平面向量应用举例(教学案)
平面向量应用教案
平面向量应用教案一、引言平面向量是数学中的重要概念之一，它在解决各种几何和物理问题中有着广泛的应用。
本教案将介绍平面向量在几何和物理中的具体应用，帮助学生更好地理解和掌握平面向量的使用方法。
二、平面向量的表示与性质1. 平面向量的表示方法平面上的向量可以使用有序数对或者坐标表示。
例如，向量AB可以表示为➡️ AB 或者 (x, y)。
其中，向量的起点为A，终点为B。
向量的模长可以通过勾股定理计算得到。
2. 平面向量的性质平面向量具有位移性、共线性和反箭头性质等基本性质。
在计算中，我们可以通过向量加法、数乘和平移等运算来处理各种向量问题。
三、平面向量的应用1. 几何应用1.1 平行四边形的性质平行四边形的两条对角线互相平分，即向量AC = -向量BD，向量AD = -向量BC。
这个性质在解决平行四边形相关问题时非常有用。
1.2 向量和三角形面积三角形ABC的面积可以通过向量积的大小来计算，即S△ABC =1/2 |AB × AC|。
这个公式对于求解三角形面积问题非常方便。
2. 物理应用2.1 力的合成与分解力的合成是指将多个力的作用效果等效为一个力的过程。
我们可以利用平面向量的加法来求解力的合成问题。
而力的分解是指将一个力拆解为多个分力的过程，这可以通过平面向量的减法来实现。
2.2 力的平衡与不平衡多个力在平面上的合力为零时，称为力的平衡。
我们可以使用平面向量的加法和减法来求解力的平衡问题。
相反，当多个力在平面上的合力不为零时，称为力的不平衡。
这种情况下，平面向量的合力将导致物体加速度的出现。
四、案例分析通过以下案例，我们来具体应用平面向量解决几何和物理问题。
案例1：求解平行四边形的对角线交点坐标。
已知平行四边形ABCD的顶点坐标分别为A(-2, 1)，B(1, 3)，C(4, 1)和D(1, -1)，求对角线AC和BD的交点坐标。
解析：向量AC = (4, 1) - (-2, 1) = (6, 0)向量BD = (1, -1) - (1, 3) = (0, -4)由于对角线互相平分，所以交点坐标为平行四边形对角线的中点。
人教版数学平面向量应用举例教案
必修4模块第二单元教学设计方案第九学时～第十学时2.4.1 向量在平面几何中的应用一、教学目标1．知识与技能：运用向量的有关知识（向量加减法与向量数量积的运算法则等）解决平面几何和解析几何中直线或线段的平行、垂直、相等、夹角和距离等问题2．过程与方法：通过应用举例，让学生会用平面向量知识解决几何问题的两种方法-----向量法和坐标法3．情感、态度与价值观：通过本节的学习，让学生体验向量在解决几何问题中的工具作用，增强学生的积极主动的探究意识，培养创新精神。
二、教学重点难点重点：理解并能灵活运用向量加减法与向量数量积的法则解决几何问题.难点：选择适当的方法，将几何问题转化为向量问题加以解决.三、教学方法本小节主要是例题教学，要让学生体会思路的形成过程，体会数学思想方法的应用。
教学中，教师创设问题情境，引导学生发现解题方法，展示思路的形成过程，总结解题规律。
指导学生搞好解题后的反思，从而提高学生综合应用知识分析和解决问题的能力。
例如，向量数量2.4.2 向量在物理中的应用举例一、教学目标：1．知识与技能：运用向量的有关知识（向量加减法与向量数量积的运算法则等）解决简单的物理问题. 2．过程与方法：通过应用举例，让学生理解用向量知识研究物理中的相关问题的“四环节”和生活中的实际问题，培养学生的探究意识和应用意识，体会向量的工具作用.3．情感、态度与价值观：通过本节的学习，让学生体验向量在物理问题中的工具作用，增强学生的积极主动的探究意识，培养创新精神。
二、教学重点难点：重点：利用向量方法解决与物理相关的实际问题难点：选择适当的方法，建立以向量为主的数学模型，把物理问题转化为数学问题三、教学方法本小节主要是例题教学，要让学生体会思路的形成过程，体会数学思想方法的应用。
教学中，教师创设问题情境，引导学生发现解题方法，展示思路的形成过程，总结解题规律。
指导学生搞好解题后的反思，从而提高学生综合应用知识分析和解决问题的能力。
平面向量应用教案
平面向量应用教案教案标题：平面向量应用教案教案目标：1. 理解平面向量的概念及其基本性质；2. 掌握平面向量的加法、减法和数量乘法运算规则；3. 能够应用平面向量解决实际问题；4. 培养学生的分析和解决问题的能力。
教案步骤：I. 导入（5分钟）A. 激发学生对平面向量的兴趣，引入平面向量的概念和应用；B. 提出一个简单的问题，例如：给出两个平面向量A和B，求它们的和向量与差向量。
II. 知识讲授（15分钟）A. 讲解平面向量的定义和表示方法，包括向量的模、方向、标志等；B. 阐述平面向量的加法、减法和数量乘法运算规则；C. 介绍平面向量的基本性质，例如交换律、结合律等。
III. 基本应用（20分钟）A. 通过实例演示平面向量的加法和减法运算；B. 引导学生进行基本练习，巩固加法和减法的应用能力；C. 通过解决实际问题，如平面位移、速度和力的合成等，让学生体会平面向量在物理问题中的应用。
IV. 深化应用（25分钟）A. 设计更复杂的问题，引导学生思考如何利用平面向量解决；B. 分组合作，让学生使用平面向量解决具体问题，如推导三角形中的角平分线等；C. 学生展示解题过程并互相评价，加强对平面向量应用的理解和掌握。
V. 总结与拓展（10分钟）A. 总结平面向量的基本概念和运算法则；B. 给学生提供一些拓展性问题，鼓励他们独立思考和探索更多的平面向量应用。
VI. 作业布置（5分钟）A. 布置一些练习题，巩固平面向量的应用能力；B. 鼓励学生在日常生活中寻找更多与平面向量相关的实际问题，并尝试解决。
教学辅助工具：- 平面向量的定义和示意图；- 教学课件，包括运算规则和实际问题的解决过程；- 学生练习册和教辅材料。
教学评估：1. 在知识讲授环节，观察学生对平面向量的基本概念和运算规则的理解程度，及时纠正和解答疑惑；2. 在基本应用和深化应用环节中，观察学生解决问题的思路和方法，以及解答问题的准确性和完整性；3. 综合考察学生在作业布置中的应用能力和创新思维。
平面向量应用举例(教学案)
2.5平面向量应用举例一、教材分析向量概念有明确的物理背景和几何背景，物理背景是力、速度、加速度等，几何背景是有向线段，可以说向量概念是从物理背景、几何背景中抽象而来的，正因为如此，运用向量可以解决一些物理和几何问题，例如利用向量计算力沿某方向所做的功，利用向量解决平面两条直线平行、垂直位置关系的判定等问题。
二、教案目标1.通过应用举例，让学生会用平面向量知识解决几何问题的两种方法-----向量法和坐 标法，可以用向量知识研究物理中的相关问题的“四环节” 和生活中的实际问题2.通过本节的学习，让学生体验向量在解决几何和物理问题中的工具作用，增强学生的 积极主动的探究意识，培养创新精神。
三、教案重点难点重点：理解并能灵活运用向量加减法与向量数量积的法则解决几何和物理问题. 难点：选择适当的方法，将几何问题或者物理问题转化为向量问题加以解决. 四、学情分析在平面几何中，平行四边形是学生熟悉的重要的几何图形，而在物理中，受力分析则是其中最基本的基础知识，那么在本节的学习中，借助这些对于学生来说，非常熟悉的容来讲解向量在几何与物理问题中的应用。
五、教案方法1.例题教案，要让学生体会思路的形成过程，体会数学思想方法的应用。
2.学案导学：见后面的学案3.新授课教案基本环节：预习检查、总结疑惑→情境导入、展示目标→合作探究、精讲点拨→反思总结、当堂检测→发导学案、布置预习六、课前准备1.学生的学习准备：预习本节课本上的基本容，初步理解向量在平面几何和物理中的 应用2.教师的教案准备：课前预习学案，课探究学案，课后延伸拓展学案。
七、课时安排：1课时 八、教案过程(一)预习检查、总结疑惑检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑，使教案具有了针对性。
(二）情景导入、展示目标 教师首先提问：（1）若O 为ABC ∆重心,则OA +OB +OC =0（2）水渠横断面是四边形ABCD ,DC =12AB ,且|AD |=|BC |,则这个四边形为等腰梯形.类比几何元素之间的关系,你会想到向量运算之间都有什么关系?(3)两个人提一个旅行包,夹角越大越费力.为什么？教师：本节主要研究了用向量知识解决平面几何和物理问题；掌握向量法和坐标法，以及用向量解决平面几何和物理问题的步骤，已经布置学生们课前预习了这部分，检查学生预习情况并让学生把预习过程中的疑惑说出来。
平面向量教案3篇
平面向量教案3篇平面向量教案1一、教学目标：1. 理解平面向量的定义及相关术语；2. 掌握平面向量的基础运算和性质，如向量的加、减、数乘、模长等；3. 能够利用向量解决几何、三角学以及力学等问题。
二、教学重难点：教学重点：向量的基础运算和性质；教学难点：向量问题的解答。
三、教学方法：讲述法、举例法、实验法。
四、教学过程：1. 前置知识概括为了有利于学生对本次课程的学习，首先需要对平面向量有一定的了解。
向量是运用在三角学以及计算机科学中的一个概念，它表示一个方向和一个大小。
在二维空间中，向量通常用一个有序数对(x, y)表示，其中x和y分别表示向量在x轴和y轴上的分量。
然而，在本课程中，我们将会介绍另一种同样重要的表现向量的方式：平面向量。
2. 讲解平面向量的定义及相关术语平面向量即为有向线段，表示为 $\vec{a}$，具有大小和方向。
平面向量有以下几个重要的术语：（1）起点：向量 $\vec{a}$ 的起点是线段的始点，表示为 $A$。
（2）终点：向量 $\vec{a}$ 的终点是线段的末点，表示为 $B$。
（3）长度：向量 $\vec{a}$ 的长度等于线段 $AB$ 的长度，可以用$|\vec{a}|$表示。
（4）方向角：向量 $\vec{a}$ 的方向角是向量与$x$轴正方向的夹角，通常用 $\theta$表示。
（5）方向余弦：向量 $\vec{a}$ 的方向余弦分别是向量在$x$和$y$轴上的投影与向量长度的比值，分别用 $\cos\alpha$ 和$\cos\beta$表示。
（6）坐标表示：用有序数对 $(a_x, a_y)$ 表示向量 $\vec{a}$，其中 $a_x$ 和 $a_y$ 分别表示向量在$x$轴和$y$轴上的分量。
3. 讲解向量的基本运算及性质（1）向量的加法：设 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 为两个向量，它们的和记为 $\vec{a}+\vec{b}$，可通过作一平行四边形得到。
平面向量的应用教案
平面向量的应用教案一、教学目标1. 了解平面向量的概念和性质；2. 掌握平面向量的加法、减法和乘法运算法则；3. 能够应用平面向量解决简单的几何和物理问题。
二、教学内容1. 平面向量的定义和表示；2. 平面向量的加法和减法；3. 平面向量的数量积和向量积；4. 平面向量在几何和物理问题中的应用。
三、教学过程步骤一：引入1. 通过展示一些与平面向量相关的真实生活例子，引起学生对平面向量的兴趣和好奇心。
2. 引导学生思考并讨论平面向量的定义和表示方法。
步骤二：知识讲解1. 介绍平面向量的定义：一个平面向量是由大小和方向确定的有向线段。
2. 解释平面向量的表示方法：以坐标表示和以向量符号表示。
3. 讲解平面向量的加法和减法运算法则。
步骤三：运算实践1. 给出一些平面向量的具体数值，让学生进行加法和减法运算练。
2. 提供一些几何图形，让学生将其分解为平面向量并进行计算。
步骤四：引入向量积和数量积1. 介绍向量积和数量积的概念和定义。
2. 解释向量积和数量积在几何和物理问题中的应用。
步骤五：应用实例1. 给出一些具体的几何和物理问题，让学生运用平面向量的知识进行求解。
2. 引导学生讨论解题思路，进行实际操作。
四、教学评价1. 在课堂上进行小组讨论和问题解答，检验学生是否理解和掌握了平面向量的相关知识。
2. 布置一些练题和作业，评估学生对平面向量运算的应用能力。
五、教学资源1. 平面向量的教学课件；2. 练题和作业。
六、教学反思以学生为中心，注重综合实践和问题解决能力的培养，通过生动的例子和实际运用让学生更好地理解和应用平面向量的知识。
同时，及时反馈学生的学习情况，帮助他们及时纠正错误和理清思路。
平面向量应用举例
2.5 平面向量应用举例一、学习目标设定1．经历用向量方法解决某些简单的几何问题、力学问题的过程，体会向量是一种数学工具，发展学生运算能力和解决实际问题的能力；2．运用向量的有关知识对物理中的问题进行相关分析和计算，并在这个过程中培养学生探究问题和解决问题的能力．二、导入情境创设如图，用两条成120°角的等长的绳子悬挂一个重量是10N 的灯具，则每根绳子的拉力是多少？三、学习策略分析本节课采用“情境—问题”的课堂教学模式，即在教师的引导下，以学生的自主探究与合作交流为前提，以问题为导向设计教学情境，强调学生动手操作和主动参与，让他们在观察、操作、探究等活动中发现并证明基本不等式，并在此过程中逐步提高推理论证能力及数形结合能力。
四、自主学习设计1． 向量在平面几何中的应用平面向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算及数量积解决平面几何中的平行、垂直、平移、全等、相似、长度、夹角等问题．(1)证明线段平行或点共线问题，包括相似问题，常用共线向量定理：a ∥b ⇔a ＝λb (b ≠0)⇔x 1y 2－x 2y 1＝0.(2)证明垂直问题，常用数量积的运算性质 a ⊥b ⇔a·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.(3)求夹角问题，利用夹角公式cos θ＝a·b |a||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22(θ为a 与b 的夹角)． 2． 平面向量在物理中的应用(1)由于物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解与合成与向量的加法和减法 120o10N相似，可以用向量的知识来解决．(2)物理学中的功是一个标量，这是力F 与位移s 的数量积．即W ＝F·s ＝|F||s |cos θ (θ为F 与s 的夹角)．五、课时对点练习1．某人先位移向量a ：“向东走3 km ”，接着再位移向量b ：“向北走3 km ”，则a ＋b 表示( )．A ．向东南走3 2 kmB ．向东北走3 2 kmC ．向东南走3 3 kmD ．向东北走3 3 km2．平面上有四个互异点A 、B 、C 、D ，已知(DB→＋DC →－2DA →)·(AB →－AC →)＝0，则△ABC 的形状是( )．A ．直角三角形B ．等腰直角三角形C ．等腰三角形D ．无法确定3．已知向量a ＝(cos θ，sin θ)，b ＝(3，－1)，则|2a －b |的最大值，最小值分别是( )．A ．4,0B ．16,0C ．2,0D ．16,44．在△ABC 中，已知向量AB →与AC →满足⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0且AB →|AB →|·AC →|AC →|＝12，则 △ABC 为( )．A ．等边三角形B ．直角三角形C ．等腰非等边三角形D ．三边均不相等的三角形 5．平面直角坐标系xOy 中，若定点A (1,2)与动点P (x ，y )满足OP→·OA →＝4，则点P 的轨迹方程是______________________________________．六、课堂内容小结平面向量作为一个运算工具，经常与函数、不等式、三角函数、数列、解析几何等知识结合，当平面向量给出的形式中含有未知数时，由向量平行或垂直的充要条件可以得到关于该未知数的关系式．在此基础上，可以求解有关函数、不等式、三角函数、数列的综合问题．此类问题的解题思路是转化为代数运算，其转化途径主要有两种：一是利用平面向量平行或垂直的充要条件；二是利用向量数量积的公式和性质．七、探究延伸拓展1.以O 为原点，OF 所在的直线为x 轴，建立如图所示的直角坐标系.设OF ·FG =1，点F 的坐标为(t ，0)，t ∈［3，+∞)，点G 的坐标为(x 0，y 0).(1)求x 0关于t 的函数x 0=f(x)的表达式，判断函数f(t)的单调性，并证明你的判断；(2)设△OFG 的面积S=631t ，若以O 为中心，F 为焦点的椭圆经过点G ，求当|OG |取得最小值时椭圆的方程；(3)在(2)的条件下，若点P 的坐标为(0，92)，C 、D 是椭圆上的两点，且PC =λPD (λ≠1)，求实数λ的取值范围.2.如图,在平面直角坐标系中,一条定长为m 的线段,其端点A 、B 分别在x 、y 轴上滑动,设点M 满足=λ(λ是不等于1的正常数),试问:是否存在两个定点E 、F,使得|ME |、||、||成等差数列?若存在,求出E 、F 的坐标;若不存在,请说明理由.3. 已知△OPQ的面积为S，且OP·PQ=1，OP=m，S=43m，以O为中心，P为焦点的椭圆经过点Q.(1)当m∈(1，2)时，求|OQ|的最大值，并求出此时的椭圆C方程；(2)在(1)的条件下，过点P的直线l与椭圆C相交于M、N两点，与椭圆C对应于焦点P的准线相交于D点，且MP=λ1PN，MD=λ2DN请找出λ1、λ2之间的关系，并证明你的结论.。
高中数学平面向量教案5篇
高中数学平面向量教案5篇作为一位优秀的人民教师，常常要根据教学需要编写教案，教案有利于教学水平的提高，有助于教研活动的开展。
那么优秀的教案是什么样的呢?这里给大家分享一些关于高中数学平面向量教案，方便大家学习。
高中数学平面向量教案篇1目的：要求学生掌握向量的意义、表示方法以及有关概念，并能作一个向量与已知向量相等，根据图形判定向量是否平行、共线、相等。
过程：一、开场白：本P93(略)实例：老鼠由A向西北逃窜，猫在B处向东追去，问：猫能否追到老鼠?(画图)结论：猫的速度再快也没用，因为方向错了。
二、提出题：平面向量1.意义：既有大小又有方向的量叫向量。
例：力、速度、加速度、冲量等注意：1数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小;向量有方向，大小，双重性，不能比较大小。
2从19世纪末到20世纪初，向量就成为一套优良通性的数学体系，用以研究空间性质。
2.向量的表示方法：1几何表示法：点—射线有向线段——具有一定方向的线段有向线段的三要素：起点、方向、长度记作(注意起讫)2字母表示法：可表示为 (印刷时用黑体字)P95 例用1cm表示5n mail(海里)3.模的概念：向量的大小——长度称为向量的模。
记作：模是可以比较大小的4.两个特殊的向量：1零向量——长度(模)为0的向量，记作。
的方向是任意的。
注意与0的区别2单位向量——长度(模)为1个单位长度的向量叫做单位向量。
例：温度有零上零下之分，“温度”是否向量?答：不是。
因为零上零下也只是大小之分。
例：与是否同一向量?答：不是同一向量。
例：有几个单位向量?单位向量的大小是否相等?单位向量是否都相等?答：有无数个单位向量，单位向量大小相等，单位向量不一定相等。
三、向量间的关系：1.平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。
记作：∥ ∥规定：与任一向量平行2.相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。
记作： =规定： =任两相等的非零向量都可用一有向线段表示，与起点无关。
平面向量应用举例教案13新必修4
2.5.1 平面几何中的向量方法教学目的：让学生经历用向量方法解决几何问题的过程，体会向量是一种处理几何问题的工具，发展运算能力和解决实际问题的能力。
教学重点：向量方法在几何问题中的应用。
教学难点：例2的教学及其方法是本课的难点。
教学过程一、复习提问平面向量的坐标表示、模、夹角公式是什么？二、新课例1、平行四边形是表示向量加法与减法的几何模型，如图，AC＝AB＋AD，DB＝AB－AD，你能发现平行四边形对角线的长度与两条邻边长度之间的关系吗？解：设＝，＝，则＝＋，＝－｜｜2＝（＋）2＝｜｜2＋2•＋｜｜2｜DB｜2＝（a－b）2＝｜a｜2－2a•b＋｜b｜2｜AC｜2＋｜DB｜2＝2（｜a｜2＋｜b｜2）＝2（｜AB｜2＋｜AD｜2）即平行四边形的两条对角线的平方和等于两条邻边平方和的2倍。
注意：在解决有关长度的问题时，我们常常要考虑向量的数量积。
平面几何中的许多性质，如平移、全等、相似、长度、夹角等都可以用向量的线性运算及数量积表示出来，困此，可以用向量的方法解决平面几何中的一些问题。
例2、如图，平行四边形ABCD中，点E、F分别为AD、DC的中点，BE、CF分别与AC交于R、T两点，你能发现AR、RT、TC之间的关系吗？分析：由R 、T 是对角线上的两点，要判断AR 、RT 、TC 之间的关系，只需判断 AR 、RT 、TC 与AC 之间的关系即可。
解：设AB ＝a ，AD ＝b ，则＝＋，＝－21 设AR ＝n ，ER ＝m EB因为 +=所以 n AC ＝21b ＋m 即 n （＋）＝21＋m （－21） 整理，得：（n －m ）a ＋（n ＋21-m ）b ＝0 由于、不共线，故有⎪⎩⎪⎨⎧=-+=-0210m n m n ，解得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==3131m n 所以，设AR ＝31AC 同理，TC ＝31AC ，于是，RT ＝31AC 所以，有AR ＝RT ＝TC作业：P125 1、2 P131 12、132.5.2向量在物理中的应用举例教学目的：1.通过力的合成与分解模型、速度的合成与分解模型，掌握利用向量方法研究物理中相关问题 的步骤，明了向量在物理中应用的基本题型，进一步加深对所学向量的概念和向量运算的认识；2.通过对具体问题的探究解决，进一步培养学生的数学应用意识，提高应用数学的能力，体会数学在现实生活中的作用.教学重点：运用向量的有关知识对物理中的力的作用、速度分解进行相关分析来计算.教学难点：将物理中有关矢量的问题转化为数学中向量的问题.教学过程：一、复习引入：1. 讲解《习案》作业二十五的第4题.RAlAP已知P直线点A=-=是直线lyRx,上的一点2,.2,6:若,1(的轨迹方程求点),2. 你能掌握物理中的哪些矢量？向量运算的三角形法则与四边形法则是什么？二、讲解新课：例 1. 在日常生活中，你是否有这样的经验：两个人共提一个旅行包，夹角越大越费力；在单杠上做引体向上运动，两臂的夹角越小越省力. 你能从数学的角度解释这种形象吗？探究1：F|最小，最小值是多少?(1)θ为何值时，|1F|能等于|G|吗?为什么?(2)|1探究2:你能总结用向量解决物理问题的一般步骤吗?(1)问题的转化：把物理问题转化为数学问题；(2)模型的建立：建立以向量为主体的数学模型；(3)参数的获得：求出数学模型的有关解——理论参数值；(4)问题的答案：回到问题的初始状态，解决相关物理现象.v|例2. 如图，一条河的两岸平行，河的宽度d＝500 m，一艘船从A处出发到河对岸.已知船的速度|1 v|＝2 km/h，问行驶航程最短时，所用时间是多少（精确到0.1 min）？＝10 km/h，水流速度|2思考:1. “行驶最短航程”是什么意思？2. 怎样才能使航程最短？. ,|,23|, 231),2(,|,| ,)2,1(),1,0(),,1(.32 12 1212121的值时，求则当处、秒时分别在在时刻、设速度为相同的方向做匀速运动开始沿着与从另有一动点速度为相同的方向做匀速运动开始沿着与向量从今有动点有两个向量例tQPPQQPtQPeee eQQeeeePPee⊥=++--++-==三、课堂小结向量解决物理问题的一般步骤:(1)问题的转化：把物理问题转化为数学问题；(2)模型的建立：建立以向量为主体的数学模型；(3)参数的获得：求出数学模型的有关解——理论参数值；(4)问题的答案：回到问题的初始状态，解决相关物理现象.四、课后作业1. 阅读教材P.111到P.112;2. 《习案》作业二十六.。
平面向量的应用教案
平面向量的应用教案一、引言平面向量是数学中的重要概念，广泛应用于物理学、几何学和工程学等领域。
本教案旨在通过一系列实际问题的分析，帮助学生理解平面向量的概念和应用，并培养他们的问题解决能力和创新思维。
二、教学目标1. 理解平面向量的概念和基本性质；2. 掌握平面向量的表示方法和运算法则；3. 学会运用平面向量解决实际问题；4. 培养学生的逻辑思维和分析问题的能力。
三、教学内容1. 平面向量的定义和表示方法1.1 有向线段表示法1.2 坐标表示法2. 平面向量的运算法则2.1 向量的加法和减法2.2 数量乘法和向量乘法3. 平面向量的应用3.1 平衡力问题3.2 速度和位移问题3.3 几何图形的性质四、教学方法1. 示教法：通过举例和解题演示，展示平面向量的应用方法；2. 合作探究法：组织学生进行小组活动，共同解决实际问题；3. 归纳法：梳理和总结平面向量的性质和运算法则。
五、教学过程1. 导入通过呈现一个实际问题或图片，引发学生对平面向量的兴趣，并与他们进行简短的讨论。
例如，一辆汽车在平面上行驶，当遇到一个弯道时，如何通过掌握向量的知识预测汽车的移动轨迹？2. 知识讲解依次介绍平面向量的定义和表示方法，并通过示例详细说明向量的加法、减法和乘法运算法则。
3. 案例分析选择一到两个与实际生活紧密相关的问题，引导学生通过运用平面向量的概念和运算法则来解决问题。
例如，通过给定一个三角形的两个顶点坐标，求解第三个顶点的坐标。
4. 小组活动把学生分成小组，每组给出一个与平面向量相关的问题，并要求他们利用相关知识进行解答。
鼓励学生彼此合作、讨论和相互辅导，培养他们的团队合作和解决问题的能力。
5. 总结归纳通过回顾讲解部分和学生的自主探究结果，总结平面向量的性质和运算法则，并强调它们在实际问题中的应用价值。
6. 练习与拓展布置与平面向量相关的练习题，要求学生运用所学知识解答。
鼓励有能力的学生进一步拓展学习，研究与平面向量相关的其他领域和应用。
平面向量的应用教学案
平面向量的应用教学案本篇文章将介绍平面向量的应用教学案，从实际应用角度出发，结合具体案例和问题，引导学生理解和掌握平面向量的概念、性质以及应用技巧。
通过实际问题的解决，培养学生的问题解决能力和创新思维，提高他们的数学素养和应用能力。
一、教学目标通过本节课的学习，学生应能：1. 了解平面向量的概念及其性质；2. 掌握平面向量的表示方法及其相互关系；3. 学会使用平面向量解决实际问题；4. 培养学生的团队合作、创新思维和问题解决能力。
二、教学内容1. 平面向量的概念和性质a. 平面向量的定义和表示方法；b. 平面向量的相等与相反；c. 平面向量的加法和减法；d. 平面向量的数量积和数量积的性质。
2. 平面向量的应用案例a. 位移向量与平移问题；b. 力的合成与分解问题；c. 向量模型在几何图形中的应用；d. 向量模型在力学问题中的应用。
三、教学过程1. 引入通过一个与学生生活相关的实际问题引入平面向量的概念，如风速、速度等问题，激发学生的兴趣。
2. 概念讲解通过板书、讲解、示意图等方式介绍平面向量的定义、表示方法和性质，注意生动形象地展示，引导学生理解。
3. 理论讲解结合具体示例，逐步讲解平面向量的加法、减法以及数量积的计算方法和性质，引导学生掌握相关技巧和概念。
4. 应用案例分析a. 位移向量与平移问题通过实际问题引导学生分析位移向量与平移问题，如物体的平移、地图的缩放等，让学生运用平面向量解决实际问题。
b. 力的合成与分解问题通过示意图和具体案例，引导学生理解力的合成与分解问题，如物体受力情况的分析、力的平衡问题等，让学生能够应用平面向量解决力学问题。
c. 向量模型在几何图形中的应用通过几何图形的案例，引导学生理解向量模型在几何图形中的运用，如三角形的垂心、内心、外心等问题，培养学生的几何思维能力。
d. 向量模型在力学问题中的应用通过实际力学问题，如斜面上物体的运动问题、绳索受力问题等，引导学生灵活运用平面向量解决力学问题。
平面向量的应用-教案
第3课时平面向量的应用一、向量的有关概念名称定义备注向量既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模)平面向量是自由向量零向量长度为零的向量；其方向是任意的记作0单位向量长度等于1个单位的向量非零向量a的单位向量为±a|a|平行向量方向相同或相反的非零向量0与任一向量平行或共线共线向量方向相同或相反的非零向量又叫做共线向量相等向量长度相等且方向相同的向量两向量只有相等或不等，不能比较大小相反向量长度相等且方向相反的向量0的相反向量为0二、向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义) 运算律加法求两个向量和的运算(1)交换律：a＋b＝b＋a.(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)减法求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差a－b＝a＋(－b)数乘求实数λ与向量a的积的运算(1)|λa|＝|λ||a|；(2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0λ(μa)＝λμa；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb三、平面向量基本定理1．定理：如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1、λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.2．基底：不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.四、两向量的夹角1．夹角：已知两个非零向量a和b，作OA→＝a，OB→＝b，则∠AOB＝θ叫做向量a与b的夹角．(1)范围：向量a与b的夹角的范围是0°≤θ≤180°.(2)当θ＝0°时a与b同向．(3)当θ＝180°时a与b反向．2．垂直：如果a与b的夹角是90°，那么称a与b垂直，记作a⊥b.五、平面向量的坐标表示1．平面向量的正交分解把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解． 2．平面向量的坐标表示 (1)向量的直角坐标在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底，对于平面内的一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x ，y 使得a ＝x i ＋y j ，则把有序数对(x ，y)叫做向量a 的坐标．(2)向量的坐标表示在向量a 的直角坐标中，x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标，a ＝(x ，y)叫做向量的坐标表示．(3)在向量的直角坐标中，i ＝(1,0)，j ＝(0,1)，0＝(0,0)． 六、平面向量的坐标运算 向量的 加、减法 若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)．即两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差)实数与 向量的 积 若a ＝(x ，y)，λ∈R ，则λa ＝(λx ，λy)，即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标向量的 坐标已知向量AB →的起点A(x 1，y 1)，终点B(x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，即向量终点坐标减去向量起点坐标平面向量共线的坐标表示1．a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)(b ≠0)，当且仅当x 1y 2－x 2y 1＝0时，向量a ，b 共线; 2．a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)(b ≠0)，当且仅当x 1x 2+y 1y 2＝0时，向量a ，b 垂直; 3．已知P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，若P 是线段P 1P 2的中点，则点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22.七、向量的数量积的定义1.已知两非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，则把数量|a ||b |·cos θ叫做a 与b 的数量积(或内积)，记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |cos θ.规定零向量与任一向量的数量积均为0. 2．向量的数量积的几何意义 (1)投影的概念如下图所示：OA →＝a ，OB →＝b ，过B 作BB 1垂直于直线OA ，垂足为B 1，则OB 1＝|b |cos θ.|b |cos θ叫做向量b 在a 方向上的投影，|a |cos θ叫做向量a 在b 方向上的投影． (2)数量积的几何意义a ·b 的几何意义是 a 的长度|a |与b 在a 方向上的投影|b |cos θ的乘积． 八、向量的数量积的性质和运算律 1．向量的数量积的性质设a 与b 都是非零向量，θ为a 与b 的夹角． (1)a ⊥b ⇔a ·b ＝0.(2)当a 与b 同向时，a ·b ＝|a ||b |. 当a 与b 反向时，a ·b ＝－|a ||b |. (3)a ·a ＝|a |2或|a |＝a ·a ＝a 2. (4)cos θ＝a ·b|a ||b |. (5)|a ·b |≤|a ||b |. 2．向量数量积的运算律 (1)a ·b ＝b ·a (交换律)．(2)(λa )·b ＝λ(a ·b )＝a ·(λb )(结合律)． (3)(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c (分配律)．真题回顾1.(2019·全国2·文T3)已知向量a =(2,3),b =(3,2),则|a -b |=( ) A.2 B.2C.25D.50【答案】A【解析】由题意,得a-b=(-1,1),则|a-b|=,故选A.2.(2019·全国·1理T7文T8)已知非零向量a,b满足|a|=2|b|,且(a-b)⊥b,则a与b的夹角为( )A. B. C. D.【答案】B【解析】因为(a-b)⊥b,所以(a-b)·b=a·b-b2=0,所以a·b=b2.所以cos<a,b>=,所以a与b 的夹角为,故选B.3.(2018·全国1·理T6文T7)在△ABC中,AD为BC边上的中线,E为AD的中点,则=( )A. B.C. D.【答案】A【解析】如图,=-=-)==)=.4.(2018·北京·理T6)设a,b均为单位向量,则“|a-3b|=|3a+b|”是“a⊥b”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】由|a-3b|=|3a+b|,得(a-3b)2=(3a+b)2.∵a,b均为单位向量,∴1-6a·b+9=9+6a·b+1.∴a·b=0,故a⊥b,反之也成立.故选C.5.(2018·天津·文T8)在如图的平面图形中,已知OM=1,ON=2,∠MON=120°,=2=2,则的值为()A.-15B.-9C.-6D.0【答案】C【解析】连接MN,∵=2=2,∴=3=3.∴MN∥BC,且,∴=3=3(),∴=3()·=3(-||2)=3=-6.6.(2012·陕西·文T7)设向量a=(1,cos θ)与b=(-1,2cos θ)垂直,则cos 2θ等于( )A. B. C.0 D.-1【答案】C【解析】∵a⊥b,∴a·b=0,∴-1+2cos2θ=0,即cos 2θ=0.7.(2015·广东)在平面直角坐标系xOy中，已知向量m＝⎝⎛⎭⎪⎫22，－22，n＝(sinx，cosx)，x∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2.(1)若m⊥n，求tanx的值；(2)若m 与n 的夹角为π3，求x 的值．补充题1.（向量在平面几何中的应用）已知O 是平面上的一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个动点，若动点P 满足OP →＝OA →＋λ(AB →＋AC →)，λ∈(0，＋∞)，则点P 的轨迹一定通过△ABC 的( )A ．内心B ．外心C ．重心D ．垂心 答案 C解析 由原等式，得OP →－OA →＝λ(AB →＋AC →)，即AP →＝λ(AB →＋AC →)，根据平行四边形法则，知AB →＋AC →是△ABC 的中线AD (D 为BC 的中点)所对应向量AD →的2倍，所以点P 的轨迹必过△ABC 的重心．补充题2.（向量的综合应用）已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ，x ＋y ≤2，x ≥a ，若OA →＝(x,1)，OB →＝(2，y )，且OA →·OB →的最大值是最小值的8倍，则实数a 的值是( )A ．1 B.13 C.14 D.18。
平面向量基本定理教案
平面向量基本定理教案（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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高中数学《平面向量应用举例》教案 新人教A版必修4
课题：§2.5 平面向量应用举例一、预习目标预习《平面向量应用举例》，体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具，建立实际问题与向量的联系。
二、预习内容阅读课本内容，整理例题，结合向量的运算，解决实际的几何问题、物理问题。
另外，在思考一下几个问题：1.例1如果不用向量的方法，还有其他证明方法吗？2.利用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”是什么？3．例3中，⑴ 为何值时，|F1|最小，最小值是多少？⑵|F1|能等于|G|吗？为什么？三、提出疑惑同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中课内探究学案一、学习内容1.运用向量的有关知识（向量加减法与向量数量积的运算法则等）解决平面几何和解析几何中直线或线段的平行、垂直、相等、夹角和距离等问题.2.运用向量的有关知识解决简单的物理问题.二、学习过程探究一：（１）向量运算与几何中的结论＂若，则，且所在直线平行或重合＂相类比，你有什么体会？（２）举出几个具有线性运算的几何实例．例1．证明：平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和．已知：平行四边形ABCD ．求证：222222AC BD AB BC CD DA +=+++．试用几何方法解决这个问题利用向量的方法解决平面几何问题的 “三步曲”？（1） 建立平面几何与向量的联系，（2） 通过向量运算，研究几何元素之间的关系，（3） 把运算结果“翻译”成几何关系。
变式训练：ABC ∆中，D 、E 、F 分别是AB 、BC 、CA 的中点，BF 与CD 交于点O ，设,.AB a AC b ==（1）证明A 、O 、E 三点共线；（2）用,.a b 表示向量AO 。
例2，如图，平行四边形ABCD 中，点E 、F 分别是AD 、DC 边的中点，BE 、BF 分别与AC 交于R 、T 两点，你能发现AR 、RT 、TC 之间的关系吗？探究二：两个人提一个旅行包,夹角越大越费力.在单杠上做引体向上运动,两臂夹角越小越省力. 这些力的问题是怎么回事？例3．在日常生活中，你是否有这样的经验：两个人共提一个旅行包，夹角越大越费力；在单杠上作引体向上运动，两臂的夹角越小越省力．你能从数学的角度解释这种现象吗？请同学们结合刚才这个问题，思考下面的问题：⑴θ为何值时，|F 1|最小，最小值是多少？⑵|F 1|能等于|G |吗？为什么？例4如图，一条河的两岸平行，河的宽度500d =m ，一艘船从A 处出发到河对岸．已知船的速度|v 1|=10km)？变式训练：两个粒子A 、B 从同一源发射出来，在某一时刻，它们的位移分别为 (4,3),(2,10)A B s s ==，（1）写出此时粒子B 相对粒子A 的位移s; (2)计算s 在A s 方向上的投影。
1-7 平面向量的应用举例(教学课件)——高中数学湘教版(2019)必修二
（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；
（3）把运算结果“翻译”成几何关系.
4.几何法和坐标法
（1）几何法：
①选取适当的基（夹角、模易知），将题中涉及的向量用基表示；
②利用向量的运算法则、运算律或性质计算；
2
3
2
3
6
2
由
又O为和 的公共点，∴ 点E，O，F在同一直线上.
1
＝ ＝ .
2
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必修第二册
湖南教育版
3.平面几何中的长度问题
例 3 如图所示，四边形ABCD是正方形，BE∥AC，AC＝CE，EC的延长线交BA的延长线于点F.
求证：AF＝AE.
证明
如图，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为1，则A（-1，1），B（0，1）.
（2）计算得出1 2 + 1 2＝0，从而得到⊥ ；
（3）给出几何结论AB⊥CD.
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跟踪训练
1-1
（1）若M为△ABC所在平面内一点，且满足（- ）·（+ - 2）＝0，则△ABC为（ B ）
A.直角三角形
B.等腰三角形
C.等边三角形
D.等腰直角三角形
证明：（方法1）∵ 在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，∴ 2|AC|＝ 2|BC|＝|AB|.
1
2
2
3
2
3
2
3
1
3
∵＝- ＝ - ，＝+ ＝+ ＝+ （- ）＝ + ，
平面向量的应用教案
平面向量的应用教案一、引言平面向量是解决平面几何问题的重要工具，广泛应用于各个学科领域。
为了帮助学生更好地理解和应用平面向量，本教案将介绍平面向量的基本概念和性质，并通过具体的例题进行实际运用，以此提高学生的解题能力和应用能力。
二、平面向量的基本概念1. 向量和向量的表示方法平面向量可以用有向线段来表示，其中起点和终点分别表示向量的始点和终点。
向量通常用字母加箭头表示，例如：→AB表示从点A 指向点B的向量。
向量的表示方法还可以通过坐标表示，设向量→AB的始点坐标为(x₁, y₁)，终点坐标为(x₂, y₂)，则向量→AB用坐标表示为(x₂-x₁, x₂-x₁)。
2. 向量的运算平面向量的运算包括加法和数乘两种。
- 向量的加法：设向量→x的终点为B，向量→x的终点为C，则向量→x的终点为C。
向量加法可通过首尾相接或平行四边形法则进行计算。
- 向量的数乘：数乘即将向量的长度进行缩放，设实数k为缩放倍数，则向量→x的数乘为k∙→x，它的长度变为原来的k倍，并且方向不变。
3. 平面向量的性质平面向量有以下几个重要的性质：- 相等性：两个向量相等，当且仅当它们的大小和方向都相同。
- 零向量：表示长度为0的向量，任何向量与零向量相加都不改变。
- 负向量：设向量→x的终点为B，则向量→x的终点为A，称向量→x为向量→x的负向量，记作−→x。
三、平面向量的应用1. 平面向量与平行四边形平面向量的加法可以用来推导平行四边形的性质和关系。
例题：已知平行四边形ABCD，向量→BA与向量→DC的终点分别为E和F，则向量→E F等于多少？解析：根据平面向量的加法，有：→EF = →EA + →AF = →BA + →DC。
因此，向量→EF等于向量→BA加向量→DC。
2. 平面向量与三角形的面积平面向量的叉乘可以用来计算三角形的面积。
例题：已知三角形ABC，向量→AB和向量→AC的终点分别为D 和E，则三角形ABC的面积等于向量→DE的长度的一半。
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2.5平面向量应用举例一、教材分析向量概念有明确的物理背景和几何背景，物理背景是力、速度、加速度等，几何背景是有向线段，可以说向量概念是从物理背景、几何背景中抽象而来的，正因为如此，运用向量可以解决一些物理和几何问题，例如利用向量计算力沿某方向所做的功，利用向量解决平面内两条直线平行、垂直位置关系的判定等问题。
二、教案目标1.通过应用举例，让学生会用平面向量知识解决几何问题的两种方法-----向量法和坐标法，可以用向量知识研究物理中的相关问题的“四环节”和生活中的实际问题2.通过本节的学习，让学生体验向量在解决几何和物理问题中的工具作用，增强学生的积极主动的探究意识，培养创新精神。
三、教案重点难点重点：理解并能灵活运用向量加减法与向量数量积的法则解决几何和物理问题.难点：选择适当的方法，将几何问题或者物理问题转化为向量问题加以解决.四、学情分析在平面几何中，平行四边形是学生熟悉的重要的几何图形，而在物理中，受力分析则是其中最基本的基础知识，那么在本节的学习中，借助这些对于学生来说，非常熟悉的内容来讲解向量在几何与物理问题中的应用。
五、教案方法1.例题教案，要让学生体会思路的形成过程，体会数学思想方法的应用。
2.学案导学：见后面的学案3.新授课教案基本环节：预习检查、总结疑惑→情境导入、展示目标→合作探究、精讲点拨→反思总结、当堂检测→发导学案、布置预习六、课前准备1.学生的学习准备：预习本节课本上的基本内容，初步理解向量在平面几何和物理中的应用2.教师的教案准备：课前预习学案，课内探究学案，课后延伸拓展学案。
七、课时安排：1课时八、教案过程(一)预习检查、总结疑惑检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑，使教案具有了针对性。
(二）情景导入、展示目标教师首先提问：（1）若O为ABC重心,则OA+OB+OC=0（2）水渠横断面是四边形ABCD,DC=12AB,且|AD|=|BC|,则这个四边形为等腰梯形.类比几何元素之间的关系,你会想到向量运算之间都有什么关系?(3)两个人提一个旅行包,夹角越大越费力.为什么？教师：本节主要研究了用向量知识解决平面几何和物理问题；掌握向量法和坐标法，以及用向量解决平面几何和物理问题的步骤，已经布置学生们课前预习了这部分，检查学生预习情况并让学生把预习过程中的疑惑说出来。
（设计意图：步步导入，吸引学生的注意力，明确学习目标。
）（三）合作探究、精讲点拨。
探究一：（１）向量运算与几何中的结论＂若a b =，则||||a b =，且,a b 所在直线平行或重合＂相类比，你有什么体会？（２）由学生举出几个具有线性运算的几何实例．教师：平移、全等、相似、长度、夹角等几何性质可以由向量线性运算及数量积表示出来：例如，向量数量积对应着几何中的长度.如图：平行四边行ABCD 中，设AB ＝a ,AD ＝b ，则AC AB BC a b =+=+（平移），DB AB AD a b =-=-，222||AD b AD ==（长度）．向量AD ，AB 的夹角为DAB ∠.因此，可用向量方法解决平面几何中的一些问题。
通过向量运算研究几何运算之间的关系，如距离、夹角等．把运算结果＂翻译＂成几何关系．本节课，我们就通过几个具体实例，来说明向量方法在平面几何中的运用例1．证明：平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和． 已知：平行四边形ABCD ．求证：222222AC BD AB BC CD DA +=+++． 分析：用向量方法解决涉及长度、夹角的问题时，我们常常要考虑向量的数量积．注意到AC AB AD =+， DB AB AD =-，我们计算2||AC 和2||BD ．证明：不妨设AB =a ，AD =b ，则AC =a +b ，DB =a -b ，2||AB =|a |2，2||AD =|b |2．得2||AC AC AC =⋅=( a +b )·( a +b )= a ·a+ a ·b +b ·a+b ·b =|a |2+2a ·b +|b |2． ①同理 2||DB =|a |2-2a ·b +|b |2． ②①+②得 2||AC +2||DB =2(|a |2+|b |2)=2(2||AB +2||AD )． 所以，平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和．师：你能用几何方法解决这个问题吗？让学生体会几何方法与向量方法的区别与难易情况。
师：由于向量能够运算，因此它在解决某些几何问题时具有优越性，他把一个思辨过程变成了一个算法过程，可以按照一定的程序进行运算操作，从而降低了思考问题的难度.用向量方法解决平面几何问题，主要是下面三个步骤，⑴建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；⑵通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；⑶把运算结果“翻译”成几何关系．变式训练：ABC ∆中，D 、E 、F 分别是AB 、BC 、CA 的中点，BF 与CD 交于点O ，设,.AB a AC b ==（1）证明A 、O 、E 三点共线；（2）用,a b 表示向量AO 。
例2，如图，平行四边形ABCD 中，点E 、F 分别是AD 、DC 边的中点，BE 、BF 分别与AC 交于R 、T 两点，你能发现AR 、RT 、TC 之间的关系吗？分析：由于R 、T 是对角线AC 上两点，所以要判断AR 、RT 、TC 之间的关系，只需要分别判断AR 、RT 、TC 与AC 之间的关系即可．解：设AB =a ，AD =b ，则AC =a +b ．由AR 与AC 共线，因此。
存在实数m ，使得 AR =m (a +b )． 又 由BR 与BE 共线因此 存在实数n ，使得 BR =n BE = n (12b - a )． 由AR AB BR =+=AB + n BE ，得m (a +b )= a + n (12b - a )． 整理得 (1)m n +-a ＋1()2m n -b ＝0． 由于向量a 、b 不共线，所以有 10102m n m n +-=⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得1323m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩． 所以 13AR AC =． 同理 13TC AC =．于是 13RT AC =．所以 AR ＝RT ＝TC ．说明：本例通过向量之间的关系阐述了平面几何中的方法，待定系数法使用向量方法证明平面几何问题的常用方法．探究二：（1）两个人提一个旅行包,夹角越大越费力.（2）在单杠上做引体向上运动,两臂夹角越小越省力. 这些问题是为什么？师：向量在物理中的应用，实际上就是把物理问题转化为向量问题，然后通过向量运算解决向量问题，最后再用所获得的结果解释物理现象．例3．在日常生活中，你是否有这样的经验：两个人共提一个旅行包，夹角越大越费力；在单杠上作引体向上运动，两臂的夹角越小越省力．你能从数学的角度解释这种现象吗？分析：上面的问题可以抽象为如右图所示的数学模型．只要分析清楚F 、G 、θ三者之间的关系（其中F 为F 1、F 2的合力）,就得到了问题的数学解释．解：不妨设|F 1|=|F 2|， 由向量加法的平行四边形法则，理的平衡原理以及直角三角形的指示，可以得到|F 1|=||2cos2G θ．通过上面的式子我们发现，当θ由0~180逐渐变大时，2θ由0~90逐渐变大，cos2θ的值由大逐渐变小，因此，|F 1|有小逐渐变大，即F 1、F 2之间的夹角越大越费力，夹角越小越省力．师：请同学们结合刚才这个问题，思考下面的问题： ⑴θ为何值时，|F 1|最小，最小值是多少？ ⑵|F 1|能等于|G |吗？为什么？例4如图，一条河的两岸平行，河的宽度500d =m ，一艘船从A 处出发到河对岸．已知船的速度|v 1|=10km/h ，水流的速度|v 2|=2km/h ，问行驶航程最短时，所用的时间是多少(精确到0.1min)？分析：如果水是静止的，则船只要取垂直于对岸的方向行驶，就能使行驶航程最短，所用时间最短．考虑到水的流速，要使船的行驶航程最短，那么船的速度与水流速度的合速度v 必须垂直于对岸．（用《几何画板》演示水流速度对船的实际航行的影响）解：||v =2212||||96v v -=(km/h)，所以， 60 3.1||96d t v ==⨯≈(min)． 答：行驶航程最短时，所用的时间是3.1 min ．本例关键在于对“行驶最短航程”的意义的解释，即“分析”中给出的穿必须垂直于河岸行驶，这是船的速度与水流速度的合速度应当垂直于河岸，分析清楚这种关系侯，本例就容易解决了。
变式训练：两个粒子A 、B 从同一源发射出来，在某一时刻，它们的位移分别为(4,3),(2,10)A B s s ==，（1）写出此时粒子B 相对粒子A 的位移s 。
(2)计算s 在A s 方向上的投影。
九、板书设计§2.5 平面向量应用举例例⒈ 用向量法解平面几何 例2 变式训练 问题的“三步曲”例3. 例4 变式训练 十、教案反思本小节主要是例题教案，要让学生体会思路的形成过程，体会数学思想方法的应用。
教案中，教师创设问题情境，引导学生发现解题方法，展示思路的形成过程，总结解题规律。
指导学生搞好解题后的反思，从而提高学生综合应用知识分析和解决问题的能力.十一、学案设计（见下页）2.5平面向量应用举例课前预习学案一、预习目标预习《平面向量应用举例》，体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具，建立实际问题与向量的联系。
二、预习内容阅读课本内容，整理例题，结合向量的运算，解决实际的几何问题、物理问题。
另外，在思考一下几个问题：1. 例1如果不用向量的方法，还有其他证明方法吗？2. 利用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”是什么？3． 例3中，⑴θ为何值时，|F 1|最小，最小值是多少？⑵|F 1|能等于|G |吗？为什么？ 三、提出疑惑疑惑点疑惑内容课内探究学案一、学习内容1.运用向量的有关知识（向量加减法与向量数量积的运算法则等）解决平面几何和解读 几何中直线或线段的平行、垂直、相等、夹角和距离等问题.2.运用向量的有关知识解决简单的物理问题. 二、学习过程探究一：（１）向量运算与几何中的结论＂若a b =，则||||a b =，且,a b 所在直线平行或重合＂相类比，你有什么体会？（２）举出几个具有线性运算的几何实例．例1．证明：平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和． 已知：平行四边形ABCD ．求证：222222AC BD AB BC CD DA +=+++．试用几何方法解决这个问题利用向量的方法解决平面几何问题的“三步曲”？（1）建立平面几何与向量的联系，（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，（3）把运算结果“翻译”成几何关系。