三角形中位线

龙文教育一对一个性化辅导教案

【知识梳理 】

一、 三角形中位线：

（1）定义：连接三角形两边的中点的线段叫做三角形中位线。

（2）性质：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半。 （3）三角形中位线定理的作用：

○

1位置关系：可以证明两条直线平行。 ○

2数量关系：可以证明线段的相等或者倍分关系 （4）三角形中位线与中线：中位线平行且等于第三边的一半；中线平分三角形的面积

【典型例题】

例1.已知如图1所示，△ABC 的周长为64，顺次连接各边的中点得到一个三角形，再次顺次连接所得三角形的各边中点，得到更小的三角形，······，则第4次得到的三角形的周长

为（ ）cm ，第n 次得到的三角形的周长为（ ）cm

例2.如图2，在△ABC 中，AC>AB ，M 为BC 的中点．AD 是∠BAC 的平分线，若CF ⊥AD

交AD 的延长线于F .求证：()1

2

MF AC AB =-.

例3如图3，在△ABC 中，AD 是△BAC 的角平分线，M 是BC 的中点，ME ⊥AD 交AC 的

延长线于E ．且1

2

CE CD =.求证：∠ACB =2∠B .

【中位线辅助线的应用】

一、借助中位线定理选择结论

例1如图1，已知四边形ABCD 中，R 、P 分别是BC 、CD 上的点，E 、F 分别是AP 、RP 的中点，当点P 在CD 上从C 向D 移动而点R 不动时，那么下列结论成立的是 （ ）. （A ）线段EF 的长逐渐增大 （B ）线段EF 的长逐渐减小

（C ）线段EF 的长不变 （D ）线段EF 的长与点P 的位置有关

F

E D

C

B

A 二、借助中位线定理求长度

例2某花木场有一块如四边形ABCD 的空地(如图2)，两对角线相等，各边的中点分别

是E 、F 、G 、H ，用篱笆围成的四边形EFGH 场地的周长为40cm ，则对角线AC= cm .

三、借助中位线定理说理

例3如图3，在△ABC 中，BC>AC ， 点D 在BC 上，且DC ＝AC,∠ACB 的平分线CF 交AD 于F ，点E 是AB 的中点，连结EF.说明EF ∥CB 理由

【巩固基础】

1. 已知△ABC 周长为16，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，则△ADE 的周长等于 ( ) A .1 B. 2 C. 4 D. 8

2. 在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，P 是BC 上任意一点，那么△PDE 面积是△

ABC '面积的 ( ) A .12 B. 13 C. 14 D. 1

8

3. 如图4，在四边形ABCD 中，E 、F 分别为AC 、BD 的中点，则EF 与AB +CD 的关系是 ( )

A .2EF A

B CD =+ B. 2EF AB CD >+ C. 2EF AB CD <+ D. 不确定

4. 如图5，AB ∥CD ，E 、F 分别是BC 、AD 的中点，且AB=a ,CD=b ，则EF 的长为 .

5. 如图6，四边形ABCD 中，AD=BC ，F 、E 、G 分别是AB 、CD 、AC 的中点，若∠DAC=200，∠ACB=600，则∠FEG= .

6. 已知三角形三条中位线的比为3:5:6，三角形的周长是112cm ，求三条中位线长.

7.一个四边形的边长依次为a,b,c,d ，且222222a b c d ac bd +++=+，则这个四边形 是

8.如图，点D 、E 、F 分别是三交ABC 的边AB,AC,BC 的中点，连接FE 并延长到 点G ，使GE=FE ，如果△ABC 的面积为220cm ，那么四边形ADEG 的面积是 图2

图3

9. 如图8，△ABC 中，AD 是高，BE 是中线，∠EBC=300,求证：AD=BE .

10.如图，在四边形ABCD 中，DC ∥AB 以AD,AC 为边作ACED,延长DC 交EB 于F ，

求证EF=FB

11.如图，已知四边形ABCD 是平行四边形，在AB 的延长线上截取BE=AB,BF=BD ，连接CE,DF

相交于点M ，求证：CD=CM

12. 如图9，在△ABC 中，AB=AC ，延长AB 到D ，使BD=AB ，E 为AB 中点，连接CE 、CD .

求证：CD=2EC .

13.如图10，AD 是△ABC 的外角平分线，CD ⊥AD 于D ，E 是BC 的中点.

求证：(1)DE ∥AB ; (2)()1

2

DE AB AC =+.

一、相信你的选择

1．如图1，在平行四边形ABCD 中，下列各式不一定正确的是 （ ）．

(A)︒=∠+∠18021 (B)︒=∠+∠18032 (C)︒=∠+∠18043 (D)︒=∠+∠18042

图1 图2

2．如图2，在□ABCD 中，EF//AB ，GH//AD ，EF 与GH 交于点O ，则该图中的平行四边形的个数共有 （ ）.

(A)7 个 (B)8个 (C)9个 (D)11个 3．（08贵阳市）如图，在平行四边形ABCD 中，E 是AB 延长线上的一点，若60A ∠=

，则1∠的度数

为（ ） A ．120

B ．60

C ．45

D ．30

4．下列说法，属于平行四边形判别方法的有（ ）个.

①两组对边分别平行的四边形；②平行四边形的对角线互相平分； ③两组对边分别相等的四边形；④平行四边形的每组对边平行且相等； ⑤两条对角线互相平分的四边形是平行四边形； ⑥一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．

(A)6个 (B)5个 (C)4个 (D)3个

5．如图 3 ,在□ABCD 中, ∠B=110°,延长AD 至F,延长CD 至E,连接EF,则∠E+∠F 的值为 ( ).

(A)110° (B)30° (C)50° (D)70°

图3 图4

6．如图4，□ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，将△AOD 平移至△BEC 的位置，则图中与OA 相等的其它线段有 （ ）.

(A)1条 (B)2条 (C) 3条 (D) 4条

7．如图5，点D 、E 、F 分别是AB 、BC 、CA 边的中点，则图中的平行四边形一共有（ ）.

(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个

8．三角形三条中位线的长分别为3、4、5，则此三角形的面积为 （ ）. (A)12 (B)24 (C)36 (D)48