有理函数的积分
4.1.4有理函数的积分
( x 2 + px + q ) n
前面三种积分已在例题中介绍了它们的解法， 前面三种积分已在例题中介绍了它们的解法，最后 已在例题中介绍了它们的解法
一种积分方法较繁，可查阅积分表中的公式. 一种积分方法较繁，可查阅积分表中的公式. 中的公式
dx
1 2x + 2 1 dx + ∫ dx = ∫ 2 x2 + 2x + 2 x2 + 2x + 2
1 d( x 2 + 2 x + 2) d ( x + 1) = ∫ +∫ 2 2 x + 2x + 2 ( x + 1) 2 + 1 2
1 = ln x 2 + 2 x + 2 + arctan( x + 1) + C . 2
二、三角函数有理式的积分
1．三角函数有理式
由常数和三角函数经过有限次四则运算所得到的函数
称为三角函数有理式， 表示. 称为三角函数有理式，可用 R(sin x , cosx ) 表示. 三角函数有理式
2．半角代换法
2 R(sinxx= t cos则 dx 可用半角代换法化为有理函数的积分. , ， x ) x =可用半角代换法化为有理函数的积分. 2arctant ， dx = dt ， 令 tan
(t + 1)2 t 2 + 2t + 1 令 x − 1 = t, dx = d t dx ②∫ ∫ t 20 dt = ∫ t 20 dt ( x − 1)20
x2
t −17 t −18 t −19 − − +C = ∫ (t −18 + 2t −19 + t −20 )dt = − 17 9 19 1 1 1 =− − − +C . 17 18 19 17( x −1) 9( x −1) 19( x −1)
44有理函数的积分知识讲解
44有理函数的积分知识讲解有理函数意为有理数的函数，即可以表示为$p(x)/q(x)$的函数，其中$p(x)$和$q(x)$均为多项式函数。
有理函数积分是指对有理函数进行积分运算，是高等数学中一个非常重要的内容。
下面将介绍有理函数积分的知识。
一、分式分解要求有理函数的积分，首先要进行分式分解。
分式分解是将一个有理函数分解成多个个简单的有理函数的和的过程，即对于一个形如$p(x)/q(x)$的有理函数进行分解，使得分解式的分母均为一次多项式或既约二次多项式。
分式分解的基本方法是：用二次多项式的因式作分子的一次式，二次多项式必须既约，即无重根。
若$q(x)$的某个根是$k$，则$(x-k)$是$q(x)$的因式；若二次多项式$(x^2+px+q)$有两个不同实根$x_1,x_2$，则分式分解式可写成两个部分的和形式，即分子为$k_1/(x-x_1)$，分母为$(x-x_1)$，分子为$k_2/(x-x_2)$，分母为$(x-x_2)$。
二、基本积分公式有理函数的积分可以根据基本积分公式进行求解。
常用的基本积分公式有以下几种：1. $\int \frac{1}{x} dx = \ln |x| + C$2. $\int \frac{1}{x^2+a^2} dx=\frac{1}{a}\arctan(\frac{x}{a})+C$三、换元积分法针对部分比较复杂的有理函数，可以采用换元积分法进行求解。
具体方法是：先将分式分解为几个部分，其中一个部分是含有根式的二次函数，用$t=\sqrt{x^2+a^2}$进行代换，然后进行简化，并根据基本积分公式计算积分。
四、分步积分法对于含有较多项的有理函数，可以采用分步积分法进行求解。
具体方法是：将原式中的有理函数分解为两个有理函数的和，其中一个有理函数是原式的导数的因式，另一个有理函数则是原式的乘积。
然后，用分部积分法求解原式的积分。
总之，有理函数积分是高等数学中的一个非常重要的内容，可以通过分式分解、基本积分公式、换元积分法和分步积分法进行求解。
高数讲义第四节有理函数的积分全
例9
求积分
1
x
1 xdx x
解 令 1 x t 1 x t2,
x
x
x
t
1 2
, 1
dx
2tdt t2 1
2,
例9
求积分
1
x
1 xdx x
解
令 1 x t x
x
xt2211a12,dxdx
1
2a
ln
x2tdat tx2 a1
2
C,
1 x
1
x
xdx
t
2
1t
t
2
2t
12
dt
2
x
2)
1
A 2x
Bx 1
C x2
解：令：
x
1 (1
x)
2
A x
B 1 x
C (1 x)
2
1 A(1 x)2 B x(1 x) C x
取 x1, 得 C 1; 取 x0, 得 A1;
再取 x 2 , 得 1 (1 2)2 B2(1 2) 2 , B 1 ;
1 x (1 x) 2
t
3
1 t 1
1dt
6
(t
2
t
1
t
1
)dt 1
2t 3 3t 2 6t 6 ln | t 1 | C
2 x 1 33 x 1 36 x 1 6 ln(6 x 1 1) C.
说明 无理函数去根号时, 取根指数的最小公倍数.
例11 求积分
x 3x 1
dx. 2x 1
解 先对分母进行有理化
f (x) 为真分式 , 当 m n 时
f (x) 为假分式
简单有理函数的积分
简单有理函数的积分
有理函数积分拆项原则求abc：通分，x^2+1=a（x-1）（x+3）+b（x+3）+c（x-1）^2，代入x＝1求得b，代入x＝-3求得c，再随便代入一个其它数字，求得a。
有理函数是通过多项式的加减乘除得到的函数。
在数学中，理性函数就是可以由有理分数定义的任何函数，即为代数分数，使分子和
分母都就是多项式。
多项式的系数不须要就是有理数，它们可以在任何字段k中展开。
变量的情况可以在涵盖k的任何字段l中展开。
函数的域就是变量，分母不为零，代码区
为l。
代数几何定义编辑语音
设v为不容向量丛簇，座标环k[v]为整环，故存有商域k（v），称作v的函数域，
其元为v上的一个有理函数。
一个有理函数h可以写成如下形式：h=f/g，这里f和g都是多项式函数。
有理函数
是特殊的亚纯函数，它的零点和极点个数有限。
有理函数的积分
1.有理函数的积分有理函数是指由两个多项式函数的商所表示的函数，一般形式为其中都是常数，为非负整数。
我们只需考虑真分式的积分，先来考虑两种特殊类型：（Ⅰ）这种类型是容易积出来的，（Ⅱ）作适当换元（令）,可化为上式右端第一个不定积分可用凑微分法积出来为：对第二个不定积分，记用分部积分法可导出递推公式：整理得重复使用递推公式，最终归结为计算而可积出来为这样就可完成对不定积分（Ⅱ）的计算。
对任一个有理函数而言，均可写成一个多项式与一个有理真分式的和，而多项式的积分问题已经解决，下面主要考虑有理真分式(不妨设)的积分问题。
为叙述简便，不妨设．其方法是将化成许多简单分式（即类型（Ⅰ）、（Ⅱ））的代数和然后逐项积分。
由于类型（Ⅰ）、（Ⅱ）总是可“积出来”的，从面有理函数总是可以“积出来”。
下面简述分解有理真分式（）的步骤：第一步按代数学的结论，将分母分解成实系数的一次因式与二次因式的乘幂之积。
其中均为自然数。
第二步根据因式分解结构，写出的部分分式的待定形式：对于每个形如的因式，所对应的部分分式为对于每个形如的因式，所对应的部分分式为把各个因式所对应的部分分式加起来，就完成了对的部分分式分解。
第三步确定待定系数：通分后比较分子上的多次式的系数，得待定系数的线性方程组，由此解得待定系数的值。
例8.13 求2.三角函数有理式和积分由及常数经过有限次四则运算所得的函数称为关于的有理式（或三角函数有理式）。
用表示对于这种函数的不定积分我们总可通过代换，化为以为变量的有理函数的积分。
理由是，，，又，故从而上面的讨论说明：三角函数有理式也总是可以“积出来”的，但对具体问题而言，用上述方法往往计算量太大，因此，有时要考虑用其它简便方法。
（1）如果是的奇函数时，即则设即可。
例如求（1）；（2）．（2）如果是的奇函数时，即则设即可。
例如求．（3）如果是关于与的偶函数时，即则设即可。
例如求（1）；（2）．（4）请研究被积函数为（为自然数）时的情况。
有理函数积分法(3)
2
2
( x2 px q)n
dx
类型4
A
2
(x2
2x px
p
q)n dx
(B
p 2
A)
1 ( x2 px q)n dx
A
2
(x2
1 px
q)n d ( x 2
px
q)
(B
p 2
A)
1 ( x2 px q)n dx
A 1 2 1n
(x2
1 px q)n1
(B p A) 2
arctan
x
2 x (1 x2 )2 dx
arctanx
1 2x 2
2 (1 x2 )2
dx
arctanx 1 2
2x (1 x2 )2 dx
2 (1 x 2 )2 dx
arctanx
1 2
1
1 x2
2
1 (1 x 2 )2 dx
15
1 x x2 ( x2 1)2
13
例4
求
1
3
x x
3
dx.
解
1
3
x x
3
dx
(
1
1
x
1
x1 x x2
)dx
1
3
ln1
x
1
x1 x x
2
dx
ln1
x
(2x 1) 2 1 x x2 2dx
ln1
x
1 2
1
2x x
1 x2 dx
3 2
1
1 x
x2 dx
ln 1 x 1 ln1 x x2 3
( x 1)( x 2)2
经济数学微积分有理函数的积分
例6 求积分
x 6
1 1 e e e
x 2 x 3 x 6
dx .
解
1 e e e
6 令 t e x 6 ln t , dx d t , t 1 1 6 dx dt x x x 3 2 1 t t t t 3 6 2
1 6 3 3 t 3 6 d t dt 2 2 t (1 t )(1 t ) t 1 t 1 t
1 dx . 例5 求积分 2 (1 2 x )(1 x )
4 2 1 x 1 5 dx 5 5 dx d x 解 2 1 2x 1 x2 (1 2 x )(1 x )
2 1 2x 1 1 ln(1 2 x ) dx dx 2 2 5 5 1 x 5 1 x 2 1 1 2 ln(1 2 x ) ln(1 x ) arctan x C . 5 5 5
可用递推法求出
※二、待定系数法举例
有理函数化为部分分式之和的一般规律： k （1）分母中若有因式 ( x a ) ，则分解后为
A1 A2 Ak , k k 1 ( x a) ( x a) xa
其中 A1 , A2 , , Ak 都是常数.
A ; 特殊地： k 1, 分解后为 xa
第四节 有理函数的积分
一、六个基本积分 二、待定系数法举例
三、小结
一、六个基本积分
定义 有理函数的定义：
n n 1
两个多项式的商表示的函数称之为有理函数.
P ( x ) a0 x a1 x an1 x an m m 1 Q( x ) b0 x b1 x bm 1 x bm
《有理函数积分》课件
有理函数的分类
总结词
根据分母中变量的最高次幂的次数，可以将有理函数分为一次、二次、三次等有理函数 。
详细描述
根据分母中变量的最高次幂的次数，可以将有理函数分为一次、二次、三次等有理函数 。例如，形如 f(x)=p(x)/x 的函数被称为一次有理函数，形如 f(x)=p(x)/(x^2+1) 的函 数被称为二次有理函数，以此类推。不同次数的有理函数具有不同的性质和积分方法。
舍入误差
在将数值近似为有限小数时，舍入误差是不可避免的。因 此，在处理实际问题时，需要注意舍入误差对结果的影响 。
初始条件和边界条件的影响
在求解微分方程时，初始条件和边界条件可能会影响积分 的结果。因此，在处理实际问题时，需要注意初始条件和 边界条件对结果的影响。
THANK YOU
信号处理
在信号处理中，有理函数积分用于描述信号的频 谱和滤波器的传递函数，如低通滤波器、高通滤 波器等。
材料力学
在材料力学中，有理函数积分用于描述材料的应 力-应变关系，从而为材料性能分析和优化提供 依据。
04
有理函数积分的注意 事项
积分公式的应用范围
确定被积函数的定义域
在应用积分公式之前，需要先确定被积函数的定义域，以避免出现 无意义或错误的积分结果。
02
有理函数的积分方法
部分分式积分法
总结词
将有理函数表示为部分分式的积分方法，适用于 有理函数积分问题。
适用范围
适用于有理函数积分问题，特别是当分母为多项 式时，应用更加广泛。
详细描述
部分分式积分法是一种将有理函数表示为部分分 式的积分方法，通过将有理函数分解为多项式和 简单函数的商，将积分问题转化为多项式和简单 函数的积分问题，从而简化计算过程。
4-6 有理函数的积分
2t dt 原式 (t 1) t 2 2 (t 1) 2 2t 2 2 dt (2 2 ) dt t 1 t 1 1 1 (2 ) dt 2t ln | t 1| ln | t 1| C t 1 t 1
x x 1 2 x x 1 1 1 arctan C ln 1 2 2 2 22 2 xx 2
1
15
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铃
dx 思考题 求不定积分 4 . x 1
常规方法步骤: 此解法较繁! 1、分解分母 2、化为部分分式 . 即令
比较系数定 A , B , C , D :
有理函数的积分
一、有理函数的积分 二、一类无理函数的积分
1
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铃
一、 有理函数的积分
•有理函数
P( x) R( x) Q( x)
a0 x n a1x n1 an
为真分式.
m n 时,
有理函数
为假分式; m n 时,
相除
多项式 + 真分式
1 x3 x 1 例 x 2 2 x 1 x 1
化为有理函数的积分.
n n ax b R ( x , ax b ) d x , t 令
a x b n R ( x , c x d ) dx ,
令t
n a x b c xd
11
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铃
dx . 例4 求 3 1 x 2
解 令 u 3 x2 , 则
.
3
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简单有理分式函数的积分
一、有理函数的积分
有理函数是指有理式所表示的函数，它包括有理整式和 有理分式两类：
有理整式 f(x)=a0xn+a1xn－1+…+an－1x+an;
有理分式
其中m，n都是非负整数，a0,a1,…,an及b0,b1,…,bn都是 实数，并且a0≠0,b0≠0.
一、有理函数的积分
1=A(1+x2)+(Bx+C)(1+x)，
一、有理函数的积分
整理得 1=(A+B)x2+(B+C)x+A+C.（4-19）
比较式（4-19）两端x的同次幂的系数及常数，有
一、有理函数的积分
3. 有理函数积分举例 【例1】
去分母,得 2x3+x－1=(Ax+B)(x2+1)+(Cx+D) =Ax3+Bx2+(A+C)x+(B+D),
三、积分表的使用
同时还应了解，求函数的不定积分与求函数的导数的 区别.求一个函数的导数总可以循着一定的规则和方法去做， 而求一个函数的不定积分却没有统一的规则可循，需要具 体问题具体分析，灵活应用各类积分方法和技巧.
实际应用中常常利用积分表来计算不定积分.求不定积 分时可按被积函数的类型从表中查到相应的公式，或经过 少量的运算和代换将被积函数化成表中已有公式的形式.
二、可化为有理函数的积分
二、可化为有理函数的积分
二、可化为有理函数的积分
【例3】
二、可化为有理函数的积分
【例4】
二、可化为有理函数的积分
二、可化为有理函数的积分
2. 简单无理函数的积分
高等数学有理函数的积分
1 sin x sin x(1 cos
x)
dx
(1
2u 1 u
2
)
2u 1 u
2
(1
1 1
u2 u2
)
2 1 u
2
du
1 2
(u
2
1 u
)du
1 2
(u2 2
2u
ln
|u
|)
C
1 tan 2 x tan x 1 ln |tan x |C .
4 2 22
2
令 u tan x , 2
则
s in
. 有理函数 相除 多项式 + 真分式
分解
其中部分分式的形式为
若干部分分式之和
(
x
A a)k
;
MxN (x2 p x q)k
( k N , p2 4q 0)
四种典型部分分式的积分:
1.
x
A
a
dx
A ln
xa
C
2.
(
x
A a)n
dx
1
A n
(x
a)1n
C
(n 1)
3.
x
Mx 2 px
例例5 求
x 1 dx . x
解解 设 x 1 u , 即 x u 2 1 , 则
x 1 x
dx
u
u 2 1
2udu
2
u
u
2
2
du 1
2
(1
1
1 u
2
)du
2(u
ar
c
tan
u
)
C
2( x 1 arctan x 1) C .
几种特殊函数的积分
p p x px q x q , 2 4 p 令 x t 2
记 x 2 px q t 2 a 2 ,
则
Mx N Mt b,
p2 2 a q , 4
Mp b N , 2
Mx N 2 dx n ( x px q ) Mt b 2 dt 2 dt 2 n 2 n (t a ) (t a )
真分式化为部分分式之和的待定系数法
x3 x3 A B 例1 2 , x 5 x 6 ( x 2)( x 3) x 2 x 3
x 3 A( x 3) B( x 2), x 3 ( A B ) x ( 3 A 2 B ),
1 dx . 例4 求积分 2 x( x 1) 1 1 1 1 dx 解 2 2 dx x ( x 1) x ( x 1) x 1 1 1 1 dx dx dx 2 x ( x 1) x 1
1 ln x ln x 1 C. x 1
三、简单无理函数的积分
ax b 讨论类型 R( x, ax b ), R( x , ), cx e
n
n
解决方法 作代换去掉根号.
1 1 x 例10 求积分 dx x x
解
1 x 2 1 x 令 t t , x x
1 sin x dx. 例9 求积分 sin 3 x sin x A B A B 解 sin A sin B 2 sin cos 2 2 1 sin x 1 sin x sin 3 x sin x dx 2 sin 2 x cos x dx 1 sin x dx 2 4 sin x cos x 1 1 1 1 dx dx 2 2 4 sin x cos x 4 cos x
有理函数的积分
2
1 u2
2
dx
du,
1 u2
1 sin 4
x
dx
1
3u2
3u4 8u4
u6 du
1 8
1 3u3
3 u
3u
u3 3
C
1 24 tan
x 2
3
3 8 tan
x 2
3 tan 8
x 2
214
tan
x 2
3
C.
或
1
1
sin4 x dx sin2 x sin2 x dx
csc2 x(1 cot2 x)dx
x3 5x
6
dx.
解 x3 x3 A B , x2 5x 6 ( x 2)(x 3) x 2 x 3
x 3 A( x 3) B( x 2),
x 3 ( A B)x (3A 2B).
因此
A B 1, (3A 2B) 3,
解得
A 5, B 6.
1 A( x 1)2 Bx Cx( x 1).
(1)
代入特殊值来确定系数 A, B,C.
取 x 0 得 A 1, 取 x 1, 得 B 1.
取 x 2 ,并将 A, B的值代入 (1), 得 C 1 1 1 1 1 .
x( x 1)2 x ( x 1)2 x 1
1 x(x
解
2u
sin x
,
1 u2
cos x 1 u2 , 1 u2
2
dx
du,
1 u2
2u
sin x
dx
1 sin x cos x
1
1 u2
2u 1 u2
1 1
u2 u2
几种特殊函数的积分
du
3
(u2 1) 1 u
1
du
3
u
1
u
1
1
du
3 u2 u ln1 u C
2
3 3 ( x 2)2 33 x 2 3ln1 3 x 2 C. 2
例10
求积分
1 x
1 x dx. x
解 令 t 1 x x 1 dx 2tdt .
x
t2 1
(t 2 1)2
5
55
1
4 2x1 5 5 5.
(1 2x)(1 x2 ) 1 2x 1 x2
例4
求积分
x(
1 x
1)2
dx.
解
1 x(x
1)2
dx
1 x
(x
1 1)2
x
1
1
dx
1 x
dx
(
x
1
1)2
dx
x
1
1
dx
ln x 1 ln( x 1) C. x 1
例5
求积分
1 (1 2x)(1
都是常数其中2分母中若有因式其中真分式化为部分分式之和的待定系数法cxbx的值代入并将求积分dx求积分dx说明将有理函数化为部分分式之和后只出现三类情况
第四节 几种特殊函数的积分
一、有理函数的积分 二、三角函数有理式的积分 三、简单无理函数的积分
一、有理函数的积分
有理函数的定义：
两个多项式的商表示的函数称为有理函数.
例2
1 x( x 1)2
A B x ( x 1)2
C, x 1
1 A( x 1)2 Bx Cx( x 1)
(1)
代入特殊值来确定系数 A, B,C 取 x 0 A1 取 x 1 B1 取 x 2 ,并将 A, B 的值代入(1), C 1
几种特殊类型函数的积分
2
．
解 设 3 x 2 u ．于是xu22，dx3u2d u ，从而
1
dx 3x
2
1
1 u
·3u2d u
3
u2 1
1du u
3 (u
1 1 )du 1 u
3(
u2 2
uln|1u|)C
3 3 (x 2)2 33 x 2 ln |1 3 x 2 | +C． 2
练习
求积分：
(1)
2
dx cos
an bm
其中m和n都 是非负整数；a0 ，a1 ，a2 ，… ，an 及b0 ，b1 ，b2
，… ，bm都是实数，并且a00，b00．当n<m时，称这有理函数
是真分式；而当nm时，称这有理函数是假分式．假分式总可以
化成一个多项式与一个真分式之和的形式．例如
x3 x 1 x2 1
x
1 x2 1
．
例2 求
x
2
x
2 2x
3
dx
．
解
x2
x
2
2 x
3
dx
(1 2
x
2x 2 2 2x
3
3
x
2
1 2
x
)dx 3
1 2
x
2x 2 2 2x
dx 3
3
x
2
1 2
x
dx 3
1 2
d (x2 2x 3) x2 2x 3
3
d (x 1) (x 1)2 ( 2)2
1 ln(x2 2x 3) 3 arctan x 1 C ．
2
dx.
解
x2
3x 1 3x
4-4第四节 有理函数的积分
高 等 数 学 电 子 教 案
数的导数灵活得多,一个积分可以用多种方法计算,并且 积分结果在形式上也可能不一样,在具体计算时,应尽可 能选择简单的积分法. 例9 求 从上面的不定积分看出,求一个函数的不定积分比求函
学 数
∫x
dx
2
4 − x2
高 等 数 学 电 子 教 案
三角函数有理式是指三角函数和常数经过有限次四则 运算所构成的函数,而各类三角函数都可用sinx及cosx 的有理式表示.
高 等 数 学 电 子 教 案
1 例2 把真分式 2 分解为部分分式之和 x( x − 1)
解:
A B C A( x − 1) 2 + Bx + Cx( x − 1) 1 = + + = 2 2 x( x − 1) x ( x − 1) x −1 x( x − 1) 2
A( x − 1) 2 + Bx + Cx( x − 1) = 1
当n > 1时,
Mx + N M b dx = − +∫ 2 dt 2 2 n +1 2 n ∫ ( x 2 + px + q)n 2(n − 1)(t + a ) (t + a ) 1 ∫ (t 2 + a 2 )n dt用递推公式解之,
学 数
有理函数的原函数都是初等函数
高 等 数 学 电 子 教 案
A B A( x − 3) + B ( x − 2) + = x−2 x−3 ( x − 2)( x − 3)
x + 3 = A( x − 3) + B( x − 2) = ( A + B) x − (3 A + 2 B)
有理函数积分
万能代换
t 的有理函数的积分
x x 2 tan 2 tan x x 2 , 2 sin x 2sin cos 2 x 2 2 2 x 1 tan sec 2 2 2 x 2 x 1 tan 1 tan 2 x 2 x 2 2, cos x cos sin 2 2 2 x 2 x 1 tan sec 2 2 x x 2arctan u （万能置换公式） 令 u tan 2
Mx N 3. 2 dx x px q Mx N 4. 2 dx n ( x p x q)
变分子为
M 2
(2 x p)分 2 n ( x px q )
2 p p 2 x px q x q , 2 4 2
x dx 使用凑微分法比较简单 3 x 1
尽量使分母简单——降幂、拆项、同乘等
2
基本思路
化部分分式，写成分项积分 可考虑引入变量代换
例2. 求积分
解：
1 dx . 2 x( x 1)
1 1 1 1 dx dx 2 2 x( x 1) x 1 x ( x 1)
2 2u 2 1 u sin x , cos x du , dx 2 2 2 1 u 1 u 1 u
2u 1 u 2 2 R(sin x ,cos x ) dx R 1 u2 , 1 u2 1 u2 du.
1 sin x dx . 例8. 求 sin x(1 cos x) x 解: 令 t tan , 则 2 x cos x x 2 sin 2 2 tan 2t 2 2 sin x 2 x cos 2 x 1 tan 2 x 1 t 2 sin 2 2 2
有理函数积分12例
有理函数积分12例例1：求∫x−2x −x+1dx解：由于x 2−x +1的导数是2x −1 用分子x −2去除2x −1就有x−22x−1商12余−32也就是x −2=12(2x −1)−32 原式=∫12(2x−1)−32x 2−x+1dx=12∫2x−1x 2−x+1dx −32∫1x 2−x+1dx =12ln (x 2−x +1)−32(x−12)+(√32)∫1x +a dx =1a arctan xa=12ln (x 2−x +1)−2√3(x −12)=12ln (x 2−x +1)−√3arctan√3−12)例2：求∫2x 2+3x−1x −xdx解：2x 2+3x−1x 3−x=2x 2+3x−1x (x−1)(x+1)=A x−1+B x+Cx+1两边同乘x-1得2x 2+3x−1x(x+1)=A +Bx−1x+Cx−1x+1带入x=1解得A=2，同理得到B=1、C=-1 ∫2x 2+3x+1x −xdx =∫(2x−1+1x −1x+1)dx=In|x(x−1)2x+1|例3：求∫2x 2+x+1x(x +1)dx解：2x 2+x+1x(x 2+1)=A x+Bx+C x 2+1两边乘以x 得2x 2+x+1x +1=A +x(Bx+C)x +1带x=0得 A=1两边乘以x 2+1得2x 2+x+1x=A(x 2+1)x+(Bx +C)带入x=i 得 B=1、C=1 ∫2x 2+x+1x(x 2+1)dx =∫(1x +x+1x 2+1)dx=∫(1x +xx 2+1+1x 2+1)dx=In|x√x 2+1|+arctanx例4：求∫x+9x +2x−3dx解：x+9x +2x−3=x+9(x−1)(x +x+3)=Ax−1+Bx+Cx +x+3 容易解得A=2两边同时乘x 2+x+3，并令x 2+x+3=0有x+9x−1=Bx +C (如果让左边没有分子就好办了)为了利用x 2+x+3，做如下处理(x+9)(x+2)(x−1)(x+2)=Bx +C (x+2不是随便带入的，而是x 2+x+3x−1的商)得x 2+11x+18x +x−2=10x+15−5=Bx +C解得B=-2、C=-3∫x+9x 3+2x−3dx =∫(2x−1−2x+3x 2+x+3)dx=∫(2x−1−2x+1x2+x+3−2x2+x+3)dx分母导数的倍数加常数=In(x−1)2−In(x2+x+3)−√11√11=In (x−1)2(x 2+x+3)−√11√11例5：求∫8x (x+1)2(x−1)dx解：8x(x+1)2(x−1)=Ax−1+B(x+1)2+C(x+1) 容易求的A=2、B=4 两边同乘x 得8x 2(x+1)2(x−1)=2xx−1+4x(x+1)2+Cx(x+1)令x →∞两边求极限得，0=2+C ，也就是C=-2 ∫8x (x+1)2(x−1)dx =∫(2x−1+4(x+1)−2x+1)dx=In(x −1)2−4x+1−In(x +1)2=In(x−1x+1)2−4x+1例6：求∫x 3−4x 2−4x+23(x−3)4dx解：令y=x-3则原式化简为(分子是高次线性) x 3−4x 2−4x+23(x−3)4=y 3+5y 2−y+2y 4=1y +5y 2−1y 3+2y 4∫x 3−4x 2−4x+23(x−3)4dx =In |y |−5y −12y 2+23y 3=In |x −3|−5x−3−12(x−3)2+23(x−3)3例7：求∫1(x 2+4)3dx解：=14∫(x 2+4)−x 2(x 2+4)3dx降次=14∫1(x 2+4)2dx −14∫x 2(x 2+4)3dx =14∫1(x 2+4)2dx −14∫x 2−4x d 1(x 2+4)2=14∫1(x +4)dx +116[x(x +4)−∫1(x +4)dx]=316∫1(x2+4)2dx+x16(x2+4)2=364∫x2+4−x2(x2+4)2dx+x16(x2+4)2降次=364∫1x+4dx−364∫x2(x+4)dx+x16(x+4)=364∫1x+4dx−(364∫x2−2xd1x+4)+x16(x+4)=364∫1x+4dx+[3x128(x+4)−3128∫1x+4dx]+x16(x+4)=3128∫1x+4dx+3x128(x+4)+x16(x+4)=3256arctan x2+3x128(x+4)+x16(x+4)例8：求∫4x3+4x2+1x5+2x3+xdx解：4x3+4x2+1x(x+1)=Ax+Bx+C(x+1)+Dx+Ex+1容易解得A=1、B=3、C=-4 两边同乘x4x3+4x2+1 (x2+1)2=xx+3x2−4x(x2+1)2+Dx2+Exx2+1然后求极限x→∞得D=-1，然后带入x=1得E=4∫4x3+4x2+1 x5+2x3+x dx=∫(1x+3x−4(x2+1)2−x−4x2+1)dx=∫1x dx+∫32×2x−4(x+1)dx−∫x−4x+1dx=In|x|+32(1x2+1)−4∫1(x2+1)2dx−∫x−4x2+1dx=In|x|−32(1x2+1)+2arctanx−2xx2+1−12In(x2+1)=12In(x2x+1)−2x+1.5x+1+2arctanx例9：求∫x3+1x2−2x+3dx解：利用多项式除法x3+1=x(x2−2x+3)+2(x2−2x+3)+x−5x3+1 x−2x+3=x+2+x−5x−2x+3∫x−5 x−2x+3dx=12∫2x−2x−2x+3dx−∫4(x−1)2+√22dx分离出一次和一个常数=12ln (x 2−2x +3)−√2√2∫x 3+1x −2x+3dx =12x 2+2x +12ln (x 2−2x +3)−2√2arctan√2例10：求∫5x+6x +4x +5x+2dx解：x=-1是x 3+4x 2+5x +2的一个根 x 3+4x 2+5x+2x+1=x 2+3x +2=(x +1)(x +2)x 3+4x 2+5x +2=(x +1)2(x +2) 5x+6x 3+4x 2+5x+2=A(x+1)2+Bx+1+Cx+2很容易求得A=1、C=-4 两边同时乘x 有5x 2+6xx 3+4x 2+5x+2=x(x+1)2+Bxx+1+−4xx+2求x →∞时的极限有0=0+B −4 得B=4原式=−1x+1+4ln |x +1|−4ln|x +2|例11：求∫x(x+1)(x+2)(x+3)dx解：Ax+1+Bx+2+C(x+2)+Dx+3+E(x+3)+F(x+3)容易求的是最高次极点的系数A=−18、C=2、F=32 两边乘x 然后求x →∞有： 0=−18+B+D(1) 带入x=0 0=B2+D3+E9+3172 (2)带入x=11 1152=B3+D4+E16+2111152(3)由(1)、(2)、(3)解得B=−5D=418E=134x(x+1)(x+2)2(x+3)3=−18(x+1)−5x+2+2(x+2)2+418(x+3)+134(x+3)2+32(x+3)3∫x(x+1)(x+2)2(x+3)3dx =−18ln |x +1|−5ln |x +2|−2x+2+418ln |x +3|−134(x+3)−3(x+3)2例12：求∫dx(x 2+4x+4)(x 2+4x+5)2解：1(x +4x+4)(x +4x+5)=1(x+2)(x +4x+5) 1(x 2+4x+4)(x 2+4x+5)2=A x+2+B (x+2)2+Cx+D x 2+4x+5+Ex+F(x 2+4x+5)2容易求得B=1 由1(i 2+4i+4)=Ei +F 解得 E =−425、F =325两边乘x ，并求x →∞得： 0=A+C(1)带入x=0得 1100=A2+14+D5+3625(2)带入X=-1得14=A +1+−C+D 2+7100(3)由(1)、(2)、(3)解得 A=−104125C=104125 D=1071251(x2+4x+4)(x2+4x+5)2=−104125(x+2)+1(x+2)2+104x+107125(x2+4x+5)+−4x+325(x2+4x+5)2∫dx(x2+4x+4)(x2+4x+5)2=−104125ln|x+2|−1x+2+∫104250(250x+500)−101125(x2+4x+5)dx−4 25∫x−34(x2+4x+5)2dx=−104125ln|x+2|−1x+2+52125ln(125x2+500x+625)−101125arctan(x+2)−4 25∫12(2x+4)−114(x+4x+5)dx=−104125ln|x+2|−1x+2+52125ln(125x2+500x+625)−101125arctan(x+2)+ 450(x2+4x+5)−1125∫(x+2)2+1−(x+2)2[(x+2)2+1]2dx=−104125ln|x+2|−1x+2+52125ln(125x2+500x+625)−101125arctan(x+2)+450(x2+4x+5)−1125ln(x2+4x+5)+1125∫(x+2)2[(x+2)2+1]2dx=−104125ln|x+2|−1x+2+52125ln(125x2+500x+625)−101125arctan(x+2)+450(x+4x+5)−1125ln(x2+4x+5)+1125∫(x+2)2[(x+2)+1]/−2(x+2)[(x+2)+1]d1(x+2)+1=−104125ln|x+2|−1x+2+52125ln(125x2+500x+625)−101125arctan(x+2)+450(x+4x+5)−1125ln(x2+4x+5)−1150∫(x+2)d1(x+2)+1=−104125ln|x+2|−1x+2+52125ln(125x2+500x+625)−101125arctan(x+2)+450(x2+4x+5)−1125ln(x2+4x+5)−1150x+2x2+4x+5+1150ln(x2+4x+5)=−104125ln|x+2|−1x+2+52125ln(125x2+500x+625)−101125arctan(x+2)−11x+18 50(x2+4x+5)−1150ln(x2+4x+5)友情提示：方案范本是经验性极强的领域，本范文无法思考和涵盖全面，供参考!最好找专业人士起草或审核后使用。
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§6.3 有理函数的积分法（1）【导语】 【正文】一、有理函数的积分设()n P x 与()m Q x 分别是n 次和m 次多项式，则称()()m n Q x P x 为有理函数； 当m n <时，()()m n Q x P x 称为真分式；当m n ≥时，()()m n Q x P x 称为假分式． A ax b +，()k A ax b +，2Bx C px qx r +++，2()kBx Cpx qx r +++称为最简分式（部分分式）． 定理6（多项式除法定理）任意一个假分式都可以表示成一个多项式与一个真分式之和．当m n ≥时，设()()()()()m n n Q x R x S x P x P x =+，则 ()()d ()d d ()()m nn Q x R x x S x x x P x P x =+∫∫∫． Remark 有理函数的积分问题转化为真分式的积分问题！（一）分母为一次重因式的真分式的积分法例1 求积分2353d (2)x x x ++∫．解 令 232353(2)2(2)(2)x A B Cx x x x +=++++++． 将右端通分得22323353(2)(2)(2)2(2)(2)(2)x A B C A x B x Cx x x x x +++++=++=+++++． 比较两端分子对应项的系数得5,40,42 3.A A B A B C =+=++=解得 5,20,23.A B C ==− =所以23235352023(2)2(2)(2)x x x x x +=−+++++， 于是2353d (2)x x x ++∫2352023d d d 2(2)(2)x x x x x x =−++++∫∫∫ 220235ln 222(2)x C x x =++−+++． （二）分母为不同一次因式乘积的真分式的积分法对于d ()()cx dx x a x b +−−∫，可令()()cx d A Bx a x b x a x b+=+−−−−， 等式右端通分得()()()()()()cx d A B A x b B x a x a x b x a x b x a x b +−+−=+=−−−−−−．比较两端分子对应项的系数得待定系数A 和B 满足的一次方程组，求出,A B 的值．于是d d d ln ||ln ||()()cx dA Bx x x A x a B x b C x a x b x a x b +=+=−+−+−−−−∫∫∫． 例2 求积分2d (3)(5)x x x x −−−∫．解 令2(3)(5)35x A Bx x x x −=+−−−−． 等式右端通分得2()(53)(3)(5)35(3)(5)x A B A B x A B x x x x x x −+−+=+=−−−−−−． 比较两端分子对应项的系数得1,53 2.A B A B +=+=解得12A =−，32B =．所以13222(3)(5)35x x x x x −−=+−−−−． 于是2d (3)(5)x x x x −−−∫113113d(3)d(5)ln 3ln 5232522x x x x C x x =−−+−=−−+−+−−∫∫．（三）分母为二次多项式(没有实根)的真分式的积分法1．积分21d x x px q++∫假设240p q −<，则22211d d 4()24x x p q p x px q x =−++++∫∫．记2pu x =+，A21d x x px q ++∫221d u u A =+∫1arctan uA A=C ．2．积分2d (0)ax bx a x px q+≠++∫假设240p q −<，则2222(2)()d d d 2bb x x p p ax b a a a x a x x x px q x px q x px q+++−+==++++++∫∫∫ 222d()21()d 22a x px q a bp x x px q a x px q +++−++++∫∫ 2221ln()d 22a a bx px q p x ax px q+++− ++ ∫． （四）分母为二次重因式的真分式的积分法例3 求积分322221d (1)x x x x x −+++∫．解 令3211222222221(1)1(1)A x B A x B x x x x x x x x ++−+=+++++++． 等式右端通分得32321122111121122222222()()21(1)1(1)(1)A x B A x B A x A B x A A B x B B x x x x x x x x x x +++++++++−+=+=++++++++．比较两端分子对应项的系数得111121121,2,0,1.A A B A A B B B = +=− ++= += 解得11221,3,2,4.A B A B ==− = = 所以 32222222132(2)(1)1(1)x x x x x x x x x x −+−+=+++++++． 对于积分23d 1x x x x −++∫，有2231(21)7d d 121x x x x x x x x −+−=++++∫∫221d(1)7212x x x x ++−++∫217ln(1)22x x C ++−．对于积分222(2)d (1)x x x x +++∫，有2222222222(2)(21)3d(1)1d d 3d (1)(1)(1)(1)x x x x xx x x x x x x x x x +++++==+++++++++∫∫∫∫222113d 13(1)[()]24x x x x =−+++++∫，其中22212d 133[()]3()244x x C x x =++++∫． （Remark 对于22d ()n nxI a x =+∫，有122222122()n nn n x I I na na a x +−=++） 于是32222222132(2)d d d (1)1(1)x x x x x x x x x x x x x −+−+=+++++++∫∫∫222112ln(1)32(1)4x x x C x x x ++−+++++．（五）分母为一次因式与二次因式乘积的真分式的积分法 对于积分22d ()()bx cx d xx a x px q ++−++∫2(40)p q −<，令 222()()bx cx d A Bx Cx a x px q x a x px q+++=+−++−++． 等式右端通分后，根据分子相等得恒等式22()()()bx cx d A x px q Bx C x a ++≡++++−．比较两端对应项的系数得待定系数,,A B C 满足的一次方程组，求出,,A B C 的值． 于是22d ()()bx cx dxx a x px q ++−++∫22d d ln ||d A Bx C Bx C x x A x a x x a x px q x px q +++=−+−++++∫∫∫．Remark1 在上述积分问题中牵扯到的简单积是： （1）d Ax ax b+∫ln Aax b C a++； （2）()d kAxax b +∫11(1)()k A C a k ax b −+−+；(0,1)k k >≠ （3）22d (40)Bx Cx q pr px qx r+−<++∫“2211211d d 2211x x x x x x x x x ++=+++++∫∫”（4）22d (40,0,1)()kBx Cx q pr k k px qx r +−<>≠++∫“2211211d d 22(1)(1)k k x x x x x x x x x ++=+++++∫∫．Remark2A ax b +，()k A ax b +，2Bx C px qx r +++，2()kBx Cpx qx r +++称为最简分式． 定理7 设()()Q x P x 是一真分式，则其可表示成最简分式之和，且表示形式唯一． 设 221122111222()()()()()k l P x a x b a x b p x q x r p x q x r =++++++ ，则12211222222()()()()k k A A A Q x AP x a x b a x b a x b a x b =++++ ++++112222222111222222222()()l l l B x C B x C B x C Bx Cp x q x r p x q x r p x q x r p x q x r +++++++++ +++++++++ ．【本讲总结与下讲预告】。