第六章习题及答案

【题 6－11】信号 m(t ) = M sin 2π f 0t 进行简单增量调制，若台阶 σ 和抽样频率选 择得既保证不过载，又保证不致因信号振幅太小而使增量调制器不能正常编码， 试证明此时要求 f s > π f 0 。 【答案 6－11】 要保证增量调制不过载，则要求
dm(t ) σ σ <K= = = σ fs Δt Ts dt MAX
M (ω ) 的形状可自行假设)。
已抽样信号频谱为
设 M (ω ) 如图 7-13(b)所示，则 M s (ω ) 如图 7-13(c)所示。 【题 6－5】已知信号 m(t ) 的最高频率为 f m ，由矩形脉冲 m(t ) 进行瞬时抽样， 矩形脉冲的宽度为 2τ ，幅度为 1，试确定已抽样信号及其频谱表示式。 【答案 6－5】 矩形脉冲形成网络的传输函数
特宽度为 Tb = 零点频宽为
B= 1 Ti ，因为占空比为 1，所以脉冲宽度 Tb = τ ，所以PCM系统的第一 7
B=
= 288kHz
τ
= 672kHz
【题 6－16】已知话音信号的最高频率 f m = 3400kHz ，今用 PCM 系统传输，要 求信号量化噪声比 【答案 6－16】 要求系统量化信噪比 Sq Nq
【答案 6－7】 根据 f ( x ) 图形可知
⎧1 − x ⎪ f ( x) = ⎨1 + x ⎪ 0 ⎩
0<x ≤ 1 -1 ≤ x ≤ 0 x ≥1
x 动态范围为： v = 1 − ( −1) = 2
量化级间隔为： Δv =
v 2 = = 0.5 M 4
量化区间端点和量化输出为：m0 = −1 ，m1 = −0.5 ，m2 = 0 ，m3 = 0.5 ，m4 = 1 ； q1 = −0.75 ， q2 = −0.25 ， q3 = 0.25 ， q4 = 0.75 。 量化信号功率为： Sq = ∑ qi2 ∫
i =1
4
mi
− mi
( x − qi ) 2 f ( x)dx
0 −0.5 1
பைடு நூலகம்=∫
−0.5
−1
( x + 0.75) 2 ( x + 1)dx + ∫
( x + 0.25) 2 ( x + 1)dx 1 48
+ ∫ ( x − 0.25) 2 (1 − x)dx + ∫ ( x − 0.75)2 (1 − x )dx =
抽样速率为 8000Hz，抽样后进行 8 级量化，并编为自然二进制码，码元波形是 宽度为 τ 的矩形脉冲，且占空比为 1。试求传输此时分复用 PCM 信号所需的带 宽。 【答案 6－13】 每路信号所占时隙宽度为
Ti = 1 1 1 × = ms 8000 10 80
抽样后进行 8 级量化编码，由 N = log 2 M 得 N = 3 ，说明进行 3 位编码。每 比特宽度 Tb = 由占空比为 1，得出脉冲宽度 Ti 3 =1 240 ms
M H (ω ) 中包括调制信号频谱与原始信号频谱 M (ω ) 不同， 这是因为 Q (ω ) 的加权。 瞬时抽样信号时域表达式为
mH (t ) =
n =−∞
∑ m(t )δ (t − nT ) ∗ q(t )
s
∞
【题 6－6】设信号 m (t ) = 9 + A cos ω t ，其中 A ≤ 10V 。若 m(t ) 被均匀量化为 40 个电平，试确定所需的二进制码组的位数 N 和量化间隔 Δv 。 【答案 6－6】
τ = Tb
所以系统带宽为 B = 1 = 240kHz 。
τ
【题 6－14】单路话音信号的最高频率为 4kHz,抽样速率为 8kHz,以 PCM 方式传 输。设传输信号的波形为矩形脉冲，其宽度为 τ ，且占空比为 1： 1）抽样后信号按 8 级量化，求 PCM 基带信号第一零点频宽； 2）若抽样后信号按 128 级量化，PCM 二进制基带信号第一零点频宽又为多 少？ 【答案 6－14】 1）抽样后信号按 8 级量化，由于N=log2M=log28=3，说明每个抽样值要编 3 位二进制码。此时每比特宽度为 Tb =
τ
间间隔都是 1 ，所以第 10 个零点频率为 f m = 10 f1 = 500 Hz 。忽略第 10 个零点
τ
以外的频率分量，门函数的最高频率是 500 Hz 。由抽样定理，可知最小抽样速率 f s = 2 f m = 1000 Hz 。
m(t ) 需要被量化为 40 个电平，即 M = 40 ，表示 40 个电平需要的二进制码
组位数 N = [log 2 M ] + 1 = 6 量化间隔
Δv = 2 A 2 × 10 = = 0.5V M 40
【题 6－7】已知模拟信号抽样值的概率密度 f ( x ) 如下图所示。若按四电平进行 均匀量化，试计算信号量化噪声功率比。
化间隔为 16。 因为采用折叠码，所以是第四级。译码器输出为 I。＝-(256+3×16+16)＝-(304+l6)＝-320 (2)均匀量化 11 位码为 2）C1C2C3C4C5C6C7C8C9C10C11＝00100100000
【题 6－10】采用 13 折线 A 律编码，设最小的量化间隔为 1 个量化单位，已知 抽样脉冲值为-95 量化单位； 1）试求出此时编码器输出码组，并计算量化误差（段内码用自然二进码） ； 2）写出对应于该 7 位码（不包括极性码）的均匀量化 11 位码。 【答案 6－10】 1）极性码： -95<0 段落码： 95<128 95>32 95<64 c2=0 c3=1 c4=1 c1=0
0 0.5
0.5
信号量化噪声功率比为：
Sq Nq
=
3 16 =9 1 48
【题 6－8】采用 13 折线 A 律编码，设最小量化间隔为 1 个单位，已知抽样脉冲 值为+635 单位： 1）试求此时编码器输出码组，并计算量化误差； 2）写出对应于该 7 位码（不包括极性码）的均匀量化 11 位码。 （采用自然 二进制码。 ） 【答案 6－8】 1）极性码： +635〉0 段落码： 635>125 635>512 635<1024 c2=1 c3=1 c4=0 c1=1
编码器输出码组为 11100011 量化输出为+608 个量化单位；量化误差为 635-608=27 个量化单位。 2） 除极性码外的 7 为非线性码组为 1100011， 相对应的 11 为均匀码为 0100110000。
【题 6－9】采用 13 折线 A 律编码电路，设接收端收到的码组位“01010010”、最 小量化界各为 1 个量化单位，并已知段内码改用折叠二进制码： 1）试问译码器输出为多少量化单位； 2）写出对应于该 7 位码（不包括极性码）的均匀量化 11 位码。 【答案 6－9】 解 (1)由 C1＝0 知，信号为负值。再由 C2C3C4＝10l 知, 码组对应第 6 段，量
抽样后信号按 8 级量化，由于N=log2M=log28=3,说明每个抽样值要编 3 位二 进制码。此时每比特宽度为 Tb = 以PCM系统的第一零点频宽为
Ti ，因为占空比位 1，所以脉冲宽度 Tb = τ ，所 3 1
τ 2）由于N=log2M=log2128=7，说明每个抽样值要编 7 位二进制码。此时每比
理想抽样速率为 f s ≥ 2 f1 (2)当抽样速率 f s = 3f1 时，其已抽样信号 ms ( t ) 的频谱如图 6-12(c)所示. 6-4 已知信号 m(t)的最高频率为 f m ，若用图 7-13(a)所示的 q(t)对 m(t)进行
自然抽样，确定已抽样信号及其频谱表示式，并画出其示意图(注：m(t)的频谱
i =1 4 mi − mi
f ( x)dx
−0.5 −1
= (−0.75) 2 ∫
0
( x + 1)dx + (−0.25)2 ∫
1 0.5
0
−0.5
( x + 1)dx 3 16
+ 0.252 ∫ (1 − x)dx + 0.752 ∫ (1 − x)dx = 量化噪声功率为
0.5
Nq = ∑ ∫
由此可知抽样值位于第 4 段，第 4 段的起始电平位 64，量化间隔位 4 个量 化单位。 段内码： 95<64+4*8=96 95>64+4*4=80 95>64+4*6=88 95>64+4*7=92 c5=0 c6=1 c7=1 c8=1
编码器输出码组为 00110111 ；量化输出为 -92 个量化单位，量化误差为 95-92=3 个量化单位。 2）对应均匀量化 11 位码：00001011100。
宽度 τ = Tb ，所以PCM系统的第一零点频宽为 B = 1 ＝7 f s = 56kHz
τ
【题 6－15】若 12 路话音信号（每路信号的最高频率为 4kHz）进行抽样和时分 复用，将所有的脉冲用 PCM 系统传输，重做上题。 【答案 6－15】 1）每路信号所占带宽
Ti = 1 1 1 i = ms f s 12 96
(1)为了在接收端能不失真地从已抽样信号 ms ( t ) 中恢复 m(t)，试问抽样间 隔应为多少? (2)若抽样间隔取为 0.2s，试画出已抽样信号的频谱图。 解 (1)基带信号 m(t)中最大角频率为
ω = 4π rad / s
由抽样定理可得抽样频率为 2π f s ≥ 2ω = 8π rad / s
T 1 ，因为占空比位 1，所以脉冲宽度 = 3 3 fs
τ = Tb ，所以PCM系统的第一零点频宽为
B = 1 ＝3 f s = 24kHz
τ
2）若抽样信号按 128 级量化，由于N=log2M=log2128=7，说明每个抽样值要