九年级数学下册《解直角三角形》典型例题(含答案)
九年级数学下册《第二十八章 解直角三角形及其应用》练习题附答案解析-人教版
九年级数学下册《第二十八章解直角三角形及其应用》练习题附答案解析-人教版班级:___________姓名：___________考号：____________一、单选题1．图，在Rt△ABC中△ACB=90°，CE是斜边AB上的中线，过点E作EF⊥AB交AC于点F，若BC=4，sin△CEF= 3，则△AEF的面积为（）5A．3B．4C．5D．62．小丽在小华北偏东40°的方向，则小华在小丽的（）A．南偏西50°B．北偏西50°C．南偏西40°D．北偏西40°3．如图，小明在距离地面30米的P处测得A处的俯角为15︒，B处的心角为60︒，若斜面坡度为，则斜面AB的长是（）米．A．B．C．D．4．如图，某渔船正在海上P处捕鱼，先向北偏东30°的方向航行10km到A处．然后右转40°再航行到B处，在点A的正南方向，点P的正东方向的C处有一条船，也计划驶往B处，那么它的航向是（）A ．北偏东20°B ．北偏东30°C ．北偏东35°D ．北偏东40°5．如图，某建筑物的顶部有一块宣传牌CD ．小明在山坡的坡脚A 处测得宣传牌底部D 的仰角为60°，沿山坡向上走到B 处测得宣传牌顶部C 的仰角为45°，已知斜坡AB 的坡角为30°，10AB =米，15AE =米，则宣传牌CD 的高度是（ ）米A ．20-B ．20+C ．15+D ．56．如图，已知正六边形ABCDEF 内接于半径为r 的O ，随机地往O 内投一粒米，落在正六边形内的概率为（ ）A B C D ．以上答案都不对7．如图，小明利用标杆BE 测量建筑物DC 的高度，已知标杆BE 的长为1.2米，测得AB =85米，BC ＝425米，则楼高CD 是（ ）A ．6.3米B ．7.5米C ．8米D ．68．如图，点E 是⊥ABCD 的边AB 上一点，过点E 作EF ∥BC ，交CD 于F ，点P 为EF 上一点，连接PB 、PD ．下列说法不正确的是（ ）A ．若⊥ABP ＝⊥CDP ，则点P 在⊥ABCD 的对角线BD 上B ．若AE ：EB ＝2：3，EP ：PF ＝1：2，则S △BEP ：S △DFP ＝3：4C ．若S △BEP ＝S △DFP ，则点P 在AC 上D ．若点P 在BD 上，则S △BEP ＝S △DFP9．如图，一棵大树被台风拦腰刮断，树根A 到刮断点P 的距离是4米，折断部分PB 与地面成40︒的夹角，那么原来这棵树的高度是（ ）A ．44cos 40+︒⎛⎫ ⎪⎝⎭米B ．44sin 40+︒⎛⎫ ⎪⎝⎭米C ．()44sin 40+︒米D ．()44tan 40+︒米10．如图，等腰Rt △ABC 中⊥A =90°，AB =AC ，BD 为△ABC 的角平分线，若2CD =，则AB 的长为（ ）A．3 B ．2 C ．4 D 2+二、填空题11．在Rt ABC 中90C ∠=︒，有一个锐角为60︒，6AB =若点P 在直线．．AB 上（不与点A ，B 重合），且30PCB ∠=︒，则AP 的长为_______．12．如图，将扇形AOB 沿OB 方向平移，使点O 移到OB 的中点O '处，得到扇形A O B '''．若⊥O ＝90°，OA ＝2，则阴影部分的面积为______．13．如图，在一次数学实践活动中小明同学要测量一座与地面垂直的古塔AB 的高度，他从古塔底部点处前行30m 到达斜坡CE 的底部点C 处，然后沿斜坡CE 前行20m 到达最佳测量点D 处，在点D 处测得塔顶A的仰角为30︒，已知斜坡的斜面坡度i =A ，B ，C ，D ，在同一平面内，小明同学测得古塔AB 的高度是___________．14．如图，在直角坐标系中点A 的坐标为（0，点B 为x 轴的正半轴上一动点，作直线AB ，⊥ABO 与⊥ABC 关于直线AB 对称，点D ，E 分别为AO ，AB 的中点，连接DE 并延长交BC 所在直线于点F ，连接CE ，当⊥CEF 为直角时，则直线AB 的函数表达式为__．15．如图，平行四边形OABC 的顶点O 是坐标原点，A 在x 轴的正半轴上，B ，C 在第一象限，反比例函数1y x =的图象经过点C ，()0k y k x=≠的图象经过点B ．若OC AC =，则k =________．16．在⊥ABC 中AB =6AC =且45B ∠=，则BC =______________．17．如图，大坝横截面的迎水坡AB 的坡比为1：2，（即BC ：AC=1：2），若坡面AB 的水平宽度AC 为12米，则斜坡AB 的长为________米．18．如图，等边ABC 中115,125AOB BOC ∠=︒∠=︒，则以线段,,OA OB OC 为边构成的三角形的各角的度数分别为______________________________．三、解答题19．实验学校某班开展数学“综合与实践”测量活动．有两座垂直于水平地面且高度不一的圆柱，两座圆柱后面有一斜坡，且圆柱底部到坡脚水平线MN 的距离皆为100cm ．王诗嬑观测到高度90cm 矮圆柱的影子落在地面上，其长为72cm ；而高圆柱的部分影子落在坡上，如图所示．已知落在地面上的影子皆与坡脚水平线MN 互相垂直，并视太阳光为平行光，测得斜坡坡度1:0.75i =，在不计圆柱厚度与影子宽度的情况下，请解答下列问题：（1）若王诗嬑的身高为150cm ，且此刻她的影子完全落在地面上，则影子长为多少cm ？（2）猜想：此刻高圆柱和它的影子与斜坡的某个横截面一定同在一个垂直于地面的平面内．请直接回答这个猜想是否正确？（3）若同一时间量得高圆柱落在坡面上的影子长为100cm ，则高圆柱的高度为多少cm ？20．八年级二班学生到某劳动教育实践基地开展实践活动，当天，他们先从基地门口A 处向正北方向走了450米，到达菜园B 处锄草，再从B 处沿正西方向到达果园C 处采摘水果，再向南偏东37°方向走了300米，到达手工坊D 处进行手工制作，最后从D 处回到门口A 处，手工坊在基地门口北偏西65°方向上．求菜园与果园之间的距离．（结果保留整数）参考数据：sin65°≈ 0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14，sin37°≈ 0.60，cos37°≈ 0.80，tan37°≈0.7521．如图是某水库大坝的横截面，坝高20m CD =，背水坡BC 的坡度为11:1i =．为了对水库大坝进行升级加固，降低背水坡的倾斜程度，设计人员准备把背水坡的坡度改为2i =求背水坡新起点A 与原起点B之间的距离． 1.41 1.73≈结果精确到0.1m ）参考答案与解析1．C【分析】连接BF ，由已知CE AE BE ==得到A FBA ACE ==∠∠∠，再得出CEF ∠与CBF ∠的关系，由三角函数关系求得CF 、BF 的值，通过BF AF =，用三角形面积公式计算即可．【详解】解：连接BF⊥CE 是斜边AB 上的中线 ⊥12CE AE BE AB ===（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）⊥A FBA ACE ==∠∠∠又⊥90BCA BEF ==︒∠∠在⊥ABC 中180902CBF ACB A ABF A =︒-∠-∠-∠=︒-∠∠在⊥AEC 中180902CEF AEF A ACE A =︒-∠-∠-∠=︒-∠∠⊥CEF CBF ∠=∠3sin sin 5CBF CEF ∴∠=∠=4BC =，设3,5CF x BF x ==则222BC CF BF +=，即()()222435x x +=解得1x =（负值舍掉）3,5CF BF ∴== ⊥EF 是AB 的垂直平分线， ⊥5BF AF ==11·541022AFB S AF BC ∴==⨯⨯=△ 152AEF ABF S S ∴==△△故选：C ．【点睛】本题综合考查了垂直平分线的性质、直角三角形和等腰三角形的性质、勾股定理及三角函数等相关知识，熟练利用相关定理和性质进行计算是解决本题的关键．2．C【分析】画出示意图，确定好小丽和小华的的方向和位置即可．【详解】解：如图所示，当小丽在小华北偏东40°的方向时，则小华在小丽的南偏西40°的方向．故选：C【点睛】本题考查了方位角的知识点，确定好物体的方向和位置是解题的关键．3．B【分析】过点A 作AF BC ⊥于点F ，根据三角函数的定义得到30ABF ∠=︒，根据已知条件得到3045HPB APB ∠∠=︒=︒，求得60HBP ∠=︒，解直角三角形即可得到结论．【详解】如图所示：过点A 作AF BC ⊥于点F斜面坡度为AF tan ABF BF ∠∴=== 30ABF ∠∴=︒在P 处进行观测，测得山坡上A 处的俯角为15︒，山脚B 处的俯角为60︒3045HPB APB ∠∠∴=︒=︒，60HBP ∠∴=︒9045PBA BAP ∠∠∴=︒=︒，PB AB ∴=303060PH PH m sin PB PB =︒===，解得：)PB m =故AB =故选：B ．【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解直角三角形的应用-坡度坡角问题，正确得出PB AB =是解题关键．4．C【分析】连接BC ，由锐角三角函数定义得AC A = km ，则AC =AB ，再由等腰三角形的性质得⊥ACB =⊥ABC =35°，即可得出结论．【详解】解：如图，连接BC由题意得：⊥ACP =⊥ACD =90°，⊥P AC =30°，P A =10km ，⊥BAE =40°，AB =⊥⊥BAC =180°—⊥P AC —⊥BAE =180°—30°—40°=110°⊥cos⊥P AC =ACPA =cos30°=⊥AC =P A =×10= km⊥AC =AB⊥⊥ACB =⊥ABC =12×（180°—⊥BAC ）=12×（180°—110°）=35°即B 处在C 处的北偏东35°方向故选：C ．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用—方向角问题，等腰三角形的性质，锐角三角函数定义等知识，由锐角三角函数定义求出AC 的长是解题的关键．5．A【分析】过点B 分别作AE 、DE 的垂线，垂足分别为G 、F ，在Rt ⊥ABG 中由已知可求得BG 、AG 的长，从而可易得EF 及EG 、BF 的长度，由等腰直角三角形的性质可得CF 的长度，在Rt ⊥DAE 中由正切函数关系可求得DE 的长度，从而可求得CD 的长度．【详解】过点B 分别作AE 、DE 的垂线，垂足分别为G 、F ，如图在Rt ⊥ABG 中⊥BAG =30゜⊥152BG AB ==米，cos3010AG AB =︒==⊥15)EG AG AE =+=米⊥BG ⊥AE ，BF ⊥ED ，AE ⊥ED⊥四边形BGEF 是矩形⊥EF =BG =5米，15)BF EG ==米⊥⊥CBF =45゜，BF ⊥ED⊥⊥BCF =⊥CBF =45゜⊥15)CF BF ==米在Rt ⊥DAE 中⊥DAE =60゜，AE =15米⊥tan DE AE DAE =∠=米)⊥155(20CD CF EF DE =+-=+-=-米故选：A【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用，理解坡角、仰角的含义，构造辅助线得到直角三角形是解题的关键．6．A【分析】连接OB ，过点O 作OH ⊥AB 于点H ，由正六边形的特点可证得⊥OAB 是等边三角形，由特殊角的三角函数值可求出OH 的长，利用三角形的面积公式即可求出⊥OAB 的面积，进而可得出正六边形ABCDEF 的面积，即可得出结果．【详解】解：如图：连接OB ，过点O 作OH ⊥AB 于点H⊥六边形ABCDEF 是正六边形⊥⊥AOB =60°⊥OA =OB =r⊥⊥OAB 是等边三角形⊥AB =OA =OB =r ，⊥OAB =60°在Rt OAH △中sin OH OA OAB r =⋅∠==⊥21122OAB S AB OH r =⋅==△⊥正六边形的面积226== ⊥⊥O 的面积=πr 2⊥米粒落在正六边形内的概率为：222rπ 故选：A ．【点睛】本题考查了正多边形和圆、正六边形的性质、等边三角形的判定与性质、解直角三角形；熟练掌握正六边形的性质，通过作辅助线求出⊥OAB 的面积是解决问题的关键．7．B【分析】先判断出⊥ABE ⊥⊥ACD ，再根据相似三角形对应边成比例解答．【详解】⊥AB =85，BC ＝425 ⊥AC =AB +BC =10⊥BE ⊥AC ，CD ⊥AC⊥BE ⊥CD⊥AB ：AC =BE ：CD ⊥85：10=1.2：CD⊥CD =7.5米．故选：B ．【点睛】本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求出建筑物的高度，体现了方程的思想．8．D【分析】根据平行四边形的性质和判定进行判断即可．【详解】解：A 、若⊥ABP ＝⊥CDP ，则点P 在⊥ABCD 的对角线BD 上，说法正确；B 、若AE ：EB ＝2：3，EP ：PF ＝1：2则S △BEP ：S △DFP ＝3：4，说法正确；C 、过点P 作GH AB ∥，分别交AD ，BC 于G ，H⊥GH AB ∥ GA HB ∥⊥四边形ABHG 是平行四边形同理：四边形CDGH 、四边形BHPE ，四边形DGPE 都是平行四边形 ⊥12BEP BHPE S S =△ 12DFP DGPF S S =△又BEP DFP S S =△△⊥BEPH DGPF SS = ⊥ABHG ADFE S S =同理：BCFE CDGH S S =⊥点P 在AC 上，C 说法正确；D 、若点P 在BD 上，不能得出EP ＝PF ，所以S △BEP 不一定等于S △DFP ，说法错误；故选：D ．【点睛】此题考查平行四边形的判定和性质，掌握平行四边形的性质是解题的关键．9．B【分析】通过解直角三角形即可求得．【详解】解：在Rt ABP △中4==sin sin 40AP BP ABP ∠︒ 故原来这棵树的高度为：4=4sin 40AP BP ⎛⎫++ ⎪︒⎝⎭(米) 故选：B ．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握和运用解直角三角形的方法是解决本题的关键．10．D【分析】过点D 作DE ⊥BC 于点E ，设AB =AC =x ，则AD =x -2，根据等腰Rt △ABC 中90,A AB AC ∠=︒= 得到⊥C =45°，根据BD 为△ABC 的角平分线，⊥A =90°，DE ⊥BC ，推出DE =AD =x -2，运用⊥C 的正弦即可求得．【详解】解：过点D 作DE ⊥BC 于点E ，则⊥DEB =⊥DEC =90°设AB =AC =x ，则AD =x -2⊥等腰Rt △ABC 中，⊥A =90°，AB =AC ，⊥⊥C =（180°-⊥A ）=45°⊥BD 为△ABC 的角平分线⊥DE =AD =x -2⊥sin sin 452DE C CD ︒===⊥22x -⊥2x ，即2AB =．故选D ．【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形，角平分线，解直角三角形，熟练掌握等腰直角三角形的性质，角平分线的性质，正弦的定义和45°的正弦值，是解决问题的关键．11．92或9或3 【分析】分⊥ABC =60、⊥ABC =30°两种情况，利用数形结合的方法，分别求解即可．【详解】解：当⊥ABC =60°时，则⊥BAC =30°⊥132BC AB ==⊥AC ==当点P 在线段AB 上时，如图⊥30PCB ∠=︒⊥⊥BPC =90°，即PC ⊥AB⊥9cos 2AP AC BAC =⋅∠==；当点P 在AB 的延长线上时⊥30PCB ∠=︒，⊥PBC =⊥PCB +⊥CPB⊥⊥CPB =30°⊥⊥CPB =⊥PCB⊥PB =BC =3⊥AP =AB +PB =9；当⊥ABC =30°时，则⊥BAC =60°，如图⊥132AC AB ==⊥30PCB ∠=︒⊥⊥APC =60°⊥⊥ACP =60°⊥⊥APC =⊥P AC =⊥ACP⊥⊥APC 为等边三角形⊥P A =AC =3．综上所述，AP 的长为92或9或3． 故答案为：92或9或3 【点睛】本题是解直角三角形综合题，主要考查了含30度角的直角三角形、解直角三角形，等边三角形的判定和性质等，分类求解是本题解题的关键．12．3π【分析】设A O '与扇形AOB 交于点C ，连接OC ，解Rt OCO '，求得60O C COB '=∠=︒，根据阴影部分的面积为()OCO A O B OCB S S S ''''--扇形扇形，即可求解．【详解】如图，设A O '与扇形AOB 交于点C ，连接OC ，如图O '是OB 的中点11122OO OB OA '∴===, OA ＝2 AOB ∠＝90°，将扇形AOB 沿OB 方向平移90A O O ''∴∠=︒1cos 2OO COB OC '∴∠== 60COB ∴∠=︒sin 60O C OC '∴=︒=∴阴影部分的面积为()OCO A O B OCB S S S''''--扇形扇形 OCO AOB OCB S S S ''=-+扇形扇形22906012213603602ππ=⨯-⨯+⨯3π=故答案为：3π+【点睛】本题考查了解直角三角形，求扇形面积，平移的性质，求得60COB ∠=︒是解题的关键．13．(20m +【分析】过D 作DF ⊥BC 于F ，DH ⊥AB 于H ，设DF =x m ，CF m ，求出x =10，则BH =DF =，CF =，DH =BF ，再求出AH DH ，即可求解． 【详解】解：过D 作DF ⊥BC 于F ，DH ⊥AB 于H⊥DH =BF ，BH =DF⊥斜坡的斜面坡度i =1⊥:DF CF =设DF =x m ，CFm⊥CD 220x ==⊥x =10⊥BH =DF =10m ，CF =⊥DH =BF =（m ）⊥⊥ADH =30°⊥AH 10=+m ） ⊥AB =AH +BH =20103（m ）故答案为：(20m +【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题、坡角坡度问题，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．14．y【分析】证明⊥ABO ⊥⊥ABC ，于是可知⊥CBA =⊥ABO =30°，得出OB =3即可求出直线AB 的函数表达式．【详解】解：⊥⊥ABO 与⊥ABC 关于直线AB 对称⊥⊥ACB ＝⊥AOB ＝90°⊥点E 是AB 的中点⊥CE ＝BE =EA⊥⊥EAC ＝⊥ECA⊥⊥ECA +⊥ECF ＝90°，⊥ECF +⊥CFE ＝90°⊥⊥CFE ＝⊥BAC而点D ，E 分别为AO ，AB 的中点⊥DF ∥OB⊥⊥CFE ＝⊥CBO ＝2⊥CBA ＝2⊥ABO⊥⊥ABO 与⊥ABC 关于直线AB 对称⊥⊥ABO ⊥⊥ABC⊥⊥OAB ＝⊥CAB ＝2⊥ABO⊥⊥ABO ＝30°而点A 的坐标为（0，即OAAB ∴=⊥OB =3即点B 的坐标为（3，0）于是可设直线AB 的函数表达式为y ＝kx +b ，代入A 、B 两点坐标得30b k b ⎧=⎪⎨+=⎪⎩解得kb故答案为y【点睛】本题考查的是三角形的全等，并考查了用待定系数法求函数解析式，找到两个已知点的坐标是解决本题的关键．15．3【分析】过点C 作CD ⊥OA 于D ，过点B 作BE ⊥x 轴于E ，先证四边形CDEB 为矩形，得出CD =BE ，再证Rt △COD ⊥Rt △BAE （HL ），根据S 平行四边形OCBA =4S △OCD =2，再求S △OBA =112OCBA S =平行四边形即可． 【详解】解：过点C 作CD ⊥OA 于D ，过点B 作BE ⊥x 轴于E⊥CD ⊥BE⊥四边形ABCO 为平行四边形⊥CB OA ∥ ，即CB DE ∥，OC =AB⊥四边形CDEB 为平行四边形⊥CD ⊥OA⊥四边形CDEB 为矩形⊥CD =BE⊥在Rt △COD 和Rt △BAE 中OC AB CD EB =⎧⎨=⎩⊥Rt △COD ⊥Rt △BAE （HL ）⊥S △OCD =S △ABE⊥OC =AC ，CD ⊥OA⊥OD =AD⊥反比例函数1yx=的图象经过点C⊥S△OCD=S△CAD=12⊥S平行四边形OCBA=4S△OCD=2⊥S△OBA=11 2OCBAS=平行四边形⊥S△OBE=S△OBA+S△ABE=13 122 +=⊥3232k=⨯=．故答案为3．【点睛】本题考查反比例函数k的几何意义，平行四边形的性质与判定，矩形的判定与性质，三角形全等判定与性质，掌握反比例函数k的几何意义，平行四边形的性质与判定，矩形的判定与性质，三角形全等判定与性质．16．3或3【分析】画出图形，分⊥ABC为锐角三角形和钝角三角形两种情况讨论即可．【详解】解：情况一：当⊥ABC为锐角三角形时，如图1所示：过A点作AH⊥BC于H⊥⊥B=45°⊥⊥ABH为等腰直角三角形⊥363322ABAH BH在Rt⊥ACH中由勾股定理可知：2236273CH AC AH⊥333BC BH CH．情况二：当⊥ABC为钝角三角形时，如图2所示：由情况一知：363322ABAH BH2236273CH AC AH⊥333BC BH CH ．故答案为：3或3．【点睛】本题考察了等腰直角三角形的性质及勾股定理的应用，本题的关键是能将⊥ABC 分成锐角三角形或钝角三角形分类讨论．17．【分析】根据坡面AB 的坡比以及AC 的值，求出BC ，再利用勾股定理即可求出斜面AB 的长．【详解】解：⊥大坝横截面的迎水坡AB 的坡比为1：2，AC=12米⊥1212BC BC AC == ⊥BC=6⊥AB =故答案为：【点睛】本题主要考查学生对坡度坡角的掌握及三角函数的运用能力，能根据坡度求出BC 是解题关键． 18．55°，60°，65°．【分析】通过旋转AOB 至CDB △，可得BOD 是等边三角形，将,,OA OB OC 放在一个三角形中进而求出各角大小。
解直角三角形实际问题 (含答案)
解直角三角形实际问题1.如图,大楼AB右侧有一障碍物,在障碍物的旁边有一幢小楼DE,在小楼的顶端D处测得障碍物边缘点C的俯角为30°,测得大楼顶端A的仰角为45°（点B，C，E在同一水平直线上），已知AB=80m,DE=10m,求障碍物B，C两点间的距离（结果精确到0.1m）（参考数据：≈1.414，≈1.732）2.为方便市民通行，某广场计划对坡角为30°,坡长为60米的斜坡AB进行改造,在斜坡中点D处挖去部分坡体（阴影表示）,修建一个平行于水平线CA的平台DE和一条新的斜坡BE．（1）若修建的斜坡BE的坡角为36°,则平台DE的长约为多少米？（2）在距离坡角A点27米远的G处是商场主楼,小明在D点测得主楼顶部H的仰角为30°，那么主楼GH高约为多少米？（结果取整数,参考数据：sin36°=0.6,cos36°=0.8,tan36°=0.7， =1.7）3.如图,某中学数学活动小组在学习了“利用三角函数测高”后.选定测量小河对岸一幢建筑物BC的高度.他们先在斜坡上的D处,测得建筑物顶的仰角为30°.且D离地面的高度DE=5m.坡底EA=10m,然后在A处测得建筑物顶B 的仰角是50°,点E,A,C在同一水平线上,求建筑物BC的高．（结果保留整数）4.如图,在小山的西侧A处有一热气球,以25米/分钟的速度沿着与垂直方向所成夹角为15°的方向升空,40分钟后到达B处,这时热气球上的人发现,在A处的正东方向有一处着火点C,在B处测得着火点C的俯角为30°,求热气球升空点A与着火点C的距离.（结果保留根号）5.如图，水库大坝的横断面为四边形ABCD,其中AD∥BC,坝顶BC=10米,坝高20米,斜坡AB的坡度i=1:2.5,斜坡CD的坡角为30°．（1）求坝底AD的长度（结果精确到1米）；（2）若坝长100米，求建筑这个大坝需要的土石料（参考数据：）6.某中学广场上有旗杆如图①所示，在学习解直角三角形以后，数学兴趣小组测量了旗杆的高度.如图②，某一时刻，旗杆AB的影子一部分落在平台上，另一部分落在斜坡上，测得落在平台上的影长BC为4米，落在斜坡上的影长CD为3米，AB⊥BC，同一时刻，光线与水平面的夹角为72°，1米的竖立标杆PQ在斜坡上的影长QR 为2米，求旗杆的高度(结果精确到0.1米，参考数据：sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，tan72°≈3.08).7.为缓解“停车难”的问题，某单位拟建造地下停车库，建筑设计师提供了该地下车库的设计示意图（如图），按规定，地下车库坡道口上方要张贴限高标志，以便高职停车人车辆能否安全驶入.（1）图中线段CD 填“是”或“不是”）表示限高的线段，如果不是，请在图中画出表示限高的线段；（2）一辆长×宽×高位3916×1650×1465（单位：mm）的轿车欲进入车库停车，请通过计算，判断该汽车能否进入该车库停车？（本小问中3取1.7，精确到0.1）8.如图，在一次数学室外活动课上，小明和小红合作一副三角板来测量学校旗杆高度．已知小明的眼睛与地面的距离（AB）是1.7m，他调整自己的位置，设法使得三角板的一条直角边保持水平，且斜边与旗杆顶端M在同一条直线上，测得旗杆顶端M仰角为45°；小红的眼睛与地面的距离（CD）是1.5m，用同样的方法测得旗杆顶端M 的仰角为30°，两人相距28米且位于旗杆两侧（点B、N、D在同一条直线上）．请求出旗杆MN的高度．（参考数据：≈1.4，，1.7，结果保留整数．）9.钓鱼岛及其附属岛屿是中国固有领土（如图1），A、B、C分别是钓鱼岛、南小岛、黄尾屿上的点（如图2），点C在点A的北偏东47°方向，点B在点A的南偏东79°方向，且A、B两点的距离约为5.5km；同时，点B在点C的南偏西36°方向．若一艘中国渔船以30km/h的速度从点A驶向点C捕鱼，需要多长时间到达（结果保留小数点后两位）？（参考数据：sin54°≈0.81，cos54°≈0.59，tan47°≈1.07，tan36°≈0.73，tan11°≈0.19）10.如图1，某超市从底楼到二楼有一自动扶梯，图2是侧面示意图．已知自动扶梯AB的坡度为1：2.4，AB的长度是13米，MN是二楼楼顶，MN∥PQ，C是MN上处在自动扶梯顶端B点正上方的一点，BC⊥MN，在自动扶梯底端A处测得C点的仰角为42°，求二楼的层高BC（精确到0.1米）．（参考数据：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90）如图1，某超市从底楼到二楼有一自动扶梯，图2是侧面示意图．已知自动扶梯AB的坡度为1：2.4，AB的长度是13米，MN是二楼楼顶，MN∥PQ，C是MN上处在自动扶梯顶端B点正上方的一点，BC⊥MN，在自动扶梯底端A处测得C点的仰角为42°，求二楼的层高BC（精确到0.1米）．（参考数据：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90）答案1.解：如图，过点D作DF⊥AB于点F，过点C作CH⊥DF于点H．则DE=BF=CH=10m，在直角△ADF中，∵AF=80m﹣10m=70m，∠ADF=45°，∴DF=AF=70m．在直角△CDE中，∵DE=10m，∠DCE=30°，∴CE===10（m），∴BC=BE﹣CE=70﹣10≈70﹣17.32≈52.7（m）．答：障碍物B，C两点间的距离约为52.7m．2.解：（1）∵修建的斜坡BE的坡角（即∠BEF）为36°，∴∠BEF=36°，∵∠DAC=∠BDF=30°，AD=BD=30，∴BF=0.5BD=15，DF=15≈25.98，EF==≈21.43故：DE=DF﹣EF=4（米）；（2）过点D作DP⊥AC，垂足为P．在Rt△DPA中，DP=0.5AD=0.5×30=15，PA=AD•cos30°=×30=15，在矩形DPGM中，MG=DP=15，DM=PG=15+27，在Rt△DMH中，HM=DM•tan30°=×（15+27）=15+9，GH=HM+MG=15+15+9≈45米．答：建筑物GH高约为45米．3.解：过点D作DM⊥BC于点M，DN⊥AC于点N，如图所示：则四边形DMCN是矩形，DH=EC，DE=HC，设建筑物BC的高度为xm，则BH=（x﹣5）m，在Rt△DHB中，∠BDH=30°，∴DH=（x﹣5），AC=EC﹣EA=（x﹣5）﹣10，在Rt△ACB中，∠BAC=50°，tan∠BAC=，∴x=tan50°•[（x﹣5）]，解得：x≈21，答：建筑物BC的高约为21m．4.解：作AD⊥BC垂足为D，AB=40×25=1000，∵BE∥AC，∴∠C=∠EBC=30°，∠ABD=90°﹣30°﹣15°=45°，在Rt△ABD中，sin∠ABD=，AD=ABsin∠ABD=1000×sin45°=1000×=500，AC=2AD=1000，答：热气球升空点A与着火点C的距离是1000米．5.解：（1）作BE⊥AD于E，CF⊥AD于F，则四边形BEFC是矩形，∴EF=BC=10米，∵BE=20米，斜坡AB的坡度i=1：2.5，∴AE=50米，∵CF=20米，斜坡CD的坡角为30°，∴DF==20≈35米，∴AD=AE+EF+FD=95米；（2）建筑这个大坝需要的土石料：×（95+10）×20×100=105000米3．6.解：7.解：8.解：过点A作AE⊥MN于E，过点C作CF⊥MN于F，则EF=AB﹣CD=1.7﹣1.5=0.2（m），在Rt△AEM中，∵∠AEM=90°，∠MAE=45°，∴AE=ME．设AE=ME=xm，则MF=（x+0.2）m，FC=（28﹣x）m．在Rt△MFC中，∵∠MFC=90°，∠MCF=30°，∴MF=CF•tan∠MCF，∴x+0.2=（28﹣x），解得x≈9.7，∴MN=ME+EN=9.7+1.7≈11米．答：旗杆MN的高度约为11米．9.10.。
九年级数学(下)第一章解直角三角形测验卷(含答案)
第一章 解直角三角形（一）班级 姓名 学号一、选择题（每小题3分，共30分。
）1.（2013·天津中考）tan 60︒ 的值等于（ ）A.1B.2C.3D.2 2.（2013·重庆中考）计算6tan 452cos 60︒-︒ 的结果是( ) A.43 B.4C.53D.53.（2013·浙江温州中考）如图，在ABC △中，90,5,3,∠C AB BC =︒== 则sin A 的值是( ) A.34B.34C.35D.454.在ABC △中，90C =︒∠，如果2,1AB BC ==，那么sin A 的值是( ) A.21 B.55C.33 D.23 5.在ABC △中，90C =︒∠，5,3,AB BC ==则sin B = ( )A. 34B. 53 C. 43 D. 456.已知在Rt ABC △中，390sin 5C A ∠==°，，则tan B 的值为（ ） A.43 B.45C.54D.347.如图，一个小球由地面沿着坡度12∶i =的坡面向上前进了10 m ，此时小球距离地面的高度为( )A.5 mB.25 mC.45 mD.310m 8.已知直角三角形两直角边长之和为7，面积为6，则斜边长为（ ）阶段性学业评价试卷九年级(下)数学 第7题图第3题图ACBA. 5B.37C. 7D. 389.如图，已知：45°＜∠A ＜90°，则下列各式成立的是( ) A.sin cos A A = B.sin cos A>A C.sin tan A>AD.sin cos A<A10.如图，在菱形ABCD 中，⊥DE AB ，3cos 5A =，2BE =，则tan ∠DBE 的值是( ) A ．12B ．2C ．52 D ．55二、填空题（每题3分，共24分）11.（2013·广东中考）在Rt △ABC 中， 90,3,4=︒==ABC AB BC ∠，则sin A =______. 12.（2013·陕西中考）比较大小：8cos 31︒35.（填“＞”“=”或“＜”）13.如图，小兰想测量南塔的高度，她在A 处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往塔的方向前进50 m 至B 处，测得仰角为60°，那么塔高约为 _________ m.（小兰身高忽略不计，31732.≈）14.已知等腰三角形的腰长为2，腰上的高为1，则它的底角等于________．15.大坝的横断面是梯形，坝内斜坡的坡度，坝外斜坡的坡度，则两个坡角的和为 ．16.如图，△ABC 的顶点都在方格纸的格点上，则sin A =_ ．17.如图，在四边形ABCD 中，609069=︒==︒==A B D BC ,CD ∠,∠∠,,则AB =__________. 18.如图，在△ABC 中，已知324530,∠,∠AB B C ==︒=︒，则AC =________． 三、解答题 （本题共有7小题，共46分）ABC第9题图ACB第18题19．（5分）计算：(1)()42460sin 45cos 22+- ； （2）2330tan 3)2(0-+--.20．（5分）在Rt △ABC 中，∠C ＝900，若12sin 13A =,求cosA, sinB, cosB.21．（6分）等腰梯形的一个底角的余弦值是223，腰长是6，上底是22求下底及面积22．（6分）某工程队修建一条高速公路,在某座山处要打通一条东西走向的隧道AB(如图),为了预算造价,应测出隧道AB 的长,为此,在A 的正南方向1500米的C 处,测得∠ACB=620,求隧道AB 的长.(精确到1米,供选用的数:sin620=0.8829,cos620=0.4695,tan620=1.881,cot620=0.5317)23．（6分）已知tanA=2，求AA AA cos 5sin 4cos sin 2+-的值。
人教版九年级数学下册《解直角三角形》同步作业(含答案)
图28-3练习9 解直角三角形一、自主学习1.如图28-3所示，Rt △ABC 中 (1)它三边之间的关系是_________. (2)它两锐角之间的关系是________. (3)它的边角之间的关系是：___________________,____________________； ___________________，__________________； ___________________，____________________； 二、基础巩固2.等腰三角形的周长为2+3，腰长为1，则它的底角等于________.3.在离地面5 m 处引拉线固定电线杆，拉线和地面成60°角，则拉线的长为_______________.4.一个梯形的两个下底角分别为30°和45°，较大的腰长为10 cm ，则它另一腰长为________.5.△ABC 中，BC=2，AC=3+3，∠C=30°，则sinA=_________.6.在高度为93 m 的建筑物上，观察一楼房的顶端和底部的俯角分别为30°，60°，则这栋楼房的高度为___________m.7.Rt △ABC 中，∠C=90°，sinA=54，AB=10，则BC=________，cosB=________8.△ABC 中，若∠ABC=45°，∠ACB=30°，AB=22，则S △ABC =_________.9.如图28-4所示，△ABC 中，CD ⊥AB 于D 点，且BD=2AD ，若CD=34，tan ∠BCD=33，则高AE=____.10.Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的高，AB=8 cm ，AC=34cm ，则AD=_____________cm.11.Rt △ABC 中,∠C=90°，∠A 、∠B 、∠c 所对的边分别为a 、b 、c ，若a=25，b=215，则c=________，∠A_______，∠B________.三、能力提高12.Rt △ABC 斜边上的中线CD 长为1，周长是2+6，则它的面积是( ) A.2B.21C.1D.)32(21+13.正方形ABCD 的边长为5，E 、F 分别在边BC 、CD 上，若△AEF 为等边三角形，则BE 的长是( ) A.3255-B.3310C.3510-D.23514.如图28-5所示，一束平行的光线从教室窗射入教室，测得光线与地面所成的∠AMC=30°，窗户的高在教室地面的图28-4影长MN=32m ，窗户的下檐到教室地面的距离BC=1 m ，(点M 、N 、C 在同一直线上)，则窗户高AB 为( )图28-5 图28-6 图28-7A.3m B.3 m C.2 m D.1.5 m15.在平面直角坐标系内，坐标原点为O ，点M 在第四象限，且OM=1，∠MOx=30°，则点M 的坐标是( ) A.(21,23-) B.(21,23--) C.(21,23-) D.(23,21-)16.如图28-6所示，在山坡上种树，已知相邻两株树的坡面距离AB 为4 m ，∠B=60°，则这两株树的水平距离和高度差分别为( ) A.32m ，2 m B.2 m ，32m C.3 m ，1 mD.1 m,3m17.大风刮断一根废弃的木电线杆，如图28-7所示，杆的顶端B 落到地面离其底部A 的距离为3m处，若两截电线杆的夹角为30°，则电线杆刮断前的高度为( ) A.6 m B.33m C.3+32 m D.32 m18.Rt △ABC 中，∠C=90°，若AC 的长等于斜边上的中线长的34，则较大锐角的余弦值是( )A.35B.552C.553D.3219.如图28-8所示，将-矩形纸片ABCD 折起一个角，使点C 恰好落在AB 边，若AD=m ，∠CDE=α，则折痕DE=( )A.αα2sin cos •mB.ααcos sin 2•mC.ααcos sin •mD.ααsin cos 2•m图28-8 图28-920.已知平行四边形两邻边长分别是64cm和34cm ，一角为45°，则这个平行四边形的较长对角线长是( ) A.66cm B.68 cm C.38 cm D.154cm21.如图28-9所示，△ABC 中，D 为AB 的中点，∠ACB=135°，AC ⊥CD ，则sinA=( ) A.53B.55C.51 D.52四、模拟链接22.小明家在花园小区某栋楼AD 内，他家附近又新建了一座大厦BC ，已知两栋楼房间的水平距离为90 m ，AD 楼高60 m ，小明爬上自家所在楼房顶测得大厦顶部C 的仰角为30°，求大厦BC 的高.(精确到1 m ，如图28-10所示)图28-1023.小华所在的学校A位于某工地O的正西方向，如图28-11所示，且OA=200 m.一拖拉机从工地O出发，以5m/s的速度沿北偏西53°方向行驶，设拖拉机的噪音影响半径为130 m，问小华所在的学校A是否受拖拉机噪音影响?若受影响，请求出学校受拖拉机噪音影响的时间.(已知sin53°≈0.80、sin37°≈0.60)图28-1124.阅读下列材料，并解决后面的问题：在锐角△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，作AD ⊥BC 于D(如图28-12)，则sinB=cAD ，sinC=bAD ，即AD=c·sinB ，AD=b·sinC ，于是c·sinB=b·sinC ，即C cB b sin sin =，同理有A a C c sin sin =，即Cc B b A a sin sin sin == 即：在一个锐角三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等.[来源:学+科+网Z+X+X+K](1)在锐角三角形中，若已知三个元素a 、b 、∠A ，运用上述结论和有关定理就可求出其余三个元素c 、∠B 、∠C ，请按照下列步骤填空，完成求解过程.第一步：由条件a 、b 、∠A −−−→−有关系式_________−−→−求出∠B ； 第二步：由条件∠A 、∠B −−−→−有关系式________−−→−求出∠C ； 第三步：由条件_______−−−→−有关系式__________−−→−求出∠c (2)一货轮在C 处测得灯塔A 在其北偏西30°的方向上，随后货轮以284海里/时的速度沿北偏东45°的方向航行，半小时后到达B 处，此时又测得灯塔在货轮的北偏西70°的方向上(如图28-13)，求此时货轮距灯塔A 的距离AB(结果精确到0.1，参考数据：sin40°=0.643，sin65°=0.906，sin70°=0.940，sin75°=0.966).图28-12图28-13参考答案一、自主学习1.如图28-3所示，Rt△ABC中(1)它三边之间的关系是_________.(2)它两锐角之间的关系是________.(3)它的边角之间的关系是：__________________________,_______________________ ______；____________________________，__________________________；___________________________，_________________________；图28-3答案：(1)a 2+b 2=c 2 (2)∠A+∠B=90° (3)sinA=ca ，cosA=cb ，tanA=bacotA=ab ，sinB=cb ，cosB=ca ，tanB=ab ，cotB=ba二、基础巩固2.等腰三角形的周长为2+3，腰长为1，则它的底角等于________. 答案：30°3.在离地面5 m 处引拉线固定电线杆，拉线和地面成60°角，则拉线的长为_______________. 答案：3310m4.一个梯形的两个下底角分别为30°和45°，较大的腰长为10 cm ，则它另一腰长为________. 答案：255.△ABC 中，BC=2，AC=3+3，∠C=30°，则sinA=_________.答案：10106.在高度为93 m 的建筑物上，观察一楼房的顶端和底部的俯角分别为30°，60°，则这栋楼房的高度为___________m.答案：627.Rt △ABC 中，∠C=90°，sinA=54，AB=10，则BC=________，cosB=________ 答案：8548.△ABC 中，若∠ABC=45°，∠ACB=30°，AB=22，则S △ABC =_________. 答案：2329.如图28-4所示，△ABC 中，CD ⊥AB 于D 点，且BD=2AD ，若CD=34，tan ∠BCD=33，则高AE=__________.图28-4答案：3310.Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的高，AB=8 cm ，AC=34cm ，则AD=_____________cm.答案：611.Rt △ABC 中,∠C=90°，∠A 、∠B 、∠c 所对的边分别为a 、b 、c ，若a=25，b=215，则c=________，∠A_______，∠B________. 答案：530° 60°三、能力提高12.Rt △ABC 斜边上的中线CD 长为1，周长是2+6，则它的面积是( ) A.2B.21 C.1D.)32(21+答案：B13.正方形ABCD 的边长为5，E 、F 分别在边BC 、CD 上，若△AEF 为等边三角形，则BE 的长是( ) A.3255-B.3310C.3510-D.235答案：C14.如图28-5所示，一束平行的光线从教室窗射入教室，测得光线与地面所成的∠AMC=30°，窗户的高在教室地面的影长MN=32m ，窗户的下檐到教室地面的距离BC=1 m ，(点M 、N 、C 在同一直线上)，则窗户高AB 为( )图28-5A.3m B.3 m C.2 mD.1.5 m 答案：C15.在平面直角坐标系内，坐标原点为O ，点M 在第四象限，且OM=1，∠MOx=30°，则点M 的坐标是( )A.(21,23-) B.(21,23--) C.(21,23-)D.(23,21-)答案：A16.如图28-6所示，在山坡上种树，已知相邻两株树的坡面距离AB 为4 m ，∠B=60°，则这两株树的水平距离和高度差分别为( ) A.32m ，2 m B.2 m ，32 m C.3 m ，1 mD.1 m,3m图28-6答案：A17.大风刮断一根废弃的木电线杆，如图28-7所示，杆的顶端B 落到地面离其底部A 的距离为3m处，若两截电线杆的夹角为30°，则电线杆刮断前的高度为( ) A.6 m B.33 m C.3+32mD.32m图28-7答案：C18.Rt △ABC 中，∠C=90°，若AC 的长等于斜边上的中线长的34，则较大锐角的余弦值是( )A.35B.552 C.553D.32 答案：D19.如图28-8所示，将-矩形纸片ABCD 折起一个角，使点C 恰好落在AB 边，若AD=m ，∠CDE=α，则折痕DE=( )图28-8A.αα2sin cos •mB.ααcos sin 2•mC.ααcos sin •mD.ααsin cos 2•m 答案：A20.已知平行四边形两邻边长分别是64cm和34cm ，一角为45°，则这个平行四边形的较长对角线长是( ) A.66 cm B.68 cm C.38cmD.154cm答案：D21.如图28-9所示，△ABC 中，D 为AB 的中点，∠ACB=135°，AC ⊥CD ，则sinA=( ) A.53 B.55C.51 D.52图28-9答案：B 四、模拟链接22.小明家在花园小区某栋楼AD 内，他家附近又新建了一座大厦BC ，已知两栋楼房间的水平距离为90 m ，AD 楼高60 m ，小明爬上自家所在楼房顶测得大厦顶部C 的仰角为30°，求大厦BC 的高.(精确到1 m ，如图28-10所示)图28-10答案：112 m23.小华所在的学校A 位于某工地O 的正西方向，如图28-11所示，且OA=200 m.一拖拉机从工地O 出发，以5m/s 的速度沿北偏西53°方向行驶，设拖拉机的噪音影响半径为130 m ，问小华所在的学校A 是否受拖拉机噪音影响?若受影响，请求出学校受拖拉机噪音影响的时间.(已知sin53°≈0.80、sin37°≈0.60)图28-11答案：受影响的时间为20 s24.阅读下列材料，并解决后面的问题：在锐角△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，作AD ⊥BC 于D(如图28-12)，则sinB=cAD ，sinC=bAD ，即AD=c·sinB ，AD=b·sinC ，于是c·sinB=b·sinC ，即C cB b sin sin =，同理有A a C c sin sin =，即Cc B b A a sin sin sin == 即：在一个锐角三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等.[来源:学+科+网Z+X+X+K](1)在锐角三角形中，若已知三个元素a 、b 、∠A ，运用上述结论和有关定理就可求出其余三个元素c 、∠B 、∠C ，请按照下列步骤填空，完成求解过程.第一步：由条件a 、b 、∠A −−−→−有关系式_________−−→−求出∠B ； 第二步：由条件∠A 、∠B −−−→−有关系式________−−→−求出∠C ； 第三步：由条件_______−−−→−有关系式__________−−→−求出∠c (2)一货轮在C 处测得灯塔A 在其北偏西30°的方向上，随后货轮以284海里/时的速度沿北偏东45°的方向航行，半小时后到达B 处，此时又测得灯塔在货轮的北偏西70°的方向上(如图28-13)，求此时货轮距灯塔A 的距离AB(结果精确到0.1，参考数据：sin40°=0.643，sin65°=0.906，sin70°=0.940，sin75°=0.966).图28-12 图28-13答案：(1)略(2)约为21.3海里(提示：用题目中的结论)。
北师大版九年级数学下册第一章《解直角三角形》课时练习题(含答案)
北师大版九年级数学下册第一章《4.解直角三角形》课时练习题（含答案）一、单选题1．在△ABC中，∠B=45°，∠C=75°，AC=6，则AB的长是（）A．2(31)+ +B．3(31)+C．4(31)+D．5(31)2．如图，△AOB中，OA＝4，OB＝6，AB＝27，将△AOB绕原点O旋转90°，则旋转后点A的对应点A′的坐标是（）A．（4，2）或（﹣4，2）B．（23，﹣4）或（﹣23，4）C．（﹣23，2）或（23，﹣2）D．（2，﹣23）或（﹣2，23）3．△ABC中，若AB＝6，BC＝8，∠B＝120°，则△ABC的面积为()A．123B．12 C．243D．4834．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=6，D是AC上一点，如果tan∠DBA=1，那么AD的长为（）5A．1 B．2 C．2D．225．如图，Rt△ABC中，∠ACB = 90°，AB = 5，AC= 3，把Rt△ABC沿直线BC向右平移3个单位长度得到△A'B'C' ，则四边形ABC'A'的面积是（）A．15 B．18 C．20 D．226．如图，小明在一条东西走向公路的O 处，测得图书馆A 在他的北偏东60︒方向，且与他相距200m ，则图书馆A 到公路的距离AB 为（ ）A ．100mB ．1002mC ．1003mD ．2003m 3 7．如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正方形OABC 绕点O 顺时针旋转45︒后得到正方形111OA B C ，依此方式，绕点O 连续旋转2019次得到正方形201920192019OA B C ，那么点2019A 的坐标是( )A ．22,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭B ．(1,0)C ．22,22⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭D ．(0,1)-8．如图，在BAC 中，90BAC ∠=︒，2AB AC =，将BAC 绕点A 顺时针旋转至DAE ，点D 刚好落在BC 直线上，则BDE △的面积为（ ）A ．24BD B ．22BC C ．4BC BD ⋅ D ．22AB二、填空题9．如图，在菱形ABCD 中，∠A =60°，AB =6．折叠该菱形，使点A 落在边BC 上的点M 处，折痕分别与边AB ，AD 交于点E ，F ．当点M 与点B 重合时，EF 的长为________；当点M的位置变化时，DF 长的最大值为________．10．如图，在Rt ABC 中，∠C ＝90°，sinA ＝35，AB ＝10，D 是AC 的中点，则BD ＝______．11．如图，已知四边形ABCD ，AC 与BD 相交于点O ，∠ABC =∠DAC =90°，14tan ,23BO ACB OD ∠==，则ABDCBD S S =___．12．如图是小明画的卡通图形，每个正六边形的边长都相等，相邻两正六边形的边重合，点A ，B ，C 均为正六边形的顶点，AB 与地面BC 所成的锐角为β，则tan β的值是______．13．如图，在矩形ABCD 中，AB =4，BC =43P 在线段BC 上运动（含B 、C 两点），连接AP ，以点A 为中心，将线段AP 逆时针旋转60°到AQ ，连接DQ ，则线段DQ 的最小值为____．14．如图，在矩形ABCD 中，AB=4，BC=3，E ，F 分别为AB ，CD 边的中点．动点P 从点E 出发沿EA 向点A 运动，同时，动点Q 从点F 出发沿FC 向点C 运动，连接PQ ，过点B 作BH ⊥PQ 于点H ，连接DH ．若点P 的速度是点Q 的速度的2倍，在点P 从点E 运动至点A 的过程中，线段PQ 长度的最大值为_____，线段DH 长度的最小值为_____．三、解答题15．如图，菱形ABCD 中，120D ∠=︒，F 是AD 中点，连接BF ，BE DC ⊥，垂足是E ．（1）求证：BF BE =；（2）若23BF =BEDF 的面积．16．如图，在△ABC 中，∠B ＝45°，AC ＝5，cosC ＝35，AD 是BC 边上的高线． （1）求AD 的长；（2）求△ABC 的面积．17．如图，在ABC 中，390,tan ,3C A ABC ∠==∠的平分线BD 交AC 于点.3D CD =．求AB 的长？18．如图，一艘海轮位于灯塔P 的南偏东30°方向，距离灯塔120海里的A 处，它计划沿正北方向航行，去往位于灯塔P 的北偏东45°方向上的B 处．(1)问B 处距离灯塔P 有多远？（结果精确到0.1海里）(2)假设有一圆形暗礁区域，它的圆心位于射线PB 上，距离灯塔150海里的点O 处．圆形暗礁区域的半径为50海里，进入这个区域，就有触礁的危险．①请判断海轮到达B 处是否有触礁的危险？并说明理由．②如果海轮从B 处继续向正北方向航行，是否有触礁的危险？直接写出结论，不用说明理由．2 1.4≈3 1.7≈）参考答案1．B2．C3．A4．B5．A6．A7．A8．A 9．33633-10．21311．3 3212．1931513．214．3213﹣215．（1）证明：连接BD∵四边形ABCD是菱形，∠ADC=120°，∴AB=CB=CD=AD，∠A=∠C=60°，∵F是AD中点，BE⊥DC，∴△ABD、△CBD是等边三角形，∵F是AD中点，BE⊥DC，∴BF⊥AD，∴∠AFB=∠CEB =90°，∵∠A=∠C，AB=CB，∴△ABF≌△CBE（AAS），∴BF=BE；（2）由（1）得△ABF是直角三角形，∠A=60°，∵BF=3sin60°3∴AB=CB=CD=AD=4，AF=12AB=2，∴ABCD =234S菱形=83ABF CEB1S=S=2232⨯⨯△△=23∴四边形BEDF 的面积=ABF CEB ABCD S S S --△△菱形16．解：（1）∵AD ⊥BC ，∴∠ADC ＝∠ADB ＝90°．在Rt △ACD 中，AC ＝5，cosC ＝35， ∴CD ＝AC•cosC ＝3，∴AD4．（2）∵∠B ＝45°，∠ADB ＝90°， ∴∠BAD ＝90°﹣∠B ＝45°， ∴∠B ＝∠BAD ，∴BD ＝AD ＝4，∴S △ABC ＝12AD•BC ＝12×4×（4+3）＝14．17．解：在Rt ABC 中，90,C tanA ∠== 30,60,A ABC ∴∠=∠= BD 是ABC ∠的平分线，30,CBD ABD ∴∠=∠=︒ 又3,CD =330CD BC tan ∴==， 在Rt ABC 中，90,30∠=︒∠=︒C A ， 630BC AB sin ∴==︒． 故答案为：6．18．（1）解：过点P 作PD AB ⊥交于点D ． 由题意可知，120PA =海里，903060APD ∠=︒-︒=︒，45BPD ∠=︒． 906030A ∴∠=︒-︒=︒．1602PD PA ∴==（海里）， 在Rt PBD 中，45BPD ∠=︒，PBD ∴∆是等腰直角三角形， 2602PB PD ∴==（海里）84.8≈（海里）． 答：B 处距离灯塔P 约84海里． （2）解：①海轮到达B 处没有触礁的危险，理由如下： 由题意知：150OP =海里，602PB =海里， (150602)OB OP PB ∴=-=-海里65≈海里50>海里， ∴海轮到达B 处没有触礁的危险． ②过点O 作OE AB ⊥交于E ，交AB 延长线于点E ，则90OEB ∠=︒， 45OBE PBD ∠=∠=︒， sin OE OB OBE ∴=∠ 2(150602)=-752604650=≈<， ∴海轮从B 处继续向正北方向航行，有触礁的危险．。
浙教版初中数学九年级下册第一单元《解直角三角形》(较易)(含答案解析)
浙教版初中数学九年级下册第一单元《解直角三角形》（标准难度）（含答案解析）考试范围：第一单元；考试时间：120分钟；总分：120分，第I卷（选择题）一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=1，AB=2，则下列结论正确的是( )A. sinA=√32B. tanA=12C. cosB=√32D. tanB=√32. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，AD=CD，过点D作DE⊥AB于点E，连接AC交DE于点F.若sin∠CAB=35，DF=5，则BC的长为( )A. 8B. 10C. 12D. 163. 如图，在Rt△BAD中，延长斜边BD到点C，使DC=12BD，连接AC，若tan B=53，则tan∠CAD的值为( )A. √33B. √35C. 13D. 154. 在实数π，13，√2，sin30°中，无理数的个数为( )A. 1B. 2C. 3D. 45. 如图，△ABC的三个顶点分别在正方形网格的格点上，下列三角函数值错误的是( )A. sinB=35B. cosB=45C. tanB=34D. tanA=436. 如图，CD是平面镜，光线从点A出发，经CD上点E反射后照射到点B.若入射角为α，AC⊥CD，BD⊥CD，垂足分别为点C，D，且AC=3，BD=6，CD=11，则tanα的值为( )A. 113B. 311C. 911D. 1197. 在Rt△ABC中，∠C=90∘，cosA=√32，∠B的平分线BD交AC于点D，若AD=16，则BC的长为( )A. 6B. 8C. 8√3D. 128. 如图，若锐角△ABC内接于⊙O，点D在⊙O外(与点C在AB同侧)，则下列三个结论：①sin∠C>sin∠D；②cos∠C>cos∠D；③tan∠C>tan∠D中，正确的结论为( )A. ①②；B. ②③；C. ①②③；D. ①③；9. 某简易房示意图如图所示，它是一个轴对称图形，则坡屋顶上弦杆AB的长为( )A. 95sinα米B. 95cosα米C. 59sinα米D. 59cosα米10. 如图，在△ABC中，∠B=45°，∠C=60°，AD⊥BC于点D，BD=√3.若E，F分别为AB，BC的中点，则EF的长为( )A. √33B. √32C. 1D. √6211. 如图，一块矩形木板ABCD斜靠在墙边(OC⊥OB，点A，B，C，D，O在同一平面内)，已知AB=a，AD=b，∠BCO=α，则点A到OC的距离等于( )A. a⋅sinα+b⋅sinαB. a⋅cosα+b⋅cosαC. a⋅sinα+b⋅cosαD. a⋅cosα+b⋅sinα12. 如图，某社会实践活动小组实地测量两岸互相平行的一段河的宽度，在河的南岸点A处，测得河的北岸边点B在其北偏东45∘方向然后向西走80米到达C点，测得点B在点C的北偏东60∘方向，则这段河的宽度为( )A. 80(√3+1)米B. 40(√3+1)米C. (120−40√3)米D. 40(√3−1)米第II卷（非选择题）二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）13. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=3，BC=2，则cosA的值是．14. 在菱形ABCD中，DE⊥AB，垂足是E，DE=6，sin A=3，则菱形ABCD的周长是．515. 若锐角α满足cosα<√2且tanα<√3，则α的范围是．216. 如图，在△ABC中，AB=AC=5cm，cosB=3.如果⊙O的半径为√10cm，且经过点B，5C，那么线段AO=cm．三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。
人教版数学九年级下28.2《解直角三角形的应用》测试题(含答案及解析)
人教版数学九年级下28.2《解直角三角形的应用》测试题（含答案及解析） 1 / 14解直角三角形的应用 测试题时间：100分钟 总分： 100一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1. 小明利用测角仪和旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度 如图，旗杆PA 的高度与拉绳PB 的长度相等 小明将PB 拉到 的位置，测得 为水平线 ，测角仪 的高度为1米，则旗杆PA 的高度为A.B.C. D.2. 如图，长4m 的楼梯AB 的倾斜角 为 ，为了改善楼梯的安全性能，准备重新建造楼梯，使其倾斜角 为 ，则调整后的楼梯AC 的长为 A. B.C. D. 3. 一座楼梯的示意图如图所示，BC 是铅垂线，CA 是水平线，BA 与CA 的夹角为 现要在楼梯上铺一条地毯，已知 米，楼梯宽度1米，则地毯的面积至少需要A. 米B.米 C.米D. 米4. 上午9时，一条船从A 处出发，以每小时40海里的速度向正东方向航行，9时30分到达B 处 如图 从A 、B 两处分别测得小岛M 在北偏东 和北偏东 方向，那么在B 处船与小岛M 的距离为A. 20海里B. 海里C. 海里D. 海里 5. 如图，某游乐场一山顶滑梯的高为h ，滑梯的坡角为a ，那么滑梯长m 为A. B. C. D.6.如图所示，为了测得电视塔的高度AB，在D处用高为1米的测角仪CD，测得电视塔顶端A的仰角为，再向电视塔方向前进120米达到F处，又测得电视塔顶端A的仰角为，则这个电视塔的高度单位：米为A. B. 61 C. D. 1217.某校八年级生物兴趣小组租两艘快艇去微山湖生物考察，他们从同一码头出发，第一艘快艇沿北偏西方向航行50千米，第二艘快艇沿南偏西方向航行50千米，如果此时第一艘快艇不动，第二艘快艇向第一艘快艇靠拢，那么第二艘快艇航行的方向和距离分别是A. 南偏东，千米B. 北偏西，千米C. 南偏东，100千米D. 北偏西，100千米8.如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东方向，距离灯塔60nmile的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的北偏东方向上的B处，这时，B处与灯塔P的距离为A. nmileB. nmileC. nmileD. nmile9.如图，一河坝的横断面为等腰梯形ABCD，坝顶宽10米，坝高12米，斜坡AB的坡度：，则坝底AD的长度为A. 26米B. 28米C. 30米D. 46米10.如图是某水库大坝的横截面示意图，已知，且AD、BC之间的距离为15米，背水坡CD的坡度：，为提高大坝的防洪能力，需对大坝进行加固，加固后大坝顶端AE比原来的顶端AD加宽了2米，背水坡EF的坡度：4，则大坝底端增加的长度CF是米．A. 7B. 11C. 13D. 20二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）人教版数学九年级下28.2《解直角三角形的应用》测试题（含答案及解析） 3 / 1411. 为加强防汛工作，某市对一拦水坝进行加固，如图，加固前拦水坝的横断面是梯形已知迎水坡面 米，背水坡面 米， ，加固后拦水坝的横断面为梯形ABED ，，则CE 的长为______ 米12. 如图，航拍无人机从A 处测得一幢建筑物顶部B 的仰角为 ，测得底部C 的俯角为 ，此时航拍无人机与该建筑物的水平距离AD 为90米，那么该建筑物的高度BC 约为______ 米 精确到1米，参考数据：13. 小明沿着坡度i 为1： 的直路向上走了50m ，则小明沿垂直方向升高了______ 14. 如图，长4m 的楼梯AB 的倾斜角 为 ，为了改善楼梯的安全性能，准备重新建造楼梯，使其倾斜角 为 ，则调整后楼梯AC 长为______ 米15. 如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为 的斜坡，从A 滑行至B ，已知 米，则这名滑雪运动员的高度下降了______米 参考数据： ， ，16. 如图，为测量某栋楼房AB 的高度，在C 点测得A 点的仰角为 ，朝楼房AB 方向前进10米到达点D ，再次测得A 点的仰角为 ，则此楼房的高度为______ 米 结果保留根号 ．17. 如图，从热气球C 处测得地面A 、B 两点的俯角分别为 、 ，如果此时热气球C 处的高度为200米，点A 、B 、C 在同一直线上，则AB 两点间的距离是______米 结果保留根号 ．18.如图，水库堤坝的横断面是梯形，测得BC长为30m，CD长为，斜坡AB的坡比为1：3，斜坡CD的坡比为1：2，则坝底的宽AD为______19.如图，某堤坝的斜坡AB的斜角是，坡度是：，则______．20.某兴趣小组借助无人飞机航拍，如图，无人飞机从A处飞行至B处需12秒，在地面C处同一方向上分别测得A处的仰角为，B处的仰角为已知无人飞机的飞行速度为3米秒，则这架无人飞机的飞行高度为结果保留根号______ 米三、计算题（本大题共4小题，共24.0分）21.如图，某数学兴趣小组要测量一栋五层居民楼CD的高度该楼底层为车库，高米；上面五层居住，每层高度相等测角仪支架离地米，在A处测得五楼顶部点D的仰角为，在B处测得四楼顶部点E的仰角为，米求居民楼的高度精确到米，参考数据：22.某兴趣小组借助无人飞机航拍校园如图，无人飞机从A处水平飞行至B处需8秒，在地面C处同一方向上分别测得A处的仰角为，B处的仰角为已知无人飞机的飞行速度为4米秒，求这架无人飞机的飞行高度结果保留根号人教版数学九年级下28.2《解直角三角形的应用》测试题（含答案及解析）23.如图，学校的实验楼对面是一幢教学楼，小敏在实验楼的窗口C测得教学楼顶部D的仰角为，教学楼底部B的俯角为，量得实验楼与教学楼之间的距离．求的度数．求教学楼的高结果精确到，参考数据：，24.如图，在大楼AB的正前方有一斜坡CD，米，坡角，小红在斜坡下的点C处测得楼顶B的仰角为，在斜坡上的点D处测得楼顶B的仰角为，其中点A、C、E在同一直线上．求斜坡CD的高度DE；求大楼AB的高度结果保留根号5 / 14四、解答题（本大题共2小题，共16.0分）25.如图，大楼AB右侧有一障碍物，在障碍物的旁边有一幢小楼DE，在小楼的顶端D处测得障碍物边缘点C的俯角为，测得大楼顶端A的仰角为点B，C，E在同一水平直线上，已知，，求障碍物B，C两点间的距离结果精确到参考数据：，26.如图，某湖中有一孤立的小岛，湖边有一条笔直的观光小道AB，现决定从小岛架一座与观光小道垂直的小桥PQ通往小岛，某同学在观光道AB上测得如下数据：米，，请求出小桥PQ的长，结果精确到米人教版数学九年级下28.2《解直角三角形的应用》测试题（含答案及解析）7 / 14答案和解析【答案】 1. A 2. B 3. D 4. B5. A6. C7. B8. B 9. D 10. C11. 8 12. 208 13. 2514. 15. 280 16.17. 18. 130 19.20.21. 解：设每层楼高为x 米，由题意得： 米， ， ，在 中， ，，在 中， ，， ，，解得： ，则居民楼高为 米． 22. 解：如图，作 ， 水平线，由题意得： ， ， ，， ， ，， ， ，则 ．23. 解： 过点C 作 ，则有 ， ，；由题意得： ，在 中， ， 在 中， ，教学楼的高 ， 则教学楼的高约为 ．24. 解：在 中， 米， ， ，米；过D作，交AB于点F，，，，即为等腰直角三角形，设米，四边形DEAF为矩形，米，即米，在中，，米，米，米，，，，在中，根据勾股定理得：，解得：，则米．25. 解：如图，过点D作于点F，过点C作于点H．则，在直角中，，，．在直角中，，，，．答：障碍物B，C两点间的距离约为．26. 解：设米，在直角中，，，在直角中，，，米，，解得：米．答：小桥PQ的长度约是米．【解析】1. 解：设，在中，，，人教版数学九年级下28.2《解直角三角形的应用》测试题（含答案及解析） 9 / 14， ，．故选：A ．设 ，在 中，根据，列出方程即可解决问题．本题考查解直角三角形、三角函数等知识，解题的关键是设未知数列方程，属于中考常考题型．2. 解：在 中，，， 在 中，，．故选B ．先在 中利用正弦的定义计算出AD ，然后在 中利用正弦的定义计算AC 即可．本题考查了解直角三角形的应用 坡度坡角：坡度是坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i 表示，常写成 ：m 的形式 把坡面与水平面的夹角 叫做坡角，坡度i 与坡角 之间的关系为： ． 3. 解：在 中， 米 ， 米 ，地毯的面积至少需要 米 ； 故选：D ．由三角函数表示出BC ，得出 的长度，由矩形的面积即可得出结果．本题考查了解直角三角形的应用、矩形面积的计算；由三角函数表示出BC 是解决问题的关键．4. 解：如图，过点B 作 于点N ．由题意得，海里， ．作 于点N ．在直角三角形ABN 中， ． 在直角 中， ，则 ， 所以 海里 ． 故选B ．过点B 作 于点 根据三角函数求BN 的长，从而求BM 的长．解一般三角形，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．5. 解：，． 故选A ．根据三角函数的定义即可求解．本题考查了三角函数的定义，理解定义是关键． 6. 【分析】根据题意求出CE 的长，根据三角形的外角的性质和等腰三角形的性质求出AE 的长，根据正弦的定义计算即可．本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题，理解仰角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．【解答】解：由题意得，，，，，，．故选：C．7. 解：第一艘快艇沿北偏西方向，第二艘快艇沿南偏西方向，，，，，第二艘快艇沿南偏西方向，，，第二艘快艇航行的方向和距离分别是：北偏西，千米．故选：B．根据题意得出以及，进而得出第二艘快艇航行的方向和距离．此题主要考查了方向角以及勾股定理，正确把握方向角的定义是解题关键．8. 解：如图作于E．在中，，，，在中，，，故选：B．如图作于在中，求出PE，在中，根据即可解决问题．本题考查方向角、直角三角形、锐角三角函数的有关知识解一般三角形的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．9. 解：坝高12米，斜坡AB的坡度：，米，米，米，故选：D．先根据坡比求得AE的长，已知，即可求得AD．此题考查了解直角三角形的应用中的坡度坡角的问题及等腰梯形的性质的掌握情况，将相关的知识点相结合更利于解题．10. 解：过D作于G，于H，，，背水坡CD的坡度：，背水坡EF的坡度：4，，，米，人教版数学九年级下28.2《解直角三角形的应用》测试题（含答案及解析） 11 / 14 故选C ．过D 作 于G ， 于H ，解直角三角形即可得到结论．本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是理解坡度、坡比的含义，构造直角三角形，利用三角函数表示相关线段的长度，难度一般．11. 解：分别过A 、D 作 ， ，垂点分别为F 、G ，如图所示．在 中， 米， ，，， ．在 中， ， 米，．在 中， ，，，．即CE 的长为8米．故答案为8．分别过A 、D 作下底的垂线，设垂足为F 、 在 中，已知坡面长和坡角的度数，可求得铅直高度AF 的值，也就得到了DG 的长；在 中，由勾股定理求CG 的长，在 中，根据正切函数定义得到GE 的长；根据 即可求解． 本题考查的是解直角三角形的应用 坡度坡角问题，锐角三角函数的定义，勾股定理 作辅助线构造直角三角形是解答此类题的一般思路．12. 解：由题意可得：， 解得： ，，解得： ，故该建筑物的高度为： ，故答案为：208．分别利用锐角三角函数关系得出BD ，DC 的长，进而求出该建筑物的高度． 此题主要考查了解直角三角形的应用，熟练应用锐角三角函数关系是解题关键． 13. 解：如图，过点B 作 于点E ，坡度： ： ，：， ，，．他升高了25m ．故答案为：25．首先根据题意画出图形，由坡度为1： ，可求得坡角，又由小明沿着坡度为1：的山坡向上走了50m，根据直角三角形中，所对的直角边是斜边的一半，即可求得答案．此题考查了坡度坡角问题此题比较简单，注意能构造直角三角形并用解直角三角形的知识求解是解此题的关键，注意数形结合思想的应用．14. 解：在中，，，在中，，．故答案是：．先在中利用正弦的定义计算出AD，然后在中利用正弦的定义计算AC即可．本题考查了解直角三角形的实际应用中的坡度坡角问题，难度不大，注意细心运算即可．15. 解：如图在中，，这名滑雪运动员的高度下降了280m．故答案为280如图在中，，可知这名滑雪运动员的高度下降了280m．本题考查解直角三角形、坡度坡角问题、锐角三角函数等知识，解题的关键是熟练掌握锐角三角函数的定义，属于中考常考题型．16. 解：在直角三角形ADB中，，，，在直角三角形ABC中，，，，，解得：．故答案为：．首先根据题意分析图形；本题涉及到两个直角三角形，应利用其公共边AB及构造方程关系式，进而可解，即可求出答案．本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，要求学生能借助仰角构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．17. 解：从热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别为、，，，，，是等腰直角三角形，，人教版数学九年级下28.2《解直角三角形的应用》测试题（含答案及解析） 13 / 14在 中， ， ，，．故答案为： ．先根据从热气球C 处测得地面A 、B 两点的俯角分别为 、 可求出 与 的度数，再由直角三角形的性质求出AD 与BD 的长，根据 即可得出结论．本题考查的是解直角三角形的应用 仰角俯角问题，熟知锐角三角函数的定义是解答此题的关键．18. 解：作 于E ， 于F ，斜坡CD 的坡比为1：2，即 ，，又 ，， ，由题意得，四边形BEFC 是矩形，， ，斜坡AB 的坡比为1：3，，即 ， ，故答案为：130m ．作 于E ， 于F ，根据坡度的概念分别求出AE 、DF ，结合图形计算即可．本题考查的是解直角三角形的应用 坡度坡角问题，掌握坡度是坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比是解题的关键，掌握矩形的判定和性质的应用．19. 解： ： ，则 ．故答案是： ．根据坡度就是坡角的正切值即可求解．本题主要考查了坡度的定义，理解坡度和坡角的关系是解题的关键．20. 解：如图，作 ， 水平线，由题意得： ， ， ，， ，，， ，，．故答案为： ．作 ， 水平线，根据题意确定出 与 的度数，利用锐角三角函数定义求出AD 与BD 的长，由 求出BC 的长，即可求出BH 的长．此题考查了解直角三角形的应用 仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键．21. 设每层楼高为x 米，由 求出 的长，进而表示出 与 的长，在直角三角形 中，利用锐角三角函数定义表示出 ，同理表示出 ，由 求出AB 的长即可．此题属于解直角三角形的应用 仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键．22. 如图，作 ， 水平线，根据题意确定出 与 的度数，利用锐角三角函数定义求出AD 与BD 的长，由 求出BC 的长，即可求出BH 的长．此题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键．23. 过点C作CE与BD垂直，根据题意确定出所求角度数即可；在直角三角形CBE中，利用锐角三角函数定义求出BE的长，在直角三角形CDE中，利用锐角三角函数定义求出DE的长，由求出BD的长，即为教学楼的高．此题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键．24. 在直角三角形DCE中，利用锐角三角函数定义求出DE的长即可；过D作DF垂直于AB，交AB于点F，可得出三角形BDF为等腰直角三角形，设，表示出BC，BD，DC，由题意得到三角形BCD为直角三角形，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即可确定出AB的长．此题考查了解直角三角形仰角俯角问题，坡度坡角问题，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．25. 如图，过点D作于点F，过点C作于点通过解直角得到DF的长度；通过解直角得到CE的长度，则．本题考查了解直角三角形仰角俯角问题要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．26. 设米，在直角和直角中分别利用x表示出AQ和BQ的长，根据，即可列方程求得x的值．本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，利用三角函数表示出相关线段的长度，难度一般．。
九年级数学(下)《解直角三角形》练习题含答案
九年级数学（下）《解直角三角形》练习题1、测得某坡面垂直高度为2m,水平宽度为4m,则坡度为 [ ]2、在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，b=310，则a= ，c= ；3、已知在直角梯形ABCD 中，上底CD=4，下底AB=10，非直角腰BC=34，则底角∠B= ；4．如图：铁路的路基的横截面是等腰梯形，斜坡AB 的坡度为1∶3，BE 为33米，基面AD 宽2米，求路基的高AE ，基底的宽BEC 及坡角B 的度数.（答案可带根号）5．水坝横断面为等腰梯形，尺寸如图，（单位：米）坡度I=DEAE =1，求坡面倾斜角（坡角），并计算修建长1000米的水坝约需要多少土方？ 6．如图，上午9时，一条船从A 处出发，以20节的速度向正北航行，11时到达B 处，从A ，B 望灯塔C ，测得∠NAC ＝36°，∠NBC ＝72°，那么从B 处到灯塔C 的距离是多少海里？7．如图，王聪同学拿一把∠ACB ＝30°的小型直角三角尺ABC 目测河流在市区河段的宽度．他先在岸边的点A 顺着30°角的邻边AC 的方向确定河对岸岸边的一棵树M ．然后，沿30°角的对边AB 的方向前进到点B ′，顺着斜边C B ''的方向看见M ，并测得B A '＝100 m ，那么他目测的宽大约为多少？(结果精确到 1m)8．海中有一个小岛A，它的周围8海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏东60°，航行12海里到达D点，这时测得小岛A在北偏东30°．如果渔船不改变航向，继续向东捕捞，有没有触礁的危险？思考·探索·交流1．如图，MN表示某引水工程的一段设计路线，从M到N的走向为南偏东30°，在M的南偏东60°的方向上有一点A，以A为圆心、500 m为半径的圆形区域为居民区．取MN上另一点B，测得BA的方向为南偏东 75°．已知MB＝400 m，通过计算回答，如果不改变方向，输水路线是否会穿过居民区？答案：1、D 2、10，20 3、30°4．解：∵3133 AE∴AE=3（米）BC=（2+63）（米）∠B=30°5. 45°,444000土方6．40 海里．7．河宽约 173 m ．8．渔船没有触礁的危险．思考·探索·交流答案：1．输水路线不会穿过居民区．提示：过点A 作MN 的垂线，垂足为C ，求AC。
解直角三角形典型例题
东
l
1．已知：如图，河旁有一座小山，从山顶A 处测得河对岸点C 的俯角为30°，测得岸边点D 的俯角为45°，又知河宽CD 为50m ．现需从山顶A 到河对岸点C 拉一条笔直的缆绳AC ，求山的高度及缆绳AC 的长(答案可带根号)．
2、在东西方向的海岸线l 上有一长为1km 的码头MN （如图），在码头西端M 的正西19．5 km 处有一观察站A ．某时刻测得一艘匀速直线航行的轮船位于 A 的北偏西30°,且与A 相距40km 的B 处；经过1小时20分钟，又测得该轮船位于A 的北偏东60°，且与A
相距的C 处． （1）求该轮船航行的速度（保留精确结果）；
（2）如果该轮船不改变航向继续航行，那么轮船能否正好行至码头MN 靠岸？请说明理由．
3、某海港区为提高某段海堤的防海潮能力，计划将100米的一段堤（原海堤的横断面如图中的梯形ABCD ）的堤面加宽1米，背水坡度由原来的1:1改成1:2。
已知原背水坡长AD= 24 米，求完成这一工程所需的土方数。
4．已知：如图，在1998年特大洪水时期，要加固全长为10000m 的河堤．大堤高5m ，坝顶宽4m ，
迎水坡和背水坡都是坡度为1∶1的等腰梯形．现要将大堤加高1m ，背水坡坡度改为1∶1.5．已知坝顶宽不变，求大坝横截面面积增加了多少平方米，完成工程需多少立方米的土石?。
浙教版九年级下《第一章解直角三角形》期末复习试卷(含解析)
期末复习：浙教版九年级数学学下册第一章解直角三角形一、单选题（共10题；共30分）1.在△ABC中，∠C=90°，如果AB=6，BC=3，那么cosB的值是（）A. √32B. √55C. √33D. 122.已知tanA=1，则锐角A的度数是A. 30°B . 45° C.60° D.75°3.在Rt△ABC中，∠C＝90°，若BC＝1，AC＝2，则cosA的值为( )A. √55B. 2√55C. 12D. 24.如图，其中A，B，C三地在同一直线上，D地在A地北偏东30°方向、在C地北偏西45°方向．C 地在A地北偏东75°方向．且BD=BC=30cm．从A地到D地的距离是（）A. 30 √3 mB. 20 √5m C. 30 √2m D. 15 √6 m5.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D．若AC=2，BC=1，则sin∠ACD=（）A. √53B. 2√55C. √52D. 236.如图，一渔船由西往东航行，在A点测得海岛C位于北偏东60°的方向，前进40海里到达B点，此时，测得海岛C位于北偏东30°的方向，则海里C到航线AB的距离CD是（）A. 20海里B. 40海里 C. 20√3海里 D. 40√3海里7.如图，在Rt△ABC中，斜边AB的长为m，∠A=35°，则直角边BC的长是（）A. msin35°B. mcos35°C. msin35°D. mcos35°8.若直角三角形中的两个锐角之差为22°，则较小的一个锐角的度数是（）A. 24°B . 34° C.44° D.46°，AB=6cm．动点P从点A开始沿边AB向点B以1cm/s的9.如图，在△ABC中，∠B=90°，tan∠C= 34速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动．若P，Q两点分别从A，B两点同时出发，在运动过程中，△PBQ的最大面积是（）A. 18cm2B. 12cm2C. 9cm2D. 3cm210.如图，已知mm是△mmm的角平分线，mm是mm的垂直平分线，∠mmm=90°，mm=3，则mm的长为（）A. 6B. 5C. 4D. 3√3二、填空题（共8题；共24分）11.计算：3tan30°+sin45°=________．）﹣2﹣|1﹣√3 |﹣（π﹣2015）0﹣2sin60°+ √12 =________．12.计算：（12，那么∠A=________゜．13.如果∠A是锐角，且sinA= 1214.B在A北偏东30°方向（距A）2千米处，C在B的正东方向（距B）2千米处，则C和A之间的距离为________ 千米．15.如图，在平面直角坐标系xOy内有一点Q（3，4），那么射线OQ与x轴正半轴的夹角α的余弦值是________，则BC的长是________16.如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=8，sinA=3417.如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=3，则cosA的值是________．x于点B1， B2，18.如图，点A1（1，1）在直线y=x上，过点A1分别作y轴、x轴的平行线交直线y= √32x于点B3，…，按过点B2作y轴的平行线交直线y=x于点A2，过点A2作x轴的平行线交直线y= √32照此规律进行下去，则点A n的横坐标为________．三、解答题（共9题；共66分）19.计算：√12−|−2|+(1−√3)0−9tan30°20.甲、乙两船同时从港口A出发，甲船以12海里/时的速度向北偏东35°航行，乙船向南偏东55°航行，2小时后，甲船到达C岛，乙船到达B岛，若C、B两船相距30海里，问乙船的速度是每小时多少海里？21.某游乐场一转角滑梯如图所示，滑梯立柱mm,mm均垂直于地面，点m在线段mm上.在m点测得点m的仰角为300，点m的俯角也为300，测得m,m间的距离为10米，立柱mm高30米.求立柱mm 的高（结果保留根号）.22.小敏同学测量一建筑物CD的高度，她站在B处仰望楼顶C，测得仰角为30°，再往建筑物方向走30m，到达点F处测得楼顶C的仰角为45°（B,F,D在同一条直线上）。
解直角三角形典型例题
典型例题【例1】为了缓解长沙市区内一些主要路段交通拥挤的现状，交警队在一些主要路口设立了交通路况显示牌(如图)．已知立杆AB 的高度是3 m ，从侧面D 点测得显示牌顶端C 点和底端B 点的仰角分别是60°和45°.求路况显示牌BC 的高度．解：在Rt △ABD 中，AB ＝3 m ，∠ADB ＝45°， 所以AD ＝AB tan ∠ADB＝3tan 45°＝31＝3(m)．Rt △ACD 中，AD ＝3 m ，∠ADC ＝60°，所以AC ＝ADtan ∠ADC ＝3×tan 60°＝3×3＝33(m)．所以路况显示牌BC 的高度为(33－3) m.【练习1】 如图2，小山上有一电视塔CD ，由地面上一点A ，测得塔顶C 的仰角为30°，由A 向小山前进100米到B 点，又测得塔顶C 的仰角为60°，已知CD=20米，求小山高度DE.【例2】如图3，有长为100m 的大坝斜坡AB ，坡角α=45°，现要改造成坡角β=30°，求伸长的坡度DB 的长.【练习2】水务部门为加强防汛工作，决定对程家山水库进行加固．原大坝的横断面是梯形ABCD ，如图所示，已知迎水面AB 的长为10 m ，∠B ＝60°，背水面DC 的长度为10 3 m ，加固后大坝的横断面为梯形ABED.若CE 的长为5 m.(1)已知需加固的大坝长为100 m ，求需要填方多少立方米； (2)求新大坝背水面DE 的坡度．(计算结果保留根号)解：(1)分别过A ，D 作AF ⊥BC ，DG ⊥BC ，垂足分别为F ，G ，如图所示．在Rt △ABF 中，AB ＝10，∠B ＝60°，sin B ＝AFAB ， ∴AF ＝10×32＝53，DG ＝53， ∴S △DCE ＝12×CE×DG ＝12×5×53＝252 3. 需要填方：100×2523＝1 2503(m 3)． (2)在直角三角形DGC 中，DC ＝103， ∴GC ＝DC 2－DG 2＝(103)2－(53)2＝15， ∴GE ＝GC ＋CE ＝20，∴坡度i ＝DG GE ＝5320＝34. 答：(1)需要添方约1 250 3 m 3. (2)背水坡坡度为34.点拨：对于梯形问题，经常需添加辅助线．梯形中辅助线的作法分为作高、平移一腰、平移对角线、延长两腰等不同类型．与直角三角形有关的梯形问题，通常作出高．【例3】 （聊城市中考题）美丽的东昌湖滨于江北水城以灵性，周边景点密布．如图所示，A B ，为湖滨的两个景点，C 为湖心一个景点．景点B 在景点C 的正东，从景点A 看，景点B 在北偏东75方向，景点C 在北偏东30方向．一游客自景点A 驾船以每分钟20米的速度行驶了10分钟到达景点C ，之后又以同样的速度驶向景点B ，该游客从景点C 到景点B 需用多长时间（精确到1分钟）？解：根据题意，得2010200AC =⨯=．过点A 作AD 垂直于直线BC ，垂足为D （如图2）． 在Rt ADC △中，cos AD AC CAD =∠·200cos301003==·°， sin 200sin30100DC AC CAD =∠==··°． 在Rt ADB △中，tan 1003tan 75DB AD BAD =∠=·°． 1003tan 75100CB DB DC =-=-∴°．53tan 7552720CB=-≈∴°． 即该游客自景点C 驶向景点B 约需27分钟．【练习3】如图，海平面上灯塔O 方圆100千米范围内有暗礁，•一艘轮船自西向东方向航行，在点A 处测量得灯塔O 在北偏东60°方向，继续航行100米后，在点B 处测量得灯塔O 在北偏东37°方向．请你作出判断，为了避免触礁，这艘轮船是否要改变航向？（参考数据：sin37°≈0.6018，cos37°≈0.7986，tan37°≈0.7536，cot37°≈1.327，3≈1.732）7530CB A北 东Ｄ图27530CB A 北 东图1例4．如图28-2-12，某校教学楼AB 的后面有一建筑物CD ，当光线与地面的夹角是22°时，教学楼在建筑物的墙上留下高2米的影子CE ；而当光线与地面夹角是45°时，教学楼顶A 在地面上的影子F 与墙角C 有13米的距离(B ，F ，C 在一条直线上)．(1)求教学楼AB 的高度；(2)学校要在A ，E 之间挂一些彩旗，请你求出A ，E 之间的距离(结果保留整数；参考数据：sin22°≈38，cos22°≈1516，tan22°≈25)．图28-2-12【练习4】 （四川省）如图，小丽的家住在成都市锦江河畔的电梯公寓AD 内，她家的河对岸新建了一座大厦BC ，为了测得大厦的高度，小丽在她家的楼底A 处测得大厦顶部B 的仰角为60°，爬上楼顶D 处测得大厦顶部B 的仰角为30°．已知小丽所住的电梯公寓高82米，请你帮助小丽计算出大厦高度BC 及大厦与小丽所住电梯公寓间的距离AC ．解：过点D 作DE ⊥BC 于E ，则四边形ACED 是矩形． ∴AC=DE ，DA=EC=82米，∠BDE=30°．在Rt △BDE 中，∵tan ∠BDE=BEDE， ∴BE=DE·tan ∠BDE=33DE ．在Rt △BAC 中，∵tan ∠BAC=BCAC， 即tan60°=ACEC DE 33．∴3AC =33AC ＋82，解得，AC = 413（米）．∴BC = BE ＋EC =33DE ＋EC =33×413＋82= 123（米）． 答：大夏BC 高为123米，小丽所住的电梯公寓与大厦间的距离AC 为413米．例5 （自贡市中考题）如图所示，我市某中学数学课外活动小组的同学，利用所学知识去测量沱江流经我市某段的河宽．小凡同学在点A 处观测到对岸C 点，测得∠CAD ＝45°，又在距A 处60米远的B 处测得∠CBA ＝30°，请你根据这些数据算出河宽是多少？（精确到0.01m ）分析：此类问题的解题思路是构建直角三角形模型，一般需要将两个直角三角形联系起来，通过列方程解决问题． 解：过C 作CE ⊥AB 于E ，则CE 为河宽． 设CE ＝x （米），于是BE ＝x ＋60（米）． 在Rt △BCE 中，tan30°＝EBCE，∴3x ＝x ＋60．∴x ＝30(3＋1) ≈81.96（米）． 所以河宽约为81.96米．练习5．如图28-2-13，小明家在A 处，门前有一口池塘，隔着池塘有一条公路l ，AB 是A 到l 的小路．现新修一条路AC 到公路l .小明测量出∠ACD ＝30°，∠ABD ＝45°，BC ＝50 m ．请你帮小明计算他家到公路l 的距离AD 的长度(精确到0.1 m ；参考数据：2≈1.414，3≈1.732)．图28-2-13例1 如图，平地上一幢建筑物AB 与铁塔CD 相距60米，已知在建筑物顶部测得铁塔底部的俯角为30°，顶部的仰角为45°，求铁塔高．例3。
浙教版九年级下册数学第一章 解直角三角形 含答案
浙教版九年级下册数学第一章解直角三角形含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、如图，一科珍贵的乌稔树被台风“山竹”吹歪了，处于对它的保护，需要测量它的高度．现采取以下措施：在地面选取一点C，测得∠BCA＝45°，AC＝20米，∠BAC＝60°，则这棵乌稔树的高AB约为（）（参考数据：）A.7米B.14米C.20米D.40米2、在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，AC=5，则sinA的值为（）A. B. C. D.3、在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=4，AC=1，则cosB的值为（）A. B. C. D.4、如图，△ABC与△DEF都是等腰三角形，且AB=AC=3，DE=DF=2，若∠B+∠E=90°，则△ABC与△DEF的面积比为（）A.9：4B.3：2C. ：D.3 ：25、如图，以原点O为圆心，半径为1的弧交坐标轴于A，B两点，P是上一点（不与A，B重合），连接OP，设∠POB=α，则点P的坐标是（）A.（sinα，sinα）B.（cosα，cosα）C.（cosα，sinα） D.（sinα，cosα）6、关于三角函数有如下公式：sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ，sin（α﹣β）=sinαcosβ﹣cosαsinβcos（α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ，cos（α﹣β）=cosαcosβ+sinαsinβtan（α+β）= （1﹣tanαtanβ≠0），合理利用这些公式可以将一些角的三角函数值转化为特殊角的三角函数来求值，如sin90°=sin（30°+60°）=sin30°cos60°+cos30°sin60°==1。
利用上述公式计算下列三角函数①sin105°= ，②tan105°=﹣2﹣，③sin15°= ，④cos90°=0.其中正确的个数有（）A.1个B.2个C.3个D.4个7、四位学生用计算器求sin62°20′的值正确的是（）A.0 .8857B.0 .8856C.0 .8852D.0 .88518、小明在学习“锐角三角函数”中发现，将如图所示的矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC上的点E处，还原后，再沿过点E的直线折叠，使点A落在BC上的点F处，这样就可以求出67.5°角的正切值是( )A. ＋1B. ＋1C.2.5D.9、在△ABC中，∠C＝90°．若AB＝3，BC＝1，则cosB的值为（）A. B. C. D.310、在Rt△ABC，∠C=90°，AC=3，BC=4，则∠A的余切值等于（）A. B. C. D.11、如图，⊙O与Rt△ABC的斜边AB相切于点D，与直角边AC相交于点E，且DE∥BC．已知AE=2 ，AC=3 ，BC=6，则⊙O的半径是（）A.3B.2C.2D.12、一渔船上的渔民在A处看见灯塔M在北偏东60°方向，这艘渔船以28km/时的速度向正东航行，半小时到B处，在B处看见灯塔M在北偏东15°方向，此时，灯塔M与渔船的距离是（）.A. B. C. D.13、如图，△ABC中，AB＝AC＝10，tanA＝2，BE⊥AC于点E，D是线段BE上的一个动点，则的最小值是( )A. B. C. D.1014、下列运算正确的个数是（）①2a2﹣a2=a2；②+ =2 ；③（π﹣3.14）0×=0；④a2÷a×=a2；⑤sin30°+cos60°= ；⑥精确到万位6295382≈6.30×106．A.1B.2C.3D.415、如图所示，正方形ABCD的顶点B，C在x轴的正半轴上，反比例函数y= （k≠0）在第一象限的图象经过顶点A（m，m+3）和CD上的点E，且OB﹣CE=1．直线l过O、E两点，则tan∠EOC的值为（）A. B.5 C. D.3二、填空题(共10题，共计30分)16、如图，在8×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，若△ABC的三个顶点都在图中相应的格点上，则tan∠ACB=________ .17、已知，C是平面内一个动点，，则满足条件的点C所在区域的面积是________.18、△ABC中，∠A、∠B均为锐角，且，则△ABC 的形状是________．19、如图，在△ABC中，∠ACB=120°，AC=4，BC=6，过点A作BC的垂线，交BC的延长线于点D，则tanB的值为________．20、等腰△ABC的腰AC边上的高BD=3，且CD=5，则tan∠ABD=________．21、在平面直角坐标系xOy中，已知一次函数y=kx+b（k≠0）的图象过点P （1，1），与x轴交于点A，与y轴交于点B，且tan∠ABO=3，那么点A的坐标是________．22、如图，已知在平行四边形ABCD中，AB＝8 ，BC＝20，∠A＝60°，P是边AD上一动点，连结PB，将线段PB绕着点P逆时针旋转90°得到线段PQ，若点Q恰好落在平行四边形ABCD的边上，那么AP的值是________.23、荆州市滨江公园旁的万寿宝塔始建于明嘉靖年间，周边风景秀丽．现在塔底低于地面约7米，某校学生测得古塔的整体高度约为40米．其测量塔顶相对地面高度的过程如下：先在地面A处测得塔顶的仰角为30°，再向古塔方向行进a米后到达B处，在B处测得塔顶的仰角为45°（如图所示），那么a的值约为________米（≈1.73，结果精确到0.1）．24、已知：tanx=2，则=________25、在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2，BC= ，则sinA=________．三、解答题(共5题，共计25分)26、计算：cos45°•（﹣）﹣2﹣（2 ﹣）0+|4﹣|+ ．27、如图，在一次数学课外实践活动，小文在点C处测得树的顶端A的仰角为37°，BC=10米，求树的高度AB．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80．tan37°≈0.75）28、常州天宁宝塔是世界第一高佛塔．某校数学兴趣小组要测量宝塔的高度．如图，他们在点A处测得宝塔的最高点C的仰角为，再往宝塔方向前进65米至点B处，测得最高点C的仰角为．请你根据这个兴趣小组测得的数据，计算宝塔的高度CD（参考数据：，，结果精确到0.01米）．29、如图，一艘船在A处望见灯塔E在北偏东60°方向上，此船沿正东方向航行60海里后到达B处，在B处测得灯塔E在北偏东15°方向上．（Ⅰ）求∠AEB的度数；（Ⅱ）①求A处到灯塔E的距离AE；②已知灯塔E周围40海里内有暗礁，问：此船继续向东方向航行，有无触礁危险？（参考数据：≈1.414，≈1.732）30、如图是一辆小汽车与墙平行停放的平面示意图，汽车靠墙一侧与墙MN平行且距离为0.8米，已知小汽车车门宽AO为1.2米，当车门打开角度∠AOB为40°时，车门是否会碰到墙？请说明理由。
九年级数学解直角三角形同步练习题(含答案)
九年级数学解直角三角形同步练习题（含答案）一、选择题（本大题共15小题，共45.0分）1.若角α的余角是30∘，则cosα的值是()A. 12B. √32C. √22D. √332.在Rt▵ABC中，∠C=90∘，sinA=35，则cosB的值是()A. 45B. 35C. 34D. 433.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，点D在AC上，∠DBC=∠A.若AC=4，cosA=45，则BD的长度为()A. 94B. 125C. 154D. 44.已知a，b，c是△ABC的∠A，∠B，∠C的对边，且a：b：c=1：√2：√3，则cos B的值为()A. √63B. √33C. √22D. √245.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，cosA=45，以点B为圆心，r为半径作⊙B，当r=3时，⊙B与AC的位置关系是()A. 相离B. 相切C. 相交D. 无法确定6.如图，数学活动小组利用测角仪和皮尺测量学校旗杆的高度，在点D处测得旗杆顶端A的仰角∠ADE为55°，测角仪CD的高度为1米，其底端C与旗杆底端B之间的距离为6米，设旗杆AB的高度为x米，则下列关系式正确的是()A. tan55°=B. tan55°=C. sin55°=D. cos55°=7.如图，已知点A、点B是同一幢楼上的两个不同位置，从A点观测标志物C的俯角是65°，从B点观测标志物C的俯角是35°，则∠ACB的度数为()A. 25°B. 30°C. 35°D. 65°8.在Rt△ABC中，已知∠C=90∘.若AC=2BC，则sin∠A的值是()A. 12B. 2 C. √55D. √529.△ABC中，∠C=90°，若∠A=2∠B，则cosB等于()A. √3B. √33C. √32D. 1210.如图，△ABC中，AD⊥BC于点D，AD=2√3，∠B=30°，S△ABC=10√3，则tanC的值为()A. 13B. 12C. √33D. √3211.在Rt△ABC中，∠C=90，AC=12，cosA=1213，则tanA等于()A. 513B. 1312C. 125D. 51212.如图，点A、B、C均在小正方形的顶点上，且每个小正方形的边长均为1，则cos∠BAC的值为()A. 12B. √22C. 1D. √213.从一艘船上测得海岸上高为42米的灯塔顶部的仰角为30°时，船离灯塔的水平距离是()A. 42√3米B. 14√3米C. 21米D. 42米14.如图，在8×4的正方形网格中，若△ABC的三个顶点在图中相应的格点上，则tan∠ACB的值为()A. 13B. √1010C. 12D. √2215.把Rt△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍，则锐角A的余弦值()A. 不变B. 缩小为原来的13C. 扩大为原来的3倍D. 扩大为原来的9倍二、填空题（本大题共1小题，共3.0分）16.计算：√27+(13)−2−3tan60°+(π−√2)0=______．三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）17.如图，在A的正东方向有一港口B.某巡逻艇从A沿着北偏东55°方向巡逻，到达C时接到命令，立刻从C沿南偏东60°方向以20海里/小时的速度航行，从C到B航行了3小时．求A，B间的距离(结果保留整数).(参考数据：sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43，√3≈1.73)四、解答题（本大题共5小题，共40.0分）18.如图，A，B两点被池塘隔开，在AB外选一点C，连接AC，BC.测得BC=221m，∠ACB=45°，∠ABC=58°.根据测得的数据，求AB的长(结果取整数)．参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60．19.如图，在平面直角坐标系内，O为原点，点A的坐标为(10,0)，点B在第一象限内，BO=5，sin∠BOA=．(1)求点B的坐标；(2)求tan∠BAO的值．)−1+√18−6sin45°．20.计算：(1221.如图，平台AB高为12m，在B处测得楼房CD顶部点D的仰角为45°，底部点C的俯角为30°，求楼房CD的高度(√3取1.7)．22.如图，在△ABC中，∠C=90°，点D，E分别在AC，AB上，BD平分∠ABC，DE⊥AB于点E，AE=6，cosA=3．5(1)求CD的长；(2)求tan∠DBC的值．1.【答案】A【解析】【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，属于基础题．先根据题意求得α的值，再求它的余弦值．【解答】解：因为角α的余角是30∘，所以α=90°−30°=60°，则．故选A．2.【答案】B【解析】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，∴∠A+∠B=90°，∴cosB=sinA=，故选：B．3.【答案】C【解析】解：∵∠C=90°，AC=4，cosA=45，∴AB=ACcosA=5，∴BC=√AB2−AC2=3，∵∠DBC=∠A．∴cos∠DBC=cosA=BCBD =45，∴BD=3×54=154，故选：C．在△ABC中，由三角函数求得AB，再由勾股定理求得BC，最后在△BCD中由三角函数求得BD．本题主要考查了勾股定理，解直角三角形的应用，关键是解直角三角形．4.【答案】B【解析】解：∵，∴△ABC为直角三角形．cosB==．故选：B．5.【答案】B【解析】【分析】本题考查了直线与圆的位置关系的应用，注意：直线和圆有三种位置关系：相切、相交、相离．根据三角函数的定义得到AC，根据勾股定理求得BC，和⊙B的半径比较即可．【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，cosA=45，∴ACAB =AC5=45，∴AC=4，∴BC=√AB2−AC2=3，∵r=3，∴⊙B与AC的位置关系是相切，故选：B．6.【答案】B【解析】【解析】解：∵在Rt△ADE中，DE=6，AE=AB−BE=AB−CD=x−1，∠ADE=55°，∴sin55°=，cos55°=，tan55°=，故选：B．7.【答案】B【解析】【解析】解：根据题意可知：∠ACD=65°，∠BCD=35°，∴∠ACB=∠ACD−∠BCD=30°．故选：B．8.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了锐角三角函数的求法，属于基础题．可先求出斜边AB，然后根据正弦的定义求出角A的正弦即可．【答案】解：∵AC=2BC，由勾股定理可得：AB=√AC2+BC2=√(2BC)2+BC2=√5BC，∴sin∠A=BCAB =√5=√55，故选C．9.【答案】C【解析】解：∵∠C=90°，∴∠A+∠B=90°，∵∠A=2∠B，∴∠B=30°，∴cosB=cos30°=√32，故选：C．根据直角三角形的性质求出∠B，根据30°的余弦值是√32解答．本题考查的是特殊角的三角函数值、直角三角形的性质，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．10.【答案】D【解析】解：∵在△ABD中，∠ADB=90°，AD=2√3，∠B=30°，∴BD=ADtanB =√3√33=6．∵S△ABC=12BC⋅AD=10√3，∴12BC⋅2√3=10√3，∴BC=10，∴CD=BC−BD=10−6=4，∴tanC=ADCD =2√34=√32．故选：D．首先解直角△ABD，求得BD，再根据S△ABC=10√3，求出BC，那么CD=BC−BD，然后在直角△ACD中利用正切函数定义即可求得tanC的值．本题考查了解直角三角形，三角形的面积，锐角三角函数定义，解题的关键是求出CD的长．【解析】解：∵cosA=ACAB =1213，AC=12，∴AB=13，BC=√AB2−AC2=5，∴tanA=BCAC =512．故选：D．根据cosA=1213求出第三边长的表达式，求出tanA即可．本题利用了勾股定理和锐角三角函数的定义．12.【答案】B【解析】解：连接BC，∵每个小正方形的边长均为1，∴AB=√5，BC=√5，AC=√10，∵(√5)2+(√5)2=(√10)2，∴△ABC是直角三角形，∴cos∠BAC=ABAC =√5√10=√22，故选：B．根据题目中的数据和勾股定理，可以求得AB、BC、AC的长，然后根据勾股定理逆定理可以判断△ABC的形状，从而可以求得cos∠BAC的值．本题考查解直角三角形、勾股定理与逆定理，解答本题的关键是明确题意，判断出△ABC 的形状，利用锐角三角函数解答．13.【答案】A【解析】解：根据题意可得：船离海岸线的距离为42÷tan30°=42√3(米)故选：A．在直角三角形中，已知角的对边求邻边，可以用正切函数来解决．本题考查解直角三角形的应用−仰角的定义，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．【解析】【分析】本题主要考查正切值的求法，解题的关键是构造直角三角形．作AH⊥CB，交CB延长线于H点，∠ACB的正切值是AH与CH的比值．【解答】解：如图，作AH⊥CB，交CB延长线于H点，则tan∠ACB=AHHC =26=13．故选A．15.【答案】A【解析】【分析】本题考查的是相似三角形的判定和性质、锐角三角函数的定义，掌握相似三角形的对应角相等是解题的关键．根据相似三角形的性质解答．【解答】解：三边的长度都扩大为原来的3倍，则所得的三角形与原三角形相似，∴锐角A的大小不变，∴锐角A的余弦值不变，故选：A．16.【答案】10【解析】解：原式=3√3+9−3√3+1=10．故答案为：10．直接利用零指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、负整数指数幂的性质分别化简得出答案．此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．17.【答案】解：如图，过点C作CD⊥AB于点D，由题意可知：∠ACD=55°，∠BCD=60°，BC=20×3=60(海里)，BC=30(海里)，BD=30√3(海里)，在Rt△BCD中，CD=12在Rt△ADC中，AD=CD⋅tan55°=30×1.43≈42.90(海里)，∴AB=AD+BD=42.90+30√3≈95(海里)．答：A，B间的距离为95海里．【解析】过点C作CD⊥AB于点D，根据三角函数分别求出CD、BD、AD的长，进而可求出A、B间的距离．本题考查了解直角三角形的应用−方向角问题，解决本题的关键是掌握方向角的定义．18.【答案】解：如图，过点A作AD⊥BC，垂足为D，∵∠ACB=45°，∴AD=CD，设AB=x，在Rt△ADB中，AD=AB⋅sin58°≈0.85x，BD=AB⋅cos58°≈0.53x，又∵BC=221，即CD+BD=221，∴0.85x+0.53x=221，解得，x≈160，答：AB的长约为160m．【解析】通过作高，构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系，列方程求解即可．本题考查直角三角形的边角关系，掌握直角三角形的边角关系，即锐角三角函数，是正确解答的前提，通过作辅助线构造直角三角形是常用的方法．19.【答案】解：(1)如图，过点B作BH⊥OA于点H，∵OB=5，sin∠BOA=，∴BH=3，OH=4，∴点B的坐标为(4,3)，(2)∵OA=10，∴AH=OA−OH=10−4=6，∴在Rt△AHB中，tan∠BAO===．【解析】解答案20.【答案】解：(12)−1+√18−6sin45°=2+3√2−6×√2 2=2+3√2−3√2=2．【解析】首先计算负整数指数幂、开方和特殊角的三角函数值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可．此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．21.【答案】解：如图，过点B作BE⊥CD于点E，根据题意，∠DBE=45°，∠CBE=30°．∵AB⊥AC，CD⊥AC，∴四边形ABEC为矩形．∴CE=AB=12m．在Rt△CBE中，cot∠CBE=BE，CE∴BE=CE⋅cot30°=12×√3=12√3．在Rt△BDE中，由∠DBE=45°，得DE=BE=12√3．∴CD=CE+DE=12(√3+1)≈32.4．答：楼房CD的高度约为32.4m．【解析】首先分析图形，根据题意构造直角三角形．本题涉及多个直角三角形，应利用其公共边构造关系式求解．考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，本题要求学生借助俯角构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．22.【答案】解：(1)在Rt△ADE中，∠AED=90°，AE=6，cosA=3，5∴AD=AE=10，cosA∴DE=√AD2−AE2=√102−62=8．∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，DC⊥BC，∴CD=DE=8；(2)由(1)AD=10，DC=8，∴AC=AD+DC=18，在△ADE与△ABC中，∵∠A=∠A，∠AED=∠ACB，∴△ADE∽△ABC，∴DEBC =AEAC，即8BC=618,BC=24，∴tan∠DBC=CDBC =824=13．【解析】(1)在Rt△ADE中，根据余弦函数的定义求出AD，利用勾股定理求出DE，再由角平分线的性质可得DC=DE=8；(2)由AD=10，DC=8，得AC=AD+DC=18.由∠A=∠A，∠AED=∠ACB，可知△ADE∽△ABC，由相似三角形对应边成比例可求出BC的长，根据三角函数的定义可求出tan∠DBC=13．本题考查了解直角三角形，角平分线的性质、相似三角形的判定与性质，三角函数的定义，求出DE是解第(1)小题的关键；求出BC是解第(2)小题的关键．。
九年级数学解直角三角形练习试卷含答案
《解直角三角形》练习11．正方形网格中，AOB ∠如图1放置，则cos AOB ∠的值为（ ） Ａ．55 Ｂ．255 Ｃ．12 Ｄ．22．如果由点A 测得点B 在北偏东15°的方向，那么由点B 测点A 的方向为（ ）A. 北偏东15°B. 北偏西75°C. 南偏西15°D. 南偏东75°3．如图，是一水库大坝横断面的一部分，坝高h =6m ，迎水斜坡AB =10m ，斜坡的坡角为α，则tan α的值为 （ ） Ａ．53 B ．54 C ．34 D ．43 4. 如图2斜坡AB 和水平面的夹角为α，下列命题中，不正确的是（ ）图2A. 斜坡AB 的坡角为αB. 斜坡AB 的坡度为BC ABC. 斜坡AB 的坡度为tan αD. 斜坡AB 的坡度为BC AC二. 填空题5. 在△ABC 中，∠C =90°，若a =85，b =815，则c =__________， ∠A =__________，∠B =__________．6. 一物体沿坡度为1：8的山坡向上移动65米，则物体升高了__________米．7. Rt △ABC 中，一锐角的正切值为0.75，周长是36，则它的两条直角边的和是_____．8. 在地面上一点，测得一电视塔尖的仰角45°，沿水平方面，再向塔底前进a 米，A B O图1又测得塔尖的仰角为60°，那么电视塔为__________．9. 如图3，在高2米，坡角为30°的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需__________米．（精确到0.1米）．图3三. 解答题10. 如图4，要测池塘A 、B 两端的距离，可以在平地上与AB 垂直的直线BF 上取一点C ，使∠FCA =120°，并量得BC =20m ，求A ，B 两端的距离（不取近似值）．图411. 从一船上看到在它的南偏东30°的海面上有一座灯塔，船以30海里/时的速度向东南方航行，半小时后，看到这个灯塔在船的正西，求这时船与灯塔的距离．12.某校教学楼后面紧邻着一个山坡，坡上面是一块平地，如图所示，BC ∥AD ，BE ⊥AD ，斜坡AB 长26米，坡角∠BAD=68°.为了减缓坡面防止滑坡，保障安全，学校决定对该斜坡进行改造，经地质人员勘测，当坡角不超过50°时，可确保不滑坡.（1）求改造前坡顶到地面的距离BE 的长（精确到0.1米）；（2）如果改造时保持坡脚A 不动，坡顶B 沿BC 左移11米到F 点处，问这样改造能确保安全吗？（参考数据：sin 680.93≈，cos 680.37≈，tan 68 2.48≈，'sin 58120.85≈，'tan 4930 1.17≈）答案：（1）在Rt △ABE 中，AB=26，∠BAD=68°， ∵BE sin BAD AB∠=，∴BE=AB·sin BAD ∠=26×sin 68≈24.2（米）.（2）过点F 作FM ⊥AD 于点M ，连结AF.∵BC ∥AD ，BE ⊥AD ，BF=11，∴FM=BE=24.2，EM=BF=11.在Rt △ABE 中， ∵AE cos BAE AB∠=, ∴AE=AB·cos BAE ∠=26×cos 68≈9.62.∴AM=AE-EM=9.62+11=20.62.在Rt △AFM 中， ∵FM 24.2tan FAM AM 20.62∠==≈1.17, ∴'FAM 493050∠=<.∴这样改造能确保安全.〖参考答案〗一．选择题（1）C（2）C（3）D（4）B二. 填空题5. 165，30°，60°6. 1米7. 218. 1233()+a 米9. 5.5米三. 解答题：10. 解：根据题意，有∠ABC =90°在Rt △ABC 中，∠ACB =180°－∠FCA =180°－120°=60° ∵tan ∠ACB ABBC =∴AB BC ACB m ===·∠·°tan tan ()2060203 答：A 、B 两端之间的距离为203m ．11.解：如图5所示，AC =30×0.5=15图5在Rt △COB 中，AO OC AC ACO ====cos ∠×15221522 在Rt △COB 中，OB OC BCO ===tan ∠×152233526 ∴AB OA OB =-=-1522526448≈. 答：此时船与灯塔的距离约为4.48海里．12.答案：（1）在Rt △ABE 中，AB=26，∠BAD=68°， ∵BE sin BAD AB∠=， ∴BE=AB·sin BAD ∠=26×sin 68≈24.2（米）.（2）过点F 作FM ⊥AD 于点M ，连结AF.∵BC ∥AD ，BE ⊥AD ，BF=11，∴FM=BE=24.2，EM=BF=11.在Rt △ABE 中，∵AE cos BAE AB∠=, ∴AE=AB·cos BAE ∠=26×cos 68≈9.62. ∴AM=AE-EM=9.62+11=20.62. 在Rt △AFM 中， ∵FM 24.2tan FAM AM 20.62∠==≈1.17, ∴'FAM 493050∠=<.∴这样改造能确保安全.。
(附答案)《解直角三角形》典型例题
《解直角三角形》典型例题例1 在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠B=60°，a=4，解这个三角形． 分析 本题实际上是要求∠A 、b 、c 的值．可根据直角三角形中各元素间的关系解决． 解 （1） ；（2）由abB =tan ，知 ；（3）由c a B =cos ，知860cos 4cos =︒==B a c ． 说明 此题还可用其他方法求b 和c ．例 2 在Rt △ABC 中, ∠C=90°，∠A=30°，3=b ,解这个三角形．解法一 ∵ ∴设 ,则由勾股定理,得∴ ．∴．解法二 133330tan =⨯=︒=b a说明 本题考查含特殊角的直角三角形的解法,它可以用目前所学的解直角三角形的方法,也可以用以前学的性质解题． 例 3 设 中，于D ，若，解三角形ABC ．分析“解三角形ABC”就是求出的全部未知元素．本题CD不是的边，所以应先从Rt入手．解在Rt中，有：∴在Rt中，有说明（1）应熟练使用三角函数基本关系式的变形，如：（2）平面几何中有关直角三角形的定理也可以结合使用，本例中“”就是利用“对30°角的直角边等于斜边的一半”这一定理．事实上，还可以用面积公式求出AB的值：所以解直角三角形问题，应开阔思路，运用多种工具．例4在中，，求．分析（1）求三角形的面积一方面可以根据面积公式求出底和底上的高的长，也可以根据其中规则面积的和或差；（2）不是直角三角形，可构造直角三角形求解．解如图所示，作交CB的延长线于H，于是在Rt△ACH中，有，且有；在中，，且，∴；于是，有，则有说明还可以这样求：例5 如图，在电线杆上离地面高度5m 的C 点处引两根拉线固定电线杆，一根拉线AC 和地面成60°角，另一根拉线BC 和地面成45°角．求两根拉线的总长度（结果用带根号的数的形式表示）．分析 分别在两个直角三角形ADC 和BDC 中，利用正弦函数的定义，求出AC 和BC ．解: 在Rt △ADC 中，331023560sin ==︒=DC AC 在Rt △BDC 中，221022545sin ==︒=DC BC说明 本题考查正弦的定义，对于锐角三角函数的定义，要熟练掌握．学习要有三心:一信心；二决心；三恒心.知识+方法=能力,能力+勤奋=效率,效率×时间=成绩. 宝剑锋从磨砺出,梅花香自苦寒来.。
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《解直角三角形》典型例题
例1 在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠B=60°，a=4，解这个三角形．
分析 本题实际上是要求∠A 、b 、c 的值．可根据直角三角形中各元素间的关系解决．
解 （1）
； （2）由a b B =tan ，知 ； （3）由c a B =
cos ，知860cos 4cos =︒==B a c ． 说明 此题还可用其他方法求b 和c ．
例 2 在Rt △ABC 中, ∠C=90°，∠A=30°，3=b ,解这个三角形． 解法一 ∵
∴ 设
,则
由勾股定理,得 ∴ ． ∴
． 解法二 133330tan =⨯=︒=b a
说明 本题考查含特殊角的直角三角形的解法,它可以用目前所学的解直角三角形的方法,也可以用以前学的性质解题．
例 3 设
中， 于D ，若 ，解三
角形ABC ．
分析“解三角形ABC”就是求出的全部未知元素．本题CD不是的边，所以应先从Rt入手．
解在Rt中，有：
∴
在Rt中，有
说明（1）应熟练使用三角函数基本关系式的变形，如：
（2）平面几何中有关直角三角形的定理也可以结合使用，本例中
“”就是利用“对30°角的直角边等于斜边的一半”这一定理．事实上，还可以用面积公式求出AB的值：
所以解直角三角形问题，应开阔思路，运用多种工具．
例4在中，，求．
分析（1）求三角形的面积一方面可以根据面积公式求出底和底上的高的长，也可以根据其中规则面积的和或差；
（2）不是直角三角形，可构造直角三角形求解．
解如图所示，作交CB的延长线于H，于是在Rt△ACH中，有，且有
；
在中，，且
，
∴；
于是，有，
则有
说明还可以这样求：
例5 如图，在电线杆上离地面高度5m 的C 点处引两根拉线固定电线杆，一根拉线AC 和地面成60°角，另一根拉线BC 和地面成45°角．求两根拉线的总长度（结果用带根号的数的形式表示）．
分析 分别在两个直角三角形ADC 和BDC 中，利用正弦函数的定义，求出AC 和BC ．
解: 在Rt △ADC 中，331023560sin ==︒=DC
AC
在Rt △BDC 中，22
102
2545sin ==︒=DC BC
说明 本题考查正弦的定义，对于锐角三角函数的定义，要熟练掌握．。