反函数PPT课件

二、定义理解
1.函数存在反函数的条件: 映射 f: A→C 为一一映射. 2.函数在其定义域区间上可能不存在反函数, 但可以在定义 域区间的某个子区间上存在反函数. 3.反函数的定义域和值域分别是原函数的值域和定义域. 注意: 反函数的定义域不能由其解析式来求.
三、简单性质
1.互为反函数的两个函数的图像关于直线 y=x 对称; 2.单调函数一定存在反函数, 但有反函数的函数不一定是单 调函数;
2+2x, 2-1, x x ≥0, ( x +1) x≥0, 解: 原函数可写成: y= -x2+2x, x<0. 即 y= -(x-1)2+1, x<0.
当 x≥0 时, y≥0, 由 y=(x+1)2-1 得: x=-1+ y+1 ; 当 x<0 时, y<0, 由 y=-(x-1)2+1 得: x=1- 1-y . -1+ x+1, x≥0, 故所求反函数为 y= 1- 1-x , x<0.
例2 设函数 f(x)=1- 1-x2 (-1≤x≤0), 则函数 y=f-1(x)的图像可 能是 ( B )
y
1 -1
y
1
y
1
y
1
o
xoΒιβλιοθήκη -1xo1
x
o
-1
x
(A)
(B)
(C)
(D)
例3 求下列函数的反函数:
2+ x (1) y= (0≤x<1); 3- x
(2) y=x|x-2|+4x.
3 (1) y =( 3x-2 )2( 2 ≤x< ). 3 2 x+1 (2) y = x+1 -1 (x≥8), 3- 9-x (x<8).
例4 解答下列关于反函数的问题: 3x+2 (1)已知函数 f(x) = x+a 的图像关于直线 y=x 对称, 求实数 a 的值; (2)求函数 y= 1-x 与它的反函数图像的交点坐标.
x 2 -1( 1 ) 的值. 例5 已知 f(x)= , x ∈ R, 求 f 3 1+2x
答案
4.(1)a=-3; (2)( 5-1 , 2 5. f-1( 1 3 )= -1. 5-1 ); (1, 0); (0, 1). 2
6.已知函数 f(x)=( x-1 )2 (x≥1), f-1(x) 是 f(x) 的反函数, g(x)= x+1 1 + x +2, 求: (1) f-1(x) 的定义域和单调区间; (2) g(x) 的最 f-1(x) 小值. -1 <1. ∴ 0≤( x-1 )2<1. 解: (1) ∵x≥1, ∴ 0≤ x 即 0≤f(x)<1. x+1 x+1 ∴f(x) 的值域是 [0, 1). 故 f-1(x) 的定义域是 [0, 1). 1+ y x 1 x 1 2 (0≤y<1). 由 y=( x+1) (x≥1)得: x+1 = y , 解得: x= 1- y 1+ x 1 ∴f (x)= (0≤x<1). 1- x 又对任意的 x1, x2[0, 1), 且 x1<x2, 有: x1 < x2 <1. 2 2 ∴ < . ∴ 1- x1 >1- x2 >0, 1- x1 1 - x2 2 2 ∴ -1+ <-1+ . 即为: f-1(x1)<f-1(x2). 1- x2 1- x1 ∴ [0, 1) 是 f-1(x) 的单调增区间.
答案
1. (17, 25); (1, 1) 2.(-∞, 0], f-1(x)=log2(1- x+1 )(-1≤x<0); [0, +∞), f-1(x)=log2(1+ x+1 )(x≥-1). 3. f-1(x)= 1-ax (x≠2); a=-2. x- 2
4.求函数 y=x|x|+2x 的反函数.
5.已知点 (-2, -4) 在函数 f(x)=1- ax2+25 (-5≤x≤0) 的反函 数 f-1(x) 的图象上, 试讨论 f-1(x) 的单调性. 解: 由已知, 点 (-4, -2) 在函数 f(x)=1- ax2+25 的图象上. ∴ -2=1- 16a+25 . 解得 a=-1. ∴f(x)=1- 25-x2 . ∵-5≤x≤0, ∴-4≤f(x)≤1. 由 y=f(x)=1- 25-x2 得 x=- 25-(y-1)2 (-4≤y≤1). ∴ f-1(x) =- 25-(x-1)2 (-4≤x≤1). 令 t(x)=25-(x-1)2, 易知, t(x) 是 [-4, 1] 上的增函数. 又 y=- t 是减函数, ∴ f-1(x) =- 25-(x-1)2 是 [-4, 1] 上的减函数.
1.求函数 y=f(x) 中 y 的取值范围, 得其反函数中 x 的取值范围;
2.由 y=f(x) 解出 x=f-1(y) (即用 y 表示 x); 3.交换 x=f-1(y) 中的字母 x, y, 得 f(x) 反函数的表达式 y=f-1(x), 4. 标出 y=f-1(x) 中 x 的取值范围.
七、课堂练习
1.若映射 f: A B 中, A=B={(x, y) | x∈R, y∈R}, f: (x, y) (x+2y+2, 4x+y), 试求: (1) A 中的元素 (5, 5) 的象; (2) B 中的元 素 (5, 5) 的原象. 2.试求使函数y=4x-2x+1 存在反函数的定义域区间, 并求相 应区间上的反函数. x+1 (x≠-a, a ≠ ). 1 (1) 求 f(x) 的反函数 f-1(x); 3.已知 f(x) = 2 x +a 2 (2) 若f(x)=f-1(x), 求 a 的值; (3)作出满足(2)中条件的 y=f-1(x) 的 图象.
3.奇函数不一定有反函数, 偶函数在一般情况下无反函数; 4.互为反函数的两个函数在各自的定义域区间上具有相同的 单调性;
5.若 b=f(a), 则 a=f-1(b); 若 a=f-1(b), 则 b=f(a),
即: 若 a∈A, b∈C, 则 f-1[f(a)]=a, f[f-1(b)]=b.
四、求函数的反函数的步骤
五、函数与其反函数图像的交点问题
如果一个函数与其反函数的图像有公共点, 则公共点在 直线 y=x 上, 或者关于直线 y=x 对称地成对出现. 例如函数 y = -3x+7 ; 1 x 又如函数 y =(16 ) .
六、典型例题
例1 函数 y= x- 2 (x∈R, 且 x ≠ 1 ) 的反函数是 ( A) 2 2x- 1 x- 2 2x - 1 1 (A) y= (x∈R, 且 x ≠ ) (B) y= x-2 (x∈R, 且 x ≠ 2) 2x- 1 2 (C) y= x+2 (x∈R, 且 x ≠ 1 ) 2x- 1 2 2x- 1 (D) y= x+2 (x∈R, 且 x≠-2)
一、定义
设函数 y=f(x) 定义域为 A, 值域为 C. 如果从式子 y=f(x) 解 得 x=(y), 且对于 y 在 C 中的任何一个值, x 在 A 中都有唯一 确定的值和它对应, 那么式子 x=(y) 就表示 x 是变量 y 的函数, 把 x=(y) 叫做函数 y=f(x) 的反函数, 记作: x=(y)=f-1(y). x=f-1(y) 一般改写成 y=f-1(x), 其定义域为 C, 值域为 A.