信号与系统教学课件-§2.6 卷积及其性质和计算
信号与系统课件：第二章 LTI系统
2.1 离散时间LTI系统: 卷积和
（1)用移位单位抽样信号表示离散时间信号 （2)卷积和在离散时间信号LTI系统中的表征 （3)卷积和的计算 （4) 离散时间信号LTI系统的性质
（1）用单位抽样信号表示离散时间信号
x[n] ... x[1] n 1 x[0] n x[1] n 1... x[n][0] x[n 1][1]
（１）初始条件为n<0时，y(n)=0，求其单位抽样响应；
（２）初始条件为n≥0时，y(n)=0，求其单位抽样响应。
解：（１）设x(n) (n)，且 y(1) h(1) 0 ，必有
y(n) h(n) 0, n 0
依次迭代
y(0) h(0) (0) 1 y(1) 1 0 1
2
当系统的初始状态为零，单位抽样响应h(n)就 能完全代表系统，那么对于线性时不变系统，任意 输入下的系统输出就可以利用卷积和求得。
差分方程在给定输入和边界条件下，可用迭代 的方法求系统的响应，当输入为δ（n）时，输出 （响应）就是单位抽样响应h(n)。
例：常系数差分方程
y(n) x(n) 1 y(n 1) 2
x[n]u[n] x[k]u[n k] x[k]
k
k
（ii）交换律:
yn xnhn hn xn
例子： 线性时不变系统中的阶跃响应 sn
sn unhn hnun
阶跃输入
输 单位抽样信号 入 响应的累加
n
sn hk
k
(iii)分配律:
xnh1n h2 n xnh1n xnh2 n
y(1) h(1) (1) 1 y(0) 0 1 1
2
22
y(2) h(2) (2) 1 y(1) 0 1 1 (1)2
信号与系统卷积定理
j
e
j
4 Sa 2 2 Sa
解：（ 2）法
利用傅里叶变换线性性
质求
f (t ) g 2 (t ) g 4 (t )
Eg ( t ) E Sa 2 即 g 2 ( t ) 2 Sa ， g 4 ( t ) 4 Sa 2
(t (t
2
f (t )
) )
E
0
2
2
2
t
利用卷积定理求其的频谱。
解法一 ：利用频域卷积定理
f ( t ) G ( t ) cos(
t
)
解法二：利用频移性质
解法三：用时域微分性质
（本题不是分段线性信号）
解法一 ：
2
时域
1
t cos
2
F ( j )
f (t ) e
j t
j t
dt
j t
e
2
1
dt
j t
2e
1
1
dt
j t 1
e
1
2
j t
dt
j t 2 1
e j
1
1
1 2
e j
e
2
1
1 j
e
e j
j 2
e
j 2
第八节 卷积定理
一、卷积定理
给定两个时间函数
f1 ( t ) 和 f 2 ( t )
f 1( t ) 揪 畐 F1( ) , f 2( t ) 揪 畐 F2( )
信号与系统-卷积与卷积定理
第二章连续时间系统的时域分析§2.5冲激响应与阶跃响应§2.5冲激响应与阶跃响应天津医科大学生物医学工程学院School of Biomedical Engineering, Tianjin Medical University §2.5冲激响应与阶跃响应天津医科大学生物医学工程学院School of Biomedical Engineering, Tianjin Medical University§2.5冲激响应与阶跃响应天津医科大学生物医学工程学院School of Biomedical Engineering, Tianjin Medical University§2.5冲激响应与阶跃响应天津医科大学生物医学工程学院School of Biomedical Engineering, Tianjin Medical University §2.5冲激响应与阶跃响应天津医科大学生物医学工程学院School of Biomedical Engineering, Tianjin Medical University§2.5冲激响应与阶跃响应天津医科大学生物医学工程学院School of Biomedical Engineering, Tianjin Medical University§2.5冲激响应与阶跃响应天津医科大学生物医学工程学院School of Biomedical Engineering, Tianjin Medical University §2.5冲激响应与阶跃响应天津医科大学生物医学工程学院School of Biomedical Engineering, Tianjin Medical University§2.5冲激响应与阶跃响应天津医科大学生物医学工程学院School of Biomedical Engineering, Tianjin Medical University§2.5冲激响应与阶跃响应天津医科大学生物医学工程学院School of Biomedical Engineering, Tianjin Medical University §2.5冲激响应与阶跃响应天津医科大学生物医学工程学院School of Biomedical Engineering, Tianjin Medical University§2.5冲激响应与阶跃响应天津医科大学生物医学工程学院School of Biomedical Engineering, Tianjin Medical University§2.5冲激响应与阶跃响应天津医科大学生物医学工程学院School of Biomedical Engineering, Tianjin Medical University §2.5冲激响应与阶跃响应天津医科大学生物医学工程学院School of Biomedical Engineering, Tianjin Medical University§2.5冲激响应与阶跃响应天津医科大学生物医学工程学院School of Biomedical Engineering, Tianjin Medical University§2.5冲激响应与阶跃响应2天津医科大学生物医学工程学院School of Biomedical Engineering, Tianjin Medical University §2.5冲激响应与阶跃响应天津医科大学生物医学工程学院School of Biomedical Engineering, Tianjin Medical University §2.5冲激响应与阶跃响应。
信号与系统中卷积的作用
信号与系统中卷积的作用大家好，今天咱们聊聊“卷积”，这个在信号与系统中很重要的概念。
别被它复杂的名字吓到了，卷积其实可以用简单的例子来解释清楚。
1. 卷积是什么1.1 卷积的简单定义首先，卷积就是一种数学运算，能够帮助我们理解一个信号在经过系统后会变成什么样。
想象一下，你有一个信号（比如一段音乐），还有一个系统（比如一个音响），卷积就是用来描述这个音响如何把音乐的每个细节都加进去的过程。
1.2 举个例子你可以把卷积想象成做菜时的调料加法。
比如，你做了一道红烧肉，肉本身的味道还不够丰富，你需要加盐、糖、生抽等调料。
每一种调料的量和种类都会影响最终的味道。
这就像卷积一样，把各种不同的“调料”混合到原始信号里，得到最终的效果。
2. 卷积在信号处理中的作用2.1 信号的滤波卷积的一个主要作用就是滤波。
说白了，就是清理信号的“杂质”。
比如你听到一首音乐，但背景有很多噪音，这时你需要一个滤波器来去掉这些噪音，让音乐变得更加清晰。
卷积在这里就像是一个聪明的清洁工，把噪音“擦干净”，留下干净的音乐。
2.2 特征提取另一个重要的作用是提取信号的特征。
想象你在看一张图片，卷积操作就像是用不同的滤镜来突出图片中的某些细节。
比如你可以用卷积滤镜来找到图片中的边缘，或者突出某些颜色的区域。
这对图像处理和计算机视觉特别重要，可以帮助我们更好地分析和理解图像。
3. 卷积的实际应用3.1 音频处理在音频处理领域，卷积有着不可替代的作用。
例如，在录音的时候，我们会用卷积来模拟不同的环境效果。
比如，你在一个大教堂里录音，卷积可以帮助你模拟教堂的回声效果，让录音听起来更有现场感。
这种效果在音乐制作和电影配乐中都很常见。
3.2 图像处理在图像处理中，卷积用于锐化、模糊等各种效果。
比如，你用照片编辑软件想让一张模糊的图片变得清晰，那就是用到了卷积技术。
你可以用它来调整图片的清晰度、对比度，甚至可以做一些酷炫的特效，让你的图片看起来更棒。
卷积和相关 ppt课件
平移量等于两者的平移量之和。
ppt课件
12
8、函数 f (x, y) 与 d 函数的卷积
根据 1. d-函数是偶函数, 2. d-函数的筛选性质,
有:
f (x) d (x) f ( )d (x )d f (x)
ppt课件
16
六.卷积运算举例(难点)
例1：设有二函数，分别为:
f
x
xstep x, h x
rect
x 1 2
求: g x f xhx
图1-3-3 例1中的二函数图形
ppt课件
17
图1-3-4 例1 一维卷积过程
ppt课件
18
分段计算结果：
(1)x≤0，
gx f xhx 0
(图a,b)
rect(t) 1
rect(t) 1
1.用哑元t画出 二个 rect(t)
t
-1/2 0 1/2
-1/2 0 1/2
2.将rect(t)折叠后不变;
1 rect(t)
3.将一个rect(-t)移位至给定的
x0, rect[-(t -x0)]= rect(x0 - t);
4.二者相乘;乘积曲线下
-1/2 0 1/2
f
x,
y
h
x,
y
f
,
h
x
,
y
d
d
h , f x , y d ppt课件 d h x, y f x, y 10
5、卷积符合结合律
f (x, y)h1(x, y)h2(x, y) f (x, y)h1(x, y)h2(x, y)
信号与系统 §2.07 卷积的性质
微分积分性质对于计算卷积很方便。 微分积分性质对于计算卷积很方便。
三.与冲激函数或阶跃函数的卷积
f (t ) ∗δ (t ) = ∫ f (τ )δ (t −τ ) dτ = ∫ f (t −τ ) δ (τ ) dτ = f (t )
∞ ∞
推广： 推广： f (t ) ∗δ (t − t 0) = f (t − t 0)
f (t ) ∗δ ′(t ) = f '(t )
f (t ) ∗ u(t ) =
−∞
−∞
f (t − t1) ∗δ (t − t 2) = f (t − t1 − t 2)
−∞
∫ f (λ)dλ
t
f (t ) ∗δ (k ) (t ) = f (k ) (t )
f (t ) ∗δ (k ) (t − t 0) = f (k ) (t − t 0)
f(t)的积分 的积分
微分性质积分性质联合实用
g(n−m) (t ) = f (n) (t ) ∗ h(−m) (t ) = f (−m) (t ) ∗ h(n) (t )
微分n次 微分 次， 积分m次 积分 次 m=n, 微分次数＝ 微分次数＝ 积分次数
g(t ) = f (n) (t ) ∗ h(−n) (t )
+
∑
h2 (t) +
y(t )
h1 (t )
h2 (t )
1
1 t
解：
(a)
O 1
h(t )
O 1 2 t
(b)
1
h(t ) = h1(t ) ∗[h1(t ) + h2 (t )]
如图（ ） 如图（c）所示
O 1 2 3t
X
信号与系统 卷积积分的性质
信号与系统
d x t dt
h d
t
2
1
1 0
2
c
1
t
0
4
t
d
dxt t h d 15 dt 8
t
9 8
2
dxt t h d dt
3
1 0
2
2
6
1 0
2 3
6
t
f
e
信号与系统
t t t
[ 1 d ]u (t 1) [ 1 d ]u (t 2)
1 2
t
t
(t 1)u (t 1) (t 2)u (t 2)
(t 1)[u (t 1) u (t 2)] 3u (t 2) 0 t 1 3
0 t a 1 e d 1 e at 0 a
f t
1
1 d ]u(t ) 1 e at u t a
t 0
f d
t 0
t
e at
1 a
0
a
t
0
b
t
信号与系统
作业 13-4-16
t
y( )d f (t ) h( )d h(t ) f ( )d
t
y(t)的一重积分
y ( 1) (t ) f (t ) h( 1) (t ) f ( 1) (t ) h(t )
推广：
y ( m) (t ) f (t ) h( m) (t ) f ( m) (t ) h(t )
《信号与系统教学课件》§2.6 卷积及其性质和计算
将卷积的微分性质和积分性质加以推广，可以得到
s
t
nm
f (n) 1
t
f (m) 2
t
f (m) 1
t
f (n) 2
t
X
二、卷积的性质
注意函数的积分和微分并不是一个严格的可逆关系， 因为函数加上任意常数后的微分与原函数的微分是相 同的。因此，对于等式
f1 t
f2 t
f1' t
k
d
k
f
3
t
d
令w k
f1
k
f2
w f3
t
k
w d w d k
令st f2t f3t
f1 k s t k d k
f1 t st
f1 t
f2 t
f3 t
f 1
t f2 t
f3 t
X
二、卷积的性质
一、代数性质 • 结合律
对于函数f1 t , f2 t , f3 t ,存在
h2 t
r(t)
h1 t
图2.6.2 卷积交换律的系统意义
X
二、卷积的性质
一、代数性质
• 结合律
对于函数f1 t , f2 t , f3 t ,存在
f1 t f2 t f3 t f1 t f2 t f3 t
根据卷积的定义
f1 t
f2
t
f3
t
f1
k
f2
X
三、卷积的计算
根据卷积的定义，卷积计算是由若干基本的信号运算组成的， 对于
s
t
f1
f2
t
d
第一步 反褶：将 f1 t 反褶运算，得到 f1
信号与系统信号的时域分解与卷积积分
28
三、卷积的性质及卷积计算
(2) (t-t0 ) 是卷积的延迟器
y(t) f (t) (t t0 )=f (t t0 )
物理意义
f (t)
有用推论
(t t0 )
f (t t0 )
f (t t1) (t t2 ) f (t t1 t2 )
若：f1(t) f2 (t) y(t) 则： f1(t t1) f2(t t2) y(t t1 t2)
s 平面和z平面的对应关系
×
衰减振荡信号
j
×虚指数信号 ×
增长振荡信号
指数×衰减信号
×
直流信号
×
指数增长信号
jIm[z]
z esT rej r eT , T
× 虚指数信号
衰减振荡信号
×
×
× 指×数增长
指数衰减信号 直流 Re[z]
增长振荡信号
× 2
温故知新，上讲回顾
信号波形的翻转、展缩与平移
)
f3 (t
)]d
f1( )
f2 (t
)d
f1 (
)
f3 (t
)d
f1(t) f2 (t) f1(t) f3 (t)
物理意义：两个LTI系统并联，其总的单位冲激响应等
于各个子系统的单位冲激响应之和。也可通过交换律/
线性系统性质证明
f1 (t )
f2 (t) f3 (t)
f1(t) [ f2 (t) f3 (t)]
f1(t) f2 (t ) f3 (t) yzs (t) f1 (t) [ f2 (t) f3 (t)]
表明:两个LTI系统级联时，系统总的单位冲激响 应等于各个子系统单位冲激响应的卷积。
信号与线性系统ppt课件
⑹ 深刻理解卷积积分的定义、运算规律及主要性质，能会求解卷积积分。
⑺ 会应用卷积积分法求线性时不变系统的零状态响应rzs(t)。
第二章 连续时间系统的时域分析
§2.1 引 言 §2.2 系统方程的算子表示法 §2.3 系统的零输入响应 § 2.4 奇异函数 §2.5 信号的脉冲分解 §2.6 阶跃响应和冲激响应 §2.7 叠加积分 §2.8 卷积及其性质 §2.9 线性系统响应时域求解
零输入响应和零状态响应分量；
暂态响应分量和稳态响应分量。
2. 变换域法
系统方程为高阶微分方程或激励信号是较为复杂的函数，利 用时域法求解方程十分困难。为求解方程常采用变换域的方法。
即将自变量从时间变量变换为频率变量、复频率变量等. 如：傅氏变换、拉氏变化等
将求系统的微分方程转换求代数方程
零输入响应和零状态响应的求解
§2.1 引 言
系统分析的基本任务是在给定系统和输入的条件下，求解系统的输出响应。
连续时间系统的分析方法: 时域分析法;变换域分析法
连续时间系统的时域分析法：
在系统的整个分析过程都在连续时间域进行，即所涉及的函 数自变量均为连续时间 t 的一种分析方法。
连续时间系统的变换域分析法：
为便于求解方程而将时间变量变换成其他变量。
绪论 第一章
连续时域 第二章
离散时域 第七章
信号分解 第三章
付氏变换 第四章
拉普拉斯 变换
第五章
系统函数 第六章
状态变量 第十一章
付氏变换 Z变换 第八~九章
基本概念引导
核心内容
应用和拓宽 加深部分
第二章 连续时间系统的时域分析
卷积的性质 ppt课件
f1 1 u(t 1)
f 2 e(t1)u(t 1)
s f1 f2 [1 u(t 1)] [e(t1)u(t 1)]
ppt课件
18
1* e (t1)u(t 1) u(t 1) e (t1)u(t 1)
e ( 1)u(
= r(t) r(t1) – r(t 2) + r(t-3)
ppt课件
4
一.卷积代数
mutative law f1 f2 f2 f1
f (t) h(t) f h
h(t )
h f
f(t)
2.distributive law f1 [ f2 f3 ] f1 f2 f1 f3
d 2r d 2t
h(t) (t) r(t) 2 (t 1) (t 2)
h3(t) r(t)
ppt课件
25
点评:本题是求反卷积的问题。 利用了sintu(t) 两次求导后出现冲激函数 和自身，具有这一特点的函数，求反卷积 用本例的方法比较简单。
ppt课件
26
16
4.P85.2-19(b) f1 1 1
解:方法一:t<0时:
f 2 e(t1)u(t 1)
－1
t 1
f1 f2
1 e(t 1)d
e(t1)
e
e0
0 1
t>0时:
1
t 1
2 e f1 f2 e(t 1)d 2e(t 1)d
y‘ zs
(t
)
f
’(t) h(t)
f '(t) (t) etu(t)带入上式，有
信号与系统笔记培训课件
结语
练习与笔记
学习最有效的方法是亲自动 手，我们为您提供充足的练 习和笔记。
资源与扩展
掌握信号与系统的基础只是 一个开始，我们将为您提供 更多深入学习的资源和扩展。
创新与应用
信号与系统在现代科学和工 程中发挥着重要的作用，鼓 励您将所学应用到未来的创 新和实践中。
信号与系统笔记培训课件
掌握信号与系统的基础，并了解丰富的实例和应用案例。
什么是信号与系统？
对信号的认识
学习信号的定义、分类、性 质和重要概念，如带宽、频 谱、傅里叶级数、傅里叶变 换等。
对系统的认识
理解系统的定义、分类、性 质和响应，掌握时域和频域 中描述系统的常用方法。
信号与系统的联系
认识信号与系统之间的关联， 如卷积、相关、系统响应等。
3
采样定理
掌握采样定理的概念和应用，并了解信号重构的方法。
实例与应用案例
声音压缩
了解压缩算法的基本概念，掌 握常见音乐文件压缩格式的编 解码原理。
数字图像处理
认识数字图像的表示方法、变 换方法和增强方法，并了解几 种常见的去噪和边缘检测方法。
数字信号处理器
了解DSP芯片的基本结构和编 程方法，并掌握常见DSP算法 的实现。
信号与系统的性质
周期信号
了解周期信号定义、性质及其重要的时间和频率关 系。
奇偶对称性
学习奇偶信号定义、性质和傅里叶级数在奇偶信号 表示中的应用。
能量和功率
认识信号的能量和功率的概念和计算方法，并比较 它们之间的差异。
线性时不变系统
了解线性时不变系统的性质及其在傅里叶变换中的 应用。
时域和频域分析方法
1 时域分析方法
掌握信号时域表达式和系统的时域响应函数，了解卷积和相关的重要性及其计算方法。
信号与系统-卷积积分
§2.6 卷积
信号与系统
§2.6.1 卷积定义
定义： 设有两个 函数 f1(t) f2 (t) ，积分
f (t) f1( ) f2(t )d
称为 f1(t) f2 (t) 的卷积积分，简称卷积，记为 f (t) f1(t) f2(t) 或 f (t) f1(t) f2(t)
t 0 , f2 ( ) 未移动 t 0 , f2 ( ) 右移 f2 (t ) t 0 , f2 ( ) 左移 f2 (t )
3
f2(t )
2
1 O 1 t3
t
下限
上限
f2(t )
t-3
t
f1( ) f2 (t ) -1
1
当
t
从
到
变化时，3对应的 2
f2(t )
从左向右移动。
f (t) f1( ) f2 (t )d
对τ延时t，
－(τ- t)= t- τ
积分结果为t 的函数
1.
积分变量改为
2.
f2(t)
f2 ( ) 反折
时延
f2( )
f2(t
)
3.相乘 f1( ) f2 (t )
4.乘积的积分 f1( ). f2 (t )d
信号与系统
§2.6.3 卷积图解过程
例 ：f1 (t )
f1
(Gt )2
(t
),
f2 (t )
t [u(t) 2
u(t
3)]
f1( )
1
1 O 1 t
f2(t )
3 2
t
t
1
1 O
f
1(
2
)
3
2
O
信号与系统第2章ppt课件
(B) u(t)Limetu(t) 0
假设u(t)的傅立叶变换为：
F ()A ()jB ()
e t u (t ) 的傅立叶变换为 ：
依据傅立叶变换具有唯一性：
F e()A e()jB e()
F()li m0Fe()
所以
A()li m0Ae()精选pBpt()li m0Be()
第二章 傅立叶变换
F ()A ()jB () A()li m0Ae() B()li m0Be()
，这种频谱搬移技术在通信系统中
得到广泛的应用。调幅，调频都是
在该基础上进行的。
精选ppt
由此可见，将时间信号f(t)乘以Cs(ω0t) 或Sin(ω0t)
，等效于将f(t)的频谱一分
为二，即幅度减小一半，沿
频率轴向左和向右各平移ω0.
第二章 傅立叶变换
例2 求如下矩形调幅信号的频谱函数
f(t) G (t)c o s 0 t
例7 如图a所示系统，已知乘法器的输入为
f (t) sin(2t) s(t)co3st)(
t
系统的频率响应为：
求输出y(t).
精选ppt
第二章 傅立叶变换
f (t) sin(2t) s(t)co3st)(
t
乘法器的输出信号为： x(t)f(t)s(t)
依频域卷积定理可知：X(j)21F(j)*S(j) 这里 f(t)F(j) s(t)S(j)
精选ppt
第二章 傅立叶变换
11周期信号的傅里叶变换
周期信号的频谱------用傅里叶级数表示。 非周期信号的频谱——用傅里叶变换表示。 周期信号的频谱可以用傅里叶变换表示吗？ （1）正弦、余弦信号的傅里叶变换 直流信号的博立叶变换为
《信号与系统教案》课件
《信号与系统教案》PPT课件第一章：信号与系统导论1.1 信号的定义与分类定义：信号是自变量为时间（或空间）的函数。
分类：连续信号、离散信号、模拟信号、数字信号等。
1.2 系统的定义与分类定义：系统是一个输入与输出之间的映射关系。
分类：线性系统、非线性系统、时不变系统、时变系统等。
1.3 信号与系统的研究方法数学方法：微分方程、差分方程、矩阵分析等。
图形方法：波形图、频谱图、相位图等。
第二章：连续信号与系统2.1 连续信号的性质连续时间：自变量为连续的实数。
有限能量：能量信号的能量有限。
有限带宽：带宽有限的信号。
2.2 连续系统的特性线性特性：叠加原理、齐次性原理。
时不变特性：输入信号的延迟不会影响输出信号。
2.3 连续信号的运算叠加运算：两个连续信号的叠加仍然是连续信号。
齐次运算：连续信号的常数倍仍然是连续信号。
第三章：离散信号与系统3.1 离散信号的性质离散时间：自变量为离散的整数。
有限能量：能量信号的能量有限。
有限带宽：带宽有限的信号。
3.2 离散系统的特性线性特性：叠加原理、齐次性原理。
时不变特性：输入信号的延迟不会影响输出信号。
3.3 离散信号的运算叠加运算：两个离散信号的叠加仍然是离散信号。
齐次运算：离散信号的常数倍仍然是离散信号。
第四章：模拟信号与系统4.1 模拟信号的定义与特点定义：模拟信号是连续时间、连续幅度、连续频率的信号。
特点：连续性、模拟性、无限可再生性。
4.2 模拟系统的特性线性特性：叠加原理、齐次性原理。
时不变特性：输入信号的延迟不会影响输出信号。
4.3 模拟信号的处理方法模拟滤波器：根据频率特性对模拟信号进行滤波。
模拟调制：将信息信号与载波信号进行合成。
第五章：数字信号与系统5.1 数字信号的定义与特点定义：数字信号是离散时间、离散幅度、离散频率的信号。
特点：离散性、数字化、抗干扰性强。
5.2 数字系统的特性线性特性：叠加原理、齐次性原理。
时不变特性：输入信号的延迟不会影响输出信号。
信号系统与卷积
信号系统与卷积在不少程序员眼中，卷积这个数学概念是很神秘很难懂的。
由于其在数学、物理学、电子工程、信号处理、计算机科学中极为重要，所以我试图在本文中讲解卷积的概念，力求易读易懂，让尽可能多的人理解卷积。
前几天见到VC知识库论坛上有人提问：“卷积是什么意思？”，似乎女友也问过类似问题，所以我想很有必要澄清这个既基础又重要的卷积概念。
如果您已经对此非常了解，那完全可以忽略本文了。
本文的目标读者是那些见了卷积这两个字就头大，又迫于工作需要，必须弄懂的人。
我假设您已经通过了大学一年级的高数考试，但现在已经忘得差不多了J。
很多教科书一上来就会给出卷积的定义，接着就是一串推导、证明、例子，如果你不太适应这种方式，那本文可能会非常适合你。
卷积在信号处理领域中尤为常用，就以此慢慢引入卷积概念吧。
日常生活中到处都是信号系统，它们接受一定的输入后，会给出一定的输出：手机受到对方来电的信号就会响铃或震动；电脑接到一串按键信号，屏幕就会输出一串对应的字符；女友在收到男友送的一束玫瑰后也许会送上一个热吻……现在，我们把这些信号系统抽象成“黑匣子”，不管它的内部构造，而只关注它对输入的响应。
数学化一点儿，将一个给定的信号系统记为S，设输入信号为x(t)，输出信号为y(t)，t可以代表时间，也可以是其它什么。
那么：y(t) = S{ x(t) }就表示系统S将x(t)这个输入信号转化为输出信号y(t)。
太一般化的信号系统不容易研究，那就加入一些“合理的”限制条件。
S是连续（continuous）的，如果t可以连续变化；特别的，x(t)和y(t)都是定义在实数域上的函数。
物理世界中的信号系统大多是连续的。
S是离散（discrete）的，如果t只能取一些分立的值；特别的，x(t)和y(t) 都是定义在整数域上的函数。
离散的信号系统可以比较方便的被计算机分析处理。
S是线性（linear）的，如果对任意两个输入信号x1、x2和任意的常数c1和c2有：S{ c1x1(t) + c2x2(t) } = c1S{ x1(t) } + c2S{ x2(t) }拿超市作比喻，我跟女友去买2斤萝卜和3斤白菜，即c1=2，c2=3，x1是萝卜，x2是白菜。
信号与系统PPT课件
-2 o
2 t t → 0.5t 扩展
f (2 t ) 1
-1 o 1
t
f (0.5 t )
1
-4
o
4t
对于离散信号，由于 f (a k) 仅在为a k 为整数时才有意义， 进行尺 度变换时可能会使部分信号丢失。因此一般不作波形的尺度变换。
平移与反转相结合举例
例 已知f (t)如图所示，画出 f (2 – t)。 解答 法一：①先平移f (t) → f (t +2)
结论
由上面几例可看出： ①连续正弦信号一定是周期信号，而正弦序列不一定是 周期序列。 ②两连续周期信号之和不一定是周期信号，而两周期序 列之和一定是周期序列。
4．能量信号与功率信号
将信号f (t)施加于1Ω电阻上，它所消耗的瞬时功率为| f (t) |2， 在区间(–∞ , ∞)的能量和平均功率定义为
（1）信号的能量E （2）信号的功率P
def
E
f(t )2 d t
P
def
lim
T
1
T
T
2
T
f(t )2 d t
2
若信号f (t)的能量有界，即 E <∞ ,则称其为能量有限信号， 简称能量信号。此时 P = 0
若信号f (t)的功率有界，即 P <∞ ,则称其为功率有限信号， 简称功率信号。此时 E = ∞
解 （1）sin(3πk/4) 和cos(0.5πk)的数字角频率分别为 β1 = 3π/4 rad， β2 = 0.5π rad 由于2π/ β1 = 8/3， 2π/ β2 = 4为有理数，故它们的周期 分别为N1 = 8 ， N2 = 4，故f1(k) 为周期序列，其周期为 N1和N2的最小公倍数8。 （2）sin(2k) 的数字角频率为 β1 = 2 rad；由于2π/ β1 = π为无理数，故f2(k) = sin(2k)为非周期序列 。
信号与线性系统ppt课件
n
m
air(i)(t) bje(j)(t) an1 —n 阶常系数线性微分方程
i0
j0
*由以上例题可以得出如下结论：
1.求得的微分方程阶数与电路的阶数一致。 例2：含有4个储能元件，故为四阶电路。 例3：含有2个储能元件，故为二阶电路。
2.无论是电流i(t)或电压 u(t),他们的齐次方程相同。 说明同一系统的特征根相同，即自由频率是唯一的。
i2 (t)
L
R
电阻R的伏安关系： u（ 0 t）Ri2(t)
整理后得：
R u 0(t)
（ L 2 M 2 ） d 4 d i 1 ( 4 t ) t 2 R d 3 d i 1 ( 3 t L ) t ( R 2 2 C L ) d 2 d i 1 ( 2 t ) t 2 C R d 1 d ( t ) iC t 1 2 i 1 ( t ) Ld4 d e(4tt)Rd3 d e(3tt)C 1d2 d e(2tt)
（ L 2 M 2 ） d d 4 t u 4 0 2 R L d d 3 t u 3 0 ( R 2 2 C L ) d d 2 t u 2 0 2 C R d d u t 0 C 1 2 u 0 R M d d 3 e t ( 3 t )
举例3. 对图示电路，写出激励e(t)和响应r(t)间的微分方程。
二、常系数n 阶线性常微分方程的求解方法
微分方程求解
时域分析法
（经典法）
全响应= 齐次方程通解+非齐次方程特解 （自由响应）（受迫响应）
变换域法 （傅氏变换 拉普拉斯变换法）
全响应= 零输入响应+零状态响应 （解齐次方程）（叠加积分法）
卷积，杜阿美尔积分
1.时域分析法
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r(t) e u h t u t d
0 t 0
0 t
rt0tehtd
X
二、卷积的性质
一、代数性质 • 分配律
对于函数f1t,f2t,f3t,存在 f 1 t f 2 t f 3 t f 1 t f 2 t f 1 t f 3 t
根据卷积的定义
推论
ft t ft d ftd
f t
1 . f( t) ( t t0 ) f( t t0 )
2 . f ( t t 1 ) ( t t 2 ) f ( t t 1 t 2 )
X
二、卷积的性质
三、δ(t)的卷积特性 • δ(t)的微分和积分特性
微分特性
f(t) (t) f'(t) (t)
f 1 t f 2 t f 3 t f 1 f 2 t f 3 t d
f 1 f 2 t d f 1 f 3 t d
f 1 t f 2 t f 1 t f 3 t
X
二、卷积的性质
一、代数性质 • 分配律
对于函数f1t,f2t,f3t,存在
信号与系统
§2.6 卷积及其性质和计算
北京航空航天大学电子信息学院 2020/4/19
一、卷积的定义
卷积运算的定义为，对于函数x(t)和y(t) ，则
st xytd
称为函数 x(t)和y(t)的卷积积分，简称卷积。
通常表示为
stxtyt
或
stxtyt
X
一、利用卷积计算系统零状态响应
对于激励信号e(t)，根据信号的时间轴分解，可得
f 1 t f 2 t f 3 t f 1 t f 2 t f 1 t f 3 t
h1 t
e(t )
h2 t
r(t) 等效于
e(t )
r (t )
h3 t
h3 t h1 t h2 t
图2.6.1 卷积分配律的系统意义
X
二、卷积的性质
t
X
二、卷积的性质
注意函数的积分和微分并不是一个严格的可逆关系， 因为函数加上任意常数后的微分与原函数的微分是相 同的。因此，对于等式
f 1 t f 2 t f 1 't f 2 ( 1 )t
必须加上一个前提条件，就是
f1t
t df1d
d
X
二、卷积的性质
三、δ(t)的卷积特性 • 任意信号f(t)与δ(t)的卷积等于该信号f(t) 。
由卷积定义，
st f1f2td
两端对t微分，得到
s'
t
d dt
f1
f2
t
d
f1
d dt
f2 t d
X
二、卷积的性质
s'
t
d dt
f1
f2td源自f1d dtf2 t d
f1tf2't
利用卷积的交换律，可得
s' t
d dt
f1
f2
t
d
d
dt
f1 t
f2
d
d dt
f1 t
f2 d
f1'tf2t
e(t)
h1 t
h2 t
r(t)
e(t)
等效于
h2 t
r (t )
h1 t
图2.6.2 卷积交换律的系统意义
X
二、卷积的性质
一、代数性质
• 结合律
对于函数f1t,f2t,f3t,存在
f 1 t f 2 t f 3 t f 1 t f 2 t f 3 t
f'(t)
积分特性
f(t)1(t)f1(t)(t)
f1(t)
t
f ( )d
Q1(t)ut
t
f(t)u(t)
f()d
X
三、卷积的计算
根据卷积的定义，卷积计算是由若干基本的信号运算组成的， 对于
st f1f2td
第一步 反褶：将 f1 t 反褶运算，得到 f1
第二步 时移：对 f2 作时移运算，时移量为t，得到 f2 t
根据卷积的定义
f 1 t f 2 t f 3 t f 1 k f 2 k d k f 3 t d
令 w k f1 k f2 w f3 t k w d w d k
令 stf2t f3t f1kstkdk
f1tst
f 1 t f 2 t f 3 t f 1 t f 2 t f 3 t
X
二、卷积的性质
一、代数性质 • 结合律
对于函数f1t,f2t,f3t,存在
f 1 t f 2 t f 3 t f 1 t f 2 t f 3 t
一、代数性质
• 交换律
对于函数 f1t, f2t, 存在
f1 t f2 t f2 t f1 t
根据卷积的定义
f1t f2t f1f2t d
令 kt
f1
tkf2
kdk
f2kf1tkdk
f2tf1t
X
二、卷积的性质
一、代数性质 • 交换律
对于函数 f1t, f2t, 存在
f1 t f2 t f2 t f1 t
e(t)
h1 t
h2 t
r(t)
e(t )
h3 t
等效于
r (t )
h3 t h1 t h2 t
图2.6.3 卷积结合律的系统意义
X
二、卷积的性质
二、微积分性质
• 微分性质
两个函数卷积的微分，等于两个函数中任一函数的微 分与另一函数的卷积，即
s't f1tf2't
f1'tf2t
e(t) e()(t)d
将其激励一个线性时不变系统，则所得系统零状态响应为
r(t)Het
H e t 表示 激励系统的零状态响应
H etd eHtd
ehtd
卷积的物理意义！
X
一、利用卷积计算系统零状态响应
实际应用中，系统多为因果系统，且将激励作用于系统 的时间作为0时刻，即
etetut
hthtut
X
二、卷积的性质
二、微积分性质
• 积分性质
两个函数卷积的积分，等于两个函数中任一函数的积 分与另一函数的卷积，即
s(1)t f1 t f2(1)t
f (1) 1
tf2 t
将卷积的微分性质和积分性质加以推广，可以得到
s
t
nm
f (n) 1
t
f2(m)
t
f (m) 1
t
f2(n)
第三步 相乘：将 f1 与 f2 t 相乘，得到 f1f2t 第四步 积分：对f1f2t进行积分运算，得到t时刻卷积。
X
三、卷积的计算
对于两个存在区间分别[x1, x2]为和 [y1, y2] 的函数进行卷 积运算，所得结果的存在区间为 [x1+y1, x2+ y2] 。