实物粒子的波动性(07.12)

说明原子光谱的谱线必有一定的宽度。
玻尔和索末菲
玻 尔 和 泡 利
玻 尔 、 海 森 堡 和 泡 利
§16-6 量 子 力 学 简 介
一、波函数、概率密度
1、 自由粒子的波函数
平面波的波动方程： y Acos2 t x
i 2 t x
y Ae
对于沿X方向运动的单能自由粒子（E和P一定）
0
2 x2
iP
2
P2 2
t
i
E
自由粒子 E P2
2m
-
2 2m
2 x2
i
t
2、一般（含时）薛定谔方v程 c
若粒子处在势场V(x,t)中运动，将 E P2 V(x,t)
代入：
2m
2 x2
iP
2
P2 2
t
i
E
-
2 2m
2 x2
V
i
t
三维：
将 2 换成 2
Vx mx 9.111031 1104 1.2m / s
电子经9kV加速后的速度为：
Vx
2eV 5.6 107 m / s m
讨论：由于Vx Vx ，电子的波动性无法观测，图象 清晰。
*能量和时间的不确定关系：
E t
可解释原子激发态能级宽度E和它在激发 态的平均寿命t呈反比。
设原子在激发态的时间为 108 激发态能级的宽度 E 1.0 1026 J
历史上有代表性的观点: 1.波由粒子组成，波动性是粒子相互作用的次级效应
实验否定:电子一个个通过单缝，长时间积累也出现衍射效应
.... .... .
物质波不是由粒子组成的!
2. 粒子由波组成，是不同频率的波叠加而成的“波包”
单个电子不能形成衍射花样
实验 介质中频率不同的波 u 不同，波包应发散，
否定 但未见电子“发胖” 不同介质界面波应反射，折射，但未见电子 “碎片”
在 d 体积内，粒子出现的几率： 2d
1）不是粒子在哪里，而是可能在哪里，对吗？ 2）物质波是一群粒子组成的一个粒子没有 波动性，对吗？ 3）粒子由一条波浪线组成，对吗？
3、波函数的标准条件： 单值、连续、有限。
4、波函数的归一化条件: dτ 1
一维： x t 2dx 1
例: 设粒子在一维空间运动，其状态可用波函数描述为：
x 2
x 2
2 y 2
2 z 2
＝ 2
2 V i 一般薛定谔方程
2m
t
3当、v定态v（(r不)含时时,）薛定谔（方r,程t) （r ) f(t)
作为特例：V=V(x)，此时：（x, t) （x ) f(t)
2m
d2(x, dx 2
t)
V(x)
i
d t
两边同除以 (x, t) (x)f (t)
1924年，法国年轻的物理学家德布洛意 （是年32岁）在他的博士论文 《量子理论的 研究》中指出：
“整个世纪来，在光学上，比起波动的研究，
是过于忽视了粒子的研究。但是在物质粒子的 理论上，我们是否发生了相反的错误呢？是不 是我们把关于粒子的图象想得太多，而过分地 忽视了波的图象”
德布洛意：
在量子力学上跨出革命性第一步的人，法国贵族。
18岁获历史学硕士，其后 受其兄莫里斯·德布洛意的影 响，26岁攻读巴黎大学物理 学，32岁获博士学位。
其博士论文《量子理论的研 究》于1929年获诺贝尔奖。
在他的博士论文中，他大胆 地提出物质波假设。
德布洛意的思路
“实物粒子有质量， 质量就是能量， 能量含有频率， 频率即为脉动， 脉动好象光子， 光子伴有光波， 必有实物波存在。”
借用经典物理量来描述微观客体时，必须对经典物理量 的相互关系和结合方式加以限制。其定量表达
——海森伯不确定关系。
例：若中子的德布罗意波长为1A，则它的动
能是多少？（中子的质量m=1.67*10-27Kg)
解：
1 2
m v2
p2 2m
h2
2m2
( 6.63 1034 )2 2 1.67 1027 ( 1010
p h n
2r
n=6电子驻波
L rp h n n n 1,2,3,
2
48 个 Fe 原 子 形 成 “ 量 子 围 栏 ” ， 围栏中的电子形成驻波.
三、应用： 仪器分辨率: R D
1、电子显微镜：
电子波长比可见光波长小10-310-5数量级， 从而可大大提高电子显微镜的分辨率。
安工大电镜 透射电子显微镜（TEM）
例如：一电子具有200m•s-1的速率，动量的不 确定范围为动量的0.01%，则该电子的位置不 确定范围有多大？
解： 电子的动量：
p mv 9.1 1031 200 1.8 1028kg m s1
动量的不确定范围：
p 0.01p 1.8 1032kg m s1
电子的不确定范围：x
)2
8.23 1021 J
例：若玻尔半径为r1，则氢原子中第n轨道 的电子的德布罗意波长为多大？
解： h
动量矩：L mvrn n
m v 轨道半径：rn n2r1
n h mv
rn 2 nr1
h mv
2
nr1
§16-5 不 确 定 关 系
一、由电子的单缝衍射看不确定关系
长时间积累后
电子通过狭缝位
不确定关系是实物粒子具有波动性的必然 反映,不是测量技术和主观能力的问题。
例：小球质量m=10-3千克，速度V=10-1 米/秒，x=10-6米，则速率的不确定范围 为多大？
解：
px
x
1.061028 kg
m
/
s
Vx
1.06 1028 m
1.061025 m
/
s
不确定关系对宏观物体来说，实际上 是不起作用的。
三维：
0e
i
Et
px
2、波函数的物理意义（1926年波恩对波函数提出的统计解释）
Born的“概率波”思想
：
在d 内，粒子出现的几率
d
（2 概率波
0
的强度），
即： d 02d
因此，粒子t时刻在某点出现的几率密度
波 刻函，数在模r的处dd平单方位体0|2积(r内,2t出)|2现表的示*概粒率子密在度t。时
(x,t) 0
(x b / 2), x b / 2)
(
x,
t)
A exp(
iE
t)
cos(x
b
)
(b / 2 x b / 2)
其中A为任意常数，E和b均为确定的常数
求：归一化的波函数；几率密度 2？
b/
2
|
(x,
t)
|2
dx
b/ 2 | (x,t) |2 dx
| (x,t) |2 dx 1
例：质量m=0.01kg，速度v=300m/s的子弹， 其德布洛意波长为：
h h 6.631034 2.211034m
p mv 0.01300 太小测不到！
子弹只表现出粒子性，并不是说没有波动性。
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微观粒子在某些条件下表现出粒子性 在另一些条件下表现出波动性 两种性质虽寓于同一体中 却不能同时表现出来
2、扫描隧道显微镜：
四、德布洛意波的统计解释： (1)入射强电子流:
U
许多电子通过单缝,底片上很快出现衍射图 样,这是许多电子在同一个实验中的统计结果.
(2)入射弱电子流： 衍射图样是一个电子重复许多次相同 实验表现出的统计结果.
衍射图样来源于 “一个电子”所具 有的波动性!
对实物粒子波粒二象性的理解
I
集
U
电 器
G
=500
U 54
2
1
d
由 12.2 A 1.67 A
U
将 d 0.215nm 代入 d sin k 510
2、G.P.汤姆逊电子衍射（1927年）
电子透过金属多晶薄膜的衍射实验.
实验原理
衍射图象
1929年 德布洛意获诺贝尔物理奖。
戴维逊和革末实验证明了电子在反射时有衍射 现象，汤姆逊实验证明了电子在穿过金属片后也 象X 射线一样产生衍射现象。 电子的衍射实验证明了
出现衍射图样
置不x确定范a围： X
p h
一级暗纹处：
p
sin
a
Y
a
动量沿x方向的不确定
Px p
范围： px
p sin
p
a
p sin
Py
因此，
x px
a
p
a
p
由德布罗意公式： h
p
x px h
严格证明：
x px
海森伯不确定关系
表明： 对于微观粒子，不可能同时用确 定的坐标和确定的动量来描述。
d2(x)
16-4 实物粒子的波动性 --- 德布洛意物质波假设的提出和验证
一、对光本性认识的简单回顾
*光的微粒学说( 17—18 世纪) *光的波 动学说（18—19 世纪上半叶） *光的电 磁理论（19 世纪中下叶） *光量子学 说（19 世纪末 — 20 世纪初）
光的干涉，衍射，偏振反映了光的波动性 光电效应，康普顿效应反映了光的粒子性 光既有波动性又有粒子性 ——光的波粒二象性。
Transmission Electron Microscope
1987年进口 25万$ ( 现价10万$ )
仪器简介 :
日立牌 H－800透射电子显微 镜 最 高 加 速 电 压 ： 200kv, 分 辨 率 为4. 5A。
电子的德波波长很短，用电子显微镜衍 射效应小，可放大200万倍，能提供材料 及其细微的组织结构信息。
波或粒子 ？ 在经典框架内无法统一
“波和粒子”？
山重水复疑无路，柳暗花明又一村。 一种崭新的观念和优美的数学方法悄然而生
(3)玻恩“概率波”说（1954年诺贝尔奖）
回顾：光的衍射 光—光子流
E h , I Nh N
条纹明暗分布——屏上光子数分布 强度分布曲线——光子堆积曲线
设想：光强 I , 光子一个个通过，光子是如何运动的？
E h p h
当自由粒子的速度 v c
p2 Ek 2m
h h
p 2mE k
例如：电子经加速电场U加速后：
Ek eU
h
12.2 0 A
2meU U
若U＝150V，
电子的德布洛意波长：
＝12.2 12.2 A 1A
U
150
二、德布洛意波实验验证：
1、戴维逊和革末的电子衍射（1927年）
A
德布洛意关系的正确性。
G·P·
戴维逊和汤姆逊因验证
电子的波动性分享1937年
汤
的物理学诺贝尔奖金。
姆 逊
像
1961年，约恩逊又做了电子的单缝、双缝、 三缝和四缝衍射实验。
单缝 双缝 三缝 四缝 后来实验又验证了：质子、中子和原子、 分子等实物粒子都具有波动性，并都满足德布 洛意关系。
一颗子弹、一个足球有没有波动性呢？
b / 2
b/2
即： A2 b/2 cos2 (x )dx 1
b/ 2
bห้องสมุดไป่ตู้
A 2 b
(x,t) 2 0
(x b / 2), x b / 2)
(x,t) 2 2 cos2 ( x )
b
b
(b / 2 x b / 2)
二、 薛定谔方程
1、一维自由粒子含时薛定谔方程 v c
e
i
Etpx
p
6.63 1034
2 1.8 1032
5.9 103 m
电子位置的不确定范围甚至比原子的大 小还要大几亿倍。
例：电视显象管中电子的加速电压为9kV，电子 枪枪口直径为0.1mm， 求：出枪口之后电子的横向速度，并加以讨论。
解： x 1104 mm m 9.111031 kg
6.63 10 34
零强度： 电子到达概率为零
物质波的强度分布反映实物粒子出现在空间各处的概率
玻恩统计解释： 在某处德布洛意波的强度是与粒子在该处邻近 出现的几率成正比。 几率？ 解薛定谔方程！
人们还在继续探索物质波的本质，但无论其物 理实质是什么，物质波的强度代表着微观粒子 在空间的概率分布已经是没有疑问的了。
微观粒子的运动具有不确定性，不遵从经典力学方程， 只能用物质波的强度作概率性描述。
美丽的少女？
丑陋的老太婆？
两种图象不会 同时出现在你 的视觉中
例：从德布罗意波导出玻尔理论中角动量 量子化条件
德布罗意指出：氢原子中电子的圆轨道运动， 它所对应的物质波形成驻波，轨道周长应等于 波长的整数倍。
2r n n 1, 2, 3,
当n=1：
由德布罗意波：
p h
得出角动量量子化条件：
德布洛意的获奖论文
爱因斯坦评价： “揭开了自然界巨大帷幕的一角” “瞧瞧吧，看来疯狂，可真是站得住脚呢”
1、德布洛意物质波的假设
任何运动的粒子皆伴随着一个波，粒子的 运动和波的传播不能相互分离。
粒 E mc 2 h 波
子 性
p mv h
动 德布洛意关系式 性
物质波假设的提出：
—— “宇宙是匀称的，和谐的”科 学观念与“类比思维” ，“辨证思维”科学思想 和科学方法的完美结合及体现。
通过光栅到达屏上某点
通过哪个缝 落到哪一点
？
起点，终点，轨道均不确定，只能作概率性判断
亮纹： 光子到达概率大 次亮纹： 光子到达概率小
暗纹： 光子到达概率为零
光强分布 —— 光子落点概率分布, “光子波”—— 概率波
类比： 与实物粒子相联系的物质波——概率波
.... .... .
强度大： 电子到达概率大 强度小： 电子到达概率小