专题二 三角函数与平面向量的综合应用

专题二 三角函数与平面向量的综合应用

（时间：45分钟 满分：100分）

一、选择题(每小题7分，共35分)

1．已知sin(2π－α)＝45，α∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，则sin α＋cos αsin α－cos α

等于( ) A.17 B ．－17

C ．－7

D ．7 2．如图，D 、

E 、

F 分别是△ABC 的边AB 、BC 、CA 的中点，则( )

A ．＋BE →＋CF →＝0 B. －CF →＋DF →

＝0 C ．＋CE →－CF →＝0 D. －BE →－FC →＝0

3．已知向量a ＝(2，sin x )，b ＝(cos 2x,2cos x )，则函数f(x)＝a ·b 的最小正周期是( )

A.π2

B ．π

C ．2π

D ．4π 4．已知a ，b ，c 为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，向量m ＝(3，－1)，n ＝(cos A ，

sin A )．若m ⊥n ，且a cos B ＋b cos A ＝c sin C ，则角A ，B 的大小分别为( )

A.π6，π3

B.2π3，π6

C.π3，π6 D .π3，π3

5.已知向量OB →＝（2，0），向量=(2,2)，向量CA →＝(2cos α，2sin α)，则向量OA →与向

量OB →的夹角的取值范围是( )

A.⎣⎡⎦⎤0，π4

B.⎣⎡⎦

⎤π4，512π C.⎣⎡⎦⎤512π，π2 D.⎣⎡⎦

⎤π12，512π 二、填空题(每小题6分，共24分)

6．在直角坐标系xOy 中，已知点A (－1,2)，B (2cos x ，－2cos 2x )，C (cos x,1)，其中x ∈[0，π]，若⊥，则x 的值为______．

7.如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ,AD ⊥AB ,AD =1,BC =2,AB =3,P 是BC

上的一个动点，当⋅PD PA 取得最小值时，tan ∠DP A 的值为

________．

8．(2010·山东)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝2，b ＝2，sin B ＋cos B ＝2，则角A 的大小为________．

9．已知向量a ＝(cos θ，sin θ)，向量b ＝(3，－1)，则|2a －b |的最大值、最小值分别是

__________．

三、解答题(共41分)

10．(13分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且lg a －lg b ＝lg cos B －

lg cos A ≠0.

(1)判断△ABC 的形状；

(2)设向量m ＝(2a ，b )，n ＝(a ，－3b )，且m ⊥n ，(m ＋n )·(n －m )＝14，求a ，b ，c 的值．

11．(14分)已知函数f(x)＝2(sin x －cos x )cos x ＋1，x ∈R.

(1)求函数f(x)的最小正周期；

(2)求函数f(x)在区间⎣⎡⎦⎤π8，3π4上的单调区间和最大值与最小值．

12．(14分)已知向量m ＝(sin A ，cos A )，n ＝(3，－1)，m·n ＝1，且A 为锐角．

(1)求角A 的大小；

(2)求函数f(x)＝cos 2x ＋4cos A sin x (x ∈R)的值域．

答案1.A2.A3.B4.C5.D

6．π2或π3 7.12358. π6

9. 4、0 10. 解 (1)因为lg a －lg b ＝lg cos B －lg cos A ≠0，

所以a b ＝cos B cos A

≠1，所以sin 2A ＝sin 2B 且a ≠b . 因为A ，B ∈(0，π)且A ≠B ，

所以2A ＝π－2B ，即A ＋B ＝π2

且A ≠B . 所以△ABC 是非等腰的直角三角形．

(2)由m ⊥n ，得m ·n ＝0.所以2a 2－3b 2＝0.①

由(m ＋n )·(n －m )＝14，得n 2－m 2＝14，

所以a 2＋9b 2－4a 2－b 2＝14，即－3a 2＋8b 2＝14.②

联立①②，解得a ＝6，b ＝2.

所以c ＝a 2＋b 2＝10.

故所求的a ，b ，c 的值分别为6，2，10.

11. 解 (1)f (x )＝2sin x cos x －2cos 2x ＋1

＝sin 2x －cos 2x ＝2sin ⎝

⎛⎭⎫2x －π4. 因此，函数f (x )的最小正周期为π.

(2)因为π8≤x ≤3π4，所以0≤2x －π4≤5π4

. 又因为y ＝sin x 在⎣⎡⎦⎤0，π2内单调递增，在⎣⎡⎦

⎤π2，5π4上单调递减， 所以由0≤2x －π4≤π2，得π8≤x ≤3π8

， 由π2≤2x －π4≤5π4，得3π8≤x ≤3π4

. 所以f (x )的增区间为⎣⎡⎦⎤π8，3π8，减区间为⎣⎡⎦

⎤3π8，3π4. 又f ⎝⎛⎭⎫π8＝0，f ⎝⎛⎭⎫3π8＝2，f ⎝⎛⎭

⎫3π4＝－1， 故函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π8，3π4上的最大值为2，最小值为－1.

12. 解 (1)由题意得m·n ＝3sin A －cos A ＝1，

即2sin ⎝⎛⎭⎫A －π6＝1，所以sin ⎝⎛⎭⎫A －π6＝12

， 由A 为锐角得A －π6＝π6，所以A ＝π3

. (2)由(1)知cos A ＝12

， 所以f (x )＝cos 2x ＋2sin x ＝1－2sin 2x ＋2sin x

＝－2⎝

⎛⎭⎫sin x －122＋32. 因为x ∈R ，所以sin x ∈[－1,1]，

因此，当sin x ＝12时，f(x)有最大值32

； 当sin x ＝－1时，f(x)有最小值－3.

所以所求函数f(x)的值域是⎣

⎡⎦⎤－3，32