江苏省海门中学高一数学下学期期中考试试卷苏教版

江苏省海门中学2011—2012学年第二学期期中考试试卷高一数学注意事项：1．本试卷共4页，均为非选择题（第1题～第20题，共20题）。

本卷满分为160分，考试时间为120分钟。

2．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考试科目等用0.5毫米黑色墨水的签字写在答题纸上，并贴好条形码．3．主观题请在规定区域答题，在其他位置作答一律无效．请务必保持答题纸的整洁，不要折叠，考试结束，将答题纸交回．4．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．经过点A(3,2), 且与直线024=-+y x 垂直的直线方程是 ▲ 2．已知A （2，-4），B （0，6），C （-1，5），则=+2 ▲3．在ABC ∆中, 如果7:5:3sin :sin :sin =C B A ,则ABC ∆的最大角的大小是 ▲ 4．在等差数列{}n a 中，已知106=S ，3012=S ，则=18S ▲5．已知直线13:1=+y ax l ，1)1(2:2=++y a x l ，若1l ∥2l ，则实数a 的值是 ▲ ． 6．设)4,(x =,)2,1(-=，若与的夹角为锐角，则x 的取值范围为 ▲ 。

7．已知z y x ,,成等比数列，a 是y x ,的等差中项，b 是z y ,的等差中项，则=+bza x ▲ 8．已知线段AB 两个端点A ()23，-，B ()--32，，直线l 过点)2,1(P 且过线段AB 相交，则l 的斜率k 的取值范围为 ▲9．已知等比数列{}n a 中，公比0>q ，且14239,8a a aa +==，则2011201220092010a a a a +=+ ▲ ． 10．在ABC ∆中，D 在线段BC 上，2=, n m +=，则mn= ▲ .11．运算符号：“∏”，这个符号表示若干个数相乘，例如：可将1×2×3×…×n 记作∏=ni i 1，∏=*=∈ni i n a T N n 1).(记，其中a i 为数列)}({*∈N n a n 中的第i 项.若=∈=*n n a N n n T 则),(2 ▲ .12．在△ABC 中，A =60,b =1,ABC ∆外接圆的半径为 ▲ . 13．设,,是任意的非零向量，且互相不共线，有下列命题：（1）0)()(=⋅-⋅b a c c b a ；(2)-<-；(3))()(⋅-⋅ 与垂直；（4）已知是单位向量,-=+, 则在方向上的投影为21。

其中正确的命题序号是 ▲ .14．定义函数()f x ＝[[]]x x ，其中[]x 表示不超过x 的最大整数， 如：[1.5]＝1，[ 1.3]-＝－2．当x ∈[0，)n (n ∈*N )时，设函数()f x 的值域为A ，记集合A 中的元素个数构成一个数列{}n a ，则数列{}n a 的通项公式为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共90分.请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．(本题满分15分)设1e ,2e 是两个互相垂直的单位向量，已知向量2123e e +=，21e e λ-=，212e e +-=，（1）若A 、B 、D 三点共线，试求实数λ的值.（2）若A 、B 、D 三点构成一个直角三角形，试求实数λ的值.16．(本题满分14分)过点P （3，0）作直线l ，使它被两条相交直线:1l 022=--y x 和:2l 02=-+y x 所截得的线段恰好被P 点平分。

（1）求直线l 的方程；（2）若直线l 与x 轴的交点Q ，直线3l 经过点Q 且与向量(2,3)a =垂直，求直线3l 的方程。

17．(本题满分14分)已知在△ABC 中， a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，且272cos 2sin 42=-+A C B （1）若C B A cos sin 2sin =，试判断△ABC 的形状； （2）若a=3，b+c=3，求b 和c 的值．18．(本题满分15分)如图所示，某种卷筒卫生纸绕在盘上，空盘时盘芯直径20mm ,满盘时直径100mm ，已知卫生纸的厚度为0.1mm ，试问满盘时卫生纸的总长度大约是多少米（π取3.14，精确到1m ）？19．(本题满分16分)已知函数221()2(cos sin )122f x x x x =---，R x ∈,将函数()f x 向左平移6π个单位后得函数()g x ，设ABC ∆三个角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c . （Ⅰ）若7=c ，0)(=C f ，sin 3sin B A =，求ABC ∆的面积；（Ⅱ）若0)(=B g 且)cos ,(cos B A =，)tan cos sin ,1(B A A -=，求⋅的取值范围.20．(本题满分16分)设数列{}n a 的前ｎ项和为n S ，已知1(,n n S pS q p q +=+为常数，*n N ∈），1232,1,3a a a q p===-（1）求ｐ，ｑ的值；（2）求数列{}n a 的通项公式；（3）若0>>b a 则b a 11<，那么是否存在正整数ｍ，ｎ，使1221m n m n S m S m +-<-+成立？若存在，求出所有符合条件的有序实数对（ｍ，ｎ）；若不存在，说明理由。

海门中学2011—2012学年第二学期期中考试试卷高一数学(参考答案)一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．054=+-y x 2．（-4，8） 3． 0120 4．60 5． 3a =-6． 8<x 且2-≠x 7．2 8． 5-≤k 或1≥k 9． 4 或4110． 12 11．211()21n n a n n n =⎧⎪=⎨≥⎪-⎩ 12． 3 13． (3) (4) 14． n a ＝1＋(1)2n n -．二、解答题：本大题共6小题，共90分.请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．解：（1）=-=)2(21e e +--)(21e e λ-=21)1(3e e λ++- ∵A 、B 、D 三点共线，∴μ= 即2123e e +=μ[21)1(3e e λ++-]3)1(233-=⇒⎩⎨⎧+=-=⇒λλμμ（2）=++=2)2(e +λ 若090=∠A 则20)2(222-=⇒=+=⋅λλe若090=∠B 则270)1(292221=⇒=++-=⋅λλe e 若090=∠D 则20)2)(1(22-=⇒=++=⋅λλλe AD BD 或1-=λ综上所述实数λ的值为2-=λ或1-=λ或27=λ 16．解：（1）设直线l 与1l 的交点坐标为A ),(y x ，则l 与2l 的交点坐标为B ),6(y x -- 由方程组⇒⎩⎨⎧=---=--026022y x y x ⎩⎨⎧==22y x 即A （2，2） 所以直线l 的方程为：062=-+y x ……7分 （2） 直线l 与x 轴的交点Q 的坐标为)0,3( 直线3l 经过点Q 且与向量(2,3)a =垂直 ∴直线3l 的斜率为32-所以直线3l 的方程为)3(32--=x y 即0632=-+y x ……14分 17．解：（1）由已知得2［1－cos （B+C ）］－（2cos 2A －1）=27， 2分∵cos （B+C ）=－cosA ， 3分∴4cos 2A －4cosA+1=0， ∴（2cosA －1）2=0，即cosA=21． ∴A=60°． 6分 ∵ C B A cos sin 2sin = ∴0)sin(cos sin 2)sin(=-⇒=+C B C B C B ∴060===A C B ，故△ABC 是等边三角形 （2）∵a 2=b 2+c 2－2bccosA=b 2+c 2－bc=（b+c ）2－3bc ，∵a=3，b+c=3，8分 ∴3=9－3bc ，∴bc=2， 10分由⎩⎨⎧==+,2,3bc c b 解之得⎩⎨⎧==12c b 或⎩⎨⎧==21c b ． 12分 18．解：卫生纸的厚度为０．１ｍｍ，可以把绕在盘上的卫生纸近似地看做是一组同心圆，由内向外各圈的半径分别为10.05， 10.15，…，49.95．因为各圈半径组成首项为10.05，公差为0.1的等差数列， 设圈数为ｎ，则49.95＝10.05＋（ｎ－１）×0.1， 所以ｎ＝４００．显然，各圈的周长组成一个首项为2０．１π，公差为０．２π，项数为４００的等差数列．根据等差数列的求和公式，得)(240002.02)1400(4004001.20mm S πππ=⨯-⨯+⨯=)(36.75)(24000m mm =π 答 满盘时卫生纸的长度约为75ｍ．19．解:（Ⅰ）221()2(cos sin )12f x x x x =---12cos 21sin(2)126x x x π=--=-- …………………1分 ()sin(2)106f C C π=--=,所以sin(2)16C π-=因为112(,)666C πππ-∈-,所以262C ππ-=,所以3C π=……………3分 由余弦定理知：222cos 73a b ab π+-=，因为sin 3sin B A =,由正弦定理知：3b a =…解得：3,1==b a ………6分所以ABC ∆的面积为4333sin 3121=⨯⨯⨯=∆πABC S （Ⅱ）由条件知()sin(2)16g x x π=+-所以()sin(2)106g B B π=+-=,所以sin(2)16B π+=因为132(,)666B πππ+∈,所以262B ππ+= 即6B π=(cos m A =，(1,sin )n A A =于是1cos )cos sin()26m n A A A A A A π⋅===+5(0,)66B A ππ=∴∈得 ),6(6πππ∈+A ……………………………10分20．解：⑴ 由题意，知2132,,S pa q S pS q =⎧⎨=⎩++即32,333,p q q p p q =⎧⎨-=⎩+++解之得1,22p q ⎧=⎪⎨⎪=⎩．……… 4分⑵ 由⑴知，1122n n S S +=+，①当2n ≥时，1122n n S S -=+，②①-②得，()1122n n a a n +=≥，……………………… 6分又2112a a =，所以()*112n n a a n +=∈N ，所以{}n a 是首项为2，公比为12的等比数列，所以212n n a -=．………………………… 8分 ⑶由⑵得，12(1)124(1)1212n n nS -==--，由1221mn m n S m S m +-<-+，得114(1)221214(1)2m nmn mm --<+--+，即2(4)422(4)221n m n m m m --<--+，……………………… 10分 即212(4)221n mm >--+，因为210m +>，所以2(4)2n m ->， 所以4m <，且122(4)24n m m <-<++，()*因为*m ∈N ，所以1m =或2或3．…………………………… 12分当1m =时，由()*得，2238n <⨯<，所以1n =； 当2m =时，由()*得，22212n <⨯<，所以1n =或2； 当3m =时，由()*得，2220n <<，所以2n =或3或4， 综上可知，存在符合条件的所有有序实数对(,)m n 为：(1,1),(2,1),(2,2),(3,2),(3,3),(3,4)．…………………………………………… 16分。