1第一宇宙速度的推导

1.第一宇宙速度的推导

人造卫星在地面附近绕地球做匀速圆周运动时，其轨道半径近似等于地球半径R ，其向心力为地球对卫星的万有引力，其向心加速度近似等于地面处的重力加速度，设地球质量为

M .根据万有引力定律和匀速圆周运动的规律可得G 2R

Mm =m R v 2

解得v =624

1110

37.61089.51067.6⨯⨯⨯⨯=-R GM m/s=7.9 km/s 或mg =m R

v 2

解得v =61037.68.9⨯⨯=gR m/s=7.9 km/s

2.人造卫星的加速度、速度、角速度、周期跟轨道半径的关系

人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动的向心力为地球对卫星的万有引力.根据万有引力定律和匀速圆周运动的规律可得 G 2R Mm =ma =m r v 2=m ω2r =m r T

224π 所以a =r

GM ，随着轨道半径的增大，卫星的向心加速度减小. v =r

GM ，随着轨道半径的增大，卫星的线速度减小.第一宇宙速度是卫星绕地球做匀速圆周运动的最大速度，是发射卫星的最小速度.

ω=3r GM

，随着轨道半径的增大，卫星的角速度减小.

T =2πGM

r 3

，随着轨道半径的增大，卫星绕地球运动的周期增大.近地卫星的轨道半径最小（近似看作等于地球半径），所以，近地卫星的周期最小.近地卫星的周期约为84.4min ，所有绕地球运行的卫星的周期都不会小于84.4min.

3.卫星的轨道

卫星绕地球运动的轨道可以是椭圆轨道，也可以是圆轨道.

卫星绕地球沿椭圆轨道运动时，地心是椭圆的一个焦点，其周期和半长轴的关系遵循开普勒第三定律.这类问题在中学物理中很少讨论.

卫星绕地球沿圆轨道运动时，由于地球对卫星的万有引力提供了卫星绕地球运动的向心力，而万有引力指向地心，所以，地心必然是卫星圆轨道的圆心.卫星的轨道平面可以在赤道平面内（如同步卫星），也可以和赤道平面垂直，还可以和赤道平面成任一角度.

4.同步卫星

同步卫星指在赤道平面内，以和地球自转角速度相同的角速度绕地球运动的卫星，同步卫星又叫通讯卫星.同步卫星有以下几个特点：

（1）周期一定：同步卫星在赤道上空相对地球静止，它绕地球的运动与地球自转同步，它的运动周期就等于地球自转的周期，即T =24h .

（2）角速度一定：同步卫星绕地球运动的角速度等于地球自转的角速度.

（3）轨道一定：由于同步卫星绕地球的运动与地球的自转同步，这就决定了同步卫星的轨道平面应与赤道平面平行.又由于同步卫星绕地球运动的向心力是地球对卫星的万有引力，这又决定了同步卫星圆周运动的圆心为地心.所以，所有同步卫星的轨道必在赤道平面内.由于所有同步卫星的周期都相同，由r =3224

GMT 知，所有同步卫星的轨道半径都相同，即同步卫星都在同一轨道上绕地球做匀速圆周运动，其轨道离地面的高度约为3.５９×

１０４ km.

(4)环绕速度大小一定：所有同步卫星绕地球运动的线速度的大小是一定的，都是３.０８ km/s.

（5）向心加速度大小一定：所有同步卫星由于到地心距离相同，所以，它们绕地球运动的向心加速度大小都相同，约为0.23 m/s 2.