北师大版八年级平行线的性质
北师大版八年级数学上册:7.4平行线的性质(教案)
c.引导学生通过自主学习、合作探究,发现并掌握这些知识点之间的内在联系。
四、教学流程
(一)导入新课(用时5分钟)
同学们,今天我们将要学习的是《平行线的性质》这一章节。在开始之前,我想先问大家一个问题:“你们在日常生活中是否遇到过两条直线似乎永远不会相交的情况?”比如,铁轨或者操场的跑道。这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题,我希望能够引起大家的兴趣和好奇心,让我们一同探索平行线的性质的奥秘。
最后,总结回顾环节,我感到学生对平行线性质的理解有了明显的提升。但是,我也意识到,仅仅通过一节课的学习,学生可能还无法完全消化和掌握所有的知识点。因此,我计划在接下来的课程中,通过更多的练习和实际应用,让学生进一步巩固这些概念。
举例解释:
在讲解同位角相等时,教师可以通过动态图示或实际操作,让学生直观地观察到当两条直线平行时,同位角始终保持相等。同样,对于内错角相等和同旁内角互补的性质,教师应通过具体实例和图示进行详细讲解。
2.教学难点
-理解并运用平行线性质进行推理和证明,尤其是内错角相等和同旁内角互补的证明过程。
-在复杂图形中,识别和应用平行线性质解决问题,尤其是涉及多步骤的几何推理。
对于复杂图形中的问题,教师可以:
a.指导学生识别图形中的平行线,并利用性质简化问题。
b.分解问题为几个小步骤,逐步解决,最后整合得出结论。
c.通过变式练习,提高学生对平行线性质在复杂图形中的应用能力。
在平行线性质与其它几何知识的综合应用方面,教师应:
a.强调平行线性质与圆的性质、切线等知识点的联系。
3.拓展平行线的性质:引导学生探讨平行线与其他几何图形之间的关系,如平行线与切线、平行线与圆的性质等。
北师大版八年级数学上册第七章平行线的证明平行线的性质课件
A. ∠1+∠2-∠3=90°
ห้องสมุดไป่ตู้
B. ∠2+∠3-∠1=180°
C. ∠1-∠2+∠3=180°
D. ∠1+∠2+∠3=180°
4. 如图,已知AB∥CD,∠BAD=∠BCD,那么AD∥BC吗?在下面横线上填空或
填写理由.
解: 因 为AB∥CD,所 以 ∠1 = ∠2 ( 两直线平行 ,内错角相等 ).又因为
5. 如图,一束平行光线AB与DE射向一个平面镜后被反 射,它们的反射光线依次为BC,EF.求证:BC∥EF.(提示: 根据光的反射定理,可得∠1=∠2,∠3=∠4)
∵AB∥DE(已知), ∴∠1=∠3(两直线平行,同位角相等). ∵∠1=∠2,∠3=∠4(光的反射原理), ∴∠2=∠4(等量代换). ∴BC∥EF(同位角相等,两直线平行).
4. 定理:平行于同一条直线的两条直线 平行 .
1. 如图,∠B=70°,∠DEC=100°,∠EDB=110°,则∠C等于( C )
A. 70°
B. 110° C. 80°
D. 100°
2. 如图,AB∥CD,FH平分∠BFG,∠EFB=58°,则下列说法错误的是( D )
A. ∠EGD=58°
B. GF=GH
C. ∠FHG=61°
D. FG=FH
3. 如图,AD平分∠BDF,∠3=∠4,若∠1=50°,∠2=130°,则∠CBD= 65 °.
4. 看图填空:已知如图,直线a,b,c被直线l所截. ∵a∥b,b∥c, ∴a∥c(平行于同一条直线的两条直线平行). ∴∠1=∠2(两直线平行,同位角相等).
∠ BAD=∠BCD( 已 知 ), 所 以 ∠ BAD-∠1=∠BCD-∠2( 等 量 代 换 ). 即 ∠ 3=∠4 , 所 以
初中数学(北师大)八年级上册课件74平行线的性质
已知:直线b⊥a , c⊥a
求证:b∥c
bc
a
根据下列命题,画出图形,并结合图形 写出已知、求证(不写证明过程):
2)一个角的平分线上的点到这个角的两边
的距离相等;
已知:如图,OC是∠AOB的平分线,
EF⊥OA于F ,
FA
EG⊥OB于G O
EC
求证:EF=EG
GB
∵∠ 3=∠1 ( 对顶角相等 )
∴∠1=∠2 ( 等量代换 )
证明定理:
定理2 两条平行线被第三条直线所截, 同旁内角互补。 简说成:两直线平行,同旁内角互补。
请作出相关图形,
写出已知、求证、证明过程
小结: 命题证明的步骤: 1.根据题意,画出图形; 2.根据题设、结论,结合图形,写出 已知、求证;
3.经过分析,找出由已知推出求证的 途径,写出证明过程.
根据下列命题,画出图形,并结合图形 写出已知、求证(不写证明过程): 1)垂直于同一直线的两直线平行; 2)一个角的平分线上的点到这个角的两边 的距离相等;
3)两条平行线的一对内错角的平分线互相 平行.
根据下列命题,画出图形,并结合图形 写出已知、求证(不写证明过程): 1)垂直于同一直线的两直线平行;
∵∠ 1=∠2,∴
a判∥定b定. 理1:
a
内错角相等,两直线平行. b
∵ ∠1=∠2, ∴ a∥b.
判定定理2:
a
同旁内角互补,两直线平行.b 0∵∠1+∠2=180 , ∴ a∥b.
c
1 2
c
1 2
c
1 2
平行线性质
公理:
两条平行线被第三条直线所截, 同位角相等。
两直线平行,同位角相等.
北师版八年级数学 7.4 平行线的性质(学习、上课课件)
感悟新知
知识点 2 平行线的判定与性质
平行线的判定
图示
因为 ∠ 1= ∠ 2, 所以l1 ∥ l2(同位 角 相 等 ,两直 线平行)
因为 ∠ 2= ∠ 3, 所以l 1 ∥ l2(内错 角相等 ,两直线 平行)
知2-讲
平行线的性质
因为 l1 ∥ l2,所 以∠ 1=∠ 2(两直 线平行 , 同位角 相等) 因为 l1 ∥ l2, 所 以∠ 2=∠ 3(两直 线平行 ,内错角 相等)
平行线 互逆 平行线
的判定
的性质
性质定理 证明的一般步骤
感悟新知
续表
平行线的判定与性质
平行线的判定
图示
知2-讲
平行线的性质
因为∠ 3+ ∠ 4=180° ,所以
l1 ∥ l2(同旁内 角互补,两直线
平行)
因为 l1 ∥ l2,所 以∠ 3+ ∠ 4=180°(两直线 平行 ,同旁内
角互补)
感悟新知
知2-讲
特别提醒 平行线的判定与平行线的性质的区别:
平行线的判定是根据两角的数量关系得到两条直线的 位置关系,而平行线的性质是根据两条直线的位置关系 得到两角的数量关系.
感悟新知
知2-练
例2 如图 7-4-2,在△ ABC 中,已知 AD ⊥ BC 于点 D, EF ⊥ BC 于点 F,∠ 1= ∠ 2,试判断 DG 和 BA 的 位置关系,并证明你的结论 .
感悟新知
知2-练
解题秘方:通过 观察图形猜测这两条直线平行, 然后利用已知条件、平行线的性质定 理和判定定理进行证明 .
∵BE 平分∠ABC(已知), ∴∠CBE=12∠ABC=50°(角平分线的定义), ∵AD∥BC(已知),
北师大八上7.4:平行线的性质
D
∠D=45° ∠C=45°∠B=135°
C
A
2.在下图所示的3个图中,a∥b,
1
B
分别计算∠1的度数.
1 a b
36° a
1 36° b
1 a
120° b
120°
90°
144°
120°
a
3.如图,直线a∥b,
1
∠1=54º,那么∠2、∠3、
2
b
∠4各是多少度?并说明理 3 4
由。
4.如图,D是AB上一点,E是AC上一点,
内错角相等, 两直线平行 两直线平行,内错角相等。
同旁内角互补,两直线平行 两直线平行,同旁内角互补
1、判定定理与性质定理的条件与结论有什么关系?
?
互换
1、一个宽度相等的纸条,
如图那样折叠, ∠1= 60°
120º 1
2、如图所示,下列推理正确的是( B )
A ∵MA∥NB,∴∠1=∠3
B.∵∠2=∠4,∴MC∥ND
F
重合的点时,那么右侧各内
角
的关系如何?如果BF
右侧有n个不重合的点呢?
当堂训练答案
4、已知,如图,AD∥BC, ∠ABD= ∠D.
求证:BD平分∠ABC
A
D
证明:
∵AD∥BC(已知)
B
C
∴ ∠D= ∠DBC(两直线平行,内错角相等)
又∵ ∠ABD= ∠D(已知)
∴ ∠ABD= ∠DBC(等量代换)
明AE∥BF。
E
F
C
D
31
4 2
选做题:
A
B
G
1、已知∠B=142°,∠BFE=38°, ∠EFD=40°,∠D=140° 求证: AB∥CD
北师大版八年级上册7.4《平行线的性质》教案
1.理论介绍:首先,我们要了解平行线的基本概念。平行线是在同一平面内,永不相交的两条直线。它们在几何图形中有着重要的地位,可以帮助我们解决许多实际问题。
2.案例分析:接下来,我们来看一个具体的案例。通过观察教室内的墙壁和地板,我们可以发现平行线的应用,以及它们如何帮助我们理解和构造空间。
关于学生小组讨论的部分,我觉得整体效果还是不错的。学生们能够积极参与,提出自己的观点,也能在讨论中互相学习。但我也注意到,有些学生在讨论中比较沉默,可能是因为性格原因或者是缺乏自信。在今后的教学中,我要关注这些学生,鼓励他们大胆发表自己的看法,增强他们的自信心。
最后,总结回顾环节,我觉得可以进一步优化。在今后的课堂中,我可以尝试让学生来总结今天学到的知识点,这样既能检验他们对知识的掌握程度,也能提高他们的表达能力。同时,我要提醒自己在这个环节中加强对学生的反馈,了解他们在学习过程中的困惑和问题,并及时给予解答。
四、教学流程
(一)导入新课(用时5分钟)
同学们,今天我们将要学习的是《平行线的性质》这一章节。在开始之前,我想先问大家一个问题:“你们在日常生活中是否遇到过两条直线永远不会相交的情况?”(如铁轨、黑板的边缘等)这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题,我希望能够引起大家的兴趣和好奇心,让我们一同探索平行线的奥秘。
-举例:给定两条平行线和一条横截线,运用性质计算未知角度或线段长度。
2.教学难点
-理解平行线性质的推理过程:学生需要通过观察和操作,理解并掌握平行线性质的推理过程,这需要较强的逻辑思维能力。
-难点解析:如何引导学生从特殊实例中发现规律,进而推广到一般情况,并用严谨的几何语言表达出来。
-识别和应用平行线的条件:在实际问题中,学生需要能够识别哪些线段或角度与平行线有关,并运用性质来解决问题。
北师大版八年级数学上册:7.4 平行线的性质
4 平行线的性质1.平行线的性质公理平行线的性质公理:两条平行线被第三条直线所截,同位角相等.简单记为:两直线平行,同位角相等.如图,推理符号表示为:∵AB∥CD,∴∠1=∠2.谈重点两直线平行,同位角相等①两直线平行的性质公理是推理论证后面两个性质定理的基础;②“同位角相等”是在“两直线平行”的前提下才成立的,是平行线特有的性质.要避免一提同位角就以为其相等的错误;③两直线平行的性质公理与两直线平行的判定公理的条件与结论是互逆的.其中判定公理是在已知同位角相等(数量关系)的前提下推理论证两直线的平行位置关系,是由角到线的推理过程;而两直线平行的性质公理是在已知两直线平行的前提下推理论证同位角相等的数量关系,是由线到角的推理过程.【例1】如图,AB∥CD,CE平分∠ACD,若∠1=25°,那么∠2的度数是________.解析:本题考查平行线的性质:两直线平行,同位角相等.由条件CE平分∠ACD,∠1=25°,可得∠ACD=2∠1=50°.而∠2与∠ACD是同位角,根据“两直线平行,同位角相等”可得∠2=∠ACD=50°.答案:50°点评:根据平行直线求角时,要先观察两个角之间的关系.2.平行线的性质定理(1)性质定理1两条平行线被第三条直线所截,同旁内角互补.简单记为:两直线平行,同旁内角互补.符号表示:∵AB∥CD,∴∠2+∠3=180°.(2)性质定理2两条平行线被第三条直线所截,内错角相等.简单记为:两直线平行,内错角相等.符号表示:∵AB∥CD,∴∠2=∠4.点评:①平行线的性质定理是在平行线性质公理的基础上推理得出的;②从平行线得到角相等或互补的关系;③内错角相等或同旁内角互补的前提条件是“两条直线平行”.要避免出现一提内错角就相等或一提同旁内角就互补的错误.【例2-1】某商品的商标可以抽象为如图所示的三条线段,其中AB∥CD,∠EAB=45°,则∠FDC的度数是().A.30°B.45°C.60°D.75°解析:由邻补角的定义求得∠BAD的度数,又由AB∥CD,可求得∠ADC的度数,再求出∠FDC的度数即可.∵∠EAB=45°,∴∠BAD=180°-∠EAB=180°-45°=135°.∵AB∥CD,∴∠ADC=∠BAD=135°.∴∠FDC=180°-∠ADC=45°.故选B.答案:B点评:此题考查了平行线的性质.注意两直线平行,内错角相等.【例2-2】如图,直线AB,CD相交于点E,DF∥AB.若∠AEC=100°,则∠D等于().A.70°B.80°C.90°D.100°解析:由对顶角相等,可得∠BED=∠AEC=100°,由DF∥AB可知同旁内角∠DEB 和∠D互补,可求得∠D=180°-∠BED=80°.故选B.答案:B3.证明的步骤(1)证明的一般步骤:①理解题意;②根据题意正确画出图形;③结合图形,写出“已知”和“求证”;④分析题意,探索证明的思路;⑤依据寻求的思路,运用数学符号和数学语言条理清晰地写出证明过程;⑥检查表达过程是否正确、完善.(2)证明的思路:可以从求证出发向已知追溯,也可以由已知向结论探索,还可以从已知和结论两个方向同时出发,互相接近.点评:对于用文字叙述的命题的证明,要先分清命题的条件和结论,然后根据题意画出图形,写出已知和求证,证明即可.4.借助辅助线构造平行线在有平行线的条件下,证明两个角相等或求某个角,当这两个角不是两条平行线所截得的同位角、同旁内角或内错角时,往往要利用其他的角,转化为平行线所截的角.但有些题目中某些条件所对应的图形没有或不完整,这时就需要通过添加辅助线去构造某些“基本图形”,再由图形联想相关性质,从而确定方法,达到解题的目的.释疑点平行线判定与性质的应用以平行为条件的求值或证明角相等的问题中,关键要分析出哪对角相等(或互补),再进行转化,从而求出结论中的角或完成证明.【例3】证明“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”.分析:本题是文字证明题.根据文字证明的一般步骤,先根据题意画出两条直线a,b 都与直线c垂直,根据已知和图形写出本题的已知和求证,已知是直线a⊥c,b⊥c,求证是a∥b.证明两条直线平行,可根据平行线的判定方法,证明同位角相等就可以.然后写出证明过程.解:已知:如图,直线a,b被直线c所截,且a⊥c,b⊥c.求证:a∥b.证明:∵a⊥c,b⊥c(已知),∴∠1=90°,∠2=90°(垂直的定义).∴∠1=∠2(等量代换).∴a∥b(同位角相等,两直线平行).点技巧文字证明题的步骤文字证明题的已知和求证要结合图形来写,因此在分析题意时,要确定应该画什么图形.书写证明过程时,要注重格式,注意推理的条理性,每一步都要有理有据.【例4】如图,AB∥CD,若∠ABE=120°,∠C=35°,则∠BEC=__________.解析:从图形上看,由于没有直线截AB与CD,所以无法直接运用平行线的相关性质,这就需要构造出“两条平行线被第三条直线所截”的基本图形,然后才可以运用平行线的性质.可过E点作EF∥AB,根据AB∥CD,可得EF∥CD,所以∠ABE+∠BEF=180°,∠FEC =∠C,所以∠BEC=∠BEF+∠DCE=60°+35°=95°.答案:95°点评:解决本题有两条思路:一是构造与AB,CD都相交的截线;二是过E点作EF∥AB,根据AB∥CD,可得EF∥CD,这样可将图形转化.5.平行线性质与判定的综合应用(1)平行线的性质与判定的区别平行线的性质定理和判定定理的条件和结论正好相反.性质是由条件“平行”得到结论“角的关系”;判定是由条件“角的关系”得到结论“平行”.具体为:在判定中,把角相等或互补作为判断两直线是否平行的前提.角相等或互补是已知,结论是两直线平行.判定则是由“角相等或互补”推理论证“两直线平行”.在性质中,两直线平行是条件,结论是角相等或互补.性质是用来说明两个角相等或互补的,即由“两直线平行”推理论证“角相等或互补”.释疑点平行线的性质与判定要分清在书写证明过程中,填写推理的根据或者理由时,要注意性质与判定的区别,防止填错.(2)平行线性质的应用平行线的应用包括生活中的实际应用和综合应用.实际应用要挖掘题目中隐含的平行线,利用平行线的性质来解决和角有关的计算问题.而综合应用主要是综合运用平行线的性质和判定来求角的度数或证明,要注意与图形的结合(数形结合)和角的转换.如求方位角和机器零件的角度问题就是实际应用比较多的问题.解决时,确定平行线是关键.【例5-1】如图,已知:AD∥BC,∠A=∠C,求证:AB∥CD.分析:观察图形,发现截平行线AD,BC和AB,CD的直线有三条,应选与∠A=∠C 有关的直线作为“第三条直线”,这样就能很快确定与它们有关的角,从而顺利解决问题.先从AD∥BC出发,选择与∠A有关的第三条直线AB(也可选择与∠C有关的第三条直线CD).因为AD∥BC,所以∠A=∠ABF,又因为∠A=∠C,可得∠C=∠ABF,∠C、∠ABF 是AB,DC被CF所截的同位角,所以AB∥CD.证明:∵AD∥BC(已知),∴∠A=∠ABF(两直线平行,内错角相等).又∵∠A=∠C(已知),∴∠C=∠ABF(等量代换).∴AB∥CD(同位角相等,两直线平行).点评:证明两条直线平行,可以通过同位角、内错角相等或者同旁内角互补.关键是利用有关知识把已知条件转化为上述各角.【例5-2】如图1,在甲、乙两地之间修一条笔直的公路,从甲地测得公路的走向是北偏东48°.甲、乙两地间同时开工,若干天后,公路准确接通,则乙地所修公路的走向是南偏西__________.解析:根据图形,利用平行线的性质解答即可.如图2,∵AC∥BD,∠1=48°,∴∠2=∠1=48°,根据方向角的概念可知,乙地所修公路的走向是南偏西48°.答案:48°点评:解答此类题需要正确画出方位角,再结合平行线的性质求解.。
北师大版八年级数学上册《平行线的性质》平行线的证明
,
∴AD∥BE(
).
,即∠
栏目索引
=∠
,
答案 BAE;两直线平行,同位角相等;BAE;等量代换;∠1;∠2;BAE; DAC;DAC;内错角相等,两直线平行
4 平行线的性质
栏目索引
6.如图7-4-6,已知∠1+∠2=180° ,∠A=∠C,DA平分∠FDB,试证明∠3= ∠4.
图7-4-6
4 平行线的性质
栏目索引
解析 (1)∵四边形ABCD为长方形,∴AD∥BC, ∴∠1+∠2=180° , ∵∠1=110° ,∴∠2=70° . (2)由折叠的性质得∠D'=90° , 若D'C'∥BC,则有∠EGF=∠D'=90° , ∵AD∥BC, ∴∠2=∠EGF=90° , 则当∠2等于90度时,D'C'∥BC.
图7-4-8
4 平行线的性质
证明 ∵AD⊥BC,EF⊥BC(已知), ∴∠ADC=∠EFD=90° (垂直的定义), ∴AD∥EF(同位角相等,两直线平行), ∴∠3=∠BAD(两直线平行,内错角相等), ∠DAC=∠E(两直线平行,同位角相等), ∵AD平分∠BAC(已知), ∴∠BAD=∠DAC(角平分线的定义), ∴∠E=∠3(等量代换).
4 平行线的性质
栏目索引
3.(2016四川资阳安岳期末) 是大众汽车的标志图案,其中蕴涵着许多 几何知识.如图,已知BC∥AD,BE∥AF.
(1)∠A与∠B相等吗?请说明理由; (2)若∠DOB=135° ,求∠A的度数.
4 平行线的性质
栏目索引
解析 (1)相等.理由:因为BC∥AD(已知),所以∠B=∠DOE(两直线平行, 同位角相等).因为BE∥AF(已知),所以∠A=∠DOE(两直线平行,同位角 相等),所以∠A=∠B(等量代换). (2)因为BC∥AD(已知),所以∠B+∠DOB=180° (两直线平行,同旁内角互 补),又因为∠DOB=135° ,所以∠B=180° -135° =45° ,又∠A=∠B,所以 ∠A=45° .
7.4 平行线的性质课件 (30张PPT)北师大版八年级数学上册
所以梯形的另外两个角的度数分别是 80°、65°.
3、如图,由AB//CD,可以得到(C)易错
(A)∠1=∠2
(B)∠2=∠3
(C)∠1=∠4
(D)∠3=∠4
4、如图,已知A、B、C同在一条直线上,D、E、F同在一 条直线上,且∠A=∠F,∠C=∠D,判断AE与BF的位置关 系,并说明理由.
解: ∵∠C=∠D
∴∠1 = ∠D(两直线平行,内错角相等)
∵∠B = ∠D(已知)
∴∠1 = ∠B(等量代换)
∴AD∥BC(同位角相等,两直线平行)
D C
例2 已知:如图,AB∥CD,∠B =∠D.
求证:AD∥BC. 证法三: 如图,连接 BD (构造两组内错角). ∵ AB∥CD (已知),
A
12
B
D
3 4
C
∴∠1 =∠4 (两直线平行,内错角相等).
条直线与这条直线平行”相矛盾. 这说明∠1 ≠ ∠2 的假设不成立,所以 ∠1 =∠2.
总结归纳
一般地,平行线具有如下性质: 性质1 (定理) 两条平行线被第三条直线所截,同位角
简单说成:两直线平行,同位角相等.
c
应用格式:
1
∵ a∥b(已知),
a
∴∠1 =∠2
2
(两直线平行,同位角相等). b
议一议
(1) 从∠1 = 110° 可以知道∠2 是多少度?为什么?
(2) 从∠1 = 110° 可以知道∠3 是多少度?为什么?
(3) 从∠1 = 110° 可以知道∠4 是多少度?为什么?
解:(1) ∠2 = 110°,
两直线平行,内错角相等. (2)∠3 = 110°,
两直线平行,同位角相等. (3)∠4 = 70°,
北师大八年级数学下册第七章7.3平行线的判定和性质综合应用
B
C
∴AB∥CD(同旁内角互 补,两直线平行) 你能说明AD∥BC吗?
如图甲所示
∵ ∠ADE= ∠DEF(已知)
∴ AD ∥ EF (内错角相等,两直线平行 ) 又∵ ∠EFC+ ∠C= 180 ° ∴ EF ∥ BC ( 同旁内角互补,两直线平行 ) ∴ AD ∥
BC
。
(平行于同一条直线的两条直线互相平行 )
练习
1、观察右图并填空: (1)∠1 与 ∠4 是同位角; (2) ∠5 与 ∠3 是同旁内角; (3) ∠1 与 ∠2 是内错角;
m
2
n
3 5
a b
1
4
2、当图中各角满足下列 条件时,你能指出哪两条直线 平行? n (1) ∠1 = ∠4; a∥b. (2) ∠2 = ∠4; l∥m. (3) ∠1 + ∠3 = 180; l∥n .
m
l
4
a
2
1 3
b
看图填空:
C D
1
A 2
(1)如右图,∵∠1=∠2
∴ AC∥ DE ,
3
E
( 内错角相等,两直线平行 )
∵∠2= ∠4 或 ∵∠3+∠4=180° ∴DE∥ FG ,( 同旁内角互补,两直线平行) ∴AC∥FG.
4 F
∴DE∥ FG(同位角相等,两直线平行)
B
G
看图填空:
(2)如右图,∵ ∠2=( ∠4 ) A
C
A
B
(变式训练二)如果 AB∥CD ,且 ∠ B=∠D , 你能推理得出AD∥BC吗?
题组训练(5) 1 B E G 3 4D C2 F H
A
如图,∠1= ∠2=45 °,∠3=70 °, 则∠4等于 ( B ) (A)70 ° (B)110 ° (C)45 ° (D)35°
最新北师版八上数学7.4 平行线的性质 课件
二、 合作探究
例2如图,已知 EF∥AD,∠1=∠2. 试说明∠DGA+∠BAC=180°.
二、 合作探究
解:∵ EF ∥ AD (已 知), ∴∠2= ∠3(两直线平行,同位角相等). 又∵∠1=∠2(已知), ∴∠1=∠3(等量代换), ∴AB∥DG(内错角相等,两直线平行), ∴∠DGA+∠BAC=180°(两直线平行,同旁内角互补).
二、 合作探究
变式练习如图,∠1= ∠2,∠A = ∠D. 求证:∠B=∠C.(请把以下 证明过程补充完整,并在下面的括号内填上推理理由)
证 明:∵ ∠1= ∠2 (已知), 又∵∠1=∠3( ____________), ∴∠2=∠3(等量代换), ∴AE ∥FD (同位角相等,两直线平行), ∴∠A= _____ (两直线平行,同位角相等). ∵∠A=∠D(已知), ∴∠D=∠BFD(等量代换), ∴ ___ ∥CD (____________________), ∴∠B=∠C(两直线平行,内错角相等 ).
三、 达标训练
3.如图,MN ∥PQ,点 A 在 MN 上,点 B 在 PQ 上,连接 AB,过点 A 作 AC⊥AB 交 PQ 于点C,作 ∠ABC 的平分线交AC 于点D.若∠NAC= 32°,求∠ADB 的度数.
三、 达标训练
解:∵MN∥PQ, ∴∠ACB=∠NAC=32°. ∵AC⊥AB,∴∠BAC=90°, ∴∠ABC=58°. ∵BD 平 分 ∠ABC, ∴ ∠ABD = 1∠ABC = 29°,
第七章 平行线的证明
第七章 平行线的证明
章节导引
7.4 平行线的性质
一、 前置学习
1.平行线的性质.
性质1:两直线平行,同位角相等; 性质2:两直线平行,内错角相等;
北师大数学八年级上册第七章平行线的性质(基础)
平行线的性质(基础)知识讲解【学习目标】1. 掌握平行线的性质公理、定理,并能依据平行线的性质公理、定理进行简单的推解;2. 了解并掌握平行线的性质定理的探究过程;3. 了解平行线的判定与性质的区别和联系.【要点梳理】要点一、平行线的公理、定理公理:两条平行线被第三条直线所截,得到的同位角相等.(简记为:两直线平行,同位角相等).定理:两条平行线被第三条直线所截,得到的内错角相等(简记为:两直线平行,内错角相等).定理:两条平行线被第三条直线所截,得到的同旁内角互补(简记为:两直线平行,同旁内角互补).要点诠释:(1)“同位角相等、内错角相等”、“同旁内角互补”都是平行线的性质的一部分内容,切不可忽视前提“两直线平行”.(2)从角的关系得到两直线平行,是平行线的判定;从平行线得到角相等或互补关系,是平行线的性质.要点二、平行线的性质定理的探究过程1.两条平行线被第三条直线所截,得到的内错角相等(简记为:两直线平行,内错角相等).321cba因为a∥b,所以∠1=∠2(两直线平行,同位角相等),又∠3=∠1 (对顶角相等)所以∠2=∠3.2.两条平行线被第三条直线所截,得到的同旁内角互补(简记为:两直线平行,同旁内角互补).因为a∥b,所以∠3=∠2(两直线平行,内错角相等),又∠3+∠1=180°(补角的定义),所以∠2+∠1=180°.要点诠释:平行线性质定理的证明,要借助平行线线性质公理,因为公理是人们在生产和生活中总结出来的正确的结论,不需要证明,但是定理、性质或推论到的证明其正确性. 要点三、平行线的性质与判定(1)平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系.平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系.(2)应用平行线的判定和性质定理时,一定要弄清题设和结论,切莫混淆.(3)平行线的判定与性质的联系与区别区别:性质由形到数,用于推导角的关系并计算;判定由数到形,用于判定两直线平行.联系:性质与判定的已知和结论正好相反,都是角的关系与平行线相关.(4)辅助线规律,经常作出两平行线平行的直线或作出联系两直线的截线,构造出三类角.【典型例题】类型一、平行线的性质公理、定理的应用1.如图所示,如果AB∥DF,DE∥BC,且∠1=65°.那么你能说出∠2、∠3、∠4的度数吗?为什么.【思路点拨】本题已知条件中,包含了两个层次:第一层次是由DE∥BC,可得∠1=∠4,∠1+∠2=180°;第二层次是由DF∥AB,可得∠3=∠2或∠3+∠4=180°,从而解出∠2、∠3、∠4的度数.【答案与解析】解:∵ DE∥BC,∴∠4=∠1=65°(两直线平行,内错角相等).∠2+∠1=180°(两直线平行,同旁内角互补).∴∠2=180°-∠1=180°-65°=115°.又∵ DF∥AB(已知),∴∠3=∠2(两直线平行,同位角相等).∴∠3=115°(等量代换).【总结升华】平行线的性质:由两条直线平行的位置关系得到两个相关角的数量关系.举一反三:【变式】(2015•永州)如图,∠1=∠2,∠A=60°,则∠ADC=度.【答案】解:∵∠1=∠2,∴AB∥CD,∴∠A+∠ADC=180°,∵∠A=60°,∴∠ADC=120°.故答案为:120°2. 如图,一条铁路修到一个村子边时,需拐弯绕道而过,如果第一次拐的角∠A是105度,第二次拐的角∠B是135度,第三次拐的角是∠C,这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行,那么∠C应为多少度?【思路点拨】过点B作直线BE∥CD,用“两直线平行内错角相等”和“两直线平行同旁内角互补”解答.【答案与解析】解:过点B作直线BE∥CD.∵CD∥AF,∴BE∥CD∥AF.∴∠A=∠ABE=105°.∴∠CBE=∠ABC-∠ABE=30°.又∵BF∥CD,∴∠CBE+∠C=180°.∴∠C=150°.【总结升华】此题是一道生活实际问题,根据题目信息,转化为关于平行线性质的数学问题.3. 已知,如图,AB∥CD,BE∥FD.求证:∠B+∠D=180°【思路点拨】根据平行线的性质可得∠B=∠1,∠1+∠D=180°,等量代换即可证明∠B+∠D=180°.【答案与解析】证明:∵AB∥CD(已知),∴∠B=∠1(两直线平行,内错角相等).∵BE∥FD(已知),∴∠1+∠D=180°(两直线平行,同旁内角互补).∴∠B+∠D=180°(等量代换).【总结升华】此题主要考查平行线的性质:两直线平行,同旁内角互补;两直线平行,内错角相等.举一反三【变式】如图,AB∥CD,CE平分∠ACD,若∠1=25°,求∠2的度数.【答案】解:∵CE平分∠ACD,∠1=25°,∴∠ECD=∠1=25°,∵AB∥CD,∴∠ECD+∠2=180°,∴∠2=180°-∠ECD=155°.4.(2016春•秦皇岛期末)如图,AB∥CD,分别探讨下面四个图形中∠APC与∠PAB、∠PCD的关系,请你从所得到的关系中任选一个加以说明.(适当添加辅助线,其实并不难)【思路点拨】关键过转折点作出平行线,根据两直线平行,内错角相等,或结合三角形的外角性质求证即可.【答案与解析】如图:(1)∠APC=∠PAB+∠PCD;证明:过点P作PF∥AB,则AB∥CD∥PF,∴∠APC=∠PAB+∠PCD(两直线平行,内错角相等).(2)∠APC+∠PAB+∠PCD=360°;(3)∠APC=∠PAB﹣∠PCD;(4)∵AB∥CD,∴∠POB=∠PCD,∵∠POB是△AOP的外角,∴∠APC+∠PAB=∠POB,∴∠APC=∠POB﹣∠PAB,∴∠APC=∠PCD﹣∠PAB.【总结升华】两直线平行时,应该想到它们的性质,由两直线平行的关系得到角之间的数量关系,从而达到解决问题的目的.5. 如图是大众汽车的标志图案,其中蕴涵着许多几何知识.根据下面的条件完成证明.已知:如图,BC∥AD,BE∥AF.(1)求证:∠A=∠B;(2)若∠DOB=135°,求∠A的度数.【思路点拨】(1)由平行线的性质(两直线平行,同位角相等)可得∠A=∠B.(2)由平行线的性质(两直线平行,同旁内角互补)可得∠A=180°-∠DOE.【答案与解析】解:(1)∵BC∥AD,∴∠B=∠DOE,又∵BE∥AF,∴∠DOE=∠A,∴∠A=∠B.(2)∵∠DOB=∠EOA,由BE∥AF,得∠EOA+∠A=180°又∠DOB=135°,∴∠A=45°.【总结升华】本题考查的是平行线的性质,主要是考查学生把实际问题转化成数学问题的能力,要结合实际图象画出数学图形,再运用平行线的性质来解决.举一反三【变式】已知:如图,BD∥AF∥CE,∠ABD=60°,∠ACE=36°,AP是∠BAF的平分线,求∠PAC的度数.类型二、平行的性质与判定综合应用6、如图所示,AB∥EF,那么∠BAC+∠ACE+∠CEF=( )A.180° B.270° C.360° D.540°【答案】C【解析】过点C作CD∥AB,∵ CD∥AB,∴∠BAC+∠ACD=180°(两直线平行,同旁内角互补)又∵ EF∥AB∴ EF∥CD.∴∠DCE+∠CEF=180°(两直线平行,同旁内角互补)又∵∠ACE=∠ACD+∠DCE∴∠BAC+∠ACE+∠CEF=∠BAC+∠ACD+∠DCE+∠CEF=180°+180°=360°【总结升华】这是平行线性质与平行公理的综合应用,利用“两直线平行,同旁内角互补,”可以得到∠BAC +∠ACE+∠CEF=360°【巩固练习】一、选择题1.下列说法:①两直线平行,同旁内角互补;②内错角相等,两直线平行;③同位角相等,两直线平行;④垂直于同一条直线的两条直线平行,其中是平行线的性质的是 ( ) A.① B.②和③ C.④ D.①和④2.(2015•泰安)如图,AB∥CD,∠1=58°,FG平分∠EFD,则∠FGB的度数等于()A.122° B.151°C.116°D.97°3.下列图形中,由AB∥CD,能得到∠1=∠2的是( )4.(2016•陕西一模)直线a、b、c、d的位置如图,如果∠1=100°,∠2=100°,∠3=125°,那么∠4等于()A.80°B.65°C.60°D.55°5.如图所示,已知AD与BC相交于点O,CD∥OE∥AB.如果∠B=40°,∠D=30°,则∠AOC的大小为( )A.60° B.70° C.80° D.120°6.如图所示,直线l1//l2,∠1=40°,∠2=75°,则∠3等于( )A.55° B.30° C.65° D.70°二、填空题7.如图,一个含有30°角的直角三角形的两个顶点放在一个矩形的对边上,若∠1=25°,则∠2= _______.8. 如图,点B,C,E,F在一直线上,AB∥DC,DE∥GF,∠B=∠F=72°,则∠D= ________度.9.如图所示,已知CD平分∠ACB,DE∥AC,∠1=30°,则∠2=______度.10.(2015•云南)如图,直线l1∥l2,并且被直线l3,l4所截,则∠α=.11.(2016春•冷水江市期末)如图,下列推理是否正确,请写出你认为是正确推理的编号.①因为AB∥DC,所以∠ABC+∠C=180°②因为∠1=∠2,所以AD∥BC③因为AD∥BC,所以∠3=∠4④因为∠A+∠ADC=180°,所以AB∥DC.12.如图所示,AB∥CD,且∠BAP=60°-a,∠APC=45°+a,∠PCD=30°-a,则a=________.三.解答题13.如图,已知AB ∥CD ,MG 、NH 分别平分∠BMN 与∠CNM ,试说明NH ∥MG?14. 如图,a ∥b ∥c ,∠1=60°,∠2=36°,AP 平分∠BAC ,求∠PAQ 的度数.15.(2015春•晋安)如图,直线CB∥OA,∠C=∠OAB=100°,E 、F 在CB 上,且满足∠FOB=∠AOB,OE 平分∠COF(1)求∠EOB 的度数;(2)若平行移动AB ,那么∠OBC:∠OFC 的值是否随之发生变化?若变化,找出变化规律或求出变化范围;若不变,求出这个比值.(3)在平行移动AB 的过程中,是否存在某种情况,使∠OEC=∠OBA?若存在,求出其度数;若不存在,说明理由.【答案与解析】一.选择题1. 【答案】A ;【解析】两直线平行−−−→←−−−性质判定角的关系. 2. 【答案】B ;【解析】∵AB∥CD,∠1=58°,∴∠EFD=∠1=58°,∵FG 平分∠EFD,∴∠GFD=∠EFD=×58°=29°,∵AB∥CD,∴∠FGB=180°﹣∠GFD=151°.故选B .3. 【答案】B ;【解析】∠2与∠1的对顶角是同位角的关系.4. 【答案】D ;【解析】∵∠1=100°,∠2=100°,∴∠1=∠2,∴直线a ∥直线b ,∴∠4=∠5,∵∠3=125°,∴∠4=∠5=180°﹣∠3=55°,故选D.5. 【答案】B【解析】注意到CD∥OE∥AB,由“两直线平行,同位角相等”可知∠AOE=∠D=30°,∠EOC=∠B=40°.故∠AOC=∠EOC+∠AOE=40°+30°=70°.6. 【答案】C;【解析】∠3=180°-40°-75°=65°.二、填空题7.【答案】115°;【解析】∵四边形ABCD是矩形,∴AD∥BC,∴∠2=∠DEG=∠1+∠FEG=115°.故答案为:115°.8.【答案】36°;【解析】∵AB∥DC,DE∥GF,∠B=∠F=72°,∴∠DCE=∠B=72°,∠DEC=∠F=72°,在△CDE中,∠D=180°-∠DCE-∠DEC=180°-72°-72°=36°.故答案为:36.9.【答案】60;【解析】由已知得:∠2=2∠1=60°.10.【答案】64°;【解析】由已知可得:AD∥BC,由平行的性质可得:∠D+∠C=180°.如图,∵∠1+56°=120°,∴∠1=120°﹣56°=64°,又∵直线l1∥l2,∴∠α=∠1=64°.故答案为:64°.11. 【答案】①②④【解析】①∵AB∥DC,∴∠ABC+∠C=180°,此结论正确;②∵∠1=∠2,∴AD∥BC,此结论正确;③∵AD∥BC,∴∠1=∠2,而∠3≠∠4,此结论错误,④∵∠A+∠ADC=180°,∴AB∥DC,此结论正确.故答案为①②④.12.【答案】15°;【解析】由图可知:∠APC=∠BAP+∠PCD,即有45°+a=60°-a+30°-a,解得:a=15°.三、解答题13.【解析】证明:∵AB∥CD(已知),∴∠BMN=∠MNC(两直线平行,内错角相等).∵MG、NH分别平分∠BMN、∠CNM(已知).∴∠MNH=12∠MNC,∠NMG=12∠BMN(角平分线定义).∴∠MNH=∠NMG,∴ NH∥MG(内错角相等,两直线平行).14.【解析】解:∵a∥b∥c,∴∠BAQ=∠1=60°,∠CAQ=∠2=36°,∠BAC=60°+36°=96°,又AP平分∠BAC,∠BAP=12×96°=48°,∴∠PAQ=∠BAQ-∠BAP=60°-48°=12°.15.【解析】解:(1)∵CB∥OA,∴∠AOC=180°﹣∠C=180°﹣100°=80°,∵OE平分∠COF,∴∠COE=∠EOF,∵∠FOB=∠AOB,∴∠EOB=∠EOF+∠FOB=∠AOC=×80°=40°;(2)∵CB∥OA,∴∠AOB=∠OBC,∵∠FOB=∠AOB,∴∠FOB=∠OBC,∴∠OFC=∠FOB+∠OBC=2∠OBC,∴∠OBC:∠OFC=1:2,是定值;(3)在△COE和△AOB中,∵∠OEC=∠OBA,∠C=∠OAB,∴∠COE=∠AOB,∴OB、OE、OF是∠AOC的四等分线,∴∠C OE=∠AOC=×80°=20°,∴∠OEC=180°﹣∠C﹣∠COE=180°﹣100°﹣20°=60°,故存在某种情况,使∠OEC=∠OBA,此时∠OEC=∠OBA=60°.。
北师大版八年级(下)数学第26讲:平行线的性质(教师版)——王琪
平行线的性质一、平行线的性质1.两条平行被第三条直线所截,同位角相等.简单说成:两直线平行,同位角相等.2.两条平行线被第三条直线所截,内错角相等.简单说成:两直线平行,内错角相等.3.两条平行线被第三条直线所截,同旁内角互补.简单说成:两直线平行,同旁内角互补.二、如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边,那么这两个角_____________三、如果一个角的两边分别垂直于另一个角的两边,那么这两个角_____________1.如图,已知∠1=∠2=∠3=62°,则∠4=()A.62° B.118°C.128°D.38°解:∵∠1=∠3,∴直线M∥直线N,∴∠5=∠2=62°,∴∠4=180°﹣∠5=180°﹣62°=118°.故选:B.2.如图,∠1+∠B=180°,∠2=45°,则∠D的度数是()A.25° B.45° C.50° D.65°解:∵∠1+∠B=180°,∴AD∥BC,∴∠D=∠2,∵∠2=45°,∴∠D=45°,故选:B.3.如图,若∠A+∠ABC=180°,则下列结论正确的是()A.∠1=∠2 B.∠2=∠3 C.∠1=∠3 D.∠2=∠4解:∵∠A+∠ABC=180°,∴AD∥BC,∴∠2=∠4.故选D.4.如图,直线a,b被直线c,d所截,若∠1=80°,∠2=100°,∠3=85°,则∠4度数是()A.80° B.85° C.95° D.100°解:∵∠1=80°,∠2=100°,∴∠1+∠2=180°,∴a∥b.∵∠3=85°,∴∠4=∠3=85°.故选B.5.已知:如图,AE⊥BC,FG⊥BC,∠1=∠2,∠D=∠3+60°,∠CBD=70°.(1)求证:AB∥CD;(2)求∠C的度数.(1)证明:∵AE⊥BC,FG⊥BC,∴AE∥GF,∴∠2=∠A,∵∠1=∠2,∴∠1=∠A,∴AB∥CD;(2)解:∵AB∥CD,∴∠D+∠CBD+∠3=180°,∵∠D=∠3+60°,∠CBD=70°,∴∠3=25°,∵AB∥CD,∴∠C=∠3=25°.6.已知:如图,∠1+∠2=180°,∠3=100°,OK平分∠DOH,求∠KOH的度数.解:∵∠1+∠2=180°,∴AB∥CD,∴∠3=∠GOD,∵∠3=100°,∴∠3=∠GOD=100°,∴∠DOH=180°﹣∠GOD=180°﹣100°=80°,∵OK平分∠DOH,∴∠KOH=∠DOH=×80°=40°.7.如图,已知四边形ABCD中,∠D=100°,AC平分∠BCD,且∠ACB=40°,∠BAC=70°.(1)AD与BC平行吗?试写出推理过程;(2)求∠DAC和∠EAD的度数.解:(1)AD∥BC,理由是:∵AC平分∠BCD,∠ACB=40°,∴∠BCD=2∠ACB=80°,∵∠D=100°,∴∠D+∠BCD=180°,∴AD∥BC.(2)∵AD∥BC,∠ACB=40°,∴∠DAC=∠ACB=40°,∵∠BAC=70°,∴∠DAB=∠DAC+∠BAC=40°+70°=110°,∴∠EAD=180°﹣∠DAB=180°﹣110°=70°.8.如图,EF∥AD,AD∥BC,CE平分∠BCF,∠DAC=120°,∠ACF=20°,求∠FEC的度数.解:∵EF∥AD,AD∥BC,∴EF∥BC,∴∠ACB+∠DAC=180°,∵∠DAC=120°,∴∠ACB=60°,又∵∠ACF=20°,∴∠FCB=∠ACB﹣∠ACF=40°,∵CE平分∠BCF,∴∠BCE=20°,∵EF∥BC,∴∠FEC=∠ECB,∴∠FEC=20°.9.已知如图,DE⊥AC,∠AGF=∠ABC,∠1+∠2=180°,试判断BF与AC的位置关系,并说明理由.证明:BF与AC的位置关系是:BF⊥AC.理由:∵∠AGF=∠ABC,∴BC∥GF(同位角相等,两直线平行),∴∠1=∠3;又∵∠1+∠2=180°,∴∠2+∠3=180°,∴BF∥DE;∵DE⊥AC,∴BF⊥AC.基础演练1.如图,直线a、b被直线c所截,下列说法错误的是()A.当∠1=∠2时,一定有a∥b B.当a∥b时,一定有∠1与∠2互补C.当a∥b时,一定有∠1+∠2=180°D.当∠1+∠2=180°时,一定有a∥b 解:当a∥b时,一定有∠3与∠2互补,又∵∠3=∠1,∴∠1与∠2互补,即∠1+∠2=180°,故B、C都正确;当∠1+∠2=180°时,∠3+∠2=180°,∴a∥b,故D正确;当∠1=∠2时,不一定有a∥b,故A错误,故选:A.2.下列说法错误的是()A.内错角相等,两直线平行B.两直线平行,同旁内角互补C.同角的补角相等D.相等的角是对顶角解:A、内错角相等,两直线平行,是平行线的判断方法之一,正确;B、两直线平行,同旁内角互补,是平行线的判断方法之一,正确;C、根据数量关系,同一个角的补角一定相等,正确;D、对顶角既有大小关系,又有位置关系,相等的角是对顶角的说法错误.故选D.3.如图,已知∠1=36°,∠2=36°,∠3=140°,则∠4的度数等于()A.40° B.36° C.44° D.100°解:∵∠1=36°,∠2=36°,∴∠1=∠2,∴PQ∥MN,∴∠4=PNM=180°﹣∠3=40°,故选A.4.如图,已知直线a⊥c,直线b⊥c,若∠1=65°,则∠2的度数为()A.20° B.25° C.50° D.65°解:∵直线a⊥c,直线b⊥c,∴a∥b,∠3=90°.∵∠1=∠4=65°,∴∠2=90°﹣65°=25°.故选B.5.如图,∠AGF=∠ABC,∠1+∠2=180°,(1)求证;BF∥DE.(2)如果DE垂直于AC,∠2=150°,求∠AFG的度数.(1)证明:∵∠AGF=∠ABC,∴BC∥GF,∴∠AFG=∠C.∵∠1+∠2=180°,∠CDE+∠2=180°,∴∠1=∠CDE.∵∠CED=180°﹣∠C﹣∠CDE,∠CFB=180°﹣∠AFD﹣∠1,∴∠CED=∠CFB,∴BF∥DE.(2)解:∵DE⊥AC,BF∥DE,∴∠AFB=∠AED=90°,∵∠1+∠2=180°,∠2=150°,∴∠1=30°.∵∠AFB=∠AFG+∠1=90°,∴∠AFG=60°.6.已知△ABC中,∠B=70°,CD平分∠ACB,∠2=∠3,求∠1的度数.解:CD平分∠ACB,∴∠3=∠DCB(角平分线定义).∵∠2=∠3(已知),∴∠2=∠DCB(等量代换).∴DE∥BC(内错角相等,两直线平行),∴∠1=∠B=70°(两直线平行,同位角相等).巩固提高7.如图,已知∠1,∠2互为补角,且∠3=∠B,(1)求证:∠AFE=∠ACB;(2)若CE平分∠ACB,且∠1=80°,∠3=45°,求∠AFE的度数.(1)证明:∵∠1+∠FDE=180°,∠1,∠2互为补角,∴∠2=∠FDE,∴DF∥AB,∴∠3=∠AEF,∵∠3=∠B,∴∠B=∠AEF,∴FE∥BC,∴∠AFE=∠ACB;(2)解:∵∠1=80°,∠3=45°,∴∠FED=80°﹣45°=35°,∵EF∥BC,∴∠BCE=∠FED=35°,∵CE平分∠ACB,∴∠ACB=2∠BCE=70°,∴∠AFE=∠ACB=70°.8.如图∠AED=∠C,∠DEF=∠B,试说明∠1+∠2=180°.解:∵∠AED=∠C(已知)∴DE∥BC(同位角相等,两直线平行)∴∠ADE=∠B(两直线平行,同位角相等)∵∠DEF=∠B(已知)∴∠ADE=∠DEF(等量代换)∴EF∥AB(两直线平行,内错角相等)∴∠1=∠ADF(两直线平行,同位角相等)∵∠2+∠ADF=180°(邻补角的意义)∴∠1+∠2=180°(等量代换)9.已知:如图,在△ABC中,BD⊥AC于点D,E为BC上一点,过E点作EF⊥AC,垂足为F,过点D 作DH∥BC交AB于点H.(1)请你补全图形.(2)求证:∠BDH=∠CEF.解:(1)如图,(2)证明:∵BD⊥AC,EF⊥AC,∴BD∥EF,∴∠CEF=∠CBD,∵DH∥BC,∴∠BDH=∠CBD,∴∠BDH=∠CEF.1.如图,∠1=50°,则∠2=()A.100°B.120°C.130°D.140°解:如图,∵∠3=∠4=90°,∴a∥b,∴∠5=∠1=50°,∵∠5+∠2=180°,∴∠2=180°﹣50°=130°.故选C.2.如图,如果∠1+∠2=180°,那么()A.∠2+∠4=180°B.∠3+∠4=180°C.∠3=∠4 D.∠1=∠3解:∵∠1+∠2=180°,∴AB∥CD,∴∠3=∠4.故选C.3.平面内三条直线a、b、c,若a⊥b,b⊥c,则直线a、c的位置关系是()A.垂直 B.平行 C.相交 D.以上都不对解:∵a⊥b,b⊥c,∴a∥b,故选B.4.如图,已知∠1=120°,∠2=60°,∠4=125°,则∠3的度数为()A.120°B.55° C.60° D.125°解:如图,∵∠5=∠2=60°,∴∠5+∠1=60°+120°=180°,∴a∥b,∴∠3=∠4=125°,故选D.5.如图所示,在折线ABCDEFG中,已知∠1=∠2=∠3=∠4=∠5,延长AB,GF交于点M.试探索∠AMG 与∠3的关系,并说明理由.解:∠AMG=∠3.理由如下:∵∠2=∠3,∴BC∥DE,∵∠4=∠5,∴DE∥FG,∴BC∥FG,∴∠1=∠AMG,而∠1=∠3,∴∠AMG=∠3.6.如图,AB∥DC,AC和BD相交于点O,E是CD上一点,F是OD上一点,且∠1=∠A.(1)求证:FE∥OC;(2)若∠BOC比∠DFE大20°,求∠OFE的度数.(1)证明:∵AB∥DC,∴∠C=∠A,∵∠1=∠A,∴∠1=∠C,∴FE∥OC;(2)解:∵FE∥OC,∴∠FOC+∠OFE=180°,∵∠FOC+∠BOC=180°,∠DFE+∠OFE=180°,∴∠BOC+∠DFE=180°,∵∠BOC﹣∠DFE=20°,∴∠BOC+∠DFE=180°,解得:∠DFE=80°,∴∠OFE=100°.1.以下判定中,正确的个数有()(1)若a∥b,b∥c,则a∥c(2)若a⊥b,b⊥c,则a⊥c(3)若同旁内角相等,则两直线平行(4)若同位角相等,则两直线平行.A.1个B.2个C.3个D.4个解:(1)若a∥b,b∥c,则根据平行公理可得a∥c,故正确;(2)若a⊥b,b⊥c,则a⊥c不一定成立,故错误;(3)若同旁内角相等,则两直线不一定平行,故错误;(4)若同位角相等,则两直线平行,故正确.故选:B.2.如图,∠1=∠2,则下列结论一定成立的是()A.AB∥CD B.∠3=∠4 C.∠B=∠D D.AD∥BC解:∵∠1=∠2,∴AD∥BC,∵∠3与∠4不一定相等,∴AB与CD不一定平行,且∠D与∠B不一定相等.故选:D.3.已知∠1=60°,∠2=120°,∠3=67°,则∠4=()A.120°B.125°C.67° D.60°解:如图,由对顶角相等得,∠5=∠1=60°,∵∠5+∠2=60°+120°=180°,∴a∥b,∴∠4=∠3=67°.故选C.4.如图,直线a,b被直线c所截,下列说法错误的是()A.当a∥b时,一定有∠1=∠3 B.当∠1=∠3时,一定有a∥bC.当a∥b时,一定有∠1+∠2=180°D.当∠2+∠3=180°时,一定有a∥b解:A、∴a∥b,∴∠1=∠3,符合平行线的性质,故本选项正确;B、∵∠1=∠3,∴a∥b,符合平行线的判定定理,故本选项正确;C、∵a∥b,∴∠1=∠3,∵∠2+∠3=180°,∴∠1+∠2=180°,故本选项正确;D、无论a与b位置关系如何,∠2+∠3=180°不变,故本选项错误.故选D.5.如图,已知BE平分∠ABC,∠CBE=25°,∠BED=25°,∠C=30°,求∠ADE与∠BEC的度数.解:∵BE平分∠ABC,∠CBE=25°,∴∠ABC=2∠CBE=50°,∵∠C=30°,∴∠BEC=180°﹣∠C﹣∠CBE=125°,∵∠CBE=25°,∠BED=25°,∴∠CBE=∠BED,∴DE∥BC,∴∠ADE=∠ABC=50°.6.如图,已知∠1=∠2,∠B=∠C.求证:(1)AB∥CD(2)∠AEC=∠3.证明:(1)∵∠1=∠2(已知),∠1=∠4(对顶角相等),∴∠2=∠4(等量替换),∴CE∥BF(同位角相等,两直线平行),∴∠3=∠C(两直线平行,同位角相等).又∵∠B=∠C(已知),∴∠3=∠B(等量替换),∴AB∥CD(内错角相等,两直线平行).(2)∵AB∥CD(已知),∴∠AEC=∠C(两直线平行,内错角相等).∵∠B=∠C=∠3(已知),∴∠AEC=∠3(等量替换).7.如图,点E在直线DF上,点B在直线AC上,若∠1=∠2,∠3=∠4,则∠A=∠F,请说明理由.解:∵∠1=∠2(已知)∠2=∠DGF(对顶角相等),∴∠1=∠DGF,∴BD∥CE,(同位角相等,两直线平行),∴∠3+∠C=180°,(两直线平行,同旁内角互补),又∵∠3=∠4(已知)∴∠4+∠C=180°∴DF∥AC(同旁内角互补,两直线平行)∴∠A=∠F(两直线平行,内错角相等).8.如图,∠1+∠2=180°,∠B=∠3.(1)判断DE与BC的位置关系,并说明理由.(2)若∠C=65°,求∠DEC的度数.解:(1)DE∥BC,理由是:∵∠1+∠2=180°,∴AB∥EF,∴∠ADE=∠3,∵∠B=∠3,∴∠ADE=∠B,∴DE∥BC;(2)∵DE∥BC,∴∠C+∠DEC=180°,∵∠C=65°,∴∠DEC=115°.9.如图,点E在直线DF上,点B在直线AC上,若∠1=∠2,∠3=∠4,则∠A=∠F,请说明理由.解:∵∠1=∠2,∠2=∠DGF,∴∠1=∠DGF,∴BD∥CE,∴∠3+∠C=180°.又∵∠3=∠4,∴∠4+∠C=180°,∴DF∥AC,∴∠A=∠F.。
北师大版八上数学7.4平行线的性质知识点精讲
知识点总结平行线的性质1. 两条平行线被第三条直线所截,同位角相等.简单说成:两直线平行,同位角相等。
2. 两条平行线被第三条直线所截,同旁内角互补.简单说成:两直线平行,同旁内角互补。
3 . 两条平行线被第三条直线所截,内错角相等.简单说成:两直线平行,内错角相等。
两个角的数量关系两直线的位置关系:垂直于同一直线的两条直线互相平行。
平行线间的距离,处处相等。
如果两个角的两边分别平行,那么这两个角相等或互补。
平行线的传递性如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行.平行线间的距离两条平行线中,任意一条直线上的所有点到另一条直线的距离都是一个定值,这个定值叫做这两条平行线间的距离.★要点提示★1.由性质1推导性质2,进一步导出性质3,再运用平行线的知识得出平行线的传递性,体现了几何演绎的思想和方法,要逐步领会和掌握.2.几何学习要注意“看图说话”、“用图说话”,要逐步学会文字语言、图形语言、符号语言的转换和各自功效.如平行线的传递性,可用符号语言表示为:对于直线a、b、c,如果a∥b,b∥c,则a∥c.3.有了平行线间的距离,至此就学了几何中的三种距离:两点间的距离,点到直线的距离,两平行线间的距离.两点间的距离是两点间线段的长度,后两种都可转化为两点间的距离.两平行线间的距离是一条直线上任意点到另一条直线的距离(点到直线的距离),而点到直线的距离是该点到直线的垂线段的长度,即点到垂足(点到点)的距离.复习提纲1. 平行线的性质:性质1:两直线平行,同位角相等;性质2:两直线平行,内错角相等;性质3:两直线平行,同旁内角互补。
几何符号语言:∵AB∥CD∴∠1=∠2(两直线平行,内错角相等)∵AB∥CD∴∠3=∠2(两直线平行,同位角相等)∵AB∥CD∴∠4+∠2=180°(两直线平行,同旁内角互补)2.两直线平行的判定方法方法一两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行简称:同位角相等,两直线平行。
初中数学北师大版八年级上册4 平行线的性质
2 3
BD//CE C 4 C D
DE
F
2
3
4 D
1
AC//DFΒιβλιοθήκη A FA4 BC
例2、已知:如图,CD⊥AB,垂足为D,点F是BC上任意一点, EF⊥AB,垂足为E,且 1 2 ,3 800 , 求 BCA 的度数。 分析: 首先,由CD AB, EF AB,可得CD // EF.
求 BCA的度数。
证明: CD AB, EF AB
A
CD // EF
1 4 1 2 2 4
D
3 G
2
E
BC // DG BCA 3
1
4
B
F
C
3 800
BCA 800
三、例1
• 已知:如图,1 2, C D.求证 : A F
• 分析:首先,由1 2,易证BD // CE. 其次,要证明A F,需要 通过证明AC // DF得到. 难点突破,由BD // CE,得到C 4,
DE
F
2
3
1
因为C D,所以4 D
A
4 BC
已知:如图,1 2, C D.求证 : A F 证明: 1 2,1 3
• 2、需要证明两条直线平行时,它们包含的同位角(内错角、同旁内 角)有多组却都不已知,选择哪一组角才可以证明得到?
• 3、不必慌张,认真审题,这类题目中通常会有一个两个角相等却看 起来没用的已知条件,这就是我们解题时突破难点的关键条件
为方便解释和理解,我们假设这两个角为A和B,A B看似 无用,但将两个角拆开来看,可能A是已知的两条平行直线的
7.4平行线的性质(第二课时) (平行线的性质与判定的综合运用)
八年级 上册 宁化第六中学 邱宗泉
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2)如图(2)AB∥EF,BC∥DE,试判断∠1与∠2的关系,并说明
理由;
3)经过上述证明,可以得到一个真命题:如果________,那
么________.
A
(1) A
F
(2)
F
3
C
C
1
1
B
2
E
B
3
D
2
E
D
2020/9/13
证明:
1) ∵ AB∥EF(已知)
∴ 又∵
∠BC1∥= ∠DE3((已两知直)线平行,同位角相等)(1)
2.如平图行,于已同知直一线条D直E经线过的点两A条,D直E线∥_B_C_,.
∠B=44°,∠C=57°
DAE
1)∠DAB等于多少度?
2)∠EAC等于多少度?
2020/9/13
B
C
合作探究一:
例1 已知一角的两边与另一个角的两边平行,分别结合下图 ,试探索这两个角之间的关系,并证明你的结论。
1)如图(1)AB∥EF,BC∥DE,试判断∠1与∠2的关系,并说明 理由;
A
∴ ∠2= ∠3(两直线平行,同位角相等) 1
F
3
C
∴ ∠1= ∠2(等量代换)
B
2
D
E
A
2)∵ AB∥ EF (已知) ∴ ∠1= ∠3 (两直线平行,内错角相等)
(2)
又∵ BC∥DE ∴ ∠2+∠3= 180°(两直线平行,同旁内角相等)
B
1 3 2
F C
∴ ∠1+∠2= 180° (等量代换)
C. 35° D. 25° a1
3 b
2 c
2020/9/13
2.如图,AB∥CD,∠CDE=∠140°,则∠A的度数 为( D).
A. 140° B. 60° C. 50° D. 40°
140° E
C
D
A
B
2020/9/13
3.已知:如图,AD∥BC,∠ABD=∠D. 求证:BD平分∠ABC.
1
a
2
b
3
c
2020/9/13
2.如图,已知DE∥BC,CD平分∠ACB,∠AED=80°, 求∠DCB的度数.
A
证明:∵ DE∥BC(已知)
∴ ∠ACB=∠AED(两直线平行,同位角相等)
又∵ ∠AED=80°(已知)
∴ ∠ACB=80°(等量代换) 又∵ BC,CD平分∠ACB(已知)
D
∴∠ACD=∠DCB(角平分线定理)
证明:∵ AD∥BC(已知)
∴ ∠DBC=∠D(两直线平行,内错角相等)
又∵ ∠ABD=∠D(已知)
A
∴ ∠DBC= ∠ABD(等量代换)
D
∴ BD平分∠ABC
B
C
2020/9/13
测试评价:
1. 如图,b∥a,c∥a,∠1,∠2,∠3是直线a,b,c被
直线d截出的同位角。
求证:b∥c
d
证明:∵b∥a(已知) ∴∠2=∠1(两直线平行,同位角相等). ∵c∥a(已知) ∴∠3=∠1(两直线平行,同位角相等). ∴∠2=∠3(等量代换). ∴b∥c(同角的两边与另一个角的两边平行,
那么这两个角相等或互补.
2020/9/13
1、 平行的的判定与性质:
性质
两直线平行
判定
§ 同位角相等 §内错角相等
§同旁内角互补
2020/9/13
巩固训练:
1.如图,直线a ∥b,直线c与a,b相交, ∠1=65°, 则∠2=(B).
A. 115°
B. 65°
∴2∠DCB=∠ACB=80°
∴∠DCB=40°
B
E C
2020/9/13
作业布置:
必做题:课本习题7.5 第2、3题 选做题:课本习题7.5 第4题
2020/9/13
2020/9/13
2020/9/13
复习回顾:
1、判定两直线平行的方法有哪些?
c 1a
2
b ∵ ∠1=∠2 ∴a ∥b
c
c
a
3 4
b
a
5
6
b
∵ ∠3=∠4 ∵ ∠5+∠6= 180°
∴a ∥b
∴a ∥b
2020/9/13
预习展示:
1.平行线的性质定理:
两直线平行,同相位等角________;
相等
两直线平行,内错互角补 ________; 两直线平行,同旁内角平_行_____;