量子力学答案(第二版)苏汝铿第六章课后答案6.10-6#16

2 2 1, 0,1,1 1,1,1, 0 。 2 2
1,1,1, 0 Y11 ( , ) 1, 0
Sz
3 sin ei 1, 0 ，此态中 S z 0 ，显然有一个中子的 8
1 ，所以发现的几率为： 2 dP( , ) 1 3 3 sin 2 sin 2 d 2 8 16
取 J 方向的投影并使 J z 为最大值 J 1 ，从而有
1 2
1 2


0.31 n
6.11 一个 介子（赝标粒子、自旋为零、奇宇称）最初被束缚在氘核周围，并处在最低库 仑能态上。它被氘核（一个质子和一个中子处在 3S1 态中）俘获，并使氘核转变为一对中子：
d nn。



G(l 4) 混入.
(iii)对于纯 D 态, 总自旋 S=1, 轨道角动量(对 n,p 质心)L=2 总的磁矩应该等于总自旋的磁矩 , 与轨道角动量的磁矩 i 的耦合 总自旋 S S p S n



l p n



( p 和 n 分别为 p 和 n 的自旋磁矩)
把总 , 沿总 S 方向投影取平均, 有

(g p n S p gn n Sn ) S 1 l S ( g p g n ) n S S ( S 1) 2
其中
n
e 2m p c
g p 5.58
g n 3.82
质子运动对质心产生磁矩, 但是中子并不对质心产生磁矩, 这样有
p 1,1 1 2,1 2 3 2,3 2 , p 1, 1 1 2,1 2 a 3 2, 1 2 b 1 2, 1 2 , 0 n 1, 0 1 2, 1 2 c 3 2, 1 2 d 1 2, 1 2 .
由 C G 系数可得： a 1 3,
（i）中子对的轨道角动量和总自旋角动量是多少？ （ii）发现两个中子的自旋均与氘核的自旋相反的概率是多少？
ˆ 方向，发现自旋反向的中子的发射概率（单位立 （iii）如果氘核的自旋在最初全部指向 R
体角）的角分布是多少？ 解： （i）反应前后宇称守恒，有： p( ) p(d )(1) 1 p(n) p(n)(1) 2 。 L1 ， L2 分别是 d
6.12 在 J J1 J 2 ， m m1 m2 的态中 （i）若 j1 1, j2
1 3 1 , j , m ，求克莱布希-戈尔登系数； 2 2 2
（ii）考虑下列反应：
(a) p p (b) p p (c) p 0 n
。
n 与 n 的全同性要求总波函数反对称现在空间波函数反对称，所以自旋函数必须对称，即：
S 1 ，所以 L 2,1, 0 。但 L 2m 1，所以 L 1, S 1 。
总轨道角动量为 2 ；总自旋角动量为 2 。 （ii）设反应前氘核子方向 J 2 ，若中子对全部反向， S2 ，那么 L2 2 ，这是不 可能的，因为 L 1 ，所以几率为 0。 （iii）初始态为 J , J 2 1,1 ，将其变到非耦合表象： L 1, S 1, L, L2 , S , S2 ， 从而有 1,1
b 2 3, c 2 3, d 1 3.
1 2 4 2 共振态的 I 3 2 ，经过此态的截面比为： a : b : c 1: a : ac 1: : 9 9
4 2 4 2 N 共振态的 I 1 2 ，经过此态的截面比为： a : b : c 0 : b : bd 0 : : 。 9 9
这些同位旋守恒的反应能在同位旋 I 3 2 的 共振态或在 I 1 2 的 N 共振态中产生，试 分别就对应于 共振和 N 共振的能量计算截面比 a : b : c 。 在一个共振能处可忽略其他 同位旋态产生的影响， 介子的同位旋是 I 1 态，核子的同位旋是 I 1 2 态。 解； （i）定义算符 J J1 J 2 ，则有： J 3 2,3 2 ( J1 J 2 ) 1,1 1 2,1 2 ， 即
编辑者：霍团长 6.10 氘是质子和中子的束缚态, 其总角动量 J 1 . 现已知它主要是由 S (l 0) 态组成并且有 很少的 D(l 2) 态参与进来: (i)解释为什么 P 态不能参与? (ii)解释为什么 G 态不能参与? (iii)计算 n-p 体系(总角动量 J 1 )处在纯 D 态时的磁矩. 假设 n 和 p 自旋耦合形成总自旋 S, 然后再与轨道角动量 l 耦合形成总角动量 J, 用核磁子表示你的结果. 已知质子和中子的磁矩分 别是 2.79 和 1.91核磁子. 解: (i)S 和 D 态的宇称为正, 而 P 态的宇称为负, 由于宇称守恒, 开始时为 S 态的量子态在任何时刻 都不可能有 P 态混入. (ii)质子和中子组成的系统的自旋可能值为 1 或 0, 因为 J L S . 所以在 S 0 时有 L 1 , 为 P 态, 由(i)知道不可能存在, 在 S 1 时 L 2,1,0 . 所以宇称准许的只有 S 或 D 态, 不能有
1 1 [ n L J ( g p g n ) n S J ]J 2 2 J ( J 1)
因 J L S ，有



[ n 3 ( g p g n ) n (1)]J / 2
1 1 [1.5 ( g p g n )] n J 0.31 n J 2 2
L L

及 n n 的轨道角动量。但反应前 是在库仑势的最低能态中， L1 0 ，且已知：
p( ) 1 ， p(d ) 1 ，有： (1) L2 1, L2 2m 1, m 0,1, 2
反应前后角动量守恒。反应前 J 1 ，所以反应后有 L2 S J 。
l
e Lp n Lp 2m p c
1 L p 是 p 对质心的角动量, 因为 L p Ln L , 且可以认为 L p Ln , 有 L p L (质心在连线中 2 1 心), 这样就有 l n L 2
耦合之后的总磁矩
3 3 2,1 2
2 1,0 1 2,1 2 1,1 1 2, 1 2 ，
所以 3 2,1 2
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2 1 1, 0 1 2,1 2 1,1 1 2, 1 2 3 3
（ii）
1,1 , 0 1, 0 , 1, 1 ,
p 1 2,1 2 , n 1 2, 1 2 .