麦克斯韦方程中的梯度、散度、旋度
麦克斯韦方程组在静电场中的散度和旋度
麦克斯韦方程组在静电场中的散度和旋度
麦克斯韦方程组在静电场中的散度和旋度
麦克斯韦方程组是在静电场中最常用的量子力学模型，它根据相对论建立了量
子物理学的基石。
在这个方程组的研究中，有一种特殊的量叫做“散度”和“旋度”。
散度就是一个力学概念，它代表了电场的分布方式，用来描述电场的流动情况，也可以理解为电量在不同方向上的流动情况。
而旋度则是一种场的特性，描述了电场的“旋转”状态，可以理解为某个场向不同方向旋转的距离，也可以用来描述一个场的弯曲程度。
在静电场中，麦克斯韦方程组可以大致描述为：电场分布的流动和旋转总是恒
定的，而散度和旋度的值则取决于当前的静电场的情况。
他们的值取决于场的强度、分布方式和旋转情况，因此这些量可以用来测量电场的实际状态。
另外，由于散度和旋度可以提供关于静电场发展情况的重要信息，因此它们也
可以用于预测未来的静电场状况。
这对工程应用非常实用，比如原子能、核燃料带电问题和太阳活动等学科。
除此之外，它们还可以用于其他微观物质问题的研究，例如飞行器设计和电子设计等。
总的来说，散度和旋度是麦克斯韦方程组的重要量，它们在静电场中可以测量
电场的实际状况，同时也可以用来预测未来的静电场状况，并可用于许多工程实践的科学研究。
关于梯度、散度与旋度的探讨
关于梯度、散度与旋度的探讨中文摘要本论文主要介绍了梯度、散度与旋度的概念以及性质，研究了它们的一些应用，其中包括共轭梯度法、斯托克斯定理等等。
在此基础之上，我们又进而深入探讨了它们之间的联系，例如梯度场和旋度场的两个重要性质、亥姆霍兹定理等等，同时，麦克斯韦方程组对散度和旋度的应用有了进一步的诠释。
关键词：哈密度算子；梯度；散度；旋度；共轭梯度法Discussion On The Gradient, Divergence And CurlABSTRACTThis paper describes the gradient, divergence and curl of the concept and nature of some of their applications, including conjugate gradient method, Stokes Theorem and so on. On this basis, we also discussed in detail the links between them, such as gradient and curl field of the two important properties, the Helmholtz Theorem, and so, while Maxwell's equations for divergence and curl The application has been further interpretation.KEY WORD: Hamilton operator degree;Gradient; divergence; rotation; conjugate gradient method.第一章前言 (1)1.1 问题的提出 (1)1.2 研究现状 (1)1.3 研究思路 (2)第二章梯度、散度与旋度的概念与性质 (3)2.1 梯度的概念与性质 (3)2.1.1 梯度的概念 (3)2.1.2 梯度的性质 (4)2.2 散度的概念及性质 (6)2.2.1 散度的概念 (6)2.2.2 散度的性质 (7)2.3 旋度的概念及性质 (9)2.3.1 旋度的概念 (9)2.3.2 旋度的性质 (11)第三章梯度、散度与旋度的应用与联系 (12)3.1 梯度、散度与旋度的应用 (12)3.1.1 梯度的应用 (12)3.1.2 散度的应用 (18)3.1.3 旋度的应用 (20)3.2 梯度、散度与旋度的联系 (21)3.2.1 两个重要性质 (21)3.2.2 亥姆霍兹定理 (22)3.2.3 麦克斯韦方程组 (23)第四章结束语 ...................................................................................................... 错误！未定义书签。
梯度、散度与旋度及其应用
梯度、散度与旋度及其应用
梯度是多元函数变化率取得最大值时的方向，散度表示向量函数在某一点发散的强弱程度，旋度可以表示为向量函数对某一点附近的微元造成的旋转程度。
梯度与旋度都是矢量，散度是标量，但有正负。
这些概念、计算在物理学和其他工程技术中有广泛应用。
本文主要探讨了梯度、散度与旋度在质点力学、流体力学与刚体力学中的简单应用。
梯度、散度与旋度是微积分学中三个重要的概念，每一个概念都
有相应的物理背景，所以只有结合物理背景才能更好地理解这三个概念，才能更好地应用梯度、散度与旋度。
它们在许多学科中都有重要的应用，比如物理学、气象学等等，因此认真学习场论中的梯度、散度与旋度对我们以后去正确判断事物有很大的帮助。
[1]张润琦，陈一宏，微积分.下册，北京：机械工业出版社，2006年1月。
[2]刘兆龙，冯艳全，石宏霆，大学物理.第一卷，力学与热学，北京：高等教育出版社，2017年2月。
哈密顿算子与梯度、散度、旋度
哈密顿算子的定义与性质
• 定义向量微分算子
∂ ∂ ∇ = ∂x i + ∂∂y j + ∂z k
• 称为▽( Nabla ，奈 称为▽ 布拉)算子, 布拉)算子, 或哈密 顿( Hamilton ) 算子
• • •
矢量性 微分算子 只对于算子▽ 只对于算子▽ 右边的量发生 右边的量发生 微分作用
∂Dx ∂Dy ∂Dz + + =ρ ∂x ∂y ∂z ∂Bx ∂By ∂BZ + + =0 ∂x ∂y ∂z
哈密顿算子与梯度、散度、 哈密顿算子与梯度、散度、旋度
• 英汉对对碰 • • • • Operator▽ Operator▽ Gradient Divergence Curl • • • • 哈密顿算子 梯度(grad) 梯度(grad) 散度(div) 散度(div) 旋度(rot) 旋度(rot)
∂u ∂u ∇u = ∂x i + ∂ y ∂u j + ∂z k
= gradu
(2) A = P(x, y, z)i + Q(x, y, z) j + R(x, y, z) k, 则
∇⋅ A
∂P ∂Q ∂R = ∂x + ∂ y + ∂z = div A
i
∂ = ∂x ∇× A P
j
∂ ∂y
k
∂ ∂z
对速度矢量场， 对速度矢量场 ， 流体微团运动分析证明 速度散度的物理意义是标定流体微团运 动过程中相对体积的时间变化率。 动过程中相对体积的时间变化率。
矢量场的旋度(curl) 矢量场的旋度(curl)
对矢量场， 对矢量场 ， 在笛卡尔坐标系下其旋度定 义为： 义为： ir rj kr
梯度,散度,旋度以及几个常用的PDE方程
梯度，散度，旋度以及几个常用的PDE 方程——蒋小敏2012-05-07在最近的学习过程中，经常碰到梯度、散度、旋度等数学概念。
惭愧的是以前学的不够认真，到了现在，忘记的也差不多了，趁这个机会把这些知识捡回来，做一个总结，以后可以作为一个参考，是为记。
本文按知识点进行小节划分，提到的问题都是我自己经常忘记和搞混的知识点。
先定义一下本文的一些符号表达：矢量：大写黑体斜体字母A ，大写斜体字母加表示矢量的符号 标量：小写斜体字母u单位矢量：小写上加倒勾e x一、矢量（1）矢量的定义若一个矢量在三个相互垂直的坐标轴上的分量已知, 这个矢量就确定了。
例如在直角坐标系中, 矢量A 的三个分量模值分别是Ax ，Ay ，Az ，则矢量A ，z y x A z A y A xA ˆˆˆ++=（2）矢量的模222z y x A A A A ++=（3）矢量的乘积标量积，Dot production 点乘，这是一个标量AB a B A B A cos =⋅2222AA A A A AB A B A B A B A zyxz z y y x x =++=⋅++=⋅A xe矢量积，Cross production 叉乘，这是一个矢量AB a B A nB A sin ˆ=⨯ 其中 为A , B 所在平面的右手法向。
zy x z y x B B B A A A zy x B A ˆˆˆ=⨯ 二、通量（1）通量的定义若矢量场A 分布于空间中，在空间中存在任意曲面S ，则⎰⋅=ψSd SA为矢量A 沿有向曲面S 的通量。
（2）通量的物理含义表示穿入和穿出闭合面S 的矢量通量的代数和。
若0>ψ穿出闭合曲面的通量多于穿入的通量，闭合面内有产生矢量线的正源；例如，静电场中的正电荷就是发出电力线的正源；若0<ψ，穿出闭合曲面的通量少于穿入的通量，闭合面内有吸收矢量线的负源；静电场中的负电荷就是接受电力线的负源；若0=ψ，闭合面无源。
梯度、散度和旋度
梯度、散度和旋度(2011-09-12 20:36:08)转载▼标签：旋度散度梯度矢量场拉普拉斯算子波动方程分类：电子技术梯度、散度和旋度是矢量分析里的重要概念。
之所以是“分析”，因为三者是三种偏导数计算形式。
这里假设读者已经了解了三者的定义。
它们的符号分别记作如下：从符号中可以获得这样的信息：①求梯度是针对一个标量函数，求梯度的结果是得到一个矢量函数。
这里φ称为势函数；②求散度则是针对一个矢量函数，得到的结果是一个标量函数，跟求梯度是反一下的；③求旋度是针对一个矢量函数，得到的还是一个矢量函数。
这三种关系可以从定义式很直观地看出，因此可以求“梯度的散度”、“散度的梯度”、“梯度的旋度”、“旋度的散度”和“旋度的旋度”，只有旋度可以连续作用两次，而一维波动方程具有如下的形式(1)其中a为一实数，于是可以设想，对于一个矢量函数来说，要求得它的波动方程，只有求它的“旋度的旋度”才能得到。
下面先给出梯度、散度和旋度的计算式：(2)(3)(4)旋度公式略显复杂。
这里结合麦克斯韦电磁场理论，来讨论前面几个“X度的X度”。
I.梯度的散度：根据麦克斯韦方程有：而(5)则电势的梯度的散度为这是一个三维空间上的标量函数，常记作(6)称为泊松方程，而算符▽2称为拉普拉斯算符。
事实上因为定义所以有当然，这只是一种记忆方式。
当空间内无电荷分布时，即ρ=0，则称为拉普拉斯方程当我们仅需要考虑一维情况时，比如电荷均匀分布的无限大平行板电容器之间（不包含极板）的电场，我们知道该电场只有一个指向，场强处处相等，于是该电场满足一维拉普拉斯方程，即这就是说如果那边平行板电容器的负极板接地，则板间一点处的电压与该点距负极板的距离呈线性关系。
II.散度的梯度：散度的梯度，从上面的公式中可以看到结果会比较复杂，但是它的物理意义却是很明确的，因为从麦克斯韦方程可以看出空间某点处电场的散度是该点处的电荷密度，那么再求梯度就是空间中电荷密度的梯度。
最美的公式：你也能懂的麦克斯韦方程组（微分篇）（下）
最美的公式：你也能懂的麦克斯韦方程组（微分篇）（下）11梯度、散度和旋度▽算子不是一个矢量，除非你把它作用在一个函数上，否则它没啥意义。
但是，它在各个方面的表现确实又像一个矢量，只要你把▽算子的“作用”看成矢量的“相乘”。
一个矢量一般来说有3种“乘法”：1、矢量A和一个标量a相乘：aA。
比如我把一个矢量A大小变为原来的2倍，方向不变，那么这时候就可以写成2A。
2、矢量A和一个矢量B进行点乘：A·B。
这个点乘我们上面介绍很多了，A·B=|A||B|Cosθ，这里就不说了。
3、矢量A和一个矢量B进行叉乘：A×B。
这个叉乘跟点乘类似，也是我们单独针对矢量定义的另外一种乘法，A×B=|A||B|Sinθ。
大家可以看到，这个叉乘跟点乘唯一的区别就是：点乘是两个矢量的大小乘以它们的余弦值Cosθ，叉乘是两个矢量的大小乘以它们的正弦值Sinθ（在直角三角形里，角的对边和斜边的比为正弦Sinθ，邻边和斜边的比值为余弦Cosθ）。
那么，同样的，我们的▽算子也有3种作用方式：1、▽算子作用在一个标量函数z上：▽z。
这个▽z我们上面说过了，它表示函数z的梯度，它表示这个函数z变化最快的方向。
2、▽算子跟一个矢量函数E点乘：▽·E。
这就表示E的散度，我们开篇讲的高斯电场定律的左边就是电场E的散度，它就是表示成▽·E这样。
3、▽算子跟一个矢量函数E叉乘：▽×E。
它叫E的旋度，这个我们后面会再详细说。
这样，我们就以一种很自然的方式引出了这三个非常重要的概念：梯度（▽z）、散度（▽·E）和旋度（▽×E）。
大家可以看到，▽算子的这三种作用跟矢量的三种乘法是非常相似的，只不过▽是一个算子，它必须作用在一个函数上才行，所以我们把上面的标量和矢量换成了标量函数和矢量函数。
我们在描述山的高度的函数z=f(x,y)的时候，不同的点（x,y）对应不同的山的高度，而山的高度只有大小没有方向，所以这是个标量函数，我们可以求它的梯度▽z。
梯度、发散和旋度——定义及公式
梯度、发散和旋度——定义及公式梯度、发散和旋度是矢量场分析中常用的概念，它们用于描述矢量场的特性和变化。
以下是它们的定义及相关公式：1. 梯度（Gradient）梯度表示矢量场在给定点上最大变化的方向和速率。
我们可以将一个标量场（Scalar field）与一个矢量场（Vector field）的梯度进行计算。
梯度的定义：$$\nabla f = \frac{\partial f}{\partial x}\mathbf{i} + \frac{\partialf}{\partial y}\mathbf{j} + \frac{\partial f}{\partial z}\mathbf{k}$$其中，$\nabla$ 表示梯度算子，$f$ 表示标量场，$\mathbf{i}$，$\mathbf{j}$，$\mathbf{k}$ 表示坐标轴的单位向量。
2. 发散（Divergence）发散用于描述矢量场的流出和流入情况，它表示在给定点的矢量场流量的变化率。
发散的定义：$$\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial F_x}{\partial x} +\frac{\partial F_y}{\partial y} + \frac{\partial F_z}{\partial z}$$其中，$\nabla$ 表示梯度算子，$\cdot$ 表示点乘，$\mathbf{F}$ 表示矢量场。
3. 旋度（Curl）旋度用于描述矢量场的旋转和循环性质，它表示在给定点的矢量场环量的变化率。
旋度的定义：$$\nabla \times \mathbf{F} = \left(\frac{\partial F_z}{\partial y} - \frac{\partial F_y}{\partial z}\right)\mathbf{i} + \left(\frac{\partialF_x}{\partial z} - \frac{\partial F_z}{\partial x}\right)\mathbf{j} +\left(\frac{\partial F_y}{\partial x} - \frac{\partial F_x}{\partialy}\right)\mathbf{k}$$其中，$\nabla$ 表示梯度算子，$\times$ 表示叉乘，$\mathbf{F}$ 表示矢量场。
梯度、散度和旋度——定义及公式
梯度、散度和旋度——定义及公式1 哈密顿算子（Hamiltion Operator ）哈密顿算子本身没有含义，只有作用于后面的量才有实际意义；它是一个微分算子，符号为∇。
三维坐标系下，有=i j k x y z∂∂∂∇++∂∂∂ 或者 (,,)x y z ∂∂∂∇=∂∂∂ 其中,,i j k 分别为xyz 方向上的单位矢量。
2 梯度（Gradient ） 2.1 梯度的定义梯度是哈密顿算子直接作用于函数f 的结果（f 可以是标量和向量）。
(,,)f f f f f f grad f f i j k x y z x y z ∂∂∂∂∂∂=∇=++=∂∂∂∂∂∂ 标量场的梯度是向量，标量场中某一点的梯度指向标量场增长最快的地方，梯度的长度是最大变化率。
2.2 梯度的性质∇c=0∇(RS)= ∇R+∇S21()(),0R S R R S S S S∇=∇-∇≠ [()]()f S f S S '∇=∇其中，C 为常数，R 、S 为两个标量场，f 为一连续可微函数。
3 散度（Divergence ）散度是哈密顿算子与矢量函数f 点积的结果，是一个标量。
设矢量函数=(,,)x y z x y z f f i f j f k f f f =++则散度表示为： (,,)(,,)y x z x y z f f f div f f f f f x y z x y z∂∂∂∂∂∂=∇==++∂∂∂∂∂∂ 散度是描述空气从周围汇合到某一处或从某一处散开来程度的量。
它可用于表征空间各点矢量场发散的强弱程度，物理上，散度的意义是场的有源性。
当0div f >，该点有散发通量的正源（发散源）；当0div f <，该点有吸收通量的负源（洞或汇）； 当=0div f ，该点无源。
4 旋度（Curl, Rotation ）旋度是哈密顿算子与矢量函数f 叉积的结果，是一个矢量，设矢量函数=(,,)x y z x y z f f i f j f k f f f =++则旋度：=rot ()()()y y x x z z x y zij k f f f f f f curl f f f i j k xy z y zz x x y f f f ∂∂∂∂∂∂∂∂∂=∇⨯==-+-+-∂∂∂∂∂∂∂∂∂ 旋度是矢量分析中的一个矢量算子，可以表示三维矢量场对某一点附近的微元造成的旋转程度。
麦克斯韦模型公式
麦克斯韦模型公式麦克斯韦模型公式是描述电磁场的基本方程之一，由詹姆斯·克拉克·麦克斯韦提出。
它是电磁学中的重要定律之一，可以用来描述电磁场的产生和传播。
麦克斯韦模型公式由四个方程组成，分别称为麦克斯韦方程组。
这四个方程分别是：麦克斯韦-高斯定律、麦克斯韦-法拉第定律、安培环路定律和麦克斯韦-安培定律。
首先是麦克斯韦-高斯定律，它描述了电场的产生和分布。
它的数学表达式是∇·E=ρ/ε0，其中∇·E表示电场的散度，ρ表示电荷密度，ε0表示真空中的介电常数。
这个方程表明了电场的散度与电荷密度之间的关系。
接下来是麦克斯韦-法拉第定律，它描述了电磁感应现象。
它的数学表达式是∇×E=-∂B/∂t，其中∇×E表示电场的旋度，B表示磁感应强度，t表示时间。
这个方程表明了电场的旋度与磁感应强度变化率之间的关系。
然后是安培环路定律，它描述了磁场的产生和分布。
它的数学表达式是∇·B=0，其中∇·B表示磁场的散度。
这个方程表明了磁场的散度为零，即没有磁单极子存在。
最后是麦克斯韦-安培定律，它描述了电流和磁场的相互作用。
它的数学表达式是∇×B=μ0J+μ0ε0∂E/∂t，其中∇×B表示磁场的旋度，J表示电流密度，μ0表示真空中的磁导率。
这个方程表明了磁场的旋度与电流密度和电场变化率之间的关系。
麦克斯韦模型公式的提出，对电磁学的发展产生了重大影响。
它不仅统一了电场和磁场的描述，还揭示了电磁波的存在和传播规律。
麦克斯韦模型公式的应用广泛，涉及到电磁场的各个方面，如电磁波的传播、电磁感应现象、电磁场的能量传递等。
麦克斯韦模型公式是电磁学中非常重要的基本方程之一，它描述了电磁场的产生和传播规律。
通过麦克斯韦模型公式，我们可以深入理解电磁场的本质和特性，进一步推动电磁学的发展。
1-3梯度-散度-旋度
∂ ∂φ
如何记忆？
d ⇒∇ dl
笛卡儿坐标系中微分长度 G G
G
G
dl = axdx + aydy + azdz
∇
=
G ax
∂ ∂x
+
G ay
∂ ∂y
+
G az
∂ ∂z
dU ⇒ ∇ dl
柱面坐标系中微分长度
G dl
=
G ar
dr
+
G aφ
(
r
⋅
dφ
)
+
G az
dz
∇
=
G ar
∂ ∂r
+
G aφ
1 r
v∫
GG A • dS
=
∫ (∇ •
AG) dV
=
∫ 源dV
S
V
V
Example: Net positive flux
v∫
G A
•
G dS
>
0
S
Streamlines are directed away from the origin
4
矢量的“环量”
矢量的环量：该矢量沿闭合路径的标量线积分
G
GG
∫ 矢量 A沿G闭合路径 C的环量＝ A •dl
G ∇×B
=
G∂ ax(∂y
Bz
−
∂ ∂z
By)
G +ay
∂ ( ∂z
Bx
−?Bz
)
+aGz(∂∂x
By
−?Bx)
∇
=
G ax
∂ ∂x
+
G ay
梯度、散度和旋度——定义及公式
梯度、散度和旋度——定义及公式1 哈密顿算子（Hamiltion Operator ）哈密顿算子本身没有含义，只有作用于后面的量才有实际意义；它是一个微分算子，符号为∇。
三维坐标系下，有=i j k x y z∂∂∂∇++∂∂∂ 或者 (,,)x y z ∂∂∂∇=∂∂∂ 其中,,i j k 分别为xyz 方向上的单位矢量。
2 梯度（Gradient ） 2.1 梯度的定义梯度是哈密顿算子直接作用于函数f 的结果（f 可以是标量和向量）。
(,,)f f f f f f grad f f i j k x y z x y z ∂∂∂∂∂∂=∇=++=∂∂∂∂∂∂ 标量场的梯度是向量，标量场中某一点的梯度指向标量场增长最快的地方，梯度的长度是最大变化率。
2.2 梯度的性质∇c=0∇(RS)= ∇R+∇S21()(),0R S R R S S S S∇=∇-∇≠ [()]()f S f S S '∇=∇其中，C 为常数，R 、S 为两个标量场，f 为一连续可微函数。
3 散度（Divergence ）散度是哈密顿算子与矢量函数f 点积的结果，是一个标量。
设矢量函数=(,,)x y z x y z f f i f j f k f f f =++则散度表示为： (,,)(,,)y x z x y z f f f div f f f f f x y z x y z∂∂∂∂∂∂=∇==++∂∂∂∂∂∂ 散度是描述空气从周围汇合到某一处或从某一处散开来程度的量。
它可用于表征空间各点矢量场发散的强弱程度，物理上，散度的意义是场的有源性。
当0div f >，该点有散发通量的正源（发散源）；当0div f <，该点有吸收通量的负源（洞或汇）； 当=0div f ，该点无源。
4 旋度（Curl, Rotation ）旋度是哈密顿算子与矢量函数f 叉积的结果，是一个矢量，设矢量函数=(,,)x y z x y z f f i f j f k f f f =++则旋度：=rot ()()()y y x x z z x y zij k f f f f f f curl f f f i j k xy z y zz x x y f f f ∂∂∂∂∂∂∂∂∂=∇⨯==-+-+-∂∂∂∂∂∂∂∂∂ 旋度是矢量分析中的一个矢量算子，可以表示三维矢量场对某一点附近的微元造成的旋转程度。
旋度散度梯度计算公式
旋度、散度和梯度计算公式概述：旋度、散度和梯度是矢量场分析中常用的概念和计算方法。
它们用于描述矢量场的变化性质和方向性。
本文将介绍旋度、散度和梯度的定义以及如何计算它们的公式。
旋度（Curl）旋度衡量了矢量场中的涡旋或旋转的程度。
在数学上，旋度是一个矢量运算符，用符号∇×表示。
旋度可以计算一个二维或三维矢量场的旋转强度。
对于一个二维矢量场F=(P, Q)，其旋度公式为：∇×**F** = (∂Q/∂x) - (∂P/∂y)对于一个三维矢量场F=(P, Q, R)，其旋度公式为：∇×**F** = (∂R/∂y - ∂Q/∂z) i + (∂P/∂z - ∂R/∂x) j + (∂Q/∂x - ∂P/∂y) k 其中，i、j和k分别是坐标轴单位向量。
散度（Divergence）散度描述了矢量场的源汇性质，即矢量场中流入或流出某一点的数量。
在数学上，散度是一个矢量运算符，用符号∇·表示。
对于一个二维矢量场F=(P, Q)，其散度公式为：∇·**F** = (∂P/∂x) + (∂Q/∂y)对于一个三维矢量场F=(P, Q, R)，其散度公式为：∇·**F** = (∂P/∂x) + (∂Q/∂y) + (∂R/∂z)梯度（Gradient）梯度是一个标量场的变化速率和方向的矢量表示。
它描述了矢量场在某一点上的最大变化方向。
在数学上，梯度是一个矢量运算符，用符号∇表示。
对于一个二维标量场f(x, y)，其梯度公式为：∇f = (∂f/∂x) i + (∂f/∂y) j对于一个三维标量场f(x, y, z)，其梯度公式为：∇f = (∂f/∂x) i + (∂f/∂y) j + (∂f/∂z) k其中，i、j和k分别是坐标轴单位向量。
梯度的方向和大小指示了最大的变化率和变化方向。
它垂直于等值线，并指向函数值增加最快的方向。
结论旋度、散度和梯度是描述矢量场性质和变化方向的重要工具。
浅谈电磁场理论中梯度、散度和旋度的教学
`/&- &"%"'. %'
-'.
4右`/- &"%"'. 0T-右
`[ &b/&- &"%"'. ]%b/%- &"%"'. ]'b/'- &"%"'. ] 0- &b%'.
`/&- &"%"'. %'
-$%.
在本模型中"穿过左右两个有向面元的流体方向与各
自的有向面元- 的法向方向0b`c&b大体一致$ 因此"根据
布函数!-&"%"'."沿三个坐标轴方向各自的空间变化率$ 三梯度模型 在电磁场理论中"标量场的梯度和矢量场的散度及旋
度的物理意义一直是教学的重点和难点$ 基于上一小节
点处电场的极化方向$ 每个电场分量的下角标)&#)%和 )'也表示相应的极化方向$ 每个电场分量中括号内的自 变量表示该电场分量所在的空间位置$ 比如)&- 表 &"%"'. 示在空间6-&"%"'.点处的电场沿&方向极化的分量$
科教论坛
!"#!$%&$'(') *+&,-./&$01$21(3$&)%)()1%%3
科技风 年 月
浅谈电磁场理论中梯度散度和旋度的教学
吴微微4徐延林4何 艳
国防科技大学电子科学学院湖南长沙
梯度散度旋度的表达式和物理意义
梯度散度旋度的表达式和物理意义梯度、散度和旋度是矢量分析中的重要概念，用于描述矢量场的性质和变化规律。
它们在物理学、工程学等领域中具有广泛的应用。
本文将分别介绍梯度、散度和旋度的表达式及其物理意义。
一、梯度的表达式和物理意义梯度是矢量场中变化最快的方向和变化率的量化表示。
对于一个标量场，其梯度表示了该场在每个点上的变化率和变化方向。
梯度的表达式可以用微分算符∇（读作nabla）来表示，梯度算符作用于标量场可以得到一个矢量场，其表达式如下：∇φ = (∂φ/∂x)i + (∂φ/∂y)j + (∂φ/∂z)k其中，φ表示标量场，(∂φ/∂x)、(∂φ/∂y)、(∂φ/∂z)分别表示φ对x、y、z的偏导数，i、j、k分别表示坐标轴x、y、z方向的单位矢量。
梯度的物理意义是表示标量场在空间中的变化率和变化方向。
梯度的大小表示了标量场在某一点上的变化率，而梯度的方向表示了变化最快的方向。
例如，在温度场中，梯度的大小表示了温度的变化速率，而梯度的方向表示了温度变化最快的方向。
二、散度的表达式和物理意义散度是矢量场中的源和汇的量化表示，用来描述矢量场的流入和流出情况。
对于一个矢量场，其散度表示了该场在每个点上的流出或流入速率。
散度的表达式可以用梯度算符∇和点乘运算来表示，散度算符作用于矢量场可以得到一个标量场，其表达式如下：div A = ∇·A = (∂A_x/∂x) + (∂A_y/∂y) + (∂A_z/∂z)其中，A表示矢量场，A_x、A_y、A_z分别表示A在x、y、z方向上的分量。
散度的物理意义是表示矢量场在某一点上的流出或流入速率。
散度的正值表示矢量场在该点上的流出，负值表示矢量场在该点上的流入，而散度为零表示该点上不存在源和汇。
例如，在电场中，散度的正值表示电场从该点流出，负值表示电场流入该点。
三、旋度的表达式和物理意义旋度是矢量场中的旋转性质的量化表示，用来描述矢量场的旋转情况。
麦克斯韦方程 四种形式
麦克斯韦方程介绍麦克斯韦方程集是描述电磁场的基本规律，由物理学家詹姆斯·克拉克·麦克斯韦在19世纪提出。
这套方程集包含了电磁感应定律、电磁场的高斯定律、电磁场的安培定律和法拉第定律，形式简洁而又完备，是电磁学的基石。
四种形式麦克斯韦方程包括四种形式，分别是：高斯定律高斯定律用于描述电场和电荷之间的关系，它可以写成以下形式：1.在自由空间中，高斯定律表达为：∇⋅E=ρε0其中，∇⋅E表示电场强度的散度，ρ表示电荷密度，ε0是真空介电常数。
2.在有介质的情况下，高斯定律表达为：∇⋅E=ρε其中，ε表示介质的介电常数。
安培定律安培定律用于描述磁场和电流之间的关系，它可以写成以下形式：1.安培定律的积分形式：∮B⋅dl=μ0I其中，B表示磁感应强度，dl表示路径微元，μ0是真空磁导率，I表示电流。
2.安培定律的微分形式：∇×B=μ0J其中，∇×B表示磁感应强度的旋度，J表示电流密度。
法拉第定律法拉第定律描述了电磁感应现象，它可以写成以下形式：1.法拉第定律的积分形式：∮E⋅dl=−dΦdt其中，E表示电场强度，dl表示路径微元，dΦdt表示磁通量的变化率。
2.法拉第定律的微分形式：∇×E=−∂B ∂t其中，∇×E表示电场强度的旋度，∂B∂t表示磁感应强度的时间变化率。
麦克斯韦方程麦克斯韦方程是将高斯定律、安培定律和法拉第定律统一起来的方程，它可以写成以下形式：1.麦克斯韦方程的积分形式：∮E⋅dA=1ε0∫ρdV∮B⋅dA=0∮E⋅dl=−dΦdt∮B⋅dl=μ0∫J⋅dA 2.麦克斯韦方程的微分形式：∇⋅E=ρε0∇⋅B=0∇×E=−∂B ∂t∇×B=μ0J其中，dA表示面积元素，V表示体积元素。
总结麦克斯韦方程集是电磁场描述的基本规律，它包含了高斯定律、安培定律和法拉第定律。
这四个方程形式简洁而又完备，能够用来描述电磁现象的发生和演化。
均匀介质maxwell方程组微分形式
均匀介质maxwell方程组微分形式Maxwell方程组是描述电磁场与电荷或电流之间相互作用的基本方程。
在均匀介质中，这些方程组被称为均匀介质Maxwell方程组。
本文将介绍均匀介质Maxwell方程组的微分形式，并详细解释每个方程的物理意义。
在均匀介质中，电场E和磁场B与电荷和电流之间的相互作用可以由以下四个方程描述：1. Gauss定律：∇·E=ρ/ε0其中，∇·E表示E的散度，ρ表示电荷密度，ε0是真空介电常数。
这个方程说明了电场的散度与电荷密度之间的关系。
散度表示电场的变化率，这个方程表明电场的变化率与周围电荷的分布有关。
当电荷密度增加时，电场会扩散开来，而当电荷密度减小时，电场会收缩。
2. Gauss磁场定律：∇·B=0这个方程表明磁场的散度为零，也就是说磁场不会随着空间位置的改变而产生散度。
这是因为磁荷（磁场的等效电荷）不存在，根据高斯定律，∮B·dS=0。
这个方程说明了磁场是无源场，没有磁单极子的存在。
3.法拉第电磁感应定律：∇×E= -∂B/∂t这个方程表明电场的旋度与时间变化的磁场之间存在关系。
旋度表示场的环路运动的程度，这个方程说明当磁场随时间变化时，会产生电场的环路运动，从而引起感应电流的产生。
这个方程是法拉第对磁场与电场相互作用的基本定律。
4.安培环路定律：∇×B=μ0J+μ0ε0∂E/∂t其中，∇×B表示B的旋度，J表示电流密度，μ0是真空磁导率。
这个方程表明磁场的旋度与电流和变化的电场之间存在关系。
旋度表示场的环路运动的程度，这个方程说明当电流存在时，会产生磁场的环路运动，从而引起电场的变化。
这个方程是安培对电流、磁场和电场相互作用的基本定律。
这些方程共同描述了电场和磁场与电荷和电流之间的关系。
它们表明电磁场是由电荷和电流相互作用产生的，同时也反过来影响着电荷和电流的分布。
总结一下，均匀介质Maxwell方程组的微分形式包括：Gauss定律、Gauss磁场定律、法拉第电磁感应定律和安培环路定律。
梯度，散度，旋度的具体物理意义
梯度，散度，旋度的具体物理意义梯度 gradient设体系中某处的物理参数(如温度、速度、浓度等)为w，在与其垂直距离的dy处该参数为w+dw，则称为该物理参数的梯度，也即该物理参数的变化率。
如果参数为速度、浓度或温度，则分别称为速度梯度、浓度梯度或温度梯度。
在向量微积分中，标量场的梯度是⼀个向量场。
标量场中某⼀点上的梯度指向标量场增长最快的⽅向，梯度的长度是这个最⼤的变化率。
更严格的说，从欧⽒空间Rn到R的函数的梯度是在Rn某⼀点最佳的线性近似。
在这个意义上，梯度是雅⼽⽐矩阵的⼀个特殊情况。
在单变量的实值函数的情况，梯度只是导数，或者，对于⼀个线性函数，也就是线的斜率。
梯度⼀词有时⽤于斜度，也就是⼀个曲⾯沿着给定⽅向的倾斜程度。
可以通过取向量梯度和所研究的⽅向的点积来得到斜度。
梯度的数值有时也被成为梯度。
在⼆元函数的情形，设函数z=f(x,y)在平⾯区域D内具有⼀阶连续偏导数，则对于每⼀点P(x,y)∈D，都可以定出⼀个向量(δf/x)*i+(δf/y)*j这向量称为函数z=f(x,y)在点P(x,y)的梯度，记作gradf(x,y)类似的对三元函数也可以定义⼀个：(δf/x)*i+(δf/y)*j+(δf/z)*k 记为grad[f(x,y,z)]。
散度⽓象学中指：散度指流体运动时单位体积的改变率。
简单地说，流体在运动中集中的区域为辐合，运动中发散的区域为辐散。
⽤以表⽰的量称为散度，值为负时为辐合，此时有利于天⽓系统的的发展和增强，为正时表⽰辐散，有利于天⽓系统的消散。
表⽰辐合、辐散的物理量为散度。
微积分学→多元微积分→多元函数积分中：设某量场由 A(x,y,z) = P(x,y,z)i + Q(x.y,z)j + R(x,y,z)k 给出，其中 P、Q、R 具有⼀阶连续偏导数，∑ 是场内⼀有向曲⾯，n 是 ∑ 在点 (x,y,z) 处的单位法向量，则∫∫A·ndS 叫做向量场 A 通过曲⾯ ∑ 向着指定侧的通量，⽽δP/δx + δQ/δy + δR/δz 叫做向量场 A 的散度，记作 div A，即 div A = δP/δx + δQ/δy + δR/δz。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
MAXWELL方程组
向量场数量场
有源场无源场保守场（无旋场）有旋场（非保守场）
保守场=有势场=无旋场------环流等于零!
有源场-------闭合曲面的通量不等于零!------这些是指场的宏观特性!
3.含时磁场可以感生出电场
4.含时电场可以感生处磁场
上面四个方程可逐一说明如下：在电磁场中任一点处
（1）电位移的散度 == 该点处自由电荷的体密度；
（2）磁感应强度的散度 --- 处处等于零。
（3）电场强度的旋度 == 该点处磁感强度变化率的负值；
（4）磁场强度的旋度 == 该点处传导电流密度与位移电流密度的矢量和\
把不明白的字母列举一下：
E 是电场强度矢量
D 是电位移矢量（也叫电感应强度）应该还有一个电传导向量 E=D+?
B 是磁感应强度矢量
H 是磁场强度矢量 H=B+?
其中内在的联系是：
D=εE
B=μH
注意上面这些大写字母都是矢量
物理都是循序渐进的，你看看懂麦克斯韦方程组，必须学过微积分和数学物理方程。
∮是环路积分，求是对闭合的回路求积分
▽是哈密顿算符，就是对XYZ三个方向求全导数（偏导数就是如果有几个变量，其他的不变，只求一个的导数，全导数就是把不同变量的偏导数全求出来，再加起来）
·是点乘，×是叉乘，不一样的，这是微积分里的
第一个说的是，电场的源是电荷。
＜你看它的微分形式，是不是：电场三个方向都求散度后的结果是电荷的密度，（散度通俗理解就是对三个空间方向求微分）这样就说明了电场不能凭空产生，它是有一个源头的，源头就是电荷。
这与我们通常的理解也是一样的，到目前为止我们也没有发现，单独的正电荷或负电荷，电场线都是从正电荷出发负电荷截止。
第二个方程，知道第一个方程的含义第二个就很好理解了，他就是说磁场是无源的，也就是说磁场是没有源头的，即磁场线是一条连续的曲线。
它不像电场线一样，必须从一个东西发出到一个东西结束。
第三个公式，也是看微分形式。
这里对电场取了旋度，＜旋度就相当于在电场线的垂直方向上求导＞我们看到最后它等于磁场对时间的求导。
负号是方向。
这是什么意思呢？它是说变化的磁场（含时磁场）能产生电场。
这一个在日常生活中用的最多，发电厂就是用的这个发电的。
第四个公式，和上一个方程类似不过又有不同，这里除了变化的电场（含时电场）能产生磁外，还说恒定的电流也能产生磁场。
＜j是电流的意思＞这一个也好理解，你想我们高中学的右手螺旋定则，其实就是用了这个。
右手螺旋定则是由电流方向判断磁场方向，那么也就是说有电流就有磁场了。
这个是帮助理解，其实是先有，麦克斯维再有右手螺旋定则的。
、
倒三角什么意思啊？我们一般把空间看成 X,Y,Z,的三维空间，这里的倒三角是对这，三个维度分别求导再相加的意思
梯度
1.坡度。
2.单位时间或单位距离内某种现象（如温度、气压、密度、速度等）变化的程度。
3.依照一定次序分层次地：我国经济发展由东向西～推进。
4.依照一定次序分出的层次：考试命题要讲究题型有变化，难易有～。
向量场A，数量场u
▽称为汉密尔顿算子，▽·▽=▽2=△，
△称为拉普拉斯算子。
梯度▽u
散度▽·A （点乘结果为数）
旋度▽×A （叉乘结果为向量）
首先梯度和旋度是向量，而散度是标量。
1.梯度针对一个数量场（势场），衡量一个数量场的变化方向。
梯度为0说明该势场是个等势场。
其结果为向量。
2.散度针对一个向量场，衡量一个向量场的单位体积内的场强。
散度为0说明这个场没有源头。
其结果为标量。
3.旋度针对一个向量场，衡量一个向量场的自旋。
旋度为0说明这个场是个保守场（无旋场），保守场一定是某个数量场的梯度场。
其结果为矢量。
三者的关系：注意各自针对的对象不同。
1.梯度的旋度▽×▽u=0
梯度场的旋度为0，故梯度场是保守场。
例如重力场。
2.梯度的散度▽2u=△u
3.散度的梯度▽(▽·A)
4.旋度的散度▽·(▽×A)=0
旋度场的散度为0，故旋度场是无源场。
例如磁场，磁场本身是其他场的旋度场。
5.旋度的旋度▽×(▽×A)=▽(▽·A)-▽2A=▽(▽·A)-△A
旋度场的旋度
也要说明一下，匀强场是保守场，因此绝对的匀强磁场是不可能的，磁场本身也是有旋场。
1.已知原向量场可以直接推出其散度、旋度。
反之则不行，还需要其他条件。
2.已知某向量场，求原数量场（势场）。
某向量场具有势场的充要条件是旋度为0。
因此若该向量场的旋度为0，可由斯托克斯公式求出。
若旋度不为0，则没有势场。
拉普拉斯算子△
laplace算子就是偏偏x，偏偏y，偏偏z；拉普拉斯算子是n维欧几里德空间中的一个二阶微分算子，定义为散度。
托克斯公式斯托克斯公式是格林公式的推广。
格林公式表达了平面闭区域上的二重积分与其边界曲线上的曲线积分之间的关系，而斯托克斯公式则把曲面上的曲面积分与沿着的边界曲线的曲线积分联系起来。
梯度是矢量，其大小为该点函数的最大变化率，即该点的最大方向导数。
梯度的方向为该点最大方向导数的方向，即与等值线（面）相垂直的方向，它指向函数增加的方向。
散度
散度指流体运动时单位体积的改变率。
简单地说，流体在运动中集中的区域为辐合，运动中发散的区域为辐散。
其计算也就是我们常说的“点乘”。
散度是标量，物理意义为通量源密度。
散度为零，说明是无源场；散度不为零时，则说明是有源场（有正源或负源）。