2020届北京是中学生标准学术能力诊断性测试诊断性测试(1月)数学(理)试题(解析版)

2020届北京是中学生标准学术能力诊断性测试诊断性测试（1

月）数学（理）试题

一、单选题

1．若集合{|12}A x x =-<<，{}2,0,1,2B =-，则A B =I （ ） A ．∅ B ．{0,1}

C ．{0,1,2}

D ．{2,0,1,2}-

【答案】B

【解析】根据题意，利用交集定义直接求解。 【详解】

集合{|12}A x x =-<<，{}2,0,1,2B =-，所以集合{}0,1A B =I 。 【点睛】

本题主要考查集合交集的运算。

2．若()25i z +=，则z 的虚部为（ ） A ．－1 B ．1

C ．i -

D ．i

【答案】A

【解析】利用复数除法运算化简z ，则虚部可求 【详解】

()()()

5252222i z i i i i -=

==-++-，故虚部为－1 故选：A 【点睛】

本题考查复数的运算，意在考查计算能力，是基础题

3．已知双曲线22

21(0)2x y b b -=>的两条渐近线互相垂直，则e =（ ）

A ．1 B

C D ．2

【答案】B

【解析】根据题意，利用双曲线的两条渐近线垂直推出-1b b a a

=-g ，可得a b =，再通过离心率的计算公式即可得出。 【详解】

由题意得，-1b b a a =-g ，可得a b =，则2222

22

2,2c a b e e a a

+====。 【点睛】

本题主要考查双曲线的性质中离心率的求解。 4．由两个

1

4

圆柱组合而成的几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）

A ．

π3

B ．

π2

C ．π

D ．2π

【答案】C

【解析】根据题意可知，圆柱的底面半径为1，高为2，利用圆柱的体积公式即可求出结果。 【详解】

由三视图可知圆柱的底面半径为1，高为2， 则21

122

V ππ=

⋅⨯=， 故答案选C 。 【点睛】

本题主要考查根据几何体的三视图求体积问题，考查学生的空间想象能力。 5．函数()()

2

2x

f x x x e =-的图像大致是（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

【答案】B

【解析】求导，求出函数()y f x =的单调性，利用单调性来辨别函数()y f x =的图象，以及函数值符号来辨别函数()y f x =的图象． 【详解】

()()22x f x x x e =-Q ，()()()()222222x x x f x x e x x e x e '∴=-+-=-.

解不等式()0f x '<，即220x -<，得22x -<<

；

解不等式()0f x '>，即220x ->，得x

所以，函数()y f x =的单调递增区间为(

,-∞和)

+∞，

单调递减区间为(．

令()0f x >，即220x x ->，得0x <或2x >； 令()0f x <，即220x x -<，得02x <<.

所以，符合条件的函数()y f x =为B 选项中的图象，故选B. 【点睛】

本题考查利用函数解析式辨别函数的图象，一般从以下几个要素来进行分析：①定义域；②奇偶性；③单调性；④零点；⑤函数值符号．在考查函数的单调性时，可充分利用导数来处理，考查分析问题的能力，属于中等题．

6．已知关于x 的不等式2230ax x a -+<在(]

0,2上有解，则实数a 的取值范围是（ ）

A ．⎛-∞ ⎝⎭

B ．4,

7⎛

⎫-∞ ⎪⎝⎭

C ．⎫

∞⎪⎪⎝⎭

D ．4,7⎛⎫

+∞

⎪⎝⎭

【答案】A

【解析】将不等式化为32a

ax x

+<，讨论0a =、0a >和0a <时，分别求出不等式成立时a 的取值范围即可 【详解】

(]0,2x ∈时，不等式可化为32a

ax x

+

<； 当0a =时，不等式为02<，满足题意；

当0a >时，不等式化为32x x a +<，则2a >=x =

所以a ，即0a <<；

当0a <时，32

x x a

+>恒成立；

综上所述，实数a 的取值范围是(,3

-∞ 答案选A 【点睛】

本题考查不等式与对应的函数的关系问题，含参不等式分类讨论是求解时常用方法

7．已知a ，b 为实数，则01b a <<<，是log log a b b a >的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】通过正向与反向推导来验证充分与必要条件是否成立即可 【详解】

若01b a <<<，则lg lg b a <，

lg lg 1,1lg lg b a a b >> ，lg lg log log lg lg a b b a

b a a b

>⇔>， 显然o 0l g lo 1g a b b a b a <><<⇒，充分条件成立

但log log a b b a >时，比如说2,3a b ==时，却推不出01b a <<<，必要条件不成立 所以01b a <<<是log log a b b a >的充分不必要条件 【点睛】

本题考查充分与必要条件的判断，推理能力与计算能力，由于参数的不确定性，故需要对参数进行讨论

8．已知随机变量ξ，η的分布列如下表所示，则（ ）

A ．E E ξη<，D D ξη<

B ．E E ξη<，D D ξη>

C ．E E ξη<，

D D ξη= D ．

E E ξη=，D D ξη=

【答案】C