⅰ）求tanα的值；（Ⅱ）求cos(α2＋π3)的值． 题型三. 三角函数与平面向量的模的综合【例3】 已知向量→a ＝(cosα,sinα)，→b ＝(cosβ,sinβ)，|→a －→b |＝255.(Ⅰ)求cos(α－β)的值；(Ⅱ)若－π2＜β＜0＜α＜π2，且sinβ＝－513，求sinα的值. 题型四 三角函数与平面向量数量积的综合【例3】 设函数f(x)＝→a ·→b .其中向量→a ＝(m ，cosx)，→b ＝(1＋sinx ，1)，x ∈R ，且f(π2)＝2.（Ⅰ）求实数m 的值；（Ⅱ）求函数f(x)的最小值.题型五：结合三角形中的向量知识考查三角形的边长或角的运算【例5】（山东卷）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，tan 37C =．（1）求cos C ；（2）若52CB CA ⋅=，且9a b +=，求c ． 题型六：结合三角函数的有界性，考查三角函数的最值与向量运算【例6】（2007年高考陕西卷）()f x a b =⋅，其中向量(,cos 2)a m x =，(1sin 2,1)b x =+，x R ∈，且函数()y f x =的图象经过点(,2)4π． （Ⅰ）求实数m 的值； （Ⅱ）求函数()y f x =的最小值及此时x 值的集合。
平面向量与三角函数的关系
平面向量与三角函数的关系在数学中，平面向量和三角函数是两个重要的概念，并且它们之间存在着一定的关系。
本文将介绍平面向量与三角函数的相关性质和应用。
一、向量在直角坐标系中的表示在直角坐标系中，一个向量可以由其在横轴上的分量和在纵轴上的分量来表示。
假设有一个平面向量a，其水平分量为a₁，垂直分量为a₂，则可以用有序数对(a₁, a₂)表示向量a。
其中，a₁沿着横轴的正方向表示，a₂沿着纵轴的正方向表示。
二、向量的模和角度表示向量的模表示向量的长度，也叫作向量的大小。
设向量a的模为|a|，则有|a| = √(a₁² + a₂²)。
其中，a₁和a₂分别为向量a在横轴和纵轴上的分量。
另外，向量还可以用角度来表示。
假设有一个向量a，与横轴之间的夹角为θ，则有tanθ = a₂/a₁，即θ = arctan(a₂/a₁)。
其中，arctan表示反正切函数。
三、平面向量的加法和减法平面向量的加法和减法可以类比数的加法和减法。
设有两个向量a和b，分别表示为(a₁, a₂)和(b₁, b₂)。
向量的加法可以表示为a + b = (a₁ + b₁, a₂ + b₂)。
也就是将两个向量的分量对应相加。
向量的减法可以表示为a - b = (a₁ - b₁, a₂ - b₂)。
也就是将两个向量的分量对应相减。
四、向量与三角函数的关系1. 向量的模和三角函数在直角坐标系中，一个向量的模可以表示为|a| = √(a₁² + a₂²)。
根据直角三角形的性质，我们可以知道，a₁/|a| = cosθ，a₂/|a| = sinθ。
其中，θ表示向量a与横轴之间的夹角。
2. 向量的加法与三角函数设有两个向量a和b，分别表示为(a₁, a₂)和(b₁, b₂)。
根据向量的加法性质，a + b = (a₁ + b₁, a₂ + b₂)。
根据向量的模和三角函数的关系，可以得到|a + b| = √((a₁ + b₁)² + (a₂ + b₂)²) = √(a₁² + a₂² + b₁² + b₂² + 2(a₁b₁ + a₂b₂))。
三角函数与向量结合的题型
三角函数与向量结合的题型【引言】在高中数学课程中，三角函数和向量是两个重要的概念。
它们分别代表了数学的几何和代数两个方面。
三角函数帮助我们研究角度、三角形的性质，而向量则使得我们能够进行矢量运算和分析。
这两个概念的结合可以带来更加复杂和有趣的数学题型。
在本文中，我们将探讨三角函数与向量结合的题型，从简单到复杂，逐步深入地理解这个主题。
【1. 什么是三角函数】三角函数是描述角度和角度相关的性质的一组函数。
其中最常见的三角函数有正弦函数、余弦函数和正切函数。
我们通常用sin、cos和tan来表示它们。
三角函数的定义涉及到一个直角三角形的三个边长或角度，使得我们能够通过角度来研究三角形的性质。
三角函数在解决几何问题、物理问题和工程问题中起着重要的作用。
【2. 什么是向量】向量是用来表示大小和方向的量。
在数学中，向量通常用有序数对或有序数组来表示。
有向线段也可以看作是向量的几何表示。
向量在几何和代数中都有广泛的应用。
我们可以通过向量进行矢量运算，如向量加法、向量减法和数量乘法。
向量还可以用于描述力、速度和位移等物理量。
【3. 三角函数与向量的关系】三角函数和向量之间有许多密切相关的关系。
我们可以通过三角函数来表达向量的方向。
给定一个向量，我们可以计算出它与横轴的夹角，并通过三角函数来表示这个夹角的大小。
我们可以使用三角函数来计算两个向量之间的夹角。
夹角的正弦、余弦和正切值可以帮助我们理解向量之间的关系和性质。
在解决几何问题时，我们常常会遇到涉及角度和向量的复杂题目，这些题目需要我们结合三角函数和向量来求解。
【4. 三角函数与向量结合的题型举例】下面我们来看一些常见的三角函数与向量结合的题型。
4.1 题型一：求两个向量的夹角已知两个向量a和b，求它们的夹角。
解决这个问题时，我们可以使用向量的数量积和三角函数来求解。
具体步骤如下：计算向量a和b的数量积，即a·b。
计算a和b的模长，即|a|和|b|。
2023年新高考数学大一轮复习专题二平面向量与三角函数第1讲平面向量(含答案)
新高考数学大一轮复习专题：第1讲 平面向量[考情分析] 1.平面向量是高考的热点和重点，命题突出向量的基本运算与工具性，在解答题中常与三角函数、直线和圆锥曲线的位置关系问题相结合，主要以条件的形式出现，涉及向量共线、数量积等.2.常以选择题、填空题形式考查平面向量的基本运算，中低等难度；平面向量在解答题中一般为中等难度． 考点一 平面向量的线性运算 核心提炼1．平面向量加减法求解的关键是：对平面向量加法抓住“共起点”或“首尾相连”．对平面向量减法应抓住“共起点，连两终点，指向被减向量的终点”，再观察图形对向量进行等价转化，即可快速得到结果．2．在一般向量的线性运算中，只要把其中的向量当作一个字母看待即可，其运算方法类似于代数中合并同类项的运算，在计算时可以进行类比．例1 (1)如图所示，AD 是△ABC 的中线，O 是AD 的中点，若CO →＝λAB →＋μAC →，其中λ，μ∈R ，则λ＋μ的值为( )A ．－12B.12 C ．－14D.14答案 A解析 由题意知，CO →＝12(CD →＋CA →)＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫12CB →＋CA →＝14(AB →－AC →)＋12CA →＝14AB →－34AC →， 则λ＝14，μ＝－34，故λ＋μ＝－12.(2)已知e 1，e 2是不共线向量，a ＝m e 1＋2e 2，b ＝n e 1－e 2，且mn ≠0.若a ∥b ，则m n＝________. 答案 －2解析 ∵a ∥b ，∴m ×(－1)＝2×n ，∴m n＝－2.(3)A ，B ，C 是圆O 上不同的三点，线段CO 与线段AB 交于点D ，若OC →＝λOA →＋μOB →(λ∈R ，μ∈R )，则λ＋μ的取值范围是________．答案 (1，＋∞)解析 由题意可得，OD →＝kOC →＝kλOA →＋kμOB →(0<k <1)，又A ，D ，B 三点共线，所以kλ＋kμ＝1，则λ＋μ＝1k>1，即λ＋μ的取值范围是(1，＋∞)．易错提醒 在平面向量的化简或运算中，要根据平面向量基本定理恰当地选取基底，变形要有方向，不能盲目转化．跟踪演练1 (1)如图，在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别为边AB ，BC 的中点，连接CE ，DF ，交于点G .若CG →＝λCD →＋μCB →(λ，μ∈R )，则λμ＝________.答案 12解析 由题意可设CG →＝xCE →(0<x <1)， 则CG →＝x (CB →＋BE →)＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫CB →＋12CD →＝x 2CD →＋xCB →.因为CG →＝λCD →＋μCB →，CD →与CB →不共线，所以λ＝x 2，μ＝x ，所以λμ＝12.(2)如图，在扇形OAB 中，∠AOB ＝π3，C 为弧AB 上的一个动点，若OC →＝xOA →＋yOB →，则x ＋3y的取值范围是________．答案 [1,3]解析 设扇形的半径为1，以OB 所在直线为x 轴，O 为坐标原点建立平面直角坐标系(图略)， 则B (1,0)，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，C (cos θ，sin θ)⎝ ⎛⎭⎪⎫其中∠BOC ＝θ，0≤θ≤π3.则OC →＝(cos θ，sin θ)＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32＋y (1,0)，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y ＝cos θ，32x ＝sin θ，解得x ＝23sin θ3，y ＝cos θ－3sin θ3，故x ＋3y ＝23sin θ3＋3cos θ－3sin θ＝3cos θ－33sin θ，0≤θ≤π3. 令g (θ)＝3cos θ－33sin θ， 易知g (θ)＝3cos θ－33sin θ在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上单调递减，故当θ＝0时，g (θ)取得最大值为3， 当θ＝π3时，g (θ)取得最小值为1，故x ＋3y 的取值范围为[1,3]．考点二 平面向量的数量积 核心提炼1．若a ＝(x ，y )，则|a |＝a ·a ＝x 2＋y 2. 2．若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB →|＝x 2－x 12＋y 2－y 12.3．若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ为a 与b 的夹角， 则cos θ＝a ·b |a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22. 例2 (1)(2020·全国Ⅲ)已知向量a ，b 满足|a |＝5，|b |＝6，a ·b ＝－6，则cos 〈a ，a ＋b 〉等于( )A ．－3135B ．－1935C.1735D.1935答案 D解析 ∵|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝25－12＋36＝49， ∴|a ＋b |＝7，∴cos〈a ，a ＋b 〉＝a ·a ＋b |a ||a ＋b |＝a 2＋a ·b|a ||a ＋b |＝25－65×7＝1935. (2)已知扇形OAB 的半径为2，圆心角为2π3，点C 是弧AB 的中点，OD →＝－12OB →，则CD →·AB →的值为( )A ．3B ．4C ．－3D ．－4 答案 C解析 如图，连接CO ，∵点C 是弧AB 的中点， ∴CO ⊥AB ，又∵OA ＝OB ＝2，OD →＝－12OB →，∠AOB ＝2π3，∴CD →·AB →＝(OD →－OC →)·AB →＝－12OB →·AB →＝－12OB →·(OB →－OA →)＝12OA →·OB →－12OB →2＝12×2×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－12×4＝－3. (3)已知在直角梯形ABCD 中，AB ＝AD ＝2CD ＝2，∠ADC ＝90°，若点M 在线段AC 上，则|MB →＋MD →|的取值范围为________________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤255，22 解析 以A 为坐标原点，AB ，AD 所在直线分别为x 轴，y 轴， 建立如图所示的平面直角坐标系，则A (0,0)，B (2,0)，C (1,2)，D (0,2)，设AM →＝λAC →(0≤λ≤1)，则M (λ，2λ)， 故MD →＝(－λ，2－2λ)，MB →＝(2－λ，－2λ)， 则MB →＋MD →＝(2－2λ，2－4λ)， ∴|MB →＋MD →|＝2－2λ2＋2－4λ2＝20⎝⎛⎭⎪⎫λ－352＋45，0≤λ≤1， 当λ＝0时，|MB →＋MD →|取得最大值为22， 当λ＝35时，|MB →＋MD →|取得最小值为255，∴|MB →＋MD →|∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤255，22.易错提醒 两个向量的夹角的范围是[0，π]，在使用平面向量解决问题时要特别注意两个向量的夹角可能是0或π的情况，如已知两个向量的夹角为钝角时，不仅要求其数量积小于零，还要求不能反向共线．跟踪演练2 (1)(2019·全国Ⅰ)已知非零向量a ，b 满足|a |＝2|b |，且(a －b )⊥b ，则a 与b 的夹角为( )A.π6B.π3C.2π3D.5π6 答案 B解析 方法一 设a 与b 的夹角为θ，因为(a －b )⊥b ，所以(a －b )·b ＝a ·b －|b |2＝0， 又因为|a |＝2|b |，所以2|b |2cos θ－|b |2＝0， 即cos θ＝12，又θ∈[0，π]，所以θ＝π3，故选B. 方法二 如图，令OA →＝a ，OB →＝b ，则BA →＝OA →－OB →＝a －b .因为(a －b )⊥b ，所以∠OBA ＝π2，又|a |＝2|b |，所以∠AOB ＝π3，即a 与b 的夹角为π3，故选B.(2)(2020·新高考全国Ⅰ)已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，则AP →·AB →的取值范围是( ) A ．(－2,6) B ．(－6,2) C ．(－2,4) D ．(－4,6)答案 A解析 如图，取A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，则A (0,0)，B (2,0)，C (3，3)，F (－1，3)． 设P (x ，y )，则AP →＝(x ，y )，AB →＝(2,0)，且－1<x <3. 所以AP →·AB →＝(x ，y )·(2,0)＝2x ∈(－2,6)．(3)设A ，B ，C 是半径为1的圆O 上的三点，且OA →⊥OB →，则(OC →－OA →)·(OC →－OB →)的最大值是( ) A ．1＋ 2 B ．1－ 2 C.2－1 D ．1答案 A解析 如图，作出OD →，使得OA →＋OB →＝OD →.则(OC →－OA →)·(OC →－OB →)＝OC →2－OA →·OC →－OB →·OC →＋OA →·OB →＝1－(OA →＋OB →)·OC →＝1－OD →·OC →，由图可知，当点C 在OD 的反向延长线与圆O 的交点处时，OD →·OC →取得最小值，最小值为－2，此时(OC →－OA →)·(OC →－OB →)取得最大值，最大值为1＋ 2.故选A.专题强化练一、单项选择题1．已知四边形ABCD 是平行四边形，点E 为边CD 的中点，则BE →等于( )A ．－12AB →＋AD →B.12AB →－AD →C.AB →＋12AD →D.AB →－12AD →答案 A解析 由题意可知，BE →＝BC →＋CE →＝－12AB →＋AD →.2．(2020·广州模拟)加强体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分，某学生做引体向上运动，处于如图所示的平衡状态时，若两只胳膊的夹角为π3，每只胳膊的拉力大小均为400 N ，则该学生的体重(单位：kg)约为(参考数据：取重力加速度大小为g ＝10 m/s 2，3≈1.732)( )A ．63B ．69C ．75D ．81 答案 B解析 设该学生的体重为m ，重力为G ，两臂的合力为F ′，则|G |＝|F ′|，由余弦定理得|F ′|2＝4002＋4002－2×400×400×cos 2π3＝3×4002，∴|F ′|＝4003，∴|G |＝mg ＝4003，m ＝403≈69kg.3．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－2)，c ＝(λ，－1)，若c ∥(2a ＋b )，则λ等于( ) A ．－2B ．－1C ．－12D.12答案 A解析 ∵a ＝(1,2)，b ＝(2，－2)，∴2a ＋b ＝(4,2)，又c ＝(λ，－1)，c ∥(2a ＋b )，∴2λ＋4＝0，解得λ＝－2，故选A.4．(2020·潍坊模拟)在平面直角坐标系xOy 中，点P (3，1)，将向量OP →绕点O 按逆时针方向旋转π2后得到向量OQ →，则点Q 的坐标是( )A ．(－2，1)B ．(－1，2)C ．(－3，1)D ．(－1，3) 答案 D解析 由P (3，1)，得P ⎝⎛⎭⎪⎫2cos π6，2sin π6，∵将向量OP →绕点O 按逆时针方向旋转π2后得到向量OQ →，∴Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋π2，2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋π2， 又cos ⎝⎛⎭⎪⎫π6＋π2＝－sin π6＝－12，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋π2＝cos π6＝32，∴Q (－1，3)．5．(2020·泰安模拟)如图，在△ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M ，N ，若AB →＝mAM →，AC →＝nAN →，则m ＋n 等于( )A ．0B ．1C ．2D ．3 答案 C解析 如图，连接AO ，由O 为BC 的中点可得，AO →＝12(AB →＋AC →)＝m 2AM →＋n 2AN →， ∵M ，O ，N 三点共线， ∴m 2＋n2＝1. ∴m ＋n ＝2.6．在同一平面中，AD →＝DC →，BE →＝2ED →.若AE →＝mAB →＋nAC →(m ，n ∈R )，则m ＋n 等于( ) A.23B.34C.56D ．1 答案 A解析 由题意得，AD →＝12AC →，DE →＝13DB →，故AE →＝AD →＋DE →＝12AC →＋13DB →＝12AC →＋13(AB →－AD →)＝12AC →＋13⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →－12AC →＝13AB →＋13AC →，所以m ＝13，n ＝13，故m ＋n ＝23.7．若P 为△ABC 所在平面内一点，且|PA →－PB →|＝|PA →＋PB →－2PC →|，则△ABC 的形状为( ) A ．等边三角形 B ．等腰三角形 C ．直角三角形 D ．等腰直角三角形答案 C解析 ∵|PA →－PB →|＝|PA →＋PB →－2PC →|，∴|BA →|＝|(PA →－PC →)＋(PB →－PC →)|＝|CA →＋CB →|，即|CA →－CB →|＝|CA →＋CB →|，两边平方整理得，CA →·CB →＝0，∴CA →⊥CB →，∴△ABC 为直角三角形．故选C. 8．已知P 是边长为3的等边三角形ABC 外接圆上的动点，则||PA →＋PB →＋2PC →的最大值为( )A ．23B ．33C ．43D ．5 3 答案 D解析 设△ABC 的外接圆的圆心为O ， 则圆的半径为332×12＝3，OA →＋OB →＋OC →＝0， 故PA →＋PB →＋2PC →＝4PO →＋OC →.又||4PO →＋OC→2＝51＋8PO →·OC →≤51＋24＝75， 故||PA →＋PB →＋2PC →≤53， 当PO →，OC →同向共线时取最大值．9．如图，圆O 是边长为23的等边三角形ABC 的内切圆，其与BC 边相切于点D ，点M 为圆上任意一点，BM →＝xBA →＋yBD →(x ，y ∈R )，则2x ＋y 的最大值为( )A.2B.3C ．2D ．2 2 答案 C解析 方法一 如图，连接DA ，以D 点为原点，BC 所在直线为x 轴，DA 所在直线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．设内切圆的半径为r ，则圆心为坐标(0，r )，根据三角形面积公式，得12×l △ABC ×r ＝12×AB ×AC ×sin60°(l △ABC 为△ABC 的周长)，解得r ＝1.易得B (－3，0)，C (3，0)，A (0,3)，D (0,0)， 设M (cos θ，1＋sin θ)，θ∈[0,2π)，则BM →＝(cos θ＋3，1＋sin θ)，BA →＝(3，3)，BD →＝(3，0)， 故BM →＝(cos θ＋3，1＋sin θ)＝(3x ＋3y ,3x )，故⎩⎨⎧cos θ＝3x ＋3y －3，sin θ＝3x －1，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋sin θ3，y ＝3cos θ3－sin θ3＋23，所以2x ＋y ＝3cos θ3＋sin θ3＋43＝23sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π3＋43≤2.当θ＝π6时等号成立．故2x ＋y 的最大值为2.方法二 因为BM →＝xBA →＋yBD →，所以|BM →|2＝3(4x 2＋2xy ＋y 2)＝3[(2x ＋y )2－2xy ]． 由题意知，x ≥0，y ≥0， |BM →|的最大值为232－32＝3，又2x ＋y 24≥2xy ，即－2x ＋y 24≤－2xy ，所以3×34(2x ＋y )2≤9，得2x ＋y ≤2，当且仅当2x ＝y ＝1时取等号． 二、多项选择题10．(2020·长沙模拟)已知a ，b 是单位向量，且a ＋b ＝(1，－1)，则( ) A ．|a ＋b |＝2 B ．a 与b 垂直C ．a 与a －b 的夹角为π4D ．|a －b |＝1 答案 BC解析 |a ＋b |＝12＋－12＝2，故A 错误；因为a ，b 是单位向量，所以|a |2＋|b |2＋2a ·b ＝1＋1＋2a ·b ＝2，得a ·b ＝0，a 与b 垂直，故B 正确；|a －b |2＝a 2＋b 2－2a ·b ＝2，|a －b |＝2，故D 错误；cos 〈a ，a －b 〉＝a ·a －b |a ||a －b |＝a 2－a ·b 1×2＝22，所以a 与a －b 的夹角为π4，故C 正确． 11．设向量a ＝(k,2)，b ＝(1，－1)，则下列叙述错误的是( )A ．若k <－2，则a 与b 的夹角为钝角B ．|a |的最小值为2C ．与b 共线的单位向量只有一个为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，－22 D ．若|a |＝2|b |，则k ＝22或－2 2 答案 CD解析 对于A 选项，若a 与b 的夹角为钝角，则a ·b <0且a 与b 不共线，则k －2<0且k ≠－2，解得k <2且k ≠－2，A 选项正确；对于B 选项，|a |＝k 2＋4≥4＝2，当且仅当k ＝0时等号成立，B 选项正确；对于C 选项，|b |＝2，与b 共线的单位向量为±b |b |，即与b 共线的单位向量为⎝⎛⎭⎪⎫22，－22或⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，22，C 选项错误；对于D 选项，∵|a |＝2|b |＝22，∴k 2＋4＝22，解得k ＝±2，D 选项错误．12．已知△ABC 是边长为2的等边三角形，D ，E 分别是AC ，AB 上的两点，且AE →＝EB →，AD →＝2DC →，BD 与CE 交于点O ，则下列说法正确的是( )A.AB →·CE →＝－1B.OE →＋OC →＝0C ．|OA →＋OB →＋OC →|＝32D.ED →在BC →方向上的投影为76答案 BCD解析 因为AE →＝EB →，△ABC 是等边三角形，所以CE ⊥AB ，所以AB →·CE →＝0，选项A 错误；以E 为坐标原点，EA →，EC →的方向分别为x 轴，y 轴正方向建立平面直角坐标系，如图所示，所以E (0,0)，A (1,0)，B (－1,0)，C (0，3)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，233， 设O (0，y )，y ∈(0，3)，则BO →＝(1，y )，DO →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，y －233， 又BO →∥DO →，所以y －233＝－13y ，解得y ＝32， 即O 是CE 的中点，OE →＋OC →＝0，所以选项B 正确；|OA →＋OB →＋OC →|＝|2OE →＋OC →|＝|OE →|＝32， 所以选项C 正确；ED →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13，233，BC →＝(1，3)，ED →在BC →方向上的投影为ED →·BC →|BC →|＝13＋22＝76，所以选项D 正确． 三、填空题13．(2020·全国Ⅱ)已知单位向量a ，b 的夹角为45°，k a －b 与a 垂直，则k ＝________. 答案 22解析 由题意知(k a －b )·a ＝0，即k a 2－b ·a ＝0.因为a ，b 为单位向量，且夹角为45°，所以k ×12－1×1×22＝0，解得k ＝22. 14．在△ABC 中，AB ＝1，∠ABC ＝60°，AC →·AB →＝－1，若O 是△ABC 的重心，则BO →·AC →＝________.答案 5解析 如图所示，以B 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系．∵AB ＝1，∠ABC ＝60°，∴A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32.设C (a,0)． ∵AC →·AB →＝－1，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a －12，－32·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－32 ＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫a －12＋34＝－1，解得a ＝4. ∵O 是△ABC 的重心，延长BO 交AC 于点D ，∴BO →＝23BD →＝23×12()BA →＋BC → ＝13⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32＋4，0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，36. ∴BO →·AC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，36·⎝ ⎛⎭⎪⎫72，－32＝5. 15．(2020·石家庄模拟)在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，点O为△ABC 的外接圆的圆心，A ＝π3，且AO →＝λAB →＋μAC →，则λμ的最大值为________． 答案 19解析 ∵△ABC 是锐角三角形，∴O 在△ABC 的内部，∴0<λ<1,0<μ<1.由AO →＝λ(OB →－OA →)＋μ(OC →－OA →)， 得(1－λ－μ)AO →＝λOB →＋μOC →，两边平方后得，(1－λ－μ)2AO →2＝(λOB →＋μOC →)2＝λ2OB →2＋μ2OC →2＋2λμOB →·OC →，∵A ＝π3，∴∠BOC ＝2π3，又|AO →|＝|BO →|＝|CO →|. ∴(1－λ－μ)2＝λ2＋μ2－λμ，∴1＋3λμ＝2(λ＋μ)，∵0<λ<1,0<μ<1，∴1＋3λμ≥4λμ，设λμ＝t ，∴3t 2－4t ＋1≥0，解得t ≥1(舍)或t ≤13， 即λμ≤13⇒λμ≤19，∴λμ的最大值是19.16．(2020·浙江)已知平面单位向量e 1，e 2满足|2e 1－e 2|≤2，设a ＝e 1＋e 2，b ＝3e 1＋e 2，向量a ，b 的夹角为θ，则cos 2θ的最小值是________． 答案 2829解析 设e 1＝(1,0)，e 2＝(x ，y )，则a ＝(x ＋1，y )，b ＝(x ＋3，y )．由2e 1－e 2＝(2－x ，－y )，故|2e 1－e 2|＝2－x 2＋y 2≤2，得(x －2)2＋y 2≤2.又有x 2＋y 2＝1，得(x －2)2＋1－x 2≤2，化简，得4x ≥3，即x ≥34，因此34≤x ≤1.cos 2θ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ·b|a |·|b |2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋1x ＋3＋y 2x ＋12＋y 2x ＋32＋y 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋42x ＋26x ＋102＝4x ＋12x ＋13x ＋5＝4x ＋13x ＋5＝433x ＋5－833x ＋5＝43－833x ＋5，。
三角函数与平面向量的关系及应用
三角函数与平面向量的关系及应用一、引言三角函数和平面向量是高中数学中重要的概念，它们相互关联，不仅可以帮助我们解决有关角度和距离的问题，还有广泛的实际应用。
本文将探讨三角函数与平面向量的关系，以及它们在实际问题中的应用。
二、三角函数与平面向量的关系1. 向量的模与方向角平面向量可以表示为以原点为起点的有向线段，它具有模和方向两个重要的性质。
向量的模即向量的长度，可以通过勾股定理计算。
而方向角表示了向量相对于正 x 轴的角度，可以用三角函数来表示。
2. 向量的坐标表示与三角函数之间的关系在平面直角坐标系中，向量可以用其在 x 轴和 y 轴上的投影表示。
设向量的坐标为 (x, y)，则它的模可以表示为√(x² + y²)。
通过简单的几何推导，我们可以发现，向量和 x 轴的夹角的余弦值等于它的 x 分量与模的比值，即cosθ = x/√(x² + y²)；而正弦和向量和 y 轴的夹角的余弦值相等，即sinθ = y/√(x² + y²)。
3. 向量之间的夹角与三角函数的关系对于两个向量 u 和 v，它们之间的夹角可以通过它们的数量积和模的关系来计算。
设夹角为θ，则有cosθ = (u·v)/(|u||v|)，其中 ·表示向量的数量积，|u| 和 |v| 分别表示向量 u 和 v 的模。
三、三角函数与平面向量的应用1. 导航系统导航系统通过使用平面向量和三角函数来确定用户的位置和方向。
通过已知的坐标系和三角函数，导航系统可以计算出用户到目的地的方位角和距离，并提供相关的导航指引。
2. 物体运动的分解与合成物体的运动可以看作是在平面坐标系中的向量运动。
通过分解和合成运动向量，我们可以对物体的运动进行分析和计算，提供准确的速度、加速度等信息。
3. 力的分解在物理学中，力也可以看作是一个向量，具有大小和方向。
通过向量的分解，我们可以将一个力分解为两个分力的合力，从而更好地理解和计算复杂的力系统。
新高考数学大一轮复习专题二平面向量与三角函数第7讲三角恒等变换与解三角形
第7讲 三角恒等变换与解三角形[考情分析] 1.三角恒等变换的求值、化简是命题的热点,利用三角恒等变换作为工具,将三角函数与解三角形相结合求解最值、范围问题.2.单独考查可出现在选择题、填空题中,综合考查以解答题为主,中等难度． 考点一 三角恒等变换 核心提炼1．三角求值“三大类型”“给角求值”“给值求值”“给值求角”． 2．三角恒等变换“四大策略”(1)常值代换：常用到“1”的代换,1＝sin 2θ＋cos 2θ＝tan45°等．(2)项的拆分与角的配凑：如sin 2α＋2cos 2α＝(sin 2α＋cos 2α)＋cos 2α,α＝(α－β)＋β等．(3)降次与升次：正用二倍角公式升次,逆用二倍角公式降次． (4)弦、切互化．例1 (1)(2020·全国Ⅰ)已知α∈(0,π),且3cos2α－8cos α＝5,则sin α等于( ) A.53 B.23C.13D.59答案 A解析 由3cos2α－8cos α＝5, 得3(2cos 2α－1)－8cos α＝5, 即3cos 2α－4cos α－4＝0,解得cos α＝－23或cos α＝2(舍去)．又因为α∈(0,π),所以sin α>0, 所以sin α＝1－cos 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－232＝53. (2)已知sin α＝55,sin(α－β)＝－1010,α,β均为锐角,则β等于( ) A.5π12B.π3C.π4D.π6答案 C解析 因为α,β均为锐角,所以－π2<α－β<π2.又sin(α－β)＝－1010,所以cos(α－β)＝31010. 又sin α＝55,所以cos α＝255, 所以sin β＝sin[α－(α－β)] ＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β) ＝55×31010－255×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1010＝22. 所以β＝π4.易错提醒 (1)公式的使用过程要注意正确性,要特别注意公式中的符号和函数名的变换,防止出现“张冠李戴”的情况．(2)求角问题要注意角的范围,要根据已知条件将所求角的范围尽量缩小,避免产生增解． 跟踪演练1 (1)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2,β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2,tan α＝cos2β1－sin2β,则( )A ．α＋β＝π2B ．α－β＝π4C ．α＋β＝π4D ．α＋2β＝π2答案 B解析 tan α＝cos2β1－sin2β＝cos 2β－sin 2βcos 2β＋sin 2β－2sin βcos β ＝cos β＋sin βcos β－sin βcos β－sin β2＝cos β＋sin βcos β－sin β＝1＋tan β1－tan β＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋β, 因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2,β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2,所以α＝π4＋β,即α－β＝π4.(2)(tan10°－3)·cos10°sin50°＝________.答案 －2 解析(tan10°－3)·cos10°sin50°＝(tan10°－tan60°)·cos10°sin50°＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin10°cos10°－sin60°cos60°·cos10°sin50°＝sin －50°cos10°cos60°·cos10°sin50°＝－1cos60°＝－2.考点二 正弦定理、余弦定理 核心提炼1．正弦定理：在△ABC 中,a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2R (R 为△ABC 的外接圆半径)．变形：a ＝2R sinA ,b ＝2R sinB ,c ＝2R sinC ,sin A ＝a 2R ,sin B ＝b 2R ,sin C ＝c2R,a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C 等．2．余弦定理：在△ABC 中,a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A .变形：b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ,cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc.3．三角形的面积公式：S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A .考向1 求解三角形中的角、边例2 在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且a sin C1－cos A＝3c .(1)求角A 的大小；(2)若b ＋c ＝10,△ABC 的面积S △ABC ＝43,求a 的值．解 (1)由正弦定理及a sin C1－cos A＝3c ,得sin A sin C1－cos A＝3sin C ,∵sin C ≠0,∴sin A ＝3(1－cos A ),∴sin A ＋3cos A ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π3＝3,∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π3＝32,又0<A <π,∴π3<A ＋π3<4π3,∴A ＋π3＝2π3,∴A ＝π3.(2)∵S △ABC ＝12bc sin A ＝34bc ＝43,∴bc ＝16.由余弦定理,得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos π3＝(b ＋c )2－2bc －bc ＝(b ＋c )2－3bc ,又b ＋c ＝10,∴a 2＝102－3×16＝52,∴a ＝213.考向2 求解三角形中的最值与范围问题例 3 (2020·新高考测评联盟联考)在：①a ＝3c sin A －a cos C ,②(2a －b )sin A ＋(2b －a )sin B ＝2c sin C 这两个条件中任选一个,补充在下列问题中,并解答．已知△ABC 的角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,c ＝3,而且________． (1)求角C ；(2)求△ABC 周长的最大值．解 (1)选①：因为a ＝3c sin A －a cos C , 所以sin A ＝3sin C sin A －sin A cos C , 因为sin A ≠0,所以3sin C －cos C ＝1,即sin ⎝⎛⎭⎪⎫C －π6＝12,因为0<C <π,所以－π6<C －π6<5π6,所以C －π6＝π6,即C ＝π3.选②：因为(2a －b )sin A ＋(2b －a )sin B ＝2c sin C , 所以(2a －b )a ＋(2b －a )b ＝2c 2, 即a 2＋b 2－c 2＝ab ,所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12,因为0<C <π,所以C ＝π3.(2)由(1)可知,C ＝π3,在△ABC 中,由余弦定理得a 2＋b 2－2ab cos C ＝3,即a 2＋b 2－ab ＝3,所以(a ＋b )2－3＝3ab ≤3a ＋b24,所以a ＋b ≤23,当且仅当a ＝b 时等号成立, 所以a ＋b ＋c ≤33,即△ABC 周长的最大值为3 3.规律方法 (1)利用余弦定理求边,一般是已知三角形的两边及其夹角．利用正弦定理求边,必须知道两角及其中一边,且该边为其中一角的对边,要注意解的多样性与合理性． (2)三角形中的最值与范围问题主要有两种解决方法：一是利用基本不等式求得最大值或最小值；二是将所求式转化为只含有三角形某一个角的三角函数形式,结合角的范围确定所求式的范围．跟踪演练2 (1)在△ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .若△ABC 的面积为S ,且a ＝1,4S＝b 2＋c 2－1,则△ABC 外接圆的面积为( ) A ．4πB．2πC．πD.π2答案 D解析 由余弦定理得,b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ,a ＝1, 所以b 2＋c 2－1＝2bc cos A , 又S ＝12bc sin A,4S ＝b 2＋c 2－1,所以4×12bc sin A ＝2bc cos A ,即sin A ＝cos A ,所以A ＝π4,由正弦定理得,1sinπ4＝2R ,得R ＝22,所以△ABC 外接圆的面积为π2. (2)在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,若A ＝3B ,则a b的取值范围是( ) A ．(0,3) B ．(1,3) C ．(0,1] D ．(1,2] 答案 B 解析A ＝3B ⇒sin A sin B ＝sin3B sin B ＝sin 2B ＋Bsin B＝sin2B cos B ＋cos2B sin Bsin B＝2sin B cos 2B ＋cos2B sin B sin B ＝2cos 2B ＋cos2B ＝2cos2B ＋1,即a b ＝sin A sin B＝2cos2B ＋1,又A ＋B ∈(0,π),即4B ∈(0,π)⇒2B ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2⇒cos2B ∈(0,1),∴a b ∈(1,3)．(3)在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,若tan C ＝125,a ＝b ＝13,BC 边上的中点为D ,则sin∠BAC ＝________,AD ＝________.答案31313 352解析 因为tan C ＝125,所以sin C ＝1213,cos C ＝513,又a ＝b ＝13,所以c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝13＋13－2×13×13×513＝16,所以c ＝4.由asin∠BAC ＝c sin C ,得13sin∠BAC ＝41213,解得sin∠BAC ＝31313.因为BC 边上的中点为D ,所以CD ＝a2,所以在△ACD 中,AD 2＝b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22－2×b ×a 2×cos C ＝454,所以AD ＝352.专题强化练一、单项选择题1．(2020·全国Ⅲ)在△ABC 中,cos C ＝23,AC ＝4,BC ＝3,则cos B 等于( )A.19B.13C.12D.23 答案 A解析 由余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos C ＝42＋32－2×4×3×23＝9,所以AB ＝3,所以cos B ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC ＝9＋9－162×3×3＝19.2．(2020·全国Ⅲ)已知sin θ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝1,则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6等于( )A.12B.33C.23D.22 答案 B解析 因为sin θ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6－π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＋π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6cos π6－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6sin π6＋ sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6cos π6＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6sin π6 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6cos π6＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝1.所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝33. 3．在△ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且b ＝2,sin2C 1－cos2C ＝1,B ＝π6,则a 的值为( ) A.3－1 B ．23＋2 C ．23－2 D.2＋ 6答案 D解析 在△ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且b ＝2,sin2C1－cos2C ＝1,所以2sin C cos C 2sin 2C ＝1,所以tan C ＝1,C ＝π4. 因为B ＝π6,所以A ＝π－B －C ＝7π12,所以sin A ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋π3＝sin π4cos π3＋cos π4sin π3＝2＋64.由正弦定理可得a2＋64＝2sinπ6,则a ＝2＋ 6.4．在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,a cos B ＋b cos A ＝2c cos C ,c ＝7,且△ABC 的面积为332,则△ABC 的周长为( )A ．1＋7B ．2＋7C ．4＋7D ．5＋7答案 D解析 在△ABC 中,a cos B ＋b cos A ＝2c cos C , 则sin A cos B ＋sin B cos A ＝2sin C cos C , 即sin(A ＋B )＝2sin C cos C ,∵sin(A ＋B )＝sin C ≠0,∴cos C ＝12,∴C ＝π3,由余弦定理可得,a 2＋b 2－c 2＝ab , 即(a ＋b )2－3ab ＝c 2＝7,又S ＝12ab sin C ＝34ab ＝332,∴ab ＝6,∴(a ＋b )2＝7＋3ab ＝25,即a ＋b ＝5, ∴△ABC 的周长为a ＋b ＋c ＝5＋7. 5．若α,β都是锐角,且cos α＝55,sin(α＋β)＝35,则cos β等于( ) A.2525B.255C.2525或255D.55或525答案 A解析 因为α,β都是锐角,且cos α＝55<12, 所以π3<α<π2,又sin(α＋β)＝35,而12<35<22,所以3π4<α＋β<5π6,所以cos(α＋β)＝－1－sin2α＋β＝－45,又sin α＝1－cos 2α＝255,所以cos β＝cos(α＋β－α)＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)·sin α＝2525.6．在△ABC 中,A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c .若A ＝120°,a ＝1,则2b ＋3c 的最大值为( ) A ．3B.2213C ．32D.352答案 B解析 因为A ＝120°,a ＝1,所以由正弦定理可得bsin B＝csin C ＝a sin A ＝1sin120°＝233, 所以b ＝233sin B ,c ＝233sin C ,故2b ＋3c ＝433sin B ＋23sin C＝433sin ()60°－C ＋23sin C ＝433sin C ＋2cos C ＝2213sin(C ＋φ)． 其中sin φ＝217,cos φ＝277, 所以2b ＋3c 的最大值为2213.二、多项选择题7．(2020·临沂模拟)在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若b ＝23,c ＝3,A ＋3C ＝π,则下列结论正确的是( ) A ．cos C ＝33B ．sin B ＝23C ．a ＝3D ．S △ABC ＝ 2答案 AD解析 因为A ＋3C ＝π,A ＋B ＋C ＝π,所以B ＝2C .由正弦定理b sin B ＝c sin C ,得23sin2C ＝3sin C,即232sin C cos C ＝3sin C ,所以cos C ＝33,故A 正确；因为cos C ＝33,所以sin C ＝63,所以sin B ＝sin2C ＝2sin C cos C ＝2×63×33＝223,故B 错误；因为cos B ＝cos2C ＝2cos 2C －1＝－13,所以sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ＝223×33＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－13×63＝69,则cos A ＝539,所以a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(23)2＋32－2×23×3×539＝1,所以a ＝1,故C 错误；S △ABC ＝12bc sin A ＝12×23×3×69＝2,故D 正确． 8．已知0<θ<π4,若sin2θ＝m ,cos2θ＝n 且m ≠n ,则下列选项中与tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ恒相等的有( ) A.n1＋m B.m 1＋n C.1－n m D.1－mn答案 AD解析 ∵sin2θ＝m ,cos2θ＝n , ∴m 2＋n 2＝1,∴1－m n ＝n 1＋m,∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝1－tan θ1＋tan θ＝cos θ－sin θcos θ＋sin θ＝cos θ－sin θcos θ－sin θcos θ＋sin θcos θ－sin θ＝1－sin2θcos2θ＝1－m n ＝n1＋m.三、填空题9．(2020·保定模拟)已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝12,则sin2α－cos 2α1＋cos2α＝________.答案 －56解析 因为tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝12,所以tan π4＋tan α1－tan π4tan α＝12,即1＋tan α1－tan α＝12,解得tan α＝－13,所以sin2α－cos 2α1＋cos2α＝2sin αcos α－cos 2α2cos 2α＝tan α－12＝－56. 10．在△ABC 中,a ,b ,c 分别是内角A ,B ,C 的对边,且b ＋a sin C ＝2a sin B －c sin B －sin A,则A ＝________.答案π4解析 由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C ,得b ＋ac ＝2a sin B －cb －a, 整理得b 2－a 2＝2ac sin B －c 2, 即b 2＋c 2－a 2＝2ac sin B ＝2bc sin A , 由余弦定理得,b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A , ∴2bc cos A ＝2bc sin A ,即cos A ＝sin A , ∴tan A ＝1,∴A ＝π4.11．(2020·全国Ⅰ)如图,在三棱锥P －ABC 的平面展开图中,AC ＝1,AB ＝AD ＝3,AB ⊥AC ,AB ⊥AD ,∠CAE ＝30°,则cos∠FCB ＝________.答案 －14解析 在△ABD 中,∵AB ⊥AD ,AB ＝AD ＝3,∴BD ＝6,∴FB ＝BD ＝ 6. 在△ACE 中,∵AE ＝AD ＝3,AC ＝1,∠CAE ＝30°, ∴EC ＝32＋12－2×3×1×cos30°＝1,∴CF ＝CE ＝1.又∵BC ＝AC 2＋AB 2＝12＋32＝2,∴在△FCB 中,由余弦定理得cos∠FCB ＝CF 2＋BC 2－FB 22×CF ×BC ＝12＋22－622×1×2＝－14. 12．(2020·山东省师范大学附中月考)在△ABC 中,设角A ,B ,C 对应的边分别为a ,b ,c ,记△ABC 的面积为S ,且4a 2＝b 2＋2c 2,则Sa 2的最大值为________．答案 106解析 由题意知,4a 2＝b 2＋2c 2⇒b 2＝4a 2－2c 2＝a 2＋c 2－2ac cos B , 整理,得2ac cos B ＝－3a 2＋3c 2⇒cos B ＝3c 2－a 22ac ,因为⎝ ⎛⎭⎪⎫S a 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12ac sin B a 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c sin B2a 2＝c 21－cos 2B4a 2,代入cos B ＝3c 2－a 22ac ,整理得⎝ ⎛⎭⎪⎫S a 22＝－116⎝ ⎛⎭⎪⎫9×c 4a 4－22×c2a 2＋9,令t ＝c 2a 2,则⎝ ⎛⎭⎪⎫Sa 22＝－116(9t 2－22t ＋9)＝－116⎝ ⎛⎭⎪⎫3t －1132＋1036,所以⎝ ⎛⎭⎪⎫S a 22≤1036,所以Sa 2≤106,故S a 2的最大值为106.四、解答题13．(2020·全国Ⅱ)△ABC 中,sin 2A －sin 2B －sin 2C ＝sin B sin C .(1)求A ；(2)若BC ＝3,求△ABC 周长的最大值．解 (1)由正弦定理和已知条件得BC 2－AC 2－AB 2＝AC ·AB .①由余弦定理得BC 2＝AC 2＋AB 2－2AC ·AB cos A ．②由①②得cos A ＝－12.因为0<A <π,所以A ＝2π3.(2)由正弦定理及(1)得AC sin B ＝AB sin C ＝BCsin A ＝23,从而AC ＝23sin B ,AB ＝23sin(π－A －B )＝3cos B －3sin B .故BC ＋AC ＋AB ＝3＋3sin B ＋3cos B＝3＋23sin ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π3. 又0<B <π3, 所以当B ＝π6时,△ABC 周长取得最大值3＋2 3. 14．(2020·重庆模拟)在△ABC 中,a ,b ,c 分别为内角A ,B ,C 的对边,2b 2＝(b 2＋c 2－a 2)(1－tan A )．(1)求角C ；(2)若c ＝210,D 为BC 的中点,在下列两个条件中任选一个,求AD 的长度．条件①：△ABC 的面积S ＝4且B >A ；条件②：cos B ＝255. 解 (1)在△ABC 中,由余弦定理知, b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ,所以2b 2＝2bc cos A (1－tan A ),所以b ＝c (cos A －sin A ),又由正弦定理知,b c ＝sin B sin C, 得sin B ＝sin C (cos A －sin A ),所以sin(A ＋C )＝sin C (cos A －sin A ),即sin A cos C ＋cos A sin C ＝sin C cos A －sin C sin A ,所以sin A cos C ＝－sin C sin A ,因为sin A ≠0,所以cos C ＝－sin C ,所以tan C ＝－1,又因为0<C <π,所以C ＝3π4. (2)选择条件②,cos B ＝255, 因为cos B ＝255,且0<B <π,所以sin B ＝55, 因为sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋sin C cos B＝55×⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＋22×255＝1010,由正弦定理知c sin C ＝asin A ,所以a ＝c sin A sin C ＝210×101022＝22,在△ABD 中,由余弦定理知 AD 2＝AB 2＋BD 2－2AB ·BD ·cos B＝(210)2＋(2)2－2×210×2×255＝26,所以AD ＝26.。
平面向量与三角函数的关系
平面向量与三角函数的关系在数学中，平面向量是研究空间中的对象之一。
它由有向线段表示，具有大小和方向。
而三角函数则是描述角度的函数，涉及到三角形的性质和三角函数的定理。
在本文中，将会探讨平面向量与三角函数之间的关系。
一、平面向量的表示平面向量可以使用坐标的形式进行表示。
假设有平面上的一个向量A，可以使用(x, y)来表示向量A的坐标。
其中，x表示向量A在x轴上的投影长度，y表示向量A在y轴上的投影长度。
例如，向量A = (3,4)表示向量A在x轴上的投影长度为3，在y轴上的投影长度为4。
二、平面向量的模与方向角平面向量的模表示向量的长度，可以使用勾股定理来计算。
设向量A = (x, y)，则向量A的模为|A|=√(x²+y²)。
方向角可以使用反正切函数来计算。
设向量A的方向角为θ，可以使用θ=arctan(y/x)来计算。
三、向量的加法与减法平面向量之间可以进行加法和减法运算。
设向量A = (x1, y1)，向量B = (x2, y2)，则向量A与向量B的加法可以表示为A + B = (x1+x2,y1+y2)；向量A与向量B的减法可以表示为A - B = (x1-x2, y1-y2)。
四、向量的数量积与夹角向量的数量积可以用来研究向量之间的夹角关系。
设向量A = (x1,y1)，向量B = (x2, y2)，则向量A与向量B的数量积可以表示为A·B = x1x2 + y1y2。
根据数量积的定义，向量A与向量B之间的夹角θ可以使用余弦函数来表示，即cosθ = (A·B) / (|A|·|B|)。
五、向量的叉积与正弦值除了数量积之外，向量还可以进行叉积运算。
向量的叉积可以用来研究向量之间的正弦值关系。
设向量A = (x1, y1)，向量B = (x2, y2)，则向量A与向量B的叉积可以表示为A×B = x1y2 - x2y1。
根据叉积的定义，向量A与向量B之间的正弦值可以使用叉积的模除以向量A与向量B的模的乘积来表示，即sinθ = |A×B| / (|A|·|B|)。
例说平面向量与三角函数的综合性问题
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２抓 表 现 手 法 中 的 以 动 写 静 、 小 见 ． 以 大、 虚实 结 合 等 ３抓 修 辞 手 法 中 的 比 喻 、 人 、 张 、 ． 拟 夸 抒 发 了作 者 怎 样 的 思 想 感 情 或 间 接 流 露 出 作 者 怎 样 的 情 感 。 其 主 要 方 法 就 是 运 用 上 面 所 说 的 联 系 法和 诗 词 的 艺 术 手 法
…
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专题二 三角函数与平面向量的综合应用
（时间：45分钟 满分：100分）
一、选择题(每小题7分，共35分)
1．已知sin(2π－α)＝45，α∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，则sin α＋cos αsin α－cos α
等于( ) A.17 B ．－17
C ．－7
D ．7 2．如图，D 、
E 、
F 分别是△ABC 的边AB 、BC 、CA 的中点，则( )
A ．＋BE →＋CF →＝0 B. －CF →＋DF →
＝0 C ．＋CE →－CF →＝0 D. －BE →－FC →＝0
3．已知向量a ＝(2，sin x )，b ＝(cos 2x,2cos x )，则函数f(x)＝a ·b 的最小正周期是( )
A.π2
B ．π
C ．2π
D ．4π 4．已知a ，b ，c 为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，向量m ＝(3，－1)，n ＝(cos A ，
sin A )．若m ⊥n ，且a cos B ＋b cos A ＝c sin C ，则角A ，B 的大小分别为( )
A.π6，π3
B.2π3，π6
C.π3，π6 D .π3，π3
5.已知向量OB →＝（2，0），向量=(2,2)，向量CA →＝(2cos α，2sin α)，则向量OA →与向
量OB →的夹角的取值范围是( )
A.⎣⎡⎦⎤0，π4
B.⎣⎡⎦
⎤π4，512π C.⎣⎡⎦⎤512π，π2 D.⎣⎡⎦
⎤π12，512π 二、填空题(每小题6分，共24分)
6．在直角坐标系xOy 中，已知点A (－1,2)，B (2cos x ，－2cos 2x )，C (cos x,1)，其中x ∈[0，π]，若⊥，则x 的值为______．
7.如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ,AD ⊥AB ,AD =1,BC =2,AB =3,P 是BC
上的一个动点，当⋅PD PA 取得最小值时，tan ∠DP A 的值为
________．
8．(2010·山东)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝2，b ＝2，sin B ＋cos B ＝2，则角A 的大小为________．
9．已知向量a ＝(cos θ，sin θ)，向量b ＝(3，－1)，则|2a －b |的最大值、最小值分别是
__________．
三、解答题(共41分)
10．(13分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且lg a －lg b ＝lg cos B －
lg cos A ≠0.
(1)判断△ABC 的形状；
(2)设向量m ＝(2a ，b )，n ＝(a ，－3b )，且m ⊥n ，(m ＋n )·(n －m )＝14，求a ，b ，c 的值．
11．(14分)已知函数f(x)＝2(sin x －cos x )cos x ＋1，x ∈R.
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)求函数f(x)在区间⎣⎡⎦⎤π8，3π4上的单调区间和最大值与最小值．
12．(14分)已知向量m ＝(sin A ，cos A )，n ＝(3，－1)，m·n ＝1，且A 为锐角．
(1)求角A 的大小；
(2)求函数f(x)＝cos 2x ＋4cos A sin x (x ∈R)的值域．
答案1.A2.A3.B4.C5.D
6．π2或π3 7.12358. π6
9. 4、0 10. 解 (1)因为lg a －lg b ＝lg cos B －lg cos A ≠0，
所以a b ＝cos B cos A
≠1，所以sin 2A ＝sin 2B 且a ≠b . 因为A ，B ∈(0，π)且A ≠B ，
所以2A ＝π－2B ，即A ＋B ＝π2
且A ≠B . 所以△ABC 是非等腰的直角三角形．
(2)由m ⊥n ，得m ·n ＝0.所以2a 2－3b 2＝0.①
由(m ＋n )·(n －m )＝14，得n 2－m 2＝14，
所以a 2＋9b 2－4a 2－b 2＝14，即－3a 2＋8b 2＝14.②
联立①②，解得a ＝6，b ＝2.
所以c ＝a 2＋b 2＝10.
故所求的a ，b ，c 的值分别为6，2，10.
11. 解 (1)f (x )＝2sin x cos x －2cos 2x ＋1
＝sin 2x －cos 2x ＝2sin ⎝
⎛⎭⎫2x －π4. 因此，函数f (x )的最小正周期为π.
(2)因为π8≤x ≤3π4，所以0≤2x －π4≤5π4
. 又因为y ＝sin x 在⎣⎡⎦⎤0，π2内单调递增，在⎣⎡⎦
⎤π2，5π4上单调递减， 所以由0≤2x －π4≤π2，得π8≤x ≤3π8
， 由π2≤2x －π4≤5π4，得3π8≤x ≤3π4
. 所以f (x )的增区间为⎣⎡⎦⎤π8，3π8，减区间为⎣⎡⎦
⎤3π8，3π4. 又f ⎝⎛⎭⎫π8＝0，f ⎝⎛⎭⎫3π8＝2，f ⎝⎛⎭
⎫3π4＝－1， 故函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π8，3π4上的最大值为2，最小值为－1.
12. 解 (1)由题意得m·n ＝3sin A －cos A ＝1，
即2sin ⎝⎛⎭⎫A －π6＝1，所以sin ⎝⎛⎭⎫A －π6＝12
， 由A 为锐角得A －π6＝π6，所以A ＝π3
. (2)由(1)知cos A ＝12
， 所以f (x )＝cos 2x ＋2sin x ＝1－2sin 2x ＋2sin x
＝－2⎝
⎛⎭⎫sin x －122＋32. 因为x ∈R ，所以sin x ∈[－1,1]，
因此，当sin x ＝12时，f(x)有最大值32
； 当sin x ＝－1时，f(x)有最小值－3.
所以所求函数f(x)的值域是⎣
⎡⎦⎤－3，32。