反比例函数与几何图形的面积问题
浙教版八年级下专题九 反比例函数与图形的面积
专题九反比例函数与图形的面积(教材P147作业题第3题)已知反比例函数y＝kx(k≠0)的图象上一点的坐标为(－1，－4)，求这个反比例函数的表达式，并画出它的图象．解：y＝4x，图略．【思想方法】反比例函数k的几何意义：反比例函数图象上的点(x，y)的横，纵坐标之积(xy＝k)为常数这一特点，即过双曲线上任意一点，向两坐标轴分别作垂线，两条垂线与两坐标轴所围成的矩形的面积为常数，即S＝|k|.一反比例函数与矩形的面积[2011·漳州]如图1，点P(x，y)是反比例函数y＝3x的图象在第一象限分支上的一个动点，P A⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B，随着自变量x的增大，矩形OAPB的面积(A)图1A．不变B．增大C．减小D．无法确定[2012·丹东]如图2，点A是双曲线y＝kx在第二象限分支上的任意一点，点B，C，D分别是点A关于x轴，坐标原点，y轴的对称点．若四边形ABCD的面积是8，则k的值为(D)图2A．－1B．1C．2D．－2【解析】先判定出四边形ABCD是矩形，再根据反比例函数的系数的几何意义，用k表示出四边形ABCD的面积．∵四边形ABCD的面积是8，∴4×|－k|＝8，解得|k|＝2，又∵双曲线位于第二、四象限，∴k＜0，∴k＝－2.[2012·黔东南州]如图3，点A是反比例函数y＝－6x(x<0)的图象上的一点，过点A作▱ABCD，使点B、C在x轴上，点D在y轴上，则▱ABCD的面积为(C)图3A．1 B．3 C．6 D．12【解析】过点A作AE⊥OB于点E.变形3答图因为矩形ADOE的面积等于AD·AE，平行四边形ABCD的面积等于AD·AE，所以▱ABCD的面积等于矩形ADOE的面积，根据反比例函数k的几何意义可得：矩形ADOE的面积为6，即可得平行四边形ABCD的面积为6.故选C.如图4，A、B是双曲线y＝kx上的点，分别过A、B两点作x轴、y轴的垂线段．S1，S2，S3分别表示图中三个矩形的面积，若S3＝1，且S1＋S2＝4，则k值为(C)图4A．1 B．2 C．3 D．4如图5，反比例函数y＝kx(x＞0)的图象经过矩形OABC对角线的交点M，分别与AB、BC相交于点D、E.若四边形ODBE的面积为9，则k的值为(C)图5A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】 由题意，得点E 、M 、D 位于反比例函数图象上，则S △OCE ＝|k |2，S△OAD ＝|k |2.过点M 作MG ⊥y 轴于点G ，作MN ⊥x 轴于点N ，则S 矩形ONMG ＝|k |， 又∵点M 为矩形ABCO 对角线的交点，则S 矩形ABCO ＝4S 矩形ONMG ＝4|k |.∵函数图象在第一象限，∴k ＞0，则k 2＋k2＋9＝4k ，解得k ＝3.故选C.[2013·泸州]如图6，点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，…，P n (x n ，y n )在函数y ＝1x (x ＞0)的图象上，△P 1OA 1，△P 2A 1A 2，△P 3A 2A 3，…，△P n A n －1A n 都是等腰直角三角形，斜边OA 1，A 1A 2，A 2A 3，…，A n －1A n 都在x 轴上(n 是大于或等于2的正整数)，则点P 3的坐标是__(3＋2，3－2)__；点P n 的坐标是__(n ＋n －1，n －n －1)__(用含n 的式子表示)．图6二 反比例函数与三角形的面积[2012·毕节]如图7，双曲线y ＝kx (k ≠0)上有一点A ，过点A 作AB ⊥x轴于点B，△AOB的面积为2，则该双曲线的表达式为__y＝－4x__．图7如图8，点A，B是函数y＝2x的图象上关于原点对称的任意两点，BC∥x轴，AC∥y轴，△ABC的面积记为S，则(B)图8A．S＝2B．S＝4C．2＜S＜4 D．S＞4【解析】设点A的坐标为(x，y)，则B为(－x，－y)，xy＝2.∴AC＝2y，BC＝2x.∴△ABC的面积为2x·2y÷2＝2xy＝2×2＝4.[2012·岳阳]如图9，一次函数y1＝x＋1的图象与反比例函数y2＝2x的图象交于A、B两点，过点A作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D，连结AO，BO.下列说法正确的是(C)图9 A．点A和点B关于原点对称B．当x<1时，y1>y2C．S△AOC＝S△BODD．当x>0时，y1，y2都随x的增大而增大正比例函数y＝x与反比例函数y＝1x的图象相交于A、C两点．AB⊥x轴于点B，CD⊥x轴于点D(如图10)，则四边形ABCD的面积为(C)图10A．1 B.5 2C．2 D.2 5三反比例函数与其他几何图形如图11，菱形OABC的顶点B在y轴上，顶点C的坐标为(－3，2)，若反比例函数y＝kx(x>0)的图象经过点A，则k的值为(D)图11 A．－6B．－3C．3D．6[2012·荆门]如图12，点A是反比例函数y＝2x(x＞0)的图象上任意一点，AB∥x轴交反比例函数y＝－3x的图象于点B，以AB为边作▱ABCD，其中点C，D在x轴上，则S▱ABCD为(D)图12A．2 B．3 C．4 D．5【解析】设A的纵坐标是b，则B的纵坐标也是b.把y＝b代入y＝2x ，得b＝2x，则x＝2b，即A的横坐标是2b；同理可得B的横坐标是－3b.则AB＝2b －(－3b)＝5b.则S▱ABCD＝5b·b＝5.如图13，已知函数y＝2x和函数y＝kx的图象交于A、B两点，过点A作AE⊥x轴于点E.若△AOE的面积为4，P是坐标平面上的点，且以点B、O、E、P为顶点的四边形是平行四边形，则满足条件的P点坐标是__P1(0，－4)，P2(－4，－4)，P3(4，4)__．图13[2012·丽水]如图14，等边△OAB和等边△AFE的一边都在x轴上，双曲线y＝kx(k>0)经过边OB的中点C和AE的中点D，已知等边△OAB的边长为4.图14(1)求该双曲线所表示的函数解析式；(2)求等边△AEF的边长．解：(1)过点C作CG⊥OA于点G.∵点C是等边△OAB的边OB的中点，∴OC＝2，∠AOB＝60°，∴OG＝1，CG＝3，∴点C的坐标是(1，3)．由3＝k1，得k＝3，∴该双曲线所表示的函数解析式为y＝3x.(2)过点D作DH⊥AF于点H，设AH＝a，则DH＝3a，∴点D的坐标为(4＋a，3a)．上的点，由xy＝3，得∵点D是双曲线y＝3x3a(4＋a)＝3，即a2＋4a－1＝0，解得a1＝5－2，a2＝－5－2(舍去)，∴AD＝2AH＝25－4.∴等边△AEF的边长是(45－8)．。
反比例函数求三角形面积
反比例函数求三角形面积
三角形是一种最基本的多边形，也是最古老的几何图形，它的几何原理也是广泛应用于现代生活中的。
如果想要计算三角形的面积，我们可以利用反比例函数来解决。
反比例函数是一种特殊的函数，它表示的是“y随x的变化而变化，但其变化率随着x的增大而减小”的函数关系，它可以用来解决各种科学和数学问题。
在计算三角形面积时，我们可以利用反比例函数，根据所给的三角形的边长，经过变换以后，计算的三角形的面积就会更加准确。
假设现在有一个三角形，其三条边的长度分别是a、b、c，那么我们可以用反比例函数来解决计算面积的问题。
其具体求解步骤如下：（1）把三角形的边长a、b、c替换为反比例函数的变量x、y、z，即a=x,b=y,c=z；
（2）建立反比例函数的表达式，即f(x,y,z)=0；
（3）代入原来的变量a、b、c，求解得到反比例函数的解，即
f(a,b,c)=0；
（4）根据以上解析出的f(a,b,c)的函数式，利用三角形面积的公式S=1/2*a*b*sinC，求出三角形的面积。
在实际应用中，反比例函数在计算三角形面积时非常有效。
首先，反比例函数只要给定三角形的边长就可以求出准确的解，这能节省许多计算时间和运算量；其次，它可以有效地避免测量误差，从而计算出更准确的面积，让计算结果更加精确。
总之，反比例函数在求解三角形面积方面的应用非常广泛，它的计算结果更加准确，能够节省大量的时间和运算量。
希望通过本文的介绍，对大家计算三角形面积有所帮助。
反比例函数求面积公式大全
反比例函数求面积公式大全《反比例函数求面积公式大全》引言：反比例函数是数学中的一种特殊函数，其特点是当自变量x增加时，因变量y会以相反的趋势减小。
在数学和实际应用中，使用反比例函数可以描述许多重要的关系，尤其是与面积相关的问题。
本文将为读者提供一份反比例函数求面积的公式大全，帮助读者更好地理解和应用反比例函数。
一、长方形1. 长方形的面积与其长度（l）和宽度（w）成反比例关系，即S = k/(l×w)，其中k为常数。
二、正方形1. 正方形的面积与其边长（s）的平方成反比例关系，即S = k/s²，其中k为常数。
三、圆1. 圆的面积与其半径（r）的平方成反比例关系，即S = πr²，其中π为圆周率，约等于3.14159。
四、椭圆1. 椭圆的面积与其长轴（2a）和短轴（2b）的乘积成反比例关系，即S = πab，其中a和b分别为长轴和短轴的半长。
五、三角形1. 三角形的面积与其底（b）和高（h）的乘积成反比例关系，即S = (1/2)bh。
六、平行四边形1. 平行四边形的面积与其底（b）和高（h）的乘积成反比例关系，即S = bh。
七、等腰梯形1. 等腰梯形的面积与其上底（a）、下底（b）和高（h）的关系为S = (a + b)h/2。
八、圆环1. 圆环的面积与其外半径（R）、内半径（r）和π的关系为S = π(R² - r²)。
结论：通过反比例函数求面积的公式大全，读者可以更加方便地计算各种几何形状的面积。
这些公式对于数学学习、几何推导以及实际生活中的建模和计算都具有重要意义。
希望读者能够掌握这些公式，并在实际中运用自如，提高数学应用的能力和解决问题的水平。
反比例函数与图形面积
计算定积分
利用定积分的几何意义， 计算直线与双曲线所围成 的图形面积。
注意事项
在计算过程中，需要注意 积分上下限的确定以及被 积函数的正负问题。
参数方程在面积计算中应用
参数方程表示
对于某些复杂图形，使用 参数方程表示更为方便。
面积元素计算
根据参数方程，计算面积 元素并对其进行积分。
注意事项
在使用参数方程计算面积 时，需要确保参数范围选 取合适，且要注意参数方 程的正负问题。
02
圆形面积计算：根据圆形面积公式$S = pi r^2$（其中$r$为圆形半径）， 计算圆形区域的面积。
03
反比例函数图像面积计算：通过极坐 标下的定积分计算反比例函数图像在 圆形区域内的面积，即 $int_{theta_1}^{theta_2} int_{r_1(theta)}^{r_2(theta)} frac{k}{r} rdrdtheta$（其中$k$为反 比例函数的常数，$theta_1$和 $theta_2$为交点极角，$r_1(theta)$ 和$r_2(theta)$为交点极径）。
指数函数图像与 $x$ 轴围成的封闭 图形面积可以通过定积分
$int_{x_1}^{x_2} a^x dx$ 来计算， 其中 $x_1$ 和 $x_2$ 是指定的积分
上下限。
对数函数 $y = log_a x$（$a > 0, a neq 1$）的图像是一个对数曲线。 当 $a > 1$ 时，曲线上升；当 $0 < a < 1$ 时，曲线下降。
在每个象限内，随着 $x$ 的增大，$y$ 的值逐渐减小。
当 $k > 0$ 时，反比例函数的图像位于 第一、三象限；当 $k < 0$ 时，反比例 函数的图像位于第二、四象限。
反比例函数中及面积有关的问题
反比例函数中与面积有关的问题知识点回忆由于反比例函数解析式及图象的特殊性，很多中考试题都将反比例函数与面积结合起来进展考察。
这种考察方式既能考察函数、反比例函数本身的根底知识内容，又能充分表达数形结合的思想方法，考察的题型广泛，考察方法灵活，可以较好地将知识与能力融合在一起。
下面就反比例函数中与面积有关的问题的几种类型归纳如下：利用反比例函数中|k|的几何意义求解与面积有关的问题设P为双曲线上任意一点，过点P作x轴、y轴的垂线PM、PN，垂足分别为M、N，那么两垂线段与坐标轴所围成的的矩形PMON的面积为S=|PM|×|PN|=|y|×|x|=|xy|∴xy=k故S=|k|从而得结论1：过双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得矩形的面积S为定值|k| 对于以下三个图形中的情形，利用三角形面积的计算方法和图形的对称性以及上述结论，可得出对应的面积的结论为：结论2：在直角三角形ABO中，面积S=结论3：在直角三角形ACB中，面积为S=2|k|结论4：在三角形AMB中，面积为S=|k|类型之一k与三角形的面积k〔k＞0〕经过直角三角形OAB斜边OB的中点D，与直※1、如图，双曲线y=x角边AB相交于点C．假设△OBC的面积为6，那么k=______．最正确答案过D点作DE⊥x轴，垂足为E，1k,由双曲线上点的性质，得S△AOC=S△DOE=2∵DE⊥x轴，AB⊥x轴，∴DE∥AB，∴△OAB∽△OED，又∵OB=2OD，∴S△OAB=4S△DOE=2k，由S△OAB-S△OAC=S△OBC，得2k-21k=6，解得：k=4．故答案为：4．2、如图1-ZT-1，分别过反比例函数y=x2018(x＞0)的图象上任意两点A、B作x 轴的垂线，垂足分别为C、D，连接OA、OB，设△AOC和△BOD的面积分别是S 1、S2,，比拟它们的大小，可得A.S1＞S2B.S1=S2C.S1＜S2D.S1、S2大小不确定。
反比例函数中的面积问题
解得 k=2 评注：第①小题中由图形所在象限可确定k>0，应用结论可直接求k值。 第②小题首先应用三角形面积的计算方法分析得出四个三角形面积相 等，列出含k的方程求k值。
例2（2008贵州省黔南州）如图，矩形ABOD的顶点A是函数 与函数 在第二象限的交点， 轴于B， 轴于D，且矩形ABOD的பைடு நூலகம்积为3． （1）求两函数的解析式． （2）求两函数的交点A、C的坐标．
图象上，∴
解得x=1从而所求面积为π 评注：对于较复杂的图形面积计算问题，先应观察图形的特征，若具有 对称特征，则应用对称关系可以简化解题过程。
四、 讨论与面积有关的综合问题 例8．（2008山东省）（1）探究新知：
如图1，已知△ABC与△ABD的面积相等， 试判断AB与CD的位置关系，并说明理由． （2）结论应用：
与x轴交于点C，其中点A的坐标为（－2，4），点B的横坐标为－4. （1）试确定反比例函数的关系式； （2）求△AOC的面积.
.解：（1）∵点A（-2，4）在反比例函数图象上 ∴k=-8 ∴反比例函数解析式为y=
（2）∵B点的横坐标为-4， ∴纵坐标为y=2 ∴B(-4，2) ∵点A（-2，4）、 点B（-4，2）在直线y=kx+b上 ∴ 4=-2k+b 且2=-4k+b 解得 k=1 b=6 ∴直线AB为y=x+6 与x轴的交点坐标C（-6，0）
（3）若点P是y轴上一动点，且 ， 求点P的坐标．
解：（1）由图象知k<0，由结论及已知条件得 -k=3 ∴
∴反比例函数的解析式为 ，一次函数的解析式为 （2）由 ，解得 ，
∴点A、C的坐标分别为（
，3），（3， ） （3）设点P的坐标为（0，m） 直线 与y轴的交点坐标为M（0，2） ∵
反比例函数求三角形面积
反比例函数求三角形面积
三角形是广泛存在于自然界中的一种几何形状，也是许多数学问题研究中的一个重要元素。
本文通过反比例函数求解三角形的面积。
首先需要知道的是，反比例函数是一种特殊的比例函数，其关系式可以表示为y = k/x，其中k为常量，x为变量。
该函数表示的是y与x呈反比例关系，当x变大时，y会变小，当x变小时，y会变大。
三角形的面积是根据三角形的三条边长度表示的，用一般式子表示如下：
S=√(p(p-a)(p-b)(p-c))
其中，S表示三角形的面积，p为三角形的半周长，a,b,c分别表示三角形的三条边长。
由此可以看出，三角形的面积S与半周长p成正比，S与三角形的三条边长成反比例，其关系式可以表示为：
S= k/(a*b*c)
由此可以得出，三角形的面积S与三角形的三条边长成反比例，可以使用反比例函数来求解三角形面积S。
本文介绍了如何使用反比例函数求解三角形面积。
当我们需要求解三角形的面积时，可以利用该函数来计算。
因为它的工作原理是要将边长的反比例关系转换成面积与边长的正比关系，这样就可以自动计算出三角形的面积。
特别要指出的是，在求解三角形面积问题时，我们除了使用反比
例函数外，还可以使用比例函数、勾股定理等方式来求解。
然而，使用这些方法求解时需要掌握更多的公式，且求解过程较为复杂，而使用反比例函数却可以节省许多求解时间。
本文介绍了利用反比例函数求解三角形面积的方法，可以有效提高求解三角形面积问题的效率。
同时，本文也为其他求解几何图形面积问题提供了一定参考，希望能帮助读者更好地理解反比例函数的概念，从而有效提高求解几何图形问题的效率。
反比例函数K的几何意义求面积
例3：反比例函数
y1
m x
与一次函数
y2
kx
b
交于
点A(1，8 ) 和B (4，n)，
求：⑴这两个函数的解析式；
⑵三角形⊿AOB的面积。 S△AOB=S△AOD－S△BOD
S AOB S MOB S AOM
S△AOB=S△MOD－S△AOM－S△BOD
y
MA
B o E FDx
SAOB S梯形AEFB
变式练习1：如图C是AB的中点，反比例函数 y 6 (x 0)
x
在第一象限的图象经过A( 2,3)、C(6,1)两点，
求：△OAB面积
C是A B的中点。
SAOC SCOB
SAOC SCOE
D
E
SAOC S梯形ADE（C 等量代换）
SAOB 2S梯形ADEC
直击中考 ☞
如图，直线AB过点A（m, 0）、B（0, n）（其中 m＞0, n＞0）．反比例函数 y p（p>0）
x
的图象与直线AB交于C、D两点，连结OC、OD． （1）已知m＋n＝10，△AOB的面积为S， 问：当n何值时，S取最大值？并求这个最大值；
（2）若m=8，n=6，当△AOC、 △COD、△DOB的面积都相等 时，求p的值。
——成都明成学校、王莉
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回顾与思考
图中的这些矩形面积有什么特点？ y
y k x
O
x
回顾与思考
反比例函数中“k”的几何意义
结论1： S矩形 = k
k 结论2： S直角三角形 = 2
面积与P在反比例函数图像上的位置无关
y P(x,y)
y
反比例函数与几何图形的面积
反比例函数图象与几何图形的面积 签名_______一. 反比例函数与矩形面积 1. 如图，P 是反比例函数y kxk =≠()0的图象上一点，过P 点分别向x 轴、y 轴作垂线，所得到的图中阴影部分的面积为6，求这个反比例函数的解析式。
二. 反比例函数与三角形面积 2．如图，点A 在反比例函数y kxk =≠()0的图象上，AB 垂直于x 轴，若S AOB ∆=4，那么这个反比例函数的解析式为_____________。
评析：如图，若A 点是反比例函数y k xk =≠()0图象上的任意一点，且AB 垂直于x 轴，垂足为B ，AC 的垂直于y 轴，垂足为C ，则矩形面积=ABOC S ；三角形AOB 的面积=∆AOB S _____,常做的辅助线是过图像上的点做X 轴或者Y 轴的垂线构建矩形或者直角三角形。
1．如图，正比例函数y kx k =>()0与反比例函数y x=1的图象相交于A 、C 两点，过A 点作x 轴的垂线交x 轴于B ，连结BC ，若∆ABC 面积为S ，则________.练习：1. （2010湖北孝感）如图，点A 在双曲线1y x =上，点B 在双曲线3y x=上， 且AB ∥x 轴，C 、D 在x 轴上，若四边形ABCD 为矩形，则它的面积为 . 2. 如图，A 、B 是函数y x=1的图象上关于原点O 对称的任意两点，AC 平行于y 轴，BC 平行于x 轴，∆ABC 的面积为S ，则（ ） A. S ＝1 B. 12<<SC. S ＝2D. S >23、 如图，正比例函数y kx k =>()0与反比例函数y x=2的图象相交于A 、C 两点，过A 点作x 轴的垂线，交x 轴于B ，过C 作x 轴的垂线，交x 轴于D ，则四边形ABCD 的面积为____________。
4、如图，反比例函数y=xk(x>0)与矩形OABC 的边AB 、BC 交于F 、E 两点，且BE=CE ，四边形OEBF 的面积为2 ；求三角形OAF 的面积和k5、如图，双曲线)0(2>=x xy 经过四边形OABC 的顶点A 、C ，∠ABC ＝90°，OC 平分OA 与x 轴正半轴的夹角，AB ∥x 轴，将△ABC 沿AC 翻折后得到△AB ＇C ，B ＇点落在OA 上，则四边形OABC 的面积是 .x。
反比例函数求面积
反比例函数求面积反比例函数是数学中一种常见的函数形式，其表达式为y =k/x，其中k为常数。
反比例函数具有一定的特点，其中最常见的应用就是求解面积相关问题。
在几何学中，很多问题可以通过反比例函数来求解面积，以下将介绍几个常见的例子。
1. 矩形的面积：可以将矩形的长记为x，宽记为y，则矩形的面积为S = xy。
如果已知矩形的面积S和宽y，可以通过反比例函数求解矩形的长x。
我们知道xy = S，对上式两边同时取倒数，得到yx = 1/S，可以看到yx符合反比例函数的形式，因此可以通过反比例函数求解矩形的长。
2. 圆的面积：圆的面积公式为S = πr²，其中r为圆的半径。
如果已知圆的面积S，可以通过反比例函数求解圆的半径r。
我们知道S = πr²，对这个式子两边同时取倒数，得到1/S = 1/(πr²)，可以看到1/S符合反比例函数的形式，因此可以通过反比例函数求解圆的半径。
3. 三角形的面积：三角形的面积公式为S = 1/2bh，其中b为底边的长度，h为高的长度。
如果已知三角形的面积S和底边长度b，可以通过反比例函数求解高h。
我们知道S = 1/2bh，对这个式子两边同时取倒数，得到1/S = 2/bh，可以看到1/S符合反比例函数的形式，因此可以通过反比例函数求解三角形的高。
在实际问题中，反比例函数也有着广泛的应用。
例如，汽车行驶的时间和速度之间就存在着反比例关系。
假设一辆汽车行驶的距离为d，速度为v，行驶的时间为t。
根据定义，速度等于距离除以时间，即v = d/t。
如果我们已知汽车行驶的距离d和行驶的时间t，可以通过反比例函数求解汽车的速度v。
在数学教育中，反比例函数也是一个重要的概念，它可以帮助学生理解函数的性质和图像的变化。
学生可以通过绘制函数图像、计算函数的值等方式来探究反比例函数的特点，并且可以通过实际应用问题来加深对反比例函数的理解。
综上所述，反比例函数是求解面积问题常用的数学工具之一。
万能解题模型(一) 反比例函数中的面积问题
万能解题模型(一) 反比例函数中的面积问题万能解题模型(一)：反比例函数中的面积问题类型1：单支双曲线上一点一垂直形成的三角形的面积设单支双曲线方程为 $y=\frac{k}{x}$，点$A(x_1,y_1)$ 为单支双曲线上的一点，点 $P(x_1,0)$ 为$A$ 点向 $x$ 轴作垂线段的底部交点，则 $\triangle AOP$ 的面积为 $S=\frac{1}{2}x_1y_1$，同时 $\triangle ABC$ 的面积为 $S=\frac{1}{2}x_1\cdot\frac{k}{x_1}=\frac{1}{2}k$，因此$\triangle AOP$ 和 $\triangle ABC$ 面积的比值为$\frac{S_{\triangle AOP}}{S_{\triangleABC}}=\frac{\frac{1}{2}x_1y_1}{\frac{1}{2}k}=\frac{y_1}{k} $，即 $S_{\triangle AOP}=|k|\cdot S_{\triangle ABC}$。
类型2：单支双曲线上一点两垂直形成的矩形面积设单支双曲线方程为 $y=\frac{k}{x}$，点$P(x_1,y_1)$ 为单支双曲线上的一点，$AC$ 和 $DE$ 分别为$P$ 点向 $x$ 轴和 $y$ 轴作垂线段的线段，$B$ 点为 $AC$ 和$DE$ 的交点，则四边形 $PMON$ 的面积为 $S=|x_1y_1|$，同时四边形 $ACDE$ 的面积为$S=\frac{1}{2}|x_1|\cdot|y_1|=\frac{1}{2}S_{\square PMON}$，因此四边形 $PMON$ 和四边形 $ACDE$ 面积的比值为$\frac{S_{\square PMON}}{S_{\squareACDE}}=\frac{2S}{|x_1|\cdot|y_1|}=2|k|$，即 $S_{\square PMON}=|k|\cdot S_{\square ACDE}$。
与反比例函数的图象有关的面积问题
1
解析 由反比例函数的图象关于原点对称的性质
知 : 图中两个阴影部分 面积的和 恰好 是一个 圆的面 积 ,
而已知圆与 x轴相切 , A点纵坐标为 2,即 圆的半径为 2, 所求面积 = 22π = 4π.
例 3 ( 07年荆州 中考 ) 如图 3,边 长为 4 的正 方形
AB CD 的对称中心是坐标原点 O, AB ∥x轴 , BC∥y轴 , 反
足为 C , 过 点 B 作 y 轴 的 垂 线 , 垂 足 为 D. 记 △AOC , △BOD 的面积分别为 S1 和 S2 ,则 S1 和 S2 的大小关系怎 样?
解析 在如图 1 中 ,设点 A ( x1 , y1 ) , B ( x2 , y2 ) ,则
S1
=
1 2
x1 y1 , S2
=
Rt△AOD中 , 因为 ∠AOD = 30°,所 以 , AO = 2 y,根 据勾 股
定理得 :
AO2 = OD2 + AD2 ,即 4 y2 = x2 + y2 ,即 x2 = 3 y2
①
由点
A ( x,
y) 在双曲线
y
=
3 x;
( x > 0 ) 上知 : xy =
3,
于是 x2 y2 =3,
8, 选 D.
图 1 图 2
例 2 (改编题 ) 已知 ,如图 2,正比例函数 y = k1 x与
反比例函数
y=
k2 的图 象相交于 x
A, B 两点
( k1
> 0, k2
>
0) , A点坐标为 ( 4, 2) ,分别以 A、B 为圆心 的圆与 x轴相
切 ,则图中两个阴影部分面积的和为
反比例函数中“K”与面积专题
专题四反比例函数中“K”与面积一:问题背景反比例函数y＝kx中，比例系数k有一个很重要的几何意义，那就是：过反比例函数y＝kx图象上任一点P作x轴、y轴的垂线PM、PN，垂足为M、N（如图1所示），则矩形PMON的面积S=PM·PN=|y|·|x|=|xy|=|k|。
所以，对双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，它们与x轴、y轴所围成的矩形面积为常数|k|,由此基本图形带来的衍生图形也很多，他们与K都有固定的结论。
在解有关反比例函数的问题时，若能灵活运用这些基本图形，会给解题带来很多方便。
二：基本图形S四边形PEOF =|K|S△ABO=|K|S△ABM=|K|S△ABC=2|K|S四边形ABCD=2|K|S△AOC=S四边形ACEF基础题型1、如图,直线y=mx与双曲线y＝kx交于点A,B、过点A作AM⊥x轴,垂足为点M,连接BM.若△ABM的面积为1,则k的值是________2、如图A,B是函数y=的图象上关于O原点对称的任意两点,AC∥Y 轴,BC∥X轴,△ABC的面积记为S,则S=_________3、如图，点A、B是双曲线y=上的点，分别经过A、B两点向X轴、Y轴作垂线段，若S阴影=1，则S1+S2=________4、如图，点A是反比例函数y＝kx图象上的一点，过点A作AB⊥x轴，垂足为点B，点C为y轴上的一点，连接AC，BC.若△ABC的面积为3，则k的值是。
5、如图,点A在函数y=的图象上,点B在函数y＝kx(x﹥0)的图象上,连接AB,AB垂直x轴于点M,且AM︰MB=1︰2,则k=。
6、如图，点A在双曲线y=上，点B在双曲线y=上，且AB∥x 轴，C、D在x轴上，若四边形ABCD为矩形，则S ABCD=。
7、双曲线y1、y2在第一象限的图象如图，y1=，过y1上的任意一点A，作x轴的平行线交y2于B，交y轴于C，若S△AOB=1，则y2的解析式是_____。
专题训练：用反比例函数系数k的几何意义解与面积相关问题(含答案)
专训1 用反比例函数系数k 的几何意义解与面积相关问题名师点金：反比例函数的系数k 具有一定的几何意义，|k |等于反比例函数y ＝kx (k ≠0)图象上任意一点向两坐标轴所作垂线与坐标轴所围成的矩形的面积．在反比例函数的图象中，涉及三角形或矩形的面积时，常用系数k 的几何意义求解．反比例函数的系数k 与面积的关系1．如图，过y 轴上任意一点P ，作x 轴的平行线，分别与反比例函数y ＝－4x 和y ＝2x 的图象交于A 点和B 点，若C 为x 轴上的任意一点，连接AC ，BC ，则△ABC 的面积为( )A ．3B ．4C ．5D ．6(第1题) (第2题) (第3题)2．如图，P 是反比例函数y ＝kx 的图象上一点，过P 点分别向x 轴，y 轴作垂线，所得到的图中阴影部分的面积为6，则这个反比例函数的表达式为( )A ．y ＝－6xB ．y ＝6xC ．y ＝－3xD ．y ＝3x3．【2016·菏泽】如图，△OAC 和△BAD 都是等腰直角三角形，∠ACO ＝∠ADB ＝90°，反比例函数y ＝6x 在第一象限的图象经过点B ，则△OAC 与△BAD 的面积之差S △OAC －S △BAD为( )A ．36B ．12C ．6D ．3(第4题) (第5题) (第6题)4．如图，正比例函数y ＝x 与反比例函数y ＝1x 的图象相交于A ，B 两点，BC ⊥x 轴于点C ，则△ABC 的面积为( )A ．1B ．2C ．3D ．45．如图，函数y ＝－x 与函数y ＝－4x 的图象相交于A ，B 两点，过A ，B 两点分别作y轴的垂线，垂足分别为点C ，D ，则四边形ACBD 的面积为( )A ．2B ．4C ．6D ．86．【2016·本溪】如图，点A ，C 为反比例函数y ＝kx (x ＜0)图象上的点，过点A ，C 分别作AB ⊥x 轴，CD ⊥x 轴，垂足分别为B ，D ，连接OA ，AC ，OC ，线段OC 交AB 于点E ，点E 恰好为OC 的中点，当△AEC 的面积为32时，k 的值为( )A ．4B ．6C ．－4D ．－6已知面积求反比例函数的表达式题型1 已知三角形面积求函数表达式7．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线AB 与x 轴交于点A (－2，0)，与反比例函数在第一象限内的图象交于点B (2，n )，连接BO ，已知S △AOB ＝4.(1)求该反比例函数的表达式和直线AB 对应的函数表达式； (2)若直线AB 与y 轴的交点为C ，求△OCB 的面积．(第7题)题型2 已知四边形面积求函数表达式8．如图，矩形ABOD 的顶点A 是函数y ＝－x －(k ＋1)的图象与函数y ＝kx 在第二象限的图象的交点，AB ⊥x 轴于B ，AD ⊥y 轴于D ，且矩形ABOD 的面积为3.(1)求两函数的表达式；(2)求两函数图象的交点A ，C 的坐标；(3)若点P 是y 轴上一动点，且S △APC ＝5，求点P 的坐标．(第8题)已知反比例函数表达式求图形的面积题型1 利用对称性求面积9．如图，是由四条曲线围成的广告标志，建立平面直角坐标系，双曲线对应的函数表达式分别为y ＝－6x ，y ＝6x ，现用四根钢条固定这四条曲线．这种钢条加工成矩形产品按面积计算，每单位面积25元，请你帮助工人师傅计算一下，所需钢条一共要花多少钱？(第9题)题型2 利用点的坐标及面积公式求面积10．如图，直线y ＝k 1x ＋b 与反比例函数y ＝k 2x (x ＜0)的图象相交于点A ，点B ，与x 轴交于点C ，其中点A 的坐标为(－2，4)，点B 的横坐标为－4.(1)试确定反比例函数的表达式； (2)求△AOC 的面积．(第10题)题型3 利用面积关系求点的坐标11．【2016·兰州】如图，在平面直角坐标系中，OA ⊥OB ，AB ⊥x 轴于点C ，点A (3，1)在反比例函数y ＝kx的图象上．(1)求反比例函数y ＝kx的表达式；(2)在x 轴的负半轴上存在一点P ，使得S △AOP ＝12S △AOB ，求点P 的坐标；(3)若将△BOA 绕点B 按逆时针方向旋转60°得到△BDE ，点A ，O 的对应点分别为点E ，D .直接写出点E 的坐标，并判断点E 是否在该反比例函数的图象上，说明理由．(第11题)参考答案1．A 点拨：设△ABC 的边AB 上的高为h ，则 S △ABC ＝12AB ·h＝12(AP ＋BP )·h ＝12(AP ·h ＋BP ·h ) ＝12(|－4|＋|2|) ＝12×6 ＝3. 故选A . 2．A3．D 点拨：设△OAC 和△BAD 的直角边长分别为a ，b ，可得出B 点坐标为(a ＋b ，a －b )．因为点B 在反比例函数y ＝6x 第一象限的图象上，所以(a ＋b )(a －b )＝a 2－b 2＝6.所以S △AOC －S △BAD ＝12a 2－12b 2＝12(a 2－b 2)＝12×6＝3.故选D .4．A5．D 点拨：由题意，易得出S △ODB ＝S △AOC ＝12×|－4|＝2.易知OC ＝OD ，AC ＝BD ，所以S △AOC ＝S △ODA ＝S △ODB ＝S △OBC ＝2.所以四边形ACBD 的面积为S △AOC ＋S △ODA ＋S △ODB ＋S △OBC ＝8.6．C 点拨：设点C 的坐标为⎝⎛⎭⎫m ，k m ，则点E ⎝⎛⎭⎫12m ，k 2m ，A ⎝⎛⎭⎫12m ，2km ，根据三角形的面积公式可得出S △AEC ＝－38k ＝32，由此即可求出k 值．7．解：(1)如图，过点B 作BD ⊥x 轴，垂足为D . 由题易知OA ＝2，BD ＝n .∴S △AOB ＝12OA ·BD ＝12×2n ＝4.∴n ＝4.∴B 点的坐标为(2，4)．∴反比例函数的表达式为y ＝8x.设直线AB 对应的函数表达式为y ＝kx ＋b ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－2k ＋b ＝0，2k ＋b ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1，b ＝2. ∴直线AB 对应的函数表达式为y ＝x ＋2.(第7题)(2)对于y ＝x ＋2，当x ＝0时，y ＝0＋2＝2，∴C 点的坐标为(0，2)． ∴OC ＝2.∴S △OCB ＝S △AOB －S △AOC ＝4－12×2×2＝2.8．解：(1)由题中图象知k ＜0，由已知条件得|k |＝3，∴k ＝－3. ∴反比例函数的表达式为y ＝－3x ，一次函数的表达式为y ＝－x ＋2. (2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－3x ，y ＝－x ＋2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－1，y 1＝3，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝3，y 2＝－1.∴点A ，C 的坐标分别为(－1，3)，(3，－1)．(3)设点P 的坐标为(0，m )，直线y ＝－x ＋2与y 轴的交点为M ，则点M 的坐标为(0，2)．∵S △APC ＝S △AMP ＋S △CMP ＝12PM (|－1|＋|3|)＝5，∴PM ＝52，即|m －2|＝52.∴m ＝92或m ＝－12.∴点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫0，92或⎝⎛⎭⎫0，－12. 9．解：由反比例函数图象的对称性可知，两条坐标轴将矩形ABCD 分成四个全等的小矩形．因为点A 为y ＝6x 的图象上的一点，所以S 矩形AEOH ＝6.所以S 矩形ABCD ＝4×6＝24.所以总费用为25×24＝600(元)．所以所需钢条一共要花600元．10．解：(1)∵点A (－2，4)在反比例函数y ＝k 2x 的图象上，∴k 2＝－8.∴反比例函数的表达式为y ＝－8x.(2)∵点B 的横坐标为－4，且点B 在反比例函数y ＝－8x 的图象上，∴其纵坐标为2.∴点B 的坐标为(－4，2)．∵点A (－2，4)，B (－4，2)在直线y ＝k 1x ＋b 上，∴⎩⎪⎨⎪⎧4＝－2k 1＋b ，2＝－4k 1＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k 1＝1，b ＝6.∴直线AB 对应的函数表达式为y ＝x ＋6.当y ＝0时，x ＝－6. ∴点C 的坐标为(－6，0)． ∴S △AOC ＝12×6×4＝12.11．解：(1)∵点A (3，1)在反比例函数y ＝kx 的图象上，∴k ＝3×1＝ 3.∴反比例函数的表达式为y ＝3x. (2)∵A (3，1)，AB ⊥x 轴于点C ， ∴OC ＝3，AC ＝1.由题意易得△AOC ∽△OBC ， ∴OC BC ＝AC OC. ∴BC ＝OC 2AC＝3.∴B 点坐标为(3，－3)． ∴S △AOB ＝12×3×(1＋3)＝2 3.∴S △AOP ＝12S △AOB ＝ 3.设点P 的坐标为(m ，0)， ∴12×|m |×1＝ 3. ∴|m |＝2 3.∵P 是x 轴的负半轴上的点， ∴m ＝－2 3.∴点P 的坐标为(－23，0)． (3)点E 的坐标为(－3，－1)．点E 在该反比例函数的图象上，理由如下： ∵－3×(－1)＝3＝k ，∴点E在该反比例函数的图象上．。
八下第6章反比例函数专题十三与反比例函数有关的面积问题习题新版浙教版
【点拨】 如图，设 OE·BE＝a①，OE·AE＝－b②， ①＋②，得 OE·BE＋OE·AE＝a－b， 即 a－b＝4OE. 同理可得 a－b＝3OF， ∴4OE＝3OF，∴OE：OF＝3：4. 又∵OF－OE＝12，∴OE＝32，OF＝2，∴a－b＝6.
【方法点拨】 根据反比例函数系数k与几何图形的面积的关系得到
|k|的值，再根据函数图象所在的象限确定k的正负．
【变式2－1】 如图，直线 y＝mx 与双曲线 y＝kx交于点 A，B.过点 A 作 AM⊥x 轴，垂足为 M，连结 BM.若 S△ABM＝2，则 k 的值 是____2____．
【点拨】 ∵直线 y＝mx 与双曲线 y＝kx交于点 A，B， ∴点 A 与点 B 关于原点成中心对称， ∴OA＝OB, ∴S△AMO＝ S△BMO＝12S△ABM＝12×2＝1， 即12k＝1，∴k＝2. 又∵反比例函数的图象在第一、三象限，∴k＝2.
x 轴和 y 轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是 定值|k|.
【变式1－1】 【2022·杭州】如图，在函数 y＝2x(x>0)的图象上任取一 点 A，过点 A 作 y 轴的垂线交函数 y＝－8x(x<0)的图象于 点 B，连结 OA，OB，则△AOB 的面积是( B )
A．3
B．5
C．6
D．10
与反比例函数有关的
专题十三
面积问题
【类型1】利用比例系数k的几何意义求面积
母题1 如图，若点 A 是反比例函数 y＝2x(x>0)的图象上一点，过 点 A 作 x 轴的垂线交 x 轴于点 B，点 C 是 y 轴上任意一点，
则△ABC 的面积为( A )
A．1
B．2
C．3
D．4
与反比例函数的图象有关的面积问题
方形 、 圆等 几何 图形 的面积相关 的综 合性 问题 ， 为一 作 种新颖 的试题 ， 中考或 数学 竞赛试 卷 中频频 出现 ， 在 这 类 问题将 函数知识与平面几何 知识有 机地融合 在一起 ， 要求解题者不仅掌握反 比例 函数的 图象和性质 ， 而且要 熟悉平面几何 图形 的性质 ， 因而这类试题 倍受命题 者和
样？
的面积之 和就是 正方形 Ａ ｃ Ｄ的面积 的一半 ： １× 。 ４：
８ 选 Ｄ． ，
‘ ＹＩ
解析
５。：—
１
在如图 １中 ， 设点 Ａ ， ） Ｂ ， ， （ 。Ｙ ， （ Ｙ） 则
． ， ＝ Ｙ。 Ｓ １
１
。： 而点 Ａ， ）， ， Ｂ都在 反 比例 函数
例 ４ （自编题 ） 如图 ４所示 ， 在直角坐标 系中， 正方
匿
Ｏ Ｄ Ｃ
形 ＯＢ Ａ Ｃ的顶点 Ａ恰 好落在 双 曲线 ｙ＝ （ ０ 上 ， ＞ ） 此
ｌ
图２
时 ， Ａ ｘ： ０ ． ／ Ｏ ３ 。求正方形 Ｏ Ｂ ＿ Ａ Ｃ的面积． 解析 欲求正方形 Ｏ Ｂ Ａ Ｃ的面积 ， 需要 求 出正方 形
１Ｉ ＼
＿
—
： ＼
曰
’
＝ ，
（＞ ） ｃ ０ 的图象上 ， 以， ２ ，２２ ｃ 所 以 所 Ｙ ＝ ｃＸＹ ＝２ ，
、 ０ Ｊ
．
Ｓ ｌ＝Ｓ ． ２
Ｄ
ｌ ＼
：
Ｊ／
Ｌ Ｙ
Ｄ
＿
Ｄ
ｊ
ｌ
Ｄ
＝
图３
图４
ｌ 一 ． Nhomakorabea即 ４ ＋＿ ， ｙ＝ ｙ 即 ＝３ ｙ
反比例函数面积问题
反比例函数面积问题
反比例函数面积问题通常是指与反比例函数相关的图形面积的计算
问题。
例如，给定反比例函数y=k/x的图像与坐标轴所围成的区域，要求该区域的面积。
解决这类问题通常需要应用积分学知识，因为反比例函数的图像通常是一个双曲线，与坐标轴围成的区域是一个不规则图形。
通过积分，我们可以求出这个不规则图形的面积。
具体地，如果要求反比例函数y=k/x在第一象限内与x轴、y轴所围成的区域面积，可以先求出该函数在第一象限内的图像与x轴之间的面积，然后再乘以2（因为反比例函数在第一、三象限内是对称的）。
这个面积可以通过定积分来计算，积分区间是从0到正无穷大，被积函数是y=k/x。
需要注意的是，由于反比例函数的图像在x轴和y轴上都趋于无穷大，
因此所求得的面积也是无穷大的。
但是，在某些特定情况下，例如给定一个特定的矩形区域，我们可以通过计算该矩形区域内反比例函数图像的面积来得到一个有限的数值。
总之，反比例函数面积问题需要根据具体情况进行具体分析，通常需要应用积分学知识和几何知识来解决。
以上是对于反比例函数面积问题5的回答，希望对你有所帮助。
反比例函数专题一、k的几何意义解与面积相关问题
∴点A，C的坐标分别为(－1，3)，(3，－1)．
专题训练
(3)若点P是y轴上一动点，且S△APC＝5，求点P的坐标． 解：设点P的坐标为(0，m)，直线y＝－x＋2与y轴的交点
为M，则M的坐标为(0，2)．
∵S△APC＝S△AMP＋S△CMP＝
1 2
×PM×(|－1|＋|3|)＝5，
∴PM＝ 5 ，即|m－2|＝ 5 .∴m＝ 9 或m＝－ 1 .
解：
由
ìïïïíïïïî
y y
= =
- x+ 6， x
7,
得
祆 镲 镲 眄 镲 镲 铑xy11
= =
1, x2 6，y2
= =
6, 1.
∴点D的坐标为(6，1)．
当x＝2时，反比例函数图象上的点为(2，3)，
直线上的点为(2，5)，此时可得整点为(2，4)；
当x＝3时，反比例函数图象上的点为(3，2)，
a 的图象上， x
∴a＝3×2＝6，∴反比例函数的表达式为y＝
6
.
x
∵B(3，2)，∴EF＝2.∵BD⊥y轴，OC＝CA，
∴AE＝EF＝ 1 AF，∴AF＝4，∴点A的纵坐标为4.
2 ∵点A在反比例函数y＝
6 的图象上，
∴点将AA的( 横3 坐, 4标)，为B(332，，2∴)的xA坐( 32标,代4)入. y＝kx＋b，得
专题训练
题型2 利用对称性求面积 7．如图是由四条曲线围成的广告标志，建立平面直角坐
标＝系6x ，.现双用曲四线根对钢应条的固函定数这解四析条式曲分线别，为这y＝种－钢条6x ，加y工 成矩形产品按面积计算，每单位面积25元，请你帮助 工人师傅计算一下，所需钢条一共花多少钱？
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练习5.如图, A,B是函数y 1 的图 像上关于原点O对称 x
的任意两点 AC平行y轴 , B C平行x 轴 ,ΔΔAB C
面积为 S,则___. C
y
A.S = 1 C.S = 2
B.1<S<2 D.S>2
解:由上述性质(3)可知, S△ABC = 2|k| = 2
A
o
x
B
C
练习6 .(武汉市2 0
(3)设P(m, n)关于原点的对称点是 P(m,n),过P作x轴的垂线 与过P作y轴的垂线交于 A点,则
SΔ
P
AP
1 2
|
APAP|
1 2
|
2
m|
|
2
n|
2
|
k
|
(如图所示).
面积性质（三）
y
o
P/
P(m,n)
x
A
y
o
P/
P(m,n)
x
y
o
P/P(m,n)x来自以上几点揭示了双曲线上的点构成的几 何图形的一类性质.掌握好这些性质,对 解题十分有益.(上面图仅以P点在第一象 限为例).
图 26-3 解析：由k的几何意义知，S1＋S阴影＝3，所以S1＝3－1＝2. 同理，得S2＝2.
练【例习24】 如图 26-1，点 A 在双曲线 y＝1x上，点 B 在双曲
线 y＝3x上，且 AB∥x 轴，C，D 在 x 轴上，若四边形 ABCD 的 面积为矩形，则它的面积为________．
图 26-1 解析：延长 BA 与 y 轴相交于点E，则矩形OCBE 的面积为 3，同理矩形 ODAE 的面积为 1，所以矩形 ABCD 的面积为2. 答案：2
(1)过P作x轴的垂线,垂足为A,则 面积性质
SOAP
1 2
OA
AP
1 2
|
m
|
•
|
n
|
1 2
|
k
|
（一）
y y
P(m,n)
oA
x
P(m,n)
oA
x
想一想
若将此题改为过P点 作y轴的垂线段,其结
论成立吗?
y
P(m,n) oA x
y A P(m,n)
o
x
SOAP
1 2
OA
AP
1 2
|
m
|
•
|
n
|
1 2
|
k
|
试一试
练习1.如图,点P是反比例函数 y 图k象上的
x
一点,PD⊥x轴于D.则△POD的面积为2，则
k= 4 .
y
P (m,n)
oD
x
探究1：反比例函数与矩形的面积
例2.如图, P是反比例函数 y 6 图像上的 x
一点,由P分别向x轴, y轴引垂线,阴影
部分面积为_____________ .
A
C. S3 < S1 < S2 D. S1 > S2 >S3
解:由性质(1)得
S1
B C
S2 S3
o A1 B1 C1
x
S AOA1
1 2
|
k
|
1 2 , SBOB1
1 2
|k
|
1, 2
S OOC1
1 2
|
k
|
1 2
,即S1
S2
S3 , 故选A.
交点问题：
• 1、与坐标轴的交点问题： 无限趋近于x、y轴， 与x、y轴无交点。 • 2、与正比例函数的交点问题： 可以利用反比例函数的中心对称性。 • 3、与一次函数的交点问题： 列方程组，求公共解，即交点坐标。
y
PC
A ox
(2)过P分别作x轴, y轴的垂线,垂足分别为A, B,
则S OA AP | m | • | n || k | (如图所示). 矩形OAPB
面积性质（二）
y
y
B
P(m,n)
oA
x
B
P(m,n)
oA
x
练习2.如图, P是反比例函数 y k 图像上的一点,由P分别 x
向x轴, y轴引垂线,阴影部分面积为3,则这个反比例
函数的解析式是 ____.
解:由性质(2)可得 S矩形APCO | k |,| k | 3.
又 图像在二 ,四象限,
k 3
y
P
C
解析式为y 3 . x
A ox
练习43．如图 26-3，点 A，B 是双曲线 y＝3x上的点，分别经过 A、
B两点向x轴、y轴作垂线段，若S阴影＝1，则S1＋S2＝___4__.
由上述性质1可知选C
练习7.如图,在y 1 (x 0)的图像上有三点A, B,C, x
经过三点分别向x轴引垂线,交x轴于A1, B1,C1三点,
边结OA, OB,OC, 记OAA1, OBB1, OCC1的
面积分别为S1, S2 , S3,则有 _A_ .
y
A.S1 = S2 = S3
B. S1 < S2 < S3
y
求 : (1)一次函数的解析式;
A
(2)AOB的面积.
O
x
B
3．如图所示，已知直线y1=x+m与x轴、
y•轴分别交于点A、B，与双曲线y2=
k x
（k<0）分别交于点C、D，且C点坐标
为（-1，2）．
（1）分别求直线AB与双曲线的解析式； （2）求出点D的坐标；
(3）利用图象直接写出当x在 什么范围内取何值时，y1>y2 ．
例3.已知如图,反比例函数y 8 与一次函数y x 2的图像 x
交于A, B两点.求(1)A, B两点的坐标;(2)AOB的面积.
解
:
(1)
y
8 x
,
y x 2.
解得xy
4,2;或xy
2, 4.
y A
N M
O
x
B
A(2,4), B(4,2).
1.
如图: RtABO的顶点A是双曲线y k 与直线y －x (k 1)
如图:A、C是函数
0y0年1x )
的图象上任意两点，
过A作作轴的垂 线, 垂足为B.过C作作轴的垂线,
垂足为D.记RtΔAOB的面积为 S1 , y
RtΔOC D的面积为 S2 , 则_ _C_ .
A.S1>S2 B.S1<S2
o S1 A
C.S1 = S2
S2
B
x
D.S1和S2的大小关系不能确定. C D
总结提高 一个性质：反比例函数的面积不变性
两种思想：分类讨论和数形结合
x
在第二象限的交点,
AB
x轴于点B, 且SABO
3 2
,
(1)求这两个函数的解析式;
(2)求直线与双曲线的两个交点A, C的坐标和A OC的面积.
y A
D
BO
x
C
2. 如图,已知一次函数y kx b的图象与反比例函数
y 8 的图象交于A, B两点,且点A的横坐标和点B x
的纵坐标都是 2.
探究1：反比例函数与三角形的面积
•
例1.
如图，点A在反比例函数
y8 x
图象
上，AB垂直于x轴，垂足为B.求⊿OAB的
面积。
y
解：设A点坐标为（x，y），
∵点A在
y
8 x
图象上
A
∴xy=-8，︱xy︱=8
B ox
∴
1
1
1
SAOB
OB 2
AB
2
|
x ||
y
|
2
xy
4
设P(m, n)是双曲线y k (k 0)上任意一点,有 : x