微专题12 与圆有关的定点、定值、最值、范围问题

微专题12与圆有关的定点、定值、最值、范围问题

真题感悟

(2019·全国Ⅰ卷)已知点A，B关于坐标原点O对称，AB＝4，⊙M过点A，B且与直线x＋2＝0相切.

(1)若A在直线x＋y＝0上，求⊙M的半径；

(2)是否存在定点P，使得当A运动时，MA－MP为定值？并说明理由.

解(1)因为⊙M过点A，B，所以圆心M在AB的垂直平分线上.由已知A在直线x＋y＝0上，且A，B关于坐标原点O对称，所以M在直线y＝x上，故可设M(a，a).

因为⊙M与直线x＋2＝0相切，所以⊙M的半径为r＝|a＋2|.连接MA，由已知得AO＝2.又MO⊥AO，故可得2a2＋4＝(a＋2)2，解得a＝0或a＝4.

故⊙M的半径r＝2或r＝6.

(2)存在定点P(1，0)，使得MA－MP为定值.

理由如下：

设M(x，y)，由已知得⊙M的半径为r＝|x＋2|，AO＝2.由于MO⊥AO，故可得x2＋y2＋4＝(x＋2)2, 化简得M的轨迹方程为y2＝4x.

因为曲线C：y2＝4x是以点P(1，0)为焦点，以直线x＝－1为准线的抛物线，所以MP＝x＋1.

因为MA－MP＝r－MP＝x＋2－(x＋1)＝1，

所以存在满足条件的定点P.

考点整合

1.最值与范围问题

(1)研究与圆有关的最值问题时，可借助圆的性质，利用数形结合求解.

(2)常见的最值问题有以下几种类型：

①形如μ＝y－b

x－a

的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；

②形如t＝ax＋by的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；

③形如μ＝(x －a )2＋(y －b )2的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题.

(3)对于圆的方程也可以利用三角代换，转化为三角函数问题：对于圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，可设x ＝a ＋r cos θ，y ＝b ＋r sin θ.

2.定点问题的求解步骤

(1)选参变量：需要证明过定点的动直线(曲线)往往随着某一个量的变化而变化，可以选择这个量为参变量.

(2)求动直线(曲线)方程：求出含上述参变量的动直线(曲线)方程，通过消元或整体思想，使得方程只含有一个参量(当根据几何条件建立的等式中含有多个参量时，要注意区别对待，与动点、动直线、动圆有关的参量是主要参量，其他参量可看作系数).

(3)定点：求出定点坐标.利用方程ax ＋b ＝0恒成立来处理定点问题.在处理时也可以用从特殊到一般的思想，先求出一个特殊点，再代入进行验证.

3.定值问题的处理

(1)可以直接求出相关等式，再论证该等式与参数无关，类似于三角化简求值.

(2)也可以用从特殊到一般的思想，先让参数取特殊值来论证性质，再将性质推广至一般情形.

热点一 最值与范围问题

【例1】 已知圆M 的圆心M 在x 轴上，半径为1，直线l ：y ＝43x －12被圆M 所截的弦长为3，且圆心M 在直线l 的下方.

(1)求圆M 的方程；

(2)设A (0，t )，B (0，t ＋6)(－5≤t ≤－2)，若圆M 是△ABC 的内切圆，求△ABC 的面积S 的最大值和最小值.

解 (1)设圆心M (a ，0)，由已知得圆心M 到l ：8x －6y －3＝0的距离为

12－⎝ ⎛⎭⎪⎫322

＝12，

∴|8a －3|82＋（－6）2＝12，

又∵M (a ，0)在l 的下方，∴8a －3＞0，∴8a －3＝5，a ＝1.

故圆M 的方程为(x －1)2＋y 2＝1.

(2)由已知可设AC 的斜率为k 1，BC 的斜率为k 2(k 1＞k 2)，则直线AC 的方程为y ＝k 1x ＋t ，直线BC 的方程为y ＝k 2x ＋t ＋6.

由方程组⎩⎨⎧y ＝k 1x ＋t ，y ＝k 2

x ＋t ＋6， 得C 点的横坐标为x 0＝6k 1－k 2

. ∵AB ＝t ＋6－t ＝6，

∴S ＝12⎪⎪⎪⎪

⎪⎪6k 1－k 2×6＝18k 1－k 2. ∵圆M 与AC 相切，∴1＝|k 1＋t |1＋k 21

，∴k 1＝1－t 2

2t ， 同理，k 2＝1－（t ＋6）22（t ＋6），∴k 1－k 2＝3（t 2＋6t ＋1）t 2＋6t

， ∴S ＝6（t 2＋6t ）t 2＋6t ＋1＝6⎝ ⎛⎭

⎪⎫1－1t 2＋6t ＋1. ∵－5≤t ≤－2，∴－2≤t ＋3≤1，∴－8≤t 2＋6t ＋1≤－4，

∴S max ＝6×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋14＝152，S min ＝6×⎝ ⎛⎭

⎪⎫1＋18＝274， ∴△ABC 的面积S 的最大值为152，最小值为274.

探究提高 直线与圆中的最值问题主要包含两个方面

(1)参量的取值范围：由直线和圆的位置关系或几何特征，引起的参量如k ，b ，r 的值变化.此类问题主要是根据几何特征建立关于参量的不等式或函数.

(2)长度和面积的最值：由于直线或圆的运动，引起的长度或面积的值变化.此类问题主要是建立关于与参数如k 或(x ，y )的函数，运用函数或基本不等式求最值.

【训练1】 已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0.

(1)求y －x 的最大值和最小值；

(2)求x 2＋y 2的最大值和最小值.

解 由x 2＋y 2－4x ＋1＝0得(x －2)2＋y 2＝3，

它表示以(2，0)为圆心，3为半径长的圆.

(1)y －x 可看作是直线y ＝x ＋b 在y 轴上的截距，当直线y ＝x ＋b 与圆相切时，纵截距b 取得最大值或最小值，此时|2－0＋b |2

＝3，解得b ＝－2±6. 所以y －x 的最大值为－2＋6，最小值为－2－ 6.

(2)x 2＋y 2表示圆上的点与原点距离的平方，由平面几何知识知，过原点和圆心的直线与圆有两个交点，在这两个交点处x 2＋y 2取得最值.

因为圆心到原点的距离为（2－0）2＋（0－0）2＝2， 所以x 2＋y 2的最大值是(2＋3)2＝7＋43，

x 2＋y 2的最小值是(2－3)2＝7－4 3.

热点二 与圆有关的定点问题

【例2】 (2019·北京卷)已知抛物线C ：x 2＝－2py (p >0)经过点(2，－1).

(1)求抛物线C 的方程及其准线方程；

(2)设O 为原点，过抛物线C 的焦点作斜率不为0的直线l 交抛物线C 于两点M ，N ，直线y ＝－1分别交直线OM ，ON 于点A 和点B .求证：以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点.

(1)解 由抛物线C ：x 2＝－2py 经过点(2，－1)得p ＝2.

所以抛物线C 的方程为x 2＝－4y ，其准线方程为y ＝1.

(2)证明 抛物线C 的焦点为F (0，－1).

设直线l 的方程为y ＝kx －1(k ≠0).

由⎩⎨⎧y ＝kx －1，x 2＝－4y ，

得x 2＋4kx －4＝0. 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则解方程得 x 1，2＝－2k ±2k 2＋1，

从而x 1x 2＝－4.

直线OM 的方程为y ＝y 1x 1

x . 令y ＝－1，得点A 的横坐标x A ＝－x 1y 1

， 同理得B 的横坐标x B ＝－x 2y 2

.