电磁场与电磁波第4讲梯度散度散度定理74731
电磁场中的梯度和散度的物理意义
电磁场中的梯度和散度的物理意义梯度和散度是电磁场中的重要概念，它们在描述电场和磁场的变化率和分布特性方面起着关键作用。
在本文中，我们将深入探讨电磁场中梯度和散度的物理意义，并从简单到复杂地解释这些概念，以帮助读者更好地理解这一主题。
梯度和散度是在描述电磁场中场量分布的特性时经常使用的数学工具。
梯度表示的是场量变化最快的方向和速率，而散度则表示的是场量在某一点上的增减程度。
通过理解这两个概念，我们可以更好地掌握电磁场的分布特性和变化规律。
让我们从梯度开始。
在电磁场中，梯度表示的是场量在空间中的变化率和方向。
在电场中，梯度可以告诉我们电场强度在空间中变化的快慢和方向。
如果在某一点上电场的梯度值很大，那么就意味着电场在该点附近的变化很快，而梯度的方向则指示了变化最快的方向。
这对于我们理解电场的分布和变化规律非常重要。
因为电场在空间中的分布不均匀，梯度可以帮助我们找到电场变化最快的地方，并指示电场的变化方向，这对于电场的调控和应用具有重要意义。
接下来，让我们来看看散度的物理意义。
在电磁场中，散度表示的是场量在某一点上的增减程度。
举个具体的例子，在磁场中，散度可以告诉我们磁感线在某一点上的发散或聚拢程度。
如果在某一点上磁场的散度值为正，那么就意味着磁感线在该点附近呈发散状态，而如果散度值为负，就表示磁感线在该点附近呈聚拢状态。
这对于我们理解磁场的分布和特性非常重要，因为磁场的散度可以帮助我们找到磁感线的密集程度和分布规律，对于磁场的调控和利用具有重要意义。
电磁场中的梯度和散度是描述场量分布和变化规律的重要工具。
通过梯度，我们可以了解场量在空间中的变化率和方向，从而掌握场量的分布特性；而通过散度，我们可以了解场量在某一点上的增减程度，从而把握场量的变化规律。
这些概念对于我们理解和利用电磁场具有重要意义。
在撰写完整的文章之后，我对这个主题或概念的个人观点和理解是，梯度和散度是电磁场中非常重要的概念，它们帮助我们深入了解场量的分布特性和变化规律，有助于我们更好地应用和利用电磁场。
电磁场与电磁波第4讲梯度散度散度定理yPPT课件
P
6
3) 在广义坐标系中V的梯度为：
dV ( V)dl
dV
V l1
dl1
V l2
dl2
V l3
dl3
dl aˆu1dl1 aˆu2dl2 aˆu3dl3 aˆu1 (h1du1)aˆu2 (h2du2)aˆu3 (h3du3)
dV
V (
l1
aˆu1
V
l2
aˆu2
V
l3
aˆu3
)(aˆu1dl1
5
即：
dV GradV dn an
于是
沿着 dl 的方向导数为：
dV dV dn dV cos
dl dn dl dn
V n
aˆn aˆl
V
aˆl
该式表示V沿着al方向的空间增长 率等于V的梯度在该方向上的投影 （分量），也可写成：
dV ( V)dl
V
dV dn
an
l
nˆ
dn cos dl
直角坐标系
divAA=Ax Ay Az x y z
15
柱坐标系
divA
A=1 r
(rrAr
)
A
(rAz z
)
1 (rAr) 1 A Az
r r r z
球坐标系
divAA=R2s1in(ARR R 2sin)(A Rsin)(RA) =R 12(R 2 RAR)Rs1in(Asin)Rs1inA
aˆu2dl2
aˆu3dl3)
(V l1
aˆu1
V l2
aˆu2
V l3
aˆu3
)dl
V
V l1
aˆu1
V l2
aˆu2
04第二章散度与旋度
s in 0
e
e cos cos
图解法证明例pp41图2-1
一、奥一高公式的简写
奥一高公式：
P Q R x y z v d
P dydz Q dzdx R dxdy
V
构造一个矢量函数:
五．高斯散度定理及其应用
Ad
v
v
A ds
面积分与体积分的相互转换 可以双向应用
电磁场与电磁波 —散度与旋度2
微波教研室
本节内容：旋 度
矢量函数的旋度
斯托克斯公式
一、斯托克斯公式的简写
斯托克斯公式的简写 ：
Pdx Q dy Rdz
电磁场与电磁波第四讲 —散度与旋度
微波教研室
本节内容：散
度
矢量函数的散度 高斯散度定理
首先复习上节：导数和梯度
单位矢量对坐标变量的偏导数
用解析法证明（例）：
ex
e
c o s e s in
e e c o s .........(1 )
混合积:
A B C Bx Cx
Ax
Ay By Cy
Az Bz Cz
一、斯托克斯公式的简写
斯托克斯公式：
R Q Q R P P P dx Q dy R dz y z dydz z x dzdx x y dxdy S S
圆柱坐标系中 :
e 1 A
e
电磁场与电磁波--矢量场的散度及旋度
evz Fz
v F
1.4 矢量场的通量和散度
散度的表达式：
直角坐标系
v F
Fx
Fy
Fz
x y z
圆柱坐标系
v F
1 h h hz
h hz F
h hz F
z
h h Fz
1( F ) 1FFz z球坐标系
v F
1 hr h h
r
(h h Fr )
(hr h F
)
F
(hr
h
F
)
1 r2
方向相反大小 相等结果抵消
n
S
C
图 1.曲5.5 面曲面的的剖划分分
1.5 矢量场的环流与旋度
4. 散度和旋度的区别
v
v
F 0; F 0
v
v
F 0; F 0
v
v
F 0; F 0
v
v
F 0; F 0
1.5 矢量场的环流与旋度
例1 .5 点电荷q在离其 rv处产生的电场强度为
1.4.4 散度定理
从散度的定义出发，可以得到矢量场在空间任意闭合曲面的通量等 于该闭合曲面所包含体积中矢量场的散度的体积分，即
vv
v
ÑS F dS V FdV
高斯（散度）定理
散度定理是闭合曲面积分与体积分之间的一个变换关系，在电磁 理论中有着广泛的应用。
1.4 矢量场的通量和散度
vv
v div F
r div F 0
1.4 矢量场的通量和散度
直角坐标系下散度表达式的推导
不失一般性，令包围P点的 微体积V 为一直平行六面 体，如图所示。则
蜒S Fv
v dS
S
电磁场与电磁波4
0 ( ) C0 D0
当 n 0 时，Rn (r ) An r Bn r
2 1 1
r 0 r r a
0 Ex Er cos
r a
（3） （4） (5）
r a
2
r a
1 0 r 11:35:59
2 r
（6）
根据场分布的对称性 (r , ) (r , )及 (r , ) 0 2 ②分离变量
Dn ,m e
n 2 m 2 ( ) ( ) z a b
Z n,m (0) Cn,m Dn ,m 0, Cn ,m Dn ,m n 2 m 2 Z n,m ( z ) En ,m sh ( ) ( ) z a b
•满足部分齐次边界条件的偏微分方程的一组特 解为
X '' 1 X 0 X (0) X (a ) 0 Y '' 2Y 0 Y (0) Y (b) 0
•根据边界条件可求出
11:35:59
n 2 n x 1n k xn ( ) , X n ( x) An sin a a m 2 m y 2 2 m k ym ( ) , Ym ( y ) Bm sin b b
设
2 2
(r, ) R(r ) ( )
2
11:35:59
r d R r dR 1d 2 n 2 2 R dr R dr d 2 dR 2 d R 2 r r n R 0 2 dr dr 或 2 d 2 n 0 2 d
代入式（1）得
③解常微分方程，将各特解线性叠加得通解 当 n 0 时， R0 (r ) A0 ln r B0
电磁学讲义04-散度、环路、旋度定理
思考：如果已经知道电场分布，如何求电荷分布？•如图以P(x,y,z)点为中心，∆x ，∆y 和∆z 为边长，取小立方体。
先考虑与x 轴垂直的两个面贡献的通量，则只考虑A的x 分量即可：同理有：zy z y xx A z y z y x x A x x x ΔΔ•Δ−−ΔΔ•Δ+=),,2(),,2(φz y x yA yy ΔΔΔ∂∂=φz y x z A zz ΔΔΔ∂∂=φ则有散度：A A A A zy x z y x ∂+∂+∂=++=•∇φφφK )2(),,(),,2(x x A z y x A z y x x A x x x Δ±⋅∂∂+≈Δ±zy x x A z y x x A x x A x x x x ΔΔΔ∂∂=ΔΔ•⎥⎦⎤⎢⎣⎡Δ−∂∂−Δ∂∂≈)2(2φ利用全微分概念，有：则：电场的散度－讨论•电场某处的单位体积内的电通量正比于此处单位体积内的电荷量。
•电场的散度定理说明，在电荷体密度不是无穷大的点，场强矢量在该点连续，在各方向可求导。
•只适用于电荷体密度–而不能用于点电荷、线电荷、面电荷所在的位置，那些位置没法定义电荷的体密度。
同时这些位置的电场强度值无意义。
•可用于计算电荷分布。
•计算场强一般采用高斯定理积分形式，不必采用微分形式，即散度定理。
–教材P54例题4用散度定理求电场的方法少见。
§2.4静电场的高斯定理和环路定理－－静电场的矢量场理论(二)•静电场环路定理•静电场旋度定理# 旋度的定义•如前所述，在矢量场空间任意点，取任意一个方向，则存在一个围绕此方向的环量面密度。
在这一点，有无数个方向可以选择，也因此相应的存在无数个环路面密度。
这些环量面密度之间存在确定的关系。
•旋度：是一个矢量，取矢量场某一点的环量面密度的最大值为模，并取相应的曲面法线方向。
称为矢量场在该点的旋度，记为：–旋度是矢量!•绕任一方向的环量面密度等于旋度在这一方向的投影（证明略）A K ×∇n ˆn ˆA KA K静电场矢量场原理的总结•静电场：有源、无旋场。
电磁场与电磁波及其应用 第四章
在线性、 各向同性媒质中， 当参数不随时间变化时，
于是得到 再利用矢量恒等式
可得到 (4.3.4)
在体积V上， 对式（4.3.4）两端积分， 并应用散度定理即 可得到
(4.3.５)
由于E和H也是相互垂直的， 因此S、 E、 H三者是相互 垂直的， 且构成右旋关系， 如图4.3-1 所示。
第四章 时变电磁场
4.1 波动方程 4.2 时变场的位函数 4.3 时变电磁场的能量与能流 4.4 时谐电磁场 4.5 左手媒质 4.6 时变电磁场的应用
4.1 波 动 方 程
在无源空间中， 电流密度和电荷密度处处为零， 即 ρ=0、 J=0。 在线性、 各向同性的均匀媒质中， E和H满足 麦克斯韦方程
图4.3-1 能流密度矢量与电场及磁场的方向关系
例4.3.1 同轴线的内导体半径为a、 外导体半径为b， 其 间均匀充填理想介质。 设内外导体间电压为U， 导体中流过 的电流为 I。 （1） 在导体为理想导体的情况下， 计算同轴线 中传输的功率； （2） 当导体的电导率σ为有限值时， 计算通 过内导体表面进入每单位长度内导体的功率。
磁场仍为 内导体表面外侧的坡印廷矢量为
由此可见内导体表面外侧的坡印廷矢量既有轴向分量， 也 有径向分量， 如图4.3-3所示。
图4.3-3 同轴线中电场、 磁场和坡印廷矢量 （非理想导体情况）
进入每单位长度内导体的功率为
式中
是单位长度内导体的电阻。 由此可见，
进入内导体中的功率等于这段导体的焦耳损耗功率。
利用复数取实部表示方法， 可将式（4.5.1）写成
式中
(4.4.2)
称为复振幅， 或称为u(r, t)的复数形式。 为了区别复数形 式与实数形式， 这里用打“•”的符号表示复数形式。
电磁场与电磁波复习资料
一、名词解释1.通量、散度、高斯散度定理通量：矢量穿过曲面的矢量线总数。
（矢量线也叫通量线，穿出的为正，穿入的为负）散度：矢量场中任意一点处通量对体积的变化率。
高斯散度定理：任意矢量函数A的散度在场中任意一个体积内的体积分，等于该矢量函在限定该体积的闭合面的法线分量沿闭合面的面积分。
2.环量、旋度、斯托克斯定理环量：矢量A沿空间有向闭合曲线C的线积分称为矢量A沿闭合曲线l的环量。
其物理意义随A 所代表的场而定，当 A 为电场强度时，其环量是围绕闭合路径的电动势；在重力场中，环量是重力所做的功。
旋度：面元与所指矢量场f之矢量积对一个闭合面S的积分除以该闭合面所包容的体积之商，当该体积所有尺寸趋于无穷小时极限的一个矢量。
斯托克斯定理:一个矢量函数的环量等于该矢量函数的旋度对该闭合曲线所包围的任意曲面的积分。
3.亥姆霍兹定理在有限区域 V 内的任一矢量场，由他的散度，旋度和边界条件（即限定区域 V 的闭合面S 上矢量场的分布）唯一的确定。
说明的问题是要确定一个矢量或一个矢量描述的场，须同时确定其散度和旋度4.电场力、磁场力、洛仑兹力电场力：电场力：电场对电荷的作用称为电力。
磁场力：运动的电荷，即电流之间的作用力，称为磁场力。
洛伦兹力：电场力与磁场力的合力称为洛伦兹力。
5.电偶极子、磁偶极子电偶极子：一对极性相反但非常靠近的等量电荷称为电偶极子。
磁偶极子：尺寸远远小于回路与场点之间距离的小电流回路（电流环）称为磁偶极子。
6.传导电流、位移电流传导电流：自由电荷在导电媒质中作有规则运动而形成的电流。
位移电流：电场的变化引起电介质内部的电量变化而产生的电流。
7.全电流定律、电流连续性方程全电流定律（电流连续性原理）：任意一个闭合回线上的总磁压等于被这个闭合回线所包围的面内穿过的全部电流的代数和。
电流连续性方程：8.电介质的极化、极化矢量电介质的极化：把一块电介质放入电场中，它会受到电场的作用，其分子或原子内的正，负电荷将在电场力的作用下产生微小的弹性位移或偏转，形成一个个小电偶极子，这种现象称为电介质的极化。
电磁场与电磁波第四章
∇2ϕ
−
με
∂2ϕ ∂t 2
=
−
1 ε
ρ
矢量位和标量位满足(分离出的两个独立)的方程, 称为达朗贝尔方程
间接方法：A. 求解两个达朗贝尔方程 B. 达朗贝尔方程 + 洛仑兹条件
9
4.3 电磁能量守恒定律
讨论电磁场的能量问题，引入坡印廷矢量， 得到反映电磁能量守恒关系的坡印廷定理。
一、电磁场能量密度和能流密度
=
d dt
V
(1 2
μ
|
v H0
|2
+
1 2
ε
|
v E0
|2 )dV
+
σ
V
|
v E0
|2
dV
20
根据
v E0
或
v H0
满足的边界条件，左端被积函数
v (E0
×
v H
0
)
⋅
evn
|S
=
(evn
×
v E0
)
⋅
v H
0
|S
=
v (H
0
×
evn
)
⋅
v E0
|S
=
0
即
∫ ∫ d
dt
V
(1 2
μ
|
v H0
|2
+
∂2Ez ∂y 2
+
∂2Ez ∂z 2
− με
∂2Ez ∂t 2
=0
解波动方程，可求出空间中电磁场场量的分布。
(直接求解波动方程的过程很复杂)
4
4.2 电磁场的位函数
一、矢量位和标量位
∇ ⋅ Bv = 0
电磁场与电磁波中七个矢量的散度、旋度和边界条件分析
电磁场与电磁波中七个矢量的散度、旋度和边界条件分析 《电磁场与电磁波》中共涉及到了七个矢量，它们是电场强度矢量E ，电位移矢量D ，磁感应强度矢量B ，磁场强度矢量H ，极化强度P ，磁化强度M 和电流密度矢量J 。
亥姆霍兹定理指出，任一矢量场由它的散度、旋度和边界条件唯一地确定，分析总结它们的散度、旋度和边界条件将有助于我们加深对电磁场与电磁波的基本矢量的认识。
下面将就这七个矢量的散度和旋度进行分析：1.电场强度E E 的散度：由高斯定理可知电场强度的散度:0E ρε∇⋅=，这是在真空中的情况，ρ为闭合面包围的自由电荷密度。
当有电介质存在时，将高斯定理定理推广为0P E ρρε+∇⋅=，P ρ是极化电荷体密度。
E 的旋度：由电荷激发的电场是无旋场，旋度为零，由变化磁场激发的电场是有旋场，一般来说，空间电场是库伦电场和感应电场的叠加， 根据法拉第电磁感应定律和安培环路定理可求得 在真空中的电场强度旋度为: 0E ∇⨯=，表明静电场是无旋场。
在时变的电磁场中：B E t∂∇⨯=-∂，表明时变磁场产生时变电场。
E 的边界条件：通过积分形式的麦克斯韦第二方程，可以得到电场强度的边界方程：()120n e E E ⨯-=，设分界面的法向单位矢量为n e ，切向单位矢量为t e 。
上式表明电场强度E 的切向分量是连续的。
2. 电位移矢量D D 的散度：由()()0D E r P r ε=+带入电场强度的散度公式中，得到电位移矢量D 的散度表达式：D ρ∇⋅=。
式中ρ为闭合面包围的自由电荷体密度，这个式子表明电解质内任一点的电位移矢量的散度等于该点的自由电荷体密度。
D 的旋度：对于各向同性介质，有()D E r ε=，因此电位移矢量的旋度为()B D E r tεε∂∇⨯=∇⨯=-∂ D 的边界条件： 通过积分形式的麦克斯韦第四方程可以得到D 的边界条件：()12S n e D D ρ⋅-=，S ρ为分界面上存在的自由电荷面密度，这个式子表明电位移矢量的法向分量在分界面上是不连续的。
电磁学讲义04-散度、环路、旋度定理
思考：如果已经知道电场分布，如何求电荷分布？•如图以P(x,y,z)点为中心，∆x ，∆y 和∆z 为边长，取小立方体。
先考虑与x 轴垂直的两个面贡献的通量，则只考虑A的x 分量即可：同理有：zy z y xx A z y z y x x A x x x ΔΔ•Δ−−ΔΔ•Δ+=),,2(),,2(φz y x yA yy ΔΔΔ∂∂=φz y x z A zz ΔΔΔ∂∂=φ则有散度：A A A A zy x z y x ∂+∂+∂=++=•∇φφφK )2(),,(),,2(x x A z y x A z y x x A x x x Δ±⋅∂∂+≈Δ±zy x x A z y x x A x x A x x x x ΔΔΔ∂∂=ΔΔ•⎥⎦⎤⎢⎣⎡Δ−∂∂−Δ∂∂≈)2(2φ利用全微分概念，有：则：电场的散度－讨论•电场某处的单位体积内的电通量正比于此处单位体积内的电荷量。
•电场的散度定理说明，在电荷体密度不是无穷大的点，场强矢量在该点连续，在各方向可求导。
•只适用于电荷体密度–而不能用于点电荷、线电荷、面电荷所在的位置，那些位置没法定义电荷的体密度。
同时这些位置的电场强度值无意义。
•可用于计算电荷分布。
•计算场强一般采用高斯定理积分形式，不必采用微分形式，即散度定理。
–教材P54例题4用散度定理求电场的方法少见。
§2.4静电场的高斯定理和环路定理－－静电场的矢量场理论(二)•静电场环路定理•静电场旋度定理# 旋度的定义•如前所述，在矢量场空间任意点，取任意一个方向，则存在一个围绕此方向的环量面密度。
在这一点，有无数个方向可以选择，也因此相应的存在无数个环路面密度。
这些环量面密度之间存在确定的关系。
•旋度：是一个矢量，取矢量场某一点的环量面密度的最大值为模，并取相应的曲面法线方向。
称为矢量场在该点的旋度，记为：–旋度是矢量!•绕任一方向的环量面密度等于旋度在这一方向的投影（证明略）A K ×∇n ˆn ˆA KA K静电场矢量场原理的总结•静电场：有源、无旋场。
电磁场与电磁波公式总结 谢处方版
点电荷 q 产生的电场的电位函数： （r）
Q
q C 4 r r
（3.1.10）P91，C 为任意常数
（P） Edl （3.1.15）P92，Q：固定的电位参考点，该固定点电位为零，P：所求点电位。
P
2. 静电位的微分方程
2（r）
(r )
3.1.1 导体系统的电容
电磁场与电磁波 公式总结
Summary By Hawking Zeng 对应教材：《电磁场与电磁波（第 4 版）》 谢处方，饶克谨
符号、变量、常数： 符号 名称 电荷体密度 传导电流密度 介电常数 单位 C/m
3
符号 J γ B
名称 电流密度矢量 传播常数 磁感应强度
单位 A/m2
（r）
ε ε0
18. 电介质中高斯定律的积分形式： q D dS
S
V
dV
（2.4.12）P53
19. 电介质的本构关系： D(r ) 0 E(r ) e 0 E(r ) 0 E(r ) P (r ) r 0 E(r ) E(r ) ， r 0 称 为电介质的介电常数 2.4.2 磁介质的磁化 1. 磁化电流： I M 2. 磁化电流： I M 磁场强度
均匀导电媒质（σ=常数）中的电位满足拉普拉斯方程：
0
2. 边界条件 3.2.2 恒定电场与静电场的比拟 1）恒定电场与静电场的比拟 均匀导电媒质中的恒定电场（电源外部） 基本方程 均匀电介质中的电场（ρ=0 的区域）
U E dl 0
C
E dl 0
C
I J dS 0
C
B dS (v B)dl S t C B ( v B) t
浅谈电磁场理论中梯度、散度和旋度的教学
`/&- &"%"'. %'
-'.
4右`/- &"%"'. 0T-右
`[ &b/&- &"%"'. ]%b/%- &"%"'. ]'b/'- &"%"'. ] 0- &b%'.
`/&- &"%"'. %'
-$%.
在本模型中"穿过左右两个有向面元的流体方向与各
自的有向面元- 的法向方向0b`c&b大体一致$ 因此"根据
布函数!-&"%"'."沿三个坐标轴方向各自的空间变化率$ 三梯度模型 在电磁场理论中"标量场的梯度和矢量场的散度及旋
度的物理意义一直是教学的重点和难点$ 基于上一小节
点处电场的极化方向$ 每个电场分量的下角标)&#)%和 )'也表示相应的极化方向$ 每个电场分量中括号内的自 变量表示该电场分量所在的空间位置$ 比如)&- 表 &"%"'. 示在空间6-&"%"'.点处的电场沿&方向极化的分量$
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科技风 年 月
浅谈电磁场理论中梯度散度和旋度的教学
吴微微4徐延林4何 艳
国防科技大学电子科学学院湖南长沙
电磁场与电磁波(第四版)(王家礼) (2)
第一章 矢 量 分 析 1.1.3 标量场的等值面和矢量场的矢量线
在研究场的特性时，以场图表示场变量在空间逐点分布的 情况具有很大的意义。对于标量场，常用等值面的概念来描述。
所谓等值面，是指在标量场j(x，y，z)中，使其函数 j取相同数值的所有点组成的集合，这些点组成一个曲面，该曲
面称为等值面。如温度场的等值面，就是由温度相同的点所组 成的一个曲面，此曲面称为等温面。等值面在二维空间就变为 等值线。如地图上的等高线，就是由高度相同的点连成的一条 曲线。
表该代数量的大小。在物理学中,任意一个代数量一旦被赋予物理
单位,则成为一个具有物理意义的标量,即所谓的物理量,如电压u、 电流i、面积S、体积V等等。
在二维空间或三维空间内的任一点P是一个既存在大小(或称 为模)又有方向特性的量,故称为实数矢量,实数矢量可用黑体A表 示,而白体A表示A的大小(即A的模)。若用几何图形表示,实数矢量 是从原点出发的一条带有箭头的直线段,直线段的长度表示矢量A 的模,箭头的指向表示该矢量A的方向。矢量一旦被赋予物理单位, 便成为具有物理意义的矢量,如电场强度E、磁场强度H、速度v等
(1-2)
若函数j=j(x，y，z)在点M0(x0，y0，z0)处可微，cosα、 cosβ、cosγ为l方向的方向余弦，则函数j=j(x，y，z)在点M0(x0，
y0，z0)处沿l方向的方向导数必定存在，且为
j j cos j cos j cos
l M 0 x
y
z
(1-3)
第一章 矢 量 分 析
A=A(t) 而G[a，b]为A(t)的定义域。矢性函数A(t)在直角坐标系中的三 个坐标分量都是变量t的函数，分别为Ax(t)、Ay(t)、Az(t)，则 矢性函数A(t)也可用其坐标表示为
梯度、散度、度表达式的推导
ax ay az
证明如下：
因为： a dr (axdx aydy azdz)
L
L
3．旋度
b. 旋度
2) 表示形式
再由线积分转化为面积分可得：
上式= L
[( az y
ay z
)nx
(ax z
az x
)ny
(ay x
ax y
)ny ]dS
表达式
r
qi 的大小是：
r q1
( x )2 q1
( y )2 q1
( z )2 q1
H1
r q2
( x )2 q2
( y )2 q2
( z )2 q2
H2
r q3
( x )2 q3
( y )2 q3
( z )2 q3
3 a ndS (a )dV
3．旋度
a.环量 给定一矢量场 a(r, t),在场内场内
任取一曲线 L，作线积分
a dr (axdx aydy azdz)
L
L
称之为矢量 a 沿曲线 L 的环量。若 L
是一封闭曲线，我们在积分号中加一
小圆圈 ，并称之为矢量 a 沿封闭回 线 L 的环量。
4. 曲线坐标系
b .拉梅系数以及弧元素在曲线坐标坐标系中的表 达式
给定曲线
r=r(q1,q2,q3)（如图），欲求 弧元素矢量 d r,在曲线坐 标中的表达式，显然
r
r
r
dr q1 dq1 q2 dq2 q3 dq3
4. 曲线坐标系
b .拉梅系数以及弧元素在曲线坐标坐标系中的
电磁场与电磁波第4讲梯度散度散度定理74731
散度运算规则
( A B) A B (C A) C A ( A) A A
19
Example 2-17(P49-50)
20
3. 散度定理(Divergence Theorem)
矢量场的散度定义为每单位体积流出的净通量. 直观地认为矢量场的 散度的体积分等于该矢量包围该体积封闭面流出的总通量,即:
1 ( R 2 FR ) 3k 2 R R
V
Fdv 4 k ( R23 R13 )
S
V
div Adv
A dS
24
summary
1. Gradient of a Scalar Field
GradV V dV an dn
V V V ˆx ˆy ˆz V a a a x y z
16
S
A dS
源 and 汇
17
the net outward flow
2)The expression of divergence A in coordinates
1 (h2 h3 Au1 ) (h1h3 Au 2 ) (h1h2 Au 3 ) divA A h1h2 h3 u1 u2 u3
It is convenient to consider in Cartesian coordinates as a vector differential operator.
ˆx a ˆy a ˆz a x y z
But this is not definition in other coordinate.
在内表面上：
ˆR R12 sin d d R R1 , d S a
梯度、散度、旋度的关系
梯度、散度、旋度的关系麦克斯韦方程组向量场数量场有源场无源场保守场（无旋场）有旋场（非保守场）保守场=有势场=无旋场------环流等于零!有源场-------闭合曲面的通量不等于零!------这些是指场的宏观特性!3.含时磁场可以感生出电场4.含时电场可以感生处磁场上面四个方程可逐一说明如下：在电磁场中任一点处（1）电位移的散度== 该点处自由电荷的体密度；（2）磁感应强度的散度 --- 处处等于零。
（3）电场强度的旋度== 该点处磁感强度变化率的负值；（4）磁场强度的旋度== 该点处传导电流密度与位移电流密度的矢量和\把不明白的字母列举一下：E 是电场强度矢量D 是电位移矢量（也叫电感应强度）应该还有一个电传导向量E=D ?B 是磁感应强度矢量H 是磁场强度矢量 H=B ?其中内在的联系是：D=εEB=μH注意上面这些大写字母都是矢量物理都是循序渐进的，你看看懂麦克斯韦方程组，必须学过微积分和数学物理方程。
∮是环路积分，求是对闭合的回路求积分▽是哈密顿算符，就是对XYZ三个方向求全导数（偏导数就是如果有几个变量，其他的不变，只求一个的导数，全导数就是把不同变量的偏导数全求出来，再加起来）·是点乘，×是叉乘，不一样的，这是微积分里的第一个说的是，电场的源是电荷。
＜你看它的微分形式，是不是：电场三个方向都求散度后的结果是电荷的密度，（散度通俗理解就是对三个空间方向求微分）这样就说明了电场不能凭空产生，它是有一个源头的，源头就是电荷。
这与我们通常的理解也是一样的，到目前为止我们也没有发现，单独的正电荷或负电荷，电场线都是从正电荷出发负电荷截止。
第二个方程，知道第一个方程的含义第二个就很好理解了，他就是说磁场是无源的，也就是说磁场是没有源头的，即磁场线是一条连续的曲线。
它不像电场线一样，必须从一个东西发出到一个东西结束。
第三个公式，也是看微分形式。
这里对电场取了旋度，＜旋度就相当于在电场线的垂直方向上求导＞我们看到最后它等于磁场对时间的求导。
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x
f (x, y, z) lim f (x, y y, z) f (x, y, z)
y
y 0
y
y Q
y
P
x
x
标量场f (x, y, z)延l 方向的方向导数表示f沿该方向的变化率
f lim f (x x, y y) f (x, y) l x2 y2，二维
l l0
l
f lim f (x x, y y, z z) f (x, y, z) l x2 y2 z2，三维
dV
V l1
dl1
V l2
dl2
V l3
dl3
dl aˆu1 dl1 aˆu2 dl2 aˆu3 dl3 aˆu1 (h1du1) aˆu2 (h2du2 ) aˆu3 (h3du3 )
dV
( V l1
aˆu1
V l2
aˆu2
V l3
aˆu3 ) (aˆu1 dl1
aˆu2 dl2
aˆu3 dl3 )
S
0
高斯定理
闭合曲面内的电量为正、负、零时的通量······
根据矢量通过某一闭合面的通量性质可以判断闭合曲面中源的正 负特性，以及存在与否。
5C
-2C
5C
3C 4C
通量仅能表示闭合曲面中源的总量，它不能显示源的分布特性， 如何显示源的特性呢？？？
15
1) 散度(Divergence)
矢量场 A 中某点的散度定义为包围该点的体积趋于零时,单位体积中 流出A 的净流散通量,缩写为div A:
z 源点 P’ (x’,y’,z’)
r'
O
R (r r ' )
场点 P (x, y, z)
r y
R R (x x ')2 ( y y ')2 (z z ')2
1 R
eˆx
x
1 R
eˆy
y
1 R
eˆz
z
1 R
同理可得
1 R3
[( x
x
')eˆx
(
y
y
')eˆy
9
圆柱坐标系 球坐标系
f
aˆr
f r
aˆ
f
r
aˆz
f z
f
aˆR
f R
aˆ
f
R
aˆ
f
R sin
梯度运算符合以下规则：
C 0
C为常数
C C
( )
()
( / ) ( ) / 2
F () F ' () 10
Example 2-16(P45)
11
例3
设标量 =xy2+yz3, 矢量 A 2aˆx 2aˆy aˆz
3
1. 标量场的梯度
现在介绍在给定时间情况下 描述标量场的空间变化率的 方法. 在不同方向上的变化 率可能不同,所以需要一个矢 量来定义给定点和给定时间 上标量场的变化率,由此引入 梯度的概念.
4
方向导数
f (x, y, z) lim f (x x, y, z) f (x, y, z)
x
x0
试求标量函数在点（2，-1，1）处沿矢量A的方向上的方向导数。
解 已知梯度
Gradf
f
=
aˆx
x
aˆy
y
aˆz
z
f
y2aˆx (2xy z2 )aˆy 3yz2aˆz
那么，在点（2，-1，1）处的梯度为
Grad aˆx 3aˆy 3aˆz
因此，标量函数在点（2，-1，1）处沿矢量A的方 向上的方向导数为
( V l1
aˆu1
V l2
aˆu2
V l3
aˆu3 ) dl
V
V l1
aˆu1
V l2
aˆu2
V l3
aˆu3
V
V h1u1
aˆu1
V h2u2
aˆu2
V h3u3
aˆu3
8
In Cartesian coordinates
V
V x
aˆx
V y
aˆ y
V z
aˆz
( x
aˆx
y
aˆ y
z
aˆz
)V
It is convenient to consider in Cartesian coordinates as a vector differential operator.
x
aˆx
y
aˆ y
z
aˆz
But this is not definition in other coordinate.
l l0
l
数学上可以证明（三维）f f cos f cos f cos
l x
y
z
标量场在某点的方向导数表示标量场自该点沿某一方向上的变化率。
5
V q
4 0 R
Q1 l1
ln
Q
Q2
P l2
1) Directional derivative dv/dl
f lim f (x x, y y, z z) f (x, y, z)
(z
z
')eˆz
]
'
1 R
R R3
R R3
13
2. 矢量场的散度
A
B
Vector field 通量线或流线来描述
电力线
the flux of a vector A dS
S
14
如： 真空中的电场强度E通过任一闭合曲面的通量等于该闭合面 包围的自由电荷的电荷量q与真空介电常数0之比：
q
E dS
l l0
l
l x2 y2 z2，三维
2) Gradient (dv/dn)an
标量的梯度定义为一矢量,其大小为标量的空间最大变化率,其方向为 标量增加率最大的方向.
6
We write
GradV
dV dn an
customary
dV V dn an
沿 dl 的方向导数为:
dV dV dn dV cos
Grad eˆA (aˆx 3aˆy 3aˆz )
A A
(aˆx
3aˆy
3aˆz )
2aˆx
2aˆy 3
aˆz
1 3
12
例 计算
1 R
及
'
1 R
解
eˆx
x
eˆy
y
eˆz
z
'
eˆx
x'
eˆy
y
'
eˆz
z
'
x
R (x x ')eˆx ( y y ')eˆy (z z ')eˆz
Field and Wave Electromagnetic 电磁场与电磁波
2014. 3. 3
Review
1. Transform of Coordinate Systems 2. Integrals Containing Vector Functions
2
Main topic
1. 标量场的梯度 2. 矢量场的散度 3. 散度定理
dl dn dl dn
V n
aˆn aˆl
V
aˆl
上式表明 V 在 al 方向上的空间增长率等 于 V 的梯度在该方向上的投影(分量).
l
nˆ
dn cos
dl
P
dV (V ) dl
7
3) The expression of gradient V in coordinates
dV (V ) dl