第三章 标量衍射理论

cos l
f0
1、光波的数学描述（P117 3.1）
第一步: 写出入射波的复振幅分布U0(x,y) 单位振幅的单色平面波垂直入射照明, U0(x,y)=1
第二步: 写出屏的透过率函数 t(x,y):
第三步: 写出紧靠屏后平面上的透射光场复振幅分布U (x,y )
U (x,y)=U0(x,y) t(x,y)= t(x,y)
不同C值所对应的等位相线是一些平行斜线
复振幅
U P a Pe jP
球面波
U P a0 e jkr
r
U
x,
y
a0 z
exp
jkz exp
j
k 2z
x
x0
2
y
y0
2
等相位线：x x y y C 内疏外密同心圆
平面波 U x, y, z a exp jk x cos y cos z cos
a
exp
jkz
1
cos2
cos2
exp
jk
x
cos
y
cos
U x, y Aexp jk x cos y cos
其中， exp jk x cos y cos 称为平面波的线性位相因子。
✓ 思考题：等相位线是什么形式？
Answer: 等相位线方程为 xcos y cos C
f z ( 1 l2 f x 2 l2 f y 2 ) l
这样平面波的复振幅即平面波方程可以写为 :
U (x, y, z)
a exp[ j (xf x
yf y )]exp( j
l
z
l f x l f y )
U (x, y,) exp( j z l
l f x l f y )
• 方便运算, 满足叠加原理
• 光强分布: I = UU*= |U(P)| 2
1、光波的数学描述
1.2 球面波 等相位面为球面, 且所有等相位面有共同中心的波
(P(x,y,z)) y (r
k
源点S
z
0 x k: 传播矢量
发散球面波
(P(x,y,z)) y (r
k
会聚点S z 0 x
会聚球面波
1、光波的数学描述
1、光波的数学描述
（4）传播方向为任意情况，情况又如何？
如右图所示，等相位线是一组斜平行线。很 容易确定其沿x和y方向的空间频率为
1 cos
1 cos
fx X l , fy Y l
则xy平面上的复振幅分布可表示为
U x, y Aexp jk x cos y cos
U x, y AeHale Waihona Puke Baidup j2 fxx fy y
1 X
cos l
等相位线平行于y轴，则
fy
1 Y
0
此时，xy平面上的复振幅分布可表示为
U x, y Aexp j2 fx x
上式就是一个传播方向为(cos =lx、cos=0)的单色平面波 的复振幅表达式。
1、光波的数学描述 (3)空间频率为负数的情况
fx
1 X
cos l
0
fy
1 Y
0
空间频率的正负，仅表示平面波不同的传播方向
a0 z
exp
jkz exp
j
k 2z
x
x0
2
y
y0
2
常量位 随x, y变化的二次位相因子
相因子
球面波特征位相
xy 平面上等位相线方程为 : x x y y C
一簇同心圆，由中心向外愈来愈密集
1、光波的数学描述
(P(x,y,z)) y (r
k
会聚点S z 0 x
U
x,
y
a0 z
在给定的座标系, 任意单色平面波有一组对应的fx和fy,它仅决定于 光波的波长和传播方向.
反之, 给定一组fx和fy, 对于给定波长的单色平面波就能确定其传
播方向cos =l,fx ,cos =l,fy
二维F.T.在光学上的意义:
如果在xy 平面上的复杂的复振幅分布可以分解为许多简单的周期分布,则 复杂的光振动可以分解成许多简单平面波的叠加.
U P a Pe jP
1、光波的数学描述
U(P) = a(P) e j(P)
• U(P)是空间点的复函数, 描写光场的空间分布,与时间无关;
• U(P)同时表征了空间各点的振幅 和相对位相
|U(P)| = |a(P)|
arg(U)= (P)
• 实际物理量是实量. 要恢复为真实光振动:
u(P,t)= Re{U(P)exp(-j2t)}
exp
j2
cos l
x
cos l
y d
cos l
d
cos l
(1)单色光波场中某一平面上的场分布可看作不同方向传播
的单色平面波的叠加;
(2) 在叠加时各平面波成分有自己的振幅和常量相位，它们 的值分别取决于角谱的模和幅角。
1、光波的数学描述
练习1：已知一平面波复振幅表达式为：
U x, y, z Aexp j 2x 3y 4z
1、光波的数学描述
✓ 假定平面波沿空间传播，则可进一步确定光波沿z 方向的空间频率为
此时，
cos fz l
U x, y, z a exp j2 fx x fy y fz z
而且满足如下关系
f
2 x
f
2 y
f
2 z
1
l2
f
2
f 1
l
表示平面波沿传播方向的空间频率
1、光波的数学描述
1.2 球面波（发散）
单色球面波在空间任意一点P所产生的复振幅为
(P(x,y,z))
U P a0 e jkr
r
y (r
k
k 2 l
为波数，表示单位长度上产生的相位变化， 也表明了光场变化的“空间频率”
源点S
z
0 x k: 波矢
球面波的等位相面: kr=c 为球面
a0
表示距点光源单位距离处的振幅。
1、光波的数学描述
✓ A(x,y)也可用方向余弦表示
A
cos l
, cos l
U
x,
yexp
j2
cos l
x
cos l
y dxdy
A(cos/l，cos/ l)称为xy平面上复振幅分布的角谱。
✓ 引入角谱的概念有助于进一步理解复振幅分解的物理意义：
U
x,
y
A
cos l
, cos l
普通高等教育“十一五”国家级规划教材 《傅里叶光学》
第三章 标量衍射理论（一）
主讲教师：刘 丽
太原理工大学物理与光电工程学院
本章主要内容
一．光波的数学描述 二．基尔霍夫衍射理论（球面波理论） 三．衍射的角谱理论（平面波理论） 四．菲涅耳衍射 五．夫朗和费衍射 六．衍射的巴比涅原理 七．衍射光栅
1、光波的数学描述
U x, y Aexp jkx cos
（2）等位相线方程为
xcos C
复振幅在xy平面周期分布的空间周期可以用位相相差2 的两相邻等位相线的间隔X表示。
1、光波的数学描述
kX cos 2
X 2 l k cos cos
空间频率即为空间周期的倒数，表示x方向单位长度内振
幅变化的周期数
fx
r z (x x0 )2 ( y y0 )2 2z
一级近似 二级近似
对振幅中r 的可作一级近似. 但因为 k 很大, 对位相中的 r 须作二级近似
1、光波的数学描述
将简化式代入球面波复振幅表达式有：
U P a0 e jkr
r
r z x x0 2 y y0 2
2z
U
x,
y
r
z2 x x0 2 y y0 2 z
1 x x0 2 y y0 2
z2
需要做傍轴（近轴）近似，简化计算。
1、光波的数学描述（特定平面的光场分布）
只考虑 x y平面上对源点 S 张角不大的范围, 即
(x x0 )2 ( y z2
y0 )2
1
可以作泰勒展开 (1+D)1/2 1+ D /2
其中，
（1）a 是常量振幅； （2）cos、cos、cos 为传播方向的 方向余弦，而且有
cos2 cos2 cos2 1
1、光波的数学描述
沿某一确定方向传播的平面波，在xy平面上的复振幅为：
U x, y, z a exp jkz cos exp jk x cos y cos
在任一距离z的平面上的复振幅分布，由在 z =0平面上的复 振幅和与传播距离及方向有关的一个复指数函数的乘积给出。 这说明了传播过程对复振幅分布的影响，已经在实质上解决 了最基础的平面波衍射问题
平面波的空间频率-信息光学中最基本的概念
要与光的时间频率严格区分开
空间比时间更具体,更直观,是有形的 空间频率的单位: cm-1, mm-1, 周/mm, 条数/mm 等 空间频率的正负:表示传播方向与x(或y)轴的夹角小于或大于90
U
x,
y
a
exp
jkz
1
cos2
cos2
exp
jk
x
cos
y
cos
Aexp jk x cos y cos
等相位线： xcos y cos C 等间隔平行线
1、光波的数学描述
1.4 平面波的空间频率
首先研究传播矢量位于x0z平面的简单情况，此时cos=0,
（1）xy平面上复振幅分布为
exp
jkz exp
j
k 2z
x
x0
2
y
y0
2
1、光波的数学描述
发散球面波
✓重要概念：波前
会聚球面波
1、光波的数学描述
1.3 平面波
平面波也是光波最简单的一种形式。 沿k方向传播的单色平面波，在光场中P(x,y,z)点产生的复振幅可以表示为：
U x, y, z a exp jk x cos y cos z cos
求光场的角谱
U(x,y)的空间频谱函数:
A( fx , f y )
{Acos(2f0x)}
A 2
[
(
f
x
f0) (
fx
f0 )]
U(x,y)的空间角谱函数: cos cos
A(
l
,
l
)
A( fx ,
fy)
f
x
cos l
,
f
y
c
os l
A( c os l
,
cos l
)
A 2
cos l
f0
r
表示观察点P(x,y,z)离开点光源的距离；
中心在原点:
r x2 y2 z2
若球面波中心在 S (x0, y0, z0):
r (x x0 )2 ( y y0 )2 (z z0 )2
1、光波的数学描述（特定平面的光场分布）
考察：点光源位于x0y0平面，与其相距z(z>0)的xy平面上的光场分布
试计算其波长以及沿x、y、z方向的空间频率。
作业：单色平面波复振幅表达式为：
U
x,
y,
z
A
exp
j
1 x 14
2 y 14
3 14
z
求此波在传播方向的空间频率以及在x、y、z方 向的空间频率。
1、光波的数学描述
练习2：在x-y平面上, 光场复 振幅分布为余弦型:
U( x, y ) Acos( 2 f0x )
2 x0 3l
求其紧靠孔径透射光场的角谱
g(x, y)
G(
f x,
f y ) exp[
j2
(
fxx
f y y)]dfxdf y
1、光波的数学描述
1.5 复振幅分布的空间频谱（角谱）
U x, y A fx, fy exp j2 fxx fy y dfxdfy
A fx, fy U x, yexp j2 fxx fy y dxdy
U(x,y)看作频率不同的复指数分量的线性组合，各频率分量的 权重因子是A(x,y)
exp j2 fxx fy y
fx
cos l
fy
cos l
代表一个传播方向余弦为(cos =lx、cos= ly)的单色平面波。
因此复振幅分布也可以看作为不同方向传播的单色平面波分 量的线性叠加, A(x,y)则为复振幅分布U(x,y)的空间频谱。
第四步: 求出U(x,y)的频谱A(fx, fy)
第五步: 利用
cos fx l ;
fy
c os l
将
A(fx,
fy)改写成角谱
1、光波的数学描述（P117 3.1）
作业：波长为λ的单位振幅平面波垂直入射到一孔径平面 上，在空间平面上有一个足够大的模板，其振幅透过率为
t( x0 )
1 2
1
cos
光场变化的空间周期为l.
1、光波的数学描述
将该波函数用复数表示，以便于简化运算
u P, t Re a P e j2tP
Re a P e jPe j2t
复数表示有利于 将时空变量分开
光场随时间的变化e -j2t不重要: 为常数,光场各点相同
对于携带信息的光波, 感兴趣的是其空间变化部分. 故引入复振幅U(P):
1.1 单色光波场的复振幅表示 单色光波场中某点P(x,y,z)在t时刻的光振动u(x,y,z,t)可表示为
u P,t aPcos 2t P
振幅
频率 初位相
光场随时间的变化关系: 由频率表征. 严格单色光: 为常数
光场变化的时间周期为1/ .
光场随空间的变化关系体现在: (1) 空间各点的振幅可能不同 (2) 空间各点的初位相可能不同, 由传播引起.