有理函数的积分

§6.3 有理函数的积分法（1）
【导语】 【正文】
一、有理函数的积分
设()n P x 与()m Q x 分别是n 次和m 次多项式，则称()
()
m n Q x P x 为有理函数； 当m n <时，
()()m n Q x P x 称为真分式；当m n ≥时，()
()
m n Q x P x 称为假分式． A ax b +，()
k A ax b +，2Bx C px qx r +++，2()k
Bx C
px qx r +++称为最简分式（部分分式）． 定理6（多项式除法定理）任意一个假分式都可以表示成一个多项式与一个真分式之和．
当m n ≥时，设
()()
()()()
m n n Q x R x S x P x P x =+
，则 ()
()
d ()d d ()()
m n
n Q x R x x S x x x P x P x =+∫∫∫
． Remark 有理函数的积分问题转化为真分式的积分问题！
（一）分母为一次重因式的真分式的积分法
例1 求积分23
53
d (2)x x x ++∫．
解 令 232
353(2)2(2)
(2)x A B C
x x x x +=++++++． 将右端通分得
223233
53(2)(2)(2)2(2)(2)(2)
x A B C A x B x C
x x x x x +++++=++=+++++． 比较两端分子对应项的系数得
5,
40,42 3.A A B A B C =
+=
++=
解得 5,
20,23.A B C =
=− =
所以
232
3
5352023
(2)2(2)(2)x x x x x +=−+++++， 于是
23
53
d (2)x x x ++∫2352023d d d 2(2)(2)x x x x x x =−++++∫∫∫ 2
2023
5ln 222(2)x C x x =++
−+++． （二）分母为不同一次因式乘积的真分式的积分法
对于d ()()
cx d
x x a x b +−−∫
，可令
()()cx d A B
x a x b x a x b
+=+
−−−−， 等式右端通分得
()()
()()()()
cx d A B A x b B x a x a x b x a x b x a x b +−+−=+=−−−−−−．
比较两端分子对应项的系数得待定系数A 和B 满足的一次方程组，求出,A B 的值．
于是
d d d ln ||ln ||()()cx d
A B
x x x A x a B x b C x a x b x a x b +=
+=
−+−+−−−−∫∫∫． 例2 求积分2
d (3)(5)
x x x x −−−∫．
解 令
2(3)(5)35
x A B
x x x x −=+
−−−−． 等式右端通分得
2()(53)
(3)(5)35(3)(5)
x A B A B x A B x x x x x x −+−+=+=
−−−−−−． 比较两端分子对应项的系数得
1,53 2.A B A B +=
+=
解得12A =−，3
2
B =．
所以
13
222(3)(5)35
x x x x x −
−=
+−−−−． 于是
2d (3)(5)x x x x −−−∫113113
d(3)d(5)ln 3ln 5232522
x x x x C x x =−−+−=−−+−+−−∫∫．
（三）分母为二次多项式(没有实根)的真分式的积分法
1．积分21
d x x px q
++∫
假设240p q −<，则
2
221
1
d d 4()24
x x p q p x px q x =−++++
∫∫
．
记2
p
u x =+
，A
21d x x px q ++∫221
d u u A =+∫
1arctan u
A A
=
C ．
2．积分2d (0)ax b
x a x px q
+≠++∫
假设240p q −<，则
2222(2)()d d d 2b
b x x p p ax b a a a x a x x x px q x px q x px q
+
++−+==++++++∫∫∫ 222d()21()d 22a x px q a b
p x x px q a x px q +++−++++∫∫ 2221ln()d 22a a b
x px q p x a
x px q
+++− ++ ∫． （四）分母为二次重因式的真分式的积分法
例3 求积分3222
21
d (1)x x x x x −+++∫．
解 令32112222222
21
(1)1(1)A x B A x B x x x x x x x x ++−+=+
++++++． 等式右端通分得
323211
22111121122222222()()21(1)1(1)(1)A x B A x B A x A B x A A B x B B x x x x x x x x x x +++++++++−+=+=++++++++．
比较两端分子对应项的系数得
111121121,2,0,1.A A B A A B B B = +=− ++= += 解得112
21,3,
2,4.
A B A B =
=− = = 所以 3222222
2132(2)
(1)1(1)x x x x x x x x x x −+−+=+
++++++． 对于积分23
d 1
x x x x −++∫
，有
2
231(21)7
d d 121x x x x x x x x −+−=++++∫∫
221d(1)7212
x x x x ++−++∫
217ln(1)22x x C ++−．
对于积分22
2(2)
d (1)x x x x +++∫
，有
2222222222(2)
(21)3
d(1)1
d d 3d (1)(1)
(1)(1)x x x x x
x x x x x x x x x x +++++==+++++++++∫∫∫∫
22211
3d 13(1)[()]24
x x x x =−+++++∫，
其中
2221
2d 133[()]3()244
x x C x x =++++∫． （Remark 对于22d ()n n
x
I a x =+∫，有122222122()n n
n n x I I na na a x +−=++） 于是
322222221
3
2(2)d d d (1)1(1)x x x x x x x x x x x x x −+−+=+++++++∫∫∫
222112ln(1)32(1)4
x x x C x x x ++−+++++．
（五）分母为一次因式与二次因式乘积的真分式的积分法 对于积分22d ()()
bx cx d x
x a x px q ++−++∫2
(40)p q −<，令 22
2
()()bx cx d A Bx C
x a x px q x a x px q
+++=+−++−++． 等式右端通分后，根据分子相等得恒等式
22()()()bx cx d A x px q Bx C x a ++≡++++−．
比较两端对应项的系数得待定系数,,A B C 满足的一次方程组，求出,,A B C 的值． 于是
22d ()()bx cx d
x
x a x px q ++−++∫22d d ln ||d A Bx C Bx C x x A x a x x a x px q x px q +++=−+−++++∫∫∫．
Remark1 在上述积分问题中牵扯到的简单积是： （1）d A
x ax b
+∫ln A
ax b C a
++； （2）()d k
A
x
ax b +∫1
1
(1)()
k A C a k ax b −+−+；(0,1)k k >≠ （3）22
d (40)Bx C
x q pr px qx r
+−<++∫
“2211211d d 2211x x x x x x x x x ++=+++++∫∫”
（4）22d (40,0,1)()
k
Bx C
x q pr k k px qx r +−<>≠++∫
“221
1211d d 22(1)(1)k k x x x x x x x x x ++=+++++∫∫．
Remark2
A ax b +，()k A ax b +，2Bx C px qx r +++，2()k
Bx C
px qx r +++称为最简分式． 定理7 设
()
()
Q x P x 是一真分式，则其可表示成最简分式之和，且表示形式唯一． 设 221122111222()()()()()k l P x a x b a x b p x q x r p x q x r =++++++ ，则
12211222222()()()()k k A A A Q x A
P x a x b a x b a x b a x b =++++ ++++
112222222111222222222()()l l l B x C B x C B x C Bx C
p x q x r p x q x r p x q x r p x q x r +++++++++ ++++++++
+ ．
【本讲总结与下讲预告】。