利用导数研究函数零点
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
1° 若������ ≤ 0,则������ ������0
1 = ������0 + 4������0 − 4 − ������ > −������ ≥ 0
又������ ������−������ = −������ ������������ − 2 − ������ ≤ −������ ������0 − 2 − ������ ≤ 0
支线:整体构造、参数分离、拆分函数、简化函数 猜根,先猜后证 设而不求,整体代入 零点存在性定理 数形结合找思路
=
ln ������ ������
−
������(������
−
1)零点个数
思路分析:求导后������′(������)含参数且不可解怎么办?
解:1° 当������ ≥ 1时,������′ ������
=
1−ln ������2
������
−
������
≤
1−ln ������−������2 ������2
思路解析:1.直接令������ ������ = ln ������ − ������������,求导讨论������ ������ 的单调性,画出图像观察
2.转化为������
=
ln ������,令������
������
������
= ln ������ ,求导得������ ������ 的单调性,画出图像观察
������
3. 转化为������ = ln ������和������ = ������������图像交点问题,围绕相切情况讨论
例1:( 2)若������ < ������,试确定������ ������ = ������ ∙ ������������−������ − ����������wk.baidu.com�的零 点个数
−
������
<
������
1 ������������ − 1
<0
又������ ������ 在区间 (0 , 1)内单调递增,∴ ������ ������ 在区间 (0 , 1)内有唯一零点
令������ ������ = ������ − ln ������,则������′ ������ = 1 − 1
此时������ ������ > ������ 1 = 0,������(������)无零点
������ ∈ (������0 , +∞)时,������ ������ < 0,即������′ ������ < 0,������(������)单调递减
令ℎ ������ = ln ������ − ������,则������ > 1时,ℎ′ ������ = 1 − 1 < 0, ∴ ℎ ������ < ℎ 1 < 0
<
0
∴ ������(������)单调递减,∴ ������ ������ < ������ 1 = 0,即������(������)无零点
2° 当������ ≤ 0时,������ ������ = ln ������ − ������ ������ − 1 ≥ ln ������ > 0,即������(������)无零点
������
∴ ������ ������ 在区间 (0 , 1)上单调递减,区间 (1 , +∞)上单调递增
∴ ������ ������
≥ ������ 1
=
1,∴
������
>
ln
������,即
ln ������ ������
<
1
ln(1 − ������) ∴ ������ 1 − ������ = 1 − ������ − 1 < 0
又������ ������ 在区间(1 , +∞)内单调递减,∴ ������ ������ 在区间(1 , +∞)内有唯一零点
综上,������ > −1时方程无根,������ = −1时方程有唯一根,������ < −1时方程有两根
变式探究2:若函数������ ������
=
ln������ ������
方法总结
主线:构造函数—>求导数—>画出函数草图—>数形结合 支线:整体构造、参数分离、拆分函数、简化函数 主线是通法,支线是技巧;技巧可以做为通法的补充。
03 变式探究
变式探究1:讨论关于������的方程������������������ = ������ + ������的根的个数
������
−
2
ln
������
−
������有唯一零点,
求证:������ ∈ (0 , 1)
解:������ ������ 定义域为(0 , +∞),求导得������′ ������
=
1−ln ������−2������ ������2
方程1 − ln ������ − 2������ = 0 实根求不出也看不出
������
������
3° 当������ ∈ (0 , 1)时,������′ ������
=
1−ln ������−������������2 ������2
令������ ������ = 1 − ln ������ − ������������2,则������(������)递减
又������ 1 = 1 − ������ > 0,������ ������ = −������������2 < 0, ∴ ������(������)存在唯一的零点������0 ∈ (1 , ������) ∴ ������ ∈ (1 , ������0)时,������ ������ > 0,即������′ ������ > 0,������(������)单调递增
∴ ������ ∈ (0 , ������0)时,������ ������ > 0,即������′ ������ > 0,������(������)单调递增
∴ ������ ∈ (������0 , +∞)时,������ ������ < 0,即������′ ������ < 0,������(������)单调递减
=
1 ������
+ 4������
− 4,则������′
������
=
4������2 − 4������2
1
,
∴ ������ ∈
1 2 ,1
时������′ ������
> 0,������(������)递增, ∴ ������(������0) ∈ (0 , 1)
∴ 当������ = ������ ������0 时,������ ������0 = 0,此时������ ∈ (0 , 1),且������(������)有唯一零点,符合题意
2° ������ = −1时,������(������)仅在������ = 1处有唯一零点,即原方程有唯一根
3° ������ < −1时,������ 1 = −������ − 1 > 0,且
������ ������������
=
������ ������������
−
������������
思考题:已知函数������ ������ = ������2 − 2������ln������ − 2������������ + ������2,求证: ∃������ ∈ (0 , 1),使得������(������)有唯一零点
04 课堂小结
课堂小结
主线:构造函数—>求导数—>画出函数草图—>数形结合
令������1 = min
������������ , 1
3
,则������ ������1
=
1 −2
������1
∙ ln������1 − ������ ≤ ln ������1 − ������ ≤ 0
∴ ������ ������ 在区间[������1 , ������0)和区间(������0 , ������−������]各有一个零点,不合题意
∴ ������ ∈ (0 , 1)时,1 − ln ������ − ������2 > − ln ������ > 0,即������′ ������ > 0,������(������)单调递增
������ ∈ (1 , +∞)时,1 − ln ������ − ������2 < − ln ������ < 0,即������′ ������ < 0,������(������)单调递减
主题:
《利用导数研究函数零点》
主讲人:舒大飞
CONTENTS
目 录
1 高考分布 2 例题分析 3 变式探究 4 课堂小结
1 高考分布
2015年 2016年 2017年 2018年
全国1卷第21题 全国1卷第21题 全国1卷第21题 全国2卷第21题
02 例题分析
例1:(1)讨论方程������������ ������ − ������������ = ������实根个数
思路解析:注意到������ ������ = ������(������������−������ − ������),接下来考虑������ ������ = ������������−������ − ������的非零零点个数 1.直接求导讨论������ ������ 的单调性,画出图像观察 2.转化为������ = ������ − ln ������,令ℎ ������ = ������ − ln ������,求导得单调性、图像 3. 转化为������ = ������������−������和������ = ������图像交点问题,围绕相切情况讨论
∴ ������ ������ 在������ = 1处取最大值������ 1 = −������ − 1 如果������ 1 > 0,是不是一定有两个零点?
1° ������ > −1时,������ ������ ≤ ������ 1 < 0, ∴ ������(������)无零点,即原方程无根
2° 若������ ≥ 1,则������ ������0 < 1 − ������ ≤ 0,������(������)无零点,不合题意
综上,当������(������)有唯一零点时,������ ∈ (0 , 1)
变式探究3:当������ > ������时,讨论������ ������
令������ ������ = 1 − ln ������ − 2������,则������ ������ 单调递减,且������ 1 = ln 2 > 0,������ 1 = −1 < 0
2
∴ 存在唯一的������0 ∈ (12 , 1),使得������ ������0 = 0,即1 − ln������0 − 2������0 = 0
解:令������ ������
=
ln ������ ������
−
������
−
������,则������
������
定义域为(0 , +∞)
������′ ������
1 − ln ������ − ������2
=
������2
方程1 − ln ������ − ������2 = 0求不出根怎么办
������
∴ ������
1+1
������
=
ln(1+���1���) 1+���1���
−
1
=
ℎ 1+���1��� 1+���1���
<0
又������ ������0
> 0, ∴ ������(������)在区间
������0
,1
+
1 ������
存在唯一零点
综上,������ ≤ 0或������ ≥ 1时������(������)无零点,0 < ������ < 1时������(������)存在唯一零点
∴ ������ ������ 在������ = ������0处取最大值
又 ln ������0 = 1 − 2������0, ∴ ������ ������0
=
ln ������0 ������0
−
2
ln
������0
−
������
=
1 ������0
+
4������0
−
4
−
������
令������ ������