七年级第十讲行程问题经典例题

第十讲：行程问题分类例析

主讲：何老师

行程问题有相遇问题，追及问题，顺流、逆流问题，上坡、下坡问题等.在运动形式上分直线运动及曲线运用(如环形跑道). 相遇问题是相向而行.相遇距离为两运动物体的距离和.追及问题是同向而行,分慢的在快的前面或慢的先行若干时间,快的再追及,追及距离慢快S S S +=.顺逆流、顺风逆风、上下坡应注意运动方向，去时顺流，回时则为逆

流.

一、相遇问题

例1：两地间的路程为360km ，甲车从A 地出发开往B 地，每小时行72km ；甲车出发25分钟后，乙车从B 地出发开往A 地，每小时行使48km ，两车相遇后，各自按原来速度继续行使，那么相遇以后，两车相距100km 时，甲车从出发开始共行驶了多少小时？ 分析：利用相遇问题的关系式（相遇距离为两运动物体的距离和）建立方程. 解答：设甲车共行使了xh ，则乙车行使了h x )(

60

25-.（如图1）

依题意，有72x+48)(60

25-x =360+100, 解得x=4.

因此，甲车共行使了4h.

说明：本题两车相向而行，相遇后继续行使100km ，仍属相遇问题中的距离，望读者仔细体会.

例2:一架战斗机的贮油量最多够它在空中飞行4.6h,飞机出航时顺风飞行,在静风中的速度是575km/h,风速25 km/h,这架飞机最多能飞出多少千米就应返回?

分析:列方程求解行程问题中的顺风逆风问题.

顺风中的速度=静风中速度+风速

逆风中的速度=静风中速度-风速

解答:解法一:设这架飞机最远飞出xkm 就应返回.

依题意，有6425

57525575.=-++x x 解得:x=1320.

答:这架飞机最远飞出1320km 就应返回.

解法二: 设飞机顺风飞行时间为th.

依题意,有(575+25)t=(575-25)(4.6-t),

解得:t=2.2.

(575+25)t=600×2.2=1320.

答:这架飞机最远飞出1320km 就应返回.

图1

说明:飞机顺风与逆风的平均速度是575km/h,则有645752.=x ,解得x=1322.5.错误原因在于飞机平均速度不是575km/h,而是)/(h km v v v v v x v x x

574550

600550600222≈+⨯⨯=+⋅=+逆顺逆顺逆顺 例3:甲、乙两人在一环城公路上骑自行车，环形公路长为42km ，甲、乙两人的速度分别为21 km/h 、14 km/h.

(1) 如果两人从公路的同一地点同时反向出发，那么经几小时后,两人首次相遇?

(2) 如果两人从公路的同一地点同时同向出发，那么出发后经几小时两人第二次相遇? 分析:这是环形跑道的行程问题.

解答:(1)设经过xh 两人首次相遇.

依题意,得(21+14)x=42,

解得:x=1.2.

因此,经过1.2小时两人首次相遇.

(3) 设经过xh 两人第二次相遇.

依题意,得21x-14x=42×2,

解得:x=12.

因此,经过12h 两人第二次相遇.

说明:在封闭的环形跑道上同向运动属追及问题，反向运动属相遇问题.从同一地点出发,相遇时,追及路程或相隔路程就是环形道的周长,第二次相遇,追及路程为两圈的周长.

有趣的行程问题

【探究新知】

例1、甲、乙二人分别从相距30千米的两地同时出发相向而行，甲每小时走6千米，乙每小时走4千米，问：二人几小时后相遇？

分析与解： 出发时甲、乙二人相距30千米，以后两人的距离每小时都缩短6＋4＝10（千米），即两人的速度的和（简称速度和），所以30千米里有几个10千米就是几小时相遇.

30÷（6＋4）

＝30÷10

＝3（小时）

答：3小时后两人相遇.

本题是一个典型的相遇问题.在相遇问题中有这样一个基本数量关系：路程＝速度和×时间.

例2、如右下图有一条长方形跑道，甲从A 点出发，乙从C 点同时出发，都按顺时针方向奔跑，甲每秒跑5米，乙每秒跑4.5米。当甲第一次追上乙时，甲跑了多少圈？（第二届希望杯试题）

分析与解：这是一道环形路上追及问题。在追及

问题问题中有一个基本关系式：追击路程=速度差×追

及时间。

追及路程：10＋6=16（米）

速度差：5－4.5=0.5（米）

追击时间：16÷0.5=32（秒）

甲跑了5×32÷[（10＋6）×2]=5（圈）

答：甲跑了5圈。

例3、一列货车早晨6时从甲地开往乙地，平均每小时行45千米，一列客车从乙地开往甲地，平均每小时比货车快15千米，已知客车比货车迟发2小时，中午12时两车同时经过途中某站，然后仍继续前进，问：当客车到达甲地时，货车离乙地还有多少千米？

分析与解：货车每小时行45千米，客车每小时比货车快15千米，所以，客车速度为每小时（45＋15）千米；中午12点两车相遇时，货车已行了（12—6）小时，而客车已行（12—6－2）小时，这样就可求出甲、乙两地之间的路程.最后，再来求当客车行完全程到达甲地时，货车离乙地的距离.

解：①甲、乙两地之间的距离是：

45×（12—6）＋（45＋15）×（12—6—2）

＝45×6＋60×4

＝510（千米）.

②客车行完全程所需的时间是：

510÷（45＋15）

＝510÷60

＝8.5（小时）.

③客车到甲地时，货车离乙地的距离：

510—45×（8.5＋2）

＝510－472.5

＝37.5（千米）.

答：客车到甲地时，货车离乙地还有37.5千米.

例4、两列火车相向而行，甲车每小时行36千米，乙车每小时行54千米.两车错车时，甲车上一乘客发现：从乙车车头经过他的车窗时开始到乙车车尾经过他的车窗共用了14秒，求乙车的车长？

分析与解：首先应统一单位：甲车的速度是每秒钟36000÷3600＝10（米），乙车的速度是每秒钟54000÷3600＝15（米）.本题中，甲车的运动实际上可以看作是甲车乘客以每秒钟10米的速度在运动，乙车的运动则可以看作是乙车车头的运动，因此，我们只需研究下面这样一个运动过程即可：从乙车车头经过甲车乘客的车窗这一时刻起，乙车车头和甲车乘客开始作反向运动14秒，每一秒钟，乙车车头与甲车乘客之间的距离都增大（10＋15）米，因此，14秒结束时，车头与乘客之间的距离为（10＋15）×14＝350（米）.又因为甲车乘客最后看到的是乙车车尾，所以，乙车车头与甲车乘客在这段时间内所走的路程之和应恰等于乙车车身的长度，即：乙车车长就等于甲、乙两车在14秒内所走的路程之和.

解：（10＋15）×14