求二次函数解析式的基本方法及练习题

求二次函数解析式的基本方法及练习题

二次函数是初中数学的一个重要内容,也是高中数学的一个重要基础。熟练地求出二次函数的解析式是解决二次函数问题的重要保证。

二次函数的解析式有三种基本形式：

1、一般式:ｙ=ａx 2+ｂx+c (a ≠0)。

2、顶点式:y ＝a(x －h ）2+k (a ≠0）,其中点（h,k)为顶点，对称轴为x=h 。

3、交点式：ｙ=a(ｘ－x 1)（x-x 2） (a ≠０),其中x 1,x 2是抛物线与x 轴的交点的横坐标。

求二次函数的解析式一般用待定系数法，但要根据不同条件,设出恰当的解析式:

1、若给出抛物线上任意三点，通常可设一般式。

2、若给出抛物线的顶点坐标或对称轴或最值，通常可设顶点式。

3、若给出抛物线与x 轴的交点或对称轴或与ｘ轴的交点距离，通常可设交点式。 探究问题，典例指津：

例１、已知二次函数的图象经过点)4,0(),5,1(---和)1,1(.求这个二次函数的解析式. 分析:由于题目给出的是抛物线上任意三点，可设一般式y=ax 2+bx+c （a ≠0)。 解:设这个二次函数的解析式为y=ａx 2＋bx+c (a ≠0)

依题意得:⎪⎩⎪⎨⎧=++-=-=+-145c b a c c b a 解这个方程组得：⎪⎩

⎪⎨⎧-===432c b a

∴这个二次函数的解析式为y=2ｘ2+3x-4。

例2、已知抛物线c bx ax y ++=2的顶点坐标为)1,4(-,与y 轴交于点)3,0(，求这条抛物线的解析式。

分析:此题给出抛物线c bx ax y ++=2的顶点坐标为)1,4(-,最好抛开题目给出的c bx ax y ++=2,重新设顶点式y=a(x －h ）2+ｋ (a ≠0)，其中点(h,k)为顶点。

解:依题意，设这个二次函数的解析式为ｙ＝ａ(x －4)2-1 (a ≠０)

又抛物线与y 轴交于点)3,0(。

∴ａ(0－4）2－1=3 ∴a=4

1 ∴这个二次函数的解析式为y=41(x-4)2-1,即y ＝4

1x 2－2x+3。

例3、如图,已知两点Ａ(-8，０)，(2，０），以AB 为直径的半圆与ｙ轴正半轴交于点C 。求经过Ａ、B 、C 三点的抛物线的解析式。

分析:A 、B 两点实际上是抛物线与ｘ轴的交点,所以可设交点式y=a(x-x 1)(x-ｘ2）

(ａ≠0)，其中x 1,ｘ2是抛物线与x 轴的交点的横坐标。

解：依题意,设这个二次函数的解析式为y=ａ(ｘ+8)(x 又连结ＡＣ、BC,OC 2=AC·BＣ＝8×２ ∴OC ＝４

即Ｃ（0,4)。

∴a （0+８)(0-2)=4 ∴ａ=41-

∴这个二次函数的解析式为y=41-

（x+８)（x －2），即y=4

1-ｘ2－23x+4。 变式练习，创新发现

1、在图的方格纸上有A 、Ｂ、C 三点(每个小方格的边长为１个单位长度）． （l ）在给出的直角坐标系中分别写出点A 、B 、C 的坐标；

（2）根据你得出的Ａ、B 、C 三点的坐标,求图象经过这三点的二次函数 的解析式．

2、已知抛物线的顶点坐标为)1,2(，与y 轴交于点)5,0(，求这条抛物线的解析式。

3、已知抛物线过Ａ（-2,0）、B(１，0)、C （0,2)三点。求这条抛物线的解析式。）

4. 根据下列条件求二次函数解析式．（１)若函数有最小值-8，且a∶b∶ｃ=1∶

２∶(-3）．（2)若函数有最大值2,且过点A(-1，0）、B(3，0).(3)若函数当ｘ＞－2时ｙ随x 增大而增大（x ＜-2时,ｙ随x 增大而减小)，且图象过点（2,4)在y 轴上截距为-2.

参考答案:

１、(１)A （2,３)；B(4,１)；Ｃ(８，９）。 （2)y ＝2

1x 2－4x+９。 ２、y=(ｘ－2)2+1，即ｙ=x 2－4x+5。

3、y=-(ｘ+２)(ｘ-1),即ｙ=－x 2－ｘ+2。

４.分析: (1)由a∶b∶c=1∶２∶(－3)可将三个待定系数转化为求一个ｋ.即设a ＝k,b=2ｋ，c=-3k （2)由抛物线的对称性可得顶点是(1,2)(3)由函数性质知对称轴是x ＝-２

解:

（1)设ｙ=a ｘ２+bx+c ∵a∶ｂ∶c=1∶2∶（-３)

∴设ａ=k,b=2k,ｃ＝-3k ∵有最小值-8

∴解析式y=2x 2＋４ｘ－6

(2)∵图象过点Ａ(-1，0)、B(3,０)，A 、B 两点均在x 轴上,由对称性得对称轴为x=１．又函数有最大值２,∴顶点坐标为(1，２）,∴设解析式为y=a(x-１)2+2.

(3)∵函数当x ＞-2时y 随x 增大而增大，当ｘ<-２时y 随x 增大而减小 ∴对称轴为ｘ=-2设y ＝ａ（x+２）2＋ｎ

∵过点(2,４)在y轴上截距为-2,即过点(0，-2)

说明：题(３)也可设成ｙ=ax2+bｘ＋ｃ,得：

题（2)充分利用对称性可简化计算.