第二篇第1讲函数及其表示

第二篇函数与基本初等函数I第1讲函数及其表示A级基础演练(时间：30分钟满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．下列各对函数中，是同一个函数的是()．A．f(x)＝x2，g(x)＝3x3B．f(x)＝|x|x，g(x)＝⎩⎨⎧1，x≥0，－1，x<0C．f(x)＝2n＋1x2n＋1，g(x)＝(2n－1x)2n－1，n∈N+D．f(x)＝x·x＋1，g(x)＝x(x＋1)解析对于选项A，由于f(x)＝x2＝|x|，g(x)＝3x3＝x，故它们的值域及对应法则都不相同，所以它们不是同一个函数；对于选项B，由于函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，而g(x)的定义域为R，所以它们不是同一个函数；对于选项C，由于当n∈N+时，2n±1为奇数，所以f(x)＝2n＋1x2n＋1＝x，g(x)＝(2n－1x)2n－1＝x，它们的定义域、值域及对应法则都相同，所以它们是同一个函数；对于选项D，由于函数f(x)＝x·x＋1的定义域为[0，＋∞)，而g(x)＝x(x＋1)的定义域为(－∞，－1]∪[0，＋∞)，它们的定义域不同，所以它们不是同一个函数．答案 C2．(2012·江西)下列函数中，与函数y＝13x定义域相同的函数为()．A．y＝1sin x B．y＝ln xxC．y＝x e x D．y＝sin x x解析函数y＝13x的定义域为{x|x≠0，x∈R}与函数y＝sin xx的定义域相同，故选D.答案 D3．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，则函数解析式为y＝x2＋1，值域为{1,3}的同族函数有()．A．1个B．2个C．3个D．4个解析由x2＋1＝1，得x＝0.由x2＋1＝3，得x＝±2，所以函数的定义域可以是{0，2}，{0，－2}，{0，2，－2}，故值域为{1,3}的同族函数共有3个．答案 C4．(2012·安徽)下列函数中，不满足f(2x)＝2f(x)的是()．A．f(x)＝|x| B．f(x)＝x－|x|C．f(x)＝x＋1 D．f(x)＝－x解析因为f(x)＝kx与f(x)＝k|x|均满足f(2x)＝2f(x)，所以A，B，D满足条件；对于C，若f(x)＝x＋1，则f(2x)＝2x＋1≠2f(x)＝2x＋2.答案 C二、填空题(每小题5分，共10分)5．已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出，则f [g (1)]的值为的值是________． 解析 ∵g (1)＝3，∴f [g (1)]＝f (3)＝1，由表格可以发现g (2)＝2，f (2)＝3，∴f (g (2))＝3，g (f (2))＝1. 答案 1 26．函数y ＝x ＋1－x －1的值域为________． 解析 函数定义域为[1，＋∞)， ∵y ＝x ＋1－x －1＝2x ＋1＋x －1，当x ≥1时是减函数，∴0<y ＝2x ＋1＋x －1≤22＝ 2. 故函数的值域为(0，2]． 答案 (0，2] 三、解答题(共25分)7．(12分)记f (x )＝lg(2x －3)的定义域为集合M ，函数g (x )＝1－2x －1的定义域为集合N ，求：(1)集合M ，N ；(2)集合M ∩N ，M ∪N . 解(1)M ＝{x |2x －3>0}＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x >32， N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪ 1－2x －1≥0＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x －3x －1≥0＝{x |x ≥3，或x <1}．(2)M ∩N ＝{x |x ≥3}，M ∪N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <1或x >32. 8．(13分)二次函数f (x )满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1. (1)求f (x )的解析式；(2)在区间[－1,1]上，函数y ＝f (x )的图像恒在直线y ＝2x ＋m 的上方，试确定实数m 的取值范围．解 (1)由f (0)＝1，可设f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ≠0)，故f (x ＋1)－f (x )＝a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋1－(ax 2＋bx ＋1)＝2ax ＋a ＋b ，由题意，得⎩⎨⎧2a ＝2，a ＋b ＝0，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝－1， 故f (x )＝x 2－x ＋1.(2)由题意，得x 2－x ＋1>2x ＋m ，即x 2－3x ＋1>m ，对x ∈[－1,1]恒成立．令g (x )＝x 2－3x ＋1，则问题可转化为g (x )min >m ，又因为g (x )在[－1,1]上递减， 所以g (x )min ＝g (1)＝－1，故m <－1.B 级 能力突破(时间：30分钟 满分：45分)一、选择题(每小题5分，共10分) 1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg x |，0<x ≤10，－12x ＋6，x >10.若a ，b ，c 互不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )，则abc 的取值范围是( )．A ．(1,10)B ．(5,6)C ．(10,12)D ．(20,24)解析 a ，b ，c 互不相等，不妨设a <b <c ，∵f (a )＝f (b )＝f (c )，由图可知0<a <1,1<b <10,10<c <12. ∵f (a )＝f (b )， ∴|lg a |＝|lg b |，∴lg a ＝－lg b ，即lg a ＝lg 1b ⇒a ＝1b ， ∴ab ＝1,10<abc ＝c <12.故应选C. 答案 C2．定义两种运算：a ⊕b ＝a 2－b 2，a ⊗b ＝(a －b )2，则函数f (x )＝2⊕x(x ⊗2)－2的解析式为( )．A ．f (x )＝4－x 2x，x ∈[－2,0)∪(0,2]B ．f (x )＝x 2－4x ，x ∈(－∞，－2]∪[2，＋∞) C ．f (x )＝－x 2－4x ，x ∈(－∞，－2]∪[2，＋∞) D ．f (x )＝－4－x 2x ，x ∈[－2,0)∪(0,2] 解析 ∵2⊕x ＝4－x 2，x ⊗2＝(x －2)2＝|x －2|，∴f (x )＝4－x 2|x －2|－2.注意到定义域：⎩⎪⎨⎪⎧ 4－x 2≥0，|x －2|≠2⇒⎩⎪⎨⎪⎧－2≤x ≤2，x ≠0且x ≠4⇒x ∈[－2,0)∪(0,2]，∴f (x )＝－4－x 2x ，x ∈[－2,0)∪(0,2]．答案 D二、填空题(每小题5分，共10分)3．设f (x )＝1－x 21＋x 2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝________.解析 因为f (x )＝1－x 21＋x 2，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－1－x 21＋x 2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋f (x )＝0，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝f (1)＝0. 答案 04．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋1，x ≥0，1，x <0，则满足不等式f (1－x 2)>f (2x )的x 的取值范围是________．解析 由题意有⎩⎨⎧ 1－x 2>0，2x <0或⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2>2x ，2x ≥0解得－1<x <0或0≤x <2－1，∴所求x 的取值范围为(－1，2－1)． 答案 (－1，2－1) 三、解答题(共25分)5．(12分)设函数f (x )＝⎩⎨⎧1，1≤x ≤2，x －1，2<x ≤3，g (x )＝f (x )－ax ，x ∈[1,3]，其中a ∈R ，记函数g (x )的最大值与最小值的差为h (a )． (1)求函数h (a )的解析式；(2)画出函数y ＝h (x )的图像并指出h (x )的最小值． 解 (1)由题意知g (x )＝⎩⎨⎧1－ax ，1≤x ≤2，(1－a )x －1，2<x ≤3，当a <0时，函数g (x )是[1,3]上的增函数，此时g (x )max ＝g (3)＝2－3a ，g (x )min ＝g (1)＝1－a ，所以h (a )＝1－2a ；当a >1时，函数g (x )是[1,3]上的减函数，此时g (x )min ＝g (3)＝2－3a ，g (x )max ＝g (1)＝1－a ，所以h (a )＝2a －1；当0≤a ≤1时，若x ∈[1,2]，则g (x )＝1－ax ，有g (2)≤g (x )≤g (1)； 若x ∈(2,3]，则g (x )＝(1－a )x －1，有g (2)<g (x )≤g (3)，因此g (x )min ＝g (2)＝1－2a ，而g (3)－g (1)＝(2－3a )－(1－a )＝1－2a ， 故当0≤a ≤12时，g (x )max ＝g (3)＝2－3a ，有h (a )＝1－a ； 当12<a ≤1时，g (x )max ＝g (1)＝1－a ，有h (a )＝a .综上所述，h (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－2a ，a <0，1－a ，0≤a ≤12，a ，12<a ≤1，2a －1，a >1.(2)画出y ＝h (x )的图像，如图所示，数形结合可得h (x )min ＝h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12.6．(13分)(2012·江苏)设集合P n ＝{1,2，…，n }，n ∈N +.记f (n )为同时满足下列条件的集合A 的个数：①A ⊆P n ；②若x ∈A ，则2x ∉A ；③若x ∈∁P n A ，则2x ∉∁P n A . (1)求f (4)；(2)求f (n )的解析式(用n 表示)．解 (1)当n ＝4时，符合条件的集合A 为：{2}，{1,4}，{2,3}，{1,3,4}，故f (4)＝4.(2)任取偶数x ∈P n ，将x 除以2，若商仍为偶数，再除以2，…，经过k 次以后，商必为奇数，此时记商为m ，于是x ＝m ·2k ，其中m 为奇数，k ∈N +. 由条件知，若m ∈A ，则x ∈A ⇔k 为偶数； 若m ∉A ，则x ∈A ⇔k 为奇数．于是x 是否属于A 由m 是否属于A 确定．设Q n 是P n 中所有奇数的集合，因此f (n )等于Q n 的子集个数．当n 为偶数(或奇数)时，P n 中奇数的个数是n 2(或n ＋12)，所以f (n )＝⎩⎪⎨⎪⎧2n 2，n 为偶数，2n ＋12，n 为奇数.。