2015高考数学(理)一轮题组训练:11-1分类加法计数原理与分步乘法计数原理

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第十一篇计数原理

第1讲

分类加法计数原理与分步乘法计数原理

基础巩固题组

(建议用时:40分钟)

一、填空题

1.某市汽车牌照号码可以上网自编,但规定从左到右第二个号码只能从字母B,C,D中选择,其他四个号码可以从0~9这十个数字中选择(数字可以重复),有车主第一个号码(从左到右)只想在数字3,5,6,8,9中选择,其他号码只想在1,3,6,9中选择,则他的车牌号码可选的所有可能情况有________.

解析按照车主的要求,从左到右第一个号码有5种选法,第二位号码有3种选法,其余三位号码各有4种选法.因此车牌号码可选的所有可能情况有5×3×4×4×4=960(种).

答案960种

2.(2012·新课标全国卷改编)将2名教师,4名学生分成2个小组,分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动,每个小组由1名教师和2名学生组成,不同的安排方案共有________.

解析分两步:第一步,选派一名教师到甲地,另一名到乙地,共有C12=2种选派方法;

第二步,选派两名学生到甲地,另外两名到乙地,共有C24=6种选派方法.由分步乘法计数原理,不同选派方案共有2×6=12(种).

答案12种

3.6位选手依次演讲,其中选手甲不在第一个也不在最后一个演讲,则不同的演讲次序共有________.

解析第一步先排甲,共有A14种不同的排法;第二步再排其他人,共有A55种不同的排法.因此不同的演讲次序共有A14·A55=480(种).

答案480种

4.从集合{1,2,3,…,10}中任意选出三个不同的数,使这三个数成等比数列,这样的等比数列的个数为________.

解析以1为首项的等比数列为1,2,4;1,3,9;

以2为首项的等比数列为2,4,8;

以4为首项的等比数列为4,6,9;

把这四个数列顺序颠倒,又得到4个数列,

∴所求的数列共有2(2+1+1)=8(个).

答案8

5.集合P={x,1},Q={y,1,2},其中x,y∈{1,2,3,…,9},且P⊆Q.把满足上述条件的一对有序整数对(x,y)作为一个点的坐标,则这样的点的个数是________.

解析当x=2时,x≠y,点的个数为1×7=7(个).

当x≠2时,由P⊆Q,∴x=y.

∴x可从3,4,5,6,7,8,9中取,有7种方法.

因此满足条件的点共有7+7=14(个).

答案14

6.从班委会5名成员中选出3名,分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员,其中甲、乙二人不能担任文娱委员,则不同的选法共有________种(用数字作答).

解析第一步,先选出文娱委员,因为甲、乙不能担任,所以从剩下的3人中选1人当文娱委员,有3种选法.

第二步,从剩下的4人中选学习委员和体育委员,又可分两步进行:先选学习委员有4种选法,再选体育委员有3种选法.

由分步乘法计数原理可得,不同的选法共有3×4×3=36(种).

答案36

7.如图所示,在连接正八边形的三个顶点而成的三角形中,与正八边形有公共边的三角形有________个.

解析把与正八边形有公共边的三角形分为两类:

第一类,有一条公共边的三角形共有8×4=32个;

第二类,有两条公共边的三角形共有8个.

由分类加法计数原理知,共有32+8=40(个).

答案40

8.8名世界网球顶级选手在上海大师赛上分成两组,每组各4人,分别进行单循环赛,每组决出前两名,再由每组的第一名与另一组的第二名进行淘汰赛,获胜者角逐冠、亚军,败者角逐第3,4名,大师赛共有________场比赛.解析小组赛共有2C24场比赛;半决赛和决赛共有2+2=4场比赛;根据分类加法计数原理共有2C24+4=16(场)比赛.

答案16

二、解答题

9.电视台在“欢乐在今宵”节目中拿出两个信箱,其中放着竞猜中成绩优秀的观众来信,甲箱中有30封,乙箱中有20封,现由主持人抽奖确定幸运观众,若先从中确定一名幸运之星,再从两箱中各确定一名幸运观众,有多少种不同结果?

解(1)幸运之星在甲箱中抽,选定幸运之星,再在两箱内各抽一名幸运观众有30×29×20=17 400种.

(2)幸运之星在乙箱中抽取,有20×19×30=11 400种.

共有不同结果17 400+11 400=28 800(种).

10.“渐升数”是指每个数字比它左边的数字大的正整数(如1 458),若把四位“渐升数”按从小到大的顺序排列,求第30个“渐升数”.

解渐升数由小到大排列,形如

的渐升数共有6+5+4+3

形如

的渐升数共有5个.

形如

的渐升数共有4个.

故此时共有21+5+4=30(个).

因此从小到大的渐升数的第30个必为1 359.

能力提升题组

(建议用时:25分钟)

一、填空题

1.如图,一环形花坛分成A,B,C,D四块,现有4种不同的花供选种,要求在每块里种1种花,且相邻的2块种不同的花,则不同的种法总数为________.

解析可依次种A,B,C,D四块,当C与A种同一种花时,有4×3×1×3=36种种法;当C与A所种花不同时,有4×3×2×2=48种种法.

由分类加法计数原理,不同的种法种数为36+48=84.

答案84

2.在某种信息传输过程中,用4个数字的一个排列(数字允许重复)表示一个信息,不同排列表示不同信息.若所用数字只有0和1,则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为________.

解析若4个位置的数字都不同的信息个数为1;若恰有3个位置的数字不同的信息个数为C34;若恰有2个位置上的数字不同的信息个数为C24.

由分类加法计数原理知满足条件的信息个数为1+C34+C24=11.

答案11

3.如图所示,在A、B间有四个焊接点,若焊接点脱落,则可能导致电路不通,

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