N8-1空间解析几何简介剖析
高考数学解析几何概念详解
高考数学解析几何概念详解高考数学是每个学生普遍都需要面对的考试之一。
其中，解析几何是不可避免的一个重要考点。
解析几何主要涉及到平面解析几何和空间解析几何两个部分。
本文将着重介绍空间解析几何的概念及其应用。
一、空间直角坐标系和三元组空间解析几何中，空间直角坐标系是十分重要的概念。
我们通常用三个坐标轴来确定一个三维空间，这三个坐标轴之间相互垂直，其中x轴是水平方向，y轴是垂直于x轴的水平方向，z轴是垂直于x轴和y轴的垂直方向。
三元组则是指在一个空间直角坐标系中，一个点的坐标表示。
三元组的一般表示为$(x,y,z)$，其中x表示该点在x轴上的坐标位置，y表示该点在y轴上的坐标位置，z表示该点在z轴上的坐标位置。
二、空间向量的定义和性质空间向量是指在空间内有大小和方向的量。
空间向量可以用坐标表示和点表示两种方式。
在坐标表示中，一个空间向量通常用起点和终点的坐标表示出来，两个坐标之间的差即为该向量的坐标表示。
在点表示中，一个空间向量通常用其起点和方向向量来表示，我们通常用有向线段表示空间向量，起点在空间上的一个点，终点则为有向线段的末端点，而方向则由有向线段的方向确定。
在学习空间解析几何时，我们需要掌握空间向量的一些基本性质，比如向量的运算法则、向量共线条件、向量的数量积等等。
三、空间直线的方程式和特殊直线空间直线通常可以用向量、点向式和截距式表示。
其中，向量式表示的直线通常采用点向式和截距式表示。
点向式表示的直线可以通过其通过的一点 $P(x_0,y_0,z_0)$ 和与直线平行的一个向量 $\overrightarrow{l}=\langle a,b,c\rangle$ 来表示，其方程为：$$ \frac{\mathbf{x}-\mathbf{P}}{a}=\frac{\mathbf{y}-\mathbf{P}}{b}=\frac{\mathbf{z}-\mathbf{P}}{c} $$截距式表示的直线则主要用于表示直线与坐标轴的交点及其坐标。
高等数学Ⅰ第一章课件：空间解析几何
练习题答案
一、1、Ⅳ,Ⅴ,Ⅷ,Ⅲ；
2、(-3,2,1),(3,2,-1),(-3,-2,-1),
(-3,-2,1),(3,2,1),(3,-2,-1)；
3、(-4,3,0),(0,3,5),(-4,0,5),
(-4,0,0),(0,3,0),(0,0,5)；
4、(a, a,a), (a, a, a),(a,a, a),(a,a, a) ；
(2) 空间直角坐标系 （轴、面、卦限）
（注意它与平面直角坐标系的区别）
空间两点间距离公式
M1M2 x2 x1 2 y2 y1 2 z2 z1 2
思考题
1. 在空间直角坐标系中，指出下列 各点在哪个卦限？
A(1,2,3), B(2,3,4), C(2,3,4), D(2,3,1) .
b
3a
2
5
解
a
b
5
1
b
b
3a
2
5
(1
3)a
1
5 2
1 5
5
b
2a
5
b.
2
例2 试用向量方法证明：对角线互相平分的
四边形必是平行四边形.
证 AM MC BM MD
D b
A
a
C
M
B
AD AM MD MC BM BC
AD 与 BC 平行且相等, 结论得证.
1.2 空间直角坐标系
3、点 A ( 4 , 3 , 5 )在xoy 平面上的射影点为_____ ______,在 yoz 面上的射影点为__________，在 zox轴上的射影点为_________，在x 轴上 的射影 点为________，在x 轴上 的射影点为______，在 z 轴上 的射影点为_______ ;
高数下 第八章空间解析几何.PDF
平行向量对应坐标成比例
当 a 0 时,
bx = by = bz ax ay az
bx = ax by = ay bz = az
例1 已知两点 在AB直线上求一点M ，使
及实数 −1，
A
解 设 M 的坐标为
如图所示
M
B
AM = MB OM − OA = ( OB − OM )
第八章 空间解析几何与向量代数
第一讲 向量及其线性运算
回顾
基本概念 向量的定义、向量的模、单位向量、零向量、负向量、 向量之间的关系：向量平行、 向量相等、 向量共面、 向量的线性运算与坐标表示：平面向量的线性运算、 平面向量的坐标表示、 平面向量平行的坐标表示等
一 、空间直角坐标系
过空间一个定点 O，作三条互相垂直的数轴， 这样的三条坐标轴就组成了空间直角坐标系.
C(x, Байду номын сангаас, z)
oo
x P(x, 0, 0)
M y
Q(0, y, 0) A(x, y, 0)
z
o
x
坐标面
坐标轴
y
视频2
二、向量的坐标表示
在空间直角坐标系下，任意向量 r 可用向径 OM 表示.
以 i , j , k 分别表示 x , y , z 轴上的单位向量，设点 M 的坐标为
M (x , y , z) , 则 OM = ON + NM = OA + OB + OC
及
解 设该点为 M (0, 0, z),
因为 M A = M B ,
(−4)2 +12 +(7 − z)2 = 32 +52 +(−2 − z)2 解得 故所求点为 M (0, 0,14 ) . 9
新高考解析几何知识点
新高考解析几何知识点随着新高考改革的推进，解析几何作为数学必修课程之一，成为了许多考生备考的重点内容。
解析几何作为数学的一个分支，以代数方法研究几何图形的性质和运动规律。
下面，我们将对新高考中解析几何的几个重要知识点进行深入探讨。
一、平面坐标系平面直角坐标系是解析几何中最基本的概念之一。
平面直角坐标系分为笛卡尔坐标系和极坐标系两种形式。
笛卡尔坐标系是指在平面上确定一个原点O，以及与平面相垂直的两条相互垂直的数轴x轴OX和y轴OY。
任意一点P在这个坐标系中可以表示为一对有序数(x,y)，其中x表示点P在x轴上的坐标，y表示点P在y轴上的坐标。
通过笛卡尔坐标系，我们可以方便地研究平面上的几何图形的性质和运动规律。
与笛卡尔坐标系相比，极坐标系则是用极径和极角来描述平面上的点。
在极坐标系中，点P到原点O的距离称为极径，用r表示，点P 到x轴正半轴的角度称为极角，用θ表示。
通过极坐标系，我们可以更加简洁地表示点在平面上的位置。
二、直线与圆的方程解析几何中，直线和圆是最基本的几何图形，其方程的求解和性质的研究都是解析几何重要的内容。
直线的一般方程可以表示为Ax+By+C=0，其中A、B、C为常数，A和B不同时为0。
在笛卡尔坐标系中，直线的斜率可以用来研究直线的性质。
直线的斜率可以表示为m=tanθ，其中θ为直线与x轴正半轴的夹角。
不同斜率的直线有不同的性质，例如斜率为正的直线为增函数，斜率为负的直线为减函数。
圆的一般方程可以表示为(x-a)²+(y-b)²=r²，其中(a,b)为圆心的坐标，r为圆的半径。
通过圆的方程，我们可以推导出圆与直线的交点、切点等重要性质。
三、直线与圆的位置关系解析几何中，直线与圆的位置关系是一个重要的知识点。
直线与圆的位置关系主要分为三种情况：直线与圆相离、相切和相交。
当直线与圆相离时，直线与圆不存在交点。
通过直线的方程和圆的方程，我们可以通过代数方法推导出直线与圆相离的条件。
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2) y1 b 时, 截痕为相交直线:
z
x z 0 ac
y b (或 b)
x
y
3) y1 b 时, 截痕为双曲线:
z
x2 a2
z2 c2
1
y12 b2
0
y y1
x
y
(实轴平行于z 轴; 虚轴平行于x 轴）
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B. 双叶双曲面
x2 a2
y2 b2
z2 c2
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（1）抛物面
z
A. 椭圆抛物面
x2 y2 z ( p , q 同号) 2p 2q
y x
特别,当 p = q 时为绕 z 轴的旋转抛物面.
例9（P320-例6）作方程
的图形 .
解: 范围 z 0. x, y R
x2 y2 0 与坐标面的交线：
z0
原点
z x2 z y2
则 F( x, y, z ) = 0 叫做曲面 S 的方程,
曲面 S 叫做方程 F( x, y, z ) = 0 的图形.
F(x, y, z) 0
两个基本问题 :
z
(1) 已知一曲面作为点的几何轨迹时,
S
如何求曲面方程.
oy x
(2) 已知方程时 , 研究它所表示的几何形状
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1. 平面的方程
教学要求：
１.了解多元函数的概念。掌握二元函数的定义与图形特点. ２.知道二元函数的极限与连续性的概念。 ３.理解多元函数偏导数与全微分的概念；熟练掌握求偏导
数与全微分的方法；掌握求多元复合函数偏导数的方法. ４.掌握由一个方程确定的隐函数求偏导数的方法（例如由
8-1 空间解析几何简介
(x +1)2 + y2 + (z 4)2 = (x 1)2 + y 2 2 + (z +1)2 ( )
4x + 4y 10z +11 = 0
故M( x, y, z)的轨迹方程 (即A,B两点连线的垂直平分 的轨迹方程 即 , 两点连线的垂直平分 面的方程)为 面的方程 为 4x + 4y 10z +11 = 0 平面上任意一点的坐标满足z 因x y平面上任意一点的坐标满足 = 0; 而凡满足 = 0的 平面上任意一点的坐标满足 ; 而凡满足z 的 平面上; 坐标平面的方程分别为 点又都在 x y平面上;故坐标平面的方程分别为 平面上 x y面的方程为 z = 0 面的方程为 x z面的方程为 y =0 面的方程为 y z面的方程为 x = 0 面的方程为
2
(3) x2 + y2 = R2
(4) z = x + y
2
(5) x2 = 4.
则曲面过原点. 由方程2x- z = 0不含 知:D = 0. 则曲面过原点 不含y知 解 (1)由方程 由方程 不含 取何值, 都有2x- z = 0 且无论 y 取何值 都有 即用平行于xz面的任何平面 即用平行于 面的任何平面 Y = a去截曲面,其截痕都 去截曲面, 去截曲面
巳知曲面的几何轨迹, 1. 巳知曲面的几何轨迹, 建立曲面的方程
一动点M( 与两定点A(例1 一动点 x, y, z)与两定点 -1,0,4)和B(1,2,-1)的 与两定点 和B(1,2,-1)的 距离相等, 求此动点M的轨迹方程 的轨迹方程. 距离相等 求此动点 的轨迹方程
解 因MA = MB
这与平面解几中两点间的距离公式是一样的. 这与平面解几中两点间的距离公式是一样的. 各作三个分别垂直于三条坐标轴的平面. 过 M1, M2 各作三个分别垂直于三条坐标轴的平面
量子力学8-1剖析
a ' | | k k | Skak
k
k
3）算符的表象变换
L' | Lˆ |
| j j | Lˆ | k k |
kj
Sj Ljk Sk1
kj
﹟
2
第八章 自旋
预备知识：正常Zeeman效应 把原子（光源）置于强磁场中，原子发出
的每条光谱线都分裂为三条，此即 正常Zeeman效应。 问题：谱线为啥可以分裂？ 1. 体系的哈密顿
3p
0
+1 -1
l l
3s
无外磁场
0 m
加强磁场
原来的一条钠黄线(λ≈5893Å)分裂成三条,角频率为
w，w±wl所以外磁场越强，则分裂越大。
﹟
8
§8.1 电子自旋
在讨论电子在磁场中的运动时，我们发 现电子具有轨道磁矩
Mˆ z
e
2c
lˆz
如有外场存在，则这一轨道磁矩所带来
的附加能量为
U
Mˆ z B
根据这一系列实验事实，G. Uhlenbeck） （乌伦贝克）和S.Goudsmit（古德斯密特） 提出 假设：
17
①电子具有自旋 Sˆ ，并且有内禀磁矩ˆs ，
它们有关系
ˆ s
e mec
Sˆ
与轨道磁矩Mˆ
B
e 2mec
lˆz作比较
②电子自旋在任何方向上的测量值仅取两
个值 / 2 ，所以
z
e 2mec
nrlm(r, ,) Rnrl (r)Ylm( ,),
nr ,l 0,1,2,, m l,l 1,,l,
相应的能量本征值为
Enrlm
Enrl
eB
2c
空间解析几何简介(中华)
即
( 4 0)2 (1 0)2 (7 z )2 ( 3 0 ) 2 ( 5 0 ) 2 ( 2 z ) 2
14 14 解得 z ，即所求点为 M (0, 0, ) . 9 9
12
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2º 球面方程
特殊地：球心在原点时方程为 x 2 y 2 z 2 R2 .
13
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例2 求 球 面 方 程 x 2 y 2 z 2 2 x 4 y 6 z 2 0
的球心和半径 .
解
x 2 y 2 z 2 2 x 4 y 6z 2 ( x 1) ( y 2) ( z 3) 14 2 0 ,
在xoy面上, x2 + y2 = R2 表示以 原点O为圆心, 半径为R的圆.
曲面可以看作是由平行 于 z 轴的直线 L 沿 xoy 面上的 圆 x2 + y2 = R2 移动而形成, 称 该曲面为圆柱面.
z
l o o
y
x
31
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画出下列柱面的图形:
yx
z
2
y x
平面解析几何中
2
2
( 3) y x 1.
空间解析几何中
平行于 y 轴的直线 平行于 yoz 面的平面 圆心在(0,0) ，
x2 y2 4
y x 1
以 z 轴为中心轴的圆 柱面
平行于 z 轴的平面
34
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半径为2 的圆
斜率为1的直线
1. 椭圆柱面 z
高等数学-01空间解析几何
添加标题
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空间直线的方程应用：用于表示 空间中的直线，以及进行空间几 何计算和图形绘制。
平面与直线的位置关系
平行：两条直线在同一平面 内，没有公共点
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异面：两条直线不在同一平 面内，没有公共点
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垂直于平面：直线与平面有 两个公共点
平行于平面：直线与平面没 有公共点
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解析：向量法是 解析几何中常用 的方法，可以解 决许多几何问题
结论：两个平面 的交线是直线， 这是解析几何中 的基本定理
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空间解析几何是理解空间结构的基础，对于理解物理现象、解决工程问题等具有重要意义。
空间解析几何是现代数学的一个重要组成部分，对于培养数学思维和逻辑思维能力具有重 要作用。
空间解析几何的基本概念
空间解析几何是研究空间中点、线、面、体的位置关系和度量关系的数学 学科。
空间解析几何的基本概念包括向量、标量、矩阵、线性变换等。
向量的模和向量的数量积
添加标题
向量的模：表示向量的长度或大小，是向量的绝对值
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向量的数量积：表示两个向量的夹角，是向量的相对值
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向量的模和向量的数量积的关系：向量的模和向量的数量积是向量的两个基本属性，它们之间 的关系是向量的模的平方等于向量的数量积的平方加上向量的数量积的平方
添加标题
向量的向量积和混合积的应用：在空间解析几何中，向量的向量积和混合积可以用来求 解向量的夹角、向量的长度等。
向量的向量积和混合积的性质：向量的向量积和混合积具有交换律、结合律和分配律等性质。
空间解析几何ppt1.8
（1.8－4）
（1.8－5）
（1.8－6）
定理 1.8.5
向量积满足分配律，即 a+b c a c b c .
推论
c a+b c a c b .
二、向量积的运算
（1）反交换律 （2）结合律 （3）右分配律 （4）左分配律
ab ba .
a b a b a b .
a +b c a c b c
.
c a +b c a c b .
（1.8－2）
定理 1.8.4 向量积满足关于数因子的结合律，即 a b a b a b . 式中 a, b 为任意向量， 为任意实数.
Fra bibliotek（1.8－3）
推论 设 , 为任意实数，那么 a b a b .
1
三、向量积的坐标表示（直角坐标系下）
定理 1.8.6 如果 a X1i Y1 j Z1 k ， b X 2 i Y2 j Z2 k ，那么
Y1 ab Y2
或写成
Z1 Z1 X 1 X 1 Y1 i j k， Z2 Z2 X 2 X 2 Y2 i j k a b X 1 Y1 Z1 . X 2 Y2 Z 2
（1.8－8）
（1.8－9）
例3
已知空间三点 A1,2,3 , B 2, 1,5 , C 3,2, 5 ，试求： （1） ABC 的面积；（2） ABC 的 AB 边上的高.
解析几何大一上知识点
解析几何大一上知识点解析几何是数学中的一个分支，它主要研究平面几何和空间几何中的各种图形、线性方程和线性不等式的性质及其相互关系。
在大一上学期的课程中，我们主要学习了解析几何的基础知识和方法。
本文将对大一上学期中所学的解析几何知识点进行解析和讲解。
一、直线和平面的方程在解析几何中，我们需要了解直线和平面的方程以及它们的性质。
对于平面来说，我们经常使用的方程是一般式方程和点法式方程。
一般式方程可以表示为Ax + By + C = 0，其中A、B、C是常数。
点法式方程可以表示为A(x-x_0) + B(y-y_0) + C(z-z_0) = 0，其中A、B、C是平面的法向量，(x_0, y_0, z_0)是平面上的一个点。
对于直线来说，我们也有不同的表示方式。
点向式方程可以表示为\frac{x-x_0}{l} = \frac{y-y_0}{m} = \frac{z-z_0}{n}，其中(l, m, n)是直线的方向向量，(x_0, y_0, z_0)是直线上的一点。
另一种常用的方程是两点式方程，可以表示为\frac{x-x_1}{x_2-x_1} =\frac{y-y_1}{y_2-y_1} = \frac{z-z_1}{z_2-z_1}，其中(x_1, y_1, z_1)和(x_2, y_2, z_2)是直线上的两个点。
二、平面与平面的位置关系在解析几何中，我们需要研究不同平面之间的位置关系。
当两个平面平行时，它们的法向量相等或成比例。
当两个平面垂直时，它们的法向量互相垂直。
另外，两个平面可以相交，相交线是两个平面的公共部分。
三、直线与直线的位置关系直线与直线之间的位置关系也是解析几何中的重要内容。
两条直线平行时，它们的方向向量相等或成比例。
两条直线相交时，它们的方向向量互相垂直。
四、点、直线、平面之间的距离在解析几何中，我们经常需要计算点、直线和平面之间的距离。
对于点和直线之间的距离，我们可以利用点到直线的距离公式进行计算。
空间解析几何的基本概念及其应用
虚拟现实与增强现实： 通过空间解析几何技术， 实现更真实、更自然的 虚拟场景和增强现实体 验。
自动驾驶：利用空间 解析几何方法，提高 自动驾驶车辆的环境 感知和路径规划能力。
医学影像分析：结合空 间解析几何理论，实现 更准确、更自动的医学 影像分析和诊断。
空间解析几何的研究方向
添加项标题
几何计算：研究如何利用计算机进行几何形状的计算和模拟，例 如计算机图形学、CAD等领域。
动画制作：通过空间解析几 何来创建逼真的动画效果
游戏开发：利用空间解析几 何来设计游戏场景和角色
3D建模：使用空间解析几何 来构建三维模型
虚拟现实：通过空间解析几何 来实现更加真实的虚拟环境
在机器人学中的应用
机器人路径规划：利用空间解析几何的方法，计算机器人在空间中的最优路径
机器人姿态控制：通过解析几何的方法，控制机器人的姿态，使其能够稳定地在空间中移动
空间解析几何的 发展趋势
空间解析几何的新理论
几何大数据：处理大规模几何数据，挖掘几何规律 几何计算：高效、精确地进行几何计算，提高计算精度 几何深度学习：结合深度学习技术，进行几何模式识别和分类 几何优化：寻找最优的几何解决方案，解决复杂几何问题
空间解析几何的新应用
人工智能与机器学习： 利用空间解析几何理论， 开发更高效的人工智能 算法和机器学习模型。
空间解析几何在物理学、工程学、经济学等领域有着广泛的应用。
空间解析几何的基本元素
点：空间中的基本单元，表示 位置和方向
直线：由无数点按某一方向无 限延伸形成的几何对象
平面：由无数直线按某一方向 无限延伸形成的几何对象
向量：有大小和方向的几何对 象，表示空间中的力和速度等 物理量
空间解析几何的基本定理
解析几何课程简介
《解析几何》课程简介一、《解析几何》课程说明1、课程编码：A9F32202X2、开课学期及学时学分：第3-4学期 64学时 4学分3、课程类型：专业必修课4、先修课程：高中数学5、教材：《解析几何》（第四版），吕林根主编，高等教育出版社出版，2009。
6、开课对象：初等教育综合理科学生二、课程的性质和任务《解析几何》是我院初等教育综理专业的一门重要的专业必修课，是初等数学通向高等数学的桥梁，是初等教育综理专业课的基石。
空间解析几何是用坐标法，把数学的基本对象与数量关系紧密地联系起来，对数学的发展起到了重要作用。
本课程内容丰富，方法系统，体系完备，应用广泛。
学好本课程，使学生系统掌握解析几何的基础知识和基本理论，能够培养学生用解析几何思想解决问题的能力、提高学生的空间想象能力，为数学专业的后继课程、其他学科的相关课程的学习和未来从事中小学数学教学工作打下坚实的基础。
三、课程内容本课程选用的教材是普通高等教育“十一五”国家级规划教材，吕林根、许子道编著、高等教育出版社出版的《解析几何》第四版，2009。
主要内容有：第一章向量与坐标1.1向量的概念；1.2向量的加法；1.3数量乘向量；1.4向量的线性关系与向量的分解；1.5标架与坐标；1.6向量在轴上的射影；1.7两向量的数量积；1.8两向量的向量积；1.9三向量的混合积；1.10三向量的双重向量积。
第二章轨迹与方程2.1 平面曲线的方程；2.2曲面的方程；2.3空间曲线的方程。
第三章平面与空间直线3.1平面的方程；3.2平面与点的相关位置；3.3两平面的相关位置；3.4空间直线的方程；3.5直线与平面的相关位置；3.6空间直线与点的相关位置；3.7空间两直线的相关位置；3.8平面束。
第四章二次曲面4.1柱面；4.2锥面；4.3旋转曲面；4.4椭球面；4.5双曲面；4.6抛物面；4.7单叶双曲面与双曲抛物面的直母线。
第五章二次曲线的一般理论5.1二次曲线与直线的相关位置；5.2二次曲线的渐近方向、中心、渐近线；5.3二次曲线的切线；5.4二次曲线的直径；5.5二次曲线的主直径与主方向；5.6二次曲线方程的化简与分类；5.7应用不变量化简二次曲面的方程。
空间解析几何简介
| M1M 2 |2 (x2 x1)2 ( y2 y1)2 (z2 z1)2.
所以点 M1和M 2 间的距离为 | M1M2 | (x1 x2 )2 ( y1 y2 )2 (z1 z2 )2 .
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7(补充) 空间解析几何简介
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7.1 多元函数
2. 二元函数的极限
邻域:
U
(
P0
,
)
(
x,
y)
(x x0 )2 ( y y0 )2
定义2 设函数z =f(x , y)在点 P0 (x0 , y0 )的某个领域内有定义
(点P0可以除外),如果当点P(x, y)沿任意路经趋于点 P0 (x0 , y0 ) f（x, y）趋向于一个确定的常数A，则称A是函数 f (x, y)
因变量
自变量
自变量x，y的取值范围叫做函数的定义域，通常记为D.
二元及二元以上的函数统称为多元函数.
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7.1 多元函数
对于自变量x, y 的一组值，对应着xoy面上的一点 P（x , y）因此，二元函数也可以看作是平面上点的函 数，即Z = f（P）.
所谓平面区域，是指整个x , y 平面或x , y平面上由 几条曲线所围成的部分. 围成平面区域的曲线称为区域 的边界，包括边界在内的区域称为闭区域，不包含边界 在内的区域称为开区域. 如果一个区域可以包含在一个 以原点为圆心、半径适当大的圆内，则称该区域为有界 区域，否则称为无界区域.
p 0, q 0
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《空间解析几何》课件
THANKS
感谢观看
通过参数方程表示曲面的形式，如x = x(u, v)，y = y(u, v)，z = z(u, v)。
曲面方程
表示三维空间中曲面的方程形式，如z = f(x, y)。
空间曲线的方程
1 2
参数曲线
通过参数方程表示曲线的形式，如x = x(t)，y = y(t)，z = z(t)。
空间曲线
表示三维空间中曲线的方程形式，如F(x, y, z) = 0。
空间解析几何的应用领域
总结词
空间解析几何在许多领域都有广泛的应用。
详细描述
在物理学中，空间解析几何用于描述物理现象的空间关系，如力学、电磁学和光学等领 域。在计算机图形学中，空间解析几何用于建模和渲染三维场景。在工程学中，空间解 析几何用于设计和分析机械、建筑和航空航天等领域中的物体和结构。此外，空间解析
03
空间平面与直线
空间平面的方程
平面方程的基本形式
Ax + By + Cz + D = 0
特殊平面
平行于坐标轴的平面、过原点的平面、与坐标轴垂直的平面
参数方程
当平面过某一定点时，可以用参数方程表示平面的方程
空间直线的方程
直线方程的基本形式
Ax + By + Cz = 0
特殊直线
与坐标轴平行的直线、过原点的直线、与坐标轴垂直的直线
利用代数方法，如向量运算、线性代数等， 求解空间几何问题。
几何意义
将代数解转化为几何意义，解释其实际意义 。
如何理解空间几何中的概念？
向量的概念
理解向量的表示、向量的加法、数乘以及向量的模 等基本概念。
解析几何知识点大一
解析几何知识点大一几何学作为数学的一个分支，主要研究对象是图形的形状、大小、位置以及它们之间的相互关系。
在大一的解析几何课程中，我们将学习一些基本的几何知识点，这些知识点不仅对解决几何问题有重要指导意义，而且对于我们今后学习高等数学和相关学科也具有很大的帮助。
本文将介绍大一解析几何课程中的几个重要知识点。
知识点一：坐标系在解析几何中，坐标系是非常重要的概念。
我们通常使用二维笛卡尔坐标系或直角坐标系来描述平面上的点。
笛卡尔坐标系由两条相互垂直的坐标轴组成，通常表示为x轴和y轴。
通过在每个坐标轴上选择一个原点，并规定一个单位长度，我们可以使用有序对(x, y)来表示平面上的任意一个点P，其中x表示点P在x 轴上的投影长度，y表示点P在y轴上的投影长度。
利用坐标系，我们可以方便地描述点的位置以及直线、曲线等几何图形。
知识点二：直线与曲线直线和曲线是几何中的基本图形。
直线由无数个点组成，它们满足一条基本性质：直线上任意两点之间的线段是最短的。
对于直线的描述，我们可以使用两点确定直线的方法，即通过直线上的两个已知点求出直线方程。
曲线则是由多个点组成，点的位置满足一定的规律。
在解析几何中，我们学习了抛物线、椭圆、双曲线等曲线的方程和性质，这些曲线在物理学、工程学等领域中有广泛的应用。
知识点三：向量向量是解析几何中一个重要的工具。
向量可以看作是带有方向的线段，它有大小和方向两个属性。
常用的表示向量的方法是用一个带箭头的小写字母表示，例如a。
根据向量的定义，我们可以进行向量的加法、减法和数乘等运算。
此外，向量还可以表示平面上的位移、速度等物理量。
在解析几何中，我们研究了向量的共线、夹角以及向量的线性相关与线性无关等性质。
知识点四：圆与圆锥曲线圆是一个非常重要的几何图形，它由平面上到定点的距离恒定的点的集合组成。
在解析几何中，我们学习了圆的方程、性质以及与其他几何图形的关系。
除了圆，我们还研究了椭圆、双曲线和抛物线等圆锥曲线。
空间解析几何简介课件
一点 M 的线速度 的表示式 .
解: 在轴 l 上引进一个角速度向量 , 使 , 其
方向与旋转方向符合右手法则 , 在 l 上任取一点 O, 作
向径
它与 的夹角为 , 则
点 M离开转轴的距离
a r sin
a M
且
符合右手法则
l
v r
O
*三、向量的混合积
1. 定义 已知三向量 a , b , c , 称数量
设 P是 中3一个平面， VP 定义如上，则 中3 与二维子
空间VP 正交的非零向量称为平面P的法向量；平面 P的
所有法向量添上零向量组成 的3 一个一维子空间， 中3
以平面 的P法向量为方向向量的直线称为平面 的法P 线 。
a b c c Pr jc a b c Prjc a Prjc b
c Pr jc a c Pr jc b a c b c
4. 数量积的坐标表示
设 a ax e1 ay e2 az e3 , b bx e1 by e2 bz e3 ,则
( ax e1 ay e2 az e3 ) (bx e1 by e2 bz e3 )
内容小结
设 a (ax , ay , az ) , b (bx ,by ,bz ), c (cx , cy , cz )
1. 向量运算
加减: 数乘: 点积:
a b (ax bx , ay by , az bz )
a (ax ,ay ,az )
a b axbx ayby azbz
叉积:
i jk ab ax ay az
bx by bz
ax ay az
混合积: a b c ( a b ) c bx by bz
2. 向量关系:
高等数学第八章空间解析几何教学精品PPT课件
§8.4 空间曲线及其方程
一、空间曲线的一般方程 二、空间曲线的参数方程 三、空间曲线在坐标面上的投影
高等数学(下册)
一、空间曲线的一般方程
空间曲线C可看作两曲面S1与S2的交线.
若S1：F(x,y),z0;
z
S2：G(x,y),z0,
S1
则 M ( x ,y ,z ) C M S 1 且 M S 2
x
0
同理，xo面z 上的投影曲线,
y o z 面上
的投影曲线
T(x, z) 0
y
0
高等数学(下册)
如图:投影曲线的研究过程.
空间曲线
投影柱面
投影曲线
高等数学(下册)
x2 y2 z2 1
例4
求曲线
z
1 2
在坐标面上的投影.
解 （1）消去变量z后得
x2 y2 3, 4
在 xoy面上的投影为
解 截线方程为
y2 z2 x x2y z 0
如图,
高等数学(下册)
（ 1） 消 去 z得 投 影x25y24xyx0,
z0
（ 2） 消 去 y得 投 影x25z22xz4x0,
y0
（ 3） 消 去 x得 投 影y2
z2
2yz0 .
x0
高等数学(下册)
补充: 空间立体或曲面在坐标面上的投影.
t
oM
xaco ts
yasi nt
zvt
x A M y 螺旋线的参数方程
高等数学(下册)
螺旋线的参数方程还可以写为
x a cos
y
a
sin
z b
(t, bv)
螺旋线的重要性质：
数学高一年级第二节课优质课解析几何的应用实例详解
数学高一年级第二节课优质课解析几何的应用实例详解在高中数学的学习中，解析几何是一个非常重要的部分。
它既有理论的推导，又强调实际问题的应用。
能够熟练掌握解析几何的方法和技巧，不仅对于学习高中数学具有重要的意义，而且在后续的学习和工作中也有很大的帮助。
接下来，我将详细解析高一年级第二节课优质课中的几个应用实例。
实例一：坐标系下的图形平移在解析几何中，图形的平移是最基础、最常见的操作之一。
我们可以利用坐标系来描述平移的过程。
比如，有一个点A(2, 3)，我们需要将其平移至A'(5, 2)。
首先，我们可以通过计算移动的横纵坐标的差值，得出平移向量为(3, -1)。
然后，我们将初始点A的横纵坐标分别加上平移向量的横纵坐标，即可得到平移后的新坐标A'(5, 2)。
实例二：直线的方程求解解析几何中，直线的方程是一个核心概念。
在实例中，我们将介绍如何通过两个点的坐标来确定直线的方程。
假设有两个点A(1, 2)和B(3, 4)，我们需要确定过这两个点的直线方程。
首先，我们可以计算出直线的斜率k，公式为k=(y2-y1)/(x2-x1)。
代入对应的值，得到斜率k=1。
然后，我们可以利用直线的一般方程y-kx+b=0，代入其中一个点的坐标，求解出常数项b。
代入A(1, 2)，得到2-1+b=0，解得b=-1。
最终，得到直线的方程为y=x-1。
实例三：解决几何问题在解析几何的学习中，还涉及到一些实际问题的解决。
例如，在平面上有一点A(2, 3)，它到直线l:y=2x+1的距离为d，我们需要求解d 的值。
首先，我们可以利用点到直线的距离公式，公式为d=|Ax+By+C|/√(A^2+B^2)，其中A、B、C分别为直线l的一般方程的系数。
对于直线l:y=2x+1，代入A=2，B=-1，C=-1，代入点A的坐标x=2，y=3，代入计算可得d=3/√5。
从以上的实例可以看出，解析几何的应用非常广泛，不仅可以解决抽象的几何问题，还可以应用于实际的计算中。
数学高一优质课解析几何的奥秘
数学高一优质课解析几何的奥秘解析几何是数学中的一门重要分支，是代数和几何的融合体。
高一是学生进入高中阶段的第一年，解析几何的学习对于学生打下数学基础，提高数学应用能力至关重要。
本文将从解析几何的基本概念、应用领域以及优质课的设计等方面，探讨解析几何的奥秘。
一、解析几何的基本概念解析几何是研究几何图形和代数关系的一门学科。
借助坐标系，通过代数方法对几何图形进行研究和描述。
学习解析几何，首先需要理解坐标系、坐标和点的关系。
坐标系通常采用笛卡尔坐标系，由x轴和y轴组成。
某个点在坐标系中的位置可以通过其坐标来确定，如点A的坐标为(x₁, y₁)。
通过坐标，我们可以做出一系列的图形，如直线、曲线、圆等。
二、解析几何的应用领域解析几何在各个领域中都有广泛的应用，特别是在物理学、工程学、计算机科学等方面起着重要的作用。
1. 物理学中的应用：解析几何可以描述物体的运动轨迹和位置，用于研究力学、电磁学等物理现象。
通过解析几何，可以计算物体在某一时刻的速度、加速度以及运动的轨迹等参数。
2. 工程学中的应用：在工程学中，解析几何被广泛应用于土木工程、机械工程、建筑工程等领域。
在建筑设计中，可以利用解析几何来计算建筑物的形状、尺寸和各种角度，确保结构的稳定性和安全性。
3. 计算机科学中的应用：计算机图形学是计算机科学的一个重要分支，解析几何是其基础之一。
在计算机图形学中，通过解析几何可以描述和计算三维空间中的图形和动画，用于电影制作、游戏设计等领域。
三、优质课的设计为了帮助学生更好地理解解析几何的概念和应用，设计一堂优质解析几何课非常重要。
以下是一种可能的优质课设计方案：1. 导入环节：通过引入一个实际问题或者生活场景，激发学生对解析几何的兴趣。
可以引导学生思考如何利用解析几何来解决问题。
2. 概念讲解：对解析几何的基本概念进行讲解，包括坐标系的建立、点的坐标表示和线的方程等内容。
可以通过具体案例和图形来帮助学生理解。
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x
x轴(横轴) Ⅷ
z z 轴(竖轴)
Ⅱ
yoz面
xooy面
Ⅰ
y
y轴(纵轴)
Ⅵ Ⅴ
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2. 空间任意一点的坐标
直角坐标系下 点 M 11 有序数组 (x, y, z)
特殊点的坐标 :
(称为点 M 的坐标)
原点 O(0,0,0) ;
坐标轴上的点 P, Q , R ;
坐标面上的点 A , B , C
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例5. 求通过 x 轴和点( 4, – 3, – 1) 的平面方程.
z
R(0,0, z)
B(0, y, z)
C(x, o, z)
o
x P(x,0,0)
M y
Q(0, y,0)
A(x, y,0)
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二、空间任意两点间的距离
1. 空间任一点到原点的距离
设点 M (x, y , z )为空间中任一点
MN OR PN OQ
z R
o P
x
M Q y
N
OM ON 2 MN 2
例1. 求证以 的三角形是等腰三角形 .
为顶点
证: M1M 2 (7 4)2 (1 3)2 (2 1)2 14
M 2M 3 (5 7)2 (2 1)2 (3 2)2 6
M1M3 (5 4)2 (2 3)2 (3 1)2 6
M 2M3 M1M3
M1
M3
即 M1M 2M3 为等腰三角形 .
第八章 多元函数
极限与连续 一元函数微积分学 可导与可微
定积分
极限与连续 多元函数微积分学 偏导数与全微分
重积分
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教学内容及课时分配
（14学时）
8.1 空间解析几何简介……………….……...2学时 8.2 多元函数的概念 8.3 二元函数的极限与连续...……………...2学时 8.4 偏导数与全微分.….……………….…...2学时 8.5 复合函数的微分法与隐函数的微分法…..2学时 8.6 二元函数的极值…………………………..2学时 8.7 二重积分…………….…………………...4学时
例3（P319-例2）求三个坐标平面的方程. z
o
y
x
例4（P319-例3）作z＝c（c为常数）的图形.
平行于坐标平面xoy ，并由xoy 向上 (c>0) 或向下 (c<0) 平移|c|个单位而成的平面
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平面的一般方程
Ax By Cz D 0 ( A2 B2 C 2 0)
x2 y2 z2
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2. 空间任两点间的距离 给定空间任意两点的坐标
M1(x1 , y1 , z1 ), M2 (x2 , y2 , z2 )
z
M1
M2
N
o P2 P1 x
S
Q1
Q2
y
N
同理可得
(x2 x1)2 ( y2 y1)2 (z2 z1)2
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重点：偏导数与全微分、多元复合函数的微分法、 二元函数的极值的应用、二重积分的计算。
难点：多元复合函数的微分法、二元函数的极值的 应用问题、二重积分的计算。
说明：多元函数（实际上只讨论二元函数）。极值问 题中的最大值、最小值问题只要求按实际意义 来判断。
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特殊情形 • 当 D = 0 时, A x + B y + C z = 0 表示通过原点的平面 • 当 A = 0 时, B y + C z + D = 0 平面平行于 x 轴; • A x+C z+D = 0 表示 平行于 y 轴的平面; • A x+B y+D = 0 表示 平行于 z 轴的平面; • C z + D = 0 表示平行于 xoy 面 的平面; • A x + D =0 表示平行于 yoz 面 的平面； • B y + D =0 表示平行于 zox 面 的平面.
化简得 2x 6 y 2z 7 0
说明: 动点轨迹为线段 AB 的垂直平分面. 显然在此平面上的点的坐标都满足此方程, 不在此平面上的点的坐标不满足此方程.
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定义1. 如果曲面 S 与方程 F( x, y, z ) = 0 有下述关系: (1) 曲面 S 上任意点的坐标都满足此方程; (2) 不在曲面 S 上的点的坐标不满足此方程,
极值存在的充要条件求二元函数极值的方法; 掌握用拉 格朗日乘数法求解简单二元函数条件极值问题的方法。 ６.了解二重积分的概念、几何意义与基本性质；掌握在直 角坐标系与极坐标下计算二重积分的常用方法，会计算 一些简单的二重积分。
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第1节
第八章
空间解析几何简介
空间形式 — 点, 线, 面 数量关系 — 坐标,方程（组）
教学要求：
１.了解多元函数的概念。掌握二元函数的定义与图形特点. ２.知道二元函数的极限与连续性的概念。 ３.理解多元函数偏导数与全微分的概念；熟练掌握求偏导
数与全微分的方法；掌握求多元复合函数偏导数的方法. ４.掌握由一个方程确定的隐函数求偏导数的方法（例如由
Ｆ(x,y,z)=0 确定的隐函数 z=z(x,y),求其偏导数）。 ５.了解二元函数极值与条件极值的概念；掌握用二元函数
则 F( x, y, z ) = 0 叫做曲面 S 的方程,
曲面 S 叫做方程 F( x, y, z ) = 0 的图形.
F(x, y, z) 0
两个基本问题 :
z
(1) 已知一曲面作为点的几何轨迹时,
S
如何求曲面方程.
oy x
(2) 已知方程时 , 研究它所表示的几何形状
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1. 平面的方程
一、空间直角坐标系 二、空间任意两点的距离 三、空间曲面与方程 四、空间曲线的方程简介 （补充）
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一、空间直角坐标系
1. 空间直角坐标系的基本概念
过空间一定点 o ,由三条互相垂直的数轴按右手
法则组成一个空间直角坐标系.
• 坐标原点 • 坐标轴 • 坐标面 • 卦限(八个)
Ⅲ
Ⅳ
M2
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三、空间曲面与方程
例2（类似P318-例1）求与两定点A(1,2,3) 和B(2,-1,4)等 等距离点的轨迹方程.
解: 设轨迹上的动点为 M (x, y, z), 则 AM BM ,
(x 1)2 ( y 2)2 (z 3)2 (x 2)2 ( y 1)2 (z 4)2