第二章矩阵习题课ppt课件

第二章 矩阵
主要内容 典型例题 课后习题
基本概念
定义 1 m n 个 数 a i j ( i 1 , 2 , L , m ;j 1 , 2 , L , n ) 排 成 的 一 个 m 行 n 列 矩 形 数 表 ：
a11 a12 L a1n
a21 a22 L a2n
MM
M
am1 am2 L amn
s
c ij a i1 b 1 j a i2 b 2 j a ib ss j a ib k kj k 1 i 1 , 2 , m ; j 1 , 2 , , n ,
并把此乘积记作 CAmsBsn.
２、矩阵乘法的运算规律
1 A C B A B;C
2 A B C A A B , C B C A B C A ;A
则 称 A 与 B 相 等 ， 记 为 A B .
几种特殊矩阵
(1)行数与列数都等于n的矩阵 A ，称为n阶
方阵.也可记作An.
（7）对角阵 主 对 角 线 元 素 为 1 ， 2 ， L n ，
其 余 元 素 为 0 的 方 阵 称 为 对 角 阵 .
1
2
O
diag1,2,L,n
(8)方阵
3 A A B B A B （其中 为数）;
4 A E A A ;
5
若A是
Ak A
nA阶矩A 阵并，且则A Am A k k 为 AA 的m kk,次A幂mk ，即Am.k
k个
m,k为正整 数
注意 矩阵不满足交换律，即： AB B,A
AkB A kB k.
四、矩阵转置
设A为n阶方阵，如果满足A AT,即 aij aji(i 1,2,L ,n),那么A称为对称阵
说明: 对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相 等.
如 果 A T A 则 矩 阵 A 称 为 反 对 称 的 .
五、方阵的行列式 定义 由 n 阶 方 阵 A 的 元 素 构 成 的 行 列 式
叫 做 方 阵 A 的 行 列 式 ， 记 作 |A |或 d et(A ).
运算性质 1AT A; 2AnA ;
3 A B A B ; (4) ABBA.
定义 行列式 A 的各个元素的代数余子式A ij 所
构成的如下矩阵
A11
A
A12
A1n
A21 A22 A2n
An1 An2 Ann
称为矩阵 A 的伴随矩阵.
性质 AA A AA E .
六、共轭矩阵
定义
设 A (ai j )是 m n矩 阵 ， 矩 阵
a11 a21 L
a12
a22
L
M M
a1
n
a2n
L
am1
am
2
M
amn
为 矩 阵 A 的 转 置 ， 记 为 A T .
转置矩阵的运算性质
1A TTA ;
2 A B T A T B T ;
3A TA T;
4 AT B B T A T .
二、逆矩阵的概念和性质
定义 对于n阶矩阵A,如果有一个n阶矩阵B
使得AB=BA=E，则说矩阵A 可逆的，并把矩阵B
称为A的逆矩阵， A的逆矩阵记A作 1.
定理1 若A是可逆矩阵，则A的逆矩阵是唯一的.
定理2
矩阵A可逆的充要条件是 A 0 ，且 A1 1 A, A
推论：设 A ,B 是 n 阶 方 阵 ， 且 ΑΒE, 则B1 A
定义 当 A （ aij） 为 复 矩 阵 时 ， 用 aij表 示 aij的 共 轭 复 数 ， 记 A(aij)， A 称 为 A 的 共 轭 矩 阵 .
运算性质
( 设 A , B 为 复 矩 阵 ， 为 复 数 ， 且 运 算 都 是 可 行 的 ） ：
1 A B A B ;
2AA ;
3A B AB .
n
1 0 L 0
E
En
0
L
Байду номын сангаас1 L
L L
0
L
0
0L
1
称为单位矩阵（或单位阵）.
矩阵的加法
１、定义 设 有 两 个 m n 矩 阵 ， A ( A i j ) , B ( B i j ) , 那 么 矩 阵 矩 阵 A 与 B 的 和 记 为 作 A B ， 规 定 为
a11b11 ABa21b21
逆矩阵的运算性质
1 若 A 可 逆 ,且 A 1 亦 可 逆 ,且 A 1 1 A .
2 若 A 可 逆 ,数 0 ,则 A 可 逆 , 且
A1 1 A1.
3若 A,B为 同 阶 方 阵 且 均 可 逆 ,则 AB亦 可 逆 ,且
(A B ) 1B 1A 1
推 广 A1 A 2 L Am 1 AmL 1 A 2 1 A1 1.
4 若 A 可 逆 , 则 A T 亦 可 逆 , 且 A T 1 A 1 T .
二、分块矩阵的运算规则
1 设 矩 阵 A 与 B 的 行 数 相 同 ,列 数 相 同 ,采 用
称 为 m 行 n 列 矩 阵 或 m n 矩 阵 ， 简 称 矩 阵 。
矩阵的代数运算
1.两个矩阵的行数相等,列数相等时,称为同型矩阵.
两 个 矩 阵 Aaij 与 Bbij 为 同 型 矩 阵 ，
且 对 应 元 素 相 等
a i jb i i j 1 , 2 , , m ; j 1 , 2 , , n ,
L
a12b12 L a1nb1n
a22 b22
L
a2n
b2n
L L L
am1bm1 am2bm2 L amnbmn
2、矩阵加法的运算规律
1A B B A ;
2 A B C A B C .
a11 a12 a1n
3
A
a21
a22
a2n
aij,
am1 am1 amn
称为A 矩 的 负 阵矩 . 阵
1 A A ;
2 A A A ; 3 A B A B .
矩阵相加与数乘矩阵合起来,统称为矩阵的 线性运算.
三、矩阵与矩阵相乘
１、定义
设 Aaij 是一个m s矩阵，Bbij 是一个
sn矩阵，那末规定矩阵 A与矩阵 B的乘积
是一个m n 矩阵 Ccij ，其中
4 A A 0 , A B A B .
二、数与矩阵相乘
1、定义 数 与 矩 阵 A 的 乘 积 记 作 A 或 A , 规 定 为
a11
A
A
a21
L
am1
a12 L a22 L
LL
am1 L
a1n
a2n
.
L
amn
2、数乘矩阵的运算规律
（ 设 A 、 B 为 m n 矩 阵 ， 、 为 数 ）