第三章 标量衍射理论
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第三章 标量衍射理论
U ( x, y, z) a exp( jk r )
a exp jk( x cos y cos z cos )
当平面波沿z轴正方向传播时
cos cos 0
U ( z ) a exp( j 2
cos 1
z , 2 ,3 波阵面
2u 1 2u c t
2 2
0
j 2 t
2
2 x
2
2 y
2
2 z 2
u( p, t ) U ( p)e
2 2
c
U ( p) k U ( p) 0
K
2
亥母霍兹方程
三、基尔霍夫积分定理 格林定理 若U(p)和G(p)是两个空间任意复数函数，S为包围体积V 的封闭曲面，U、G在S内和S上它们均单值连续，且一阶 和二阶偏导数单值连续，则有
U ( x, y ) t ( x, y )U ( x, y )
一、惠更斯—菲涅耳原理
1．惠更斯原理：波前上每一个面元都可以看作一个次级 扰动中心，它们产生球面子波，后一时 刻的波前位置是所有这些子波的包络面。
2．惠更斯—菲涅耳原理：波前上任何未受阻挡的点，都 可以看作一个次级波波源，其后空间任 一观察点的光振动是这些子波传播到该 点后叠加的结果。 菲涅耳发展了惠更斯原理，由定性走向了定量计算。
U0为后表面的光场
讨论：当孔用p点的点光源照明时的情况。 推导
r' • P'
n
P0
r • P
经过以上推导，当p近轴，r很大时，180，则有
1 exp( jkr ) 1 cos U ( p) U 0 ( p0 ) r 2 ds j 1 exp( jkr ) 1 cos U 0 ( x0 , y0 ) r 2 dx0dy0 j
3第三章
2zr
3zr
光栅 g思g考g(:x此现象的应用?
菲涅耳衍射的例子——泰伯效应（自成像效应 ）
g(x
)
n
cn
exp(
j2
n d
x)
n 0,1,2...
G(
)
n
cn
(
n d
)
H ( ) exp( jz 2 ) exp( jkz)
G'( ) G( )H ( )
4 再应用菲涅耳衍射公式
输出面复振幅分布
或
本页后，还要讨 论什么？
照明光 束FT
•
物体振幅 透射系数 FT
输出面偏离后 焦面产生的附 加相位FT
典型讨论
0、一般变换关系式
1、轴上平行光照明，输入面在透镜前d处，输出面在透镜后焦面 准傅里叶变换关系
2、轴上平行光照明，输入面在透镜前焦面，输出面在透镜后焦面 傅里叶变换关系
利用瑞利一索末菲衍 射公式\亥姆霍兹方程
•
衍射过程的频谱分析 频谱传播的物理意义
•
频谱传播一段距离的效应,是使各空间频谱分量仅产生一个相位 变化,而振幅和传播方向保持不变。
在z轴方向的净能流为零。
产生衰逝波，表明衍射屏上高频信息（1/λ ）将不能传播到足 够远的衍射场中。
衍射过程的频谱分析 传播过程的传递函数
z 2md2
m 1,2,3,...
有
exp
jz(
n d
)2
1
G'( )
n
cn
(
n d
)
exp(
jkz)
第三章 标量衍射理论(二)
空间频率的正负，仅表示平面波不同的传播方向 复振幅分布的空间频谱：
dxdy A f x , f y U x, y exp j 2 f x f y x y
复振幅分布的角谱：
cos cos cos cos A , x U x, y exp j 2
x y x y x
y
A0 f x , f y U x0 , y0 exp j 2 f x x0 f y y0 dx0dy0
A0 f x , f y e
jkz 1 f x f y
2
2
e
j 2 f x x f y y
传播距离z后
利用两者的关系， 确定整个光场的传播特性
cos cos cos cos A , , z exp j 2 x
观察平面
U x, y, z
cos cos y d d
A A0 exp jkz 1 cos2 cos2
传播效应为相移 倏逝波
A A0 exp kz cos2 cos2 1 A0e z
A A0
不沿z轴传播
思考：利用角谱理论证明光线传播的线性关系
3、衍射的角谱理论
cos cos cos cos 2 2 A , A , 0 exp jkz 1 cos cos
u P, t Re U P e j 2 t
傅立叶光学第三章总结
傅⽴叶光学第三章总结第三章标量衍射理论标量衍射理论是⼀种近似理论，所谓衍射就是指光波在传播的过程中波⾯受到限制时表现出来的现象。
由于我们⼀般遇到的问题都能满⾜标量衍射理论的两个条件（衍射孔径⽐波长⼤得多；不在太靠近孔径的地⽅观察衍射场），标量衍射理论给出的结果与实际⼗分相符。
第三章从基尔霍夫衍射理论和⾓谱理论出发讨论衍射问题，可以分别把它们看作是衍射的球⾯波理论和平⾯波理论。
这两种理论分别从空间域和频率域讨论衍射现象，在本质上是⼀致的。
根据衍射光波传播距离的长短实际衍射现象可分为两种：菲涅⽿衍射与夫琅⽲费衍射。
为了简化这两类衍射现象的计算，通常要做出不同程度的近似。
课本还给出了⼏种常见典型孔径的夫琅⽲费衍射图样。
对于具有周期性重复排列结构的衍射光栅可以利⽤列阵定理分析其衍射现象。
复振幅：定义P 点复振幅()()()j P U P a P e=，()a P 为P 点振幅，()j P e表⽰初相位。
球⾯波：()()00jkrjkr a U P e ra U P e r-== 发散球⾯波会聚球⾯波，2k πλ=在直⾓坐标系中，根据傍轴条件得到光源在()00,x y ，与其相距z 的xy 平⾯上的光场分布为：()()()()()()()()2200022000,exp exp 2,exp exp 2a kU x y jkz j x x y y z z a k U x y jkz j x x y y z z =-+-=---+-发散会聚平⾯波：()(),exp cos cos U x y a jk x y αβ=+平⾯波的空间频率cos cos x y f f αλβλ==基尔霍夫衍射理论：根据惠更斯⼦波原理发展⽽来,从空间域讨论衍射问题。
把孔径平⾯光场看作点光源的集合，观察平⾯上的场分布是它们所发出的带不同权重因⼦的球⾯⼦波的相⼲叠加。
球⾯⼦波在观察平⾯上的复振幅分布就是系统的脉冲响应。
菲涅⽿-基尔霍夫衍射公式：()()()01d jkre U P U P K S j rθλ∑=??由于这⾥的⼦波都是球⾯波，将光的传播看作⼀个线性系统。
3.3 标量衍射的角谱理论
后来，菲涅耳补充了惠更斯原理，提出了惠更斯-菲涅尔耳原 理，波前上任何一个未受阻挡的点，都可以看作是一个次级子波源 （频率与原波相同），在其后空间任何一点处的光振动是这些子波 的相干叠加。
U0(x1,y1) 推广后的惠更斯-菲涅尔耳原理可以写作: x1
x
U
(P ) = U ( x , y ) e 0 1 1
也就是对于(x02+ y02)一切可能值中的最大值有
2 x0 y 0 max
2 2
(
)
2z
2
z
(x 2
1
2 0
y 0 max
2
)
满足 式的z值范围的衍射叫做夫琅和费衍射。显然夫琅和费衍射 是在菲涅耳衍射的基础上进一步近似所得的结果，其衍射公式为:
2 x0 y 0 max
夫琅和费衍射
U ( x, y , z ) =
exp ( jk z ) j z
k 2 2 exp j ( x y ) 2z
xx0 yy 0 U 0 ( x0 , y 0 ,0 ) exp jk dx0 dy 0 z
jkr
ds
dx dy
1 1
r
p y z
r
y1
上式在解决衍射问题中，在相当大的范围内是正确的，但它 是近似的.其中一个原因是没有考虑子波在不同方向上作用的差异。 实际上每一小面元ds对观察点的作用还与面元法线和面元到观察 点联线的夹角有关。对于普便的情况，菲涅尔提出必须引入体现 子波在不同方向上作用的因子倾斜因子 k (q )
夫琅和费衍射公式
菲涅耳衍射
U ( x, y ) =
第三章-标量衍射理论2-角谱及其传播
l
l
l
l
cos cos A( , , z)
l
l
称为xyz平面上复振幅分布的角谱, 表示不 同传播方向()的单色平面波的振幅(|A|) 和初位相(arg{A})
角谱是xyz平面上复振幅分布U(x,y,z)的空间频谱, 其空 间频率宗量用传播矢量的方向余弦表示
复振幅分布的角谱： 例
在x-y平面上, 光场复 振幅分布为余弦型: 可以分解为:
Angular Spectrum of Complex Amplitude Distribution
对在 z 处的x-y平面上单色光场的复振幅分布U(x,y,z)作傅里叶变换: 称为x-y平面 A( f x , f y , z) U ( x, y, z) exp[ j 2 ( f x x f y y)]dxdy 上复振幅分 布的频谱 其逆变换为：
2、平面波角谱的传播
角谱是传播距离 z 的函数
在孔径平面(x,y, 0)的光场U0(x, y , 0) :
U 0 ( x, y,0) A(
cos cos cos cos cos cos , ,0) exp[ j 2 ( x y)]d ( )d ( )
l
l
l
普遍的光振动的复振幅表达式： U(P) = a(P) e jj(P)
光强分布: I = UU*
a0 jkr e 球面波的复振幅表示（三维空间）：U ( P ) r
(P(x,y,z)) 球面波的复振幅表示（x-y 平面）： y a0 k 2 (r 2 U ( P) U ( x, y) exp( jkz) exp j ( x x0 ) ( y y0 ) k z 2z
信息光学-----第3章 标量衍射的角谱理论
• 光的标量衍射理论的条件
（1）衍射孔径比波长大很多； （2）观察点离衍射孔不靠太近。 标量衍射理论是一种近似理论，当衍射场能量分布 与光的偏振状态密切相关时，标量衍射理论的发展历程
• 1665年格里马蒂首次报道和精确描述了衍射现象；
• 1678年惠更斯提出子波的假设； • 1804年托马斯杨认为在适当条件下，光与光干涉叠加 可以产生暗斑； • 1818年菲涅耳引入干涉的概念补充了惠更斯原理； • 1860年麦克斯韦认为光等同于一个电磁波；
光场随时间的变化e
-j2pnt：
n ~1014Hz n为常数，线性运算后不变
对于携带信息的光波，空间变化部分需要详细分析。 故引入复振幅U(P): jj(P)
U(P) = a(P) e
则 u(P,t)= e{ U(P) e -j2pnt }
§3-1 光波的数学描述
一、光振动的复振幅表示
U(P) = a(P) e jj(P)
在自由空间传播的任何单色光扰动的复振幅都必须满足 亥姆霍兹方程。也就是说，可以用不含时间变量的复振幅分 布完善地描述单色光波场。
§3-1 光波的数学描述
二、球面波的复振幅表示
球面波：等相面为球面，且所有等相面有共同中心的波 点光源或会聚中心 设观察点P(x, y, z)与发散球面波中心的距离为r,
fx
x
cosa, cosb 为波 矢的方向余弦
1 sin q y fy Y l
若波矢在 x-z 平面或 y-z 平面中, a b 又常用它 们的余角qx (qy)表示，故： 1 sin q 引入空间频率概念后， 单色平面波 在xy 平面的复振幅分布可以表示为
X
l
;
U ( x, y) A exp[j 2p ( f x x f y y)]
光学原理 第三章 标量衍射理论基础
+
ak 2
= a1 + ak (P点相长, 亮点) 22
当k为偶数时 :
Ak
=
a1 2
+ ⎜⎛ ⎝
a1 2
− a2
+
a3 2
⎟⎞ + ⎜⎛ ⎠⎝
a3 2
− a4
+
a5 2
⎟⎞ + L + ⎜⎛
⎠
⎝
ak −3 2
− ak−2
+
ak −1 2
⎟⎞ + ⎠
ak −1 2
−
ak
=
a1 2
+
ak −1 2
−
ak
4.若λ/a趋于零Æ衍射现象消失—几何光学是λ/a趋于零 的极限情况
• 格里马耳迪(F.M.Grimaldi)1665 年首先报道 和描述了衍射现象。他当时用来观察光衍射的 装置由光源发出的光照射到一个不透明的屏所 开的孔径上，在孔径后方用一个平面屏来观察 经孔径透射的光在它上面分布的情况。
• 按照几何光学的观点，在观察平面上影子与亮 区的交界处应该是轮廓分明的，然而实际的观 察表明有一部分光线进入了几何阴影的暗区， 同时在亮区中却出现了暗纹。索未菲将这种 “不能用反射或折射来解释的光线对直线光路 的任何偏离”的现象定义为衍射。
r0
+
3⋅
λ
2
L
Bk
P
=
r0
+
k
⋅
λ
2
B0
r0
C‘ 极点
P
对称轴， S的法线
相邻波面到观察点距离 均相差λ/2的环形带波 面称为半波带。
二、半波带性质
3.2标量衍射理论
2015/3/27
第三章 标量衍射理论
15
三、衍射理论五：简化为傅里叶变换
– 3. 6、二次位相因子的消除1：远场与富里叶变换
1 k U ( x, y ) exp( jkz) U ( x0 , y0 ) exp j ( x x0 ) 2 ( y y0 ) 2 jz 2z
U ( x, y ) U ( x0 , y0 )h( x x0 , y y0 )dx0 dy0 h( x x0 , y y0 )
1 j r
e jkr
1 x x0 2 1 y y0 2 r z 2 ( x x0 ) 2 ( y y0 ) 2 z 1 ( ) ( ) 2 z 2 z h( x x0 , y y0 ) 1 k exp( jkz) exp j ( x x0 ) 2 ( y y0 ) 2 jz 2z
– 3.4、菲涅耳衍射公式二次曲面近似的三种表示
（卷积、脉冲响应，FT）及其Matlab两种实现
– 3.5、菲涅耳变换：衍射可看做是输入受二次位相因子调制的FT – 3.6、二次位相因子的消除1：远场衍射或衍射的富里叶变换 及其Matlab实现 – 3.7、二次位相因子的消除2：光源作用的结果 – 3.8、二次位相因子的消除3：物体的自我调制成像
dx dy
0
0
1 k U ( x, y ) exp( jkz) exp j ( x 2 y 2 ) U ( x0 , y0 ) jz 2z k 2 exp j x0 y0 2z
2 exp j ( xx yy ) dx dy z
标量衍射理论课件
02
该理论可以用于求解波在障碍物 后的衍射问题，通过求解每个傅 里叶分量的传播和衍射问题，可 以得到衍射的强度和方向。
03
标量衍射理论的计算方法
有限元法
有限元法是一种将连续的求解域离散 化为有限个小的、相互连接的单元， 并对每个单元分别进行求解的方法。
有限元法的优点在于能够处理复杂的 几何形状和边界条件，且易于实现并 行计算。
标量衍射理论通过求解波动方程，得到波前在空间中的分布，以及波动传播过程中 的能量分布。
标量衍射理论的应用领域
光学设计
用于设计透镜、反射镜 等光学元件，优化光学
系统的性能。
波导结构
用于分析光波在波导结 构中的传播特性，设计 光子晶体、光纤等光波
导器件。
散射问题
用于研究散射现象，如 光散射、雷达散射等， 应用于气象预报、环境
在标量衍射理论中，有限元法可用于 求解电磁波在复杂结构中的传播和衍 射问题。
然而，有限元法需要大量的内存和计 算时间，且在处理大规模问题时可能 会遇到稳定性和收敛性问题。
有限差分法
01
02
03
04
有限差分法是一种将偏微分方 程离散化为差分方程的方法。
在标量衍射理论中，有限差分 法可用于求解电磁波在均匀或 周期性介质中的传播问题。
标量衍射理论课件
• 标量衍射理论简介 • 标量衍射理论的基本原理 • 标量衍射理论的计算方法 • 标量衍射理论的应用实例 • 标量衍射理论的展望与挑战
01
标量衍射理论简介
标量衍射理论的基本概念
标量衍射理论是基于波动传播的数学模型，用于描述光波、电磁波等波动在空间中 的传播和散射现象。
该理论假设波前为标量，即不考虑波前的矢量性质，只考虑其幅度和相位的变化。
该理论可以用于求解波在障碍物 后的衍射问题，通过求解每个傅 里叶分量的传播和衍射问题，可 以得到衍射的强度和方向。
03
标量衍射理论的计算方法
有限元法
有限元法是一种将连续的求解域离散 化为有限个小的、相互连接的单元， 并对每个单元分别进行求解的方法。
有限元法的优点在于能够处理复杂的 几何形状和边界条件，且易于实现并 行计算。
标量衍射理论通过求解波动方程，得到波前在空间中的分布，以及波动传播过程中 的能量分布。
标量衍射理论的应用领域
光学设计
用于设计透镜、反射镜 等光学元件，优化光学
系统的性能。
波导结构
用于分析光波在波导结 构中的传播特性，设计 光子晶体、光纤等光波
导器件。
散射问题
用于研究散射现象，如 光散射、雷达散射等， 应用于气象预报、环境
在标量衍射理论中，有限元法可用于 求解电磁波在复杂结构中的传播和衍 射问题。
然而，有限元法需要大量的内存和计 算时间，且在处理大规模问题时可能 会遇到稳定性和收敛性问题。
有限差分法
01
02
03
04
有限差分法是一种将偏微分方 程离散化为差分方程的方法。
在标量衍射理论中，有限差分 法可用于求解电磁波在均匀或 周期性介质中的传播问题。
标量衍射理论课件
• 标量衍射理论简介 • 标量衍射理论的基本原理 • 标量衍射理论的计算方法 • 标量衍射理论的应用实例 • 标量衍射理论的展望与挑战
01
标量衍射理论简介
标量衍射理论的基本概念
标量衍射理论是基于波动传播的数学模型，用于描述光波、电磁波等波动在空间中 的传播和散射现象。
该理论假设波前为标量，即不考虑波前的矢量性质，只考虑其幅度和相位的变化。
3.1 标量衍射理论
1 cos Y l
fy 0
fx
1 cos X l
1
平面波的空间频率
fy
1 cos Y l 1 cos fz Z l
f x f y fz
2 2 2
l2Hale Waihona Puke 平面波的波矢 k 2
l
k x k y kz
2 2
2
这里的 k x k cos
第三章
标量衍射理论
傅立叶光学主要研究内容：光波作为载波，实现 信息的传递、变换、记录和再现问题。 标量衍射理论是研究上述问题的物理基础，我们 用它来研究光波传播规律。 光波是矢量波。当满足下列条件时，标量衍射理 论得到的结果与实际情况十分相符。 条件： 1）衍射孔径比波长大得多； 2）观察屏离衍射孔径相当远。
fx
cos
l
, fy
cos
l
通过上面几个图像，可以看出：
高空间频率信息决定图像的细节
时间频率与空间频率的比较：
时间 周期 频率 圆频率
T (s )
1 1 (s ) T
2 2 T
1
空间 单色光波
l (cm)
l
(cm 1 ) / f x cos
• 传播矢量 k 位于 x ,z 平面的平面波在 x, y 平面上的空间频率 。
（3）平面波的空间频率
平面波前相位图
两相邻等相位线在x方向的间距为 X
l
cos
x方向的空间频率用
y方向的空间频率用
1 cos f x 表示，f x X l
单位是周/mm。
傅里叶光学第3章 标量衍射理论
标量衍射理论
衍射现象 光波传播的规律 标量理论的条件 空间域和频率域两种分析方法 最基本的光波形式
本章主要内容
1、光波的数学描述 2、基尔霍夫衍射理论 3、衍射的角谱理论 4、菲涅耳衍射 5、夫朗和费衍射 6、衍射的巴比涅原理 7、衍射光栅 8、菲涅耳衍射和分数傅里叶变换*
1、光波的数学描述
其中，
U x, y, z a exp jk x cos y cos z cos
（1）a 是常量振幅；
（2）cos、cos、cos 为传播方向的方向 余弦，而且有
cos2 cos2 cos2 1
1、光波的数学描述
对于如右图所示 的沿某一确定方向传播的平面波， 在xy平面上的复振幅为：
1.1 单色光波场的复振幅表示 单色光波场中某点P(x,y,z)在t时刻的光振动u(x,y,z,t)可表示为
u x, y, z,t a x, y, z cos 2 t x, y, z
其中，v是光波的时间频率；a(x,y,z)和(x,y,z)分别是P点光振动的振幅 和初相位。根据欧拉公式，可将该波函数表示为复指数函数取实部的形式：
u x, y, z, t Re a x, y, z e j2tx,y,z
Re a x, y, z e e jx,y,z j2t
式中，Re{ }表示对括号内复函数取实部。为简单，去掉“Re”而直接用
复指数函数表示简谐波的波函数，并定义一个新的物理量：
U x, y, z a exp jkz cos exp jk x cos y cos
a
exp
jkz
1
cos2
衍射现象 光波传播的规律 标量理论的条件 空间域和频率域两种分析方法 最基本的光波形式
本章主要内容
1、光波的数学描述 2、基尔霍夫衍射理论 3、衍射的角谱理论 4、菲涅耳衍射 5、夫朗和费衍射 6、衍射的巴比涅原理 7、衍射光栅 8、菲涅耳衍射和分数傅里叶变换*
1、光波的数学描述
其中，
U x, y, z a exp jk x cos y cos z cos
（1）a 是常量振幅；
（2）cos、cos、cos 为传播方向的方向 余弦，而且有
cos2 cos2 cos2 1
1、光波的数学描述
对于如右图所示 的沿某一确定方向传播的平面波， 在xy平面上的复振幅为：
1.1 单色光波场的复振幅表示 单色光波场中某点P(x,y,z)在t时刻的光振动u(x,y,z,t)可表示为
u x, y, z,t a x, y, z cos 2 t x, y, z
其中，v是光波的时间频率；a(x,y,z)和(x,y,z)分别是P点光振动的振幅 和初相位。根据欧拉公式，可将该波函数表示为复指数函数取实部的形式：
u x, y, z, t Re a x, y, z e j2tx,y,z
Re a x, y, z e e jx,y,z j2t
式中，Re{ }表示对括号内复函数取实部。为简单，去掉“Re”而直接用
复指数函数表示简谐波的波函数，并定义一个新的物理量：
U x, y, z a exp jkz cos exp jk x cos y cos
a
exp
jkz
1
cos2
标量衍射
衍射理论的种类 1）惠－菲衍射理论 2）基尓霍夫衍射理论 3）瑞－索衍射理论 4）角谱衍射理论 5）边界衍射理论
ＨＦ衍射理论
U% ( p) = ∫∫ dU% ( p)
nv
θ0
rv21
Qθ
dΣ
rv0 1
S Σ
dU% ( p ) •p
dU%
(
p)
=
U%
(Q
)F
(θ
0
,θ
)
e ikr01 r01
dΣ =
)
ds
其中U ' (P1) =
1
jλ
⎡ ⎢ ⎣
A
exp( jkr21 r21
)
⎤ ⎥ ⎦
•
⎡ ⎢⎣
cos(nv,
rv01
)
− cos(nv, 2
rv21
))
⎤ ⎥⎦
P0点上的场是由位于孔内的无穷多个虚设的次级源产生的(相干叠加)。
1) 但该次级波源的振幅与直接入射到P1上波振幅差一个因子 2) 还要小一个倾斜因子其值在0到1之间；实际上每一个次级波源都是 非各向同性的 3) P1点上的次级波源的位相超前于入射波π/2 4) F-K公式可推广的一般情况
Re[U% (P)e−i2πνt ]
U (P) → 实振幅
U% (P) = U (P)e−iϕ( p) → 复振幅
U (P,t)满足标量波动方程 U% (P)满足不含时的helmholtz方程
∇2U (P, t) − 1 ∂2 U (P, t) = 0 c2 ∂t 2
(∇ 2 + k 2 )U% ( P ) = 0
基尔霍夫解决之道：（G，S）
1、格林函数G的选取：为 有P0 点向外发散的单位振 幅的球面波（即自由空间 的格林函数）。在任意一 点P1上G之值为：
标量衍射理论-3
x u= λz y v= λz
在数值计算中经常用到菲涅耳衍射的FT表示 在数值计算中经常用到菲涅耳衍射的 表示 .
当用会聚球面波 会聚球面波照射衍射屏时，在一定条件下，可将积 会聚球面波 分中的二次相位因子消去，得到衍射屏的FT。如下图：
x2 + y2 exp(− jkr ) ≈ exp(− jkz ) exp − jk 2z
的FT，因此，随着z增加，观察平面上光场分布（及 强度）发生变化，仅就z轴上点而言，随z增加其亮暗 是交替变化的。 夫琅和费衍射的光场分布正比于衍射屏出射光场 夫琅和费衍射 U(x0,y0) 的FT，当z变化时，衍射图样只是按比例 放大或缩小；图样形状不会发生变化，中心点不 会出项亮暗交替变化
二．关于近似条件 菲涅耳近似： 菲涅耳近似
传递函数 H (u, v )＝FT {h(x, y )}
由衍射的角谱理论
cosα cos β cosα cos β 2 2 Az , , = A0 exp jkz 1 − cos α − cos β λ λ λ λ
[
]
cosα cos β cosα cos β cosα cos β = A0 Az , , , H λ λ λ λ λ λ
夫琅和费衍射： 夫琅和费衍射：
x2 + y2 exp( jkz ) xx0 + yy0 exp − j 2π h( x, y; x0 , y0 ) = exp jk jλ z 2z λz
夫琅和费近似破坏了积分公式的平移不变性。具有线性， 夫琅和费近似破坏了积分公式的平移不变性。具有线性， 但不具有平移不变性。 但不具有平移不变性。不存在专门与夫琅和费衍射对应的 传递函数。不能写成卷积形式，也不能写成频谱乘积形式。 传递函数。不能写成卷积形式，也不能写成频谱乘积形式。
在数值计算中经常用到菲涅耳衍射的FT表示 在数值计算中经常用到菲涅耳衍射的 表示 .
当用会聚球面波 会聚球面波照射衍射屏时，在一定条件下，可将积 会聚球面波 分中的二次相位因子消去，得到衍射屏的FT。如下图：
x2 + y2 exp(− jkr ) ≈ exp(− jkz ) exp − jk 2z
的FT，因此，随着z增加，观察平面上光场分布（及 强度）发生变化，仅就z轴上点而言，随z增加其亮暗 是交替变化的。 夫琅和费衍射的光场分布正比于衍射屏出射光场 夫琅和费衍射 U(x0,y0) 的FT，当z变化时，衍射图样只是按比例 放大或缩小；图样形状不会发生变化，中心点不 会出项亮暗交替变化
二．关于近似条件 菲涅耳近似： 菲涅耳近似
传递函数 H (u, v )＝FT {h(x, y )}
由衍射的角谱理论
cosα cos β cosα cos β 2 2 Az , , = A0 exp jkz 1 − cos α − cos β λ λ λ λ
[
]
cosα cos β cosα cos β cosα cos β = A0 Az , , , H λ λ λ λ λ λ
夫琅和费衍射： 夫琅和费衍射：
x2 + y2 exp( jkz ) xx0 + yy0 exp − j 2π h( x, y; x0 , y0 ) = exp jk jλ z 2z λz
夫琅和费近似破坏了积分公式的平移不变性。具有线性， 夫琅和费近似破坏了积分公式的平移不变性。具有线性， 但不具有平移不变性。 但不具有平移不变性。不存在专门与夫琅和费衍射对应的 传递函数。不能写成卷积形式，也不能写成频谱乘积形式。 传递函数。不能写成卷积形式，也不能写成频谱乘积形式。
近代光学基础第三章标量衍射理论和傅里叶光学
j
e2
次波辐射有方向性cos x ，
U
(
P)
U
P1
K
x
s
eiks
d
惠更斯原理加次波 相干的结果。
2019/8/19
菲涅尔对次波振幅和相位的三点假定：
假定
次级子波振幅减少为初始波 1
次级子波位相超前
( 1
i
e2
)
2i
次级波辐射各向不均匀性，若x
E、B的各个分量是通过麦氏方程耦合起来的, 并不能独立的处理。
2019/8/19
标量衍射理论 光学成象 信息光学
基础傅氏光学 近场光学 激 光 光 学
2019/8/19
三、标量衍射理论的适用性和局限性
实验中的近似条件： 1、衍射孔径∑>λ 2、不能太靠近孔径观察衍射物(λ量级） 比如：高分辨率光栅，不能使用标量衍射理论
n
2019/8/19
基尓霍夫衍射理论
思路: 1)U(P)满足亥姆霍兹方程 ,(2 k2)U~(P) 0 （1） 2)运用GREEN定理,
V
G2U U2G
dV
U(p,t)＝ U(P)cos〔2πγt＋ ψ(P)〕
实振幅 一维实轴的矢量变化 U(p,t)满足标准波动方程
U~(P) U (P)e( p)
复振幅 复平面上的参量变化
U~(P)满足不含时的helmholtz方程
2U (P, t)
1 c2
2 t 2
U (P,t)
0
(2 k 2 )U~(P) 0
3标量衍射理论
n
r P’ r’ ∑ p
z
说明： k ( ) 1 ⑴若p, p’距离孔径∑足够远，则有 ⑵ 有值 内
U( p )
0
0
外
1
⑶积分限∑ （-∞，+∞） 透过率函数 t ( x, y )
0
内 外
基于以上假设： Huggens——Fresnel原理公式可变为：
1 e U ( x, y) u t ( x 0, y ) ds 0 i r
cos cos A( , )
A0 z
2 对该频率的光波，透过孔径后，波沿垂直Z向传播，而 不沿Z传播
2、当(cos cos )＝1时，u cos 0,
2 2
3、当(cos 2 cos 2 ) 1时 E合理存在 于是有： H ( fx , f y ) exp(ikz 1 cos 2 cos 2 ) exp(ikz 1 cos cos )
球面波场中等位相线
二、单色平面波光场中任意平面上 的振幅分布 1、平面波函数
E A cos(kr t ) A exp(ikr )exp(it )
复振幅： U ( x, y, z) A exp[ik ( x cos y cos z cos )]
二、孔径对角谱的影响
1、当(cos 2 cos 2 ) 1时，u i cos 2 cos 2 1 cos cos cos cos A( , ) A0 ( , ) exp(ikz cos 2 cos 2 1)
故该情况下为一倏逝波
2 2
当f x f y
傅里叶光学第2版教学作者吕乃光第3章标量衍射理论
U ( x, y, z) = a exp ( jkz cosγ ) exp ⎡⎣ jk ( x cosα + y cos β )⎤⎦
=
a
exp
⎡ ⎣
jkz
1−
cos2
α
−
cos2
β
⎤ ⎦
exp
⎡⎣
jk
(
x
cosα
+
y
cos
β
)⎤⎦
= Aexp ⎡⎣ jk ( x cosα + y cos β )⎤⎦
其中， exp ⎡⎣ jk ( x cosα + y cos β )⎤⎦
称为平面波的位相因子。
9 思考题：等相位线是什么形式？ Answer: 等位线方程为
x cosα + y cos β = C
不同C值所对应的等位相线是一些平行斜线，如右图所示。
1、光波的数学描述
1.4 平面波的空间频率 9 平面波的空间频率是傅里叶光学中常用的基本物理量，透彻理解这个 概念的物理意义是非常重要的。 9 如下图，首先研究传播矢量位于x0z平面的简单情况，此时cos β=0, （1）xy平面上复振幅分布为
fx
=
1 X
= cosα λ
fy
=
1 Y
=
cos β λ
则xy平面上的复振幅分布可表示为
和初相位。根据欧拉公式，可将该波函数表示为复指数函数取实部的形式：
{ } ( ) ( ) u x, y, z, t = Re a x, y,⎦
{ } ( ) = Re a x, y, z e e jϕ(x,y,z) − j2πνt
式中，Re{ }表示对括号内复函数取实部。为简单，去掉“Re”而直接用 复指数函数表示简谐波的波函数，并定义一个新的物理量：
标量衍射理论
e
jkr
r
ds
光场中任一观 察点的复振幅
Information Optics
子波向P点的球面波公式 子波振幅随角的变化 波面上的振幅分布函数
10
惠更斯-菲涅耳原理
• 优点
–简单孔径的衍射图样的强度分布，计算和实际相符。
• 缺点
–计算得出场点的复振幅U(P)，比P点真实复振幅相位落 后。 – K ( ) 作为假设引入，没有具体函数形式。
Information Optics 16
U P
1 4
S
G 1 U G U dS n n 4
S
jkr e jkr U e r n U n r dS
亥姆霍兹-基尔霍夫 积分定理 索末菲条件
U lim R jkU 0 R n
Discussion: 1。 通过XY平面向Z方向传播的波，可以用无数不同方向不同权重的平 面波展开。 2。各个平面波分量的空间频率正比于
cos cos
3。低频分量对应于与主轴Z夹角不大的平面波分量
和
高频分量对应于与主轴Z夹角较大的平面波分量
Information Optics 6
衍射的核心问题是：用确定边界上的复振幅分布来表 达光场中任一观察点的复振幅分布。 本章要解决的衍射问题是：已知某一平面的复振幅分 布，求另一观察面的复振幅分布。
亥姆霍兹-基尔霍夫积分定理
ˆ n
V’
P0
G U U P G n U n dS 4 S 1
P
S
ˆ n
S
jkr e jkr U e r n U n r dS 4 S
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1、光波的数学描述
（4）传播方向为任意情况，情况又如何？
如右图所示，等相位线是一组斜平行线。很 容易确定其沿x和y方向的空间频率为
1 cos
1 cos
fx X l , fy Y l
则xy平面上的复振幅分布可表示为
U x, y Aexp jk x cos y cos
U x, y Aexp j2 fxx fy y
r z (x x0 )2 ( y y0 )2 2z
一级近似 二级近似
对振幅中r 的可作一级近似. 但因为 k 很大, 对位相中的 r 须作二级近似
1、光波的数学描述
将简化式代入球面波复振幅表达式有：
U P a0 e jkr
r
r z x x0 2 y y0 2
2z
U
x,
y
g(x, y)
G(
f x,
f y ) exp[
j2
(
fxx
f y y)]dfxdf y
1、光波的数学描述
1.5 复振幅分布的空间频谱（角谱）
U x, y A fx, fy exp j2 fxx fy y dfxdfy
A fx, fy U x, yexp j2 fxx fy y dxdy
U x, y Aexp jkx cos
（2）等位相线方程为
xcos C
复振幅在xy平面周期分布的空间周期可以用位相相差2 的两相邻等位相线的间隔X表示。
1、光波的数学描述
kX cos 2
X 2 l k cos cos
空间频率即为空间周期的倒数，表示x方向单位长度内振
幅变化的周期数
fx
在任一距离z的平面上的复振幅分布，由在 z =0平面上的复 振幅和与传播距离及方向有关的一个复指数函数的乘积给出。 这说明了传播过程对复振幅分布的影响，已经在实质上解决 了最基础的平面波衍射问题
平面波的空间频率-信息光学中最基本的概念
要与光的时间频率严格区分开
空间比时间更具体,更直观,是有形的 空间频率的单位: cm-1, mm-1, 周/mm, 条数/mm 等 空间频率的正负:表示传播方向与x(或y)轴的夹角小于或大于90
其中，
（1）a 是常量振幅； （2）cos、cos、cos 为传播方向的 方向余弦，而且有
cos2 cos2 cos2 1
1、光波的数学描述
沿某一确定方向传播的平面波，在xy平面上的复振幅为：
U x, y, z a exp jkz cos exp jk x cos y cos
a0 z
exp
jkz exp
j
k 2z
x
x0
2
y
y0
2
常量位 随x, y变化的二次位相因子
相因子
球面波特征位相
xy 平面上等位相线方程为 : x x y y C
一簇同心圆，由中心向外愈来愈密集
1、光波的数学描述
(P(x,y,z)) y (r
k
会聚点S z 0 x
U
x,
y
a0 z
1、光波的数学描述
✓ A(x,y)也可用方向余弦表示
A
cos l
, cos l
U
x,
yexp
j2
cos l
x
cos l
y dxdy
A(cos/l，cos/ l)称为xy平面上复振幅分布的角谱。
✓ 引入角谱的概念有助于进一步理解复振幅分解的物理意义：
U
x,
y
A
cos l
, cos l
U
x,
y
a
exp
jkz
1
cos2
cos2
exp
jk
x
cos
y
cos
Aexp jk x cos y cos
等相位线： xcos y cos C 等间隔平行线
1、光波的数学描述
1.4 平面波的空间频率
首先研究传播矢量位于x0z平面的简单情况，此时cos=0,
（1）xy平面上复振幅分布为
1.1 单色光波场的复振幅表示 单色光波场中某点P(x,y,z)在t时刻的光振动u(x,y,z,t)可表示为
u P,t aPcos 2t P
振幅
频率 初位相
光场随时间的变化关系: 由频率表征. 严格单色光: 为常数
光场变化的时间周期为1/ .
光场随空间的变化关系体现在: (1) 空间各点的振幅可能不同 (2) 空间各点的初位相可能不同, 由传播引起.
cos l
f0
1、光波的数学描述（P117 3.1）
第一步: 写出入射波的复振幅分布U0(x,y) 单位振幅的单色平面波垂直入射照明, U0(x,y)=1
第二步: 写出屏的透过率函数 t(x,y):
第三步: 写出紧靠屏后平面上的透射光场复振幅分布U (x,y )
U (x,y)=U0(x,y) t(x,y)= t(x,y)
普通高等教育“十一五”国家级规划教材 《傅里叶光学》
第三章 标量衍射理论（一）
主讲教师：刘 丽
太原理工大学物理与光电工程学院
本章主要内容
一．光波的数学描述 二．基尔霍夫衍射理论（球面波理论） 三．衍射的角谱理论（平面波理论） 四．菲涅耳衍射 五．夫朗和费衍射 六．衍射的巴比涅原理 七．衍射光栅
1、光波的数学描述
r
表示观察点P(x,y,z)离开点光源的距离；
中心在原点:
r x2 y2 z2
若球面波中心在 S (x0, y0, z0):
r (x x0 )2 ( y y0 )2 (z z0 )2
1、光波的数学描述（特定平面的光场分布）
考察：点光源位于x0y0平面，与其相距z(z>0)的xy平面上的光场分布
U(x,y)看作频率不同的复指数分量的线性组合，各频率分量的 权重因子是A(x,y)
exp j2 fxx fy y
fx
cos l
fy
cos l
代表一个传播方向余弦为(cos =lx、cos= ly)的单色平面波。
因此复振幅分布也可以看作为不同方向传播的单色平面波分 量的线性叠加, A(x,y)则为复振幅分布U(x,y)的空间频谱。
求光场的角谱
U(x,y)的空间频谱函数:
A( fx , f y )
{Acos(2f0x)}
A 2
[
(
f
x
f0) (
fx
f0 )]
U(x,y)的空间角谱函数: cos cos
A(
l
,
l
)
A( fx ,
fy)
f
x
cos l
,
f
y
c
os l
A( c os l
,
cos l
)
A 2
cos l
f0
2 x0 3l
求其紧靠孔径透射光场的角谱
试计算其波长以及沿x、y、z方向的空间频率。
作业：单色平面波复振幅表达式为：
U
x,
y,
z
A
exp
j
1 x 14
2 y 14
3 14
z
求此波在传播方向的空间频率以及在x、y、z方 向的空间频率。
1、光波的数学描述
练习2：在x-y平面上, 光场复 振幅分布为余弦型:
U( x, y ) Acos( 2 f0x )
第四步: 求出U(x,y)的频谱A(fx, fy)
第五步: 利用
cos fx l ;
fy
c os l
将
A(fx,
fy)改写成角谱
1、光波的数学描述（P117 3.1）
作业：波长为λ的单位振幅平面波垂直入射到一孔径平面 上，在空间平面上有一个足够大的模板，其振幅透过率为
t( x0 )
1 2
1
cos
• 方便运算, 满足叠加原理
• 光强分布: I = UU*= |U(P)| 2
1、光波的数学描述
1.2 球面波 等相位面为球面, 且所有等相位面有共同中心的波
(P(x,y,z)) y (r
k
源点S
z
0 x k: 传播矢量
发散球面波
(P(x,y,z)) y (r
k
会聚点S z 0 x
会聚球面波
1、光波的数学描述
exp
jkz exp
j
k 2z
x
x0
2
y
y0
2
1、光波的数学描述
发散球面波
✓重要概念：波前
会聚球面波
1、光波的数学描述
1.3 平面波
平面波也是光波最简单的一种形式。 沿k方向传播的单色平面波，在光场中P(x,y,z)点产生的复振幅可以表示为：
U x, y, z a exp jk x cos y cos z cos
1 X
cos l
等相位线平行于y轴，则
fy
1 Y
0
此时，xy平面上的复振幅分布可表示为
U x, y Aexp j2 fx x
上式就是一个传播方向为(cos =lx、cos=0)的单色平面波 的复振幅表达式。
1、光波的数学描述 (3)空间频率为负数的情况
fx
1 X
cos l0Leabharlann fy1 Y0
空间频率的正负，仅表示平面波不同的传播方向
光场变化的空间周期为l.
1、光波的数学描述
将该波函数用复数表示，以便于简化运算
u P, t Re a P e j2tP
Re a P e jPe j2t
复数表示有利于 将时空变量分开
光场随时间的变化e -j2t不重要: 为常数,光场各点相同
对于携带信息的光波, 感兴趣的是其空间变化部分. 故引入复振幅U(P):