高中数学《不等式》选修题型归纳
选修不等式题库
选修不等式题库1.函数()2f x ax =+,其中a ∈R ,若()f x a ≤的解集为[-2,0]. (1)求a 的值;(2)求证:对任意x ∈R ,存在1m >,使得不等式()()1221f x f x m m -+≥+-成立. 2.已知函数()1f x x a x =---.(1)当2a =时,求不等式()01f x <≤的解集; (2)若()()20,,3x f x a ∀∈+∞≤-,求a 的取值范围.3.设不等式|21|1x -<的解集是M ,,a b M ∈. (1)试比较1ab +与a b +的大小;(2)设max 表示数集A 的最大数.22max h⎫=⎬⎭,求证:2h ≥. 4.设函数212)(--+=x x x f . (Ⅰ)求不等式2)(≥x f 的解集;(Ⅱ)若对于任意R x ∈,不等式t t x f 211)(2->恒成立,求实数t 的取值范围. 5.设函数)(|1||1|)(R x x ax x f ∈+++=. (1)当1=a 时,求不等式2)(>x f 的解集;(2)对任意实数]3,2[∈x ,都有32)(-≥x x f 成立,求实数a 的取值范围. 6.已知关于x 的函数()f x =|1|||x x m ++-.(Ⅰ)若()3f x ≥对所有的x ∈R 恒成立,求实数m 的取值范围;(Ⅱ)若关于x 的不等式2()2f m m x x -≥-的解集非空,求实数m 的取值范围. 7.已知()3f x x a x =-+- (Ⅰ)当1a =时,求f (x )的最小值;(Ⅱ)若不等式()3f x ≤的解集非空,求a 的取值范围. 8.已知()13f x x x =-+-.(1)解关于x 的不等式()4f x ≤;(2)若()2f x m m >+恒成立,求实数m 的取值范围. 9.(1)当a =2时,解不等式()113x f x -+≥; (2)设不等式()13x f x x -+≤的解集为M ,若11,32M ⎡⎤⊆⎢⎥⎣⎦,求实数a 的取值范围. 10.已知函数()2f x x a x =++-(1)当3a =-时,求不等式()3f x ≥的解集;(2)若()4f x x ≤- |的解集包含[1,2],求a 的取值范围. 11.设f (x )=|x +a |+|x -a |,当12a =时,不等式f (x )<2的解集为M ;当14a =时,不等式f (x )<1的解集为P . (1)求M ,P ;(2)证明:当m ∈M ,n ∈P 时,|m +2n |<|1+2mn |. 12.已知函数a x a x x f +++=2)(,()a R ∈ (1)若(1)3f >,求实数a 的取值范围; (2)求证:6)1()(≥+-mf m f .()m R ∈ 13.设函数(),f x x a a =-∈R .( 1 )当5a =时,解不等式()3f x ≤;( 2 )当1a =时,若x ∃∈R ,使得不等式()()1212f x f x m -+≤-成立,求实数m 的取值范围. 14.[选修4-5:不等式选讲]已知函数f (x )=|x +m |-|2x -2m |(m >0). (1)当12m =时,求不等式1()2f x ≥的解集; (2)对于任意的实数x ,存在实数t ,使得不等式f (x )+|t -3|<|t +4|成立,求实数m 的取值范围.15.已知()|1||1|f x x x =++-,()g x a =-.(1)若4a =-,求不等式()()0f x g x -<的解集;(2)若函数f (x )的图像与函数g (x )的图像有交点,求a 的取值范围. 16.已知函数()1211f x x x =-+++ (1)求不等式8)(<x f 的解集;(2)若R x ∈∀,函数a x f 2log )(≥恒成立,求实数a 的取值范围. 17.已知()f x =R .(1)求实数m 的取值范围;(2)设实数t 为m 的最大值,若实数a ,b ,c 满足2222a b c t ++=, 求222111123a b c +++++的最小值. 18.(1)如果关于x 的不等式15x x m ++-≤的解集不是空集,求实数m 的取值范围; (2)若a ,b 均为正数,求证:a bb aa b a b ≥. 19.设函数()|27|1f x x =-+。
2015-2016学年高二数学练习第三章《不等式》章末归纳总结新人教A版必修5
【成才之路】2015-2016学年高中数学 第三章 不等式章末归纳总结新人A 教版必修5一、选择题1.(2015·四川理,1)设集合A ={x |(x +1)(x -2)<0},集合B ={x |1<x <3},则A ∪B =( )A .{x |-1<x <3}B .{x |-1<x <1}C .{x |1<x <2}D .{x |2<x <3}[分析] 考查集合的基本运算和一元二次不等式的解法.解答本题先解不等式求出A ,再按并集的意义求解.[答案] A[解析] A ={x |-1<x <2},B ={x |1<x <3}, ∴A ∪B ={x |-1<x <3},选A .2.已知a +b >0,b <0,那么a ,b ,-a ,-b 的大小关系为( ) A .a >b >-b >-a B .a >-b >-a >b C .a >-b >b >-a D .a >b >-a >-b[答案] C [解析]⎭⎪⎬⎪⎫a +b >0⇒a >-b b <0⇒-b >0⇒a >-b >0⇒-a <b <0.∴选C .另解:可取特值检验.∵a +b >0,b <0,∴可取a =2,b =-1,∴-a =-2,-b =1,∴-a <b <-b <a ,排除A 、B 、D ,∴选C .3.不等式(x +5)(3-2x )≥6的解集是( )A .⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤-1,或x ≥92B .⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |-1≤x ≤92C .⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤-92或x ≥1 D .⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |-92≤x ≤1 [答案] D[解析] 解法1:取x =1检验,满足排除A ;取x =4检验,不满足排除B ,C ;∴选D . 解法2:化为:2x 2+7x -9≤0, 即(x -1)(2x +9)≤0,∴-92≤x ≤1.4.若2x+2y=1,则x +y 的取值范围是( ) A .[0,2]B .[-2,0]C .[-2,+∞)D .(-∞,-2][答案] D[解析] ∵2x+2y≥22x +y,∴22x +y≤1,∴2x +y≤14=2-2,∴x +y ≤-2,故选D . 5.(2014·安徽理,5)x , y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x +y -2≤0,x -2y -2≤0,2x -y +2≥0.若z =y -ax 取得最大值的最优解不唯一,则实数a 的值为( )A .12或-1 B .2或12C .2或1D .2或-1[答案] D[解析] 本题考查线性规划问题.如图,z =y -ax 的最大值的最优解不唯一,即直线y =ax +z 与直线2x -y +2=0或x +y -2=0重合,∴a =2或-1.画出可行域,平移直线是线性规划问题的根本解法.6.当x ∈R 时,不等式kx 2-kx +1>0恒成立,则k 的取值范围是( ) A .(0,+∞) B .[0,+∞) C .[0,4) D .(0,4)[答案] C[解析] k =0时满足排除A 、D ;k =4时,不等为4x 2-4x +1>0,即(2x -1)2>0,显然当x =12时不成立.排除B ,选C .二、填空题7.已知函数f (x )=4x +a x(x >0,a >0)在x =3时取得最小值,则a =________. [答案] 36[解析] 由基本不等式可得4x +a x≥24x ·ax =4a ,当且仅当4x =a x,即x =a2时等号成立.故a2=3,a =36.8.已知:a 、b 、x 、y 都是正实数,且1a +1b=1,x 2+y 2=8,则ab 与xy 的大小关系是________.[答案] ab ≥xy[解析] ab =ab ·(1a +1b)=a +b ≥2ab ,∴ab ≥4,等号在a =2,b =2时成立,xy ≤x 2+y 22=4,等号在x =y =2时成立,∴ab ≥xy .三、解答题9.(1)设a 、b 、c 为△ABC 的三条边,求证:a 2+b 2+c 2<2(ab +bc +ca ); (2)若正数a ,b 满足ab =a +b +3,求ab 的取值范围.[分析] (1)三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边,各边长均为正数.再结合轮换对称关系设法构造三个不等式相加.(2)由ab =a +b +3出发,求ab 的范围,关键是寻找ab 与a +b 之间的联系,由此联想到基本不等式a +b ≥2ab .[解析] (1)∵a 、b 、c 是△ABC 的三边, 不妨设a ≥b ≥c >0则a >b -c ≥0,b >a -c ≥0,c >a -b ≥0.平方得:a 2>b 2+c 2-2bc ,b 2>a 2+c 2-2ac ,c 2>a 2+b 2-2ab ,三式相加得:0>a 2+b 2+c 2-2bc -2ac -2ab . ∴2ab +2bc +2ac >a 2+b 2+c 2. (2)令ab =t (t >0). ∵a ,b 均为正数,∴ab =a +b +3≥2ab +3, 即得t 2≥2t +3,解得t ≥3或t ≤-1(舍去), ∴ab ≥3, 故ab ≥9,∴ab 的取值范围是[9,+∞).10.m 为何值时,关于x 的方程8x 2-(m -1)x +m -7=0的两根: (1)都大于1;(2)一根大于2,一根小于2. [解析] 设方程的两根分别为x 1、x 2. (1)由题意,得⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0x 1+x 2>2x 1-x 2-,即⎩⎪⎨⎪⎧m -2-m -m -18>2m -78-m -18+1>0,∴⎩⎪⎨⎪⎧m ≤9或m ≥25m >17m ∈R,∴m ≥25.(2)由题意,得⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0x 1-x 2-,即⎩⎪⎨⎪⎧m -2-m -m -78-m -8+4<0,∴⎩⎪⎨⎪⎧m <9或m >25m >27,∴m >27.一、选择题11.若集合A ={x |-1≤2x +1≤3},B ={x |x -2x≤0},则A ∩B =( ) A .{x |-1≤x <0} B .{x |0<x ≤1} C .{x |0≤x ≤2} D .{x |0≤x ≤1}[答案] B[解析] 因为集合A ={x |-1≤x ≤1},B ={x |0<x ≤2},所以A ∩B ={x |0<x ≤1},选B . 12.设0<b <a <1,则下列不等式成立的是( ) A .ab <b 2<1 B .log 12b <log 12a <0C .2b<2a <2 D .a 2<ab <1[答案] C[解析] 取a =12,b =13验证可知选C .13.小王从甲地到乙地的时速分别为a 和b (a <b ),其全程的平均时速为v ,则( ) A .a <v <abB .v =abC .ab <v <a +b2D .v =a +b2[答案] A[解析] 设甲、乙两地之间的距离为s . ∵a <b ,∴v =2ss a +s b=2ab a +b <2ab2ab=ab . 又v -a =2ab a +b -a =ab -a 2a +b >a 2-a2a +b=0,∴v >a .14.已知实数x ,y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0x -y ≥02x -y -2≥0,则ω=y -1x +1的取值范围是( ) A .[-1,13]B .[-12,13]C .[-12,+∞)D .[-12,1)[答案] D[解析] 作出可行域如右图所示,由于ω=y -1x +1可理解为经过点P (-1,1)与点(x ,y )的直线的斜率,而k PA =0-11--=-12,另一直线斜率趋向1,因此ω的取值范围为[-12,1).二、填空题15.某公司一年需购买某种货物200吨,平均分成若干次进行购买,每次购买的运费为2万元,一年的总存储费用数值(单位:万元)恰好为每次的购买吨数数值,要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则每次购买该种货物的吨数是________.[答案] 20[解析] 设每次购买该种货物x 吨,则需要购买200x 次,则一年的总运费为200x ×2=400x,一年的总存储费用为x ,所以一年的总运费与总存储费用为400x+x ≥2400x ·x =40,当且仅当400x=x ,即x =20时等号成立.故要使一年的总运费与总存储费用之和最小,每次应购买该种货物20吨.16.(2014·苏州调研)若m 2x -1mx +1<0(m ≠0)对一切x ≥4恒成立,则实数m 的取值范围是________.[答案] (-∞,-12)[解析] 依题意,对任意的x ∈[4,+∞),有f (x )=(mx +1)(m 2x -1)<0恒成立,结合图象分析可知⎩⎪⎨⎪⎧m <0,-1m<4,1m 2<4,由此解得m <-12,即实数m 的取值范围是(-∞,-12).三、解答题17.已知a ∈R ,试比较11-a 与1+a 的大小.[解析] 11-a -(1+a )=a21-a .①当a =0时,a 21-a =0,∴11-a=1+a . ②当a <1且a ≠0时,a 21-a >0,∴11-a >1+a .③当a >1时,a 21-a <0,∴11-a<1+a . 综上所述,当a =0时,11-a =1+a ;当a <1且a ≠0时,11-a >1+a ;当a >1时,11-a<1+a . 18.设二次函数f (x )=ax 2+bx +c ,函数F (x )=f (x )-x 的两个零点为m ,n (m <n ). (1)若m =-1,n =2,求不等式F (x )>0的解集; (2)若a >0,且0<x <m <n <1a,比较f (x )与m 的大小.[解析] (1)由题意知,F (x )=f (x )-x =a (x -m )(x -n ), 当m =-1,n =2时,不等式F (x )>0,即a (x +1)(x -2)>0.当a >0时,不等式F (x )>0的解集为{x |x <-1或x >2};当a <0时,不等式F (x )>0的解集为{x |-1<x <2}.(2)f (x )-m =F (x )+x -m =a (x -m )(x -n )+x -m =(x -m )(ax -an +1), ∵a >0,且0<x <m <n <1a,∴x -m <0,1-an +ax >0.∴f (x )-m <0,即f (x )<m .。
《基本不等式》17种题型高一
基本不等式是高中数学中非常重要且基础的一部分。
它在高一数学中占据着重要的地位,对于学生的数学基础和逻辑推理能力的培养起着至关重要的作用。
在高一数学教学中,基本不等式的学习也是一个重要的环节,不仅需要掌握它的概念和性质,还需要学会运用它解决实际问题。
本文将从基本不等式的概念入手,详细介绍其性质和运用方法,并列举17种题型,帮助学生全面理解和掌握基本不等式的相关知识。
一、基本不等式的概念基本不等式是指在任意三个实数a、b、c之间,必有以下基本不等式成立:1)正数的不等式:a >b ⟹ a +c > b + ca > 0,b > 0 ⟹ ac > bca > b, c > 0 ⟹ ac > bca > b, c < 0 ⟹ ac < bc2)负数的不等式:a <b ⟹ a +c < b + ca < 0,b < 0 ⟹ ac > bca < b, c > 0 ⟹ ac < bca < b, c < 0 ⟹ ac > bc以上基本不等式是学习基本不等式的基础,对于解决实际问题是非常重要的。
二、基本不等式的性质基本不等式还具有一些重要的性质,包括:1)传递性:若a > b,b > c,则a > c2)对称性:若a > b,则-b > -a3)倒置性:若a > b,则1/a < 1/b,且a/b > 0这些性质对于运用基本不等式解决实际问题时起着重要的作用,可以帮助学生更好地理解和运用基本不等式。
三、基本不等式的运用方法基本不等式在解决实际问题时有着广泛的应用,其运用方法主要包括:1)利用基本不等式的性质化简题目;2)利用基本不等式构造等式或方程组,进而求解问题;3)利用基本不等式证明不等式关系,讨论最值等问题。
学生在解决实际问题时,可以根据具体情况选择不同的运用方法,灵活运用基本不等式,解决各种复杂的问题。
高中不等式题型及解题方法
高中不等式题型及解题方法高中不等式是高中数学中的重要内容之一,也是高考数学中必考的考点之一。
不等式的题型主要包括一元一次不等式、一元二次不等式、二元一次不等式、绝对值不等式等。
本文将介绍高中不等式的各个题型及解题方法。
一、一元一次不等式一元一次不等式是高中数学中最基础的不等式。
解这类不等式的方法有两种:图像法和代数法。
图像法是通过绘制不等式的解集来求出解集的范围;代数法是通过将不等式转化为等价不等式,然后进行比较大小来求出解集的范围。
常用的代数法有加减消元法、乘法消元法、绝对值法等。
二、一元二次不等式一元二次不等式是高中数学中较难的不等式之一。
解这类不等式的方法有两种:图像法和代数法。
图像法是通过绘制不等式的解集来求出解集的范围;代数法是通过将不等式转化为等价不等式,然后进行比较大小来求出解集的范围。
常用的代数法有配方法、求根式、绝对值法等。
三、二元一次不等式二元一次不等式是高中数学中较难的不等式之一。
解这类不等式的方法有两种:图像法和代数法。
图像法是通过绘制不等式的解集来求出解集的范围;代数法是通过将不等式转化为等价不等式,然后进行比较大小来求出解集的范围。
常用的代数法有加减消元法、乘法消元法、绝对值法等。
四、绝对值不等式绝对值不等式是高中数学中较难的不等式之一。
解这类不等式的方法有两种:图像法和代数法。
图像法是通过绘制不等式的解集来求出解集的范围;代数法是通过将不等式转化为等价不等式,然后进行比较大小来求出解集的范围。
常用的代数法有分段讨论法、绝对值法等。
总之,高中数学中的不等式是一个需要掌握的重要知识点,需要通过大量的练习来熟练掌握各种不等式的解法,才能在高考数学中得到高分。
基本不等式高一数学精典题型
基本不等式高一数学精典题型在高中数学中,不等式是一个重要的概念,而基本不等式作为不等式的基础,也是高一数学中的重点内容之一。
下面将介绍一些基本不等式的经典题型,帮助大家更好地掌握这一知识点。
1. 单变量一次不等式首先,我们来看最简单的单变量一次不等式。
形如ax + b > 0的不等式,其中a、b为常数。
解这种不等式的关键是找到变量x的取值范围。
以ax + b > 0为例,如果a > 0,则当x > -b/a时不等式成立;如果a < 0,则当x < -b/a时不等式成立。
我们以一个实例来说明。
解不等式2x - 3 > 0。
首先,我们找到x的取值范围。
由于系数2大于0,所以不等式的解是x > 3/2。
2. 二次不等式其次,我们来看二次不等式的解法。
二次不等式的形式为ax^2 + bx + c > 0,其中a、b、c为常数。
解二次不等式的方法一般包括图像法和因式分解法。
以求解不等式x^2 - 5x + 6 > 0为例,我们可以利用因式分解法。
首先,找到不等式的解,即求出方程x^2 - 5x + 6 = 0的解,得到x1 = 2和x2 = 3。
然后,根据二次函数的图像,我们可以确定不等式的解集为x < 2或x > 3,即解为(-∞, 2)∪(3, +∞)。
3. 绝对值不等式接下来,我们介绍绝对值不等式的解法。
绝对值不等式是形如|ax + b| > c的不等式,其中a、b、c为常数。
解绝对值不等式的关键是将其转化为两个含有绝对值的等式。
举例来说,我们来解不等式|2x - 1| > 5。
首先,我们根据不等式的定义,得到两个等式:2x - 1 > 5和2x - 1 < -5。
解这两个等式,得到x > 3和x < -2。
将解集合并,得到x < -2或x > 3。
因此,不等式的解是(-∞, -2)∪(3, +∞)。
第33讲不等式的证明方法高中数学常见题型解法归纳反馈训练及详细解析(1)
r∣⅛ o车-让每个人平等地提升自我【知识要点】不等式的证明常用的有六种方法(不等式证明六法:比综分放数反)一、比较法包括比差和比商两种方法.比差的一般步骤是:作差一变形(配方、因式分解、通分等)一与零比一下结论;比商的一般步骤是: 作商一变形(配方、因式分解、通分等)一与1比一下结论.如果两个数都是正数,一般用比商,其它一般用比差.二、综合法证明不等式时,从命题的已知条件岀发,利用公理、定理、法则等,逐步推导岀要证明的命题的方法称为综合法,它是由因导果的方法.三、分析法证明不等式时,从待证命题出发,分析使其成立的充分条件,利用已知的一些基本原理,逐步探索, 最后将命题成立的条件归结为一个已经证明过的左理、简单事实或题设的条件,这种证明的方法称为分析法,它是执果索因的方法.用分析法证明时,要注意格式,一般格式是''要证明,只需证明……”.一般用分析法寻找思路,用综合法写出证明过程.四、放缩法证明不等式时,有时根据需要把需证明的不等式的值适当放大或缩小,使英化繁为简,化难为易,达到证明的目的,这种方法称为放缩法.放缩的常见技巧:①添加或舍去一些项,如:+ 1 > P Z l, JnUI +1) > H,匚1 <n②将分子或分母放大或缩小•如:-4<—!—= ---A>一!一k2£伙一1)«-1 k k2 k(k + l)③利用基本不等式等,如:V 2五、数学归纳法用数学归纳法证明不等式,要注意两步一结论.在证明第二步时,一般多用到比较法、放缩法和分析法.六、反证法证明不等式时,首先假设要证明的命题的反面成立,把它作为条件和其他条件结合在一起,利用已知泄义.左理、公理等基本原理逐步推证出一个与命题的条件或已证明的泄理或公认的简单事实相矛盾的结论,以此说明原假设的结论不成立,从而肯左原百度文库-让毎个人平誓地提升自我命题的结论成立的方法称为反证法.如果命题中含有“至少”或“唯一”或其它否立词时,一般用反证法・【例1】已知a>b>0jn>09则a + m a【方法点评】比差的一般步骤是:作差一变形(配方、因式分解、通分等)一与零比一下结论.【例2】设aJ)eR∖求证:a o b h≥ (ab)~aid a-b b-a a-b【证明】作商:'z ? . =a^h~ =(-)~ 伽)~ b(i-b当a = b时,(-)~ =1bJ n_b^a>b>O时,->L — >0, (-)~ >1bibf π-~b^∖b>a>0时,0<巴<1, — <0, (-)~ >1 bib∙∙∙U a b b≥ (Ub)~【点评】比商的一般步骤是:作商一变形(配方、因式分解.通分等)一与1比一下结论.学科@网【反馈检测】已知、b是实数,试比较a2+b2+c2 ^ab+bc+ca的大小・百度文禺.Il 每个人平尊地提升自我【点评】该题主要是利用三元均值不等式和二元均值不等式解答・【反馈检测】已知&如是不全相等的正数,求证:a(b 2 +c 2) + b(c 2 +a 2) + c(a 2+b 2)> 6abc【例】求证:a,b.ceR ∖求证:送出一亦)上土二—畅【点评】用分析法证明时,要注意格式,一般格式是“要证明,只需证明……W •一般用分析法寻找思 路,用综合法写出证明过程.【例 5】设SH = Jl χ2+j2x3+ + λ∕n×(∕7 + l).求证:巴凹VqV 丛也g ΛΓ)2 π2【i I 丿J 】H V (n +1) V〃 ; + ]=“ + *【点评】由于这是一个数列的问题,所以先要对数列的通项进行放缩.2$ 1 O【例6】设数列{%}的前〃项和为Sr 已知— = q 泊一丄/一料一二,〃wN*・ (1) 求数列{©}的通项公式:(2) 证明:对一切正整数",有丄+丄+ ••• +丄V?«1 «2 5 41 7(2)证明:当H = I 时,一=1<-:“ 4【例3】 设ClbC 为正实数,求证:7+⅛+7+abc ^2^∙百度文库-让毎个人平誓地提升自我当π= 2I∣⅛,-+ —= l + l = -<-W l a2 4 4 4【点评】本题的放缩是一个难点,放缩一左要适当,有时需要数列的第一项不放缩其他项放缩,有时需要数列的前两项不放缩其他项放缩,有时需要数列的前三项不放缩其他项放缩,……,才能放缩出要证明的结果•这需要大家平时的训练和积累.【反馈检测4】已知函数f(x) = a∖nx + -x2-(a+ I)X (^≥1).2(1)讨论/(X)的单调性与极值点:(2)若^CV) = -X2-X-l(x>l),证明:当α = l时,g(x)的图象恒在/(x)的图象上方; 2【证明】(1)当“等于1时,不等式左端等于1,右端等于2,所以不等式成立;•••当n = k+l时,不等式成■综合⑴、(2)得宀"时,≡1+⅛÷⅛÷-÷⅛<2^∙【点评】用数学归纳法证明不等式,要注意两步一结论•在证明第二步时,一般多用到比较法、放缩法和分析法•是证明的关键.【反馈检测5】数列{£}由下列条件决定:x1=t∕>O,xπ+1=l(xπ+-) I leN2 X ll(1)证明:对n≥2总有x,t≥yfa(2)证明:对Ii ≥2总有方法六反证法使用情景一般从正而着手比较困难.方法五数学归纳法使用情景一般是与正整数有关的命题•解题方法用数学归纳法证明不等式,要注意两步一结论. 在证明第二步时,一般多用到比较法、放缩法和分析法.(3)证明:【例7】证明不等式1 +√2 +√3+- +< 2y∣r n(/7 ∈N*)聖<2—・(2)假设n = k21)时,不等式成立,即H护护…+金【例7】已知O VdV1, 0<Z?< 1, O<cvl,求证:(1 —α)b, (1—b)c, (I-C)α 中至少有一个小于等于丄.4【点评】如果命题中含有"至少”或“唯一”或其它否泄词时,一般用反证法•【反馈检测6】已知α>O.b>O且α + b>2,求证:巴.匕M中至少有一个小于2. a b高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第33讲:不等式的证明方法参考答案【反馈检测1答案】见解析【反馈检测1 详细解析】U2 ^h I +c2 -ab-be-CU =丄(2a2 + 2b2 + 2c1 -Iab-Ibc-Ica) 2=-[(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2]≥0,当且仅当 a = b = c时,等号成立,2:•a1 +h2 +c2≥ ab+bc+ca ・【反馈检测2答案】见解析【反馈检测3答案】见解析【反馈检测3 详细解析】∙^d+b≤O时,V y∣a2+b2≥0, Λy∣a2+b2≥-(a + b)^立.2当d+b>0时,用分析法证明如下:L —17要11E√6∕2+Z?2≥^(a + b)t只需IIE(√√+P^)2≥ f (α + b),即证a2+b2≥^(a2+b2+2ab),即证:a2+b2≥2ab,I___ /7∙∙∙CV +b2≥ Iab对一切实数恒成立,∙∙∙y∣a2+h2≥≥^(a + b)成立.综上所述•对任意实数不等式都成立・【反馈检测4答案】(1) /(x)在(0,1)和α+s)上单调递增,在(1卫)上单调递减.X = I为极大值点,X = "为极小值点;(2)见解析:(3)见解析.学科@网(2)当d = 1 时,令F(X) = g(x)一/(x) = X-I-InX,IX-IF(X) = I-- = -—,当x>l 时,F(X)>0∙ 0<x< 1 时,F(X)V0,X X疋库.U每卜人平零1ΛF(X)在(0,1)上递减,在(l,-κχ>)上递增,.∙. F(x)≥ F(I) = O, ∙∙∙X> 1 时,F(X) >0恒成立. 即x>l时,g(x)>∕(X)恒成立,•:当x> 1时,g(x)的图象fe⅛∕(x)的图象上方.(3)由(2)知F(X) ≥ F(I) = 0•即InX≤x-l, Vχ>0^ Λ-≤1-1,X X令x = n2(neN*),则^4-≤l 一丄,≤-(l一-)Ir Ir Ir 2 T.In2 In3 Inn 1 八 1 , 1 一 1(I-F+1~F+-+1-^不等式成立.=—--(丄—一)=2,i^~n-∖λ2 2 2 n + 1 4(∕z + l)【反馈检测5答案】见解析【反馈检测6答案】见解析【反馈检测6详细解析】假设旦,学都不小于2,则—≥2,⅛^≥2a h a b因为α>O,b>O∙所以1 + b≥2aA + a≥2b.所以1 + ∖ + a + b≥ 2(a + b)即a+b<2,这与已知a+b>2相矛盾,故假设不成立.L -, , 1 + b 1 + α呦以----- , ---- 中至少有…个小丁2.a h。
高中数学题型全面归纳 不等式选讲
第三节 不等式选讲(选修4-5)考纲解读1.了解绝对值的几何意义,会利用绝对值的定义解不等式,利用绝对值不等式证明不等式和求最值.2.了解柯西不等式及其几何意义,会用它来证明不等式和求最位.3.了解基本不等式,会用它来证明不等式和求最值.4.会用综合法、分析法、反证法及数学归纳法证明不等式.命题趋势探究本节内容为新课标新增内容,是高考选考内容.题型以含绝对值的不等式的解法和证明为重要考点,不等式的应用为次重要考点,不等式证明放在一般位置,难度为中档. 知识点精讲一、不等式的性质1.同向合成(1),a b b c a c >>⇒>;(2),c a b d a c b d >>⇒+>+;(3)0,c 0a b d ac bd >>>>⇒>.(合成后为必要条件)2.同解变形(1)a b a c b c >⇔+>+;(2)0,0,a b c ac bc c ac bc >⇔>>⇔<<;(3)11000a b b a>>⇔>>⇔>>. (变形后为充要条件)3.作差比较法0,0a b a b a b a b >⇔>-><⇔-<二、含绝对值的不等式(1)0,||a x a a x a ><⇔>-<<;0,||,a x a x a x a >>⇔>><-或(2)22||||a b a b >⇔>(3)||||x a x b c +++<零点分段讨论 三、基本不等式(1)222a b ab +>(当且仅当等号成立条件为a b =)(2)0,0,2a b a b +>>≥a b =);0,0,0,3a b c a b c ++>>>≥(当且仅当a b c ==时等号成立) (3)柯西不等式 22222()()()a b c d ac bd ++≥+(当且仅当ad bc =时取等号)①几何意义:||ad bc ⋅⇔+≤a b a b ||||||≤②推广:222222212121122()()()n n n n a a a b b b a b a b a b ++++++≥+++.当且仅当向量12(,,,)n a a a a =与向量12(,,,)n b b b b =共线时等号成立.四、不等式的证明(1)作差比较法、作商比较法.(2)综合法——由因到果.(3)分析法——执果索因.(4)数学归纳法.(5)构造辅助函数利用单调性证明不等式.(6)反证法.(7)放缩法.题型归纳即思路提示题型201 含绝对值的不等式一、解含绝对值的不等式思路提示对于含绝对值的不等式问题,首先要考虑的是根据绝对值的意义去掉绝对值.常用的去绝对值方法是零点分段法.特别用于多个绝对值的和或差不等式问题.若单个绝对值的不等式常用以下结论:|()|()()()()f x g x g x f x g x <⇔-<<;|()|()()()()()f x g x f x g x f x g x >⇔><-或;22|()||()|()()(()())(()())0f x g x f x g x f x g x f x g x >⇔>⇔+->.有时去绝对值也可根据22||x x =来去绝对值.例16.14 (2015·山东)解不等式|x -1|-|x -5|<2的解集.变式1 不等式|5||3|10x x -++≥的解集是( )A. [5,7]-B. [4,6]-C. (,5][7,)-∞-+∞D. (,4][6,)-∞-+∞变式2 已知函数()|2||5|f x x x =---.(1)证明:3()3f x -≤≤;(2)求不等式2()815f x x x ≥-+的解集二、含绝对值不等式恒成立,求参数问题例16.15 若不等式|2x -1|+|x +2|≥a2+12a +2对任意实数x 恒成立,则实数a 的取值范围为________.变式1 不等式⎪⎪⎪⎪⎪⎪x +1x ≥|a -2|+sin y 对一切非零实数x ,y 均成立,求实数a 的取值范围.变式2 若不等式|kx -4|≤2的解集为{x|1≤x ≤3},则实数k =________.变式3 (2017·石家庄调研)设函数f(x)=|x-3|-|x+1|,x∈R.(1)解不等式f(x)<-1;(2)设函数g(x)=|x+a|-4,且g(x)≤f(x)在x∈[-2,2]上恒成立,求实数a的取值范围.三、含绝对值(方程)不等式有解,求参数问题例16.16 (2016·深圳模拟)若关于x的不等式|2 014-x|+|2 015-x|≤d有解,求d的取值范围.变式2 已知a∈R,关于x的方程21||||04x x a a++-+=有实根,求a的取值范围.四、已知含绝对值不等式的解集,求参数的值或范围例16.17 (全国卷 I卷(理))已知函数f(x)=–x2+ax+4,g(x)=│x+1│+│x–1│.(1)当a=1时,求不等式f(x)≥g(x)的解集;(2)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[–1,1],求a的取值范围.变式1 设函数()||3f x x a x =-+,其中0a >.(1) 当1a =时,求不等式()32f x x ≥+的解集;(2)若不等式()0f x ≤的解集为{}|1x x ≤-,求a 的值.变式2 (2017·开封模拟)设函数f(x)=|x -a|,a<0.(1)证明:f(x)+f ⎝ ⎛⎭⎪⎫-1x ≥2; (2)若不等式f(x)+f(2x)<12的解集非空,求a 的取值范围.变式3 (2012山东理13) 若不等式|4|2kx -≤的解集为{}|13x x ≤≤,则实数k = .题型202 不等式的证明一、比较法(差值法和比值法)思路提示将待比较的两个代数式通过作差或作商,与0与1进行比较,得到大小关系. 例16.18 (2014·常州期末)已知x ≥1,y ≥1,求证:x 2y+xy 2+1≤x 2y 2+x+y.变式1 (2015·徐州、连云港、宿迁三检)已知a ,b ,c 都是正数,求证:222222a b b c c a a b c ++++≥abc.二、利用函数的单调性证明思路提示使用对象:在某区间成立的函数不等式、数值不等式的证明通常是通过辅助函数完成的.解题程序:(1)移项(有时需要作简单的恒等变形),使不等式一端为0,另一端为所作辅助函数()f x .(2)求()f x 并验证()f x 在指定区间上的单调性.(3)求出区间端点的函数值(或极限值),其中至少有一个为0或已知符号,作比较即得所证.例16.19 已知01x <<,求证:31sin 6x x x -<.变式1 证明:当02x π<<时,2sin xx x π<<.三、综合法与分析法思路提示字母12,,,,,n A A A A B 分别表示一组不等式,其中B 为已知不等式,A 为待证不等式.若有12n A A A A B ⇐⇐⇐⇐⇐,综合法是由B 前进式地推导A ,分析法是由A 倒退式地分析到B .用分析法时,必须步步可逆.例16.20 已知a,b,c>0且互不相等,abc=1.试证明:a+b+c<1a+1b+1c.变式1 已知a,b,c,d均为正数,且ad=bc.(1)证明:若a+d>b+c,则|a-d|>|b-c|;(2)t·a2+b2c2+d2=a4+c4+b4+d4,求实数t的取值范围..16.21(2017·沈阳模拟)设a,b,c>0,且ab+bc+ca=1.求证:(1)a+b+c≥3;(2)abc+bac+cab≥3(a+b+c).c2+a22=a2+b2+c2(当且仅当a=b=c时等号成立)证得.所以原不等式成立.(2)abc+bac+cab=a+b+cabc.变式1 已知a>b>c,且a+b+c=0,求证:b2-ac<3a.四、反证法 思路提示从否定结论出发,经过逻辑推理导出矛盾,证实结论的否定是错误的,从而肯定原结论是正确的.它的依据是原命题与逆否命题同真假.例16.22 设二次函数f (x )=x 2+px+q ,求证:|f (1)|,|f (2)|,|f (3)|中至少有一个不小于12.变式1 已知,,a b ∈R ,332a b +=,求证:2a b +≤.五、放缩法 思路提示预证A B ≥,可通过适当放大或缩小,借助一个或多个中间量,使得112,,,K B B B B B A ≤≤≤或112,,,K A A A A A B ≥≥≥,再利用传递性,达到证明目的,常见的放缩途径有“添舍”放缩、“分母”放缩和“单调”放缩.例16.23 (2015·安徽卷)设n ∈N *,x n 是曲线y=x 2n+2+1在点(1,2)处的切线与x 轴交点的横坐标.(1) 求数列{x n }的通项公式; (2) 记T n =2213x x ·…·22-1n x ,求证:T n ≥14n .变式1 证明:1(1)(2,)n n n n n n -*>+≥∈N .变式2 若a ,b ∈R ,求证:|a +b |1+|a +b |≤|a |1+|a |+|b |1+|b |.例16.24 求证:12(,,,)b c d aa b c d a b c b c d c d a d a b+<+++<∈++++++++R .例16.25 设,,,a b c m +∈R ,且满足m m ma b c =+,问m 取何值时,以,,a b c 为边可构成三角形,并判断该三角形的形状.六、三角换元法 思路提示若221x y +=,2212y x +=等为已知条件,求证不等式时,利用三角换元法较容易,但是务必注意换元前后参数的范围变化.例16.26 (2017江苏卷) 已知a ,b ,c ,d 为实数,且a 2+b 2=4,c 2+d 2=16,证明ac +bd ≤8.变式1 设,x y ∈R ,221x y +=,求证:5||3412x y +≤. 七、构造法 思路提示一般说来,用构造法证明不等式,常见的构造方法如下: (1)构造辅助函数. (2)构造辅助数列. (3)构造几何图形.例16.27 设,x y ∈R ,0b ≠,若10a b <<,求证:211b b a -<+..例16.28 已知,,a b c 为三角形的三边长,求证:111a b ca b c<++++.变式1 证明:||||||1||1||1||a b a b a b a b +<+++++.变式2 已知0x >且1x ≠,0m n >>,求证:11mnm nx x x x +>+.例16.29 证明:当1x >-且0x ≠时,有(1)1(N )nx nx n *+≥+∈.例16.30 设,,a b c +∈R)a b c ≥++.变式1 设,x y +∈R≥八、利用柯西不等式证明不等式 思路提示柯西不等式不仅具有优美的代数表现形式及向量表现形式,而且有明显的几何意义,它与基本不等式具有密切的关系,其作用类似于基本不等式可用来求最大(小)值或证明不等式,不过它的特点更明显应用更直接. 1.二维形式的柯西不等式设1212,,,x x y y ∈R ,2222211221212()()()x y x y x x y y ++≥+.等号成立1221x y x y ⇔=.2.一般形式的柯西不等式 设12,,,n a a a 及12,,,n b b b 为任意实数,则21122()n n a b a b a b +++≤2222221212()()n n a a a b b b ++++++,当且仅当1212nna a ab b b ===(规定0i a =时0i b =,1,2,,i n =)时等号成立.证法一:当i a 全为0时,命题显然成立. 否则210nii a=>∑,考查关于x 的二次函数21()()ni i i f x a x b ==-∑,显然()0f x ≥恒成立.注意到222111()()2()nn n ii i ii i i f x ax a b x b ====-+∑∑∑,而()0f x ≥恒成立,且210ni i a =>∑,故()f x 的判别式不大于零,即2221114()40nn ni i i i i i i a b a b ===∆=-⋅≤∑∑∑,整理后得222111()nnniii i i i i a b a b ===⋅≥∑∑∑.证法二:向量的内积证法. 令12(,,,)n a a a =a ,12(,,,)n b b b =b ,θ为a 与b 的夹角.因为|cos ⋅=a b a ||b |a,b ,且|cos |1≤a,b ,所以|cos ||⋅=≤|a b |a ||b ||a,b a ||b |222|⇒⋅≤|a b |a ||b |,即21122()n n a b a b a b +++≤2222221212()()n n a a a b b b ++++++,等号成立0θ⇔=︒或180︒⇔a,b 平行1212nna a ab b b ⇔===. 柯西不等式提示了任意两组实数积之和的平方与平方和之间的关系,应用它可以简单地证明许多复杂的不等式,下面举例说明. 例16.31 已知x ,y ,z 均为实数.(1)若x +y +z =1,求证:3x +1+3y +2+3z +3≤33; (2)若x +2y +3z =6,求x2+y2+z2的最小值.变式1 已知大于1的正数x ,y ,z 满足x +y +z =3 3.求证:x 2x +2y +3z +y 2y +2z +3x +z 2z +2x +3y ≥32.变式2 已知0,0,0a b c >>>,22cos sin a b c θθ+<.22θθ<例16.32 设实数,,a b c 满足2223232a b c ++=,求证:39271a b c---++≥.变式1 已知n *∈N ,且2n ≥,求证:11111117234212n n <-+-++-<-.变式2 已知正实数,,a b c 满足1abc =,求证:3331113()()()2a b c b c a c a b ++≥+++.最有效训练题61(限时45分钟)1.不等式|21|23x x -<-的解集是( )A. 1|2x x ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭ B. 13|25x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭ C. 3|5x x ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭ D. 3|5x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭ 2.设,,(,0)a b c ∈-∞,则111,,a b c b c a+++( ) A. 都不大于2- B. 都不小于2- C. 至少有一个不大于2- D. 至少有一个不小于2-3.若P =0)Q a =+≥,则,P Q 的大小关系是( )A. P Q >B. P Q =C. P Q <D. 由a 的取值决定 4.用数学归纳法证明某不等式,左边111111234212n n=-+-++--,“从n k =到1n k =+”应将左边加上( )A. 11k +B. 112124k k -++C. 122k -+D. 112122k k -++5. ()f x = )A. 5 6.若正数,a b 满足3ab a b =++,则①ab 的取值范围是 ;②a b +的取值范围是 .7.在实数范围内,不等式|21||21|6x x -++≤的解集为 .8.若存在实数x 使|||1|3x a x -+-≤成立,则实数a 的取值范围是 .9.已知0,0,0a b c >>>,a b c +>.求证:111a b c a b c +>+++. 10.已知函数()|||2|f x x a x =++-.(1) 当3a =-时,求不等式()3f x ≥的解集;(2)若()|x 4|f x ≤-的解集包含[]1,2,求a 的取值范围.11. 已知函数()|2|,f x m x m =--∈R ,且(2)0f x +≥的解集为[1,1]-. ①求m 的值;②若,,a b c +∈R ,且11123m a b c ++=,求证:239a b c ++≥.12.已知函数3()(1)1x f x x x +=≠-+.设数列{}n a 满足11a =,1()n n a f a +=,数列{}n b 满足|n n b a =,12n n S b b b =+++ ()n *∈N .(1)用数学归纳法证明:n b ≤(2)证明:3n S <.。
高一数学不等式知识点总结及例题
高一数学不等式知识点总结及例题一、不等式知识点总结。
(一)不等式的基本性质。
1. 对称性:如果a > b,那么b < a;如果b < a,那么a > b。
2. 传递性:如果a > b,b > c,那么a > c。
3. 加法单调性:如果a > b,那么a + c>b + c。
- 推论1:移项法则,如果a + b>c,那么a>c - b。
- 推论2:同向不等式可加性,如果a > b,c > d,那么a + c>b + d。
4. 乘法单调性:如果a > b,c>0,那么ac > bc;如果a > b,c < 0,那么ac < bc。
- 推论1:同向正数不等式可乘性,如果a > b>0,c > d>0,那么ac > bd。
- 推论2:乘方法则,如果a > b>0,那么a^n>b^n(n∈ N,n≥slant1)。
- 推论3:开方法则,如果a > b>0,那么sqrt[n]{a}>sqrt[n]{b}(n∈N,n≥slant2)。
(二)一元二次不等式及其解法。
1. 一元二次不等式的一般形式。
- ax^2+bx + c>0(a≠0)或ax^2+bx + c < 0(a≠0)。
2. 一元二次函数y = ax^2+bx + c(a≠0)的图象与一元二次不等式的解集关系。
- 当a>0时,Δ=b^2-4ac:- 若Δ>0,方程ax^2+bx + c = 0有两个不同的实根x_1,x_2(x_1,则不等式ax^2+bx + c>0的解集为{xx < x_1或x>x_2},不等式ax^2+bx + c < 0的解集为{xx_1。
- 若Δ = 0,方程ax^2+bx + c = 0有两个相同的实根x_0=-(b)/(2a),则不等式ax^2+bx + c>0的解集为{xx≠-(b)/(2a)},不等式ax^2+bx + c < 0的解集为varnothing。
历年高三数学高考考点之〈不等式〉必会题型及答案
历年高三数学高考考点之〈不等式〉必会题型及答案体验高考体验高考1.已知函数f (x )=⎪⎪⎪⎪⎪⎪x -12+⎪⎪⎪⎪⎪⎪x +12,M 为不等式f (x )<2的解集. (1)求M ;(2)证明:当a ,b ∈M 时,|a +b |<|1+ab |.(1)解 f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧-2x ,x ≤-12,1,-12<x <12,2x ,x ≥12.当x ≤-12时,由f (x )<2得-2x <2,解得x >-1,所以-1<x ≤-12;当-12<x <12时,f (x )<2;当x ≥12时,由f (x )<2得2x <2,解得x <1, 所以,-12<x <1.所以f (x )<2的解集M ={x |-1<x <1}.(2)证明 由(1)知,当a ,b ∈M 时,-1<a <1,-1<b <1,从而(a +b )2-(1+ab )2=a 2+b 2-a 2b 2-1=(a 2-1)(1-b 2)<0,即(a +b )2<(1+ab )2, 因此|a +b |<|1+ab |.2.已知函数f (x )=|2x -a |+a .(1)当a =2时,求不等式f (x )≤6的解集;(2)设函数g (x )=|2x -1|.当x ∈R 时,f (x )+g (x )≥3,求a 的取值范围. 解 (1)当a =2时,f (x )=|2x -2|+2. 解不等式|2x -2|+2≤6得-1≤x ≤3.因此f (x )≤6的解集为{x |-1≤x ≤3}. (2)当x ∈R 时,f (x )+g (x )=|2x -a |+a +|1-2x |≥|2x -a +1-2x |+a =|1-a |+a , 当x =12时等号成立,所以当x ∈R 时,f (x )+g (x )≥3等价于|1-a |+a ≥3.①当a ≤1时,①等价于1-a +a ≥3,无解. 当a >1时,①等价于a -1+a ≥3, 解得a ≥2.所以a 的取值范围是[2,+∞).高考必会题型题型一 含绝对值不等式的解法 含有绝对值的不等式的解法(1)|f (x )|>a (a >0)⇔f (x )>a 或f (x )<-a ; (2)|f (x )|<a (a >0)⇔-a <f (x )<a ;(3)对形如|x -a |+|x -b |≤c ,|x -a |+|x -b |≥c 的不等式,可利用绝对值不等式的几何意义求解.例1 已知函数f (x )=|x -a |,其中a >1. (1)当a =2时,求不等式f (x )≥4-|x -4|的解集;(2)已知关于x 的不等式|f (2x +a )-2f (x )|≤2的解集为{x |1≤x ≤2},求a 的值. 解 (1)当a =2时,f (x )+|x -4|=⎩⎪⎨⎪⎧-2x +6,x ≤2,2,2<x <4,2x -6,x ≥4.当x ≤2时,由f (x )≥4-|x -4| 得-2x +6≥4, 解得x ≤1;当2<x <4时,f (x )≥4-|x -4|无解; 当x ≥4时,由f (x )≥4-|x -4| 得2x -6≥4,解得x ≥5;所以f (x )≥4-|x -4|的解集为{x |x ≤1或x ≥5}.(2)记h (x )=f (2x +a )-2f (x ), 则h (x )=⎩⎪⎨⎪⎧-2a ,x ≤0,4x -2a ,0<x <a ,2a ,x ≥a .由|h (x )|≤2,解得a -12≤x ≤a +12.又已知|h (x )|≤2的解集为{x |1≤x ≤2},所以⎩⎪⎨⎪⎧a -12=1,a +12=2,于是a =3.点评 (1)用零点分段法解绝对值不等式的步骤:①求零点;②划区间、去绝对值号;③分别解去掉绝对值的不等式;④取每个结果的并集,注意在分段时不要遗漏区间的端点值.(2)用图象法、数形结合可以求解含有绝对值的不等式,使得代数问题几何化,既通俗易懂,又简洁直观,是一种较好的方法.变式训练1 已知函数f (x )=|x -2|-|x -5|. (1)证明:-3≤f (x )≤3;(2)求不等式f (x )≥x 2-8x +15的解集.(1)证明 f (x )=|x -2|-|x -5|=⎩⎪⎨⎪⎧-3,x ≤2,2x -7,2<x <5,3,x ≥5.当2<x <5时,-3<2x -7<3. 所以-3≤f (x )≤3. (2)解 由(1)可知,当x ≤2时,f (x )≥x 2-8x +15的解集为空集;当2<x <5时,f (x )≥x 2-8x +15的解集为{x |5-3≤x <5}; 当x ≥5时,f (x )≥x 2-8x +15的解集为 {x |5≤x ≤6}.综上,不等式f (x )≥x 2-8x +15的解集为{x |5-3≤x ≤6}. 题型二 不等式的证明 1.含有绝对值的不等式的性质 |a |-|b |≤|a ±b |≤|a |+|b |. 2.算术—几何平均不等式定理1:设a ,b ∈R ,则a 2+b 2≥2ab .当且仅当a =b 时,等号成立. 定理2:如果a 、b 为正数,则a +b2≥ab ,当且仅当a =b 时,等号成立.定理3:如果a 、b 、c 为正数,则a +b +c3≥3abc ,当且仅当a =b =c 时,等号成立.定理4:(一般形式的算术—几何平均不等式)如果a 1,a 2,…,a n 为n 个正数,则a 1+a 2+…+a nn≥na 1a 2…a n ,当且仅当a 1=a 2=…=a n 时,等号成立. 例2 (1)已知x ,y 均为正数,且x >y .求证:2x +1x 2-2xy +y 2≥2y +3.(2)已知实数x ,y 满足:|x +y |<13,|2x -y |<16,求证:|y |<518.证明 (1)因为x >0,y >0,x -y >0, 2x +1x 2-2xy +y 2-2y=2(x -y )+1x -y2=(x -y )+(x -y )+1x -y2≥33x -y21x -y2=3,所以2x +1x 2-2xy +y 2≥2y +3.(2)因为3|y |=|3y |=|2(x +y )-(2x -y )|≤2|x +y |+|2x -y |, 由题设知|x +y |<13,|2x -y |<16,从而3|y |<23+16=56,所以|y |<518.点评 (1)作差法应该是证明不等式的常用方法.作差法证明不等式的一般步骤:①作差;②分解因式;③与0比较;④结论.关键是代数式的变形能力. (2)在不等式的证明中,适当“放”“缩”是常用的推证技巧. 变式训练2 (1)若a ,b ∈R ,求证:|a +b |1+|a +b |≤|a |1+|a |+|b |1+|b |.(2)已知a ,b ,c 均为正数,a +b =1,求证:a 2b +b 2c +c 2a≥1.证明 (1)当|a +b |=0时,不等式显然成立. 当|a +b |≠0时,由0<|a +b |≤|a |+|b |⇒1|a +b |≥1|a |+|b |,所以|a +b |1+|a +b |=11|a +b |+1≤11+1|a |+|b |=|a |+|b |1+|a |+|b |≤|a |1+|a |+|b |1+|b |. (2)因为a 2b +b ≥2a ,b 2c +c ≥2b ,c 2a +a ≥2c ,故a 2b +b 2c +c 2a +(a +b +c )≥2(a +b +c ), 即a 2b +b 2c +c 2a ≥a +b +c , 所以a 2b +b 2c +c 2a≥1.题型三 柯西不等式的应用 柯西不等式(1)设a ,b ,c ,d 均为实数,则(a 2+b 2)(c 2+d 2)≥(ac +bd )2,当且仅当ad =bc 时等号成立. (2)设a 1,a 2,a 3,…,a n ,b 1,b 2,b 3,…,b n 是实数,则(a 21+a 22+…+a 2n )(b 21+b 22+…+b 2n )≥(a 1b 1+a 2b 2+…+a n b n )2,当且仅当b i =0(i =1,2,…,n )或存在一个数k ,使得a i =kb i (i =1,2,…,n )时,等号成立.例3 (2015·福建)已知a >0,b >0,c >0,函数f (x )=|x +a |+|x -b |+c 的最小值为4.(1)求a +b +c 的值; (2)求14a 2+19b 2+c 2的最小值.解 (1)因为f (x )=|x +a |+|x -b |+c ≥|(x +a )-(x -b )|+c =|a +b |+c ,当且仅当-a ≤x ≤b 时,等号成立.又a >0,b >0,所以|a +b |=a +b . 所以f (x )的最小值为a +b +c . 又已知f (x )的最小值为4, 所以a +b +c =4.(2)由(1)知a +b +c =4,由柯西不等式得⎝ ⎛⎭⎪⎫14a 2+19b 2+c 2(4+9+1) ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2×2+b3×3+c ×12=(a +b +c )2=16, 即14a 2+19b 2+c 2≥87. 当且仅当12a 2=13b 3=c1,即a =87,b =187,c =27时等号成立.故14a 2+19b 2+c 2的最小值为87. 点评 (1)使用柯西不等式证明的关键是恰当变形,化为符合它的结构形式,当一个式子与柯西不等式的左边或右边具有一致形式时,就可使用柯西不等式进行证明. (2)利用柯西不等式求最值的一般结构为(a 21+a 22+…+a 2n )(1a 21+1a 22+…+1a 2n)≥(1+1+…+1)2=n 2.在使用柯西不等式时,要注意右边为常数且应注意等号成立的条件.变式训练3 已知定义在R 上的函数f (x )=|x +1|+|x -2|的最小值为a . (1)求a 的值;(2)若p ,q ,r 是正实数,且满足p +q +r =a ,求证:p 2+q 2+r 2≥3.(1)解 因为|x +1|+|x -2|≥|(x +1)-(x -2)|=3,当且仅当-1≤x ≤2时,等号成立, 所以f (x )的最小值等于3,即a =3. (2)证明 由(1)知p +q +r =3, 又因为p ,q ,r 是正实数,所以(p 2+q 2+r 2)(12+12+12)≥(p ×1+q ×1+r ×1)2=(p +q +r )2=9, 即p 2+q 2+r 2≥3.高考题型精练1.如果关于x 的不等式|x -3|-|x -4|<a 的解集不是空集,求实数a 的取值范围. 解 设y =|x -3|-|x -4|, 则y =⎩⎪⎨⎪⎧-1,x ≤3,2x -7,3<x <4,1,x ≥4的图象如图所示:若|x -3|-|x -4|<a 的解集不是空集, 则(|x -3|-|x -4|)min <a .由图象可知当a >-1时,不等式的解集不是空集. 即实数a 的取值范围是(-1,+∞).2.设x >0,y >0,若不等式1x +1y +λx +y ≥0恒成立,求实数λ的最小值.解 ∵x >0,y >0,∴原不等式可化为-λ≤(1x +1y )·(x +y )=2+y x +xy.∵2+y x +x y ≥2+2y x ·xy=4, 当且仅当x =y 时等号成立. ∴[(1x +1y)(x +y )]min =4,∴-λ≤4,λ≥-4.即实数λ的最小值是-4.3.若不等式|2x -1|+|x +2|≥a 2+12a +2对任意实数x 恒成立,求实数a 的取值范围.解 设y =|2x -1|+|x +2|=⎩⎪⎨⎪⎧-3x -1,x <-2,-x +3,-2≤x <12,3x +1,x ≥12.当x <-2时,y =-3x -1>5; 当-2≤x <12时,y =-x +3>52;当x ≥12时,y =3x +1≥52,故函数y =|2x -1|+|x +2|的最小值为52.因为不等式|2x -1|+|x +2|≥a 2+12a +2对任意实数x 恒成立,所以52≥a 2+12a +2.解不等式52≥a 2+12a +2,得-1≤a ≤12,故a 的取值范围为[-1,12].4.设不等式|x -2|<a (a ∈N *)的解集为A ,且32∈A ,12∉A ,(1)求a 的值;(2)求函数f (x )=|x +a |+|x -2|的最小值.解 (1)因为32∈A ,且12∉A ,所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪32-2<a ,且⎪⎪⎪⎪⎪⎪12-2≥a ,解得12<a ≤32.又因为a ∈N *,所以a =1.(2)因为|x +1|+|x -2|≥|(x +1)-(x -2)|=3, 当且仅当(x +1)(x -2)≤0,即-1≤x ≤2时取到等号,所以f (x )的最小值为3. 5.已知f (x )=|x +1|+|x -1|,不等式f (x )<4的解集为M . (1)求M ;(2)当a ,b ∈M 时,证明:2|a +b |<|4+ab |. (1)解 f (x )=|x +1|+|x -1|=⎩⎪⎨⎪⎧-2x ,x <-1,2,-1≤x ≤1,2x ,x >1.当x <-1时,由-2x <4,得-2<x <-1; 当-1≤x ≤1时,f (x )=2<4; 当x >1时,由2x <4,得1<x <2. ∴综上可得-2<x <2,即M =(-2,2). (2)证明 ∵a ,b ∈M , 即-2<a <2,-2<b <2,∴4(a +b )2-(4+ab )2=4(a 2+2ab +b 2)-(16+8ab +a 2b 2)=(a 2-4)(4-b 2)<0, ∴4(a +b )2<(4+ab )2, ∴2|a +b |<|4+ab |.6.已知a 2+2b 2+3c 2=6,若存在实数a ,b ,c ,使得不等式a +2b +3c >|x +1|成立,求实数x 的取值范围.解 由柯西不等式知[12+(2)2+(3)2][a 2+(2b )2+(3c )2] ≥(1·a +2·2b +3·3c )2即6×(a 2+2b 2+3c 2)≥ (a +2b +3c )2. 又∵a 2+2b 2+3c 2=6, ∴6×6≥(a +2b +3c )2, ∴-6≤a +2b +3c ≤6,∵存在实数a ,b ,c ,使得不等式a +2b +3c >|x +1|成立.∴|x +1|<6,∴-7<x <5. ∴x 的取值范围是{x |-7<x <5}. 7.设函数f (x )=|x -a |+3x ,其中a >0. (1)当a =1时,求不等式f (x )≥3x +2的解集; (2)若不等式f (x )≤0的解集为{x |x ≤-1},求a 的值. 解 (1)当a =1时,f (x )≥3x +2可化为|x -1|≥2. 由此可得x ≥3或x ≤-1.故不等式f (x )≥3x +2的解集为{x |x ≥3或x ≤-1}. (2)由f (x )≤0得|x -a |+3x ≤0.此不等式化为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥a ,x -a +3x ≤0或⎩⎪⎨⎪⎧x <a ,a -x +3x ≤0,即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥a ,x ≤a 4或⎩⎪⎨⎪⎧x <a ,x ≤-a 2.因为a >0,所以不等式组的解集为{x |x ≤-a2}.由题设可得-a2=-1,故a =2.8.(2015·课标全国Ⅰ)已知函数f (x )=|x +1|-2|x -a |,a >0. (1)当a =1时,求不等式f (x )>1的解集;(2)若f (x )的图象与x 轴围成的三角形面积大于6,求a 的取值范围. 解 (1)当a =1时,f (x )>1化为|x +1|-2|x -1|-1>0.当x ≤-1时,不等式化为x -4>0,无解; 当-1<x <1时,不等式化为3x -2>0, 解得23<x <1;当x ≥1时,不等式化为-x +2>0,解得1≤x <2.所以f (x )>1的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪23<x <2. (2)由题设可得,f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x -1-2a ,x <-1,3x +1-2a ,-1≤x ≤a ,-x +1+2a ,x >a .所以函数f (x )的图象与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为A ⎝⎛⎭⎪⎫2a -13,0,B (2a +1,0),C (a ,a +1),△ABC 的面积为23(a +1)2.由题设得23(a +1)2>6,故a >2.所以a 的取值范围为(2,+∞).。
不等式常见考试题型总结
当时,
当时,若解集为任意实数;
若,无解
当时,
【典型例题】
题型一:与整数解个数有关的不等式
2.作商(常用于分数指数幂的代数式);
3.分析法;
4.平方法;
间量或放缩法;
8.图象法。
(4)不等式求函数最值
技巧一:凑项
例:已知,求函数的最大值。
技巧二:凑系数
例。 当时,求的最大值.
技巧三:分离
例. 求的值域。
技巧四:换元
例。 求的值域。
∴W≤ =2
变式: 求函数的最大值.
解析:注意到与的和为定值。
又,所以
当且仅当=,即时取等号. 故。
评注:本题将解析式两边平方构造出“和为定值”,为利用基本不等式创造了条件.
总之,我们利用基本不等式求最值时,一定要注意“一正二定三相等”,同时还要注意一些变形技巧,积极创造条件利用基本不等式。
应用二:利用基本不等式证明不等式
(5)证明不等式
常用方法:比较法、分析法、综合法和放缩法。
基本不等式—最值求法的题型
基础题型一:指数类最值的求法
1.已知,求的最小值。
变式1.已知,求的最小值.
变式2.已知,求的最小值。
变式3。已知,求的最小值。
变式4。已知点在直线上,求的最小值。
基础题型二:对数类最值的求法
2.已知,且,求的最大值。
4。若,则(当且仅当时取“=”)
注:(1)当两个正数的积为定植时,可以求它们的和的最小值,当两个正数的和为定植时,可以求它们的积的最小值,正所谓“积定和最小,和定积最大”.
高中数学不等式经典题型集锦(含答案)
高中数学不等式经典题型集锦姓名班级学号得分注意事项:1、本试题满分100分,考试时间90分钟2、答题前填好自己的姓名、班级、考号等信息3.请将答案正确填写在答题卡上一.单选题(每题3分,共48分)1.若t∈(0,1],则t+有最小值()A.2B.3 C.-2D.不存在2.不等式(1+x)(2-x)(3+x2)>0的解集是()A.φB.RC.{x|-1<x<2} D.{x|x>2或x<-1}3.如果实数x,y满足:,则目标函数z=4x+y的最大值为()A.2 B.3 C.D.44.设变量x,y满足约束条件,则z=6x-y的最小值为()A.-8 B.0 C.-2 D.-75.在△ABC中,E为AC上一点,且,P为BE上一点,且(m>0,n>0),则取最小值时,向量=(m,n)的模为()A.B.C.D.26.若a,b,c>0且a2+2ab+2ac+4bc=12,则a+b+c的最小值是()A.B.3 C.2 D.7.不等式x2-ax-12a2<0(a<0)的解集是()A.(-3a,4a)B.(4a,-3a)C.(-3,4)D.(2a,6a)8.若第一象限的点(a,b)关于直线x+y-2=0的对称点在直线2x+y+3=0上,则的最小值是()A.1 B.3 C.D.9.若直线2ax-by+2=0(a>0,b>0)被圆x2+y2+2x-4y+1=0截得的弦长为4,则的最小值是()A.5 B.6 C.8 D.910.若a,b,c>0且,则2a+b+c的最小值为()A.B.C.D.11.已知x,y满足,且z=2x-y的最大值是最小值的4倍,则a的值是()A.B.C.2 D.-212.不等式的解集是()A.[1,+∞)B.(2,+∞)∪(-∞,-1]C.[2,+∞)∪(-∞,-1] D.[3,+∞)∪(-∞,2)13.若不等式x2-ax+b<0的解集为(1,2),则不等式<的解集为()A.(,+∞)B.(-∞,0)∪(,+∞)C.(,+∞)D.(-∞,0)∪(,+∞)14.若关于x的不等式-+ax>-1的解集为{x|-1<x<2},则实数a=()A.B.C.-2 D.215.若a>0,b>0,则不等式-b<<a等价于()A.<x<0或0<x<B.-<x<C.x<-或x>D.x<或x>16.二次函数f(x)=ax2+bx+c中,a>0且a≠1,对于任意的x∈R都有f(x-3)=f(1-x),设m=f(),n=f[],则()A.m<n B.m=nC.m>n D.m,n的大小关系不确定二.填空题(每题3分,共27分)17.设,x,y∈R,a>1,b>1,若a x=b y=4,a+b=2,则的最大值为______.18.已知3a+2b=1,a,b∈R*,则的最小值______.19.已知实数x,y满足x>y>0且x+y=1,则的最小值是______.20.若x>0,y>0,且+=2,则6x+5y的最小值为______.21.已知x,y为正数,且x++3y+=10,则x+3y的最大值为______.22.若实数a,b满足2a+2b=1,则a+b的最大值是______.23.已知0<b<a<c≤4,ab=2,则的最小值是______.24.设x,y∈R,且x2+xy+y2=9,则x2+y2的最小值为______.25.若x>0,y>0,且y=,则x+y的最小值为______.三.简答题(每题5分,共25分)26.已知a,b,c为正数,证明:≥abc.27.已知不等式|x+2|+|x-2丨<10的解集为A.(1)求集合A;,不等式a+b>(x-4)(-9)+m恒成立,求实数m的(2)若∀a,b∈A,x∈R+取值范围.28.设,则的最小值为______.,x+y+z=3.29.已知x,y,z∈R+(1)求++的最小值(2)证明:3≤x2+y2+z2<9.30.已知关于x的不等式在x∈(a,+∞)上恒成立,求实数a的最小值.参考答案一.单选题(共__小题)1.若t∈(0,1],则t+ 有最小值()A.2B.3 C.-2D.不存在答案:B解析:解:构造函数f(t)=t+,根据双勾函数的图象和性质,f(t)在(0,)上单调递减,在(,+∞)上单调递增,所以,当t∈(0,1]时,f(t)单调递减,=f(1)=3,即f(t)min故答案为:B.2.不等式(1+x)(2-x)(3+x2)>0的解集是()A.φB.RC.{x|-1<x<2} D.{x|x>2或x<-1}答案:C解析:解:∵3+x2>0,∴原不等式即为(1+x)(2-x)>0,再化为(1+x)(x-2)<0,解得-1<x<2.故选C3.如果实数x,y满足:,则目标函数z=4x+y的最大值为()A.2 B.3 C.D.4答案:C解析:解:约束条件的可行域如下图示:由图易得目标函数z=4x+y在A(,)处取得最大,最大值,故选C.4.设变量x,y满足约束条件,则z=6x-y的最小值为()A.-8 B.0 C.-2 D.-7答案:D解析:解:由约束条件作出可行域如图,联立,得B(-1,1),化目标函数z=6x-y为y=-6x+z,由图可知,当直线y=-6x+z过B时,直线在y轴上的截距最大,z最小为6×(-1)-1=-7.故选:D.5.在△ABC中,E为AC上一点,且,P为BE上一点,且(m>0,n>0),则取最小值时,向量=(m,n)的模为()A.B.C.D.2答案:C解析:解:∵,∴=m+4n,又∵P为BE上一点,不妨设=λ,(0<λ<1),∴=+=+λ=+λ()=(1-λ)+λ,∴m+4n=(1-λ)+λ,∵,不共线,∴,∴m+4n=1,∴=()(m+4n)=5++≥5+2=9当且仅当=即m=且n=时,上式取到最小值,∴向量=(m,n)的模||==故选:C6.若a,b,c>0且a2+2ab+2ac+4bc=12,则a+b+c的最小值是()A.B.3 C.2 D.答案:A解析:解:(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc=(a2+2ab+2ac+4bc)+b2+c2-2bc=12+(b-c)2≥12,当且仅当b=c时取等号,∴a+b+c≥故选项为A7.不等式x2-ax-12a2<0(a<0)的解集是()A.(-3a,4a)B.(4a,-3a)C.(-3,4)D.(2a,6a)答案:B解析:解:x2-ax-12a2<0,因式分解得:(x-4a)(x+3a)<0,可化为:或,∵a<0,∴4a<0,-3a>0,解得:4a<x<-3a,则原不等式的解集是(4a,-3a).故选B8.若第一象限的点(a,b)关于直线x+y-2=0的对称点在直线2x+y+3=0上,则的最小值是()A.1 B.3 C.D.答案:C解析:解:设A(a,b)关于直线x+y-2=0的对称点B(x0,y)在直线2x+y+3=0上,∴线段AB的中点(,)在直线x+y-2=0上,由题意得:,∴a+2b=9,∴+=+=++≥+2=,当且仅当:=即b=2a时“=”成立,故选:C.9.若直线2ax-by+2=0(a>0,b>0)被圆x2+y2+2x-4y+1=0截得的弦长为4,则的最小值是()A.5 B.6 C.8 D.9答案:D解析:解:由x2+y2+2x-4y+1=0得:(x+1)2+(y-2)2=4,∴该圆的圆心为O(-1,2),半径r=2;又直线2ax-by+2=0(a>0,b>0)被圆x2+y2+2x-4y+1=0截得的弦长为4,∴直线2ax-by+2=0(a>0,b>0)经过圆心O(-1,2),∴-2a-2b+2=0,即a+b=1,又a>0,b>0,∴=()•(a+b)=1+++4≥5+2=9(当且仅当a=,b=时取“=”).故选D.10.若a,b,c>0且,则2a+b+c的最小值为()A.B.C.D.答案:D解析:解:若a,b,c>0且,所以,∴,则(2a+b+c)≥,故选项为D.11.已知x,y满足,且z=2x-y的最大值是最小值的4倍,则a的值是()A.B.C.2 D.-2答案:B解析:解:由题意可得,∴a<1,不等式组表示的平面区域如图所示,三角形的三个顶点坐标分别为(a,a),(a,2-a),(1,1).由z=2x-y可得y=2x-z,则z表示直线y=2x-z在y轴上的截距的相反数,截距越大,z越小作直线L:y=-2x,把直线向可行域平移,当直线经过(1,1)时,z最大为1,当直线经过点(a,2-a)时,z最小为3a-2,∵z=2x-y的最大值是最小值的4倍,∴4(3a-2)=1,即12a=9,∴a=.故选B.12.不等式的解集是()A.[1,+∞)B.(2,+∞)∪(-∞,-1]C.[2,+∞)∪(-∞,-1] D.[3,+∞)∪(-∞,2)答案:B解析:解:不等式化为即,即,转化为:所以不等式的解集为:(-∞,-1]∪(2,+∞).故选B.13.若不等式x2-ax+b<0的解集为(1,2),则不等式<的解集为()A.(,+∞)B.(-∞,0)∪(,+∞)C.(,+∞)D.(-∞,0)∪(,+∞)答案:B解析:解:因为不等式x2-ax+b<0的解集为(1,2),所以1+2=a,1×2=b,即a=3,b=2,所以不等式<为,整理得,解得x<0或者x>,所以不等式的解集为:(-∞,0)∪(,+∞).故选B.14.若关于x的不等式-+ax>-1的解集为{x|-1<x<2},则实数a=()A.B.C.-2 D.2答案:A解析:解:由的解集是{x|-1<x<2},可知-1与2是方程的两根,∴,解得 a=.故选A.15.若a>0,b>0,则不等式-b<<a等价于()A.<x<0或0<x<B.-<x<C.x<-或x>D.x<或x>答案:D解析:解:故选D.16.二次函数f(x)=ax2+bx+c中,a>0且a≠1,对于任意的x∈R都有f(x-3)=f(1-x),设m=f(),n=f[],则()A.m<n B.m=nC.m>n D.m,n的大小关系不确定答案:A解析:解:∵二次函数f(x)=ax2+bx+c中,a>0且a≠1,对于任意的x∈R都有f(x-3)=f(1-x),∴二次函数f(x)关于直线x==-1对称.∴m=f()=f(-2),n=f[]=f()=,∵a>0且a≠1,∴函数f(x)在(-∞,-1]上单调递减,∴.∴n>m.故选:A.二.填空题(共__小题)17.设,x,y∈R,a>1,b>1,若a x=b y=4,a+b=2,则的最大值为______.答案:解析:解:∵a>1,b>1,a+b=2,∴,即ab≤2,当且仅当时取等号.∵a x=b y=4,∴xlga=lg4,ylgb=lg4,∴===.故答案为.18.已知3a+2b=1,a,b∈R*,则的最小值______.答案:解析:解;∵3a+2b=1,a,b∈R*,∴3a∵====∴的最小值为故答案:.19.已知实数x,y满足x>y>0且x+y=1,则的最小值是______.答案:解析:解:∵x>y>0且x+y=1,∴.则=+=+=f(x),f′(x)=-=,令f′(x)>0,解得<x<1,此时函数f(x)单调递增;令f′(x)<0,解得,此时函数f(x)单调递减.∴当x=时,函数f(x)取得最小值,=.故答案为:.20.若x>0,y>0,且+=2,则6x+5y的最小值为______.答案:解析:解:6x+5y===,当且仅当,a=时取等号.故答案为:.21.已知x,y为正数,且x++3y+=10,则x+3y的最大值为______.答案:8解析:解:∵x++3y+=10,∴(x+3y)(x++3y+)=10(x+3y),∴(x+3y)2-10(x+3y)+10++=0,∵+≥6(=,即x=y时取等号)∴(x+3y)2-10(x+3y)+16≤0,∴2≤x+3y≤8,∴x+3y的最大值为8,此时x=y=2.故答案为:8.22.若实数a,b满足2a+2b=1,则a+b的最大值是______.答案:-2解析:解:∵2a+2b=1,∴=,即,∴a+b≤-2,当且仅当,即a=b=-1时取等号,∴a=b=-1时,a+b取最大值-2.故答案为:-2.23.已知0<b<a<c≤4,ab=2,则的最小值是______.答案:解析:解:∵已知0<b<a<c≤4,ab=2,∴0<b<1,2<a,a->0.则=+=+=(a-)+()+≥2+=4+=,当且仅当(a-)=()且c=时,等号成立,故答案为:.24.设x,y∈R,且x2+xy+y2=9,则x2+y2的最小值为______.答案:6解析:解:∵,解得x2+y2≥6,当且仅当x=y=时取等号.故答案为6.25.若x>0,y>0,且y=,则x+y的最小值为______.答案:18解析:解:∵x>0,y>0,且y=>0,解得x>2.∴x+y===x-2++2≥+2=18,当且仅当x=6时取等号,此时x+y的最小值为18.故答案为:18.三.简答题(共__小题)26.已知a,b,c为正数,证明:≥abc.答案:证明:∵a,b,c为正数,∴a2(b2+c2)≥2a2bc①,b2(a2+c2)≥2b2ac②,c2(b2+a2)≥2c2ba③①+②+③可得:2(a2b2+b2c2+c2a2)≥2abc(a+b+c)∴≥abc.27.已知不等式|x+2|+|x-2丨<10的解集为A.(1)求集合A;,不等式a+b>(x-4)(-9)+m恒成立,求实数m的(2)若∀a,b∈A,x∈R+取值范围.答案:解:(1)不等式|x+2|+|x-2丨<10等价于,或或,解得-5<x<5,故可得集合A=(-5,5);,(2)∵a,b∈A=(-5,5),x∈R+∴-10<a+b<10,∴(x-4)(-9)=1--9x+36=37-(+9x)≤37-2=25,∵不等式a+b>(x-4)(-9)+m恒成立,∴m+25≤-10,解得m≤-3528.设,则的最小值为______.答案:解:∵,∴1-2x>0∴==13+≥13+=25 当且仅当,即x=时,的最小值为25故答案为:25,x+y+z=3.29.已知x,y,z∈R+(1)求++的最小值(2)证明:3≤x2+y2+z2<9.答案:,x+y+z=3.(1)解:∵x,y,z∈R+∴++===3,当且仅当x=y=z=1时取等号,∴++的最小值是3.(2)证明:∵(x-y)2+(x-z)2+(y-z)2≥0,∴2(x2+y2+z2)≥2xy+2xz+2yz,∴3(x2+y2+z2)≥(x+y+z)2=32,∴x2+y2+z2≥3;又x2+y2+z2-9=x2+y2+z2-(x+y+z)2=-2(xy+yz+xz)<0.综上可得:3≤x2+y2+z2<9.解析:(30.已知关于x的不等式在x∈(a,+∞)上恒成立,求实数a的最小值.答案:解:不等式在x∈(a,+∞)上恒成立,设y=,∴x-1≥2,x≥3,故实数a的最小值3.。
高考数学不等式方法技巧及题型全归纳(100页)
g(x) 0
f
(x)
0
(2) f (x) 0 f x g x 0
g(x)
f (x) g(x)
0
f (x) g(x) g(x) 0
0
2.2 含有绝对值的不等式
(1) f x g x f (x) g(x) 或 f (x) g(x) ;
(2)| f (x) | g(x) g(x) f (x) g(x) ;
到的 与原式是恒等的,则称 1, 2, ⋅⋅⋅ , 是完全对称的.
如
+
+
,
b
a
c
c
b
a
a
c
b
等.
设 ( 1, 2, ⋅⋅⋅ , )是一个 元函数. 若作置换 1 → 2, 2 → 3, ⋅⋅⋅ , −1 → , → 1,得到
的 与原式是恒等的,则称 ( 1, 2, ⋅⋅⋅ , )是轮换对称的.
如3
+
3
+
3 , a b c 等. ab bc ca
显然,完全对称的一定是轮换对称的.
2
2、重要不等式
2.1 无理式、分式
(1)
f
(x)
g(x)
g(x) 0
f
(x)
0
g(x) 0
或
f
(x)
g 2(x)
g(x) 0
f
(x)
g(x)
f
(x)
0
f (x) g 2 (x)
f (x)
g(x) 0 g(x) 0 或
2.1 无理式、分式............................................................................................................... 3 2.2 含有绝对值的不等式................................................................................................... 3 2.3 一元二次不等式........................................................................................................... 3 2.4 基本不等式................................................................................................................... 4 2.5 柯西不等式................................................................................................................... 4
高中不等式习题及解析
已知函数f (x )= ∣x +1∣-∣2x -3∣.(I )在答题卡第(24)题图中画出y= f (x )的图像;(II )求不等式∣f (x )∣﹥1的解集。
2、选修4—5:不等式选讲已知函数f (x )= ∣x -21∣+∣x +21∣,M 为不等式f (x ) <2的解集. (I )求M ;(II )证明:当a ,b ∈M 时,∣a +b ∣<∣1+ab ∣。
已知函数()|2|=-+f x x a a(I)当a=2时,求不等式()6f x≤的解集;(II)设函数()|21|,=-当x∈R时,f(x)+g(x)≥3,求a的取值范围.g x x4、选修4—5:不等式选讲已知函数f(x)=|x+1|-2|x-a|,a>0.(Ⅰ)当a=1时,求不等式f(x)>1的解集;(Ⅱ)若f(x)的图像与x轴围成的三角形面积大于6,求a的取值范围.设a 、b 、c 、d 均为正数,且a+b=c+d,证明:(I )若ab >cd ,则d c b a ++>;(II )d c b a ++>是d c b a --<的充要条件.6、选修4—5:不等式选讲若0,0a b >>,且11ab a b +=. (I ) 求33a b +的最小值;(Ⅱ)是否存在,a b ,使得236a b +=?并说明理由.设函数()f x =1(0)x x a a a++-> (Ⅰ)证明:()f x ≥2;(Ⅱ)若()35f <,求a 的取值范围.8、选修4—5:不等式选讲:已知函数f (x )=|2x -1|+|2x +a |,g (x )=x +3.(1)当a =-2时,求不等式f (x )<g (x )的解集;(2)设a >-1,且当x ∈1,22a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭时,f (x )≤g (x ),求a 的取值范围.设a ,b ,c 均为正数,且a +b +c =1,证明:(1)ab +bc +ac ≤13; (2)2221a b c b c a++≥.10、选修45-:不等式选讲已知函数()2f x x a x =++-(1)当3a =-时,求不等式()3f x ≥的解集;(2)若()4f x x ≤-的解集包含[1,2],求a 的取值范围。
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6.不等式选讲6.1均值不等式在证明中的应用1. (1)已知,,,a b R x y R +∈∈,求证:()222x y x y a b a b++≥+;(2)已知实数,x y 满足:2221x y +=,试利用(1)求2221x y+的最小值。
(1)证:()()2222222222x y bx ay a b x y x y xy x y a b a b ⎛⎫++=+++≥++=+⇒ ⎪⎝⎭()222x y x y a b a b++≥+(当且仅当x y a b =时,取等号); (2)解:()222222222212121922x y x y x y++=+≥=+,当且仅当2213x y ==时,2221x y +的最小值是9。
考点:均值不等式在证明中的应用、综合法证明不等式6.2绝对值不等式6.2.1单绝对值不等式2. 已知函数254,0()22,0x x x f x x x ⎧++≤⎪=⎨->⎪⎩若函数()y f x a x =-恰有4个零点,则实数a 的取值范围为_______. 答案:(1,2)解析:分别作出函数()y f x =与||y a x =的图像, 由图知,0a <时,函数()y f x =与||y a x =无交点,0a =时,函数()y f x =与||y a x =有三个交点,故0.a >当0x >,2a ≥时,函数()y f x =与||y a x =有一个交点, 当0x >,02a <<时,函数()y f x =与||y a x =有两个交点, 当0x <时,若y ax =-与254,(41)y x x x =----<<-相切, 则由0∆=得:1a =或9a =(舍),因此当0x <,1a >时,函数()y f x =与||y a x =有两个交点, 当0x <,1a =时,函数()y f x =与||y a x =有三个交点, 当0x <,01a <<时,函数()y f x =与||y a x =有四个交点, 所以当且仅当12a <<时,函数()y f x =与||y a x =恰有4个交点.考点:单绝对值不等式3. 存在0x < ,使得不等式22x x t <-- 成立,则实数t 的取值范围为_____________答案:9,24⎛⎫- ⎪⎝⎭ 解析:不等式22x x t <-- ,即22x t x -<- ,令11,y x t y =- 的图象是关于x t = 对称的一个V 字形图形,其象位于第一、二象限;222y x =- ,是一个开口向下,关于y 轴对称,最大值为2 的抛物线;要存在0x < ,使不等式22x t x -<- 成立, 则1y 的图象应该在第二象限和2y 的图象有交点,两种临界情况,①当0t ≤ 时,1y 的右半部分和2y 在第二象限相切:1y 的右半部分即1y x t =- ,联列方程22y x ty x =-=- ,只有一个解;即22x t x -=- ,即220x x t +--= ,1480t ∆=++= ,得:94t =- ; 此时1y 恒大于等于2y ,所以94t =-取不到; 所以904t -<≤ ;②当0t > 时,要使1y 和2y 在第二象限有交点, 即1y 的左半部分和2y 的交点的位于第二象限; 无需联列方程,只要1y 与y 轴的交点小于2 即可;1y t x =- 与y 轴的交点为(0,)t ,所以2t < ,又因为0t > ,所以02t << ;综上,实数t 的取值范围是:924t -<< ;故答案为:9,24⎛⎫- ⎪⎝⎭.考点:单绝对值不等式6.2.2同系数绝对值相加型不等式4. 已知函数()|21||2|f x x x a =-++,()3g x x =+. (1)当2a =-时,求不等式()()f x g x <的解集;(2)设1a >-,且当1[,)22a x ∈-时,()()f x g x ≤,求a 的取值范围。
(1)当2a =-时,令15,21212232,1236,1x x y x x x x x x x ⎧-≤⎪⎪⎪=-+---=--≤≤⎨⎪->⎪⎪⎩, 作出函数图像可知,当(0,2)x ∈时,0y <, 故原不等式的解集为}{02x x <<; (2)依题意,原不等式化为13a x +≤+,故2x a ≥-对1,22a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭都成立,故22aa -≥-, 故43a ≤,故a 的取值范围是41,3⎛⎤- ⎥⎝⎦.考点:同系数绝对值相加型不等式6.2.3同系数绝对值相减型不等式5. 已知函数()25f x x x =--- (1)证明:3()3;f x -≤≤(2)求不等式2()815f x x x ≥-+的解集。
(1) 3,2()2527,253,5x f x x x x x x -≤⎧⎪=---=-<<⎨⎪≥⎩当25x <<时,3273x -<-<,所以, 33fx -≤≤ (2)由(1)可知当2x ≤ 时,2()815f x x x ≥-+的解集为空集;当25x <<时,2()815f x x x ≥-+的解集为}{|55x x ≤≤ 当5x ≥ 时,2()815f x x x ≥-+的解集为}{|56x x ≤≤ 综上:不等式2()815f x x x ≥-+的解集:}{|56x x ≤≤ 考点:同系数绝对值相减型不等式6.2.4不同系数绝对值相加减型不等式6. 设函数()212f x x x =+-- (1)求不等式()2f x >的解集; (2)若()211,2x R f x t t ∀∈≥-恒成立,求实数t 的取值范围. (1)由题意得13,21()31,223,2x x f x x x x x ⎧--<-⎪⎪⎪=--≤<⎨⎪+≥⎪⎪⎩当12x <- 时,不等式化为32x -->,解得55x x <-∴<-, 当122x -≤<时,不等式化为312x ->,解得112x x >∴<<, 当2x ≥时,不等式化为32x +>,解得12x x >-∴≥, 综上,不等式的解集为{}»ò15x x x ><-.(2)由(1)得()min 52f x =- ,若x R ∀∈,()2112f x t t ≥- 恒成立, 则只需()2min 51122f x t t =-≥-,解得152t ≤≤ ,综上,t 的取值范围为1,52⎡⎤⎢⎥⎣⎦考点:不同系数绝对值相加减型不等式6.3已知绝对值不等式解求参数7. 设函数()3,0f x x a x a =-+>(1)当1a =时,求不等式()32f x x ≥+的解集; (2)如果不等式()0f x ≤的解集为{}1x x ≤-,求a 的值。
(1)当1a =时,()32f x x ≥+可化为|1|2x -≥。
由此可得 3x ≥或1x ≤-。
故不等式()32f x x ≥+的解集为{|3x x ≥或1}x ≤-。
(2) 由()0f x ≤ 得 30x a x -+≤ 此不等式化为不等式组 30x a x a x ≥⎧⎨-+≤⎩或30x a a x x ≤⎧⎨-+≤⎩即 4x a a x ≥⎧⎪⎨≤⎪⎩或2x a a a ≤⎧⎪⎨≤-⎪⎩因为0a >,所以不等式组的解集为{}|2a x x ≤-由题设可得=-12a -,故2a = 考点:已知绝对值不等式解求参数6.4已知绝对值不等式解的范围求参数范围8. 已知函数()|||2|f x x a x =++-.(1)当3a=-时,求不等式()3f x≥的解集;(2)若()|4|f x x≤-的解集包含[1,2],求a的取值范围. 答案:(1)当3a=-时,52(2) ()|3||2|1(23)25(3)x xf x x x xx x-<⎧⎪=-+-=≤≤⎨⎪->⎩所以不等式()3f x≥可化为2523xx<⎧⎨-≥⎩,或2313x≤≤⎧⎨≥⎩,或3253xx>⎧⎨-≥⎩解得1x≤或4x≥因此不等式()3f x≥的解集为{|1x x≤或4}x≥(2)由已知()|4|f x x≤-即为|||2||4|x a x x++-≤-,也即|||4||2|x a x x+≤---若()|4|f x x≤-的解集包含[1,2],则[1,2]x∀∈,|||4||2|x a x x+≤---,也就是[1,2]x∀∈,||2x a+≤,所以[1,2]x∀∈,22x ax a+≥-⎧⎨+≤⎩,从而1222aa+≥-⎧⎨+≤⎩,解得30a-≤≤因此a的取值范围为[3,0]a∈-.考点:已知绝对值不等式解的范围求参数范围、同系数绝对值不等式相加减6.5含绝对值不等式的恒成立问题9. 已知函数()2121f x x x =++-,(1)若对任意的x 有()f x a ≥成立,求a 的取值范围;(2)若不等式12()02a b a a b f x ++-+≥,对于任意的,a b 都成立,求x 的取值范围。
(1)根据题意,a 小于等于()f x 的最小值由14,211()2,2214,2x x f x x x x ⎧-≤-⎪⎪⎪=-<<⎨⎪⎪≥⎪⎩可得min ()2f x = 所以 2a ≤(2)当0a b += 即a b =- 时,20()0b f x -⋅≥ 恒成立,x R ∴∈ 当0a b +≠ 时,由绝对值不等式得性质可得2(2)a b a a b a a b ++≥+-=+ ,当且仅当(2)0a b a +≤ 时取''''= ,21a b a a b++≥+ 恒成立,12()02a b a a b f x ++-+≥ ,21()2a b a f x a b ++≥+1()12f x ∴≤ ,()2f x ≤ 1122x -≤≤ 考点:含绝对值不等式的恒成立问题、同系数绝对值相加型不等式6.6含绝对值不等式的能成立问题10. 已知函数()13f x x x =-++ . (1)求x 的取值范围,使()f x 为常数函数.(2)若关于x 的不等式()0f x a -≤ 有解,求实数a 的取值范围.(1)()22,3134,3122,1x x f x x x x x x --<-⎧⎪=-++=-≤≤⎨⎪+>⎩则当[]3,1x ∈- 时,()f x 为常数函数.(2)方法一:如图,结合(1)知函数()f x 的最小值为4 ,∴ 实数a 的取值范围为4a ≥ .方法二:()1313x x x x -++≥--+ ;134x x ∴-++≥ ,等号当且仅当[]3,1x ∈- 时成立.得函数()f x 的最小值为4 ,则实数a 的取值范围为4a ≥.考点:含绝对值不等式的能成立问题6.7利用绝对值的三角不等式放缩求最值11. 已知实数,x y 满足:11||,|2|,36x y x y +<-<求证:5||18y <. 证明:()()3||=|3|=|22|22y y x y x y x y x y ++-≤++-, 由题设11||,|2|,36x y x y +<-<1153||=366y ∴<+.5||18y ∴<. 考点:绝对值的三角不等式6.8数形结合在含参绝对值不等式中的应用12. 已知函数()f x = (1)求()(4)f x f ≥的解集;(2)设函数()(3)g x k x =-,k R ∈,若()()f x g x >对任意的x R ∈都成立,求实数k 的取值范围.(1)()f x =|3||4|x x ==-++,()(4)f x f ∴≥,即|3||4|x x -++9≥,4,349x x x ≤-⎧∴⎨---≥⎩① 或43,349x x x -<<⎧⎨-++≥⎩② 或3,349,x x x ≥⎧⎨-++≥⎩③ 解得不等式①:5x ≤-;②:无解;③:4x ≥, 所以()(4)f x f ≥的解集为{|5x x ≤-或4}x ≥.(2)()()f x g x >即()|3||4|f x x x =-++的图象恒在()(3)g x k x =-图象的上方,可以作出21,4,()|3||4|7,43,21,3x x f x x x x x x --≤-⎧⎪=-++=-<<⎨⎪+≥⎩的图象,而()(3)g x k x =-图象为恒过定点(3,0)P ,且斜率k 变化的一条直线, 作出函数(),y f x =()y g x =图象, 其中2,PB k = (4,7)A -,1PA k ∴=-,由图可知,要使得()f x 的图象恒在()g x 图象的上方, 实数k 的取值范围应该为12k -<≤.考点:同系数绝对值不等式相加型、 数形结合在含参绝对值不等式中的应用7.证明不等式的基本方法7.1比较法证明不等式13. 设不等式|21|1x -<的解集是M ,,a b M ∈.(1)试比较1ab +与a b +的大小;(2)设max 表示数集A 的最大数.22h=求证: 2.h ≥ 答案:(1)1;ab a b +>+(2)见解析 解析:(1)先解出{}|01.M x x =<<(1)()(1)(1)0ab a b a b +-+=-->.问题得证.(2)22h= 可知22h h h≥≥≥, 所以根据不等式的性质,同向正向不等式具有可乘性,从而可证出38h ≥. 故2h ≥.考点:比较法证明不等式7.2综合法证明不等式7.3分析法证明不等式14. 已知()11f x x x =++-,不等式()4f x <的解集为M . (1)求M ;(2)当,a b M ∈时,证明:24a b ab +<+.(1)解不等式:114x x ++-< ;124x x ≥⎧⎨<⎩ 或1124x -≤<⎧⎨<⎩ 或124x x <-⎧⎨-<⎩⇒12x ≤<或11x -≤<或21x -<<-,⇒22x -<<⇒()2,2M =-.(2)需证明:22224(2)816a ab b a b ab ++<++, 只需证明222244160a b a b --+>, 即需证明22(4)(4)0a b -->2222,(2,2)4,4(4)0,(4)0a b a b a b ∈-⇒<<⇒-<-<⇒22(4)(4)0a b -->,所以原不等式成立. 考点:分析法证明不等式7.4反证法证明不等式15. 设0,0.a b >> 且11.a b a b+=+证明: (1)2a b +≥ ;(2)22a a +< 与22b b +< 不可能同时成立. 由11=a ba b abab++=+,0,0.a b >> 得1ab =(1)由基本不等式及1ab = ,有2a b +≥= ,即2a b +≥; (2)假设22a a +<与22b b +<同时成立, 则由22a a +< 及0a > 得01a << ,同理01b << ,从而1ab < ,这与1ab = 矛盾, 故22a a +< 与22b b +< 不可能同时成立.考点:反证法证明不等式、均值不等式在证明中的应用8.5放缩法证明不等式(多为数列的题)16. 已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足2n n S a n =-.(1)求数列{}n a 的通项公式;(2)设1nnn a b a +=,记数列{}n b 的前n 和为n T ,证明:1032n n T -<-<.【答案】(1)21n n a =-;(2)详见解析. 【解析】试题分析:(1)考虑到n n n S S a -=++11,因此可以利用条件中的式子得到数列}{n a 的一个递推公式,从而即可求解;(2)由(1)可知112121n n n n n a b a ++-==-,211222n n b +-=--,从而可证02n n T -<,进一步放缩可得211122223232n n n n+=<--+⋅⋅,求和即可得证. 试题解析:(1)∵2n n S a n =-,当1=n 时,1111211S a a a ==-⇒= ,又∵1121n n S a n ++=--,与2nn S a n =-两边分别相减得11221n n n a a a ++=--,得()1121n n a a ++=+,又∵112a +=,∴数列}1{+n a 是以2为首项,2为公比的等比数列,∴12n n a +=,得21n n a =-;∵112121n n n n n a b a ++-==-,∴211222n n b +-=--,34211102222222n n n T +⎛⎫-=-+++< ⎪---⎝⎭,得02n n T -<,又∵211122223232n n n n+=<--+⋅⋅,∴2111123222n n n T ⎛⎫-=-+++⎪⎝⎭1113323n=-+>-⋅,∴1032n nT -<-<.9.柯西不等式9.1柯西不等式的代数形式17. 已知关于x的不等式x a b+<的解集为{|24}x x<< ()1求实数,a b的值;()2.()1由x a b+<,得b a x b a--<<-则24b ab a--=⎧⎨-=⎩,解得3, 1.a b=-=()2=≤4===即1t=时等号成立,故min4 =.考点:柯西不等式的代数形式9.2一般形式的柯西不等式18. 已知函数()|2|,,f x m x m R=--∈且(2)0f x+≥的解集为[]1,1-,(1)求m 的值; (2)若,,,a b c R ∈且111,23m a b c++=求证239.a b c ++≥ (1)(2)0,f x m x x m +=-≥∴≤0,,(2)0m m x m f x ∴≥-≤≤∴+≥的解集是[]1,1-故1m =.(2)由(1)知1111,,,,23a b c R a b c++=∈ 由柯西不等式得211123(23)()239.a b c a b c a b c++=++++≥++=考点:一般的柯西不等式。