第二篇第1讲函数及其表示

第二篇

函数与基本初等函数I

第1讲函数及其表示

A级基础演练(时间：30分钟满分：55分)

一、选择题(每小题5分，共20分)

1．下列各对函数中，是同一个函数的是()．

A．f(x)＝x2，g(x)＝3

x3

B．f(x)＝|x|

x，g(x)＝⎩

⎨

⎧1，x≥0，

－1，x<0

C．f(x)＝2n＋1

x2n＋1，g(x)＝(

2n－1

x)2n－1，n∈N+

D．f(x)＝x·x＋1，g(x)＝x(x＋1)

解析对于选项A，由于f(x)＝x2＝|x|，g(x)＝3

x3＝x，故它们的值域及对应

法则都不相同，所以它们不是同一个函数；对于选项B，由于函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，而g(x)的定义域为R，所以它们不是同一个函数；

对于选项C，由于当n∈N+时，2n±1为奇数，所以f(x)＝2n＋1x2n＋1＝x，g(x)＝(2n－1x)2n－1＝x，它们的定义域、值域及对应法则都相同，所以它们是同一个函数；对于选项D，由于函数f(x)＝x·x＋1的定义域为[0，＋∞)，而g(x)＝x(x＋1)的定义域为(－∞，－1]∪[0，＋∞)，它们的定义域不同，所

以它们不是同一个函数．答案 C

2．(2012·江西)下列函数中，与函数y＝

1

3

x

定义域相同的函数为()．

A．y＝

1

sin x B．y＝

ln x

x

C．y＝x e x D．y＝sin x x

解析函数y＝

1

3

x

的定义域为{x|x≠0，x∈R}与函数y＝sin x

x

的定义域相同，

故选D.

答案 D

3．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，则函数解析式为y＝x2＋1，值域为{1,3}的同族函数有()．A．1个B．2个C．3个D．4个

解析由x2＋1＝1，得x＝0.由x2＋1＝3，得x＝±2，所以函数的定义域可以是{0，2}，{0，－2}，{0，2，－2}，故值域为{1,3}的同族函数共有3个．

答案 C

4．(2012·安徽)下列函数中，不满足f(2x)＝2f(x)的是()．A．f(x)＝|x| B．f(x)＝x－|x|

C．f(x)＝x＋1 D．f(x)＝－x

解析因为f(x)＝kx与f(x)＝k|x|均满足f(2x)＝2f(x)，所以A，B，D满足条件；对于C，若f(x)＝x＋1，则f(2x)＝2x＋1≠2f(x)＝2x＋2.

答案 C

二、填空题(每小题5分，共10分)

5．已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出，

则f [g (1)]的值为的值是________． 解析 ∵g (1)＝3，∴f [g (1)]＝f (3)＝1，由表格可以发现g (2)＝2，f (2)＝3，∴f (g (2))＝3，g (f (2))＝1. 答案 1 2

6．函数y ＝x ＋1－x －1的值域为________． 解析 函数定义域为[1，＋∞)， ∵y ＝

x ＋1－

x －1＝

2x ＋1＋

x －1，

当x ≥1时是减函数，∴0

x －1≤

2

2

＝ 2. 故函数的值域为(0，2]． 答案 (0，2] 三、解答题(共25分)

7．(12分)记f (x )＝lg(2x －3)的定义域为集合M ，函数g (x )＝1－

2

x －1

的定义域为集合N ，求：

(1)集合M ，N ；(2)集合M ∩N ，M ∪N . 解

(1)M ＝{x |2x －3>0}＝⎩⎪⎨⎪

⎧⎭

⎪⎬⎪⎫x ⎪

⎪⎪

x >32

， N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪ 1－2x －1≥0＝⎩⎨⎧⎭

⎬⎫x ⎪⎪⎪

x －3

x －1≥0＝{x |x ≥3，或x <1}．

(2)M ∩N ＝{x |x ≥3}，M ∪N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭

⎪⎬⎪

⎫x ⎪

⎪⎪

x <1或x >32

. 8．(13分)二次函数f (x )满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1. (1)求f (x )的解析式；

(2)在区间[－1,1]上，函数y ＝f (x )的图像恒在直线y ＝2x ＋m 的上方，试确定实数m 的取值范围．

解 (1)由f (0)＝1，可设f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ≠0)，故f (x ＋1)－f (x )＝a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋1－(ax 2

＋bx ＋1)＝2ax ＋a ＋b ，由题意，得⎩

⎨⎧

2a ＝2，a ＋b ＝0，解得

⎩⎨⎧

a ＝1，

b ＝－1， 故f (x )＝x 2－x ＋1.

(2)由题意，得x 2－x ＋1>2x ＋m ，即x 2－3x ＋1>m ，对x ∈[－1,1]恒成立．令g (x )＝x 2－3x ＋1，则问题可转化为g (x )min >m ，又因为g (x )在[－1,1]上递减， 所以g (x )min ＝g (1)＝－1，故m <－1.

B 级 能力突破(时间：30分钟 满分：45分)

一、选择题(每小题5分，共10分) 1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧

|lg x |，0

2x ＋6，x >10.若a ，b ，c 互不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )，则abc 的取值范围是

( )．

A ．(1,10)

B ．(5,6)

C ．(10,12)

D ．(20,24)

解析 a ，b ，c 互不相等，不妨设a

∴lg a ＝－lg b ，即lg a ＝lg 1b ⇒a ＝1

b ， ∴ab ＝1,10

c ＝c <12.故应选C. 答案 C