物理竞赛电磁感应
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（4）这里的速度v实际上导体相对于磁场的做切割磁感 线的运动速度。
例、长为l直导体在磁场B中做匀角速的转动， 已知转轴通过导体的端点，角速度为ω，若磁 场沿径向的变化规律为B=kr2，其中k为常数，
求动生电动势。
B r k r3 r
l
dkr3d
0
r1kl4
4
ω Ol B
4.动生电动势的相关应用
（1）含电容器问题，应用微元（微积分）叠加处理
（2）含源问题，应用基尔霍夫定律
（3）定轴转动的导体杆切割磁感线问题的灵活应用， 特别是对非匀强磁场问题。尤其是法拉第圆盘发电机 （或电动机）
（4）功、功率和能量问题，电路产生的电能等于 克服安培力做功
（5）数学基础：微元法（微积分）的应用
1、如图所示，电源的电动势为U，电容器的电容为 C，S 是单刀双掷开关。MN、PQ 是两根位于同一水平面的平行 光滑长导轨，它们的电阻可以忽略不计。两导轨间距为l， 导轨处磁感应强度为B的均匀磁场中，磁场方向垂直于两 导轨所在的平面并指向图中纸面向里的方向。l1 和 l2 是两 根横放在导轨上的导体小棒，它们在导轨上滑动时与导轨 保持垂直并接触良好，不计摩擦。两小棒的电阻相同，质 量分别为 m1和m2，且m1<m2，开始时两根小棒均静止在 导轨上，现将开关S先接通1，然后接通2。求： （1）两根小棒最终速度大小；
利用外力力矩等于安培力 矩与摩擦力矩之和即得
本题也可以由 能量关系计算， 外力的功率等 于电功率与克 服摩擦力功率 之和
3、如图所示，OO为一固定不动的半径为a1的圆柱形金 属轴，其电阻可忽略不计。一个内半径为a1、外半径为 a2、厚度为h（h<<a1）的匀质环形导体圆盘套在OO上， 与OO接触良好，并可绕OO无摩擦地转动。圆盘上距
离中心r处的电阻率与r成正比，即 =0r，0为常量。
整个环形圆盘处在与盘面垂直的恒定磁场中，磁感应强
度大小为B。图中的电源S是一个不论负载如何变化，
均能提供恒定不变的电流I的恒流源，电阻R0是跨接在 电源S两端的固定电阻。电源一端接在固定金属轴上端
面的中心X处，另外一端通过无摩擦的电刷Y与圆盘保
持良好接触，此装置可以作为“圆盘电动机”。
F 1 t B 1 t l im 1 v 1
F 2 t B 2 t l im 2 v 2
由于两棒开始时刻静止，而最终速度又等于v，则
B1litm 1v B2litm 2v
两式相加等于 B ( i1 li2 ) t ( m 1 m 2 ) v
任何时刻，通过l1和l2的电流的代数和等于电容器的 放电电流i，即有
2、如图所示，水平放置的金属细圆环半径为a，竖直放 置的金属细圆柱（其半径比a小得多）的端面与金属圆环 的上表面在同一平面内，圆柱的细轴通过圆环的中心 O．一质量为m，电阻为R的均匀导体细棒被圆环和细圆 柱端面支撑，棒的一端有一小孔套在细轴O上，另一端A 可绕轴线沿圆环作圆周运动，棒与圆环的摩擦系数为 µ．圆环处于磁感应强度大小为B=kr、方向竖直向上的 恒定磁场中，式中k为大于零的常量，r为场点到轴线的 距离．金属细圆柱与圆环用导线ed连接．不计棒与轴及 与细圆柱端面的摩擦，也不计细圆柱、圆环及导线的电 阻和感应电流产生的磁场．问沿垂直于棒的方向以多大 的水平外力作用于棒的A端才能使棒以角速度ω匀速转 动．
(B) S (B)lx B x lBlv
t t t t
d
a
B
v
c b
（1）它既可以表示是瞬时电动势，也可以表示平均电 动势； （2）若速度v的方向与磁场B方向不垂直，则动生电动
势=Blvsin
（3）若磁场不是匀强磁场，或切割磁感线的导体杆上 各点速度不相等，可以用微元法处理，
Bsvin l
(i1 i2 ) t i t Q q
其中Q为初始时刻电容器所带电量，q为最终速度时电容器所带 电量
由于 QCU q CBlv
最终有
v m1
BlCU m2 B2l2C
（2）在整个过程中的焦耳热损耗。
由能量关系，得
12 S
M l2
UC
P
l1
N
Bl
Q
W
W0
W1
1 2
(m1
m2
)v2
(m1 m2)CU2 2(m1 m2 B2l2C)
分析：哪些是常量？哪些是变量？
对于在匀强磁场中，做 定轴转动的导体杆切割 磁感线，可以简单地用 平均速度求解，现在还 可以吗？
B O e
B
A a
d
下面用积分方法求做
dx
O
x x+dx
x
ຫໍສະໝຸດ Baidu
长度微元dx的动生电动势d =Bvdx=kx2dx
故总电动势大小为
d0akx2dx1 3ka3
求安培力矩再次用到积分方法
k d
dt
在 SI 制中 k =1
确定回路的绕行方向， 0 与回路 L绕向相反 ; 0 与回路L绕向同向;
感应电流和感应电量 I 1 d R dt
感应电流的大小与 随时间变化率有关
I dq dt
qR1(2 1)
感应电量只与回路中磁通量的变化量有关，与磁通量 变化率无关。
3.动生电动势
高中物理竞赛系列讲座
电磁感应
物理竞赛大纲规定的考试内容：法拉第电磁感 应定律，Lenz定律，感应电场，自感系数和互 感等。从考点内容看，电磁感应所涉及到的知 识点与常规教学基本相同，但对学生能力的要 求较高，同时对数学的要求和物理方法的应用 都很高，希望同学们对于一些经典问题有全面 的理解。
一、动生电动势
1.电磁感应现象
当回路磁通量发生变化时在回路中产生电流的现象 称为电磁感应现象。产生的电流叫感应电流。
磁通量的变化量
( B ) ( S B ) S B ( S )
感生电动势
动生电动势 交流发电机
2.法拉第电磁感应定律
内容：导体回路中的感应电动势的大小与穿过 导体回路的磁通量的变化率成正比.
12 S
M l2
UC
P
l1
N
Bl
Q
（1）当电键S由1扳向2后，电容器对闭合回路放电， 使两个小棒向右作加速运动。初始时分两小棒的安培 力相同，但由于质量不等，故速度不等，最终会导致 两小棒以相同速度运动，并使两端电压等于电容器两 端电压，此时电流等于零，两小棒作匀速运动。 对于中间过程的任一时刻，设l1电流为i1，l2电流为i2， 安培力分别为F1=Bli1和F2=Bli2，由动量定理，得
例、长为l直导体在磁场B中做匀角速的转动， 已知转轴通过导体的端点，角速度为ω，若磁 场沿径向的变化规律为B=kr2，其中k为常数，
求动生电动势。
B r k r3 r
l
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0
r1kl4
4
ω Ol B
4.动生电动势的相关应用
（1）含电容器问题，应用微元（微积分）叠加处理
（2）含源问题，应用基尔霍夫定律
（3）定轴转动的导体杆切割磁感线问题的灵活应用， 特别是对非匀强磁场问题。尤其是法拉第圆盘发电机 （或电动机）
（4）功、功率和能量问题，电路产生的电能等于 克服安培力做功
（5）数学基础：微元法（微积分）的应用
1、如图所示，电源的电动势为U，电容器的电容为 C，S 是单刀双掷开关。MN、PQ 是两根位于同一水平面的平行 光滑长导轨，它们的电阻可以忽略不计。两导轨间距为l， 导轨处磁感应强度为B的均匀磁场中，磁场方向垂直于两 导轨所在的平面并指向图中纸面向里的方向。l1 和 l2 是两 根横放在导轨上的导体小棒，它们在导轨上滑动时与导轨 保持垂直并接触良好，不计摩擦。两小棒的电阻相同，质 量分别为 m1和m2，且m1<m2，开始时两根小棒均静止在 导轨上，现将开关S先接通1，然后接通2。求： （1）两根小棒最终速度大小；
利用外力力矩等于安培力 矩与摩擦力矩之和即得
本题也可以由 能量关系计算， 外力的功率等 于电功率与克 服摩擦力功率 之和
3、如图所示，OO为一固定不动的半径为a1的圆柱形金 属轴，其电阻可忽略不计。一个内半径为a1、外半径为 a2、厚度为h（h<<a1）的匀质环形导体圆盘套在OO上， 与OO接触良好，并可绕OO无摩擦地转动。圆盘上距
离中心r处的电阻率与r成正比，即 =0r，0为常量。
整个环形圆盘处在与盘面垂直的恒定磁场中，磁感应强
度大小为B。图中的电源S是一个不论负载如何变化，
均能提供恒定不变的电流I的恒流源，电阻R0是跨接在 电源S两端的固定电阻。电源一端接在固定金属轴上端
面的中心X处，另外一端通过无摩擦的电刷Y与圆盘保
持良好接触，此装置可以作为“圆盘电动机”。
F 1 t B 1 t l im 1 v 1
F 2 t B 2 t l im 2 v 2
由于两棒开始时刻静止，而最终速度又等于v，则
B1litm 1v B2litm 2v
两式相加等于 B ( i1 li2 ) t ( m 1 m 2 ) v
任何时刻，通过l1和l2的电流的代数和等于电容器的 放电电流i，即有
2、如图所示，水平放置的金属细圆环半径为a，竖直放 置的金属细圆柱（其半径比a小得多）的端面与金属圆环 的上表面在同一平面内，圆柱的细轴通过圆环的中心 O．一质量为m，电阻为R的均匀导体细棒被圆环和细圆 柱端面支撑，棒的一端有一小孔套在细轴O上，另一端A 可绕轴线沿圆环作圆周运动，棒与圆环的摩擦系数为 µ．圆环处于磁感应强度大小为B=kr、方向竖直向上的 恒定磁场中，式中k为大于零的常量，r为场点到轴线的 距离．金属细圆柱与圆环用导线ed连接．不计棒与轴及 与细圆柱端面的摩擦，也不计细圆柱、圆环及导线的电 阻和感应电流产生的磁场．问沿垂直于棒的方向以多大 的水平外力作用于棒的A端才能使棒以角速度ω匀速转 动．
(B) S (B)lx B x lBlv
t t t t
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a
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（1）它既可以表示是瞬时电动势，也可以表示平均电 动势； （2）若速度v的方向与磁场B方向不垂直，则动生电动
势=Blvsin
（3）若磁场不是匀强磁场，或切割磁感线的导体杆上 各点速度不相等，可以用微元法处理，
Bsvin l
(i1 i2 ) t i t Q q
其中Q为初始时刻电容器所带电量，q为最终速度时电容器所带 电量
由于 QCU q CBlv
最终有
v m1
BlCU m2 B2l2C
（2）在整个过程中的焦耳热损耗。
由能量关系，得
12 S
M l2
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W
W0
W1
1 2
(m1
m2
)v2
(m1 m2)CU2 2(m1 m2 B2l2C)
分析：哪些是常量？哪些是变量？
对于在匀强磁场中，做 定轴转动的导体杆切割 磁感线，可以简单地用 平均速度求解，现在还 可以吗？
B O e
B
A a
d
下面用积分方法求做
dx
O
x x+dx
x
ຫໍສະໝຸດ Baidu
长度微元dx的动生电动势d =Bvdx=kx2dx
故总电动势大小为
d0akx2dx1 3ka3
求安培力矩再次用到积分方法
k d
dt
在 SI 制中 k =1
确定回路的绕行方向， 0 与回路 L绕向相反 ; 0 与回路L绕向同向;
感应电流和感应电量 I 1 d R dt
感应电流的大小与 随时间变化率有关
I dq dt
qR1(2 1)
感应电量只与回路中磁通量的变化量有关，与磁通量 变化率无关。
3.动生电动势
高中物理竞赛系列讲座
电磁感应
物理竞赛大纲规定的考试内容：法拉第电磁感 应定律，Lenz定律，感应电场，自感系数和互 感等。从考点内容看，电磁感应所涉及到的知 识点与常规教学基本相同，但对学生能力的要 求较高，同时对数学的要求和物理方法的应用 都很高，希望同学们对于一些经典问题有全面 的理解。
一、动生电动势
1.电磁感应现象
当回路磁通量发生变化时在回路中产生电流的现象 称为电磁感应现象。产生的电流叫感应电流。
磁通量的变化量
( B ) ( S B ) S B ( S )
感生电动势
动生电动势 交流发电机
2.法拉第电磁感应定律
内容：导体回路中的感应电动势的大小与穿过 导体回路的磁通量的变化率成正比.
12 S
M l2
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Q
（1）当电键S由1扳向2后，电容器对闭合回路放电， 使两个小棒向右作加速运动。初始时分两小棒的安培 力相同，但由于质量不等，故速度不等，最终会导致 两小棒以相同速度运动，并使两端电压等于电容器两 端电压，此时电流等于零，两小棒作匀速运动。 对于中间过程的任一时刻，设l1电流为i1，l2电流为i2， 安培力分别为F1=Bli1和F2=Bli2，由动量定理，得