最新人教版高中数学必修5期末测试题及其详细答案

合集下载

【人教版】高中数学必修五期末模拟试卷(含答案)(1)

一、选择题1．已知实数,x y 满足24240x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≤⎩，则32z x y =-的最小值是（）A ．4B ．5C ．6D ．72．设x ，y 满足约束条件22032600,0x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥≥⎩，若目标函数()0,0z ax by a b =+>>的最大值为12，则22a b +的最小值为（） A ．254B ．499C ．14425D ．225493．设x ，y 满足约束条件1x y ax y +≥⎧⎨-≤-⎩，且z x ay =+的最小值为7，则a =（）A ．5-B ．3C ．5-或3D ．5或3-4．已知实数x ,y 满足210210x y x x y -+≥⎧⎪<⎨⎪+-≥⎩,则221z x y =--的取值范围是( )A ．5,53⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．5,53⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．5,53⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．5,53⎡⎫-⎪⎢⎣⎭5．在ABC 中，内角A ､B ､C 所对的边分别是a ､b ､c ，已知14b c a -=，2sin 3sin B C =，ABC，则a =（） A ．2B ．3C ．4D ．56．我国古代数学家刘徽在《九章算术注》中提出割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”，即通过圆内接正多边形细割圆，并使正多边形的面积无限接近圆的面积，进而来求得较为精确的圆周率.如果用圆的内接正n 边形逼近圆，算得圆周率的近似值记为n π，那么用圆的内接正2n 边形逼近圆，算得圆周率的近似值加2n π可表示成（）A ．360sinnnπ︒ B ．360cosnnπ︒ C ．180cosnnπ︒ D ．90cosnnπ︒ 7．在ABC 中，内角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c，若sin cos 0b A B =，且2b ac =，则a cb+ 的值为（）A．2BC ．2D ．48．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若22tan tan B Cb c=，则ABC 的形状为（）A ．等腰三角形或直角三角形B ．等腰直角三角形C ．等腰三角形D ．直角三角形9．记无穷数列{}n a 的前n 项12,,,n a a a …的最大项为n A ，第n 项之后的各项12,n n a a ++，···的最小项为n B ，令n n n b A B =-，若数列{}n a 的通项公式为2276n a n n =-+，则数列{}n b 的前10项和为（）A ．169-B ．134-C ．103-D ．78-10．已知数列{}n a 满足11a =，24a =，310a =，1{}n n a a +-是等比数列，则数列{}n a 的前8项和8S =（） A ．376B ．382C ．749D ．76611．已知1，1x ，2x ，7成等差数列，1，1y ，2y ，8成等比数列，点()11,M x y ，()22,N x y ，则直线MN 的方程是（）A ．10x y -+=B ．10x y --=C ．70x y --=D ．70x y +-=12．已知函数()()31f x x x =-+，数列{}n a 中各项互不相等，记()()()12n n S f a f a f a =+++，给出两个命题：①若等差数列{}n a 满足55S =，则33a =；②若正项等比数列{}n a 满足33S =，则21a <；其中（）A ．①是假命题，②是真命题B ．①是真命题，②是假命题C ．①②都是假命题D ．①②都是真命题二、填空题13．已知x ，y 满足条件1030,1x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩则32z x y =-+的最小值为___________.14．在ABC 中，点M 是边BC的中点，AM =2BC =，则2AC AB +的最大值为___________.15．如图，在ABC 中，角C 的平分线交AB 于D 且CD AD =.若3AC =，2BC =，则AB =________16．已知ABC 中，2,2BC AB AC ==，则ABC 面积的最大值为_____17．设x 、y 满足约束条件22010240x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则2z x y =+的最大值是__________．18．已知函数()21f x x x =-+，若在区间[]1,1-上，不等式()2f x x m >+恒成立，则实数m 的取值范围是___________.19．若a 、b 、c 成等比数列，a 、x 、b 成等差数列，b 、y 、c 成等差数列（x 、y 均不为0），则a cx y+=______.20．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且4873a a a +-=_________．三、解答题21．（1）已知x 、y 都是正数，若23x y +=，求11x y+的最小值；（2）当k 取何值时，不等式23208kx kx +-<对一切实数x 都成立？ 22．小王于年初用50万元购买一辆大货车，第一年因缴纳各种费用需支出6万元，从第二年起，每年都比上一年增加支出2万元，假定该车每年的运输收入均为25万元．小王在该车运输累计收入超过总支出后，考虑将大货车作为二手车出售，若该车在第x 年年底出售，其销售价格为(25－x )万元(国家规定大货车的报废年限为10年)． (1)大货车运输到第几年年底，该车运输累计收入超过总支出？(2)在第几年年底将大货车出售，能使小王获得的年平均利润最大？(利润＝累计收入＋销售收入－总支出)23．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若角C 为23π，且()()()sin 2sin cos A C B C A B +=++．（1）求::a b c 的值；（2）若ABC 的内切圆的半径332r =，求ABC 的面积．24．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边依次为a ，b ，c ，221sin cos 22A B C +-=．（1）求角C ；（2）若2c =，4A π=，求ABC 的面积．25．已知数列{}n a 满足11a =，13(1)n n na n a +=+．（1）设nn a b n=，求证:数列{}n b 是等比数列; （2）求数列{}n a 的前n 项和n S ．26．若数列{}n a 对任意连续三项12,,i i i a a a ++，均有()()2210()i i i i a a a a i N *+++-->∈，则称该数列为“跳跃数列”.（1）判断下列两个数列是否是跳跃数列： ① 等差数列：1,2,3,4,5,；② 等比数列：11111,,,,24816--；（2）跳跃数列{}n a 满足对任意正整数n 均有21195nn a a +-=，求首项1a 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】由约束条件画出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组得到最优解的坐标，代入目标函数得到答案. 【详解】由实数x ，y 满足24240x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≤⎩得到可行域如图：z ＝3x ﹣2y 变形为y ＝32x ﹣2z，由024y x y =⎧⎨-=⎩，解得B （2，0）当此直线经过图中B 时，在y 轴的截距最大，z 最小，所以z 的最小值为3×2﹣2×0＝6；故选C ．【点睛】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.2．C解析：C 【分析】根据z 的最大值求得,a b 的关系式，结合点到直线的距离公式，求得22a b +的最小值. 【详解】由2203260x y x y -+=⎧⎨--=⎩解得43x y =⎧⎨=⎩. 画出可行域如下图所示，由于0,0a b >>，所以目标函数()0,0z ax by a b =+>>在点()4,3取得最大值4312a b +=.22a b +的最小值等价于原点到直线43120x y +-=的距离的平方，原点到直线43120x y +-=221212534-=+，所以22a b +的最小值为212144525⎛⎫= ⎪⎝⎭.故选：C【点睛】本小题主要考查根据线性规划的最值求参数，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.3．B解析：B 【分析】画出可行域，讨论当0a =时,当0a <时，当0a >时三种情况，分别求出目标函数的最值，即可筛选出符合题意的a 的值. 【详解】根据题中约束条件1x y ax y +≥⎧⎨-≤-⎩可画出可行域如图所示，两直线交点坐标为：11,22a a A -+⎛⎫⎪⎝⎭，当0a =时，z x ay =+无最小值；当0a <时，z x ay =+在11,22a a A -+⎛⎫⎪⎝⎭处取最大值，无最小值．当0a >时，z x ay =+在11,22a a A -+⎛⎫⎪⎝⎭处有最小值：21121222a a a a z a -++-=+⨯=，则22172a a +-=，解得3a =，故选B.【点睛】本题主要考查可行域、含参数目标函数最优解和均值不等式求最值，属于难题.含参变量的线性规划问题是近年来高考命题的热点，由于参数的引入，提高了思维的技巧、增加了解题的难度，此类问题的存在增加了探索问题的动态性和开放性，此类问题一般从目标函数的结论入手，对目标函数变化过程进行详细分析，对变化过程中的相关量的准确定位，是求最优解的关键.4．D解析：D 【分析】画出可行域，根据目标函数的截距，利用数形结合，即可求出z 的取值范围. 【详解】作出可行域如下：由221z x y =--得12zy x +=-，平移直线12zy x +=-，由平移可知当直线12zy x +=-，经过点C 时，直线12zy x +=-的截距最小，此时z 取得最大值，由210x x y =⎧⎨+-=⎩，解得21x y =⎧⎨=-⎩，即(2,1)C -，此时2214215z x y =--=+-=，可知当直线12zy x +=-，经过点A 时，直线12zy y x +==-的截距最大，此时z 取得最小值，由21010x y x y -+=⎧⎨+-=⎩，得1323x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即1(3A ，2)3代入221z x y =--得125221333z =⨯-⨯-=-，故5[3z ∈-，5)故选：D ．【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法，属于中档题．5．C解析：C 【分析】首先利用正弦定理表示为23b c =，再结合余弦定理求cos A 和sin A，并利用1sin 24ABCSbc A ==求a的值. 【详解】2sin 3sin B C =，由正弦定理可知23b c =， 14b c a -=，可得13,24c a b a ==，∴2221cos 24b c a A bc +-==-，sin A ==，1131sin 224244ABCSbc A a a ==⨯⨯⨯=，解得：4a =. 故选：C6．C解析：C 【分析】设圆的半径为r ，由内接正n 边形的面积无限接近圆的面积可得：180180sincosn n n nπ⨯=⨯，由内接正2n 边形的面积无限接近圆的面积可得：2180sinn n nπ⨯=，问题得解. 【详解】设圆的半径为r ，将内接正n 边形分成n 个小三角形，由内接正n 边形的面积无限接近圆的面积可得：221360sin2r n r n π≈⨯⨯，整理得：1360sin 2n nπ≈⨯⨯，此时1360sin 2n n n π⨯⨯=，即：180180sin cosn n n nπ⨯=⨯ 同理，由内接正2n 边形的面积无限接近圆的面积可得：2213602sin22r n r n π≈⨯⨯，整理得：13601802sin sin 22n n n nπ≈⨯⨯=⨯ 此时2180sinn n nπ⨯= 所以2180sin180cos nn n nnππ==⨯ 故选C 【点睛】本题主要考查了圆的面积公式及三角形面积公式的应用，还考查了正弦的二倍角公式，考查计算能力，属于中档题．7．C解析：C 【分析】利用正弦定理边化角，结合辅助角公式可求得sin 03B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，从而确定3B π=；利用余弦定理构造方程可求得()24+=a c ac ，代入所求式子即可化简得到结果. 【详解】sin cos0b A B=，()sin sin cos sin sin 2sin sin 03B A A B A B B A B π⎛⎫∴=-=-= ⎪⎝⎭，()0,A π∈，sin 0A ∴≠，sin 03B π⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭，又()0,B π∈，3B π∴=.()22222231cos 2222a c ac a cb ac ac B ac ac ac +-+-+-∴====，整理可得：()24+=a c ac ，2a cb+∴====. 故选：C . 【点睛】本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理边化角、余弦定理的应用等知识；解决此类问题的关键是能够通过正弦定理，将边的齐次式转化为角的关系，属于常考题型.8．A解析：A 【分析】由三角函数恒等变换的应用，正弦定理化简已知等式可得sin 2sin 2B C =，可得22B C =，或22B C π+=，解得B C =，或2B C π+=，即可判断ABC ∆的形状．【详解】22tan tan B Cb c =， ∴22sin sin cos cos B C b B c C =，由正弦定理可得：22cos cos b cb Bc C=，可得：cos cos b B c C =，可得sin cos sin cos B B C C =，可得：sin 2sin 2B C =，22B C ∴=，或22B C π+=，B C ∴=，或2B C π+=，ABC ∆∴的形状为等腰三角形或直角三角形．故选：A ．【点睛】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．9．A解析：A 【分析】先利用单调性依次写出前几项，再根据规律求和即可. 【详解】数列{}n a 的通项公式为2276n a n n =-+，故从2a 起单调递增，且1231,0,3a a a ===，所以11112101b A B a a =-=-=-=，22213b A B a a =-=-，33334b A B a a =-=-，44445b A B a a =-=-，…，1010101011b A B a a =-=-，又2112117116171a =⨯-⨯+=，所以数列{}n b 的前10项和为()()()()12101334451011...1...b b b a a a a a a a a +++=+-+-+-++-111111171169a a =+-=+-=-.故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题的解题关键在于发现数列从2a 起单调递增，才能依次确定{}n b 的项，找到规律，突破难点.10．C解析：C 【分析】利用累加法求出通项n a ，然后利用等比数列的求和公式和分组求和法，求解8S 即可【详解】由已知得，213a a -=，326a a -=，而{}1n n a a +-是等比数列，故2q，∴11221()()()n n n n a a a a a a ----+-+-=23632n -+++⨯1133232312n n ---⨯==⨯--，1n a a ∴-=1323n -⨯-，化简得1322n n a -=⨯-，878128123(122)2831612S a a a -=++=⨯+++-⨯=⨯--83219749=⨯-=故选：C 【点睛】关键点睛：解题关键在于利用累加法求出通项.11．B解析：B 【分析】本题先根据题意求出1x 、2x 、1y 、2y ，再写出点M 、N 的坐标并求MN k ，最后求直线MN 的方程即可. 【详解】解：∵1，1x ，2x ，7成等差数列，∴12121721x x x x +=+⎧⎨=+⎩，解得1235x x =⎧⎨=⎩，∵1，1y ，2y ，8成等比数列，∴12212181y y y y ⋅=⨯⎧⎨=⨯⎩，解得1224y y =⎧⎨=⎩ ∴点()3,2M ，()5,4N ，42153MN k -==- ∴直线MN 的方程：41(5)y x -=⨯-，即10x y --=.故选：B. 【点睛】本题考查等差中项，等比中项，根据两点求直线的一般式方程，是基础题.12．A解析：A 【分析】先确定函数()f x 对称性与单调性，再结合等差数列的等距性确定3a ；结合基本不等式将等比数列性质转化到等差数列性质上，解不等式即得结果.【详解】因为()()()3311(1)1f x x x x x =-+=-+-+，而3y x x =+关于原点对称且在R 上单调递增，所以()f x 关于(1,1)对称且在R 上单调递增，先证明下面结论：若()g x 为奇函数且在R 上单调递增，{}n a 为等差数列，123g()()()()0n a g a g a g a ++++=，则1230n a a a a ++++=.证明：若1230n a a a a ++++>，则当n 为偶数时，1211220n n n n a a a a a a -++=+==+>111()()()()+()0n n n n a a g a g a g a g a g a >-∴>-=-∴>同理21+122()()0,,()+()0n n n g a g a g a g a -+>>，即123g()()()()0n a g a g a g a ++++>与题意矛盾，当n 为奇数时，1211220n n n a a a a a -++=+==>类似可得12112()()0,()(),,()0n n n g a g a g a g a g a -++>+>，即123g()()()()0n a g a g a g a ++++>，与题意矛盾同理可证1230n a a a a ++++<也不成立，因此1230n a a a a ++++=再引申结论：若()f x 为关于(,)a b 函数且在R 上单调递增，{}n a 为等差数列，123()()()()n f a f a f a f a nb ++++=，则123n a a a a na ++++=证明过程只需令()()g x f x a b =+-，再利用上面结论即得.①若等差数列{}n a 满足55S =，即 12345()()()()()5f a f a f a f a f a ++++=，则123453555a a a a a a ++++=∴=， 31a ∴=，故①是假命题，②若正项等比数列{}n a 满足33S =，即123()()()3f a f a f a ++= 因为数列{}n a 中各项互不相等，所以公比不为1，不妨设公比大于1，即123123()()()a a a f a f a f a <<∴<<，因为1322a a a +>=∴2()1f a <，()3222111a a a -+<∴<故②是真命题故选：A 【点睛】本题考查函数()f x 对称性与单调性、等差数列性质、基本不等式应用，考查综合分析判断能力，属中档题.二、填空题13．【分析】作出不等式组所表示的可行域平移直线根据直线在轴上的截距最小找到使得目标函数取得最小值时的最优解代入计算即可【详解】作出不等式组所表示的可行域如下图所示：平移直线当直线经过可行域的顶点时直线在解析：2-【分析】作出不等式组所表示的可行域，平移直线3 2z x y=-+，根据直线32z x y=-+在y轴上的截距最小，找到使得目标函数32z x y=-+取得最小值时的最优解，代入计算即可.【详解】作出不等式组10301x yx yy-+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩所表示的可行域如下图所示：平移直线32z x y=-+，当直线32z x y=-+经过可行域的顶点()2,1A时，直线32z x y=-+在y轴上的截距最小，此时z取得最小值，即min32122z=-⨯+=-.故答案为：2-.【点睛】思路点睛：求线性目标函数的最值问题，一般利用平移直线的方法，根据目标函数所对应的直线在坐标轴上的截距取得最值来判断目标函数在何处取得最优解.14．【分析】用余弦定理表示出求出后利用余弦函数性质可得最大值【详解】记则在中同理在中可得∴设则其中是锐角显然存在使得∴的最大值为故答案为：【点睛】关键点点睛：本题考查余弦定理考查换元法求最值解题方法是用解析：10【分析】用余弦定理表示出,AC AB ，求出2AC AB +后利用余弦函数性质可得最大值．【详解】记AMC α∠=，则AMB πα∠=-，在AMC 中，2222cos 314AC AM MC AM MC ααα=+-⋅=+-=-，同理在AMB 中可得24AB α=+，∴228AB AC +=，设AB x =，AC x =，(0,)2x π∈．则12cos )cos )2AC AB x x x x x x +=+=+=+)x θ=+，其中cosθθ==θ是锐角，显然存在0(0,)22x ππθ=-∈，使得0sin()1x θ+=，∴2AC AB +的最大值为故答案为：【点睛】关键点点睛：本题考查余弦定理，考查换元法求最值．解题方法是用余弦定理表示出,AB AC，得出228AB AC +=，利用三角换元法AB x =，AC x =，(0,)2x π∈．这里注意标明x 的取值范围．在下面求最值时需确认最值能取到，然后结合三角函数的性质求最值．15．【分析】不妨令易知然后在中利用正弦定理求出的值最后在中利用正弦定理可求出的值【详解】解：在中角的平分线交于且设则即整理得所以：结合得即显然是锐角所以再由得：解得故答案为：【点睛】本题考查正弦定理三角【分析】不妨令A α∠=，易知ACD BCD α∠==，3B πα∠=-，然后在ABC 中，利用正弦定理，求出sin α，cos α的值，最后在ABC 中，利用正弦定理，可求出AB 的值．【详解】解：在ABC 中，角C 的平分线交AB 于D ，且CD AD =．设A α∠=，则ACD BCD α∠==，3B πα∠=-， ∴sin sin AC BCB A=∠∠，即32sin(3)sin παα=-，整理得2sin33sin αα=，所以：2(sin cos2cos sin 2)3sin ααααα+=，结合sin 0α≠得222(2cos 12cos )3αα-+=，即258cos α=，显然α是锐角，所以cos αα=∴sin 22sin cos ααα==．再由ABC 得：2sin sin 2ABαα=，∴=解得10AB ．【点睛】本题考查正弦定理，三角恒等变换的知识方法在解题中的作用，属于中档题．16．【分析】设则根据面积公式得由余弦定理求得代入化简由三角形三边关系求得由二次函数的性质求得取得最大值【详解】解：设则根据面积公式得由余弦定理可得可得：由三角形三边关系有：且解得：故当时取得最大值故答案解析：43【分析】设AC x =，则2AB x =，根据面积公式得ABC S ∆=，由余弦定理求得cos C 代入化简ABC S ∆=223x <<，由二次函数的性质求得ABC S ∆取得最大值．【详解】解：设AC x =，则2AB x =，根据面积公式得 1sin sin 12ABC S AC BC C x C x ∆=== 由余弦定理可得2224443cos 44x x x C x x+--==，可得：ABCS ∆==由三角形三边关系有：22x x +>，且22x x+>，解得：223x <<，故当x =时，ABC S ∆取得最大值43，故答案为：43．【点睛】本题主要考查余弦定理和面积公式在解三角形中的应用．当涉及最值问题时，可考虑用函数的单调性和定义域等问题，属于中档题．17．16【分析】作出不等式组表示的平面区域由可得则表示直线在轴上的截距截距越大越大结合图象即可求解的最大值【详解】作出满足约束条件表示的平面区域如图所示：由可得则表示直线在轴上的截距截距越大越大作直线然解析：16 【分析】作出不等式组表示的平面区域，由2z x y =+可得2y x z =-+，则z 表示直线2y x z =-+在y 轴上的截距，截距越大，z 越大，结合图象即可求解z 的最大值．【详解】作出x 、y 满足约束条件22010240x y x y x y +-⎧⎪-+⎨⎪--⎩表示的平面区域，如图所示：由2z x y =+可得2y x z =-+，则z 表示直线2y x z =-+在y 轴上的截距，截距越大，z 越大作直线20x y +=，然后把该直线向可行域平移，当直线经过A 时，z 最大由10240x y x y -+=⎧⎨--=⎩可得(5,6)A ，此时16z =．故答案为：16．【点睛】本题主要考查了线性规划知识的应用，求解的关键是明确目标函数中z 的几何意义．属于中档题.18．【分析】由参变量分离法得出对任意的恒成立利用二次函数的基本性质可求得函数在区间上的最小值进而可求得实数的取值范围【详解】要使在区间上不等式恒成立只需恒成立设只需小于在区间上的最小值因为所以当时所以所解析：(),1-∞-【分析】由参变量分离法得出231m x x <-+对任意的[]1,1x ∈-恒成立，利用二次函数的基本性质可求得函数()231g x x x =-+在区间[]1,1-上的最小值，进而可求得实数m 的取值范围.【详解】要使在区间[]1,1-上，不等式()2f x x m >+恒成立，只需()2231m f x x x x <-=-+恒成立，设()231g x x x =-+，只需m 小于()y g x =在区间[]1,1-上的最小值，因为()22353124g x x x x ⎛⎫=-+=-- ⎪⎝⎭，所以当1x =时，()()min 11g x g ==-，所以1m <-，所以实数m 的取值范围是(),1-∞-. 故答案为：(),1-∞-. 【点睛】本题考查利用二次不等式在区间上恒成立求参数，考查了参变量分离法的应用，考查计算能力，属于中等题.19．【分析】由题意可得出代入计算可得出的值【详解】由题意可得出故答案为：【点睛】本题考查利用等差中项和等比中项求值考查计算能力属于中等题解析：2【分析】由题意可得出2b ac =，2a bx +=，2b c y +=，代入计算可得出a c x y +的值.【详解】由题意可得出2b ac =，2a bx +=，2b c y +=， ()()()()()222222224222a b c c a b ab ac bc a c a cab ac bc x y a b b c a b b c ab ac b bc ab ac bc +++++++∴+=+====+++++++++.故答案为：2. 【点睛】本题考查利用等差中项和等比中项求值，考查计算能力，属于中等题.20．【分析】首先设出等差数列的首项和公差根据其通项公式得到再根据其求和公式得到从而得到结果【详解】设等差数列的首项为公差为则有因为所以故答案为：【点睛】思路点睛：该题考查的是有关等差数列的问题解题思路如解析：13313S 【分析】首先设出等差数列的首项和公差，根据其通项公式，得到487733a a a a +-=，再根据其求和公式，得到13713S a =，从而得到结果. 【详解】设等差数列的首项为1a ，公差为d ，则有48711117333(7)(6)318=3a a a a d a d a d a d a +-=+++-+=+，因为11313713()132a a S a +==，所以487133313a a a S +-=，故答案为：13313S . 【点睛】思路点睛：该题考查的是有关等差数列的问题，解题思路如下：（1）首先设出等差数列的首项和公差；（2）利用等差数列的通项公式，得到项之间的关系，整理得出487733a a a a +-=；（3）利用等差数列的求和公式，求得13713S a =；（4）比较式子，求得结果.三、解答题21．（1）33+；（2）30k -<≤. 【分析】（1）将代数式()123x y +与11x y+相乘，展开后利用基本不等式可求得11x y +的最小值；（2）分0k =和0k ≠两种情况讨论，结合题意可得出关于实数k 的不等式，由此可求得实数k 的取值范围. 【详解】（1）已知x 、y 都是正数且23x y +=，所以，()11111121233333x y x y y y x y x x ⎛⎛⎫⎛⎫+=++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎝=+⎝+⎭⎭，当且仅当x =时，等号成立，因此，11x y +；（2）由于不等式23208kx kx +-<对一切实数x 都成立. ①当0k =时，可得308-<，合乎题意； ②当0k ≠时，可得230k k k <⎧⎨∆=+<⎩，解得30k -<<.综上所述，实数k 的取值范围是30k -<≤. 【点睛】结论点睛：利用二次不等式在实数集上恒成立，可以利用以下结论来求解：设()()20f x ax bx c a =++≠①()0f x >在R 上恒成立，则00a >⎧⎨∆<⎩；②()0f x <在R 上恒成立，则00a <⎧⎨∆<⎩； ③()0f x ≥在R 上恒成立，则00a >⎧⎨∆≤⎩； ④()0f x ≤在R 上恒成立，则00a <⎧⎨∆≤⎩. 22．(1)3. (2)5. 【解析】试题分析：（1）求出第年年底，该车运输累计收入与总支出的差，令其大于0，即可得到结论；（2）利用利润=累计收入+销售收入-总支出，可得平均利润，利用基本不等式，可得结论．试题（1）设大货车运输到第年年底，该车运输累计收入与总支出的差为万元，则由,可得∵，故从第3年，该车运输累计收入超过总支出；（2）∵利润=累计收入+销售收入−总支出， ∴二手车出售后,小张的年平均利润为，当且仅当时，等号成立∴小张应当在第5年将大货车出售，能使小张获得的年平均利润最大．考点：根据实际问题选择函数类型, 基本不等式 23．（1）1:1:32）34. 【分析】（1）利用诱导公式可将已知等式化简得到sin sin A B =，知A B =，a b =，由正弦定理可知::sin :sin :sin a b c A B C =，由此可求得结果；（2）根据()12ABC S a b c r =++⋅△和1sin 2ABCS ab C =，根据（1）中3c a =，可构造方程求得a ，代入可得所求面积. 【详解】（1）A B C π++=，()sin sin A C B ∴+=，()sin sin B C A +=，()cos cos A B C +=-，由()()()sin 2sin cos A C B C A B +=++得：2sin 2sin cos 2sin cos sin 3B A C A A π=-=-=，A B ∴=，a b =，2::sin :sin :sin sin:sin:sin1:1:663a b c A B C πππ∴=== （2）由（1）知：c =，()()1132222ABCSa b c r a ⎫=++⋅=⎪⎭，又21sin 2ABCSab C ==，(23222a⎫⎪⎝⎭∴=，解得：1a =，244ABCS a ∴==. 【点睛】关键点点睛：第二问求解三角形面积的关键是能够利用两种不同方式表示出所求三角形的面积，即()11sin 22S a b c r ab C =++⋅=，从而构造方程求得所需的边长. 24．（1）2C π=或3C π=；（2）33+或1．【分析】（1）利用二倍角余弦公式可得22cos cos C C -=-，从而可得cos 0C =或1cos 2C =，即求.（2）由（1）知3C π=或2C π=，当3C π=时，利用正弦定理求出,a b ，再根据三角形的面积公式即可求解；当2C π=时，根据直角三角形即可求解.【详解】（1）由221sincos 22A B C +-=，得222sin 2cos 12A BC +-=，化简得222cos 12sin2A BC +-=-，即()22cos cos C A B -=+，即22cos cos C C -=-，即()cos 2cos 10C C -=，解得cos 0C =或2cos 10C -=．即cos 0C =或1cos 2C =．又0C π<<，所以2C π=或3C π=．（2）由（1）得3C π=或2C π=，当3C π=时，由正弦定理sin sin sin a b c A B C ==得，sin sin c a A C =⋅=3， 2sinsin 34c b B C ππ⎛⎫=⋅=- ⎪⎝⎭ 22sin cos cos sin3434ππππ⎫=-⎪⎭12⎛⎫=-= ⎪⎝⎭⎦，故11sin 22ABC S ab C ===△当2C π=时，由2c =，4A π=，得4B π=，a b ==因此11122ABC S ab ===△．综上，ABC 的面积是33+或1． 25．（1）证明见解析；（2）(21)3144n n n S -=+. 【分析】（1）将13(1)n n na n a +=+变形为131n n a a n n+=+，得到{}n b 为等比数列，（2）由（1）得到{}n a 的通项公式，用错位相减法求得n S【详解】（1）由11a =，13(1)n n na n a +=+，可得131n n a a n n +=+，因为n n a b n=则13n n b b +=，11b =，可得{}n b 是首项为1，公比为3的等比数列，（2）由（1）13n n b -=，由13n n a n-=，可得13n n a n -=⋅， 01211323333n n S n -=⋅+⋅+⋅++⋅，12331323333n n S n =⋅+⋅+⋅++⋅，上面两式相减可得： 0121233333n n n S n --=++++-⋅13313nn n -=-⋅-，则(21)3144n n n S -=+．【点睛】数列求和的方法技巧：(1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和．(2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和．(3)分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和．(4) 裂项相消法：用于通项能变成两个式子相减，求和时能前后相消的数列求和. 26．（1）①不是跳跃数列；②是跳跃数列；（2）()()2,23,21-. 【分析】（1）①根据定义可直接判断其不是跳跃数列；②根据定义可直接判断其是跳跃数列；（2）根据条件分1n n a a +>和1n n a a +<两种情况求出n a 的取值范围，再求出首项1a 的取值范围.【详解】（1）①等差数列：1,2,3,4,5,，不满足()()2210()i i i i a a a a i N *+++-->∈，所以不是跳跃数列；②等比数列：11111,,,,24816--，满足()()2210()i i i i a a a a i N *+++-->∈，所以是跳跃数列；（2）由()2111955n n n n a a a a +-=--，得()()22211519195125n n n n n n a a a a a a ++-=----， ()()()22123195125n n n n n n a a a a a a +-=----.若1n n a a +>，则12n n n a a a ++>>，此时2n a ⎫∈⎪⎪⎝⎭；若1n n a a +<，则12n n n a a a ++<<，此时n a ⎛∈ ⎝⎭.若2n a ⎫∈⎪⎪⎝⎭，则21195n n a a +⎛-=∈ ⎝⎭，所以()12,2a ∈-；若53,2n a ⎛+∈ ⎝⎭，则()21192,25n n a a +-=∈-，所以(1a ∈，所以()()12,23,21a∈-.【点睛】求解等差等比的综合问题，需要分析清楚条件，根据条件描述的等差数列的性质还是等比数列的性质列式，然后再根据数列{}n a是等差或者等比数列，将式子表示为基本量1,a d 或者1,a q进行化简计算.。

人教版高中数学必修5期末测试题及其详细答案

数学必修5试题一．选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1.由，确定的等差数列，当时，序号等于（）Ａ．99 Ｂ．100 Ｃ．96 Ｄ．1012.中，若，则的面积为（）A．B． C.1 D.3.在数列中，=1，，则的值为（）A．99 B．49 C．102 D． 1014.已知，函数的最小值是（）A．5 B．4 C．8 D．65.在等比数列中，，，，则项数为（）A. 3B. 4C. 5D. 66.不等式的解集为，那么（）A. B. C. D.7.设满足约束条件,则的最大值为（）A． 5 B. 3 C. 7 D. -88.在中,,则此三角形解的情况是（）A.一解B.两解C.一解或两解D.无解9.在△ABC中，如果，那么cosC等于（）10.一个等比数列的前n项和为48，前2n项和为60，则前3n项和为（）A、63B、108C、75D、83二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）11.在中，，那么A＝_____________;12.已知等差数列的前三项为，则此数列的通项公式为______三、解答题 (本大题共6个小题，共80分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15(12分) 已知等比数列中，，求其第4项及前5项和.16(14分)(1) 求不等式的解集：(2)求函数的定义域：17 (14分)在△ABC中，BC＝a，AC＝b，a，b是方程的两个根，且。

求：(1)角C的度数；18(12分)若不等式的解集是，(1) 求的值；(2) 求不等式的解集.19（14分）如图，货轮在海上以35n mile/h的速度沿方位角(从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角)为的方向航行．为了确定船位，在B点处观测到灯塔A的方位角为．半小时后，货轮到达C点处，观测到灯塔A的方位角为．求此时货轮与灯塔之间的距离．A20（ 14分）某公司今年年初用25万元引进一种新的设备，投入设备后每年收益为21万元。

该公司第n 年需要付出设备的维修和工人工资等费用的信息如下图。

2021-2022高中数学必修五期末试题(带答案)

一、选择题1．已知正数a 、b 满足1a b +=，则411a ba b+--的最小值是（） A ．1B ．2C ．4D ．82．已知0x >，0y >，21x y +=，若不等式2212m m x y+>+恒成立，则实数m 的取值范围是（） A ．4m ≥或2m ≤- B ．2m ≥或4m ≤- C ．24m -<<D ．42m -<<3．若直线l ：()200,0ax by a b -+=>>被圆222410x y x y ++-+=截得的弦长为4，则21a b+的最小值为（）A ．2B ．4CD ．4．已知正数x ，y 满足x +y ＝1，且2211x y y x +++≥m ，则m 的最大值为（） A ．163B ．13C ．2D ．45．在ABC 中，,,a b c 分别为三个内角,,A B C 的对边，若cos cos a A b B =，则ABC 一定是（）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形6．已知ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若tan tan 1tan tan B C B C +=-⋅，且2bc =，则ABC 的面积为（）A ．BC ．4D ．27．在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若22b c ac =+，则角C 的取值范围是（） A ．π(0,)4B ．ππ(,)42C ．ππ(,)43D ．π,64π⎛⎫ ⎪⎝⎭8．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若tan C =cos A =，b =ABC 的面积为（）A ．B ．2C ．4D ．89．已知椭圆2222x y a b +=1(a>b>0)与双曲线2222x y m n-=1(m>0,n>0)有相同的焦点(-c ,0)和(c ,0),若c 是a ,m 的等比中项,n 2是2m 2与c 2的等差中项,则椭圆的离心率是 ( )A B C ．14 D ．1210．根据下面一组等式：11s =， 2235s =+=，345615s =++=， 47891034s =+++=， 5111213141565s =++++=， 6161718192021111s =+++++=，……可得21n S -=（）A ．324641n n n -+-B ．1413n -C ．2184023n n -+D ．(1)12n n -+11．设{}n a 为等比数列，给出四个数列：①{}2n a ，②{}2n a ，③{}2na ，④{}2log ||n a .其中一定为等比数列的是（） A ．①③B ．②④C ．②③D ．①②12．已知{}n a 为等比数列，13527a a a =，246278a a a =，以n T 表示{}n a 的前n 项积，则使得n T 达到最大值的n 是（） A ．4B ．5C ．6D ．7二、填空题13．若正数,x y 满足113122x y xy++=，则xy 的最小值为_________. 14．已知圆1C ：()224x a y ++=和圆2C ：()2221x y b +-=（,a b ∈R ，且0ab ≠），若两圆外切，则2222a b a b+的最小值为______.15．已知ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分BAC ∠，且2ABD ADC S S =△△，1AD =，12DC =，则AC =_________． 16．如图，设A 、B 两点在河的两岸，一测量者在A 的同侧所在的河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50m ，45ACB ∠=︒，105CAB ∠=︒后，就可以计算出A 、B 两点的距离为______17．若(0,1)x ∈时，不等式111m x x≤+-恒成立，则实数m 的最大值为________． 18．如图，在四边形ABCD 中，已知AB BC ⊥，5AB =，7AD =，135BCD ∠=︒，1cos 7A =，则BC =________.19．设数列{}2()n n n a +是等比数列，且116a =，2154a =，则数列{3}n n a 的前15项和为__________．20．在等比数列{}n a 中，2514,2==a a ，则公比q =__________．三、解答题21．为摆脱美国政府针对中国高科技企业的封锁，加强自主性，某企业计划加大对芯片研发部的投入.据了解，该企业研发部原有100名技术人员，年人均投入a 万元，现把原有技术人员分成两部分：技术人员和研发人员，其中技术人员x 名(x ∈N 且4575x ≤≤)，调整后研发人员的年人均投入增加()4%x ，技术人员的年人均投入调整为225x a m ⎛⎫-⎪⎝⎭万元. （1）要使这100x -名研发人员的年总投入不低于调整前100名技术人员的年总投入，求调整后的技术人员的人数最多多少人？（2）是否存在这样的实数m ，使得技术人员在已知范围内调整后，同时满足以下两个条件：①技术人员的年人均投入始终不减少；②研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入.若存在，求出m 的范围；若不存在，说明理由. 22．已知关于x 的不等式23240x ax -++>.（1）当2a =时，求此不等式的解集；（2）若此不等式的解集为()4,m -，求实数a ，m 的值. 23．已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos cos 2cos b A a B c A +=．（1）求A ；（2）若2a =，ABC ，求ABC 的周长． 24．ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知sin cos b A B =，sin 4sin C A =.（1）求B ；（2）在ABC 的边AC 上存在一点D 满足4AD CD =，连接BD ，若BCD △的面积为，求b . 25．已知等差数列{}n a 满足()()()()*122312(1)n n a a a a a a n n n N +++++⋅⋅⋅++=+∈．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S ．26．已知公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，525S =，1a ，2a ，5a 成等比数列.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若等差数列{}2log n b 的首项为1，公差为1，求数列{}n n a b 的前n 项和n T .【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】化简得出441511a b a b b a +=+---，将代数式14a b+与+a b 相乘，展开后利用基本不等式可求得411a b a b +--的最小值. 【详解】已知正数a 、b 满足1a b +=，则()414141511b a ba ab b a b a--+=+=+---()41454a b a b b a b a ⎛⎫=++-=+≥= ⎪⎝⎭，当且仅当2b a =时，等号成立，因此，411a ba b +--的最小值是4. 故选：C. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.2．D解析：D 【分析】先根据已知结合基本不等式得218x y+≥，再解不等式228m m +<即可得答案.【详解】解：由于0x >，0y >，21x y +=，所以()212142448y x x y x y x y x y ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当4y x x y =，即122x y ==时等号成立，由于不等式2212m m x y+>+成立，故228m m +<，解得：42m -<<. 故实数m 的取值范围是：42m -<<. 故选：D. 【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，一元二次不等式的解法，考查运算能力，是中档题.3．B解析：B 【分析】求出圆的圆心与半径，可得圆心在直线20(0,0)ax by a b -+=>>上，推出22a b +=，利用基本不等式转化求解21a b+取最小值．【详解】解：圆222410x y x y ++-+=，即22(1)(2)4x y ++-=，表示以2()1,M -为圆心，以2为半径的圆，由题意可得圆心在直线20(0,0)ax by a b -+=>>上，故220a b --+=，即22a b +=，∴2212222112242a ba b b a b a b a b a b a +++=+=++++，当且仅当22b aa b=，即2a b =时，等号成立，故选：B ．【点睛】本题考查直线与圆的方程的综合应用，基本不等式的应用，考查转化思想以及计算能力，属于中档题．4．B解析：B 【分析】根据题意2211x y y x +++＝22(1)(1)11--+++y x y x =(4411+++y x )﹣5，由基本不等式的性质求出4411+++y x ＝13(4411+++y x ）[(x +1)+(y +1)]的最小值，即可得2211x y y x +++的最小值，据此分析可得答案. 【详解】根据题意，正数x ，y 满足x +y ＝1，则2211x y y x +++＝22(1)(1)11--+++y x y x＝(y +1)+41+y ﹣4+(x +1)+41x +﹣4＝(4411+++y x )﹣5，又由4411+++y x ＝13(4411+++y x ) [(x +1)+(y +1)], ＝13[8+4(1)4(1)11+++++x y y x ]≥163，当且仅当x ＝y ＝12时等号成立，所以2211x y y x +++＝(4411+++y x )﹣5163≥﹣5＝13，即2211x y y x +++的最小值为13，所以3m ≤，则m 的最大值为13；故选：B ．【点睛】本题主要考查基本不等式的性质以及应用，还考查了转化求解问题的能力，属于中档题．5．D解析：D 【分析】根据cos cos a A b B =，利用正弦定理将边转化为角得到sin cos sin cos A A B B =，然后再利用二倍角的正弦公式化简求解. 【详解】因为cos cos a A b B =，由正弦定理得：sin cos sin cos A A B B =，所以sin 2sin 2A B =，所以22A B =或22A B π=-，即A B =或2A B π+=所以ABC 一定是等腰三角形或直角三角形，故选：D 【点睛】本题主要正弦定理，二倍角公式的应用，属于中档题.6．D解析：D 【分析】由两角和的正切公式可得()tan 1B C +=，即可得到34A π=，然后由面积公式可得结果. 【详解】因为tan tan 1tan tan B C B C +=-⋅，即()tan 1B C +=，在ABC 中，所以tan 1A =-，即34A π=，所以sin A =11sin 222ABCSbc A ==⨯=. 故选:D . 【点睛】本题考查三角形的面积公式的应用，考查两角和的正切公式，属于基础题.7．D解析：D 【分析】由22b c ac =+，并结合余弦定理，可求得2cos c a c B =-，进而结合正弦定理可得sin sin 2sin cos C A C B =-，由()sin sin A B C =+，代入并整理得sin C ()sin B C =-，结合△ABC 为锐角三角形，可得出2B C =，从而可得π02ππ2B BC ⎧<<⎪⎪⎨⎪<+<⎪⎩，即可求出答案. 【详解】由余弦定理可得，2222cos b a c ac B =+-，所以2222cos a c ac B c ac +-=+，即2cos c a c B =-，由正弦定理可得，sin sin 2sin cos C A C B =-，又()sin sin sin cos sin cos A B C B C C B =+=+，所以sin sin cos sin cos 2sin cos C B C C B C B =+-()sin cos sin cos sin B C C B B C =-=-，因为π,0,2B C ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以ππ,22B C ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，所以C B C =-，即2B C =.在锐角△ABC 中，π02ππ2B B C ⎧<<⎪⎪⎨⎪<+<⎪⎩，即π022π3π2C C ⎧<<⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩，解得ππ64C <<.故选：D. 【点睛】本题考查正弦、余弦定理在解三角形中的运用，考查两角和的正弦公式的运用，考查学生的计算求解能力，属于中档题.8．B解析：B 【分析】结合同角三角函数的基本关系可求出sin C =，cos C =，sin A =和的正弦公式可求出sin B ，结合正弦定理即可求出a ，进而可求出三角形的面积.【详解】因为sin tan cos C C C ==，且22sin cos 1C C +=，解得sin 4C =，cos 4C =，又cos 8A =，所以sin 8A ==，故sin sin[()]sin()sin cos cos sin B A C A C A C A C π=-+=+=+=．因为sin sin a bA B=，b =，故sin 2sin b A a B ==，故11sin 222ABC S ab C =⨯=⨯⨯=△．故选:B ．【点睛】本题考查了同角三角函数的基本关系，考查了两角和的正弦公式，考查了正弦定理，考查了三角形的面积公式，属于中档题.9．D解析：D 【解析】由题意可知2n 2=2m 2+c 2．又m 2+n 2=c 2， ∴m=2c ． ∵c 是a ，m 的等比中项， ∴2c am =， ∴22ac c =， ∴12c e a ==．选D ． 10．A解析：A 【分析】求出第()1n -行最后一项，可得第n 行为第一项，求出第n 行最后一项，根据第n 是等差数列求出n S ，即可求出21n S -. 【详解】易得第()1n -行最后一项为[]21(1)(1)22n n n n +---=，则第n 行第一项为212n n-+，第n 行最后一项为2(1)22n n n n++=，故第n 行为第一项212n n -+，最后一项为22n n+，项数为n 的等差数列，故22312222n n n n n n n n S ⎛⎫-+++ ⎪+⎝⎭==，所以32214641n S n n n -=-+-.故选：A. 【点睛】本题考查对数列的理解，以及等差数列的前n 项和的求法，属于中档题.11．D解析：D 【分析】设11n n a a q -=，再利用等比数列的定义和性质逐一分析判断每一个选项得解.【详解】设11n n a a q -=，①,112=2n n a a q-,所以数列{}2n a 是等比数列；②，222222111=()n n n a a qa q --=，所以数列{}2n a 是等比数列； ③，11112111211222=2,222n nn n n n n n a a q a a q a q a q a a q-------==不是一个常数，所以数列{}2n a 不是等比数列； ④，122122121log ||log |q |log ||log |q |n n n n a a a a ---=不是一个常数，所以数列{}2log ||n a 不是等比数列.故选D 【点睛】本题主要考查等比数列的判定，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.12．A解析：A 【分析】先求出首项和公比，得出{}n a 是一个减数列，前4项都大于1，从第五项开始小于1，从而得出结论．【详解】{}n a 为等比数列，3135327a a a a ==，32464278a a a a ==， 33a ∴=，432a =，4312a q a ∴==，112a =，543·14a a q ==<．故{}n a 是一个减数列，前4项都大于1，从第五项开始小于1，以n T 表示{}n a 的前n 项积，则使得n T 达到最大值的n 是4，故选：A ．【点评】本题主要考查等比数列的性质，属于基础题．二、填空题13．【分析】将化为后利用基本不等式得再解一元二次不等式可得结果【详解】由得因为所以当且仅当时等号成立所以所以所以或所以或（舍）所以即的最小值为故答案为：【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时要注意其必解析：92【分析】将113122x y xy++=化为232y x xy ++=后，利用基本不等式得23xy -≥一元二次不等式可得结果. 【详解】由113122x y xy++=得232y x xy ++=，因为0,0x y >>，所以232xy y x -=+≥2y x =时，等号成立.所以2302≥，所以2)22≥2-≥2≤，2≥2≤-（舍），所以92xy ≥，即xy 的最小值为92. 故答案为：92. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方14．1【分析】根据题意分析两圆的圆心与半径由两圆外切可得变形可得：据此可得结合基本不等式的性质分析可得答案【详解】解：根据题意圆其圆心为半径圆其圆心为半径若两圆外切则有变形可得：当且仅当时等号成立故的最解析：1【分析】根据题意，分析两圆的圆心与半径，由两圆外切可得12||C C R r =+，变形可得：2249a b +=，据此可得22222211a b a b a b+=+，结合基本不等式的性质分析可得答案．【详解】解：根据题意，圆221:()4C x a y ++=，其圆心1C 为(,0)a -，半径2r ，圆222:(2)1C x y b +-=其圆心2C 为(0,2)b ，半径1R =，若两圆外切，则有12||3C C R r =+=，变形可得：2249a b +=，2222222222222211111141(4)()(5)(521999a b a b a b a b a b a b b a +=+=++=+++=，当且仅当222a b =时等号成立，故2222a b a b+的最小值为1；故答案为：1．【点睛】本题考查圆与圆的位置关系，涉及基本不等式的性质以及应用，属于中档题．15．【分析】由面积比得得由角平分线定理得在和中应用余弦定理结合可求得【详解】由已知则又平分所以设则中同理中因为所以解得（负的舍去）故答案为：【点睛】本题考查三角形面积公式三角形内角平分线定理余弦定理通过【分析】由面积比得2BD DC =，得1BD =，由角平分线定理得2ABAC=，在ABD △和ACD △中应用余弦定理结合cos cos ADB ADC ∠=-∠可求得AC ．【详解】由已知1sin 221sin 2ABD ACD BD AD ADBS BD S CD CD AD ADC ⋅∠===⋅∠△△，12CD =，则1BD =，又AD 平分BAC ∠，所以2AB BDAC CD==，2AB AC =，设AC x =，则2AB x =， ABD △中，22222114cos 1222BD DA AB x ADB x BD AD +-+-∠===-⋅，同理，ACD △中，221154cos 14212x ADC x +-∠==-⨯⨯，因为180ADB ADC ∠+∠=︒，所以225cos cos 1204ADB ADC x x ∠+∠=-+-=，解得x （负的舍去），故答案为：2．【点睛】本题考查三角形面积公式，三角形内角平分线定理，余弦定理，通过180ADB ADC ∠+∠=︒，cos cos 0ADB ADC ∠+∠=，把两个三角形联系起来达到求解的目的．16．【分析】由与求出的度数根据以及的长利用正弦定理即可求出的长【详解】解：在中即则由正弦定理得：故答案为：【点睛】本题考查正弦定理以及特殊角的三角函数值熟练掌握正弦定理是解本题的关键解析：【分析】由ACB ∠与BAC ∠，求出ABC ∠的度数，根据sin ACB ∠，sin ABC ∠，以及AC 的长，利用正弦定理即可求出AB 的长．【详解】解：在ABC ∆中，50AC m =，45ACB ∠=︒，105CAB ∠=︒，即30ABC ∠=︒，则由正弦定理sin sin AB ACACB ABC=∠∠，得：50sin 21sin 2AC ACBAB ABC∠===∠．故答案为：. 【点睛】本题考查正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．17．【分析】根据题意只需小于等于的最小值即可利用基本不等式可得的最值进而即可得到结论【详解】由则所以当且仅当即时取等号所以即的最大值为故答案为：【点睛】本题主要考查了基本不等式求最值以及恒成立问题同时考解析：4【分析】根据题意，只需m 小于等于111x x +-的最小值即可，利用基本不等式可得111x x+-的最值，进而即可得到结论. 【详解】由()0,1x ∈，则()10,1x -∈，11x x +-=，所以，()11111124111x x x x x x x x x x-⎛⎫+=++-=++≥ ⎪---⎝⎭，当且仅当11x xx x -=-，即12x =时取等号，所以，4m ≤，即m 的最大值为4.故答案为：4. 【点睛】本题主要考查了基本不等式求最值，以及恒成立问题，同时考查了转化的思想和运算求解的能力，属于基础题.18．【分析】由余弦定理可得由诱导公式可得进而可得由三角恒等变换得再由正弦定理即可得解【详解】在中由余弦定理得所以所以又所以所以所以在中由正弦定理得所以故答案为：【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理解三角解析：)41【分析】由余弦定理可得8BD =、1cos 2ABD ∠=，由诱导公式可得1sin 2CBD ∠=，进而可得cos CBD ∠=sin BDC ∠，再由正弦定理即可得解. 【详解】在ABD △中，由余弦定理得2222cos 64BD AB AD AB AD A =+-⋅⋅=，所以8BD =，所以2221cos 22AB BD AD ABD AB BD +-∠==⋅，又AB BC ⊥，所以1sin cos 2CBD ABD ∠=∠=，0,2CBD π⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，所以cos 2CBD ∠==，所以()sin sin sin cos cos sin BDC BCD CBD BCD CBD BCD CBD ∠=∠+∠=∠∠+∠∠1222=-=，在BCD △中，由正弦定理得sin sin BC BD BDC BCD ===∠∠，所以)41BC BDC =∠==.故答案为：)41.【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理解三角形的应用，考查了三角恒等变换的应用及运算求解能力，属于中档题.19．【解析】等比数列首项为第二项为故是首项为公比为的等比数列所以所以其前项和为时为【点睛】本小题主要考查等比数列通项公式的求法考查利用裂项求和法求数列的前项和题目给定一个数列为等比数列并且给出和也就是要解析：1516【解析】等比数列首项为1123a =,第二项为2169a =,故是首项为13,公比为13的等比数列.所以()21111333n n n nn a -+=⋅=,所以211131n n a n n n n ==-++,其前n 项和为111n -+,15n =时,为11511616-=. 【点睛】本小题主要考查等比数列通项公式的求法,考查利用裂项求和法求数列的前n 项和.题目给定一个数列()2n n n a +为等比数列,并且给出1a 和2a ,也就是要用这两项求得给定数列的第一和第二项,根据前两项求得等比数列的通项公式,由此得到211131n n a n n n n ==-++,利用裂项求和法求得数列的前n 项和. 20．【分析】本题先用表示再建立方程组解题即可【详解】解：∵是等比数列∴∵∴解得：故答案为：【点睛】本题考查等比数列的基本量法是基础题解析：12【分析】本题先用1a ，q 表示2a ，5a ，再建立方程组21451412a a q a a q ==⎧⎪⎨==⎪⎩解题即可. 【详解】解：∵ {}n a 是等比数列，∴ 21a a q =，451a a q∵24a =，512a =，∴ 21451412a a q a a q ==⎧⎪⎨==⎪⎩，解得：1812a q =⎧⎪⎨=⎪⎩，故答案为：12. 【点睛】本题考查等比数列的基本量法，是基础题.三、解答题21．（1）最多75人；（2）存在，{}7m ∈. 【分析】（1）根据题意直接列出不等式可求解；（2）由①可得2125x m ≥+，由②可得100325xm x ≤++，分别利用函数单调性和基本不等式即可求解. 【详解】（1）依题意可得调整后研发人员的年人均投入为()14%x a +⎡⎤⎣⎦万元，则()()10014%100x x a a -+≥⎡⎤⎣⎦，(0a >) 解得075x ≤≤，4575x ，所以调整后的技术人员的人数最多75人；（2）①由技术人员年人均投入不减少有225x a m a ⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭，解得2125xm ≥+. ②由研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入有()()210014%25x x x a x m a ⎛⎫-+≥-⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭，两边同除以ax 得1002112525x x m x ⎛⎫⎛⎫-+≥- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，整理得100325xm x ≤++，故有2100132525x x m x +≤≤++，因为10033725x x ++≥=，当且仅当50x =时等号成立，所以7m ≤，又因为4575x ≤≤，当75x =时，225x取得最大值7，所以7m ≥， 77m ∴≤≤，即存在这样的m 满足条件，使得其范围为{}7m ∈.【点睛】本题考查不等式的应用，解题的关键是正确理解题中数量关系，建立正确的不等式，进而求解. 22．（1）223x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭；（2）13m =，112a =-.【分析】（1）当2a =时，不等式为23440x x -++>，即23440x x --<，利用一元二次不等式求解.（2）根据不等式的解集为()4,m -，则由4-，m 为方程23240x ax -++=的两根求解. 【详解】（1）当2a =时，不等式为23440x x -++>，所以23440x x --<，所以()23203x x ⎛⎫+-< ⎪⎝⎭，解得223x -<<，所以不等式23440x x -++>的解集为223x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭；（2）由已知得4-，m 为方程23240x ax -++=的两根，则有243a m -+=--且443m -=-，解得13m =，112a =-.【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解法以及一元二次不等式与一元二次方程的关系，属于中档题. 23．（1）3A π=；（2）6．【分析】（1）根据cos cos 2cos b A a B c A +=，利用正弦定理，结合两角和的正弦公式得到()sin 2sin cos A B C A +=，又A B C π+=-，由sin 2sin cos C C A =求解；（2）根据3A π=，ABC 4bc =，再结合余弦定理求得b c +即可. 【详解】（1）因为cos cos 2cos b A a B c A += 所以sin cos sin cos 2sin cos B A A B C A +=，所以()sin 2sin cos A B C A +=，因为A B C π+=-，所以sin 2sin cos C C A =，因为sin 0C ≠，所以1cos 2A =．因为0A π<<，所以3A π=．（2）因为3A π=，ABC所以1sin 23ABC S bc π==△ 解得4bc =，由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，得()22243b c bc b c bc =+-=+-，所以4b c +=，所以6a b c ++=．所以ABC 的周长为6．【点睛】方法点睛：（1）在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息，一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．（2）解题中注意三角形内角和定理的应用及角的范围限制． 24．（1）3π；（2. 【分析】（1）利用正弦定理把sin cos b A B =化为sin sin cos A B A B =，从而可得tan B =B ；（2）由于4AD CD =，所以51ABC BCDSAC SDC ==，从而可得ABC 的面积为用三角形面积公式可得8ac =，而由sin 4sin C A =得 4c a =，从而可求出,a c 的值，再利用余弦定理可求出b 的值. 【详解】解：（1） ∵sin cos b AB =，∴sin sin cos A B A B=， ∴tan B = ∵()0,B π∈ ∴3B π=；（2）依题意可知：51ABC BCDSAC SDC ==，∵BCD △的面积为5，∴ABC 的面积为∵ABC的面积为1sin 2S ac B ==∴8ac =，∵sin 4sin C A =，∴4c a =，c =a =∴b == 25．（1）21n a n =-；（2）2332n nn S +=-. 【分析】（1）利用已知条件列出关于首项与公差的方程组，解方程组即得数列{}n a 的通项公式；（2）先由（1）得到n n n a 2n 122-=，再利用错位相减法求和即可. 【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由已知得()()121223412a a a a a a +=⎧⎨+++=⎩，即122348a a a a +=⎧⎨+=⎩，所以()()()1111428a a d a d a d ⎧++=⎪⎨+++=⎪⎩，解得112a d =⎧⎨=⎩，所以21n a n =-．（2）由（1）得n n n a 2n 122-=，所以1212321223212n n n n n S ---=++⋯++，① 231123212222213n n n n n S +--=++⋯⋯++，② -①②得：21111112132322222222n n n n n n S ++-+⎛⎫=+⨯+⋯+-=- ⎪⎝⎭，所以2332n nn S +=-．【点睛】易错点睛：用错位相减法求和应注意的问题（1）要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；（2）在写出“n S ”与“n qS ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“n n S qS -”的表达式；（3）在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.26．（1）21n a n =-；（2）()12326n n T n +=-⨯+.【分析】（1）由等差数列的前n 项和公式，等比数列的性质列出关于1a 和d 的方程组，解方程组后可得通项公式n a ；（2）由等差数列通项公式求得2log n b 后得n b ，然后由错位相减法求得和n T ．【详解】（1）设{}n a 公差为d ，则()()11211154525122124n a d a a n d a d a a d ⨯⎧+==⎧⎪⇒⇒=-⎨⎨=⎩⎪+=+⎩. （2）由题意2log 11(1)n b n n =+⨯-=，2n n b ∴=()2323252212n n T n =+⨯+⨯++-⨯，（1） ()2341223252212n n T n +=+⨯+⨯++-⨯，（2）（1）－（2）得：2312222222(21)2n n n T n +-=+⨯+⨯++⨯--⨯118(12)2(21)212n n n -+-=+--⨯-，()12326n n T n +=-⨯+.【点睛】本题考查求等差数列的通项公式，错位相减法求和．数列求和的常用方法：设数列{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，（1）公式法：等差数列或等比数列的求和直接应用公式求和；（2）错位相减法：数列{}n n a b 的前n 项和应用错位相减法；（3）裂项相消法；数列1{}n n ka a +（k 为常数，0n a ≠）的前n 项和用裂项相消法；（4）分组（并项）求和法：数列{}n n pa qb +用分组求和法，如果数列中的项出现正负相间等特征时可能用并项求和法；（5）倒序相加法：满足m n m a a A -+=（A 为常数）的数列，需用倒序相加法求和．。

【人教版】高中数学必修五期末试题(附答案)(1)

一、选择题1．若正数x，y满足21yx+=，则2xy+的最小值为（）A．2 B．4 C．6 D．82．已知正数x，y满足1431x y+=+，则x y+的最小值为（）A．53B．2 C．73D．63．设变量,x y、满足约束条件236y xx yy x≤⎧⎪+≥⎨⎪≥-⎩，则目标函数2z x y=+的最大值为（）A．2 B．3 C．4 D．94．如图，地面四个5G中继站A、B、C、D ，已知()62kmCD=+，30ADB CDB∠=∠=︒，45DCA∠=︒，60ACB∠=︒，则A、B两个中继站的距离是（）A．3km B．10km C10km D．62km 5．ABC∆的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2b=，6Bπ=，4Cπ，则ABC∆的面积为（）A．223+B31C．232D316．设ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c.已知2cos0b a C-=，()sin3sinA A C=+，则2bca=（）A7B14C．23D67．在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若22tan tanB Cb c=，则ABC的形状为（）A．等腰三角形或直角三角形B．等腰直角三角形C．等腰三角形D．直角三角形8．已知实数x ，y 满足2402401x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥-⎩，则2x y +的最大值为（）A ．2B ．8C ．11D ．139．数列{}n a 的前n 项和为()21n S n n =-（*n ∈N ），若173a a ka +=，则实数k 等于（） A ．2B ．3C ．269D．25910．已知递增的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，175a a ⋅=，266a a +=，对于n *∈N ，不等式1231111+++⋅⋅⋅+<nM S S S S 恒成立，则整数M 的最小值是（） A ．1B ．2C ．3D ．411．若{}n a 是等比数列，其公比是q ，且546,,a a a -成等差数列，则q 等于( ) A ．－1或2B ．1或－2C ．1或2D ．－1或－212．在等比数列{}n a 中，若1234531a a a a a ++++=，2345662a a a a a ++++=，则通项n a 等于（） A ．12n -B ．2nC ．12n +D ．22n -二、填空题13．已知实数x ，y 满足约束条件010x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪⎩，则23x y z +=的最大值__________.14．若x >1，y >1，且a b x y xy ==，则a +4b 的最小值为___________. 15．设ABC 的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且3cos 2cos a C c A b ⋅=⋅+，则()tan A C -的最大值为__________.16．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边a ，b ，c 为三个连续自然数，且2C A =，则a =_______．17．如图，测量河对岸的塔高AB 时，可以选与塔底B 在同一水平面内的两个观测点,C D ，测得15BCD ︒∠=，30CBD ︒∠=，152m CD =，并在C 处测得塔顶A 的仰角为45︒，则塔高AB =______m ．18．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若4a =，2c =，60B =︒，则b = ，C = ．19．数列{}n a 中，已知22a =，21n n n a a a ++=+，若834a =，则数列{}n a 的前6项和为______．20．在数列{}n a 中，11a =()*1n =∈N ；等比数列{}n b 的前n 项和为2n n S m =-．当n *∈N 时，使得n n b a λ≥恒成立的实数λ的最小值是_________．三、解答题21．已知函数()()()23f x x a x =-+. （1）当72a >-时，解关于x 的不等式()46f x x >+；（2）若关于x 的方程()80f x +=在(–),1∞上有两个不相等实根，求实数a 的取值范围. 22．已知0a >，0b >.（1）求证：()2232a b b a b +≥+；（2）若2a b ab +=，求ab 的最小值.23．在ABC 中a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边，若()()2sin 2sin sin 2sin sin a A B C b C B c =+++.（1）求A 的大小；（2）求sin sin B C +的最大值.24．ABC 是等边三角形，点D 在边AC 的延长线上，且AD =3CD ，BD，求AD 的值和sin ∠ABD 的值25．在①数列{}n a 为递增的等比数列，且2312a a +=，②数列{}n a 满足122n n S S +-=，③数列{}n a 满足1121222n n n n a a a na -++++=这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，再完成解答．问题：设数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，__________．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设2221log log n n n b a a +=⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T ．26．已知等比数列{}n a 的公比3q =，并且满足2a ，318a +，4a 成等差数列. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n b 满足31log n n nb a a =+，记n S 为数列{}n b 的前n 项和，求使2220n S n ->成立的正整数n 的最小值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】由21y x +=，对2x y +乘以21y x+=，构造均值不等式求最值 .【详解】22242248x y x xy y x y xy ⎛⎫⎛⎫+=++=+++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当421xy xy y x⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，即412x y =⎧⎪⎨=⎪⎩时，等号成立，∴min28x y ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.故选：D 【点睛】利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：“一正、二定、三相等” (1) “一正”就是各项必须为正数；(2)“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；(3)“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方．如果等号成立的条件满足不了，说明函数在对应区间单调，可以利用单调性求最值或值域．2．B解析：B 【分析】化简114[(1)]()131x y x y x y +=++⨯+-+，再利用基本不等式求解. 【详解】由题得1114(1)1[(1)]31[(1)]()1331x y x y x y x y x y +=++-=++⨯-=++⨯+-+ 1141(5)1(5)123131y x x y y +=++-≥+-=++ 当且仅当1x y ==时取等.所以x y +的最小值为2. 故选：B 【点睛】方法点睛：利用基本不等式求最值时，常用到常量代换，即把所求代数式中的某一常量换成已知中的代数式，再利用基本不等式求解.3．D解析：D 【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得结论. 【详解】画出满足约束条件236y x x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≥-⎩的可行域，如图，画出可行域ABC ∆，(2,0)A ，(1,1)B ，(3,3)C ，平移直线2z x y =+，由图可知，直线2z x y =+经过(3,3)C 时目标函数2z x y =+有最大值，2z x y =+的最大值为9.故选D. 【点睛】本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.4．C解析：C 【分析】由正弦定理得求得AC 、BC 长，再由余弦定理得AB 长可得答案. 【详解】由题意可得75DAC ∠=︒，45DBC ∠=︒，在ADC 中，由正弦定理得()362sin 223sin sin 75CD ADCAC DAC+⨯⋅∠===∠︒，在BDC 中，由正弦定理得()162sin 231sin 22CD BDC BC DBC+⨯⋅∠===+∠，在ACB △中，由余弦定理得2222cos AB AC BC AC BC ACB =+-⨯⨯⋅∠()()()22123312233112=++-⨯⨯+⨯=，所以10km AB =. 故选：C. 【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理解三角形的应用.5．B解析：B 【解析】试题分析：根据正弦定理，，解得，，并且，所以考点：1．正弦定理；2．面积公式．6．D解析：D 【分析】根据正弦定理把角化边，可得3a b =，进一步得到2cos 3C =，然后根据余弦定理，可得6c b =，最后可得结果.【详解】在ABC ∆中，sin sin a b A B=，由()sin 3sin()3sin 3sin A A C B B π=+=-=，所以3a b =①，又2cos 0b a C -=②，由①②可知：2cos 3C =，又2222cos 23a b c C ab +-==③，把①代入③化简可得：c =，则()2293bc b a b ==，故选：D. 【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理的综合应用，难点在于将c 用b 表示，当没有具体数据时，可以联想到使用一个参数表示另外两个参数，属于中档题.7．A解析：A 【分析】由三角函数恒等变换的应用，正弦定理化简已知等式可得sin 2sin 2B C =，可得22B C =，或22B C π+=，解得B C =，或2B C π+=，即可判断ABC ∆的形状．【详解】22tan tan B Cb c =， ∴22sin sin cos cos B C b B c C =，由正弦定理可得：22cos cos b cb Bc C=，可得：cos cos b B c C =，可得sin cos sin cos B B C C =，可得：sin 2sin 2B C =，22B C ∴=，或22B C π+=，B C ∴=，或2B C π+=，ABC ∆∴的形状为等腰三角形或直角三角形．故选：A ．【点睛】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．8．C解析：C 【分析】根据条件作出可行域，根据图形可得出答案. 【详解】由实数x ，y 满足2402401x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥-⎩，作出可行域，如图.设2z x y =+，则化为2y x z =-+ 所以z 表示直线2y x z =-+在y 轴上的截距.2401x y y -+=⎧⎨=-⎩可得()6,1A --，2401x y y +-=⎧⎨=-⎩可得()61B -，根据图形可得，当直线2y x z =-+过点()61B -，时截距最大，所以2z x y =+的最大值为11. 故选：C【点睛】方法点睛：解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.9．C解析：C 【分析】由已知结合递推公式可求n a ，然后结合等差数列的通项公式即可求解. 【详解】因为()21n S n n =-，所以111a S ==，当2n ≥时，()()()12112343n n n a S S n n n n n -=-=----=-，111a S ==适合上式，故43n a n =-，因为173a a ka +=， ∴1259k +=，解可得269k = 故选：C. 【点睛】本题主要考查了由数列前n 项和求数列的通项公式，考查来了运算能力，属于中档题.10．C解析：C 【分析】先求出等差数列的1a 和d ，由等差数列前n 项和公式得n S ，把1nS 拆成两项的差，用裂项相消法求得和12111nS S S +++，在n 变化时，求得M 的范围，得出结论．【详解】∵{}n a 是等差数列，∴17266a a a a +=+=，由171765a a a a +=⎧⎨=⎩解得1715a a =⎧⎨=⎩或1751a a =⎧⎨=⎩，又{}n a 是递增数列，∴1715a a =⎧⎨=⎩，715127163a a d --===-， 1(1)(1)(2)233n n n n n n n S na d n --+=+=+=， 121113331324(2)n S S S n n +++=+++⨯⨯+3111111112324112n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦31119311122124212n n n n ⎛⎫⎛⎫=+--=-+ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭94<，由不等式1231111+++⋅⋅⋅+<n M S S S S 恒成立，得94M ≥，∴最小的整数3M =．故选：C ．【点睛】本题考查不等式恒成立问题，考查等差数列的性质，等差数列的通项公式和前n 项和公式，裂项相消法求和，本题属于中档题．11．A解析：A 【解析】分析：由546,,a a a -成等差数列可得5642a a a -+=，化简可得()()120q q +-=，解方程求得q 的值. 详解：546,,a a a -成等差数列，所以5642a a a -+=，24442a q a q a ∴-+=，220q q ∴--=，()()120q q ∴+-=，1q ∴=-或2，故选A.点睛：本题考查等差数列的性质，等比数列的通项公式基本量运算，属于简单题. 等比数列基本量的运算是等比数列的一类基本题型，数列中的五个基本量1,,,,,n n a q n a S ，一般可以“知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解，解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列的有关性质和公式，并灵活应用.12．A解析：A 【详解】设等比数列{a n }的公比为q ，∵a 1+a 2+a 3+a 4+a 5=31,a 2+a 3+a 4+a 5+a 6=62， ∴q=2，∴a1(1+q+q 2+q 3+q 4)=31，则a 1=1，故an=2n−1. 故选A.二、填空题13．【分析】先作出不等式组对应的可行域再通过数形结合求出的最大值即得解【详解】由题得不等式组对应的可行域是如图所示的阴影三角形区域设它表示斜率为纵截距为的直线系要求的最大值即求的最大值当直线经过点时直线解析：9【分析】先作出不等式组对应的可行域，再通过数形结合求出2x y +的最大值即得解. 【详解】由题得不等式组对应的可行域是如图所示的阴影三角形区域，设12,22m m x y y x =+∴=-+，它表示斜率为12-，纵截距为2m的直线系，要求23x y z +=的最大值即求m 的最大值.当直线122m y x =-+经过点(0,1)A 时，直线的纵截距2m最大，m 最大. 此时max 022m =+=，所以23x y z +=的最大值为239=.故答案为：9 【点睛】方法点睛：线性规划问题一般用图解法，其步骤如下：（1）根据题意，设出变量,x y ；（2）列出线性约束条件；（3）确定线性目标函数(,)z f x y =；（4）画出可行域（即各约束条件所示区域的公共区域）；（5）利用线性目标函数作平行直线系()(y f x z =为参数）；（6）观察图形，找到直线()(y f x z =为参数）在可行域上使z 取得欲求最值的位置，以确定最优解，给出答案。

【人教版】高中数学必修五期末模拟试卷附答案

一、选择题1．已知正数x，y 满足1431x y+=+，则x y+的最小值为（）A．53B．2 C．73D．62．已知实数,x y满足约束条件50x yx yy++≥⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩，则241z x y=++的最小值是（）A．14-B．1C．5-D．9-3．在各项均为正数的等差数列{}n a中，n S为其前n项和，7S=14，则2614ta a=+的最小值为（）A．9 B．94C．52D．24．在ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若()sin sin sinc C a A b a B=+-，角C的角平分线交AB于点D，且3CD=，3a b=，则c的值为（）A．72B．473C．3D．235．一艘游轮航行到A处时看灯塔B在A的北偏东75︒，距离为126海里，灯塔C在A 的北偏西30，距离为123海里，该游轮由A沿正北方向继续航行到D处时再看灯塔B 在其南偏东60︒方向，则此时灯塔C位于游轮的（）A．正西方向B．南偏西75︒方向C．南偏西60︒方向D．南偏西45︒方向6．如图，测量河对岸的塔高AB时，选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D.现测得15BCD∠=︒，45BDC∠=︒，302CD m=，并在点C测得塔顶A的仰角为30，则塔高AB为( )A． B．C ．60mD ．20m7．已知在ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若ABC 的面积为S ，且222()S a b c =+-，则tan C =（）A ．43-B ．34-C ．34D ．438．若实数,x y 满足约束条件40400x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最大值为（）A ．0B ．4C ．8D ．129．在正项等比数列{}n a 中，若3788a a a =，2105a a +=，则公比q =（） A ．122B ．122或1212⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．142D ．142或1412⎛⎫ ⎪⎝⎭10．《张丘建算经》是我国北魏时期大数学家丘建所著，约成书于公元466485~年间，其记臷着这么一道题：某女子善于织布，一天比一天织得快，而且每天增加的数量相同. 已知第一天织布5尺，30天其织布390尺，则该女子织布每天增加的尺数（不作近似计算）为（） A ．1629B ．1627C ．1113D ．132911．已知等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，其前n 项和为n S ，若直线112y a x m =+与圆()2221x y -+=的两个交点关于直线0x y d +-=对称，则数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前10项和为（） A ．1011B ．910C ．89D ．212．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，523S =，360n S =，5183n S -=，则n =（） A ．18B ．19C ．20D ．21二、填空题13．若x ，y ，z 满足约束条件4802400x y x y y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩，则z =__________．14．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边a ，b ，c 为三个连续偶数，且2C A =，则a =______.15．在ABC 中，已知1AC =，A ∠的平分线交BC 于D ，且1AD =，BD =，则ABC 的面积为_________.16．已知正实数,x y 满足x y xy +=，则3211x yx y +--的最小值为______． 17．设x 、y 满足约束条件22010240x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则2z x y =+的最大值是__________．18．如图，在四边形ABCD 中，已知AB BC ⊥，5AB =，7AD =，135BCD ∠=︒，1cos 7A =，则BC =________.19．已知数列{}n a 满足112a =，()*112n n a a n +=∈N .设2n n n b a λ-=，*n ∈N ，且数列{}n b 是递增数列，则实数λ的取值范围是________.20．对于数列{}n a ，存在x ∈R ，使得不等式()2*144n na x x n N a +≤≤-∈成立，则下列说法正确的有______.（请写出所有正确说法的序号）. ①数列{}n a 为等差数列； ②数列{}n a 为等比数列； ③若12a =，则212n na -=；④若12a =，则数列{}n a 的前n 项和21223n n S +-=.三、解答题21．已知a ＞0，b ＞0，a +b ＝3．（1）求11+2+a b的最小值；（2）证明：92+a b b aab22．如果x ，y R ∈，比较()222+x y 与()2xy x y +的大小．23．将函数()sin 3cos f x x x =图象上所有点向右平移6π个单位长度，然后横坐标缩短为原来的12(纵坐标不变)，得到函数()g x 的图象.（1）求函数()g x 的解析式及单调递增区间；（2）在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若1sin cos 364B B ππ⎛⎫--= ⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭，,6c g b π⎛⎫== ⎪⎝⎭ABC 的面积. 24．在ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C的对边，且bcos A c ⋅=. （1）求角B ；（2）若ABC的面积为BC 边上的高1AH =，求b ，c . 25．若数列{}n a 的前n 项和()2*n S n n N =∈.（1）求{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足3nn n a b =，求数列{}n b 的前n 项和n S . 26．已知{}n a 是由正整数组成的无穷数列，该数列前n 项的最大值记为n A ，最小值记为n B ，令nn nA bB =．（1）若2(1,2,3,)n a n n ==，写出1b ，2b ，3b 的值．（2）证明：1(1,2,3,)n n b b n +≥=．（3）若{}n b 是等比数列，证明：存在正整数0n ，当0n n 时，n a ，1n a +，2n a +是等比数列．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】化简114[(1)]()131x y x y x y +=++⨯+-+，再利用基本不等式求解. 【详解】由题得1114(1)1[(1)]31[(1)]()1331x y x y x y x y x y +=++-=++⨯-=++⨯+-+ 1141(5)1(5)123131y x x y y +=++-≥+-=++当且仅当1x y ==时取等. 所以x y +的最小值为2. 故选：B 【点睛】方法点睛：利用基本不等式求最值时，常用到常量代换，即把所求代数式中的某一常量换成已知中的代数式，再利用基本不等式求解.2．A解析：A 【分析】求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值. 【详解】解：作出不等式组5000x y x y y ++≥⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩表示的平面区域，如图所示的阴影部分由241z x y =++可得11244z y x =-+-，则144z -表示直线11244z y x =-+-在y 轴上的截距，截距越小，z 越小，由题意可得，当11244z y x =-+-经过点A 时，z 最小，由500x y x y ++=⎧⎨-=⎩可得5522A ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，，此时552411422z=-⨯-⨯+=-，故选：A.【点睛】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.3．B解析：B【分析】根据等差数列的性质和前n项和公式求得26a a+，然后由“1”的代换应用基本不等式求得最小值．【详解】由题意172677()7()1422a a a aS++===，∴264a a+=，∴26262614114()()4t a aa a a a=+=++6622262644119(5)(52)444a aa aa a a a=++≥+⋅=，当且仅当62264a aa a=，即622a a=时等号成立．故选：B．【点睛】本题考查等差数列的性质，考查基本不等式求最值．解题基础是掌握等差数列的性质，掌握基本不等式求最值中“1”的代换法．4．B解析：B【分析】利用正弦定理边角互化以及余弦定理求出角C的值，由ABC ACD BCDS S S=+△△△可得出ab a b=+，结合3a b=可求得a、b的值，再利用余弦定理可求得c的值.【详解】()sin sin sinc C a A b a B=+-，由正弦定理可得()22c a b a b=+-，可得222a b c ab+-=，由余弦定理可得：2221cos22a b cCab+-==，0Cπ<<，所以3Cπ=，由ABC ACD BCD S S S =+△△△，有111sin sin sin 232626ab a CD b CD πππ=⋅+⋅，得ab a b =+，所以234b b =，0b >，43b ∴=，34a b ==，由余弦定理可得221616471692cos 33c a b ab C =+--==+. 故选：B. 【点睛】方法点睛：在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下：（1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”；（2）若式子中含有a 、b 、c 的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”；（3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”；（4）代数式变形或者三角恒等变换前置；（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理.5．C解析：C 【分析】根据题设中的方位角画出,ABD ACD ∆∆，在ABD ∆中利用正弦定理可求出AD 的长，在ACD ∆中利用余弦定理求出CD 的长，利用正弦定理求CDA ∠的大小（即灯塔C 的方位角）. 【详解】如图，在ABD ∆中，45B =︒，由正弦定理有126242sin 45sin 603AD AB ===︒︒，24AD =. 在ACD ∆中，余弦定理有2222cos30CD AC AD AC AD =+-⨯⨯︒，因AC =，24AD =，12CD =，由正弦定理有sin 30sin CD AC CDA =︒∠，sin CDA ∠=60CDA ∠=︒或者120CDA ∠=︒.因AD CD >，故CDA ∠为锐角，所以60CDA ∠=︒，故选C. 【点睛】与解三角形相关的实际问题中，我们常常碰到方位角、俯角、仰角等，注意它们的差别.另外，把实际问题抽象为解三角形问题时，注意分析三角形的哪些量是已知的，要求的哪些量，这样才能确定用什么定理去解决.6．D解析：D 【分析】由正弦定理确定BC 的长，再tan30AB BC 求出AB ．【详解】15BCD ∠=︒，45BDC ∠=︒120CBD由正弦定理得：sin120sin 45BC302sin 45203BC3tan 30203203ABBC故选D【点睛】本题是正弦定理的实际应用，关键是利用正弦定理求出BC ，属于基础题．7．A解析：A 【分析】由三角形面积公式和余弦定理可得C 的等式，利用二倍角公式求得tan2C，从而求得tan C ．【详解】∵222222()2S a b c a b ab c =+-=++-，即22212sin 22ab C a b ab c ⨯⋅=++-， ∴222sin 2ab C ab a b c ⋅-=+-，又222sin 2sin cos 1222a b c ab C ab CC ab ab +-⋅-===-，∴sin cos 12C C +=，即22cos sin cos 222C C C =，则tan 22C =，∴222tan2242tan 1231tan 2CC C ⨯===---，故选：A ．【点睛】本题考查三角形面积公式，余弦定理，考查二倍角公式，同角间的三角函数关系，掌握相应的公式即可求解．属于中档题，考查了学生的运算求解能力．8．C解析：C 【分析】画出不等式组表示的平面区域，将2z x y =+转化为斜截式，即22x zy =-+，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得结论. 【详解】画出约束条件40400x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩表示的可行域，如图所示，将2z x y =+转化为斜截式，即22x z y =-+，平移直线2xy =-，由图可知当直22x zy =-+经过点A 时，直线在y 轴上的截距最大，由4040x y x y +-=⎧⎨-+=⎩，可得40y x =⎧⎨=⎩，所以2z x y =+的最大值为0248+⨯=. 故选：C. 【点睛】方法点睛：本题主要考查线性规划求目标函数的最值，求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值，属于基础题.9．D解析：D 【分析】由等比数列的性质可得出关于2a 、10a 的方程组，进而可求得等比数列{}n a 的公比. 【详解】由3788a a a =得()326753111168a q a q a q a q a ⋅⋅===，即62a =．22106()4a a a ∴==，又2105a a +=，解得21014a a =⎧⎨=⎩或21041a a =⎧⎨=⎩，0q >，11181084242a q a ⎛⎫∴=== ⎪⎝⎭或1111884104211242a q a -⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题的解题关键就是利用等比数列下标和的性质建立有关2a 、10a 的方程组，通过求出2a 、10a 的值，结合等比数列的基本量来进行求解.10．A解析：A 【解析】由题设可知这是一个等差数列问题，且已知13030,390a S ==，求公差d ．由等差数列的知识可得30293053902d ⨯⨯+=，解之得1629d =，应选答案A ． 11．A解析：A 【分析】由题意可知，直线112y a x m =+与直线0x y d +-=垂直，且直线0x y d +-=过圆心，可求得1a 和d 的值，然后利用等差数列的求和公式求得n S ，利用裂项法可求得数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前10项和. 【详解】由于直线112y a x m =+与圆()2221x y -+=的两个交点关于直线0x y d +-=对称，则直线112y a x m =+与直线0x y d +-=垂直，直线0x y d +-=的斜率为1-，则1112a =，可得12a =，且直线0x y d +-=过圆()2221x y -+=的圆心()2,0，则20d -=，可得2d =，()()112212n a a n d n n ∴=+-=+-=，则()()()122122n n n a a n n S n n ++===+，()111111n S n n n n ∴==-++，因此，数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前10项和为1111111110112233410111111⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：A. 【点睛】本题考查裂项求和，同时也考查了直线与圆的综合问题，以及等差数列求和公式的应用，考查计算能力，属于中等题.12．A解析：A 【分析】根据题意，由等差数列的前n 项和公式可得()155355232a a S a+⨯===，变形可得3235a =，又由5432125360183177n n n n n n n n S S a a a a a a ------++-=+===+-，变形可得21775n a -=，结合等差数列的性质分析可得答案. 【详解】根据题意，等差数列{}n a 中，523S =，则()155355232a a S a+⨯===，变形可得3235a =，又由360n S =，5183n S -=，则5432125360183177n n n n n n n n S S a a a a a a ------++-=+===+-，则21775n a -=，又由360n S =，则()()()13223177203602210n n n a a n a a n n S n -+⨯+⨯+⨯=====，解可得18n =. 故选：A. 【点睛】本题考查利用等差数列求和公式求参数，同时也考查了等差数列基本性质的应用，考查计算能力，属于中等题.二、填空题13．【分析】画出满足条件的平面区域结合的几何意义以及点到直线的距离求出的最小值即可【详解】画出满足约束条件的平面区域如图所示：而的几何意义表示平面区域内的点到点的距离显然到直线的距离是最小值由得最小值是解析：455【分析】画出满足条件的平面区域，结合22(4)z x y =++的几何意义以及点到直线的距离求出z 的最小值即可．【详解】画出x ，y ，z 满足约束条件4802400x y x y y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩，的平面区域，如图所示：而22(4)z x y =++()40-，的距离，显然()40-，到直线240x y -+=的距离是最小值，由8445541d -+==+，得最小值是55， 45．【点睛】本题主要考查了简单的线性规划问题，考查数形结合思想，属于中档题．14．8【分析】根据大边对大角可得可设由已知条件利用正弦的二倍角公式和正余弦定理得到关于的方程求解即可【详解】由题意可得又角ABC 的对边abc 为三个连续偶数故可设由由余弦定理得所以即解得故故答案为：【点睛解析：8 【分析】根据大边对大角，可得a c <, 可设22,2,22a n b n c n =-==+,由已知条件，利用正弦的二倍角公式和正余弦定理得到关于n 的方程求解即可. 【详解】由题意可得A C <,a c ∴<,又角A ，B ，C 的对边a ，b ，c 为三个连续偶数，故可设22,2,22,a n b n c n =-==+由2,sin sin 2,sin 2sin cos ,C A C A C A A =∴=∴=sin sin a b A B=,()sin 1cos 2sin 221C c n A A a n +∴===-,由余弦定理得()()()()()()22222224414144cos 222222121n n n b c a n n n A bc n n n n n ++--+-++====+++. 所以()()142121n n n n ++=-+,即()()()2114,n n n +=-+解得5n =,故228a n =-=. 故答案为：8. 【点睛】本题考查正余弦定理在解三角形中的综合运用，关键是熟练使用二倍角公式，正弦定理角化边，正余弦定理联立得到方程求解.15．【分析】设将利用三角形面积公式表示出来可得在中利用余弦定理可得解得即可求出进而可得的值再利用三角形面积公式即可求解【详解】因为平分所以设则因为设所以所以因为所以即在中所以可得解得：所以所以所以故答案解析：8【分析】设12BAD CAD BAC θ∠=∠=∠=，AB x =，将BAD CAD ABC S S S +=△△△利用三角形面积公式表示出来，可得1cos 2x xθ+=，在ABD △中，利用余弦定理可得212cos 2x xθ+-=，解得2x =，即可求出cos θ，sin θ，进而可得sin BAC ∠的值，再利用三角形面积公式即可求解. 【详解】因为AD 平分BAC ∠，所以12BAD CAD BAC ∠=∠=∠，设BAD θ∠=，则CAD θ∠=，2BAC θ∠=，因为BAD CAD ABC S S S +=△△△，设AB x =，所以111sin sin sin 2222x x θθθ+=，所以，sin sin 2sin cos x x θθθθ+=，因为sin 0θ≠，所以12cos x x θ+=，即1cos 2x xθ+=，在ABD △中，212cos 2x x θ+-=，所以21122x x x x-+=，可得220x x --=，解得：2x =，所以3cos cos 4BAD θ∠==，所以sin BAD ∠==，3sin 2sin cos 24BAC θθ∠===，所以1sin 2ABCSAC AB BAC =⋅∠=，【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是将BAD CAD ABC S S S +=△△△用面积公式表示出来可得边角之间的关系，再结合余弦定理即求出边和角即可求面积.16．【详解】正实数满足故得到等号成立的条件为点睛：在利用基本不等式求最值时要特别注意拆拼凑等技巧使其满足基本不等式中正(即条件要求中字母为正数)定(不等式的另一边必须为定值)等(等号取得的条件)的条件才解析：5+. 【详解】正实数,x y 满足x y xy +=，1111132321111111111x y x y x y x y x y yx ⎧=-⎪⎪+=⇒⇒+=+⎨--⎪--=-⎪⎩故得到113121323211=5++111111x 1111y x y x x y y x y x y⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=++≥------（）（）1111-y x ⎫⎫-⎪⎪⎭⎭. 点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.17．16【分析】作出不等式组表示的平面区域由可得则表示直线在轴上的截距截距越大越大结合图象即可求解的最大值【详解】作出满足约束条件表示的平面区域如图所示：由可得则表示直线在轴上的截距截距越大越大作直线然解析：16 【分析】作出不等式组表示的平面区域，由2z x y =+可得2y x z =-+，则z 表示直线2y x z =-+在y 轴上的截距，截距越大，z 越大，结合图象即可求解z 的最大值．【详解】作出x 、y 满足约束条件22010240x y x y x y +-⎧⎪-+⎨⎪--⎩表示的平面区域，如图所示：由2z x y =+可得2y x z =-+，则z 表示直线2y x z =-+在y 轴上的截距，截距越大，z 越大作直线20x y +=，然后把该直线向可行域平移，当直线经过A 时，z 最大由10240x y x y -+=⎧⎨--=⎩可得(5,6)A ，此时16z =．故答案为：16．【点睛】本题主要考查了线性规划知识的应用，求解的关键是明确目标函数中z 的几何意义．属于中档题.18．【分析】由余弦定理可得由诱导公式可得进而可得由三角恒等变换得再由正弦定理即可得解【详解】在中由余弦定理得所以所以又所以所以所以在中由正弦定理得所以故答案为：【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理解三角解析：)41【分析】由余弦定理可得8BD =、1cos 2ABD ∠=，由诱导公式可得1sin 2CBD ∠=，进而可得cos CBD ∠=sin BDC ∠，再由正弦定理即可得解. 【详解】在ABD △中，由余弦定理得2222cos 64BD AB AD AB AD A =+-⋅⋅=，所以8BD =，所以2221cos 22AB BD AD ABD AB BD +-∠==⋅，又AB BC ⊥，所以1sin cos 2CBD ABD ∠=∠=，0,2CBD π⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，所以cos CBD ∠==，所以()sin sin sin cos cos sin BDC BCD CBD BCD CBD BCD CBD ∠=∠+∠=∠∠+∠∠12==，在BCD △中，由正弦定理得sin sin BC BD BDC BCD ===∠∠，所以)41BC BDC =∠==.故答案为：)41.【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理解三角形的应用，考查了三角恒等变换的应用及运算求解能力，属于中档题.19．【分析】根据题意可得数列的通项公式代入表示根据数列是递增数列所以得恒成立参变分离以后计算【详解】由可得数列是首项和公比均为的等比数列所以则又因为是递增数列所以恒成立即恒成立所以所以故答案为：【点睛】解析：3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【分析】根据题意可得数列{}n a 的通项公式，代入表示n b ，根据数列{}n b 是递增数列，所以得10n n b b +->恒成立，参变分离以后计算.【详解】由()*112n n a a n +=∈N 可得，数列{}n a 是首项和公比均为12的等比数列，所以12n n a =，则()222n n nn b n a λλ-==-，又因为{}n b 是递增数列，所以()()()11122222220n n n n n b b n n n λλλ++=+---=+->-恒成立，即220n λ+->恒成立，所以()min 223n λ<+=，所以32λ<. 故答案为：3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭.【点睛】关于数列的单调性应用的问题，一般需要计算1n n a a +-判断其正负，将不等式再转化为恒成立问题，通过参变分离的方法求解min ()a f n <或者max ()a f n >.20．②③④【分析】由题意可得存在使求得值可得再由等比数列的定义通项公式及前项和逐一核对四个命题得答案【详解】解：由存在使得不等式成立得即则则数列为等比数列故①错误②正确；若则故③正确；若则数列的前项和故解析：②③④ 【分析】由题意可得，存在x ∈R ，使244x x -，求得x 值，可得14n na a +=，再由等比数列的定义、通项公式及前n 项和逐一核对四个命题得答案．【详解】解：由存在x ∈R ，使得不等式2*144()n na xx n N a +-∈成立，得244x x -，即2440x x -+，则2(2)0x -，2x ∴=．∴14n na a +=．则数列{}n a 为等比数列，故①错误，②正确；若12a =，则121242n n n a --==，故③正确；若12a =，则数列{}n a 的前n 项和212(14)22143n n n S +⨯--==-，故④正确．故答案为：②③④．【点睛】本题考查命题的真假判断与应用，考查等比数列的判定，训练了等比数列通项公式与前n项和的求法，属于中档题．三、解答题21．（1）45；（2）证明见解析【分析】（1）由所给等式得()215a b ++=，再利用基本不等式即可求得最小值；（2）利用()2222a b a b ++≥即可逐步证明.【详解】（1）3a b +=，()215a b ++∴=，且200a b +>>，，∴()1111112++2225252b a a b a b a b a b +⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭14255⎛≥+= ⎝，当且仅当2=2b a a b ++即1522a b ==，时等号成立， ∴11+2+a b 的最小值为45. （2）因为a ＞0，b ＞0，所以要证92+a bb aab，需证2292a b +≥，因为()222239222a b a b ++≥==，所以92+a bb a ab ，当且仅当32a b ==时等号成立. 【点睛】本题考查条件等式求最值、基本不等式的应用，属于中档题.22．()()2222x y xy x y ≥++，当且仅当x y =时等号成立【分析】运用作差比较法，结合配方法进行比较大小即可. 【详解】()()()2222442224433222x y xy x y x y x y xy x xy y x y x y xy +-++--++=+--=()()()()()()()2223333222324y x x y y y x x y x y x y x xy y x y x y ⎡⎤⎛⎫=-+-=--=-++=-++⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦()20x y -≥，223024y x y ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭，()2223024y x y x y ⎡⎤⎛⎫∴-++≥⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦．()()2222x y xy x y ∴≥++，当且仅当x y =时等号成立.【点睛】本题考查了用作差比较法进行比较两个多项式的大小，考查了配方法的应用，属于中档题. 23．（1）()2sin 26g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，单调递增区间为：(,3)k k k Z πππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦-++∈；（2）2或【分析】（1）由题可得()2sin 26g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令222262k x k πππππ-+≤+≤+即可解得单调递增区间；（2）由题可得2c =，6B π=或2B π=，由余弦定理可求得a ，即可求出面积.【详解】（1）()sin 2sin 3f x x x x π⎛⎫=+=+⎪⎝⎭， ()f x 图象向右平移6π个单位长度得到2sin 6y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，横坐标缩短为原来的12 (纵坐标不变)得到2sin 6y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象，所以()2sin 26g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令222262k x k πππππ-+≤+≤+，解得36k x k ππππ-+≤≤+，所以()g x 的单调递增区间为：(,3)k k k Z πππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦-++∈ （2）由（1）知，62c g π⎛⎫⎪⎝⎭==，因为21sin cos cos 3664B B B πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭-+=+=，所以1cos 62B π⎛⎫⎪⎝=±⎭+又因为()0,B π∈，所以7,666B πππ+=⎛⎫ ⎪⎝⎭，当1cos 62B π⎛⎫⎪⎝=⎭+时，,636B B πππ+==，此时由余弦定理可知，2422cos 126a a π+-⨯⨯=，解得a =，所以12sin26ABCSπ=⨯⨯⨯=，当1cos 62B π⎛⎫⎪⎝=-⎭+时，2,632B B πππ+==，此时由勾股定理可得，a ==，所以122S =⨯⨯=△ABC 【点睛】关键点睛：本题考查三角函数的图象变换求三角函数的性质，以及解三角形的应用，解题的关键是根据图象变换正确得出变换后的解析式. 24．（1）6π；（2）b =2c =. 【分析】（1）化角为边，化简得222c a b +-=，再利用余弦定理求角B ；（2）由正弦定理算出c ，由面积公式算出a ，由余弦定理计算b 中即可. 【详解】解：（1）因为cos b A c =-，所以2222b c a b c bc +-⋅=-，所以22222b c a c +-=-，即222c a b +-=.由余弦定理可得222cos 22c a b B ac +-==，因为(0,)B π∈，所以6B π=.（2）由正弦定理可得sin sin 22sin sin6AH AH AHBc Bππ∠===.因为ABC的面积为11sin 22ac B a ==，解得a = 由余弦定理可得2222cos b a c ac B =+-=4842228+-⨯⨯=，则b = 【点睛】在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．25．（1）21n a n =-；（2）113n nn S +=-. 【分析】（1）利用公式11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，求通项公式；（2）由（1）知利用错位相减法求和. 【详解】解：（1）当1n =时，111a S ==，当2n ≥时，()221121n n n a S S n n n -=-=--=-，当1n =时，也符合上式，所以对任意正整数n ，21n a n =-.（2）由（1）得213n n n b -=，所以1312135232133333n n n n n S ---=+++++…，① 234111352321333333…n n n n n S +--=+++++，② -①②，得32121111212333333n n n n S +-⎛⎫=++++- ⎪⎝⎭…， 21113311132[1()]12122231333n n n n n -++⨯--+=+-=--，所以113n nn S +=-．【点睛】方法点睛：本题考查已知数列n S 与n a 的关系式，求通项公式，和错位相减法求和，一般数列求和包含1.公式法，利用等差和等比数列的前n 项和公式求解；2.错位相减法求和，适用于等差数列乘以等比数列的数列求和；3.裂项相消法求和，适用于能变形为()()1n a f n f n =+-， 4.分组转化法求和，适用于n n n c a b =+；5.倒序相加法求和. 26．（1）11b =，22b =，33b =；（2）证明见解析；（3）证明见解析【分析】（1）由{}n a 是单调递增数列可得1n n a b a =即可求出；（2）设1n a k +=，讨论n k B ≤，n n B k A <<和n k A ≥可证明；（3）设{}n b 的公比为q ，且1q ≥，显然1q =时满足；1q >时，由{}n A 是递增数列，{}n B 是递减数列，且{}n B 不能无限减少可得.【详解】（1）2n a n =，可得{}n a 是单调递增数列，1,n n n a B A a ∴==，1111a b a ∴==，2212a b a ==，3313a b a ==，（2）设1n a k +=，n n n A b B =，若n k B ≤，则+1n n n n nk A A b b B =≥=，若n n B k A <<，则+1n n n n A b b B ==，若n k A ≥，则+1n n n nn A k b b B B =≥=，综上，1(1,2,3,)n n b b n +≥=；（3）设等比数列{}n b 的公比为q ，1111a b a ==，则1n n nn A b q B -==，由（2）可得1n n b b +≥，则1q ≥，当1q =时，1n nA B =，即n n A B =，此时{}n a 为常数列，则存在01n =，当0n n ≥时，n a ，1n a +，2n a +是等比数列；当1q >时，{}n A 是递增数列，{}n B 是递减数列，{}n a 是由正整数组成的无穷数列，则数列{}n a 必存在最小值，即存在正整数0n ，0n a 是数列{}n a 的最小值，则当0n n ≥时，0n n B a =，此时01n n n n n n A a b q B a -===，即01n n n a a q -=，故当0n n ≥时，n a ，1n a +，2n a +是等比数列；综上，存在正整数0n ，当0n n ≥时，n a ，1n a +，2n a +是等比数列．【点睛】本题考查数列单调性的有关判断，解题的关键是正确理解数列的变化情况，清楚{}n b 的变化特点.。

(完整版)人教版高中数学必修5测试题及答案全套(可编辑修改word版)

233 2 33513第一章解三角形测试一正弦定理和余弦定理Ⅰ学习目标1.掌握正弦定理和余弦定理及其有关变形.2.会正确运用正弦定理、余弦定理及有关三角形知识解三角形.Ⅱ基础训练题一、选择题1.在△ABC 中，若BC＝，AC＝2，B＝45°，则角A 等于( )(A)60°(B)30°(C)60°或120°(D)30°或150°12.在△ABC 中，三个内角A，B，C 的对边分别是a，b，c，若a＝2，b＝3，cos C＝－，则c 等于( )4(A)2 (B)3 (C)4 (D)53.在△ABC 中，已知cos B =3, sin C =2，AC＝2，那么边AB 等于( )(A)545(B)533(C)209(D)1254.在△ABC 中，三个内角A，B，C 的对边分别是a，b，c，已知B＝30°，c＝150，b＝50 ，那么这个三角形是( )(A)等边三角形(B)等腰三角形(C)直角三角形(D)等腰三角形或直角三角形5.在△ABC 中，三个内角A，B，C 的对边分别是a，b，c，如果A∶B∶C＝1∶2∶3，那么a∶b∶c 等于( )(A)1∶2∶3 (B)1∶∶2 (C)1∶4∶9 (D)1∶∶二、填空题6.在△ABC 中，三个内角A，B，C 的对边分别是a，b，c，若a＝2，B＝45°，C＝75°，则b＝.7.在△ABC 中，三个内角A，B，C 的对边分别是a，b，c，若a＝2，b＝2 ，c＝4，则A＝.8.在△ABC 中，三个内角A，B，C 的对边分别是a，b，c，若2cos B cos C＝1－cos A，则△ABC 形状是三角形.9.在△ABC 中，三个内角A，B，C 的对边分别是a，b，c，若a＝3，b＝4，B＝60°，则c＝.10.在△ABC 中，若tan A＝2，B＝45°，BC＝，则AC＝.三、解答题11.在△ABC 中，三个内角A，B，C 的对边分别是a，b，c，若a＝2，b＝4，C＝60°，试解△ABC.12.在△ABC 中，已知AB＝3，BC＝4，AC＝.(1)求角B 的大小；(2)若D 是BC 的中点，求中线AD 的长.13．如图，△OAB 的顶点为O(0，0)，A(5，2)和B(－9，8)，求角A 的大小.3 2 19 14. 在△ABC 中，已知 BC ＝a ，AC ＝b ，且 a ，b 是方程 x 2－2x ＋2＝0 的两根，2cos(A ＋B )＝1.(1) 求角 C 的度数； (2) 求 AB 的长； (3) 求△ABC 的面积.一、选择题测试二解三角形全章综合练习Ⅰ 基础训练题1. 在△ABC 中，三个内角 A ，B ，C 的对边分别是 a ，b ，c ，若 b 2＋c 2－a 2＝bc ，则角 A 等于( )π (A)6π (B)3(C)2π3(D)5π 62. 在△ABC 中，给出下列关系式：①sin(A ＋B )＝sin C ②cos(A ＋B )＝cos C ③ sin A + B = cos C2 2其中正确的个数是( ) (A)0(B)1(C)2(D)32 33. 在△ABC 中，三个内角 A ，B ，C 的对边分别是 a ，b ，c .若 a ＝3，sin A ＝，sin(A ＋C )＝，则 b 等于()(A)4(B) 833 4(C)6 (D)27 824. 在△ABC 中，三个内角 A ，B ，C 的对边分别是 a ，b ，c ，若 a ＝3，b ＝4，sin C ＝，则此三角形的面积是3( ) (A)8 (B)6 (C)4 (D)3 5. 在△ABC 中，三个内角 A ，B ，C 的对边分别是 a ，b ，c ，若(a ＋b ＋c )(b ＋c －a )＝3bc ，且 sin A ＝2sin B cos C ，则此三角形的形状是( )(A) 直角三角形(B)正三角形(C)腰和底边不等的等腰三角形 (D)等腰直角三角形二、填空题6. 在△ABC 中，三个内角 A ，B ，C 的对边分别是 a ，b ，c ，若 a ＝，b ＝2，B ＝45°，则角 A ＝.7. 在△ABC 中，三个内角 A ，B ，C 的对边分别是 a ，b ，c ，若 a ＝2，b ＝3，c ＝，则角 C ＝.3 8. 在△ABC 中，三个内角 A ，B ，C 的对边分别是 a ，b ，c ，若 b ＝3，c ＝4，cos A ＝，则此三角形的面积为.59．已知△ABC 的顶点 A (1，0)，B (0，2)，C (4，4)，则 cos A ＝ . 10. 已知△ABC 的三个内角 A ，B ，C 满足 2B ＝A ＋C ，且 AB ＝1，BC ＝4，那么边 BC 上的中线 AD 的长为 .三、解答题11. 在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角 A ，B ，C 的对边，且 a ＝3，b ＝4，C ＝60°.(1) 求 c ； (2) 求 sin B . 12．设向量 a ，b 满足 a ·b ＝3，|a |＝3，|b |＝2.(1)求〈a ，b 〉； (2)求|a －b |.13．设△OAB 的顶点为 O (0，0)，A (5，2)和 B (－9，8)，若 BD ⊥OA 于 D .(1) 求高线 BD 的长； (2) 求△OAB 的面积.14.在△ABC 中，若sin2A＋sin2B＞sin2C，求证：C 为锐角.(提示：利用正弦定理a=sin Absin B=csin C= 2R ，其中R 为△ABC 外接圆半径)Ⅱ拓展训练题15.如图，两条直路OX 与OY 相交于O 点，且两条路所在直线夹角为60°，甲、乙两人分别在OX、OY 上的A、B两点，| OA |＝3km，| OB |＝1km，两人同时都以4km/h 的速度行走，甲沿XO 方向，乙沿OY 方向.问：(1)经过t 小时后，两人距离是多少(表示为t 的函数)？(2)何时两人距离最近？16.在△ABC 中，a，b，c 分别是角A，B，C 的对边，且(1)求角B 的值；(2)若b＝，a＋c＝4，求△ABC 的面积. cos Bcos C=-b.2a +c13第二章数列测试三数列Ⅰ 学习目标1. 了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)，了解数列是一种特殊的函数.2. 理解数列的通项公式的含义，由通项公式写出数列各项.3. 了解递推公式是给出数列的一种方法，能根据递推公式写出数列的前几项.Ⅱ 基础训练题一、选择题1．数列{a n }的前四项依次是：4，44，444，4444，…则数列{a n }的通项公式可以是( )(A)a n ＝4n (B)a n ＝4n(C)a ＝ 4(10n －1) (D)a ＝4×11n92．在有一定规律的数列 0，3，8，15，24，x ，48，63，……中，x 的值是( )(A)30 (B)35 (C)36 (D)42 3．数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＝a n －1＋3n ，则 a 4 等于( ) (A)4 (B)13 (C)28 (D)43 4．156 是下列哪个数列中的一项( ) (A){n 2＋1} (B){n 2－1} (C){n 2＋n } (D){n 2＋n －1} 5. 若数列{a n }的通项公式为 a n ＝5－3n ，则数列{a n }是( ) (A) 递增数列 (B)递减数列 (C)先减后增数列 (D)以上都不对二、填空题6. 数列的前 5 项如下，请写出各数列的一个通项公式：(1)1, 2 , 1 , 3 2 2 , 15 3, , a n ＝；(2)0，1，0，1，0，…，a n ＝ .n 27.一个数列的通项公式是 a n ＝ n 2 +1.(1) 它的前五项依次是； (2)0.98 是其中的第项.8．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝3a n ＋1，则 a 4＝.9. 数列{a }的通项公式为 a =1(n ∈N *)，则 a ＝.n1+ 2 + 3 + + (2n -1)310. 数列{a n }的通项公式为 a n ＝2n 2－15n ＋3，则它的最小项是第项.三、解答题11. 已知数列{a n }的通项公式为 a n ＝14－3n .(1) 写出数列{a n }的前 6 项； (2)当 n ≥5 时，证明 a n ＜0.n 2 + n -112. 在数列{a n }中，已知 a n ＝(n ∈N *).3(1)写出 a 10，a n ＋1， a n 2 ；(2) 79 2 是否是此数列中的项？若是，是第几项？313. 已知函数 f (x ) = x - 1，设 a n ＝f (n )(n ∈N ).x＋nnn(1)写出数列{a n}的前4 项；(2)数列{a n}是递增数列还是递减数列？为什么？测试四等差数列Ⅰ学习目标1.理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式，并能解决一些简单问题.2.掌握等差数列的前n 项和公式，并能应用公式解决一些简单问题.3.能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并能体会等差数列与一次函数的关系.Ⅱ基础训练题一、选择题1．数列{a n}满足：a1＝3，a n＋1＝a n－2，则a100等于( )(A)98 (B)－195 (C)－201 (D)－1982．数列{a n}是首项a1＝1，公差d＝3 的等差数列，如果a n＝2008，那么n 等于( )(A)667 (B)668 (C)669 (D)6703．在等差数列{a n}中，若a7＋a9＝16，a4＝1，则a12的值是( )(A)15 (B)30 (C)31 (D)644.在a 和b(a≠b)之间插入n 个数，使它们与a，b 组成等差数列，则该数列的公差为( )(A)b -an (B)b -an +1(C)b +an +1(D)b -an + 25.设数列{a n}是等差数列，且a2＝－6，a8＝6，S n是数列{a n}的前n 项和，则( )(A)S4＜S5(B)S4＝S5(C)S6＜S5(D)S6＝S5二、填空题6.在等差数列{a n}中，a2与a6的等差中项是.7．在等差数列{a n}中，已知a1＋a2＝5，a3＋a4＝9，那么a5＋a6＝.8.设等差数列{a n}的前n 项和是S n，若S17＝102，则a9＝.9.如果一个数列的前n 项和S n＝3n2＋2n，那么它的第n 项a n＝.10．在数列{a n}中，若a1＝1，a2＝2，a n＋2－a n＝1＋(－1)n(n∈N*)，设{a n}的前n 项和是S n，则S10＝.三、解答题11.已知数列{a n}是等差数列，其前n 项和为S n，a3＝7，S4＝24．求数列{a n}的通项公式.12.等差数列{a n}的前n 项和为S n，已知a10＝30，a20＝50.(1)求通项a n；(2)若S n＝242，求n.13．数列{a n}是等差数列，且a1＝50，d＝－0.6．(1)从第几项开始a n＜0；(2)写出数列的前n 项和公式S n，并求S n的最大值.Ⅲ拓展训练题14．记数列{a n}的前n 项和为S n，若3a n＋1＝3a n＋2(n∈N*)，a1＋a3＋a5＋…＋a99＝90，求S100．测试五等比数列Ⅰ学习目标1.理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式，并能解决一些简单问题.2.掌握等比数列的前n 项和公式，并能应用公式解决一些简单问题.3.能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并能体会等比数列与指数函数的关系.Ⅱ基础训练题一、选择题．在和之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为.1. 数列{a n }满足：a 1＝3，a n ＋1＝2a n ，则 a 4 等于( )(A) 38(B)24 (C)48(D)542. 在各项都为正数的等比数列{a n }中，首项 a 1＝3，前三项和为 21，则 a 3＋a 4＋a 5 等于()(A)33 (B)72 (C)84 (D)1893. 在等比数列{a n }中，如果 a 6＝6，a 9＝9，那么 a 3 等于()(A)4 (B) 3 2 (C) 169 (D)3 4. 在等比数列{a n }中，若 a 2＝9，a 5＝243，则{a n }的前四项和为( )(A)81(B)120(C)168(D)1925. 若数列{a n }满足 a n ＝a 1q n －1(q ＞1)，给出以下四个结论：①{a n }是等比数列；②{a n }可能是等差数列也可能是等比数列； ③{a n }是递增数列；④{a n }可能是递减数列. 其中正确的结论是( )(A)①③(B)①④(C)②③(D)②④二、填空题6. 在等比数列{a n }中,a 1，a 10 是方程 3x 2＋7x －9＝0 的两根，则 a 4a 7＝ . 7．在等比数列{a n }中，已知 a 1＋a 2＝3，a 3＋a 4＝6，那么 a 5＋a 6＝ .8．在等比数列{a }中，若 a ＝9，q ＝ 1，则{a }的前 5 项和为 .n59 8 27 2n3 210. 设等比数列{a n }的公比为 q ，前 n 项和为 S n ，若 S n ＋1，S n ，S n ＋2 成等差数列，则 q ＝ .三、解答题11. 已知数列{a n }是等比数列，a 2＝6，a 5＝162.设数列{a n }的前 n 项和为 S n .(1) 求数列{a n }的通项公式； (2)若 S n ＝242，求 n .12. 在等比数列{a n }中，若 a 2a 6＝36，a 3＋a 5＝15，求公比 q .13. 已知实数 a ，b ，c 成等差数列，a ＋1，b ＋1，c ＋4 成等比数列，且 a ＋b ＋c ＝15，求 a ，b ，c .Ⅲ 拓展训练题14. 在下列由正数排成的数表中，每行上的数从左到右都成等比数列，并且所有公比都等于 q ，每列上的数从上到1 5下都成等差数列.a ij 表示位于第 i 行第 j 列的数，其中 a 24＝，a 42＝1，a 54＝.(1) 求 q 的值；(2) 求 a ij 的计算公式.2 + 13 + 24 + 3n + 1 + n测试六数列求和Ⅰ 学习目标1. 会求等差、等比数列的和，以及求等差、等比数列中的部分项的和.2. 会使用裂项相消法、错位相减法求数列的和.Ⅱ 基础训练题一、选择题1. 已知等比数列的公比为 2，且前 4 项的和为 1，那么前 8 项的和等于( )(A)15 (B)17 (C)19 (D)212. 若数列{a }是公差为 1 的等差数列，它的前 100 项和为 145，则 a ＋a ＋a ＋…＋a的值为()n21 3 5 99(A)60 (B)72.5 (C)85 (D)120 3. 数列{a n }的通项公式 a n ＝(－1)n －1·2n (n ∈N *)，设其前 n 项和为 S n ，则 S 100 等于( )(A)100 (B)－100 (C)200 (D)－200⎧ 1 ⎫ 4．数列⎨(2n -1)(2n +1) ⎬ 的前n 项和为( ) (A) ⎩ n 2n + 1 ⎭ (B)2n2n + 1 (C)n 4n + 2(D)2nn + 1 5．设数列{a n }的前 n 项和为 S n ，a 1＝1，a 2＝2，且 a n ＋2＝a n ＋3(n ＝1，2，3，…)，则 S 100 等于( )(A)7000 (B)7250 (C)7500 (D)14950 二、填空题 6．1 +1 +1 + +1 ＝ .17．数列{n ＋2n }的前n 项和为 .8．数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝2a n ，则 a 2 ＋a 2 ＋…＋a 2 ＝ .12n9．设 n ∈N *，a ∈R ，则 1＋a ＋a 2＋…＋a n ＝. 1 1 1 1 10．1⨯ 2 + 2 ⨯ 4 + 3⨯ 8 + + n ⨯ 2n ＝.三、解答题11. 在数列{a n }中，a 1＝－11，a n ＋1＝a n ＋2(n ∈N *)，求数列{|a n |}的前 n 项和 S n .12. 已知函数 f (x )＝a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋…＋a n x n (n ∈N *，x ∈R )，且对一切正整数 n 都有 f (1)＝n 2 成立.(1) 求数列{a n }的通项 a n ；1 (2) 求a a + 1 + + 1 . a a a a1 22 3n n +113．在数列{a }中，a ＝1，当 n ≥2 时，a ＝1 + 1 + 1+ +1，求数列的前 n 项和 S .n1n2 42n -1nⅢ 拓展训练题14. 已知数列{a n }是等差数列，且 a 1＝2，a 1＋a 2＋a 3＝12.(1) 求数列{a n }的通项公式；(2) na n - 3 3a n +133一、选择题测试七数列综合问题Ⅰ 基础训练题1．等差数列{a n }中，a 1＝1，公差 d ≠0，如果 a 1，a 2，a 5 成等比数列，那么 d 等于( )(A)3 (B)2 (C)－2 (D)2 或－2 2．等比数列{a n }中，a n ＞0，且 a 2a 4＋2a 3a 5＋a 4a 6＝25，则 a 3＋a 5 等于( ) (A)5 (B)10 (C)15 (D)20 3. 如果 a 1，a 2，a 3，…，a 8 为各项都是正数的等差数列，公差 d ≠0，则( ) (A)a 1a 8＞a 4a 5 (B)a 1a 8＜a 4a 5(C)a 1＋a 8＞a 4＋a 5 (D)a 1a 8＝a 4a 5 4. 一给定函数 y ＝f (x )的图象在下列图中，并且对任意 a 1∈(0，1)，由关系式 a n ＋1＝f (a n )得到的数列{a n }满足 a n ＋1＞a n (n ∈N *)，则该函数的图象是( )5. 已知数列{a }满足 a ＝0， a= (n ∈N *)，则 a 等于()n1n +120 (A)0 (B)－ (C) (D)3 2二、填空题⎧1a ,n 且且且 ,1⎪ 2 n6.设数列{a n }的首项 a 1＝，且 a n +1 = ⎨ ⎪a ⎩n+ 1, 4 n 且且且则 a 2＝，a 3＝ ..7. 已知等差数列{a n }的公差为 2，前 20 项和等于 150，那么 a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 20＝.8. 某种细菌的培养过程中，每20 分钟分裂一次(一个分裂为两个)，经过3 个小时，这种细菌可以由1 个繁殖成个.9．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋3n (n ∈N *)，则 a n ＝ .10. 在数列{a n }和{b n }中，a 1＝2，且对任意正整数 n 等式 3a n ＋1－a n ＝0 成立，若 b n 是 a n 与 a n ＋1 的等差中项，则{b n }的前 n 项和为 . 三、解答题11. 数列{a n }的前 n 项和记为 S n ，已知 a n ＝5S n －3(n ∈N *).(1)求 a 1，a 2，a 3；(2)求数列{a n }的通项公式； (3)求 a 1＋a 3＋…＋a 2n －1 的和.2 12.已知函数 f (x )＝(x ＞0)，设 a ＝1，a 2 ·f (a )＝2(n ∈N *)，求数列{a }的通项公式.x 2+ 41 n +1 n n13.设等差数列{a n }的前 n 项和为 S n ，已知 a 3＝12，S 12＞0，S 13＜0. (1) 求公差 d 的范围；(2) 指出 S 1，S 2，…，S 12 中哪个值最大，并说明理由.⎪ 4a +a +a n +1 nⅢ 拓展训练题14.甲、乙两物体分别从相距 70m 的两地同时相向运动.甲第 1 分钟走 2m ，以后每分钟比前 1 分钟多走 1m ，乙每分钟走 5m .(1) 甲、乙开始运动后几分钟相遇？(2) 如果甲、乙到达对方起点后立即折返，甲继续每分钟比前 1 分钟多走 1m ，乙继续每分钟走 5m ，那么开始运动几分钟后第二次相遇？15.在数列{a n }中，若 a 1，a 2 是正整数，且 a n ＝|a n －1－a n －2|，n ＝3，4，5，…则称{a n }为“绝对差数列”. (1) 举出一个前五项不为零的“绝对差数列”(只要求写出前十项)； (2)若“绝对差数列”{a n }中，a 1＝3，a 2＝0，试求出通项 a n ； (3)*证明：任何“绝对差数列”中总含有无穷多个为零的项.一、选择题测试八数列全章综合练习Ⅰ 基础训练题1．在等差数列{a n }中，已知 a 1＋a 2＝4，a 3＋a 4＝12，那么 a 5＋a 6 等于( ) (A)16 (B)20 (C)24 (D)36 2. 在 50 和 350 间所有末位数是 1 的整数和( ) (A)5880 (B)5539 (C)5208 (D)4877 3. 若 a ，b ，c 成等比数列，则函数 y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与 x 轴的交点个数为( ) (A)0 (B)1 (C)2 (D)不能确定 4. 在等差数列{a n }中，如果前 5 项的和为 S 5＝20，那么 a 3 等于( ) (A)－2 (B)2 (C)－4 (D)45. 若{a n }是等差数列，首项 a 1＞0，a 2007＋a 2008＞0，a 2007·a 2008＜0，则使前 n 项和 S n ＞0 成立的最大自然数 n 是( ) (A)4012(B)4013 (C)4014 (D)4015二、填空题6. 已知等比数列{a n }中，a 3＝3，a 10＝384，则该数列的通项 a n ＝ . 7．等差数列{a n }中，a 1＋a 2＋a 3＝－24，a 18＋a 19＋a 20＝78，则此数列前 20 项和 S 20＝ .8. 数列{a n }的前 n 项和记为 S n ，若 S n ＝n 2－3n ＋1，则 a n ＝ .9. 等差数列{a n }中，公差 d ≠0，且 a 1，a 3，a 9 成等比数列，则 a 3 + a 6 + a9 ＝ .47 1010. 设数列{a n }是首项为 1 的正数数列，且(n ＋1)a 2 －na 2 ＋a n ＋1a n ＝0(n ∈N *)，则它的通项公式 a n ＝ .三、解答题11. 设等差数列{a n }的前 n 项和为 S n ，且 a 3＋a 7－a 10＝8，a 11－a 4＝4，求 S 13.12. 已知数列{a n }中，a 1＝1，点(a n ，a n ＋1＋1)(n ∈N *)在函数 f (x )＝2x ＋1 的图象上.(1) 求数列{a n }的通项公式；(2)求数列{a n }的前 n 项和 S n ；(3)设 c n ＝S n ，求数列{c n }的前 n 项和 T n .13. 已知数列{a n }的前 n 项和 S n 满足条件 S n ＝3a n ＋2.(1) 求证：数列{a n }成等比数列；(2)求通项公式 a n .14. 某渔业公司今年初用 98 万元购进一艘渔船，用于捕捞，第一年需各种费用 12 万元，从第二年开始包括维修费在内，每年所需费用均比上一年增加4 万元，该船每年捕捞的总收入为50 万元.n(1) 写出该渔船前四年每年所需的费用(不包括购买费用)；(2) 该渔船捕捞几年开始盈利(即总收入减去成本及所有费用为正值)？(3) 若当盈利总额达到最大值时，渔船以 8 万元卖出，那么该船为渔业公司带来的收益是多少万元？115. 已知函数 f (x )＝Ⅱ 拓展训练题(x ＜－2)，数列{a }满足 a ＝1，a ＝f (－ 1)(n ∈N *).(1) 求 a n ；n 1 na n +1 (2) 设b ＝a 2 ＋a 2 ＋…＋a 2，是否存在最小正整数 m ，使对任意 n ∈N *有 b ＜ m成立？若存在，求出 mnn +1n +22n +125的值，若不存在，请说明理由.16. 已知 f 是直角坐标系平面 xOy 到自身的一个映射，点 P 在映射 f 下的象为点 Q ，记作 Q ＝f (P ).设 P 1(x 1，y 1)，P 2＝f (P 1)，P 3＝f (P 2)，…，P n ＝f (P n －1)，….如果存在一个圆，使所有的点 P n (x n ，y n )(n ∈N *) 都在这个圆内或圆上，那么称这个圆为点 P n (x n ，y n )的一个收敛圆.特别地，当 P 1＝f (P 1)时，则称点 P 1 为映射 f 下的不动点.1若点 P (x ，y )在映射 f 下的象为点 Q (－x ＋1， y ).2(1) 求映射 f 下不动点的坐标；(2) 若 P 1 的坐标为(2，2)，求证：点 P n (x n ，y n )(n ∈N *)存在一个半径为 2 的收敛圆.x 2 - 4bb 第三章不等式测试九不等式的概念与性质Ⅰ 学习目标1. 了解日常生活中的不等关系和不等式(组)的实际背景，掌握用作差的方法比较两个代数式的大小.2. 理解不等式的基本性质及其证明.Ⅱ 基础训练题一、选择题 1. 设 a ，b ，c ∈R ，则下列命题为真命题的是( ) (A) a ＞b ⇒ a －c ＞b －c (B)a ＞b ⇒ ac ＞bc (C)a ＞b ⇒ a 2＞b 2 (D)a ＞b ⇒ ac 2＞bc 2 2．若－1＜＜＜1，则－的取值范围是( ) (A)(－2，2) (B)(－2，－1) (C)(－1，0) (D)(－2，0) 3. 设 a ＞2，b ＞2，则 ab 与 a ＋b 的大小关系是( ) (A) ab ＞a ＋b (B)ab ＜a ＋b (C)ab ＝a ＋b (D)不能确定4. 使不等式 a ＞b 和 1 > 1同时成立的条件是( )a b (A)a ＞b ＞0 (B)a ＞0＞b (C)b ＞a ＞0(D)b ＞0＞a5．设 1＜x ＜10，则下列不等关系正确的是()(A) lg 2x ＞lg x 2＞lg(lg x )(B)lg 2x ＞lg(lg x )＞lg x 2 (C)lg x 2＞lg 2x ＞1g (lg x )(D)lg x 2＞lg(lg x )＞lg 2x二、填空题6. 已知 a ＜b ＜0，c ＜0，在下列空白处填上适当不等号或等号： (1)(a －2)c(b －2)c ； (2) cac ； (3)b －ab|a |－|b |. 7. 已知 a ＜0，－1＜b ＜0，那么 a 、ab 、ab 2 按从小到大排列为 .a8. 已知 60＜a ＜84，28＜b ＜33，则 a －b 的取值范围是；的取值范围是.b9. 已知 a ，b ，c ∈R ，给出四个论断：①a ＞b ；②ac 2＞bc 2；③ a > b；④a －c ＞b －c .以其中一个论断作条件，另c c 一个论断作结论，写出你认为正确的两个命题是 ⇒ ；⇒ .(在“ ⇒ ”的两侧填上论断序号).10．设 a ＞0，0＜b ＜1，则 P ＝ b 三、解答题a + 32 与Q = b 的大小关系是 .b b + m11．若 a ＞b ＞0，m ＞0，判断与的大小关系并加以证明.aa + m12．设 a ＞0，b ＞0，且 a ≠b ， p = a 2+ a , q = a + b .证明：p ＞q .注：解题时可参考公式 x 3＋y 3＝(x ＋y )(x 2－xy ＋y 2).Ⅲ 拓展训练题13．已知 a ＞0，且 a ≠1，设 M ＝log a (a 3－a ＋1)，N ＝log a (a 2－a ＋1).求证：M ＞N .14．在等比数列{a n }和等差数列{b n }中,a 1＝b 1＞0，a 3＝b 3＞0，a 1≠a 3，试比较 a 5 和 b 5 的大小.(a +1)(a +2)2ab ab ab bc y1. 了解基本不等式的证明过程.测试十均值不等式Ⅰ 学习目标2. 会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.一、选择题1. 已知正数 a ，b 满足 a ＋b ＝1，则 ab ( )Ⅱ 基础训练题(A) 有最小值 1 4 (B) 有最小值 12 (C) 有最大值 14(D) 有最大值 122．若 a ＞0，b ＞0，且 a ≠b ，则()a + ba +b (A) <<2(B) <<2(C) << a + b 2(D) (D )< a + b2 3. 若矩形的面积为 a 2(a ＞0)，则其周长的最小值为( )(A) a(B)2a (C)3a (D)4a4. 设 a ，b ∈R ，且 2a ＋b －2＝0，则 4a ＋2b 的最小值是()(A) 2 (B)4 (C) 4 (D)85. 如果正数 a ，b ，c ，d 满足 a ＋b ＝cd ＝4，那么() (A)ab ≤c ＋d ，且等号成立时 a ，b ，c ，d 的取值唯一(B)ab ≥c ＋d ，且等号成立时 a ，b ，c ，d 的取值唯一(C)ab ≤c ＋d ，且等号成立时 a ，b ，c ，d 的取值不唯一(D)ab ≥c ＋d ，且等号成立时 a ，b ，c ，d 的取值不唯一二、填空题6. 若 x ＞0，则变量 x + 9的最小值是x；取到最小值时，x ＝ . 4x7. 函数 y ＝x 2+1(x ＞0)的最大值是；取到最大值时，x ＝.8. 已知 a ＜0，则 a + 16 a - 3的最大值是 .9. 函数 f (x )＝2log 2(x ＋2)－log 2x 的最小值是 . 10. 已知 a ，b ，c ∈R ，a ＋b ＋c ＝3，且 a ，b ，c 成等比数列，则 b 的取值范围是 .三、解答题11. 四个互不相等的正数 a ，b ，c ，d 成等比数列，判断 a + d 和的大小关系并加以证明.212. 已知 a ＞0，a ≠1，t ＞0，试比较 1log t 与log2aat +1 2的大小.13. 若正数 x ，y 满足 x ＋y ＝1，且不等式Ⅲ 拓展训练题+ ≤ a 恒成立，求 a 的取值范围. a 14．(1)用函数单调性的定义讨论函数 f (x )＝x ＋ (a ＞0)在(0，＋∞)上的单调性；xaa 2 +b 22 a 2 + b 22a 2 +b 2 2 a 2 + b 2 2 22x(2)设函数f(x)＝x＋(a＞0)在(0，2]上的最小值为g(a)，求g(a)的解析式.x测试十一一元二次不等式及其解法Ⅰ 学习目标1. 通过函数图象理解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系.2. 会解简单的一元二次不等式.一、选择题 1. 不等式 5x ＋4＞－x 2 的解集是( )(A){x |x ＞－1，或 x ＜－4} Ⅱ 基础训练题(B){x |－4＜x ＜－1} (C){x |x ＞4，或 x ＜1}(D){x |1＜x ＜4}2. 不等式－x 2＋x －2＞0 的解集是()(A){x |x ＞1，或 x ＜－2}(B){x |－2＜x ＜1} (C)R (D) ∅3. 不等式 x 2＞a 2(a ＜0)的解集为( )(A){x |x ＞±a } (B){x |－a ＜x ＜a }(C) {x |x ＞－a ，或 x ＜a }(D) {x |x ＞a ，或 x ＜－a }4. 已知不等式 ax 2＋bx ＋c ＞0 的解集为{x | - 1< x < 2}，则不等式 cx 2＋bx ＋a ＜0 的解集是()31(A){x |－3＜x ＜ }21(B){x |x ＜－3，或 x ＞ } 2 1(C){x －2＜x ＜ }31(D){x |x ＜－2，或 x ＞ }35. 若函数 y ＝px 2－px －1(p ∈R )的图象永远在 x 轴的下方，则 p 的取值范围是( )(A)(－∞，0)(B)(－4，0](C)(－∞，－4) (D)[－4，0)二、填空题 6. 不等式 x 2＋x －12＜0 的解集是. 7. 不等式 3x -1≤ 0 的解集是. 2x + 58．不等式|x 2－1|＜1 的解集是 .9. 不等式 0＜x 2－3x ＜4 的解集是.10. 已知关于 x 的不等式 x 2－(a ＋ 1 )x ＋1＜0 的解集为非空集合｛x |a ＜x ＜ 1}，则实数 a 的取值范围是.a a三、解答题11. 求不等式 x 2－2ax －3a 2＜0(a ∈R )的解集.⎧x 2 + y 2 - 2x = 012．k 在什么范围内取值时，方程组⎨ ⎩3x - 4 y + k = 0有两组不同的实数解？Ⅲ 拓展训练题13．已知全集 U ＝R ，集合 A ＝{x |x 2－x －6＜0}，B ＝{x |x 2＋2x －8＞0}，C ＝{x |x 2－4ax ＋3a 2＜0}.(1) 求实数 a 的取值范围，使 C (2) 求实数 a 的取值范围，使 C ⊇ (A ∩B )； ⊇ ( U A )∩( U B ).14．设 a ∈R ，解关于 x 的不等式 ax 2－2x ＋1＜0.测试十二不等式的实际应用Ⅰ学习目标会使用不等式的相关知识解决简单的实际应用问题.Ⅱ基础训练题一、选择题11.函数y =( )(A){x|－2＜x＜2} (B){x|－2≤x≤2}(C){x|x＞2，或x＜－2} (D){x|x≥2，或x≤－2}2.某村办服装厂生产某种风衣，月销售量x(件)与售价p(元/件)的关系为p＝300－2x，生产x 件的成本r＝500＋30x(元)，为使月获利不少于8600 元，则月产量x 满足( )(A)55≤x≤60 (B)60≤x≤65(C)65≤x≤70 (D)70≤x≤753.国家为了加强对烟酒生产管理，实行征收附加税政策.现知某种酒每瓶70 元，不征收附加税时，每年大约产销100万瓶；若政府征收附加税，每销售100 元征税r 元，则每年产销量减少10r 万瓶，要使每年在此项经营中所收附加税不少于112 万元，那么r 的取值范围为( )(A)2≤r≤10 (B)8≤r≤10(C)2≤r≤8 (D)0≤r≤84.若关于x 的不等式(1＋k2)x≤k4＋4 的解集是M，则对任意实常数k，总有( )(A)2∈M，0∈M (B)2∉M，0∉M(C)2∈M，0∉M (D)2∉M，0∈M二、填空题5.已知矩形的周长为36cm，则其面积的最大值为.6.不等式2x2＋ax＋2＞0 的解集是R，则实数a 的取值范围是.7.已知函数f(x)＝x|x－2|，则不等式f(x)＜3 的解集为.8.若不等式|x＋1|≥kx 对任意x∈R 均成立，则k 的取值范围是.三、解答题9.若直角三角形的周长为2，求它的面积的最大值，并判断此时三角形形状.10.汽车在行驶过程中，由于惯性作用，刹车后还要继续滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”.刹车距离是分析事故的一个主要因素，在一个限速为40km/h 的弯道上，甲乙两车相向而行，发现情况不对同时刹车，但还是相撞了，事后现场测得甲车刹车的距离略超过12m，乙车的刹车距离略超过10m.已知甲乙两种车型的刹车距离s(km)与车速x(km/h)之间分别有如下关系：s 甲＝0.1x＋0.01x2，s 乙＝0.05x＋0.005x2．问交通事故的主要责任方是谁？Ⅲ拓展训练题11.当x∈[－1，3]时，不等式－x2＋2x＋a＞0 恒成立，求实数a 的取值范围.12.某大学印一份招生广告，所用纸张(矩形)的左右两边留有宽为4cm 的空白，上下留有都为6cm 的空白，中间排版面积为2400cm2.如何选择纸张的尺寸，才能使纸的用量最小？⎨ ⎩ ⎨ ⎨ ⎩⎩⎩⎩⎨ ⎩ ⎨y < 0⎨ ⎩ ⎨ ⎩⎨ ⎩测试十三二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题Ⅰ 学习目标1. 了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组.2. 会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决.Ⅱ 基础训练题一、选择题 1．已知点 A (2，0)，B (－1，3)及直线 l ：x －2y ＝0，那么( ) (A)A ，B 都在 l 上方 (B)A ，B 都在 l 下方 (C)A 在 l 上方，B 在 l 下方(D)A 在 l 下方，B 在 l 上方⎧x ≥ 0,2. 在平面直角坐标系中，不等式组⎪y ≥ 0, 所表示的平面区域的面积为()⎪x + y ≤ 2(A)1(B)2 (C)3(D)43. 三条直线 y ＝x ，y ＝－x ，y ＝2 围成一个三角形区域，表示该区域的不等式组是()⎧ y ≥ x ,⎧ y ≤ x , ⎧ y ≤ x , ⎧ y ≥ x , (A) ⎪ y ≥ -x , ⎪(B) ⎨ y ≤ -x ,(C) ⎪ y ≥ -x , ⎪(D) ⎨ y ≤ -x ,⎪ y ≤ 2. ⎪ y ≤ 2.⎧x - y + 5 ≥ 0, ⎪ y ≤ 2. ⎪ y ≤ 2. 4. 若 x ，y 满足约束条件⎪x + y ≥ 0, ⎪x ≤ 3,则 z ＝2x ＋4y 的最小值是()(A)－6 (B)－10 (C)5 (D)10 5. 某电脑用户计划使用不超过 500 元的资金购买单价分别为 60 元，70 元的单片软件和盒装磁盘.根据需要，软件至少买 3 片，磁盘至少买 2 盒，则不同的选购方式共有( ) (A)5 种 (B)6 种 (C)7 种 (D)8 种二、填空题6. 在平面直角坐标系中，不等式组⎧x > 0所表示的平面区域内的点位于第象限.⎩ 7. 若不等式|2x ＋y ＋m |＜3 表示的平面区域包含原点和点(－1，1)，则 m 的取值范围是.⎧x ≤ 1,8. 已知点 P (x ，y )的坐标满足条件⎪y ≤ 3, 那么 z ＝x －y 的取值范围是.⎪3x + y - 3 ≥ 0,⎧x ≤ 1,9．已知点 P (x ，y )的坐标满足条件⎪ y ≤ 2,⎪2x + y - 2 ≥ 0,那么 y 的取值范围是 .x10. 方程|x |＋|y |≤1 所确定的曲线围成封闭图形的面积是.三、解答题11. 画出下列不等式(组)表示的平面区域：⎧x ≤ 1, (1)3x ＋2y ＋6＞0(2) ⎪y ≥ -2,⎪x - y + 1 ≥ 0.2 2 2 ⎨ ⎩12. 某实验室需购某种化工原料 106kg ，现在市场上该原料有两种包装，一种是每袋 35kg ，价格为 140 元；另一种是每袋 24kg ，价格为 120 元.在满足需要的前提下，最少需要花费多少元？Ⅲ 拓展训练题13. 商店现有 75 公斤奶糖和 120 公斤硬糖，准备混合在一起装成每袋 1 公斤出售，有两种混合办法：第一种每袋装 250 克奶糖和 750 克硬糖，每袋可盈利 0.5 元；第二种每袋装 500 克奶糖和 500 克硬糖，每袋可盈利 0.9 元.问每一种应装多少袋，使所获利润最大？最大利润是多少？14.甲、乙两个粮库要向 A ，B 两镇运送大米，已知甲库可调出 100 吨，乙库可调出 80 吨，而 A 镇需大米 70 吨，B 镇需大米 110 吨，两个粮库到两镇的路程和运费如下表：问：(1)这两个粮库各运往 A 、B 两镇多少吨大米，才能使总运费最省？此时总运费是多少？(2)最不合理的调运方案是什么？它给国家造成不该有的损失是多少？测试十四不等式全章综合练习Ⅰ基础训练题一、选择题 1. 设 a ，b ，c ∈R ，a ＞b ，则下列不等式中一定正确的是( )(A)ac 2＞bc 2 (B) 1 < 1(C)a －c ＞b －c(D)|a |＞|b |a b⎧x + y - 4 ≤ 0, 2.在平面直角坐标系中，不等式组⎪2x - y + 4 ≥ 0, 表示的平面区域的面积是()⎪ y ≥ 2(A) 32(B)3 (C)4 (D)63. 某房地产公司要在一块圆形的土地上，设计一个矩形的停车场.若圆的半径为 10m ，则这个矩形的面积最大值是( ) (A)50m 2(B)100m 2 (C)200m 2 (D)250m 2x 2 - x + 2 4. 设函数 f (x )＝x 2，若对 x ＞0 恒有 xf (x )＋a ＞0 成立，则实数 a 的取值范围是()(A)a ＜1－2 (B)a ＜2 －1 (C)a ＞2 －1 (D)a ＞1－2 5．设 a ，b ∈R ，且 b (a ＋b ＋1)＜0，b (a ＋b －1)＜0，则( ) (A)a ＞1 (B)a ＜－1 (C)－1＜a ＜1 (D)|a |＞1二、填空题222x +2ax -⋅a-1 12 n6. 已知 1＜a ＜3，2＜b ＜4，那么 2a －b 的取值范围是 a，的取值范围是.b7. 若不等式 x 2－ax －b ＜0 的解集为{x |2＜x ＜3}，则 a ＋b ＝ .8. 已知 x ，y ∈R ＋，且 x ＋4y ＝1，则 xy 的最大值为.9. 若函数 f (x )＝的定义域为 R ，则 a 的取值范围为.10. 三个同学对问题“关于 x 的不等式 x 2＋25＋|x 3－5x 2|≥ax 在[1，12]上恒成立，求实数 a 的取值范围”提出各自的解题思路.甲说：“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值.”乙说：“把不等式变形为左边含变量 x 的函数，右边仅含常数，求函数的最值.” 丙说：“把不等式两边看成关于 x 的函数，作出函数图象.” 参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，即 a 的取值范围是 .三、解答题11．已知全集 U ＝R ，集合 A ＝{x | |x －1|＜6} ，B ＝{x |(1) 求 A ∩B ； (2) 求(U A )∪B .x - 8＞0}.2x - 112. 某工厂用两种不同原料生产同一产品，若采用甲种原料，每吨成本 1000 元，运费 500 元，可得产品 90 千克；若采用乙种原料，每吨成本 1500 元，运费 400 元，可得产品 100 千克.今预算每日原料总成本不得超过 6000 元，运费不得超过 2000 元，问此工厂每日采用甲、乙两种原料各多少千克，才能使产品的日产量最大？Ⅱ 拓展训练题a j 13. 已知数集 A ＝{a 1，a 2，…，a n }(1≤a 1＜a 2＜…＜a n ，n ≥2)具有性质 P ：对任意的 i ，j (1≤i ≤j ≤n )，a i a j 与两a i数中至少有一个属于 A .(1) 分别判断数集{1，3，4}与{1，2，3，6}是否具有性质 P ，并说明理由；(2)证明：a ＝1，且a 1 + a 2 + + a n= a .1a -1+a -1+ +a -1 nab 3 3 ⎨ ⎩一、选择题1．函数 y = 测试十五必修 5 模块自我检测题的定义域是()(A)(－2，2) (B)(－∞，－2)∪(2，＋∞) (C)[－2，2] (D)(－∞，－2]∪[2，＋∞) 2．设 a ＞b ＞0，则下列不等式中一定成立的是( )(A)a －b ＜0 (B)0＜ a＜1b a + b(C) ＜(D)ab ＞a ＋b2 ⎧x ≤ 1, 3.设不等式组⎪y ≥ 0, 所表示的平面区域是 W ，则下列各点中，在区域 W 内的点是()⎪x - y ≥0(A) ( 1 2 , 1)3 (B) (- 1 , 1)2 3 (C) (- 1 ,- 1)(D) ( 1 ,- 1)2 32 34. 设等比数列{a n }的前 n 项和为 S n ，则下列不等式中一定成立的是() (A)a 1＋a 3＞0 (B)a 1a 3＞0 (C)S 1＋S 3＜0 (D)S 1S 3＜0 5. 在△ABC 中，三个内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，若 A ∶B ∶C ＝1∶2∶3，则 a ∶b ∶c 等于( )(A)1∶ ∶2(B)1∶2∶3(C)2∶ ∶1(D)3∶2∶16．已知等差数列{a n }的前 20 项和 S 20＝340，则 a 6＋a 9＋a 11＋a 16 等于( )(A)31 (B)34 (C)68 (D)707. 已知正数 x 、y 满足 x ＋y ＝4，则 log 2x ＋log 2y 的最大值是() (A)－4 (B)4 (C)－2 (D)28. 如图，在限速为 90km/h 的公路 AB 旁有一测速站 P ，已知点 P 距测速区起点 A 的距离为 0.08 km ，距测速区终点 B 的距离为 0.05 km ，且∠APB ＝60°.现测得某辆汽车从 A 点行驶到 B 点所用的时间为 3s ，则此车的速度介于 ( )(A)60～70km/h (B)70～80km/h (C)80～90km/h (D)90～100km/h二、填空题 9. 不等式 x (x －1)＜2 的解集为 . 10. 在△ABC 中，三个内角 A ，B ，C 成等差数列，则 cos(A ＋C )的值为 . 11. 已知{a n }是公差为－2 的等差数列，其前 5 项的和 S 5＝0，那么 a 1 等于.12. 在△ABC 中，BC ＝1，角 C ＝120°，cos A ＝ 2 ，则 AB ＝.3x 2 - 43 ⎨⎩⎧x ≥ 0, y ≥ 013.在平面直角坐标系中，不等式组⎪2x +y - 4 ≤ 0 ，所表示的平面区域的面积是；变量z＝x＋3y 的最大⎪x +y - 3 ≤ 0值是.14.如图，n2(n≥4)个正数排成n 行n 列方阵，符号a ij(1≤i≤n，1≤j≤n，i，j∈N)表示位于第i 行第j 列的正数.已1 1知每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，且各列数的公比都等于q.若a11＝2，a24＝1，a32＝4，则q＝；a ij＝.三、解答题15.已知函数f(x)＝x2＋ax＋6.(1)当a＝5 时，解不等式f(x)＜0；(2)若不等式f(x)＞0 的解集为R，求实数a 的取值范围.16．已知{a n}是等差数列，a2＝5，a5＝14.(1)求{a n}的通项公式；(2)设{a n}的前n 项和S n＝155，求n 的值.17.在△ABC 中，a，b，c 分别是角A，B，C 的对边，A，B 是锐角，c＝10，且cos A=b=4.cos B a 3(1)证明角C＝90°；(2)求△ABC 的面积.18.某厂生产甲、乙两种产品，生产这两种产品每吨所需要的煤、电以及每吨产品的产值如下表所示.若每天配给该厂的煤至多56 吨，供电至多45 千瓦，问该厂如何安排生产，使得该厂日产值最大？用煤(吨) 用电(千瓦) 产值(万元) 甲种产品7 2 8乙种产品 3 5 1119.在△ABC 中，a，b，c 分别是角A，B，C 的对边，且cos A＝1.3(1)求sin 2B +C+ cos 2 A的值；2(2)若a＝，求bc 的最大值.20．数列{a n}的前n 项和是S n，a1＝5，且a n＝S n－1(n＝2，3，4，…).(1)求数列{a n}的通项公式；(2)求证：1+1a1 a2+1+ +1a3 a n<3⋅53 3 7 (5 - 0)2+ (2 - 0)2 29 3 2 44 参考答案一、选择题第一章解三角形测试一正弦定理和余弦定理1．B 2．C 3．B4．D 5．B提示：4．由正弦定理，得 sin C ＝3，所以 C ＝60°或 C ＝120°，2当 C ＝60°时，∵B ＝30°，∴A ＝90°，△ABC 是直角三角形；当 C ＝120°时，∵B ＝30°，∴A ＝30°，△ABC 是等腰三角形.5．因为 A ∶B ∶C ＝1∶2∶3，所以 A ＝30°，B ＝60°，C ＝90°，由正弦定理a = sin Ab sin B = csin C＝k ，得 a ＝k ·sin30°＝ 1 k ，b ＝k ·sin60°＝ 2所以 a ∶b ∶c ＝1∶ ∶2.3k ，c ＝k ·sin90°＝k ，2二、填空题 6．2 6 提示：7．30° 8．等腰三角形 9． 3 + 3710． 5 2 8. ∵A ＋B ＋C ＝π，∴－cos A ＝cos(B ＋C ).∴2cos B cos C ＝1－cos A ＝cos(B ＋C )＋1，∴2cos B cos C ＝cos B cos C －sin B sin C ＋1，∴cos(B －C )＝1，∴B －C ＝0，即 B ＝C .9. 利用余弦定理 b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B .10. 由 tan A ＝2，得sin A =，根据正弦定理，得AC sin B = BC sin A ，得 AC ＝ 5 2.三、解答题11．c ＝2 ，A ＝30°，B ＝90°.12．(1)60°；(2)AD ＝ .13. 如右图，由两点间距离公式，得 OA ＝ = ，同理得OB = 145, AB = .由余弦定理，得cos A ＝ OA 2 + AB 2 - OB 2 22⨯OA ⨯AB = 2 ， ∴A ＝45°.25232310137(5 - 0)2+ (2 - 0)22923214．(1)因为2cos(A＋B)＝1，所以A＋B＝60°，故C＝120°.(2)由题意，得a＋b＝2 ，ab＝2，又AB2＝c2＝a2＋b2－2ab cos C＝(a＋b)2－2ab－2ab cos C＝12－4－4×( -1)＝10.2所以AB＝.(3)S△ABC＝1ab sin C＝1·2· 3 ＝3 .2 2 2 2测试二解三角形全章综合练习1．B 2．C 3．D 4．C 5．B提示：5．化简(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，得b2＋c2－a2＝bc，由余弦定理，得cos A＝b2+c2-a22bc=1，所以∠A＝60°.2因为sin A＝2sin B cos C，A＋B＋C＝180°，所以sin(B＋C)＝2sin B cos C，即sin B cos C＋cos B sin C＝2sin B cos C.所以sin(B－C)＝0，故B＝C.故△ABC 是正三角形.二、填空题6．30°7．120°8．24559．510．三、解答题11．(1)由余弦定理，得c＝；(2)由正弦定理，得sin B＝239 .1312．(1)由a·b＝|a|·|b|·cos〈a，b〉，得〈a，b〉＝60°；(2)由向量减法几何意义，知|a|，|b|，|a－b|可以组成三角形，所以|a－b|2＝|a|2＋|b|2－2|a|·|b|·cos〈a，b〉＝7，故|a－b|＝.13．(1)如右图，由两点间距离公式，得OA ==，同理得OB = 145, AB =.由余弦定理，得329 29 29 48t 2 - 24t +7 cos A = OA 2 + AB 2 - OB 2 2⨯OA ⨯AB = 2 ,2 所以 A ＝45°.故 BD ＝AB ×sin A ＝2 .(2)S1 1 ＝ ·OA ·BD ＝ · ·2 ＝29. △OAB 2 214.由正弦定理aa = sin Ab b sin B = csin Cc= 2R ，得 = sin A , 2R 2R = sin B , 2R= sin C . 因为 sin 2A ＋sin 2B ＞sin 2C ，所以 ( a )2 + ( b )2 > ( c)2 ，2R 2R 2R 即 a 2＋b 2＞c 2.a 2 +b 2 -c 2所以 cos C ＝ 2ab＞0，由 C ∈(0，π)，得角 C 为锐角.15．(1)设 t 小时后甲、乙分别到达 P 、Q 点，如图，3则|AP |＝4t ，|BQ |＝4t ，因为|OA |＝3，所以 t ＝ h 时，P 与 O 重合. 43故当 t ∈[0， ]时，4|PQ |2＝(3－4t )2＋(1＋4t )2－2×(3－4t )×(1＋4t )×cos60°；3当 t ＞ h 时，|PQ |2＝(4t －3)2＋(1＋4t )2－2×(4t －3)×(1＋4t )×cos120°.4故得|PQ |＝ (t ≥0).(2)当 t ＝ -- 24 = 2 ⨯ 48 1 h 时，两人距离最近，最近距离为 2km .416．(1)由正弦定理a = sin Ab sin B = csin C= 2R ，得 a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C .所以等式 cos B = - cos C b 2a + c可化为 cos B = - cos C 2R sin B ，2 ⋅ 2R sin A + 2R sin C 即 cos B = - cos Csin B ，2 sin A + sin C 2sin A cos B ＋sin C cos B ＝－cos C ·sin B ，故 2sin A cos B ＝－cos C sin B －sin C cos B ＝－sin(B ＋C )，因为 A ＋B ＋C ＝π，所以 sin A ＝sin(B ＋C )， 1故 cos B ＝－，2所以 B ＝120°.⎨ ⎨n1 23(2)由余弦定理，得 b 2＝13＝a 2＋c 2－2ac ×cos120°，即 a 2＋c 2＋ac ＝13 又 a ＋c ＝4，⎧a = 1 解得 ⎩c = 3 ⎧a = 3 ，或 . ⎩c = 1所以 S1 1 ＝ ac sin B ＝ ×1×3× 3 ＝ 3 3 .△ABC2 22 4一、选择题1．C 2．B 3．C4．C5．B二、填空题第二章数列测试三数列6．(1) a = 2 (或其他符合要求的答案)(2) a = nn + 1n 1 + (-1)n2 (或其他符合要求的答案)7．(1) 1 , 4 , 9 , 16 , 25 (2)7 8．679． 1 10．42 5 10 17 26 15提示：9．注意 a n 的分母是 1＋2＋3＋4＋5＝15.10．将数列{a n }的通项 a n 看成函数 f (n )＝2n 2－15n ＋3，利用二次函数图象可得答案. 三、解答题11．(1)数列{a n }的前 6 项依次是 11，8，5，2，－1，－4；(2)证明：∵n ≥5，∴－3n ＜－15，∴14－3n ＜－1，故当 n ≥5 时，a n ＝14－3n ＜0.12．(1) a 10 = 109 3 , a n +1 = n 2 + 3n +13 , a 2 = n4 + n 2 -1 ； 3 (2)79 2是该数列的第 15 项.313．(1)因为 a ＝n － 1 ，所以 a ＝0，a ＝ 3 ，a ＝ 8 ，a ＝15 ；n2 344(2)因为 a－a ＝[(n ＋1) -1]－(n － 1)＝1＋1n ＋1nn + 1 nn (n + 1)又因为 n ∈N ＋，所以 an ＋1－a n ＞0，即 a n ＋1＞a n . 所以数列{a n }是递增数列.测试四等差数列一、选择题 1．B 2．D3．A4．B5．B二、填空题 6．a 4 7．13 8．6 9．6n －1 10．35 提示：10. 方法一：求出前 10 项，再求和即可；方法二：当 n 为奇数时，由题意，得 a n ＋2－a n ＝0，所以 a 1＝a 3＝a 5＝…＝a 2m －1＝1(m ∈N *).当 n 为偶数时，由题意，得 a n ＋2－a n ＝2，即 a 4－a 2＝a 6－a 4＝…＝a 2m ＋2－a 2m ＝2(m ∈N *).n。

【人教版】高中数学必修五期末试题(带答案)

一、选择题1．已知0,0a b >>,,a b 的等比中项是1，且1m b a =+，1n a b=+，则m n +的最小值是（） A ．3B ．4C ．5D ．62．已知实数x ,y 满足210210x y x x y -+≥⎧⎪<⎨⎪+-≥⎩,则221z x y =--的取值范围是( )A ．5,53⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．5,53⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．5,53⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．5,53⎡⎫-⎪⎢⎣⎭3．若a ，b ，c ∈R ，a >b ，则下列不等式恒成立的是（） A ．1a <1bB ．a 2>b 2C ．21a c +>21b c + D ．a |c |>b |c |4．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，ABC 的面积为S ，且24cos cos tan Sb C bc B C=+，2a b +=，c =S =（） AB．6C ．16D．125．在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若角A 、B 、C 成等差数列，且2sin 2csin csin 2sin a A C a B b B +=+，则ABC 的面积的最大值为（） A．BC．D．6．在ABC 中，若2a =，b =30A =︒，则B 等于（） A ．30B ．30或150︒C ．60︒D ．60︒或120︒7．从某电视塔的正东方向的A 处，测得塔顶仰角是60°；从电视塔的西偏南30°的B 处，测得塔顶仰角为45°，A 、B 间距离是35m ，则此电视塔的高度是（） A ．35mB ．10mC ．490013m D．8．已知不等式230ax bx a --≥的解集是[]4,1-，则b a 的值为（） A ．-64B ．-36C ．36D ．649．对于数列{}n a ，定义11222n nn a a a Y n-++⋅⋅⋅+=为数列{}n a 的“美值”，现在已知某数列{}n a 的“美值”12n n Y +=，记数列{}n a tn -的前n 项和为n S ，若6n S S ≤对任意的*n N ∈恒成立，则实数t 的取值范围是（）A ．712,35⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．712,35⎛⎫⎪⎝⎭ C ．167,73⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．167,73⎛⎫⎪⎝⎭ 10．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，对任意的*n N ∈有2233n n S a =-，且112k S <<，则k 的值为（） A ．2或4B ．2C ．3或4D ．611．已知数列{}n a 满足123n n a a +-=，11a =，3n n b a =+，则10b =（） A ．92B ．103C ．2048D ．102412．记等差数列{}n a 的前n 项和为n S .若64a =，19114S =，则15S =（） A ．45B ．75C ．90D ．95二、填空题13．满足关于x 的不等式()()20ax b x -->的解集为1{|2}2x x <<，则满足条件的一组有序实数对(),a b 的值可以是______．14．若A ，B ，C 为ABC 的内角，满足sin A ，sin C ，sin B 成等差数列，则cos C 的最小值是________.15．如图，一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P 的南偏西75︒，距灯塔68海里的M 处，下午2时到达这座灯塔的东南方向N 处，则该船航行的速度为__________海里/小时.16．给出以下四个结论：①函数()211x f x x -=+的对称中心是()1,2-；②若关于x 的方程10x k x-+=在()0,1x ∈没有实数根，则k 的取值范围是2k ≥；③在ABC 中，若cos cos b A a B =则ABC 为等腰三角形；④若将函数()sin 23πf x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象向右平移()0ϕϕ>个单位后变为偶函数，则ϕ的最小值是12π.其中正确的结论是________.17．已知0m >，0n >，且111223m n +=++，则2m n +的最小值为________. 18．已知a ＞0，b ＞0，则p ＝2b a﹣a 与q ＝b ﹣2a b 的大小关系是_____．19．给定*1log (2)()n n a n n N +=+∈，则使乘积12k a a a 为整数的()*k k ∈N 称为“和谐数”，则在区间内[1,2020]的所有“和谐数”的和为_______.20．定义：如果一个数列从第二项起，后一项与前一项的和相等且为同一常数，这样的数列叫“等和数列”，这个常数叫公和．给出下列命题： ①“等和数列”一定是常数数列；②如果一个数列既是等差数列又是“等和数列”，则这个数列一定是常数列； ③如果一个数列既是等比数列又是“等和数列”，则这个数列一定是常数列； ④数列{}n a 是“等和数列”且公和100h =，则其前n 项之和50n S n =；其中，正确的命题为__________．（请填出所有正确命题的序号）三、解答题21．小王于年初用50万元购买一辆大货车，第一年因缴纳各种费用需支出6万元，从第二年起，每年都比上一年增加支出2万元，假定该车每年的运输收入均为25万元．小王在该车运输累计收入超过总支出后，考虑将大货车作为二手车出售，若该车在第x 年年底出售，其销售价格为(25－x )万元(国家规定大货车的报废年限为10年)． (1)大货车运输到第几年年底，该车运输累计收入超过总支出？(2)在第几年年底将大货车出售，能使小王获得的年平均利润最大？(利润＝累计收入＋销售收入－总支出)22．已知函数()0f x m =≥恒成立．（1）求m 的取值范围；（2）若m 的最大值为n ，当正数a 、b 满足2132n a b a b+=++时，求74a b +的最小值．23．已知,,a b c 是ABC 的内角,,A B C 的对边，且5cos cos 25sin sin cos2B C B C A +=+. （1）求角A 的大小；（2）若ABC 的面积S c ==sin sin B C 的值24．ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知)cos cos A c a C =.（1）求c b；（2）若cos 2c A b =，且ABC 的面积为4，求a . 25．已知公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，525S =，1a ，2a ，5a 成等比数列.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若等差数列{}2log n b 的首项为1，公差为1，求数列{}n n a b 的前n 项和n T . 26．在①121n n S S +=+，②214a =，③112n n S a +=-这三个条件中选择两个，补充在下面问题中，给出解答．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足____，____；又知正项等差数列{}n b 满足13b =，且1b ，32b -，7b 成等比数列．（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）设nn nbc a =，求数列{}n c 的前项和n T ．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】由等比中项定义得1ab = ，再由基本不等式求最值．【详解】,a b 的等比中项是1，∴1ab =，∴m ＋n=1b a++1a b +=a b a b ab +++ =2()a b + ≥ 44ab = .当且仅当1a b == 时，等号成立．故选B ．【点睛】利用基本不等式求最值问题，要看是否满足一正、二定、三相等．2．D解析：D 【分析】画出可行域，根据目标函数的截距，利用数形结合，即可求出z 的取值范围. 【详解】作出可行域如下：由221z x y =--得12zy x +=-，平移直线12zy x +=-，由平移可知当直线12zy x +=-，经过点C 时，直线12zy x +=-的截距最小，此时z 取得最大值，由210x x y =⎧⎨+-=⎩，解得21x y =⎧⎨=-⎩，即(2,1)C -，此时2214215z x y =--=+-=，可知当直线12zy x +=-，经过点A 时，直线12zy y x +==-的截距最大，此时z 取得最小值，由21010x y x y -+=⎧⎨+-=⎩，得1323x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即1(3A ，2)3代入221z x y =--得125221333z =⨯-⨯-=-，故5[3z ∈-，5)故选：D ．【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法，属于中档题．3．C解析：C 【分析】首先利用特值法排除A 、B 两项，利用不等式的性质可确定C 项是正确的，再举出反例判断D 项是错误的，从而得到答案. 【详解】当a ＝1，b ＝－2时，满足a >b ，但11a b>，a 2<b 2，排除A 、B ；因为211c +>0，a >b ⇒2211a b c c >++，故C 是正确的；当c ＝0时，a |c |>b |c |不成立，排除D ，故选：C. 【点睛】该题考查的是有关不等式的问题，涉及到的知识点有利用不等式的性质比较式子的大小，利用特值法排除不正确的选项，坚持做到小题小做的思想，属于简单题目.4．D解析：D 【分析】由24cos cos tan Sb C bc B C=+，利用面积公式和和差角公式求出角C ，用余弦定理求出ab ，求出面积. 【详解】因为24cos cos cos sin S Cb C bc B C⋅=+，所以22cos cos cos ab C b C bc B =+，所以2sin cos sin cos sin cos A C B C C B =+，所以1cos ,sin 2C C ==. 由22221()32cos 222a b c a b abC ab ab+-+--===，得13ab =，所以1sin 2S ab C ==故选：D 【点睛】在解三角形中，选择用正弦定理或余弦定理，可以从两方面思考： (1)从题目给出的条件，边角关系来选择； (2)从式子结构来选择．5．B解析：B 【分析】由等差数列性质得3B π=，应用正弦定理边角转换、余弦定理由已知可求得三角形外接圆半径R ，从而边,a c 可用角表示，最后用角表示出三角形面积，结合三角函数恒等变换、正弦函数性质得出最大值．【详解】∵角A 、B 、C 成等差数列，∴2B A C =+，又A B C π++=，∴3B π=，23C A π=-，2(0,)3A π∈，由正弦定理2sin sin sin a b c R A B C===得sin ,sin ,sin 222a b c A B C R R R ===， ∵2sin 2csin csin 2sin a A C a B b B +=+，∴2sin 2sin 2sin a A c C b B +-=，即2222a b c ac R R R +-=，2222cos 2a c b ac Bac R R+-==，∴3R =，又由正弦定理得2sin ,a R A A c C ===，∴112sin sin sin sin()2233333ABC S ac B A C A A △ππ==⨯⨯⨯=-21sin (sin )cos 2sin )3223A A A A A A =+=+21cos 2)A A =+-)6A π=-，∵2(0,)3A π∈，∴3A π=时，sin(2)16A π-=，即ABCS += 故选：B ．【点睛】本题以我们熟知的三角形为背景，探究的是三角形面积的最大值，结合等差数列的性质，利用正弦定理进行边角转换，考查目的是让考生发现、揭示问题本质的关联点，从而有效的激发考生学习兴趣，本题同时考查了考生的逻辑推理能力、直观想象能力，本题属于中档题．6．D解析：D 【分析】由正弦定理，求得sin sin bB A a=，再由a b <，且0180B ︒<<︒，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，在ABC 中，由正弦定理可得sin sin a bA B=，即sin sin sin 3022b B A a ==︒=，又由a b <，且0180B ︒<<︒，所以60B =︒或120B =︒，故选：D. 【点睛】本题主要考查了正弦定理的应用，其中解答中熟记三角形的正弦定理，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.7．D解析：D 【分析】设塔底为O ，设塔高为h ，根据已知条件求得,OA OB 的长，求得AOB ∠的大小，利用余弦定理列方程，解方程求得h 的值. 【详解】设塔底为O ，设塔高为h ，由已知可知3,3OA h OB h ==，且150AOB ∠=，在三角形AOB 中，由余弦定理得22233352cos150h h h h ⎛⎫=+-⨯⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭，解得521h m =.故选D.【点睛】本小题主要考查解三角形的实际应用，考查利用余弦定理解三角形，属于基础题.8．D解析：D 【分析】先由不等式230ax bx a --≥的解集是[]4,1-求出a 、b ，再求b a 【详解】∵不等式230ax bx a --≥的解集是[]4,1-，∴23y ax bx a =--图像开口向下，即a <0,且23=0ax bx a --的两根为-4和1.∴12312034a b x x a a x x a ⎧⎪<⎪⎪+==-⎨⎪⎪-==-⎪⎩，解得：=26a b -⎧⎨=⎩ ∴()6=2=64b a -故选：D 【点睛】不等式的解集是用不等式对应的方程的根表示出来的.9．C解析：C 【分析】由1112222n n n n a a a Y n -+++⋅⋅⋅+==，可得1112222n n n n a a a -+=⋅+⨯++⋅⋅进而求得22n a n =+，所以()22n a tn t n -=-+可得{}n a tn -是等差数列，由6n S S ≤可得660a t -≥，770a t -≤，即可求解【详解】由1112222n n n n a a a Y n-+++⋅⋅⋅+==可得1112222n n n n a a a -+=⋅+⨯++⋅⋅，当2n ≥时()21212221n n n a a a n --+⋅=⋅-+⋅+，又因为1112222n n n a a n a -+=++⋅⋅⋅+，两式相减可得：()()11122221n n n n n n n n a -+=--=+，所以22n a n =+，所以()22n a tn t n -=-+，可得数列{}n a tn -是等差数列，由6n S S ≤对任意的*n N ∈恒成立，可得：660a t -≥，770a t -≤，即()2620t -⨯+≥且()2720t -⨯+≤，解得：16773t ≤≤，所以实数t 的取值范围是167,73⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故选：C 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是由已知条件得出1112222n n n n a a a -+=⋅+⨯++⋅⋅再写一式可求得n a ，等差数列前n 项和最大等价于0n a ≥，10n a +≤，10．A解析：A 【分析】利用递推关系式求出{}n a 的通项公式，再求出{}n a 的前n 项和为n S ，即可求出k 的值. 【详解】对任意的*n N ∈有2233n n S a =-，可得：1112233a S a ==- ，解得：1=2a -，当2n ≥时：2233n n S a =-，112233n n S a --=-两式相减得112233n n n n n S S a a a ---=-=，即12n n a a -=-，所以{}n a 是首项为2-，公比为2-的等比数列，所以()2nn a =-，()()()212212123nn nS ⎡⎤-⨯--⎣⎦⎡⎤==---⎣⎦--，所以211(2)123kk S ⎡⎤<=---<⎣⎦，所以5(219)2k <-<，当2k =和4k =时不等式成立，所以k 的值为2或4，故选：A. 【点睛】本题主要考查了由递推公式求通项公式，考查了等比数列前n 项和公式，属于中档题.11．C解析：C 【分析】根据题意得到12n n b b +=，计算得到答案. 【详解】123n n a a +-=，()1323n n a a +∴+=+，即12n n b b +=， 14b =，910422048b ∴=⨯=.故选：C . 【点睛】本题考查了根据数列的递推式求通项公式，确定12n n b b +=是解题的关键.12．B解析：B 【分析】结合题意根据等差数列的通项公式和前n 项和公式列方程115419199114a d a d +=⎧⎨+⨯=⎩，解得11232d a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，再利用前n 项和公式即可求得答案. 【详解】解：根据题意64a =，19114S =，结合等差数列的通项公式和前n 项和公式得：115419199114a d a d +=⎧⎨+⨯=⎩，即：115496a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得11232d a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以()1511515131451051515157752222S a d -+=+=⨯+⨯⨯==. 故选：B. 【点睛】本题考查利用等差数列的通项公式和前n 项和公式求等差数列的基本量，考查数学运算能力，是基础题.二、填空题13．【分析】根据题意知不等式对应方程的实数根由此求出写出满足条件的一组有序实数对即可【详解】不等式的解集为方程的实数根为和2且即则满足条件的一组有序实数对的值可以是故答案为【点睛】本题考查了一元二次不等解析：()2,1--【分析】根据题意知，不等式对应方程的实数根，由此求出20a b =<，写出满足条件的一组有序实数对即可．【详解】不等式()()20ax b x -->的解集为1{|2}2x x <<， ∴方程()()20ax b x --=的实数根为12和2，且012a b a <⎧⎪⎨=⎪⎩，即20a b =<，则满足条件的一组有序实数对(),a b 的值可以是()2,1--．故答案为()2,1--．【点睛】本题考查了一元二次不等式与对应方程的关系应用问题，是基础题．14．【分析】根据成等差数列利用等差中项结合正弦定理得到然后由利用基本不等式求解【详解】因为成等差数列所以由正弦定理得所以当且仅当时取等号所以的最小值是故答案为：【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应解析：12【分析】根据sin A ，sin C ，sin B 成等差数列，利用等差中项结合正弦定理得到2c a b =+，然后由()22222cos 122a b c a b c C ab ab+-+-==-，利用基本不等式求解.【详解】因为sin A ，sin C ，sin B 成等差数列，所以2sin sin sin C A B =+，由正弦定理得2c a b =+，所以()22222cos 122a b c a b c C ab ab+-+-==-，()2222231112222a b c c c a b +-≥-=-=+⎛⎫⎪⎝⎭，当且仅当a b =时取等号，所以cos C 的最小值是12. 故答案为：12【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用以及等差数列和基本不等式的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.15．【解析】如图在△MNO 中由正弦定理可得则这艘船的航行速度(海里/小时)点睛：(1)测量两个不可到达的点之间的距离问题一般是把求距离问题转化为应用余弦定理求三角形的边长的问题然后把求未知的另外边长问题【解析】如图,在△MNO 中，由正弦定理可得，68sin120686346sin 45MN ===则这艘船的航行速度346176v ==海里/小时). 点睛：(1)测量两个不可到达的点之间的距离问题，一般是把求距离问题转化为应用余弦定理求三角形的边长的问题．然后把求未知的另外边长问题转化为只有一点不能到达的两点距离测量问题，然后运用正弦定理解决．(2)测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知两个角和一条边解三角形的问题，从而运用正弦定理解决．16．①③④【分析】将化成后可得图象的对称中心故可判断①的正误；参变分离后考虑在上的值域后可判断②的正误；利用正弦定理和三角变换可判断③的正误；利用整体法求出的值从而可判断④的正误【详解】对于①因为故的图解析：①③④ 【分析】将()f x 化成()321f x x -=++后可得图象的对称中心，故可判断①的正误；参变分离后考虑1y x x=-在()0,1上的值域后可判断②的正误；利用正弦定理和三角变换可判断③的正误；利用整体法求出ϕ的值，从而可判断④的正误. 【详解】对于①，因为()321f x x -=++，故()f x 的图象可以看出3y x-=向左平移1个单位，向上平移2个单位，故()f x 的图象的对称中心为()1,2-，故①正确. 对于②，考虑方程10x k x -+=在()0,1上有实数根即1k x x=-在()0,1上有实数根，故(),0k ∈-∞，故关于x 的方程10x k x-+=在()0,1x ∈没有实数根时，则[)0,k ∈+∞，故②错误. 对于③，由正弦定理得到sin cos sin cos =B A A B ，故()sin 0B A -=，因为(),B A ππ-∈-，故0B A -=即B A =，故③正确. 对于④，平移后得到的图象对应的解析式为sin 223πy x φ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，因为该函数为偶函数，故202,32ππφk πk Z ⨯--=+∈，故5,212k ππφk Z =--∈，因为0ϕ>，故min 12πϕ=，故④正确. 故答案为：①③④. 【点睛】本题考查分式函数的图象性质、函数值域的求法、正弦定理和三角变换以及正弦型函数的图象特征，注意在三角形中，可利用正弦定理把边角的混合关系转化为边的关系或角的关系，而正弦型函数图象的性质，可利用整体法结合正弦函数的性质来讨论，本题属于中档题.17．【分析】先换元令则；再采用乘1法求出的最小值即可得解【详解】解：令则且而当且仅当即时等号成立的最小值为故答案为：【点睛】本题考查利用基本不等式求最值采用换元法和乘1法是解题的关键考查学生的转化思想分解析：3+【分析】先换元，令2s m =+，2t n =+，则1113s t +=，226m n s t +=+-；再采用“乘1法”，求出2s t +的最小值即可得解．【详解】解：令2s m =+，2t n =+，则2s >，2t >，且1113s t +=，2(2)2(2)26m n s t s t ∴+=-+-=+-，而112223(2)()3(12)3(32)3(322)s t s ts t s t s t t s t s+=++=+++⨯+=+，当且仅当2s tt s=，即s =时，等号成立．2s t ∴+的最小值为3(3+，2263(322)63m n s t ∴+=+-+-=+故答案为：3+ 【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，采用换元法和“乘1法”是解题的关键，考查学生的转化思想、分析能力和运算能力，属于中档题．18．【分析】由已知结合作差法进行变形后即可比较大小【详解】因为与所以时取等号所以故答案为：【点睛】本题主要考查了不等式大小的比较作差法的应用是求解问题的关键解析：p q【分析】由已知结合作差法进行变形后即可比较大小．【详解】因为0a >，0b >，2b p a a =-与2a qb b=-，所以2222222()()()()0b a b a b a b a b a b a p q a b ab ba-----+-=-==，b a =时取等号，所以p q ．故答案为：p q ．【点睛】本题主要考查了不等式大小的比较，作差法的应用是求解问题的关键．19．2026【分析】根据换底公式把代入并且化简转化为为整数即可求得区间内的所有和谐数的和【详解】由换底公式：得为整数∴分别可取最大值则最大可取10故所有和谐数的和为故答案为：2026【点睛】考查数列的综解析：2026 【分析】根据换底公式把1log (2)n n a n +=+代入12k a a a ⋯并且化简，转化为lg(2)lg 2k +为整数，即22n k +=，n *∈N ，可求得区间[1,2020]内的所有“和谐数”的和.【详解】由换底公式：log log log b a b NN a=，得()231241log 3log 4log 5log 2k k a a a k +=⋯+122lg3lg 4lg5lg(2)lg(2)log (2)lg 2lg3lg 4lg(1)lg 2==++⋯⋅⋅⋅⋅=++k k k a a a k k 为整数，∴22n k +=，n *∈N ，k 分别可取23422,22,22---，最大值222020n -≤，则n 最大可取10，故所有“和谐数”的和为()923104122221818202612-++⋅⋅⋅+-=-=-.故答案为：2026. 【点睛】考查数列的综合应用及对数的换底公式，把12k a a a ⋯化简并且转化为对数的运算，体现了转化的思想，属中档题.20．②【分析】利用等和数列的定义对每一个命题逐一分析判断得解【详解】①等和数列不一定是常数数列如数列是等和数列但是不是常数数列所以该命题错误；②如果一个数列既是等差数列又是等和数列则这个数列一定是常数列解析：② 【分析】利用“等和数列”的定义对每一个命题逐一分析判断得解. 【详解】①“等和数列”不一定是常数数列,如数列1,0,1,0,1,0,1,0,1,0,是“等和数列”，但是不是常数数列，所以该命题错误；②如果一个数列既是等差数列又是“等和数列”，则这个数列一定是常数列.如果数列{}n a 是等差数列，所以112(2)n n n a a a n +-+=≥，如果数列{}n a 是“等和数列”，所以11+(2),n n n n a a a a n -+=+≥所以11(2),n n a a n -+=≥所以122(2)n n a a n -=≥，所以1(2)n n a a n -=≥，所以这个数列一定是常数列，所以该命题是正确的.③如果一个数列既是等比数列又是“等和数列”，则这个数列一定是常数列. 如果数列{}n a 是等比数列，所以211(2)n n n a a a n +-⋅=≥，如果数列{}n a 是“等和数列”，所以11+(2),n n n n a a a a n -+=+≥所以11(2),n n a a n -+=≥所以221(2)n n a a n -=≥，所以1(2)n n a a n -=±≥，所以这个数列不一定是常数列，所以该命题是错误的.④数列{}n a 是“等和数列”且公和100h =，则其前n 项之和50n S n =，是错误的.举例“等和数列”1,99,1,99,1,其5201505S =≠⨯，所以该命题是错误的. 故答案为：② 【点睛】本题主要考查数列的新定义的理解和应用，考查等差数列和等比数列的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.三、解答题21．(1)3. (2)5. 【解析】试题分析：（1）求出第年年底，该车运输累计收入与总支出的差，令其大于0，即可得到结论；（2）利用利润=累计收入+销售收入-总支出，可得平均利润，利用基本不等式，可得结论．试题（1）设大货车运输到第年年底，该车运输累计收入与总支出的差为万元，则由,可得∵，故从第3年，该车运输累计收入超过总支出；（2）∵利润=累计收入+销售收入−总支出， ∴二手车出售后,小张的年平均利润为，当且仅当时，等号成立∴小张应当在第5年将大货车出售，能使小张获得的年平均利润最大．考点：根据实际问题选择函数类型, 基本不等式 22．（1）4m ≤；（2）94．【分析】（1）函数()2221690f x x x x x m =++-+≥恒成立，即+130x x m +--≥恒成立，设函数()+13g x x x =+-，则()min m g x ≤，利用绝对值不等式的性质求得()min g x 即可得解；（2）由（1）可得21432a b a b+=++，然后利用基本不等式计算即可求得74a b +的最小值．【详解】（1）函数()2221690f x x x x x m =++-+≥恒成立，即+130x x m +--≥恒成立，设函数()+13g x x x =+-，则()min m g x ≤，又13(1)(3)4x x x x ++-≥+--=，即()g x 的最小值为4，所以4m ≤；（2）由（1）知4n =，正数a ，b 满足21432a b a b+=++，所以()1217474432a b a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪++⎝⎭()()121622432a b a b a b a b ⎛⎫=++++⎡⎤ ⎪⎣⎦++⎝⎭()()222315432a b a b a b a b ++⎡⎤=++⎢⎥++⎣⎦54944+≥=，当且仅当23a b a b +=+即3210b a ==时，等号成立，所以74a b +的最小值为94．【点睛】本题考查绝对值不等式的应用，考查基本不等式的应用，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题. 23．（1）3A π=；（2）12. 【分析】（1）由已知化简可得22cos 5cos 30A A +-=，解出1cos 2A =即可求出角A 的大小；（2）利用面积公式可求得b ，再利用余弦定理可求得a ，进而求出ABC 外接圆直径，得出所求. 【详解】（1）5cos cos 25sin sin cos2B C B C A +=+，25cos()22cos 1B C A ∴++=-，22cos 5cos 30A A ∴+-=解得1cos 2A =或cos 3A =-（舍去）.0A π<<，所以3A π=.（2）313sin 223S bc π==，6bc ∴=， 3,c b =∴=由余弦定理得22212369,3a b c bc a =+-=+-==，由正弦定理得ABC外接圆直径2sin 2a R A === 2(2)sin sin 6R B C bc ==，所以1sin sin 2B C =. 【点睛】本题考查正余弦定理的应用，解题的关键是正确利用正余弦定理进行化简. 24．（1）3；（2）【分析】（1）根据正弦定理边角互化以及两角和的正弦公式可求得结果；（2）根据三角形的面积公式以及余弦定理可求得结果. 【详解】（1）因为)cos cos A c a C =，cos sin sin cos C A C A C -=，()sin cos sin cos sin C C A A C A C =+=+，而()sin sin A C B +=b =，故3c b =. （2）由（1）知cos 6A =，则sin 6A =，又ABC的面积为21sin 2bc A ==，则3c =，b =由余弦定理得2222cos 27923276a b c bc A =+-=+-⨯⨯=，解得a =. 【点睛】关键点点睛：利用正余弦定理以及三角形的面积公式求解是解题关键.25．（1）21n a n =-；（2）()12326n n T n +=-⨯+.【分析】（1）由等差数列的前n 项和公式，等比数列的性质列出关于1a 和d 的方程组，解方程组后可得通项公式n a ；（2）由等差数列通项公式求得2log n b 后得n b ，然后由错位相减法求得和n T ．【详解】（1）设{}n a 公差为d ，则()()11211154525122124n a d a a n d a d a a d ⨯⎧+==⎧⎪⇒⇒=-⎨⎨=⎩⎪+=+⎩. （2）由题意2log 11(1)n b n n =+⨯-=，2n n b ∴=()2323252212n n T n =+⨯+⨯++-⨯，（1） ()2341223252212n n T n +=+⨯+⨯++-⨯，（2）（1）－（2）得：2312222222(21)2n n n T n +-=+⨯+⨯++⨯--⨯118(12)2(21)212n n n -+-=+--⨯-，()12326n n T n +=-⨯+.【点睛】本题考查求等差数列的通项公式，错位相减法求和．数列求和的常用方法：设数列{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，（1）公式法：等差数列或等比数列的求和直接应用公式求和；（2）错位相减法：数列{}n n a b 的前n 项和应用错位相减法；（3）裂项相消法；数列1{}n n ka a +（k 为常数，0n a ≠）的前n 项和用裂项相消法；（4）分组（并项）求和法：数列{}n n pa qb +用分组求和法，如果数列中的项出现正负相间等特征时可能用并项求和法；（5）倒序相加法：满足m n m a a A -+=（A 为常数）的数列，需用倒序相加法求和．26．条件性选择见解析，（1）12nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，41n b n =-；（2）()110245n n T n +=+-【分析】（1）选择①②，可以判断{}n a 为112a =，公比为12的等比数列，即可求出通项公式；选择②③，由112n n S a +=-可判断{}n a 为112a =，公比为12的等比数列，即可求出通项公式；选择①③根据条件可得()11n n S a n ->=，根据条件不能求出1a 的值，故不能选①③；根据{}n b 的条件建立关系即可求出公差，得出通项公式；（2）利用错位相减法可求解. 【详解】（1）选择①②：由121n n S S +=+⇒当2n ≥时，有121n n S S -=+，两式相减得：12n n a a +=，即112n n a a +=，2n ≥．又当1n =时，有()2112212S S a a =+=+，又∵214a =，∴112a =，2112a a =也适合，所以数列{}n a 是首项、公比均为12的等比数列，所以12nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭；选择：②③：由112n n S a +=-⇒当2n ≥时，112n n S a -=-，两式相减得：122n n n a a a +=-+，即112n n a a +=，2n ≥．又当1n =时，有12112S a a =-=，又∵214a =，∴112a =，2112a a =也适合，所以数列{}n a 是首项、公比均为12的等比数列，所以12n n a ⎛⎫= ⎪⎝⎭；选择①③：由121n n S S +=+，112n n S a +=-，则112122n n n S S a ++=+=- 即111n n S a ++=-，所以()11n n S a n =->，，两式相减可得：()1121n n a a n +>=，当1n =时，由121n n S S +=+，得2121S S =+，即()121221a a S a +=+，即1221a a += 由112n n S a +=-，得1212S a =-，即1212a a =-，与上式相同，不能求出1a 的值. 故不能选择①③所以数列{}n a 是首项、公比均为12的等比数列，所以12n n a ⎛⎫= ⎪⎝⎭；设正项等差数列{}n b 的公差为d ，∵13b =，且1b ，32b -，7b 成等比数列， ∴()23172b b b -=，即()()2322336d d +-=+，解得：4d =或12d =-（舍）， ∴()34141n b n n =+-=-，故12nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，41n b n =-．（2）()412n n c n -⨯= 所以()1233272112412nn T n =⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯，则()()23123272452412n n n T n n +=⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+-⨯，两式相减得()()22164222412n n n T n +-=+++⋅⋅⋅+--⨯ ()()114126441212n n n -+-=+⨯--⨯-()110254n n +=-+-． ∴()110245n n T n +=+-【点睛】关键点睛：本题考查利用{}n a 与n S 的关系证明等比数列，等差数列基本量的计算，等比数列前n 项和问题，解答本题的关键是错位相减法求和中的计算，即由()1233272112412n n T n =⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯，和()()23123272452412n n n T n n +=⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+-⨯相减得到()()22164222412n n n T n +-=+++⋅⋅⋅+--⨯，属于中档题.。

高中数学必修五期末试卷含答案

一、选择题1．已知实数x ，y 满足260,{0,2,x y x y x -+≥+≥≤若目标函数z mx y =-+的最大值为210m -+，最小值为22m --，则实数m 的取值范围是（） A ．[]2,1-B ．[]1,3-C ．[]1,2-D ．[]2,32．设m 1>，在约束条件1y x y mx x y ≥⎧⎪≤⎨⎪+≤⎩下，目标函数z=x+my 的最大值小于2，则m 的取值范围为（） A．(1,1 B．()1+∞ C ．（1，3）D ．（3，+∞）3．已知正数a ，b 满足2a b +=，则2238a b ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的最小值为( ) A ．36B ．42C ．49D ．604．已知正数x ，y 满足x +y ＝1，且2211x y y x +++≥m ，则m 的最大值为（） A ．163B ．13C ．2D ．45．在ABC 中，内角,A ,B C 的对边分别为,a ,b c，已知b =22cos c a b A -=，则a c +的最大值为（）AB．C．D6．在△ABC 中，若b ＝2，A ＝120°，三角形的面积S = AB．C ．2 D ．47．在ABC 中，60A ∠=︒，4AC =，BC =ABC 的面积为 A．B ．4C．D8．在ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，若ABC 的面积为S，且()22a b c =+-，则πsin 4C ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．1B ．22 C．62- D ．62+ 9．若等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，首项10a >，202020210a a +>，202020210a a ⋅<，则满足0n S >成立的最大正整数n 是（） A ．4039B ．4040C ．4041D ．404210．在等差数列{}n a 中，0n a ≠，()21102n n n a a a n -+-+=≥，若2138n S -=，则n =( )．A ．38B ．20C ．10D ．911．已知等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，其前n 项和为n S ，若直线112y a x m =+与圆()2221x y -+=的两个交点关于直线0x y d +-=对称，则数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前10项和为（） A ．1011B ．910C ．89D ．212．公元前四世纪，毕达哥拉斯学派对数和形的关系进行了研究.他们借助几何图形（或格点）来表示数，称为形数.形数是联系算术和几何的纽带.如图所示，数列1，6，15，28，45，…，从第二项起每一项都可以用六边形表示出来，故称它们为六边形数，那么该数列的第11项对应的六边形数为（）A ．153B ．190C ．231D ．276二、填空题13．已知实数,x y 满足约束条件1210320y x y x y c ≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩，若2z y x =-的最大值为11，则实数c的值为____．14．如图，点A 是半径为1的半圆O 的直径延长线上的一点，3OA =B 为半圆上任意一点，以AB 为一边作等边ABC ，则四边形OACB 的面积的最大值为___________.15．ABC 的三边边长,,a b c 成递增的等差数列，且最大角等于最小角的2倍，则::a b c =______16．给出以下四个结论：①函数()211x f x x -=+的对称中心是()1,2-；②若关于x 的方程10x k x-+=在()0,1x ∈没有实数根，则k 的取值范围是2k ≥；③在ABC 中，若cos cos b A a B =则ABC 为等腰三角形；④若将函数()sin 23πf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向右平移()0ϕϕ>个单位后变为偶函数，则ϕ的最小值是12π.其中正确的结论是________.17．已知0a >，0b >，若a ，1，b 依次成等差数列，则41a b+的最小值为________． 18．已知正项等比数列{}n a 满足：28516a a a ，35+20a a =，若存在两项,m n a a 使得=32m n a a ，则14m n+的最小值为______ 19．已知数列{}n a 的各项均不为零，其前n 项和为n S ，且11a =，()12n n n S a a n *+=∈N ．若11n n n b a a +=，则数列{}n b 的前n 项和n T =______． 20．若a 、b 、c 成等比数列，a 、x 、b 成等差数列，b 、y 、c 成等差数列（x 、y 均不为0），则a cx y+=______. 三、解答题21．（1）已知()2f x kx =+，不等式()3f x <的解集为()1,5-，不等式()1xf x ≥的解集为A .求集合A ；（2）解关于x 的不等式()2220ax a x +--≥.22．已知关于x 的一元二次不等式()22600kx x k k -+<≠.（1）若不等式的解集是{|3x x <-或}2x >-，求k 的值；（2）若不等式的解集是R ，求k 的取值范围.23．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sin bC a-=tan cos A C -．（1）求角A 的大小；（2）若b =2c =，点D 在边BC 上，且2CD DB =，求a 及AD ． 24．在ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，222sin sin sin sin sin A C B A C +=+.（1）求角B 的大小；（2）若ABC为锐角三角形，b =2a c -的取值范围. 25．已知数列{}n a 满足：121(21)n n n a q---=，224224231(N )22n n n n n a a a *++⋅⋅⋅+=+∈．（Ⅰ）求2n a ；（Ⅱ）若7553q <<，求数列{}n a 的最小项． 26．在数列{}n a ，{}n b 和{}n c 中，{}n a 为等差数列，设{}n a 前n 项的和为n S ，{}n c 的前n 项和为n T ，11a =，410S a =，12b =，n n n c a b =⋅，22n n T c =-. （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）求证：()()()()()()12122311111111nn n c c c c c c c c c ++++<------.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】试题分析：画出可行域如下图所示，依题意可知，目标函数在点()2,10取得最大值，在点()2,2-取得最小值.由图可知，当0m ≥时，[]0,2m ∈，当0m <时，[)1,0m ∈-，故取值范围是[]1,2-.考点：线性规划.2．A解析：A【解析】试题分析：∵，故直线与直线交于点，目标函数对应的直线与直线垂直，且在点，取得最大值，其关系如图所示：即，解得，又∵，解得，选：A．考点：简单线性规划的应用.【方法点睛】本题考查的知识点是简单线性规划的应用，我们可以判断直线的倾斜角位于区间上，由此我们不难判断出满足约束条件的平面区域的形状，其中根据平面直线方程判断出目标函数对应的直线与直线垂直，且在点取得最大值，并由此构造出关于的不等式组是解答本题的关键．3．C解析：C 【分析】由已知可得2294(3)(8)(4)(9)37b a b aa b a b a b++=++=++，然后结合基本不等式即可求解．【详解】解：因为正数a ，b 满足2a b +=，所以229494(3)(8)(4)(9)3737249b a b a b aa b a b a b a b++=++=+++=，当且仅当65a =，45b =时取等号．故选：C ．【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求解最值，属于基础题．4．B解析：B 【分析】根据题意2211x y y x +++＝22(1)(1)11--+++y x y x =(4411+++y x )﹣5，由基本不等式的性质求出4411+++y x ＝13(4411+++y x ）[(x +1)+(y +1)]的最小值，即可得2211x y y x +++的最小值，据此分析可得答案.【详解】根据题意，正数x ，y 满足x +y ＝1，则2211x y y x +++＝22(1)(1)11--+++y x y x＝(y +1)+41+y ﹣4+(x +1)+41x +﹣4＝(4411+++y x )﹣5，又由4411+++y x ＝13(4411+++y x ) [(x +1)+(y +1)], ＝13[8+4(1)4(1)11+++++x y y x ]≥163，当且仅当x ＝y ＝12时等号成立，所以2211x y y x +++＝(4411+++y x )﹣5163≥﹣5＝13，即2211x y y x +++的最小值为13，所以3m ≤，则m 的最大值为13；故选：B ．【点睛】本题主要考查基本不等式的性质以及应用，还考查了转化求解问题的能力，属于中档题．5．B解析：B 【分析】由正弦定理化边角，利用诱导公式两角和的正弦公式化简可得B 角，然后用余弦定理得2()33a c ac +-=，再利用基本不等式变形后解不等式得a c +的最大值．【详解】因为22cos c a b A -=，所以由正弦定理得，2sin sin 2sin cos C A B A -=，因为A B C π+=-，所以sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+，所以2sin cos 2cos sin sin 2sin cos A B A B A B A +-=，化简得(2cos 1)sin 0B A -=，因为sin 0A ≠，所以2cos 10B -=，解得1cos 2B =，因为(0,)B π∈，所以3B π=，因为b =222232cos a c ac B a c ac =+-=+-，所以2()33a c ac +-=，所以222313()()()44a c a c a c ≥+-+=+，当且仅当a c =时取等号，所以a c +≤a c+的最大值为故选：B．【点睛】方法点睛：本题考查主要正弦定理、余弦定理，在三角形问题中出现边角关系时可用正弦定理化边为角，然后由利用三角函数恒等变换公式如诱导公式，两角和与差的正弦公式等化简变形得出所要结论．6．C解析：C【解析】12sin1202S c==⨯︒，解得c=2.∴a2=22+22−2×2×2×cos120°=12，解得a=，∴24sinaRA===，解得R=2.本题选择C选项.7．C解析：C【分析】利用三角形中的正弦定理求出角B，利用三角形内角和求出角C，再利用三角形的面积公式求出三角形的面积，求得结果.【详解】因为ABC∆中，60A∠=︒，4AC=，BC=由正弦定理得：sin sinBC ACA B=，所以4sin60sin B︒=，所以sin1B=，所以90,30B C︒︒∠=∠=，所以14sin302ABCS︒∆=⨯⨯= C.【点睛】该题所考查的是有关三角形面积的求解问题，在解题的过程中，需要注意根据题中所给的条件，应用正弦定理求得sin1B=，从而求得90,30B C︒︒∠=∠=，之后应用三角形面积公式求得结果.8．D解析：D 【分析】根据()22a b c =+-cos 1C C -=，结合三角函数的性质，求得C 的值，最后利用两角和的正弦函数，即可求解. 【详解】由()22a b c =+-，可得2221sin 22ab C a b c ab =+-+，因为2222cos a b c ab C +-=，所以sin 2cos 2C ab C ab =+，cos 1C C -=，可得π2sin 16C ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则π1sin 62C ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，又因为0πC <<，则ππ5π666C -<-<，所以ππ66C -=，解得π3C =，所以πππππππsin sin sin cos cos sin 4343434C ⎛⎫⎛⎫+=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12==故选：D. 【点睛】本题主要考查了两角和的正弦函数的化简、求值，以及余弦定理的应用，其中解答中根据题设条件和余弦定理，求得C 的值，结合三角函数的性质求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力.9．B解析：B 【分析】由等差数列的10a >，及202020210a a ⋅<得数列是递减的数列，因此可确定202020210,0a a ><，然后利用等差数列的性质求前n 项和，确定和n S 的正负．【详解】∵202020210a a ⋅<，∴2020a 和2021a 异号，又数列{}n a 是等差数列，首项10a >，∴{}n a 是递减的数列，202020210,0a a ><，由202020210a a +>，所以140404040202020214040()2020()02a a S a a +==+>，14041404120214041()404102a a S a +==<，∴满足0n S >的最大自然数n 为4040．故选：B ．【点睛】关键点睛：本题求满足0n S >的最大正整数n 的值，关键就是求出100n n S S +><，，时成立的n 的值，解题时应充分利用等差数列下标和的性质求解,属于中档题.10．C解析：C 【分析】由2110n n n a a a -+-+=，可得2112n n n n a a a a -++==，得到2n a =，再根据等差数列的求和公式，得到2138(21)n n n S a --==，代入即可求解，得到答案．【详解】由题意，等差数列{}n a 中，()21102n n n a a a n -+-+=≥，可得2112n n n n a a a a -++==，又0,n a ≠解得2n a =，又由12121(21)()(2)3812n n n n a a n a S ---+==-=，即(21)823n -⨯=，解得10n =，故选C ．【点睛】本题主要考查了等差数列的性质，以及等差数列的求和公式的应用，其中解答中熟记等差数列的性质，求得2n a =和2138(21)n n n S a --==是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．11．A解析：A 【分析】由题意可知，直线112y a x m =+与直线0x y d +-=垂直，且直线0x y d +-=过圆心，可求得1a 和d 的值，然后利用等差数列的求和公式求得n S ，利用裂项法可求得数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前10项和. 【详解】由于直线112y a x m =+与圆()2221x y -+=的两个交点关于直线0x y d +-=对称，则直线112y a x m =+与直线0x y d +-=垂直，直线0x y d +-=的斜率为1-，则1112a =，可得12a =，且直线0x y d +-=过圆()2221x y -+=的圆心()2,0，则20d -=，可得2d =，()()112212n a a n d n n ∴=+-=+-=，则()()()122122n n n a a n n S n n ++===+，()111111n S n n n n ∴==-++，因此，数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前10项和为1111111110112233410111111⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：A. 【点睛】本题考查裂项求和，同时也考查了直线与圆的综合问题，以及等差数列求和公式的应用，考查计算能力，属于中等题.12．C解析：C 【分析】根据题中所给图与对应的六边形数，记第n 个六边形数为n a ，找出规律，相邻两项差构成等差数列，累加求得22n a n n =-，将11n =代入求得结果. 【详解】记第n 个六边形数为n a ，由题意知：11a =，215141a a -==+⨯，32142a a -=+⨯，43143a a -=+⨯，，114(1)n n a a n --=+-，累加得21(1)[543]59[14(1)]212n n n a a n n n -+--=++++-==--，即22n a n n =-，所以21121111231a =⨯-=，故选：C. 【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有利用累加法求数列的通项公式，属于中档题目.二、填空题13．23【分析】画出不等式组表示的平面区域数形结合判断出取最大值的点即可建立关系求出【详解】画出不等式组表示的平面区域如图阴影部分直线在轴上的截距为则由图可知即将化为观察图形可知当直线经过点时取得最大值解析：23 【分析】画出不等式组表示的平面区域，数形结合判断出2z y x =-取最大值的点，即可建立关系求出. 【详解】画出不等式组表示的平面区域，如图阴影部分，直线320x y c +-=在y 轴上的截距为2c，则由图可知12c ≥，即2c ≥，将2z y x =-化为122zy x =+，观察图形可知，当直线122zy x =+经过点A 时，z 取得最大值，由210320x y x y c -+=⎧⎨+-=⎩解得27237c x c y -⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，故23221177c c +-⨯-=，解得23c =. 故答案为：23. 【点睛】方法点睛：线性规划常见类型，（1）y bz x a-=-可看作是可行域内的点到点(),a b 的斜率；（2）z ax by =+，可看作直线a zy x b b=-+的截距问题；（3）()()22z x a y b =-+-可看作可行域内的点到点(),a b 的距离的平方.14．【分析】设表示出的面积及的面积进而表示出四边形的面积并化简所得面积的解析式为正弦函数形式再根据三角函数的有界性进行求解【详解】四边形的面积的面积的面积设则的面积的面积四边形的面积故当即时四边形的面积解析：23【分析】设AOB θ∠=，表示出ABC 的面积及OAB 的面积，进而表示出四边形OACB 的面积，并化简所得面积的解析式为正弦函数形式，再根据三角函数的有界性进行求解．【详解】四边形OACB 的面积OAB =△的面积ABC +△的面积，设AOB θ∠=，2222cos 31214AB OA OB OA OB θθθ∴=+-⋅⋅=+-⨯=-则ABC 的面积213sin 60cos 22AB AC AB θ=⋅⋅︒==OAB 的面积11sin 1sin 222OA OB θθθ=⋅⋅=⨯=，四边形OACB 的面积3cos 2θθ=+13(sin )60)2θθθ==-︒，故当6090θ-︒=︒，即150θ=︒时，四边形OACB =故答案为：【点睛】方法点睛：应用余弦定理一定要熟记两种形式：（1）2222cos a b c bc A =+-；（2）222cos 2b c a A bc+-=，同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住30,45,60︒︒︒等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.15．【分析】由题意可得又最大角等于最小角的倍运用正弦定理求出用余弦定理化简求出边长关系【详解】的三边边长成递增的等差数列最大角为最小角为由正弦定理可得化简可得用余弦定理代入并化简可得：则则移项可得：消去解析：4:5:6【分析】由题意可得2b a c =+，又最大角等于最小角的2倍，运用正弦定理求出2cos a A c =，用余弦定理化简求出边长关系. 【详解】ABC 的三边边长a 、b 、c 成递增的等差数列，2b a c ∴=+，最大角为C ∠，最小角为A ∠， sin sin 2C A ∴=，由正弦定理可得sin sin sin 22sin cos a c c cA C A A A===，化简可得2cos a A c =，用余弦定理代入并化简可得：23220ab a ac bc -+-=，()()2220c a b a a b ---=，则()()20a b c a a b ⎡⎤--+=⎣⎦，a b ≠，则22c a ab =+，移项可得：()()c a c a ab -+=，()2b c a ab -=，消去b 并化简可得23a c =，设4a k =，6c k =，则5b k =，则::4:5:6a bc =.故答案为：4:5:6. 【点睛】本题结合数列知识考查了运用正弦定理和余弦定理来解三角形，探究出三角形根据已知条件得到的三边数量关系，有一定的计算量，需要熟练运用各公式进行化简.16．①③④【分析】将化成后可得图象的对称中心故可判断①的正误；参变分离后考虑在上的值域后可判断②的正误；利用正弦定理和三角变换可判断③的正误；利用整体法求出的值从而可判断④的正误【详解】对于①因为故的图解析：①③④ 【分析】将()f x 化成()321f x x -=++后可得图象的对称中心，故可判断①的正误；参变分离后考虑1y x x=-在()0,1上的值域后可判断②的正误；利用正弦定理和三角变换可判断③的正误；利用整体法求出ϕ的值，从而可判断④的正误. 【详解】对于①，因为()321f x x -=++，故()f x 的图象可以看出3y x-=向左平移1个单位，向上平移2个单位，故()f x 的图象的对称中心为()1,2-，故①正确. 对于②，考虑方程10x k x -+=在()0,1上有实数根即1k x x=-在()0,1上有实数根，故(),0k ∈-∞，故关于x 的方程10x k x-+=在()0,1x ∈没有实数根时，则[)0,k ∈+∞，故②错误. 对于③，由正弦定理得到sin cos sin cos =B A A B ，故()sin 0B A -=，因为(),B A ππ-∈-，故0B A -=即B A =，故③正确. 对于④，平移后得到的图象对应的解析式为sin 223πy x φ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，因为该函数为偶函数，故202,32ππφk πk Z ⨯--=+∈，故5,212k ππφk Z =--∈，因为0ϕ>，故min 12πϕ=，故④正确. 故答案为：①③④. 【点睛】本题考查分式函数的图象性质、函数值域的求法、正弦定理和三角变换以及正弦型函数的图象特征，注意在三角形中，可利用正弦定理把边角的混合关系转化为边的关系或角的关系，而正弦型函数图象的性质，可利用整体法结合正弦函数的性质来讨论，本题属于中档题.17．【分析】由a1b 依次成等差数列可得再利用乘1法及基本不等式计算即可求得答案【详解】且a1b 依次成等差数列当且仅当即取等号故的最小值为故答案为：【点睛】本题考查基本不等式的性质以及应用涉及等差中项的定解析：92【分析】由a ，1，b 依次成等差数列，可得2a b +=，再利用乘“1”法及基本不等式计算，即可求得答案．【详解】0a >，0b >，且a ，1，b 依次成等差数列，∴2a b +=， ∴()41141141941(52222b a a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=++=+++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当4b a a b =，即43a =，23b =，取等号，故14a b +的最小值为92．故答案为：92．【点睛】本题考查基本不等式的性质以及应用，涉及等差中项的定义，考查了分析能力和计算能力，属于中档题．18．【分析】由先求出数列的通项公式由找到把乘以1等量代换最后利用均值定理即可求解【详解】解：设正项等比数列的公比为由又所以所以即当且仅当即时取等号则的最小值为故答案为：【点睛】考查等比数列的性质以及用均解析：34【分析】由28516a a a ，35+20a a =找到12m n +=,把14m n+乘以1，等量代换，最后利用均值定理即可求解. 【详解】解：设正项等比数列{}n a 的公比为()0q q >，由28516a a a ，255516,16a a a ==，又35+20a a =，所以34a =，25316=4,24a q q a ===5515=1622n n n n a a q ---=⨯=，，所以1110222n m m n a a --==，即12m n +=，14145531212123124m n n m m n m n m n +⎛⎫+=+⋅=++≥+= ⎪⎝⎭ 当且仅当123n mm n=，即4,8m n ==时取等号，则14m n +的最小值为34故答案为：34. 【点睛】考查等比数列的性质以及用均值定理求最小值，基础题.19．【分析】由得数列的递推关系数列奇数项成等差数列偶数项成等差数列分别求出通项公式后合并可得然后用裂项相消法求和【详解】∵∴两式相减得又∴由且得因此综上∴故答案为：【点睛】本题考查求等差数列的通项公式裂解析：1n n + 【分析】由11n n n a S S ++=-得数列{}n a 的递推关系，数列奇数项成等差数列，偶数项成等差数列，分别求出通项公式后，合并可得n a ，然后用裂项相消法求和n T ．【详解】∵12n n n S a a +=，∴1122n n n S a a +++=，两式相减得11121222n n n n n n n a S S a a a a +++++=-=-，又10n a +≠，∴22n n a a +-=，由1122S a a =且11a =得22a =，因此2112(1)12(1)21n a a n n n -=+-=+-=-，222(1)22(1)2n a a n n n =+-=+-=，综上，n a n =，*n N ∈，111(1)1n b n n nn ，∴11111111223111n n T n n n n =-+-++-=-=+++．故答案为：1n n +．【点睛】本题考查求等差数列的通项公式，裂项相消法求和．数列求和的常用方法：设数列{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，（1）公式法：等差数列或等比数列的求和直接应用公式求和；（2）错位相减法：数列{}n n a b 的前n 项和应用错位相减法；（3）裂项相消法；数列1{}n n ka a +（k 为常数，0n a ≠）的前n 项和用裂项相消法；（4）分组（并项）求和法：数列{}n n pa qb +用分组求和法，如果数列中的项出现正负相间等特征时可能用并项求和法；（5）倒序相加法：满足m n m a a A -+=（A 为常数）的数列，需用倒序相加法求和．20．【分析】由题意可得出代入计算可得出的值【详解】由题意可得出故答案为：【点睛】本题考查利用等差中项和等比中项求值考查计算能力属于中等题解析：2【分析】由题意可得出2b ac =，2a bx +=，2b c y +=，代入计算可得出a c x y +的值.【详解】由题意可得出2b ac =，2a bx +=，2b c y +=， ()()()()()222222224222a b c c a b ab ac bc a c a cab ac bc x y a b b c a b b c ab ac b bc ab ac bc +++++++∴+=+====+++++++++.故答案为：2. 【点睛】本题考查利用等差中项和等比中项求值，考查计算能力，属于中等题. 三、解答题21．（1）[)1,2；（2）见解析【分析】（1）由题意得，23523k k ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩，由此可求得()2f x x =-+，代入后转化为一元二次不等式即可求出答案；（2）分类讨论法解不等式即可．【详解】解：（1）∵()2f x kx =+，不等式()3f x <的解集为()1,5-， ∴方程23kx +=的解集为1,5，∴23523k k ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩，解得1k =-，∴()2f x x =-+，∴()112x x f x x ≥⇔≥-+()2102x x -⇔≤-()()12020x x x ⎧--≤⇔⎨-≠⎩，解得12x ≤<，∴[)1,2A =；（2）∵()2220ax a x +--≥，①当0a =时，原不等式化为220x --≥，解得1x ≤-；当()2010a a x x a ⎛⎫≠∴-+≥ ⎪⎝⎭， ②当0a >时，原不等式化为()210x x a ⎛⎫-+≥ ⎪⎝⎭，解得1x ≤-，或2x a≥； ③当0a <时，原不等式化为()210x x a ⎛⎫-+≤ ⎪⎝⎭， 1︒当21a=-即2a =-时，原不等式化为()210x +≤，解得1x =-； 2︒当21a<-即20a -<<时，解得21x a ≤≤-；3︒当21a >-即2a <-时，解得21x a-≤≤；综上：当2a <-时，原不等式的解集为21,x a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦；当2a =-时，原不等式的解集为{}1x ∈-；当20a -<<时，原不等式的解集为2,1x a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦；当0a =时，原不等式的解集为(],1x ∈-∞-；当0a >时，原不等式的解集为(]2,1,x a ⎡⎫∈-∞-+∞⎪⎢⎣⎭．【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解法，考查分式不等式的解法，考查转化与化归思想，考查分类讨论法，属于中档题．22．（1）25-；（2）⎛-∞ ⎝⎭，. 【分析】（1）由不等式的解集为{}32x x x <->-或知0k <,且3-，2-是方程2260kx x k -+=的两根，代入可解.（2）不等式的解集为R ，知二次函数图像恒在x 轴下方，则利用0k <且24240k ∆=-<可解【详解】（1）∵不等式的解集为{}32x x x <->-或 ∴3-，2-是方程2260kx x k -+=的两根，且0k < ∴25k =-（2）∵不等式的解集为R ∴0k <且24240k ∆=-<∴6k <-∴k 的取值范围是(-∞，【点睛】解含参数的一元二次不等式时分类讨论的依据(1)二次项中若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式．(2)当不等式对应方程的实根的个数不确定时，讨论判别式∆与0的关系．(3)确定无实根时可直接写出解集，确定方程有两个实根时，要讨论两实根的大小关系，从而确定解集形式．23．（1）π4A =；（2）a =AD = 【分析】（1()sin sin sin tan cos C B A C A C -=-，再化简计算即可求出cos A =（2）由余弦定理求得a =cos 10B =-3a BD ==，再由余弦定理即可求出AD . 【详解】解：（1()sin sin sin tan cos C B A C A C -=-，()()sin sin sin tan cos C A C A C A C -+=-，∴2sin sin cos cos sin sin sin cos cos AC A C A C C A C A--=-，∵sin 0C ≠，∴2sin cos cos AA A+=，∴cos A =0πA <<，∴π4A =．（2）由余弦定理可得：2222cos 1841210a b c bc A =+-=+-=， ∴a =∵点D 在边BC 上，且2CD DB =，∴3a BD ==，又222cos 2a c b B ac +-==∴222582cos 9AD AB BD AB BD B =+-⋅⋅=，∴AD = 【点睛】关键点睛：本题考查正余弦定理的应用，解题的关键是正确利用正弦定理化边为角处理条件，再结合三角恒等变换化简运算. 24．（1）3B π=；（2）()0,3.【分析】（1）利用正弦定理边角互化，再利用余弦定理求出角B 的大小；（2）利用正弦定理结合三角恒等变换化简2a c -，再由锐角三角形得出C 的范围，进而得出答案．【详解】（1）由已知222sin sin sin sin sin A C B A C +=+，结合正弦定理，得222a c b ac +=+.再由余弦定理，得2221cos 222a cb ac B ac ac +-===，又()0,B π∈，则3B π=.（2）由3B π=，b =224sin 2sin 4sin 2sin 3a c A C C Cπ⎛⎫-=-=-- ⎪⎝⎭224sin cos cos sin 2sin 33C C C C ππ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭因为ABC 为锐角三角形，则62C ππ<<，则0cos 2C <<. 所以2a c -的取值范围为()0,3.25．（Ⅰ）2231n n a n =-；（Ⅱ）25q . 【分析】（Ⅰ）设数列22n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，利用122n n n n S S a -=-可求2n a . （2）讨论{}2-1n a 的单调性后可求数列{}21n a -的最小项，结合223n a >可求数列{}n a 的最小项．【详解】解：（Ⅰ）设数列22n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，即23122n S n n =+， ∴2131(1)(1)22n S n n -=-+-．则12231(2)n n n n S S n n a -=-=-≥，故()22231n n a n n =≥-，当1n =，21a =，也符合此式， ∴2231n n a n =-．（Ⅱ）222223313313n n a n n ==+>--．考虑奇数项，∵12121n n q a n --=-， ∴[]112121(21)(21)2121(21)(21)n n n n n q q n n q q a a n n n n --+---+-=-=+-+- ()()()111121(21)(21)(21)(21)2222n n q n q q q q q n n n q n n --⎡⎤-+----==+⎢⎥-⎡⎤⎣⎦+⎦-⎣-，又()1112121q q q +=+--， ∵7553q <<，得()112,321q +∈-，而220q ->， ∴当2n ≤时，2121n n a a +-<，当3n ≥时，2121n n a a +->，即奇数项中5a 最小．而25252593n q a a =<<<，所以数列{}n a 的最小项为255q a =．【点睛】思路点睛：数列的最大项最小项，一般根据数列的单调性来处理，如果数列是分段数列，则可以分别讨论各段上的最大项最小项，比较后可得原数列的最大项最小项.26．（1）n a n =，2nn b n=；（2）证明见解析；【分析】（1）设{}n a 的公差为d ，由410S a =，即可得到1d a =，从而求出{}n a 的通项公式，再由1122n n n n n c T T c c --=-=-，可得{}n c 是首项为2，公比为2的等比数列，即可求出{}n c 的通项，最后由n n n c a b =⋅，求出{}n b 的通项公式；（2）依题意可得()()1111112121n n n n n c c c ++=-----，利用裂项相消法求和即可得证；【详解】解：（1）因为{}n a 为等差数列，且{}n a 前n 项的和为n S ，设其公差为d ，因为410S a =，11a =，所以()11441492a d a d ⨯-+=+，所以11d a ==，所以n a n =，因为11a =，12b =，n n n c a b =⋅，所以1112c a b =⋅=，因为{}n c 的前n 项和为n T 且22n n T c =-，当2n ≥时，()()111222222n n n n n n n c T T c c c c ---=-=---=-，所以()122n n c c n -=≥，所以{}n c 是首项为2，公比为2的等比数列，所以2n n c =，因为n n n c a b =⋅，所以2nn n n c b a n== （2）因为()()()()1112111121212121n n n n n n n n c c c +++==-------所以()()()()()()1212231111111n n n c c c c c c c c c ++++------ 122311111111111111212121212121212121n n n n +++=-+-++-=-=-<--------- 【点睛】数列求和的方法技巧(1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和．(2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和．(3)分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和．。

2021-2022高中数学必修五期末试卷(附答案)

一、选择题1．已知正数x ，y 满足1431x y +=+，则x y +的最小值为（） A ．53 B ．2 C ．73 D ．62．已知a b >，不等式220ax x b ++≥对于一切实数x 恒成立，且0x R ∃∈，使得2020ax x b ++=成立，则22a b a b +-的最小值为（） A ．1 B ．2 C ．2 D ．223．当02x π<<时，函数21cos 28sin ()sin 2x x f x x ++=的最小值为（） A ．2 B ．23 C ．4 D ．43 4．若正数x ，y 满足35x y xy += ，则43x y + 的最小值为（）A ．275B ．245C ．5D ．65．构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设2BD AD =，则DEF 与ABC 的面积之比为（）A ．12B ．13C ．15D ．176．在△ABC 中，AC 2=BC ＝1，∠B ＝45°，则∠A ＝（） A ．30° B ．60° C ．30°或150° D ．60°或120° 7．已知a 、b 、c 分别是ABC 内角A 、B 、C 的对边，sin sin 3sin A B C +=，cos cos 2a B b A +=，则ABC 面积的最大值是（）A ．2B ．2C ．3D ．238．小华想测出操场上旗杆OA 的高度，在操场上选取了一条基线BC ，请从测得的数据①12m BC =，②B 处的仰角60°，③C 处的仰角45∘，④36cos 8BAC ∠=⑤30BOC ∠=︒中选取合适的，计算出旗杆的高度为（） A ．103m B ．12m C ．122m D ．123m9．已知等差数列{}n a 满足3434a a =，则该数列中一定为零的项为（） A ．6a B ．7a C ．8a D ．9a10．若{}n a 是等比数列，其公比是q ，且546,,a a a -成等差数列，则q 等于( ) A ．－1或2 B ．1或－2 C ．1或2 D ．－1或－2 11．设{}n a 为等差数列，122a =，n S 为其前n 项和，若1013S S =，则公差d =( ) A ．-2 B ．-1 C ．1 D ．212．已知等比数列{}n a 中，若1324,,2a a a 成等差数列，则公比q =（）A ．1B ．1-或2C ．3D ．1-二、填空题13．已知函数()()log 310,1a y x a a =-+>≠的图像恒过定点A ，若点A 在一次函数2m y x n =+的图像上，其中0,0m n >>，则12m n +的最小值是__________． 14．已知x ，y 满足041x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最大值为________.15．在ABC中，已知,cos 4A B π==BC =D 为AB 的中点，则CD 的长为________．16．在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c，若22a b -=，sin C B =，则A =____.17．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c．已知sin sin sin sin b C c B B C +=，2226b c a +-=，则ABC 的面积为_______． 18．对一切R θ∈，213sin cos 2m m θθ->恒成立，则实数m 的取值范围是_______. 19．定义max{,}a b 表示实数,a b 中的较大的数．已知数列{}n a 满足1a a =2(0),1,a a >=122max{,2}()n n n a a n N a *++=∈，若20154a a =，记数列{}n a 的前n 项和为n S ，则2015S 的值为___________．20．已知数列{}n a 的通项公式为()12n n a n =+⋅，若不等式()2235n n n a λ--<-对任意*n N ∈恒成立，则整数λ的最大值为_____.三、解答题21．已知函数2(1)()a x a f x bx c-+=+（a ，b ，c 为常数）．（1）当1,0b c ==时，解关于x 的不等式()1f x >；（2）当0,2b c a =>=时，若()1f x <对于0x >恒成立，求实数b 的取值范围． 22．某公司生产某种产品，其年产量为x 万件时利润为()R x 万元，当035x <≤时，年利润为21()2R x x =-20250x ++，当35x >时，年利润为()18005202R x x x=--+. （1）若公司生产量在035x <≤且年利润不低于400万时，求生产量x 的范围；（2）求公司年利润()R x 的最大值.23．在①222b c a bc +-=；②4AB AC ⋅=；③2sin 22cos 122A A π⎛⎫++= ⎪⎝⎭这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，求ABC 的面积.问题：已知ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且sin 2sin C B =，2b =，？注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.24．在ABC 中，角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c，b =，sin 1c A =.点D 是AC 的中点，BD AB ⊥，求c 和ABC ∠.25．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足332S a =，8522a a =-.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记121n n n n b a a a ++=⋅⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T .26．已知数列满足递推关系，且10a =，121n n a a -=+.（1）求证：数列{}1n a +为等比数列；（2）设()1n n b n a =+，求数列{}n b 的项和n T .【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【分析】化简114[(1)]()131x y x y x y +=++⨯+-+，再利用基本不等式求解. 【详解】由题得1114(1)1[(1)]31[(1)]()1331x y x y x y x y x y +=++-=++⨯-=++⨯+-+1141(5)1(5)123131y x x y y +=++-≥+-=++ 当且仅当1x y ==时取等.所以x y +的最小值为2.故选：B【点睛】方法点睛：利用基本不等式求最值时，常用到常量代换，即把所求代数式中的某一常量换成已知中的代数式，再利用基本不等式求解.2．D解析：D【分析】根据条件对于一切实数x 不等式恒成立和0x R ∃∈使得方程成立结合二次不等式、二次方程、二次函数，可得1ab =，将22a b a b+-化成2a b a b -+-，再结合基本不等式求解即可. 【详解】解：因为不等式220ax x b ++≥对于一切实数x 恒成立，所以0440a ab >⎧⎨-≤⎩，又因为0x R ∃∈，使得20020ax x b ++=成立，所以440ab -≥，所以440ab -=，即0,0,1a b ab >>=，所以222()22a b a b ab a b a b a b a b+-+==-+≥--- 当且仅当2a b a b-=-时取得最小值. 故选：D.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 3．C解析：C【解析】0,tan 02x x π<∴，()21cos28sin sin2x x f x x++=2222cos 8sin 28tan 14tan 42sin cos 2tan tan x x x x x x x x ++===+≥=，当且仅当1tan 2x =时取等号，函数()21cos28sin sin2x x f x x++=的最小值为4，选C. 4．A解析：A【解析】正数x ，y 满足35x y xy +=,则13155y x +=，()13492743433355555x y x y x y y x y x ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭故答案为A.点睛：这个题目考查的是含有两个变量的表达式的最值的求法，解决这类问题一般有以下几种方法，其一，不等式的应用，这个题目用的是均值不等式，注意要满足一正二定三相等；其二，二元化一元，减少变量的个数；其三可以应用线线性规划的知识来解决，而线性规划多用于含不等式的题目中．5．D解析：D【分析】由题意得出点D为AF 的中点，由余弦定理得出AB =，结合三角形面积公式得出正确答案.【详解】 2,BD AD AF BD ==，2AF AD ∴=，即点D 为AF 的中点由余弦定理得：2222cos120AB AD BD AD BD ︒⋅-=+ 解得：AB =)22ABC 1()sin 601217sin 602DEF AD S S ︒︒∴== 故选：D【点睛】本题主要考查了余弦定理以及三角形的面积公式，属于中档题.6．A解析：A【分析】直接利用正弦定理求出sin A 的大小，根据大边对大角可求A 为锐角，即可得解A 的值．【详解】因为：△ABC 中，BC ＝1，AC =∠B ＝45°，所以：BC AC sinA sinB =，sinA 112BC sinB AC ⋅===．因为：BC ＜AC ，可得：A 为锐角，所以：A ＝30°．故选：A ．【点评】本题考查正弦定理在解三角形中的应用，考查计算能力，属于基础题．7．B解析：B【分析】由cos cos 2a B b A +=，利用余弦定理代入化简解得2c =，再根据sin sin 3sin A B C +=，利用正弦定理得到36a b c +==，即62CA CB AB +=>=，得到点C 的轨迹是以A ，B 为焦点的椭圆，再利用椭圆的焦点三角形求解.【详解】∵cos cos 2a B b A +=， ∴222222222a c b b c a a b ac bc+-+-⋅+⋅=， ∴2c =，∵sin sin 3sin A B C +=∴36a b c +==，即62CA CB AB +=>=，∴点C 的轨迹是以A ，B 为焦点的椭圆，其中长半轴长3，短半轴长以AB 为x 轴，以线段AB 的中点为原点，建立平面直角坐标系，其方程为22198x y ，如图所示：则问题转化为点C 在椭圆22198x y 上运动求焦点三角形的面积问题．当点C 在短轴端点时，ABC 的面积取得最大值，最大值为22故选：B ．【点睛】本题主要考查正弦定理，余弦定理以及椭圆焦点三角形的应用，还考查了转化求解问题的能力，属于中档题.8．D解析：D【分析】设旗杆的高度OA h =.选①②③⑤，表示出OB OC ，，在BOC ∆中，由余弦定理列方程求解；选①②③④，表示出AB AC ，，在BAC ∆中，由余弦定理列方程求解.【详解】设旗杆的高度OA h =.选①②③⑤，则OC h =，3OB =，在BOC ∆中，由余弦定理得2222cos BC OB OC OB OC BOC =+-⋅⋅∠，即222312233h h =+-⋅，解得123h = 选①②③④，则3AB =，2AC h =，在BAC ∆中，由余弦定理得2222cos BC AB AC AB AC BAC =+-⋅⋅∠，即)2223612222833h h =+-，解得123h = 故选：D ．【点睛】本题主要考查了余弦定理在解三角形的应用，考查了仰角的概念，考查了学生对概念的理解和运算求解能力，属于中档题.9．B解析：B【分析】由条件可得34a d =-,进而得n a (7)n d =-,从而得解.【详解】33a 44a =,33a ∴()33444a d a d =+=+,34d a ∴=-n a ∴3(3)a n d =+-⋅4(3)d n d =-+-(7)n d =-70a ∴=,故选：B【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式，等差数列的性质，属于基础题.10．A解析：A【解析】分析：由546,,a a a -成等差数列可得5642a a a -+=，化简可得()()120q q +-=，解方程求得q 的值.详解：546,,a a a -成等差数列，所以5642a a a -+=，24442a q a q a ∴-+=，220q q ∴--=，()()120q q ∴+-=，1q ∴=-或2，故选A.点睛：本题考查等差数列的性质，等比数列的通项公式基本量运算，属于简单题. 等比数列基本量的运算是等比数列的一类基本题型，数列中的五个基本量1,,,,,n n a q n a S ，一般可以“知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解，解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列的有关性质和公式，并灵活应用.11．A解析：A【分析】由题意结合等差数列的性质和前n 项和的定义求解公差即可.【详解】由题意可得：12111213131030a a a a S S =++=-=，则120a =，等差数列的公差121022212111a a d --===--. 本题选择A 选项.【点睛】本题主要考查数列的前n 项和与通项公式的关系，等差数列公差的计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 12．B解析：B【分析】用等比数列的通项公式和等差中项公式求解.【详解】因为1324,,2a a a 成等差数列，所以312242a a a =+，即2111242a q a a q =+，化简得220q q --=，解得1q =-或2q.故选B.【点睛】本题考查等比数列与等差数列的综合运用. 二、填空题13．8【分析】可得定点代入一次函数得利用展开由基本不等式求解【详解】由可得当时故点A 在一次函数的图像上即当且仅当即时等号成立故的最小值是8故答案为：8【点睛】本题考查基本不等式的应用解题的关键是得出定点解析：8【分析】可得定点()4,1A ，代入一次函数得21m n +=，利用()12122m n m n m n ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭展开由基本不等式求解.【详解】由()()log 310,1a y x a a =-+>≠可得当4x =时，1y =，故()4,1A ，点A 在一次函数2m y x n =+的图像上，142m n ∴=⨯+，即21m n +=， 0,0m n >>，()121242448n m m n m n m n m n ⎛⎫∴+=++=++≥= ⎪⎝⎭，当且仅当4n m m n =，即11,42m n ==时等号成立，故12m n+的最小值是8. 故答案为：8.【点睛】本题考查基本不等式的应用，解题的关键是得出定点A ，代入一次函数得出21m n +=，利用“1”的妙用求解.14．6【分析】作出不等式组所表示的平面区域结合图象确定目标函数的最优解即可得到答案【详解】由题意作出不等式组所表示的平面区域如图所示因为目标函数可化为直线当直线过点A 时此时目标函数在轴上的截距最大此时目解析：6【分析】作出不等式组所表示的平面区域，结合图象确定目标函数的最优解，即可得到答案.【详解】由题意，作出不等式组041x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩所表示的平面区域，如图所示，因为目标函数2z x y =+，可化为直线2y x z =-+，当直线2y x z =-+过点A 时，此时目标函数在y 轴上的截距最大，此时目标函数取得最大值，又由04x y x y -=⎧⎨+=⎩，解得(2,2)A ，所以目标函数2z x y =+的最大值为2226z =⨯+=.故答案为：6.【点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力，属于基础题．15．【分析】由条件求得利用正弦定理求得在中利用余弦定理即可求得【详解】故由正弦定理知即解得在中所以故答案为：【点睛】关键点点睛：本题关键在于求出通过三角恒等变换求出利用余弦定理求解考查了运算能力属于中档题 5【分析】由条件求得sin B ,sin C ,利用正弦定理sin sin BC AB A C=求得AB , 在BCD △中，利用余弦定理即可求得CD .【详解】 25cos (0,),B B π=∈ 25sin 1cos B B ∴=-=故333cos cos()cos cos sin sin 444C B B B πππ=-=+ 2252510252510⎛⎛⎫⎛⎫=-⨯+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 22103101cos 1(n )010si 1C C =-=--=∴，由正弦定理知sin sin BC AB A C =252310，解得6AB =,在BCD△中，222222cos32355CD BC AD BC AD B=+-⋅=+-⨯⨯=所以CD=【点睛】关键点点睛：本题关键在于求出通过三角恒等变换求出cos B,利用余弦定理求解CD,考查了运算能力，属于中档题.16．【分析】由根据正弦定理边化角可得根据余弦定理结合已知联立方程组即可求得角【详解】根据正弦定理：可得根据余弦定理：由已知可得：故可联立方程：解得：由故答案为：【点睛】本题主要考查了求三角形的一个内角解解析：6π【分析】由sin C B=，根据正弦定理“边化角”，可得c=，根据余弦定理2222cosa b c bc A=+-，结合已知联立方程组，即可求得角A.【详解】sin C B=根据正弦定理：sin sinb cB C=∴可得c=根据余弦定理：2222cosa b c bc A=+-由已知可得：22a b-=故可联立方程：222222cosca b c bc Aa b⎧=⎪=+-⎨⎪-=⎩解得：cos A=由0Aπ<<∴6Aπ=故答案为：6π.【点睛】本题主要考查了求三角形的一个内角，解题关键是掌握由正弦定理“边化角”的方法和余弦定理公式，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.17．【分析】由正弦定理得由平方关系和余弦定理可得再利用面积公式即可得解【详解】由已知条件及正弦定理可得易知所以又所以所以所以即所以的面积故答案为：【点睛】本题考查了正弦定理余弦定理和三角形面积公式的应用解析：32【分析】由正弦定理得sin A =32bc =，再利用面积公式1sin 2S bc A =即可得解. 【详解】由已知条件及正弦定理可得2sin sin sin sin B C A B C =，易知sin sin 0B C ≠，所以sin A =又2226b c a +-=，所以2223cos 2b c a A bc bc+-==，所以cos 0A >，所以cos 2A ==，即3bc =，bc =，所以ABC 的面积113sin 2222S bc A ==⨯=．故答案为：32. 【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理和三角形面积公式的应用，属于中档题. 18．【分析】求出的最大值然后解相应的不等式即可得【详解】由得或故答案为：【点睛】本题考查不等式恒成立问题根据参数出现的位置首先求出三角式的最大值然后只要解不等式即可得这实质上就是不等式恒成立问题中的分离解析：121,,3⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【分析】求出sin cos θθ的最大值，然后解相应的不等式即可得．【详解】11sin cos sin 222θθθ=≤，由211322m m ->得13m <-或12m >．故答案为：121,,3⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．【点睛】本题考查不等式恒成立问题，根据参数出现的位置，首先求出三角式sin cos θθ的最大值，然后只要解不等式即可得．这实质上就是不等式恒成立问题中的分离参数法，只是本题中不等式已经参变分离了．19．7254【分析】参数进行分类讨论由已知求出数列的前几项从中发现是以5为周期的再根据求得的值可得答案【详解】由题意当时因此是周期数列周期为所以不合题意当时同理是周期数列周期为所以故答案为：【点睛】本题解析：7254 【分析】参数a 进行分类讨论，由已知求出数列的前几项，从中发现是以5为周期的，再根据20154a a =求得a 的值可得答案.【详解】由题意34a a=，当2a ≥时，44a =，52a a =，6a a =，71a =，因此{}n a 是周期数列，周期为5，所以2015524a a a a ==≠，不合题意，当02a <<时，48a a =，54a =，6a a =，71a =，同理{}n a 是周期数列，周期为5，所以2015544a a a ===，1a =，1234518a a a a a ++++=，2015403187254S =⨯=.故答案为：7254．【点睛】本题考查新定义问题，考查周期数列的知识，解决此类问题常采取从特殊到一般的方法，可先按新定义求出数列的前几项（本题由12,a a 依次求出34567,,,,a a a a a ），从中发现周期性的规律，本题求解中还要注意由新定义要对参数a 进行分类讨论．解决新定义问题考查的学生的阅读理解能力，转化与化归的数学思想，即把新定义的“知识”、“运算”等用我们已学过的知识表示出来，用已学过的方法解决新的问题．20．4【分析】根据题意等价变形得对任意恒成立再求数列的最大值即可得答案【详解】解：∵∴不等式等价于记∴时即时数列单调递减又∵∴∴即∴整数的最大值为4故答案为：4【点睛】本题考查根据数列不等式恒成立求参数解析：4 【分析】根据题意等价变形得2352n n λ-->对任意*n N ∈恒成立，再求数列232n n n b -=的最大值即可得答案.【详解】解：∵()102n n a n =+⋅>，∴不等式()2235n n n a λ--<-等价于2352nn λ-->，记232n n n b -=，112121223462n n n n n b n n b n ++--==--， ∴3n ≥时，11n nb b +<，即3n ≥时数列单调递减，又∵ 1211,24b b =-=， ∴ ()3max 38n b b ==， ∴358λ->，即337588λ<-=， ∴整数λ的最大值为4.故答案为：4.【点睛】本题考查根据数列不等式恒成立求参数，考查化归转化思想，是中档题.三、解答题21．（1）见解析（2）1b >+. 【分析】（1）原不等式转化为()()10-+<x a x 然后利用分类讨论思想进行分类求解；（2）原不等式转化22(0)1x b x x +>>+ ，设()()222151214x t g x x t t t+===≤+-++-1122b =+⇒>+. 【详解】（1）当1,0b c ==时，()()()21100f x x a x a x >⇔---<≠ ()()10x a x ⇔-+<，讨论：①当1a <-时，原不等式的解集为(),1a -；②当1a =-时，原不等式的解集为φ；③当10a -<≤时，原不等式的解集为()1,a -；④当0a >时，原不等式的解集为()()1,00,a -⋃.（2）当,2b c a ==时，()2211x f x bx b +<⇔<+ 22(0)1x b x x +⇔>>+ 设()221x g x x +=+，令()=22t x t +>，则()()22211512214x t g x t x t t t +===≤=+=+-++-，时取等号，故12b >+. 【点睛】关键点睛：解题的关键在于利用二次函数的性质，进行数形结合的讨论，难点在于对a 的分类讨论；由参变分离得到函数不等式区间D 上恒成立，一般有以下结论：min 1.():,()a f x x D a f x <∈<即可.max 2.():,()a f x x D a f x >∈>即可.22．（1）1030x ；（2）480．【分析】（1）令21()202504002R x x x =-++，解之即可；（2）利用二次函数的最值和基本不等式分别求出()R x 两段函数的最大值,再比较大小即可．【详解】（1）当035x <时，令21()202504002R x x x =-++，即2403000x x -+≤，解得1030x ，所以生产量x 的范围是1030x ；（2）当035x <时，222111()20250(40)250(20)450222R x x x x x x =-++=--+=--+，故此时()R x 在(0,20)上单调递增，在(20,35)上单调递减，则此时()R x 最大值为(20)450R =；当35x >时，116001()()52052048022R x x x =-++≤-⨯=，当且仅当160040x x==时，等号成立，则此时()R x 最大值为(40)480R =，综上公司年利润()R x 的最大值为480万元．【点睛】本题考查了函数的应用，利用二次函数的性质和基本不等式求最值是解题的关键，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．23．答案见解析【分析】利用边角互化可得24c b ==，选①：利用余弦定理以及三角形的面积公式即可求解；选②：利用向量数量积的定义可得1cos 2A =，从而可得3A π=，再利用三角形的面积公式即可求解；选③：利用诱导公式以及二倍角的余弦公式可得1cos 2A =，从而可得3A π=，再利用三角形的面积公式即可求解.【详解】因为sin 2sin C B =，2b =，所以24c b ==，选①：因为222b c a bc +=+，所以2221cos 22b c a A bc +-==，又因为()0,A π∈，所以3A π=.所以ABC 的面积11sin 2422S bc A ==⨯⨯=. 选②：若4AB AC ⋅=，故cos 4AB AC A ⋅⋅=，则1cos 2A =，故3A π=，所以ABC 的面积11sin 24222S bc A ==⨯⨯⨯=. 选③：若2sin 22cos 122A A π⎛⎫++= ⎪⎝⎭，则cos2cos 0A A +=，故22cos cos 10A A +-=，解得1cos 2A =（cos 1A =-舍去），故3A π=.所以ABC 的面积11sin 2422S bc A ==⨯⨯=.24．c =34ABC π∠=. 【分析】由勾股定理求出BD ，再由sin BD A AD=，sin 1c A =，b =求出c =5b =，再由余弦定理求出a ，最后由正弦定理求出ABC ∠.【详解】解：在直角三角形ABD中，22 222224b cBD AD AB c⎛⎫=-=-=⎪⎝⎭，所以2cBD=.所以5sinBDAAD==.又因为sin1c A=，所以5c=由5b c=得，5b=.因为5sin A=，0,2Aπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以225cos1sinA A=-=.在ABC中，由余弦定理，得22255(5)255105a=+-⨯⨯⨯=由正弦定理，得sin sina bA ABC=∠，即510sin5ABC=∠2sin ABC∠=.又因为,2ABCππ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，所以34ABCπ∠=.【点睛】关键点睛：解决本题的关键在于正余弦定理的综合应用，综合利用两个定理求出c和ABC∠.25．（1）n a n=；（2）()()23412n nn n+++.【分析】（1）由已知求得1a和公差d，可得通项公式；（2）用裂项相消法求和．【详解】（1）因为数列{}n a为等差数列，设其公差为d，结合332S a=，8522a a=-，()()111133227242a d a da d a d⎧+=+⎪⎨+=+-⎪⎩解得：11a d==所以11na n n=+-=（2）()()()()()1211111122112 nn n nba a a n n n n n n n++⎡⎤===-⎢⎥⋅⋅+++++⎣⎦()()()11111111121223223342112n T n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⨯⨯⨯⨯+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以()()()()211132212412n n n T n n n n ⎡⎤+=-=⎢⎥++++⎣⎦．【点睛】本题考查求等差数列的通项公式，裂项相消法求和．数列求和的常用方法：设数列{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，（1）公式法：等差数列或等比数列的求和直接应用公式求和；（2）错位相减法：数列{}n n a b 的前n 项和应用错位相减法；（3）裂项相消法；数列1{}n n ka a +（k 为常数，0n a ≠）的前n 项和用裂项相消法；（4）分组（并项）求和法：数列{}n n pa qb +用分组求和法，如果数列中的项出现正负相间等特征时可能用并项求和法；（5）倒序相加法：满足m n m a a A -+=（A 为常数）的数列，需用倒序相加法求和． 26．（1）证明见解析；（2）()12+1nn T n =-⋅. 【分析】（1）由121n n a a -=+及等比数列定义得到11121n n a a +-++=即可证明；（2）由（1）知112n n a -+=，所以12n n b n -=⋅，用错位相减法求数列{}n b 的项和n T .【详解】解：（1）由121n n a a -=+，即()1121n n a a -+=+，所以11121n n a a +-++=，所以数列{}1n a +是以1为首项，2为公比的等比数列.（2）由（1）知112n n a -+=，所以()112n n n b a n -=+=⋅.所以01211222322n n T n -=⨯+⨯+⨯++⋅，① 则12321222322n n T n =⨯+⨯+⨯++⋅，②由①②得0121121212122n n n T n --=⨯+⨯+⨯++⨯-⋅ ()12212112nn n n n -=-⋅=---，所以()121nn T n =-⋅+. 【点睛】方法点睛：根据递推关系求通项公式的三个常见方法：（1）对于递推关系式可转化为1()n n a a f n +=+的数列，通常采用累加法(逐差相加法)求其通项公式；（2）对于递推关系式可转化为1()n na f n a +=的数列，并且容易求数列()f n 前n 项的积时，采用累乘法求数列{}n a 的通项公式；（3）对于递推关系式形如1(0,1,0)n n a pa q p q +=+≠≠的数列，采用构造法求数列的通项.。

2021-2022高中数学必修五期末试题(含答案)(1)

一、选择题1．已知实数满足约束条件020360x y x y x y -≤⎧⎪+-≥⎨⎪-+≥⎩，则2z x y =-的最小值为（）A ．4-B ．3-C ．2-D ．1-2．已知关于x 的不等式210x ax -+≥在区间[1,2]上有解，则实数a 的取值范围为（） A ．2a ≤B ．2a ≥C ．52a ≥D ．52a ≤3．已知集合{}24120A x x x =--≤，{}440B x x =->，则AB =（）A ．{}12x x <≤B ．{}2x x ≥-C ．{}16x x <≤D ．{}6x x ≥-4．若a ，b ，c ∈R ，a >b ，则下列不等式恒成立的是（）A ．1a <1bB ．a 2>b 2C ．21a c +>21b c + D ．a |c |>b |c |5．在ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边，b c =且sin 1cos sin cos B BA A-=，若点O 是ABC 外一点，()0AOB θθπ∠=<<，2OA =，1OB =.则平面四边形OACB 的面积的最大值是（）A ．8534+ B ．4534+ C ．3 D ．4532+ 6．某校运动会开幕式上举行升旗仪式，在坡度为15°的看台上，同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为106 m （如图），则旗杆的高度为（）A ．10 mB ．30 mC ．3mD ．6m7．在ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边，若3b =60B =︒，若ABC 仅有一个解，则a 的取值范围是（）A ．({}32⋃B ．30,2C ．{}30,22⎛⎤⋃ ⎥⎝⎦D ．28．在ABC 中，角A 、B 、C 对边分别为a 、b 、c，若b =cos 20B B -=，且sin 2sin C A =，则ABC 的周长是（）A．12+B．C．D．6+9．已知数列{}n a 是等比数列，满足51184a a a =，数列{}n b 是等差数列，且88b a =，则79b b +等于（）A ．24B ．16C ．8D ．410．已知数列{}n a 满足11a =，+121nn n a a a =+，则数列{}1n n a a +的前n 项和n T =（） A ．21nn - B ．21nn + C ．221nn + D ．42nn + 11．两个公比均不为1的等比数列{}{},n n a b ，其前．n 项的乘积．．．．分别为,n n A B ，若552a b =，则99A B =( ) A ．512B ．32C ．8D ．212．等差数列{}n a 中，10a >,310S S =，则当n S 取最大值时，n 的值为（） A ．6B ．7C ．6或7D ．不存在二、填空题13．已知正数a ，b 满足30a b ab +-+=，则ab 的最小值是________． 14．已知,a b 为正实数，直线2y x a =-+与曲线1x b y e +=- 相切，则11a b+的最小值为________.15．已知正数a ，b 满足(1)(1)1a b --=，则4a b +的最小值等于________. 16．已知ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若1cos 3A =，23b c =，且ABC ∆a =___________.17．在平面四边形ABCD 中，∠A ＝∠B ＝∠C ＝α（0＜α＜2π），已知AB 的取值范围是（1，2），则cos α的值为_____．18．在相距3千米的A ，B 两个观察点观察目标点C ，其中观察点B 在观察点A 的正东方向，在观察点A 处观察，目标点C 在北偏东15︒方向上，在观察点B 处观察，目标点C 在西北方向上，则A ，C 两点之间的距离是______千米．19．若a 、b 、c 成等比数列，a 、x 、b 成等差数列，b 、y 、c 成等差数列（x 、y 均不为0），则a cx y+=______. 20．已知数列{}n a 的首项1a a =，其前n 项和为n S ，且满足()2*12,n n S S n n n N -+=≥∈，若对任意*n N ∈，1n n a a +<恒成立，则a 的取值范围是___________.三、解答题21．已知函数()2f x x ax b =--.（1）若关于x 的不等式()0f x <的解集为{}2|5x x -<<，求关于x 的方程()13218x x x a b --=的解；（2）若()()11f x f x +=-，且()f x 在()0,3上有两个零点，求实数b 的取值范围. 22．已知m R ∈，命题p ：对任意[]0,1x ∈，不等式2223x m m -≥-恒成立；命题q ：存在[]1,1x ∈-，使得m ax ≤成立．（1）若p 为真命题，求m 的取值范围；（2）当1a =时，若p q ∨为真，p q ∧为假，求m 的取值范围． 23．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且()sin sin sin b c CB A b a-=-+.（1）求A ；（2）若2a =，求11tan tan B C+的最小值. 24．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，且()4cos 2cos230A C B +++=．（1）求角B ；（2）若D 是BC 的中点，43AD =8AB =，求ABC 的面积．25．已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，2232S a a =+. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设21n nnb a -=，求数列{}n b 的前n 项和. 26．已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，59a =，13169S =. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设3nn na b =，求数列{}n b 的前n 项和n T .【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】根据约束条件作出可行域，将目标函数变形为122zy x =-，通过平移直线法可求出2z -的最大值，从而可得z 的最小值．【详解】作出已知不等式组所表示的平面区域，如图所示：将目标函数2z x y =-变形为122zy x =-，由图可知当直线经过点(0,2)A 时，截距2z -最大，所以，2z x y =-的最小值为4-．故选：A【点睛】方法点睛：解决线性规划问题的关键是正确地作出可行域，准确地理解z 的几何意义，求最优解时采用“平移直线法”．利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是： (1)在平面直角坐标系内作出可行域；(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形；(3)确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解； (4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值.2．D解析：D 【分析】由题意得分离参数将不等式等价于不等式1a x x ≤+在区间[1,2]上有解，设()1f x x x =+，由函数()1f x x x=+在[1,2]上单调递增，可求得实数a 的取值范围.【详解】由题意得：关于x 的不等式210x ax -+≥在区间[1,2]上有解，等价于不等式1a x x≤+在区间[1,2]上有解，设()1f x x x =+，则函数()1f x x x =+在[1,2]上单调递增，所以()()(152)2f f f x ≤=≤，所以实数a 的取值范围为52a ≤，故选：D. 【点睛】方法点睛：对于不等式有解的问题，常常有以下情况：()m f x >有解⇔()min m f x >，()m f x <有解⇔()max m f x <. 3．C解析：C 【分析】根据不等式的解法，求得集合{}26A x x =-≤≤，{}1B x x =>，结合集合交集的运算，即可求解. 【详解】由题意，集合{}{}2412026A x x x x x =--≤=-≤≤，{}{}4401B x x x x =->=>，根据集合交集的概念与运算，可得{}16A B x x ⋂=<≤. 故选：C. 【点睛】本题考查集合的交集的概念及运算，其中解答中正确求解集合,A B ，结合集合的交集的概念及运算求解是解答的关键，着重考查运算求解能力，属于基础题.4．C解析：C 【分析】首先利用特值法排除A 、B 两项，利用不等式的性质可确定C 项是正确的，再举出反例判断D 项是错误的，从而得到答案. 【详解】当a ＝1，b ＝－2时，满足a >b ，但11a b>，a 2<b 2，排除A 、B ；因为211c +>0，a >b ⇒2211a b c c >++，故C 是正确的；当c ＝0时，a |c |>b |c |不成立，排除D ，故选：C. 【点睛】该题考查的是有关不等式的问题，涉及到的知识点有利用不等式的性质比较式子的大小，利用特值法排除不正确的选项，坚持做到小题小做的思想，属于简单题目.5．A解析：A 【分析】由条件整理可得ABC 是等边三角形，利用OACB AOBABC S SS=+可化简得2sin 3OACB S πθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 【详解】在ABC 中，sin 1cos sin cos B BA A-=， sin cos cos sin sin B A B A A ∴+=，即sin()sin()sin sin A B C C A π+=-==A C ∴=，b c =， ∴ABC 是等边三角形，OACB AOBABCS SS∴=+211||||sin ||22OA OB AB θ=⋅+⨯)22121sin ||||2||||cos 2OA OB OA OB θθ=⨯⨯⨯+-⋅sin (41221cos )4θθ=++-⨯⨯⨯53sin 3cos 4θθ=-+532sin 34πθ⎛⎫=-+⎪⎝⎭， 0θπ<<，2333πππθ∴-<-<，则当32ππθ-=，即56πθ=时，sin 3πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭取得最大值1，故四边形OACB 面积的最大值为53853244++=. 故选：A.【点睛】本题考查两角差的正弦公式，考查三角形的面积公式，考查余弦定理，考查三角恒等变换的应用，解题的关键是利用三角形面积公式结合三角恒等变换化简得532sin 3OACB S πθ⎛⎫=-+⎪⎝⎭. 6．B解析：B 【分析】作图，分别求得∠ABC ，∠ACB 和∠BAC ，然后利用正弦定理求得AC ，最后在直角三角形ACD 中求得AD ．【详解】解：如图，依题意知∠ABC ＝30°+15°＝45°，∠ACB ＝180°﹣60°﹣15°＝105°， ∴∠BAC ＝180°﹣45°﹣105°＝30°，由正弦定理知BC ACsin BAC sin ABC=∠∠，∴AC BC sin BAC=∠•sin ∠ABC1062122=⨯=203（m ），在Rt △ACD 中，AD 3=•AC 3=⨯203=30（m ）即旗杆的高度为30m ．故选B ．【点睛】本题主要考查了解三角形的实际应用．结合了正弦定理等基础知识，考查了学生分析和推理的能力．7．A解析：A 【分析】根据3b =，60B =︒，由正弦定理得到sin 2sin sin b Aa A B==，然后作出函数2sin =y A 的图象，将问题转化为y a =与2sin =y A 的图象只有一个交点求解. 【详解】因为3b =，60B =︒，由正弦定理得sin sin a b A B=，所以sin 2sin sin b Aa A B==，因为()0,120∈︒A ，2sin =y A 的图象如图所示：因为ABC 仅有一个解，所以y a =与2sin =y A 的图象只有一个交点，所以03a <≤2a =，故选：A【点睛】本题主要考查正弦定理的应用以及三角函数的图象的应用，还考查了数形结合的思想方法，属于中档题.8．D解析：D 【分析】由已知条件求出角B 的值，利用余弦定理求出a 、c 的值，由此可计算出ABC 的周长. 【详解】cos 2sin 26B B B π⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭，sin 16B π⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭，0B π<<，7666B πππ∴<+<，则62B ππ+=，3B π∴=，sin 2sin C A =，2c a ∴=，由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，即2312a =，2a ∴=，24c a ==，因此，ABC 的周长是6a b c ++=+故选：D. 【点睛】本题考查三角形周长的计算，涉及余弦定理的应用，考查计算能力，属于中等题.9．C解析：C 【分析】利用等比数列和等差数列的性质计算．【详解】∵数列{}n a 是等比数列，∴2511884a a a a ==，又80a ，∴84a =，又{}n b 是等差数列，∴7988228b b b a +===．故选：C ．【点睛】关键点点睛：本题考查等差数列与等比数列的性质，掌握等差数列与等比数列的性质是解题关键．对正整数,,,m n p l ，若m n p l +=+，{}n a 是等差数列，则m n p l a a a a +=+，若{}n a 是等比数列，则m n p l a a a a =，特别地若2m n p +=，{}n a 是等差数列，则2m n p a a a +=，若{}n a 是等比数列，则2m n p a a a =． 10．B解析：B 【分析】利用倒数法求出数列{}n a 的通项公式，进而利用裂项相消法可求得n T . 【详解】已知数列{}n a 满足11a =，+121nn n a a a =+，在等式+121n n n a a a =+两边同时取倒数得112112n n n n a a a a ++==+，1112n na a +∴-=，所以，数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，且首项为111a ，公差为2，则()112121n n n a =+-=-，121n a n ∴=-， ()()11111212122121n n a a n n n n +⎛⎫∴==- ⎪-+-+⎝⎭，因此，1111111111111112323525722121221n T n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭21n n =+. 故选：B. 【点睛】使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．11．A解析：A 【分析】直接利用等比数列的性质化简99A B ,再代入552a b =即得解. 【详解】由题得99912919285599129192855()()()2512()()()A a a a a a a a a aB b b b b b b b b b ⋅⋅⋅=====⋅⋅⋅. 故答案为A. 【点睛】(1)本题主要考查等比数列的性质，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 等比数列{}n a 中，如果m n p q +=+,则m n p q a a a a =,特殊地，2m p q =+时，则2·m p q a a a =，m a 是p q a a 、的等比中项. 12．C解析：C 【解析】设等差数列{}n a 的公差为d∵310S S = ∴()()113319913922a d a d ⨯-⨯-+=+∴160a d += ∴70a = ∵10a >∴当n S 取最大值时，n 的值为6或7 故选C二、填空题13．9【分析】由已知结合基本不等式即可直接求解【详解】为正实数当且仅当时取等号即解得：或（舍去）当且仅当时取等号即的最小值是9故答案为：9【点睛】关键点点睛：本题主要考查了利用基本不等式求最值解题的关键解析：9 【分析】由已知结合基本不等式a b +≥ 【详解】30a b ab +-+=，3a b ab ∴+=-,a b 为正实数，a b ∴+≥a b =时取等号，3ab ∴-≥30ab ∴-≥，即)310≥3≥1≤-（舍去），9ab ∴≥，当且仅当3a b ==时取等号，即ab 的最小值是9．故答案为：9 【点睛】关键点点睛：本题主要考查了利用基本不等式求最值，解题的关键是利用基本不等式将已算能力，属于基础题．14．【分析】直线与曲线相切则切点在直线与曲线上且切点处的导数相等求出的关系再利用基本不等式求所求分式的最值【详解】解：由得；由得；因为直线与曲线相切令则可得代入得；所以切点为则所以故当且仅当时等号成立此解析：2【分析】直线与曲线相切，则切点在直线与曲线上，且切点处的导数相等，求出a ，b 的关系，再利用基本不等式求所求分式的最值．【详解】解：由2y x a =-+得1y '=；由1x b y e +=-得x b y y e +'==；因为直线2y x a =-+与曲线1x b y e +=-相切，令1x b e +=，则可得x b =-，代入1x b y e +=-得0y =；所以切点为(,0)b -．则20b a --+=，所以2a b +=．故11111()()112222222b a a a b a b a b a b b a+=++=+++=，当且仅当1a b ==时等号成立，此时取得最小值2．故答案为：2．【点睛】本题主要考查导数的意义及基本不等式的综合应用．关于直线与曲线相切，求未知参数的问题，一般有以下几步：1、分别求直线与曲线的导函数；2、令两导数相等，求切点横坐标；3、代入两方程求参数关系或值，属于中档题.15．9【分析】将已知等式变形为然后利用乘1法将进行变形利用基本不等式即可求得【详解】因为所以即又ab 为正数所以当且仅当时等号成立故的最小值等于故答案为：9【点睛】本题考查利用基本不等式求最值关键是将已知解析：9 【分析】将已知等式变形为111a b+=，然后利用“乘1法”将4a b +进行变形，利用基本不等式即可求得. 【详解】因为(1)(1)1a b --=，所以0ab a b --=，即111a b+=.又a ，b 为正数，所以1144(4)1459b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=+++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当3a =，32b =时，等号成立. 故4a b +的最小值等于9. 故答案为：9 【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，关键是将已知条件适当变形，得到111a b+=，以便利用“乘1法”，利用基本不等式求4a b +的最小值.利用基本不等式求最值要注意“正、定、等”的原则.16．【分析】利用同角三角函数计算出的值利用三角形的面积公式和条件可求出的值再利用余弦定理求出的值【详解】且的面积是由余弦定理得故答案为【点睛】本题考查利用余弦定理解三角形同时也考查了同角三角函数的基本关解析：2【分析】利用同角三角函数计算出sin A 的值，利用三角形的面积公式和条件23b c =可求出b 、c 的值，再利用余弦定理求出a 的值. 【详解】1cos3A =，sin 3A ∴==，23b c =，且ABC ∆1sin2ABC S bc A ∆∴=，1223c c =⨯，c ∴=，b =由余弦定理得2229192cos 222322a b c bc A =+-=+-=，2a ∴=故答案为2．【点睛】本题考查利用余弦定理解三角形，同时也考查了同角三角函数的基本关系、三角形面积公式的应用，考查运算求解能力，属于中等题.17．【分析】延长交与点过点C 作交与F 点可得由AB 的取值范围是可得设在与中分别运用正弦定理可得关于的方程联立可得答案【详解】解：如图延长交与点过点C 作交与F 点可得由AB 的取值范围是可得设在中由正弦定理可得解析：4【分析】延长BA ,CD 交与E 点，过点C 作CFAD 交与F 点，可得BF AB BE ＜＜,由AB 的取值范围是(1,2)，可得1,2BF BE ==,设BC x =，在BCE ∆与BCF ∆中，分别运用正弦定理可得关于cos α的方程，联立可得答案. 【详解】解：如图，，延长BA ,CD 交与E 点，过点C 作CF AD 交与F 点，可得BF AB BE ＜＜,由AB 的取值范围是(1,2)，可得1,2BF BE ==, 设BC x =，在BCE ∆中，由正弦定理可得：sin sin BC BEE BCE=∠∠,即：2sin(2)sin x παα=-，可得22cos xα=，同理，在BCF ∆中，由正弦定理可得：sin sin BC BFBFC BCF=∠∠,即：1sin sin(2)x απα=-，可得2cos 1x α=，故可得：2124cos α=，可得21cos 8α=，又02＜＜πα，故2cos 4α=, 2 【点睛】本题主要考查利用正弦定理解三角形，考查学生数学建模的能力与运算能力，属于中档题.18．【分析】在中则再由正弦定理列出方程即可求解【详解】由题设可知在中所以由正弦定理得即解得故答案为：【点睛】本题主要考查了解三角形的实际应用其中解答中熟练应用正弦定理列出方程是解答的关键着重考查运算与求 6【分析】在ABC 中，75CAB ∠=︒，45CBA ∠=︒，则60ACB ∠=︒，再由正弦定理列出方程，即可求解. 【详解】由题设可知，在ABC 中，75CAB ∠=︒，45CBA ∠=︒，所以60ACB ∠=︒，由正弦定理得sin sin AB AC ACB CBA =∠∠，即3sin 60sin 45AC=，解得AC =．【点睛】本题主要考查了解三角形的实际应用，其中解答中熟练应用正弦定理，列出方程是解答的关键，着重考查运算与求解能力，属于基础题.19．【分析】由题意可得出代入计算可得出的值【详解】由题意可得出故答案为：【点睛】本题考查利用等差中项和等比中项求值考查计算能力属于中等题解析：2【分析】由题意可得出2b ac =，2a bx +=，2b c y +=，代入计算可得出a c x y +的值.【详解】由题意可得出2b ac =，2a bx +=，2b c y +=， ()()()()()222222224222a b c c a b ab ac bc a c a cab ac bc x y a b b c a b b c ab ac b bc ab ac bc +++++++∴+=+====+++++++++.故答案为：2. 【点睛】本题考查利用等差中项和等比中项求值，考查计算能力，属于中等题.20．【分析】由化简可得从而可得由知则从而解得【详解】解：即即故由知；若对任意恒成立只需使即解得故故答案为：【点睛】本题考查了数列的性质的判断与应用同时考查了整体思想的应用及转化思想应用解析：24,33⎛⎫⎪⎝⎭【分析】由21n n S S n -+=化简可得1121n n S S n +--=+，从而可得22n n a a +-=，由1a a =知242a a =-，32a a =+，442a a =-，则1234a a a a <<<从而解得．【详解】解：21n n S S n -+=，21(1)n n S S n ++=+， 1121n n S S n +-∴-=+，即121n n a a n ++=+，即2123n n a a n +++=+，故22n n a a +-=，由1a a =知2124a a +=，214242a a a ∴=-=-，32a a =+，462a a =-；若对任意n ∈+N ，1n n a a +<恒成立，只需使1234a a a a <<<，即42262a a a a <-<+<-，解得2433a <<，故24,33a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭故答案为：24,33⎛⎫⎪⎝⎭．【点睛】本题考查了数列的性质的判断与应用，同时考查了整体思想的应用及转化思想应用．三、解答题21．（1）14x =；（2）10b -<<. 【分析】（1）利用韦达定理求出,a b ，代入()13218x x x a b --=中可得4151x -=，从而解得不等式.（2）由()()11f x f x +=-可得()f x 关于1x =对称，求出a 值.再利用根的分布知识结合二次函数图象求解b 的取值范围. 【详解】解:（1）因为不等式()0f x <的解集为{}25x x -<<，所以2-和5是方程0f x的两解，所以5210a b =-⎧⎨-=-⎩即310a b =⎧⎨=⎩所以1313335108,5252x x x x x x x --==，因为320x >，所以13551x x -=，4151x -= 故14x =()2因为()()11f x f x +=-，所以()f x 的图像关于直线1x =对称，所以12a=，得2,a =故有()22f x x x b =-- 因为()f x 在()0,3有两个零点，所以()000f ∆>⎧⎨>⎩即4400b b +>⎧⎨->⎩解得10b -<<. 【点睛】二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析． 22．（1）[]1,2；（2）()(],11,2-∞．【分析】（1）由p 为真命题，若()[]()220,1f x x x =-∈，只需()2min 3f x m m ≥-恒成立，即可求m 的取值范围；（2）若q 为真时1m ，结合已知条件：讨论p 真q 假、p 假q 真，分别求得m 的范围，取并集即可. 【详解】解：（1）对任意[]0,1x ∈，不等式2223x m m -≥-恒成立，令()[]()220,1f x x x =-∈，则()2min 3f x m m ≥-，当[]0,1x ∈时，()()min 02f x f ==-，即232m m -≤-，解得12m ≤≤．因此，当p 为真命题时，m 的取值范围是[]1,2．（2）当1a =时，若q 为真命题，则存在[]1,1x ∈-，使得m x ≤成立，所以1m ；故当命题q 为真时，1m ．又∵p ，q 中一个是真命题，一个是假命题．当p 真q 假时，由121m m ≤≤⎧⎨>⎩，得12m <≤；当p 假q 真时，有1m <或2m >，且1m ，得1m <．综上所述，m 的取值范围为()(],11,2-∞．【点睛】关键点点睛：（1）函数不等式在闭区间内恒成立，有()2min 3f x m m ≥-求参数范围.（2）由复合命题的真假讨论简单命题的真假组合，并求对应参数范围取并集即可.23．（1）3π；（2 【分析】（1）根据题设条件和正弦定理，化简得到222b c a bc +-=，再利用余弦定理，求得cos A 的值，即可求解；（2）由余弦定理和基本不等式，求得2bc a ≤，在结合正弦定理和三角恒等变换的公式，化简得22sin 22si 11tan tan n 2sin R R A R aR B R C B bcC ⋅⋅==⋅+，即可解. 【详解】（1）由()sin sin sin b c CB A b a-=-+，可得()()()sin sin sin b c C B A b a -=-+，由正弦定理得()()()b c c b a b a -=-+，即222b c a bc +-=，由余弦定理，得2221cos 22b c a A bc +-==，因为0A π<<，可得3A π=.（2）由（1）知3A π=，设三角形的外接圆的半径为R ，可得2sin a R A ==，又由余弦定理得222222cos a b c bc A b c bc bc =+-=+-≥，即24bc a ≤=，当且仅当2b c ==时取等号，又由11cos cos cos sin sin cos tan tan sin sin sin sin B C B C B CB C B C B C++=+=()sin sin sin sin sin sin B C AB CB C +==22sin 2sin 2sin R R A R B R C ⋅=⋅2R a bc ⋅==≥=，其中R 是ABC 外接圆的半径，所以11tan tan B C +24．（1）3B π=；（2）【分析】（1）利用诱导公式和二倍角公式化简已知等式可求得cos B ，由()0,B π∈可得结果；（2）在ABD △中利用余弦定理构造方程可求得BD ，根据2ABC ABD S S =△△，利用三角形面积公式可求得结果. 【详解】（1）A CB π+=-，()cos cos AC B ∴+=-，由()4cos 2cos230A C B +++=得：24cos 4cos 230B B -+-+=，即()22cos 10B -=，解得：1cos 2B =， ()0,B π∈，3B π∴=.（2）在ABD △中，由余弦定理得：2222cos AD AB BD AB BD B =+-⋅，即()2281640BD BD BD -+=-=，解得：4BD =；D 为BC 中点，122sin 8422ABCABDSSAB BD B ∴==⨯⨯⋅=⨯⨯=25．（1）2nn a =；（2）()13232nn T n ⎛⎫=-+⨯ ⎪⎝⎭.【分析】(1)求等比数列的通项公式用公式法，基本量代换；(2) ()121221n nn n n b a ⎛⎫=- ⎝=⎪⎭-，用错位相减法求和. 【详解】解：（1）设{}n a 的公比为q ，0q >2232S a a =+∴()12122a a a q a q +=+ ∴2q∴1222n n n a -=⋅=.（2）()1212nn b n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭设{}n b 的前n 项和为n T∴()()23111111135232122222n nn T n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭①()()2311111113232122222nn n T n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯++-⨯+-⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭②①-②()23111111122221222222nn n T n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯+⨯++⨯--⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()111112211121122212n n n T n -+⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=+--⨯⎪⎝⎭-()1111112212222nn n T n +⎛⎫⎛⎫=+-⋅--⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以()11342122n nn T n ⎛⎫⎛⎫=-⋅--⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 所以()13232nn T n ⎛⎫=-+⨯ ⎪⎝⎭.【点睛】(1) 等差（比）数列问题解决的基本方法：基本量代换；(2)数列求和的方法：公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法． 26．（1）21n a n =-；（2）113n nn T +=-. 【分析】（1）根据59a =，13169S =，利用等差数列的通项公式以及前n 项和公式求解. （2）由（1）得到2133n n n n a n b -==，利用数列求和的错位相减法求解. 【详解】（1）因为()11313713131692a a S a +===，所以77513,24a d a a ==-=，解得2d =，所以9(5)221n a n n =+-⋅=-. （2）由（1）得213n nn b -=，则()231111135213333n nT n =⋅+⋅+⋅++-⋅， ()()23411111111352321333333n n n T n n +=⋅+⋅+⋅++-⋅+-，两式相减得：()231211111221333333n nn T n +⎛⎫=++++-- ⎪⎝⎭， 1111112193213313n n n -+⎛⎫- ⎪-⎝⎭=+--，122233n n ++=-，所以113n nn T +=-. 【点睛】方法点睛：求数列的前n 项和的方法 (1)公式法：①等差数列的前n 项和公式，()()11122n n n a a n n S na d +-==+②等比数列的前n 项和公式()11,11,11n n na q S a q q q =⎧⎪=-⎨≠⎪-⎩； (2)分组转化法：把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解．(3)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项．(4)倒序相加法：把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广．(5)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列对应项之积构成的，则这个数列的前n 项和用错位相减法求解.(6)并项求和法：一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如a n ＝(－1)n f (n )类型，可采用两项合并求解．。

【人教版】高中数学必修五期末模拟试卷(含答案)

一、选择题1．若正数x ，y 满足21y x+=，则2x y +的最小值为（）A ．2B ．4C ．6D ．82．若实数x ，y 满足约束条件403400x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪+≥⎩，则32z x y =+的最大值是（）A ．1B ．20C ．28D ．323．设实数x ，y 满足约束条件21,22,x y x y -≤⎧⎨-≥⎩则x y +的最小值是（）A ．2B ．-2C ．1D ．-14．已知变量,x y 满足不等式组22003x y x y y +-≥⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩，则2z x y =-的最大值为（）A ．3-B ．23-C ．1D ．25．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知()()sin sin 3sin 2B A B A A -++=，且c =3C π=，则a =（）A ．1BC ．1D6．在锐角ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若22212a b c =+，则tan A 的取值范围是（） A．)+∞B．)+∞C．)+∞D ．[)2,+∞7．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且BCa ，则c bb c+的最大值是（） A ．8B ．6C．D ．48．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若角A ，B ，C 成等差数列，且直线ax +cy ﹣12＝0平分圆x 2+y 2﹣4x ﹣6y ＝0的周长，则△ABC 的面积的最大值为（） A．B．2C ．32D9．设首项为1的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且113,2,23,21,n n n a n k k N a a n k k N*-*-⎧+=∈=⎨+=+∈⎩，若4042m S >，则正整数m 的最小值为（）A ．14B ．15C ．16D ．1710．在等差数列｛a n ｝中，1233,a a a ++=282930165a a a ++=，则此数列前30项和等于（） A ．810B ．840C ．870D ．90011．公元1202年意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…，即121a a ==，12n n n a a a --=+（*3,n n ≥∈N ）.此数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有着广泛的应用.若记212n n n n b a a a ++=-（*n ∈N ），数列{}n b 的前n 项和为n S ，则2020S =（） A ．0B ．1C ．2019D ．202012．若a ，b 是函数()()20,0f x x px q p q =-+>>的两个不同的零点，a ，b ，2-这三个数适当排序后可成等比数列，点(),2a b 在直线2100x y +-=上，则p q +的值等于（） A ．6B ．7C ．8D ．9二、填空题13．设点(),P x y 位于线性约束条件32102x y x y y x +≤⎧⎪-+≤⎨⎪≤⎩，所表示的区域内（含边界），则目标函数4z x y =-的最大值是_________.14．如图，研究性学习小组的同学为了估测古塔CD 的高度，在塔底D 和A ，B （与塔底D 同一水平面）处进行测量，在点A ，B 处测得塔顶C 的仰角分别为45︒和30，且A ，B 两点相距127m ，150ADB ∠=︒，则古塔CD 的高度为______m ．15．某厂拟生产甲、乙两种适销产品，每件销售收入分别为3000元、2000元．甲、乙产品都需要在A ，B 两种设备上加工，在每台A ，B 设备上加工1件甲产品所需工时分别为1h 、2h ，加工1件乙产品所需工时分别为2h 、1h ，A ，B 两种设备每月有效使用时数分别为400h 和500h ．若合理安排生产可使收入最大为______元．16．已知正实数,x y 满足x y xy +=，则3211x yx y +--的最小值为______． 17．某环保监督组织为了监控和保护洞庭湖候鸟繁殖区域，需测量繁殖区域内某湿地A 、B 两地间的距离（如图），环保监督组织测绘员在（同一平面内）同一直线上的三个测量点D 、C 、E ，从D 点测得67.5ADC ∠=，从点C 测得45ACD ∠=，75BCE ∠=，从点E 测得60BEC ∠=，并测得23DC =，2CE =（单位：千米），测得A 、B 两点的距离为___________千米.18．已知ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，AB 边上的高为CD ，且2CD AB =，则a bb a+的取值范围是___________. 19．等比数列{a n }的公比为q ，其前n 项的积为T n ，并且满足条件a 1>1，a 49a 50－1>0，(a 49－1)(a 50－1)<0.给出下列结论：①0<q<1；②a 1a 99－1<0；③T 49的值是T n 中最大的；④使T n >1成立的最大自然数n 等于98.其中所有正确结论的序号是____________．20．已知数列{}n a 的首项1a a =，其前n 项和为n S ，且满足()2*12,n n S S n n n N -+=≥∈，若对任意*n N ∈，1n n a a +<恒成立，则a 的取值范围是___________.三、解答题21．已知实数x ，y 满足不等式组204030x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，求目标函数23z x y =-的最值及相应的最优解．22．如果x ，y R ∈，比较()222+x y 与()2xy x y +的大小．23．已知半圆O 的直径MN 为2，A 为直径延长线上一点，且2OA =.B 为半圆周上任意一点，以AB 为边，作等边ABC ，角AOB 等于何值时，四边形OACB 的面积最大?最大面积为多少?24．已知a ，b ，c 分别为锐角ABC 内角A ，B ，C 32sin 0a b A -=. （1）求角B ；（2）若7b =，5a c +=，求ABC 的面积.25．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S .若2114,n n n n n a S S a a a ++==（1）求证：数列是等差数列；（2）设n b =，求数列{}n b 的前n 项和n T . 26．在①数列{}n a 为递增的等比数列，且2312a a +=，②数列{}n a 满足122n n S S +-=，③数列{}n a 满足1121222n n n n a a a na -++++=这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，再完成解答．问题：设数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，__________．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设2221log log n n n b a a +=⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】由21y x +=，对2x y +乘以21y x+=，构造均值不等式求最值 .【详解】22242248x y x xy y x y xy ⎛⎫⎛⎫+=++=+++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当421xy xy y x⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，即412x y =⎧⎪⎨=⎪⎩时，等号成立，∴min 28x y ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.故选：D 【点睛】利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：“一正、二定、三相等” (1) “一正”就是各项必须为正数；(2)“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；(3)“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方．如果等号成立的条件满足不了，说明函数在对应区间单调，可以利用单调性求最值或值域．2．C解析：C 【分析】画出可行域，向上平移基准直线320x y +=到可行域边界的位置，由此求得目标函数的最大值. 【详解】在平面直角坐标系内画出题中的不等式组表示的平面区域，如下图所示的阴影部分：其三角形区域（包含边界），由40340x y x y -+=⎧⎨--=⎩得点(4,8)A ，由图得当目标函数=3+2z x y 经过平面区域的点(4,8)A 时，=3+2z x y 取最大值max 342828z =⨯+⨯=.故选：C.【点睛】方法点睛：求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.3．C解析：C 【分析】先作出约束条件对应的可行域，然后分析目标函数的几何意义，结合图形即可求解. 【详解】作出约束条件2122x y x y -≤⎧⎨-≥⎩所表示的平面区域如图所示：移动直线x y z +=，可知当其过点A 时取得最小值，解方程组2122x y x y -≤⎧⎨-≥⎩，求得1x y =⎧⎨=⎩，即(1,0)A ，代入求得101=+=z ，所以x y +的最小值是1，故选：C. 【点睛】方法点睛：该题考查的是有关线性规划的问题，解题方法如下：（1）根据题中所给的约束条件画出可行域；（2）根据目标函数的意义找到最优解；（3）解方程组求得最优解的坐标；（4）代入求得最小值，得到结果.4．B解析：B 【分析】画出不等式组表示的区域，将目标函数2z x y =-转化为22x zy =-，表示斜率为12截距为2z-平行直线系，当截距最小时，z 取最大值，由图即可求解. 【详解】解：画出不等式组表示的区域，如图中阴影部分所示：故将目标函数2z x y =-转化为22x z y =-，表示斜率为12截距为2z -平行直线系，所以当截距最小时，z 取最大值，由图可知，使得直线22x zy =-经过可行域且截距最小时的解为22,33C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，此时242333max z =-=-. 故选：B 【点睛】本题考查了线性规划的应用，注意将目标函数化成斜截式，从而由截距的最值确定目标函数的最值.5．C解析：C 【分析】由题意得3sinBcosA sinAcosA =，分0cosA =和0cosA ≠两种情况求解，可得结果．【详解】∵()()32sin B A sin B A sin A -++=， ∴3sinBcosA sinAcosA =．①当0cosA =时，ABC 为直角三角形，且2A π=．∵7c =3C π=，∴3sin3a ==．②当0cosA ≠时，则有3sinB sinA =，由正弦定理得3b a =．由余弦定理得2222c a b abcosC =+-，即()()22173232a a a a =+-⋅⋅，解得1a =．综上可得，a =1故选：C ．【点睛】本题考查正余弦定理在解三角形中的应用，考查三角恒等变换，考查学生分类讨论思想，属于中档题．6．B解析：B 【分析】根据题中条件，由三角形的余弦定理、正弦定理和两角和的正弦公式，化简可得tan 3tan A B =，再由两角和的正切公式，以及锐角三角形的定义，可得tan 0A >，tan 0C >，解不等式可得所求范围．【详解】因为22212a b c =+，由余弦定理可得，2222cos a b c bc A =+-，则222212cos 2b c b c bc A +=+-，可得4cos c b A =，由正弦定理可得：sin 4sin cos C B A =，可得sin()sin cos sin cos 4sin cos A B A B B A B A +=+=，化为3sin cos sin cos B A A B =，在锐角ABC 中，cos 0A ≠，cos 0B ≠，则tan 3tan A B =，又21tan tan tan tan 3tan tan()11tan tan 1tan 3A AA B C A B A B A ++=-+=-=---，由tan 0A >，tan 0C >，可得211tan 03A -<，解得tan A >，故选：B ．【点睛】本题考查三角形的正弦定理和余弦定理的运用，以及两角和的三角函数公式，考查方程思想和化简运算能力，属于中档题．7．D解析：D 【分析】首先利用面积公式可得：2sin a A =，再利用余弦定理2222cos b c a bc A +=+，两者结合可得22sin 2cos b c A bc A +=+，而22c b b c b c bc++=，即可得c bb c +2cos A A =+，再利用辅助角公式即可求解. 【详解】由已知可得：11sin 226bc A a a =⨯，所以2sin a A =，因为222cos 2b c a A bc+-=，所以2222cos sin 2cos b c a bc A A bc A +=+=+所以222cos 4sin 46c b b c A A A b c bc π+⎛⎫+==+=+≤ ⎪⎝⎭，所以c bb c +的最大值是4 故选：D 【点睛】本题主要考查了三角形面积公式、余弦定理、以及辅助角公式，属于中档题.8．B解析：B 【分析】由三角形内角和公式以及等差数列的性质可得3B π=，根据直线过圆心可得2312a c +=，根据基本不等式可得6ac ≤，最后由三角形面积公式得结果.【详解】在△ABC 中，A +B +C ＝π，∵角A ，B ，C 成等差数列，∴2B ＝A +C ， ∴2B ＝π﹣B ，∴B 3π=．∵直线ax +cy ﹣12＝0平分圆x 2+y 2﹣4x ﹣6y ＝0的周长， ∴圆心（2，3）在直线ax +cy ＝12上，则2a +3c ＝12， ∵a＞0，c ＞0，∴12＝2a +3c ≥ac ≤6．当且仅当2a ＝3c ，即a ＝3，c ＝2时取等号．∴11sin 622ABCSac B =≤⨯=∴△ABC 的面积的最大值为2．故选：B. 【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，基本不等式以及三角形面积公式的应用，属于中档题.9．C解析：C 【分析】根据已知递推关系求出数列{}n a 的奇数项加9成等比数列，偶数项加6成等比数列，然后求出2n S 后，检验141615,,S S S 可得．【详解】当n 为奇数时，122232(3)329n n n n a a a a ---=+=++=+，所以292(9)n n a a -+=+，又1910a +=，所以1359,9,9,a a a +++成等比数列，公比为2，1219102n n a --+=⨯，即1211029n n a --=⨯-，当n 为偶数时，122323326n n n n a a a a ---=+=++=+，所以262(6)n n a a -+=+，又2134a a =+=，所以2469,9,9,a a a +++成等比数列，公比为2，126102n n a -+=⨯，即121026n n a -=⨯-，所以210(12)10(12)9620220151212n n n n S n n n --=-+-=⨯----，714202201572435S =⨯--⨯=，816202201584980S =⨯--⨯=， 7151415243510293706S S a =+=+⨯-=，所以满足4042m S >的正整数m 的最小值为16．故选：C ．【点睛】关键点点睛：本题考查由数列的递推关系求数列的和．解题关键是分类讨论，确定数列的奇数项与偶数项分别满足的性质，然后结合起来求得数列的偶数项的和2n S ，再检验n 取具体数值的结论．10．B解析：B 【解析】数列前30项和可看作每三项一组，共十组的和，显然这十组依次成等差数列，因此和为10(3165)8402+= ，选B. 11．A解析：A 【分析】由1n nb b +用递推式可得到值为-1，{}n b 是等比数列，再求前2020项和. 【详解】由题意可知()2221121213221212n n n n n n n n n n n n n n n a a a a b a a a b a a a a a a ++++++++++++-+-===--()222211212212121n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a ++++++++++---==---，又212131b a a a =-=-，因此()1nn b =-，故()()()20201111110S =-++-+++-+=，故选：A. 【点睛】本题考查了通过递推数列揭示数列存在的规律即等比数列，还考查了数列求和，属于中档题.12．D解析：D 【分析】由零点定义得,a b p ab q +==得0,0a b >>，因此2-只能是等比数列的中间项，从而得4ab =，由点(),2a b 在直线2100x y +-=上，得5a b +=，这样可得,p q 值．从而得出结论．【详解】∵a ，b 是函数()()20,0f x x px q p q =-+>>的两个不同的零点，∴,a b p ab q +==，∴0,0a b >>，而a ，b ，2-这三个数适当排序后可成等比数列，只能是2-是,a b 的等比中项，即4ab =，点(),2a b 在直线2100x y +-=上，则22100a b +-=，得5a b +=，由45ab a b =⎧⎨+=⎩，∴5,4p q ==，9p q +=．故选：D ．【点睛】本题考查函数零点的概念，考查等比数列的定义，考查韦达定理，关键是由题意分析出0,0a b >>．二、填空题13．【分析】根据线性约束条件画出可行域将目标函数化为直线方程通过平移即可求得目标函数的最大值【详解】由题意作出可行域如图目标函数可化为上下平移直线数形结合可得当直线过点A 时z 取最大值由可得所以故答案为：解析：163【分析】根据线性约束条件，画出可行域，将目标函数化为直线方程，通过平移即可求得目标函数的最大值. 【详解】由题意作出可行域，如图，目标函数4z x y =-可化为4y x z =-，上下平移直线4y x z =-，数形结合可得，当直线过点A 时，z 取最大值，由2103x y x y -+=⎧⎨+=⎩，可得54,33A ⎛⎫⎪⎝⎭，所以54164333max z =⨯-=. 故答案为：163. 【点睛】方法点睛：求线性目标函数的在约束条件下的最值问题的求解步骤是：①作图，画出约束条件（不等式组）所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中的任意一条直线l ； ②平移，将l 平行移动，以确定最优解所对应的点的位置；③求值，解有关的方程组求出最优点的坐标，再代入目标函数，求出目标函数的最值.14．12【分析】设用表示出在中由余弦定理列方程求出【详解】由题意知：平面设则在中由余弦定理得：即解得故答案为：12【点睛】此题考查了余弦定理以及特殊角的三角函数值熟练掌握余弦定理是解本题的关键属于中档题解析：12 【分析】设CD h =，用h 表示出,AD BD ，在ABD △中，由余弦定理列方程求出h ．【详解】由题意知：CD ⊥平面,45,30,150,127,ABD DAC DBC ADB AB m ∠=︒∠=︒∠=︒= 设CD h =，则,33AD CD h BD CD h ====，在ABD △中，由余弦定理得：2222cos AB AD BD AD BD ADB =+-⋅⋅∠ 即()222212733h h h =++，解得12h m =故答案为：12 【点睛】此题考查了余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键，属于中档题．15．800000【分析】设每月生产甲产品件生产乙产品件每月收入为元列出实际问题中xy 所需满足的条件作出可行域数形结合求出目标函数的最大值【详解】设每月生产甲产品件生产乙产品件每月收入为元目标函数为需要满解析：800000 【分析】设每月生产甲产品x 件，生产乙产品y 件，每月收入为z 元，列出实际问题中x 、y 所需满足的条件，作出可行域，数形结合求出目标函数30002000z x y =+的最大值. 【详解】设每月生产甲产品x 件，生产乙产品y 件，每月收入为z 元，目标函数为30002000z x y =+，需要满足的条件是2400250000x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，作出可行域如图所示，目标函数30002000z x y =+可转化直线3122000y x z =-+，数形结合知当直线经过点A 时z 取得最大值．解方程组24002500x y x y +=⎧⎨+=⎩，可得点()200,100A ，则z 的最大值为30002002000100z =⨯+⨯=800000元．故答案为：800000 【点睛】本题考查线性规划解决实际问题，属于基础题.16．【详解】正实数满足故得到等号成立的条件为点睛：在利用基本不等式求最值时要特别注意拆拼凑等技巧使其满足基本不等式中正(即条件要求中字母为正数)定(不等式的另一边必须为定值)等(等号取得的条件)的条件才解析：5+. 【详解】正实数,x y 满足x y xy +=，1111132321111111111x y x y x y x y x y yx ⎧=-⎪⎪+=⇒⇒+=+⎨--⎪--=-⎪⎩故得到113121323211=5++111111x 1111y x y x x y y x y x y⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=++≥------（）（）1111-y x ⎫⎫-⎪⎪⎭⎭. 点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.17．【分析】在中分析边角关系可得在中由正弦定理可求得的值然后在中利用余弦定理可求得的长【详解】在中则在中则由正弦定理得可得在中由余弦定理得因此（千米）故答案为：【点睛】本题考查距离的测量问题考查了利用正解析：3【分析】在ACD △中，分析边角关系可得AC CD ==BCE 中，由正弦定理可求得BC 的值，然后在ABC 中，利用余弦定理可求得AB 的长.【详解】在ACD △中，45ACD ∠=，67.5ADC ∠=，CD =67.5CAD ∴∠=，则23AC CD ==，在BCE 中，60BEC ∠=，75BCE ∠=，2CE =，则45CBE ∠=，由正弦定理得sin 45sin 60CE BC=，可得32sin 6023sin 452CE BC ⨯===，在ABC 中，23AC =，3BC =，18060ACB ACD BCE ∠=-∠-∠=，由余弦定理得2222cos609AB AC BC AC BC =+-⋅=，因此，3AB =（千米）. 故答案为：3. 【点睛】本题考查距离的测量问题，考查了利用正弦定理和余弦定理解三角形，考查计算能力，属于中等题.18．【分析】由余弦定理得出由三角形的面积公式得出进而可得出利用正弦函数的有界性和基本不等式即可求得的取值范围【详解】如下图所示：由余弦定理得由三角形的面积公式得得则当时即当时取得最大值由基本不等式可得当解析：2,22⎡⎤⎣⎦【分析】由余弦定理得出2222cos a b c ab C =++，由三角形的面积公式得出22sin c ab C =，进而可得出22sin 4b a C a b π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，利用正弦函数的有界性和基本不等式即可求得a bb a +的取值范围. 【详解】如下图所示：由余弦定理得2222cos c a b ab C =+-，2222cos a b c ab C ∴+=+，1122CD AB c ==，由三角形的面积公式得11sin 222ABC cS ab C c ==⋅△，得22sin c ab C =，()222sin cos 22sin 4a b ab C C ab C π⎛⎫∴+=+=+ ⎪⎝⎭，则224b a a b C a b ab π+⎛⎫+==+ ⎪⎝⎭， 0C π<<，5444C πππ∴<+<，当42C ππ+=时，即当4C π时，b aa b+取得最大值由基本不等式可得2b a a b +≥=，当且仅当a b =时，等号成立，因此，a bb a+的取值范围是2,⎡⎣.故答案为：2,⎡⎣.【点睛】本题考查三角形中代数式的取值范围的求解，考查了余弦定理、三角形的面积公式、基本不等式以及正弦函数有界性的应用，考查计算能力，属于中等题.19．①②③④【解析】由条件a1>1a49a50－1>0(a49－1)(a50－1)<0可知a49>1a50<1所以0<q<1①对；∵a1a99＝<1②对；因为a49>1a50<1所以T49的值是Tn 中最解析：①②③④ 【解析】由条件a 1>1，a 49a 50－1>0，(a 49－1)(a 50－1)<0可知a 49>1，a 50<1，所以0<q <1，①对；∵a 1a 99＝250a <1，②对；因为a 49>1，a 50<1，所以T 49的值是T n 中最大的，③对；∵T n ＝a 1a 2a 3…a n ，又∵a 1a 98＝a 49a 50>1，a 1a 99＝250a <1，所以使T n >1成立的最大自然数n 等于98.故填①②③④.20．【分析】由化简可得从而可得由知则从而解得【详解】解：即即故由知；若对任意恒成立只需使即解得故故答案为：【点睛】本题考查了数列的性质的判断与应用同时考查了整体思想的应用及转化思想应用解析：24,33⎛⎫⎪⎝⎭【分析】由21n n S S n -+=化简可得1121n n S S n +--=+，从而可得22n n a a +-=，由1a a =知242a a =-，32a a =+，442a a =-，则1234a a a a <<<从而解得．【详解】解：21n n S S n -+=，21(1)n n S S n ++=+， 1121n n S S n +-∴-=+，即121n n a a n ++=+，即2123n n a a n +++=+，故22n n a a +-=，由1a a =知2124a a +=， 214242a a a ∴=-=-， 32a a =+， 462a a =-；若对任意n ∈+N ，1n n a a +<恒成立，只需使1234a a a a <<<，即42262a a a a <-<+<-，解得2433a <<，故24,33a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭故答案为：24,33⎛⎫⎪⎝⎭．【点睛】本题考查了数列的性质的判断与应用，同时考查了整体思想的应用及转化思想应用．三、解答题21．在35x y =⎧⎨=⎩时，取得最小值min 9z =-，在31x y =⎧⎨=⎩时，取得最大值max 3z =．【分析】作出可行域，作出目标函数对应的直线，平移直线可得最优解．【详解】作出可行域，如图ABC 内部（含边界），由2=030x y x -+⎧⎨-=⎩得()3A ，5，由+4=030x y x -⎧⎨-=⎩得()31B ，，由2=0+40x y x y -+⎧⎨-=⎩得()13C ，，作直线:230l x y -=，向上平移直线l ，z 减小，当l 过点()3A ，5时，z 取得最小值23359⨯-⨯=-；向下平移直线l ，z 增大，当l 过点()31B ，时，z 取得最大值23313⨯-⨯=；所以目标函数23z x y =-在35x y =⎧⎨=⎩时，取得最小值min 9z =-，在31x y =⎧⎨=⎩时，取得最大值max 3z =．【点睛】本题考查简单的线性规划问题，解题方法是作出可行域，作出线性目标函数对应的直线，平移直线求得最优解，如果目标函数不是线性的，则可根据其几何意义求解，如直线的斜率、两点间的距离等，属于中档题． 22．()()2222x y xy x y ≥++，当且仅当x y =时等号成立【分析】运用作差比较法，结合配方法进行比较大小即可. 【详解】()()()2222442224433222x y xy x y x y x y xy x xy y x y x y xy +-++--++=+--=()()()()()()()2223333222324y x x y y y x x y x y x y x xy y x y x y ⎡⎤⎛⎫=-+-=--=-++=-++⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦()20x y -≥，223024y x y ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭，()2223024y x y x y ⎡⎤⎛⎫∴-++≥⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦．()()2222x y xy x y ∴≥++，当且仅当x y =时等号成立.【点睛】本题考查了用作差比较法进行比较两个多项式的大小，考查了配方法的应用，属于中档题. 23．150︒，5324+ 【分析】2OA =，B 为半圆周上任意一点，那么OAB 是直角三角形，254cos AB α=-，三角形sin OABSα=，三角形23ABCSAB =，可得四边形OACB 面积，利用三角函数的有界性，可求得面积的最大值. 【详解】ABC 23AB ，半径1,2OB OA == 过B 作BE 垂直OA ，则sin sin BE OB αα=⋅=由余弦定理：2222cos 54cos AB OB OA OB OA αα=+-⋅⋅=- 设所求的四边形面积S ，则)154cos sin 2AOBABCS S SOA BE ααα=+=⋅⋅+-=()12sin 2sin 602ααα⎛⎫==-︒ ⎪ ⎪⎝⎭，()sin 601α∴-︒=时，max 2S =+，150α⇒=︒.24．（1）3B π=；（2 【分析】（12sin 0b A -=2sin sin 0A B A -=求解.（2）根据b =5a c +=，由余弦定理得到6ac =，代入三角形的面积公式求解.【详解】（1）∵2sin 0b A -=，∴2sin sin 0A B A -=，∵sin 0A ≠，∴sin 2B =， ∵B 为锐角，∴3B π=.（2）由余弦定理得2222cos 3=+-b a c ac π，整理得2()37a c ac +-=， ∵5a c +=， ∴6ac =，∴ABC 的面积1sin 22S ac B ==. 【点睛】方法点睛：三角形面积问题的求解方法：（1）灵活运用正、余弦定理实现边角转化；（2）合理运用三角函数公式，如同角三角函数的基本关系、两角和与差的正弦、余弦公式、二倍角公式等．25．（1）证明见解析；（2）21n nT n =+. 【分析】(1)利用+1+1n n n a S S =-，消去n S，因式分解后得到数列为等差数列，求通项公式； (2)先根据n b =求出2(1)n b n n =+，再拆项为2112()(1)1n b n n n n ==-++，然后求和．【详解】解：（1）由题意得，1n n n S S a +-=1n n a a +-=∴1=2=1=，∴数列是首项为1，公差为1的等差数列.（2）由（1n =，∴2n a n =，依题意，()211211n b n n n n ⎛⎫===- ⎪++⎝⎭， ∴11111212231n T n n ⎛⎫=-+-++- ⎪+⎝⎭122111n n n ⎛⎫=-=⎪++⎝⎭. 【点睛】(1)证明等差（比）数列的方法：定义法和等差（比）中项法； (2)数列求和的方法：公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法．26．（1）选①②③均有2nn a =，*n N ∈；（2）32342(1)(2)n n T n n +=-++．【分析】（1）选①，运用等比数列的通项公式解方程可得公比，可得所求通项公式；选②，运用构造等比数列，以及数列的递推式，可得所求通项公式；选③，将n 换为1n -，两式相减，结合等比数列的定义和通项公式，可得所求通项公式；（2）求得22211111()(2)22n n n b log a log a n n n n +===-⋅++，由数列的裂项相消求和，化简整理可得所求和．【详解】（1）选①数列{}n a 为递增的等比数列，且2312a a +=，设等比数列{}n a 的公比为q ，(0)q >，则1(1)2(1)12a q q q q +=+=，解得2(3q =-舍去），所以2nn a =；选②数列{}n a 满足122n n S S +-=，可得122(2)n n S S ++=+，数列{2}n S +是首项为124S +=，公比为2的等比数列，则122n n S ++=，即为122n n S +=-，当2n 时，1122222n n n n n n a S S +-=-=--+=，12a =也满足上式，所以2n n a =，*n N ∈；选③1121222n n n n a a a na -+++⋯+=（1），当2n 时，12121222(1)n n n n a a a n a ---++⋯+=-（2），由（2）2⨯-（1）可得122(1)n n n a na n a +=--，即12n n a a +=，又因为12a =，2124a a ==，也满足上式，故数列{}n a 为首项为2，公比为2的等比数列，所以2n n a =，*n N ∈；（2）由（Ⅰ）可得2n n a =，22211111()(2)22n n n b log a log a n n n n +===-⋅++，所以1111111111(1)232435112n T n n n n =-+-+-++-+--++ 1111323(1)221242(1)(2)n n n n n +=+--=-++++．【点睛】方法点睛：本题考查等比数列的定义、通项公式和求和公式的运用，考查数列的求和，数列求和的方法总结如下：1.公式法，利用等差数列和等比数列的求和公式进行计算即可；2.裂项相消法，通过把数列的通项公式拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求出数列的和；3.错位相减法，当数列的通项公式由一个等差数列与一个等比数列的乘积构成时使用此方法；4.倒序相加法，如果一个数列满足首末两项等距离的两项之和相等，可以使用此方法求和．。

2021-2022高中数学必修五期末试题含答案(1)

一、选择题1．已知正数x ，y 满足1431x y +=+，则x y +的最小值为（） A ．53B ．2C ．73D ．62．实数x ，y 满足约束条件40250270x y x y x y +-≤⎧⎪-+≤⎨⎪-+≥⎩，则242x y z x +-=-的最大值为（）A ．53-B ．15-C ．13D ．953．已知x ，y 满足约束条件1,2,30,x x y x y ≥⎧⎪+≤⎨⎪-≤⎩若2x y m +≥恒成立，则m 的取值范围是（）A ．3m ≥B ．3m ≤C ．72m ≤D ．73m ≤4．已知α，β满足11123αβαβ-≤+≤⎧⎨≤+≤⎩，则3αβ+的取值范围是（）A ．[1,7]B ．[5,13]-C ．[5,7]-D ．[1,13]5．在ABC ∆中，若sin (sin cos )sin 0A B B C +-=，sin cos 20B C +=，4a =，则ABC ∆的面积为（）A．2+B．4+C．6+D．8+6．已知ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若tan tan 1tan tan B C B C +=-⋅，且2bc =，则ABC 的面积为（）A．BC．4D．27．已知ABC ∆中，a =b =60B =，那么角A 等于（）A ．135B ．45C ．135或45D ．908．设ABC 的三个内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若6a =，8b =，12c =，若D 为AB 边的中点，则CD 的值为（） A ．7B ．10CD．9．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且0n a >，n *∈N ，若数列{}n a 和{}n S 都是等差数列，则下列说法不正确的是（） A ．{}n n a S +是等差数列B ．{}n n a S ⋅是等差数列C ．{}2n a 是等比数列D ．{}2n S 是等比数列10．已知数列{}n a 满足11a =，24a =，310a =，1{}n n a a +-是等比数列，则数列{}n a 的前8项和8S =（） A ．376B ．382C ．749D ．76611．设等差数列{}n a 前n 项和为n S ，等差数列{}n b 前n 项和为n T ，若11n n S n Tn -=+．则55a b =（） A ．23B ．45C ．32D ．5412．已知等差数列{}n a 的前n 和为n S ，若1239a a a ++=，636S =，则12(a = ) A ．23B ．24C ．25D ．26二、填空题13．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则满足10a =，18b =，30A =︒的三角形解的个数是______.14．如图，研究性学习小组的同学为了估测古塔CD 的高度，在塔底D 和A ，B （与塔底D 同一水平面）处进行测量，在点A ，B 处测得塔顶C 的仰角分别为45︒和30，且A ，B 两点相距127m ，150ADB ∠=︒，则古塔CD 的高度为______m ．15．已知点(3,3A ，O 是坐标原点，点(),P x y 的坐标满足303200x y x y y -≤+≥⎨⎪≥⎪⎩，设z 为OA 在OP 上的投影，则z 的取值范围是__________.16．已知a ＞0，b ＞0，则p ＝2b a﹣a 与q ＝b ﹣2a b 的大小关系是_____．17．若(0,1)x ∈时，不等式111m x x≤+-恒成立，则实数m 的最大值为________． 18．在ABC 24cos 2sin a C c B =，22b =ABC 面积的最大值是__________.19．已知数列{}n a ，11a =，12n n a a n +=+，则4a ＝_____．20．若等差数列{}n a 中，10a <，n S 为前n 项和，713S S =，则当n S 最小时n =________．三、解答题21．已知定义在R 上的函数()()2232f x x x a x =+--+（其中a R ∈）.（1）若关于x 的不等式()0f x <的解集为()2,2-，求实数a 的值；（2）若不等式()30f x x -+≥对任意2x >恒成立，求a 的取值范围. 22．如果x ，y R ∈，比较()222+x y 与()2xy x y +的大小．23．在ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，且22cos b c a C -=. （1）求A ；（2）若ABC 为锐角三角形，2c =，求b 的取值范围.24．在ABC 中，它的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且23B π=，b = （Ⅰ）若2cos cos 3A C =，求ABC 的面积；（Ⅱ）试问111a c+=能否成立？若能成立，求此时ABC 的周长；若不能成立，请说明理由.25．已知{}n a 是等差数列，{}n b 是各项都为正数的等比数列，121a b ==，再从①2410a a +=；②244b b =；③45b a =这三个条件中选择___________，___________两个作为已知.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n b 的前n 项和.26．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足()*224n n S a a n N =-∈，且1a ，2a ，31a -成等差数列.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设()()222221log log +=n n n b a a ，{}n b 的前项和为n T ，对任意*n N ∈，23n mT >恒成立，求m 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B 解析：B 【分析】化简114[(1)]()131x y x y x y +=++⨯+-+，再利用基本不等式求解. 【详解】由题得1114(1)1[(1)]31[(1)]()1331x y x y x y x y xy +=++-=++⨯-=++⨯+-+ 1141(5)1(5)123131y x x y y +=++-≥+-=++ 当且仅当1x y ==时取等. 所以x y +的最小值为2. 故选：B 【点睛】方法点睛：利用基本不等式求最值时，常用到常量代换，即把所求代数式中的某一常量换成已知中的代数式，再利用基本不等式求解.2．D解析：D 【分析】首先画出可行域，变形24222x y y z x x +-==+--，利用2yx -的几何意义求z 的最大值.【详解】24222x y yz x x +-==+--设2ym x =-，m 表示可行域内的点和()2,0D 连线的斜率， 4250x y x y +=⎧⎨-+=⎩，解得：1,3x y ==，即()1,3C ， 250270x y x y -+=⎧⎨-+=⎩ ，解得：3,1x y =-=，即()3,1B -，如图，101325BD k -==---，30312CD k -==--，所以m 的取值范围是13,5⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，即z 的取值范围是91,5⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，z 的最大值是95.故选：D 【点睛】关键点点睛：本题的关键是变形242x y z x +-=-，并理解z 的几何意义，利用数形结合分析问题.3．D解析：D 【详解】作出满足约束条件1,2,30,x x y x y ≥⎧⎪+≤⎨⎪-≤⎩的可行域如图所示：平移直线20x y +=到点1(1,)3A 时，2x y +有最小值为73∵2x y m +≥恒成立 ∴min (2)m x y ≤+，即73m ≤故选D点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一、准确无误地作出可行域；二、画标准函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三、一般情况下，目标函数的最大或最小会在可行域的端点或边界上取得.4．A解析：A 【解析】分析：该问题是已知不等关系求范围的问题，可以用待定系数法来解决．详解：设α+3β=λ（α+β）+v （α+2β） =（λ+v ）α+（λ+2v ）β．比较α、β的系数，得123v v λλ+=⎧⎨+=⎩，从而解出λ=﹣1，v=2．分别由①、②得﹣1≤﹣α﹣β≤1，2≤2α+4β≤6，两式相加，得1≤α+3β≤7．故α+3β的取值范围是[1，7]．故选A点睛：本题考查待定系数法，考查不等式的基本性质，属于基础题．5．C解析：C 【分析】在ABC ∆中，()sin sin B A C +=，化简sin (sin cos )sin 0A B B C +-=可得4A π=，又sin cos 20B C +=和34B C π+=，解得3B π=，512C π=，最后通过正弦定理求出1)c =，再根据三角形面积公式得到面积.【详解】由sin (sin cos )sin 0A B B C +-=得：sin sin sin cos sin cos cos sin sin sin cos sin 0A B A B A B A B A B A B ⋅+⋅-⋅-⋅=⋅-⋅=，∴sin cos A A =，又0()A π∈，，则4A π=，则34B C π+=，又3sin cos 2sin 22B C C π⎛⎫=-=-⎪⎝⎭，则3222B C k ππ=-+或222B C k ππ=-+，(0)B C π∈、，，则322B C π+=或22C B π-=，又34B C π+=，则取22C B π-=，得3B π=，512C π=，又4a =，根据正弦定理，sin 1)sin a Cc A ⋅==，∴1sin 62ABC S ac B ∆=⋅=+ 故选C. 【点睛】思路点睛：在三角形中，由于A B C π++=,根据诱导公式，()sin sin A B C +=，()sin sin A C B +=,()sin sin C B A +=，()cos cos A B C +=-,()cos cos A C B +=-,()cos cos C B A +=-等，以上常见结论需要非常熟练. 6．D解析：D 【分析】由两角和的正切公式可得()tan 1B C +=，即可得到34A π=，然后由面积公式可得结果. 【详解】因为tan tan 1tan tan B C B C +=-⋅，即()tan 1B C +=，在ABC 中，所以tan 1A =-，即34A π=，所以sin 2A =，所以11sin 22222ABCS bc A ==⨯⨯=. 故选:D . 【点睛】本题考查三角形的面积公式的应用，考查两角和的正切公式，属于基础题.7．B解析：B 【分析】先由正弦定理求出sin A ，进而得出角A ，再根据大角对大边，大边对大角确定角A ．【详解】由正弦定理得：sin sin a b A B =⇒=sin A B ==， ∴45A =或135，∵a b <，∴A B <，∴45A =，故选B. 【点睛】本题主要考查正弦定理的应用以及大边对大角，大角对大边的三角形边角关系的应用．8．C解析：C 【分析】由已知可求6AD BD ==，在ABC 中，由余弦定理可求cos B 的值，在BCD 中，利用余弦定理即可求得||CD 的值．【详解】解：6a =，8b =，12c =，若D 为AB 边的中点，6AD BD ∴==，∴在ABC 中，222222612829cos2261236a cb B ac +-+-===⨯⨯，∴在BCD 中，可得222229||2cos 662661436CD BD BC BD CB B =+-=+-⨯⨯⨯=．故选：C ．【点睛】本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，考查了数形结合思想和转化思想，属于基础题．9．D解析：D 【分析】由题意，判断出数列{}n a 是公差为0的等差数列，然后分别利用等差数列的定义与等比数列的定义判断每个选项即可. 【详解】因为数列{}n a 和{}n S 都是等差数列，1n n n a S S -=-，所以可判断n a 为定值，所以数列{}n a 是公差为0的等差数列，即10n n a a --=.对A ，()()1111----++-=-+-=n n n n n n n n n a S a S S S a a a ，所以数列{}n n a S +是等差数列；对B ，1121----=⋅⋅⋅⋅-=n n n n n n n n n a S a S a S a S a ，所以数列{}n n a S ⋅是等差数列；对C ，222211-==n n n n a a a a ，所以数列{}2n a 是等比数列；对D ，设n a a =，则222,==n n S na S n a ，则221222222(1)(1)-==--n n n a n n a n S S ，所以数列{}2n S 不是等比数列.故选：D 【点睛】解答本题的关键在于判断出数列{}n a 是公差为0的等差数列，然后结合等差数列的定义，等比数列的定义列式判断是否为等差或者等比数列.10．C解析：C【分析】利用累加法求出通项n a ，然后利用等比数列的求和公式和分组求和法，求解8S 即可【详解】由已知得，213a a -=，326a a -=，而{}1n n a a +-是等比数列，故2q，∴11221()()()n n n n a a a a a a ----+-+-=23632n -+++⨯1133232312n n ---⨯==⨯--，1n a a ∴-=1323n -⨯-，化简得1322n n a -=⨯-，878128123(122)2831612S a a a -=++=⨯+++-⨯=⨯--83219749=⨯-=故选：C 【点睛】关键点睛：解题关键在于利用累加法求出通项.11．B解析：B 【分析】本题首先可令9n =，得出9945S T =，然后通过等差数列的性质得出959S a =以及959T b =，代入9945S T =中，即可得出结果.【详解】因为11n n S n T n -=+，所以99914915S T -==+，因为n S 是等差数列{}n a 前n 项和，n T 是等差数列{}n b 前n 项和，所以()1995992a a S a +==，()1995992b b T b +==，则95959459S a T b ==，5545a b =，故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题考查等差数列的相关性质的应用，主要考查等差数列前n 项和公式以及等差中项的应用，若等差数列{}n a 前n 项和为n S ，则()12n n n a a S +=，当2m n k +=时，2m n k a a a +=，考查化归与转化思想，是中档题.12．A解析：A 【解析】等差数列{}n a 的前n 和为n S ，1239a a a ++=，636S =，11339656362a d a d +=⎧⎪∴⎨⨯+=⎪⎩，解得1a 1,d 2，12111223a =+⨯=，故选A.二、填空题13．2【分析】直接利用正弦定理得到答案【详解】根据正弦定理得到：故故满足条件的三角形共有个故答案为：【点睛】本题考查了利用正弦定理判断三角形的个数问题意在考查学生的应用能力解析：2 【分析】直接利用正弦定理得到答案. 【详解】根据正弦定理得到：sin sin a b A B=，故9sin 10B =，91sin sin 10B A >=>. 故满足条件的三角形共有2个. 故答案为：2. 【点睛】本题考查了利用正弦定理判断三角形的个数问题，意在考查学生的应用能力.14．12【分析】设用表示出在中由余弦定理列方程求出【详解】由题意知：平面设则在中由余弦定理得：即解得故答案为：12【点睛】此题考查了余弦定理以及特殊角的三角函数值熟练掌握余弦定理是解本题的关键属于中档题解析：12 【分析】设CD h =，用h 表示出,AD BD ，在ABD △中，由余弦定理列方程求出h ．【详解】由题意知：CD ⊥平面,45,30,150,,ABD DAC DBC ADB AB ∠=︒∠=︒∠=︒= 设CD h =，则,AD CD h BD ====，在ABD △中，由余弦定理得：2222cos AB AD BD AD BD ADB =+-⋅⋅∠即(222233h h h =++，解得12h m =故答案为：12 【点睛】此题考查了余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键，属于中档题．15．【分析】作出可行域根据投影的定义得数形结合求出的取值范围即求z 的取值范围【详解】作出可行域如图所示∴当时；当时的取值范围是故答案为：【点睛】本题考查简单的线性规划和向量的投影属于中档题解析：[]3,3-【分析】作出可行域.根据投影的定义得23cos z AOP =∠，数形结合求出AOP ∠的取值范围，即求z 的取值范围. 【详解】作出可行域，如图所示cos 23OA OP z OA AOP AOP OP⋅==⋅∠=∠.5,66AOP ππ⎡⎤∠∈⎢⎥⎣⎦，∴当6AOP π∠=时，max 2336z π==；当56AOP π∠=时，min 52336z π==-，z ∴的取值范围是[]3,3-. 故答案为：[]3,3-. 【点睛】本题考查简单的线性规划和向量的投影，属于中档题.16．【分析】由已知结合作差法进行变形后即可比较大小【详解】因为与所以时取等号所以故答案为：【点睛】本题主要考查了不等式大小的比较作差法的应用是求解问题的关键解析：p q【分析】由已知结合作差法进行变形后即可比较大小．【详解】因为0a >，0b >，2b p a a =-与2a qb b=-，所以2222222()()()()0b a b a b a b a b a b a p q a b ab ba-----+-=-==，b a =时取等号，所以p q ．故答案为：p q ．【点睛】本题主要考查了不等式大小的比较，作差法的应用是求解问题的关键．17．【分析】根据题意只需小于等于的最小值即可利用基本不等式可得的最值进而即可得到结论【详解】由则所以当且仅当即时取等号所以即的最大值为故答案为：【点睛】本题主要考查了基本不等式求最值以及恒成立问题同时考解析：4【分析】根据题意，只需m 小于等于111x x +-的最小值即可，利用基本不等式可得111x x+-的最值，进而即可得到结论. 【详解】由()0,1x ∈，则()10,1x -∈，11x x +-=，所以，()11111124111x x x x x x x x x x-⎛⎫+=++-=++≥ ⎪---⎝⎭，当且仅当11x xx x -=-，即12x =时取等号，所以，4m ≤，即m 的最大值为4.故答案为：4. 【点睛】本题主要考查了基本不等式求最值，以及恒成立问题，同时考查了转化的思想和运算求解的能力，属于基础题.18．【分析】根据已知条件利用边角互化即可求得再由余弦定理结合均值不等式即可求得的最大值则面积的最大值可解【详解】因为故可得即则又因为故可得又故可得由余弦定理可得即当且仅当时取得等号故故答案为：【点睛】本解析：)21【分析】根据已知条件，利用边角互化即可求得B ，再由余弦定理，结合均值不等式，即可求得ac 的最大值，则面积的最大值可解.【详解】4cos sin C B =，b ==，即sinA sinBcosC sinCsinB =+ 则cosBsinC sinCsinB =，又因为sin 0C ≠，故可得1tanB =，又()0,B π∈，故可得4B π=.由余弦定理可得222222(2b a c accosB a c ac =+-+≥=,即(42ac ≤，当且仅当a c =时取得等号.故()11cos 422122ABC S ac B =≤+=△.故答案为：)21【点睛】本题考查利用正余弦定理以及均值不等式求三角形面积的最值，属综合中档题.19．【分析】由已知递推关系式利用累加法和等差数列前项和公式可求出通项即可得【详解】故答案为：【点睛】本题主要考查了累加法以及等差数列前项和公式求通项公式求数列中的项属于中档题解析：13【分析】由已知递推关系式12n n a a n +-=，利用累加法和等差数列前n 项和公式，可求出{}n a 通项，即可得4a . 【详解】12n n a a n +-=，∴2121a a -=⨯ ， 3222a a -=⨯，4323a a -=⨯，12(1)n n a a n --=⨯-， ∴ []1(11)(1)2123(1)2(1)2n n n a a n n n +---=++++-=⨯=- ，∴ 21n a n n =-+ ， 2444113a ∴=-+= ，故答案为：13 【点睛】本题主要考查了累加法以及等差数列前n 项和公式求通项公式，求数列中的项，属于中档题.20．10【分析】根据条件确定中项的符号变化规律即可确定最小时对应项数【详解】单调递增因此即最小故答案为：10【点睛】本题考查等差数列性质等差数列前项和性质考查基本分析求解能力属中档题解析：10 【分析】根据条件确定{}n a 中项的符号变化规律，即可确定n S 最小时对应项数.【详解】7138910111213101103()0S S a a a a a a a a =∴+++++=∴+= 17130,a S S <=∴{}n a 单调递增，因此10110,0a a <>即10n =，n S 最小故答案为：10 【点睛】本题考查等差数列性质、等差数列前n 项和性质，考查基本分析求解能力，属中档题.三、解答题21．（1）3；（2）[2,)-+∞ 【分析】（1）先因式分解得到()()()21=---⎡⎤⎣⎦f x x x a ，再根据关于x 的不等式()0f x <的解集为()2,2-，由12322+=-=-+x x a 求解.（2）将不等式()30f x x -+≥对任意2x >恒成立，根据2x >，转化为2452x x a x -+≥--求解. 【详解】（1）()()()()223221=+--+=---⎡⎤⎣⎦f x x x a x x x a ，因为关于x 的不等式()0f x <的解集为()2,2-，所以1230+=-=x x a ，解得3a =（2）因为不等式()30f x x -+≥对任意2x >恒成立，所以()()2245-≥--+a x x x 对任意2x >恒成立，因为2x >，所以20x ->所以2452x x a x -+≥--，对任意2x >恒成立，而24512222-+⎛⎫-=--+≤- ⎪--⎝⎭x x x x x ，当且仅当 122x x -=-，即 3x =时，取等号，所以 2a ≥-，所以a 的取值范围[2,)-+∞. 【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解法以及一元二次不等式恒成立问题，基本不等式的应用，还考查了转化求解问题的能力，属于中档题.22．()()2222x y xy x y ≥++，当且仅当x y =时等号成立【分析】运用作差比较法，结合配方法进行比较大小即可. 【详解】()()()2222442224433222x y xy x y x y x y xy x xy y x y x y xy +-++--++=+--=()()()()()()()2223333222324y x x y yy x x y xyx y xxy yx y x y ⎡⎤⎛⎫=-+-=--=-++=-++⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦()20x y -≥，223024y x y ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭，()2223024y x y x y ⎡⎤⎛⎫∴-++≥⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦． ()()2222x y xy x y ∴≥++，当且仅当x y =时等号成立.【点睛】本题考查了用作差比较法进行比较两个多项式的大小，考查了配方法的应用，属于中档题. 23．（1）π3；（2）()1,4. 【分析】（1）利用正弦定理和三角恒等变换化简已知即得解；（2）先求出ππ62C <<，再利用正弦定理求出1b =+. 【详解】（1）因为22cos b c a C -=，由正弦定理得2sin sin 2sin cos B C A C -=，又()()sin sin πsin B A C A C =-+⎡=⎤⎦+⎣，所以()2sin cos cos sin sin 2sin cos A C A C C A C +-=，所以2cos sin sin 0A C C -=.因为0πC <<，所以sin 0C ≠，所以1cos 2A =. 因为()0,πA ∈，所以π3A =. （2）由（1）得π3A =，根据题意得π0,2ππ,32C C ⎧<<⎪⎪⎨⎪+>⎪⎩，解得ππ62C <<.在ABC 中，由正弦定理得sin sin c bC B=，所以π2sin sin 31sin sin C c B b C C ⎛⎫+ ⎪⎝⎭====+. 因为ππ62C <<，所以tan C ⎫∈+∞⎪⎝⎭，()0,3，所以()11,4+. 故b 的取值范围为()1,4. 【点睛】易错点睛：本题求b 的取值范围，利用的是函数的方法，学生容易把C 的范围求错，简单认为(0,)2C π∈，解不等式π0,2ππ,32C C ⎧<<⎪⎪⎨⎪+>⎪⎩得到的才是正确范围.24．（ⅠⅡ）不能成立，理由见解析. 【分析】（Ⅰ）由于3A C π+=，cos()cos cos sin sin A C A C A C +=-，得1sin sin 6A C =，结合正弦定理与面积公式可得结果；（Ⅱ）假设111a c+=能成立，得a c ac +=，由余弦定理，2222cos b a c ac B =+-可得3ac =，结合基本不等式判断即可.【详解】（Ⅰ）由23B π=，得3A C π+=，cos()cos cos sin sin A C A C A C +=-，即1cos cos sin sin 2A C A C =-. 又∵2cos cos 3A C =，∴1sin sin 6A C =.∵sin sin a cA C===∴a A =，c C =.∴1sin 4sin sin sin 2ABC S A C B A B C =⋅⋅⋅=△146=⨯=.（Ⅱ）假设111a c+=能成立，∴a c ac +=. 由余弦定理，2222cos b a c ac B =+-，∴226a c ac =++.∴2()6a c ac +-=，∴2()60ac ac --=，∴3ac =或-2（舍），此时3a c ac +==.不满足a c +≥，∴111a c+=不成立. 【点睛】解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”. 25．答案见解析【分析】（1）根据题设条件可得关于基本量的方程组，求解后可得{}n a 的通项公式. （2）利用公式法可求数列{}n b 的前n 项和. 【详解】解：选择条件①和条件②（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，∴12411,2410.a a a a d =⎧⎨+=+=⎩解得：11a =，2d =.∴()11221n a n n =+-⨯=-，*N n ∈. （2）设等比数列{}n b 的公比为q ，0q >，∴21242411, 4.b b q b b b q ==⎧⎨==⎩解得112b =，2q .设数列{}n b 的前n 项和为n S ，∴()1112122122nn n S --==--. 选择条件①和条件③：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，∴12411,2410.a a a a d =⎧⎨+=+=⎩解得：11a =，2d =.∴()11221n a n n =+-⨯=-. （2）459b a ==，设等比数列{}n b 的公比为q ，0q >.∴213411,9.b b q b b q ==⎧⎨==⎩，解得113b =，3q =. 设数列{}n b 的前n 项和为n S ，∴()1113313136n n n S ---==-. 选择条件②和条件③：（1）设等比数列{}n b 的公比为q ，0q >，∴21242411, 4.b b q b b b q ==⎧⎨==⎩，解得112b =，2q ，5431242a b =⨯==. 设等差数列{}n a 的公差为d ，∴5144a a d =+=，又11a =，故34d =. ∴()33111444n a n n =+-⨯=+. （2）设数列{}n b 的前n 项和为n S ，由（1）可知()1112122122n n n S --==--. 【点睛】方法点睛：等差数列或等比数列的处理有两类基本方法：（1）利用基本量即把数学问题转化为关于基本量的方程或方程组，再运用基本量解决与数列相关的问题；（2）利用数列的性质求解即通过观察下标的特征和数列和式的特征选择合适的数列性质处理数学问题． 26．（1）12n n a ；（2）233m <. 【分析】（1）根据题设中的递推关系有12n n a a -=，算出1a 后可求{}n a 的通项. （2）利用裂项相消法可求n T ，求出n T 的最小值后可得m 的取值范围. 【详解】（1）因为()*224n n S a a n N =-∈，故11224n n S a a --=-，所以1244n n n a a a -=-即12n n a a -=，其中2n ≥，所以322a a =且212a a =，因为1a ，2a ，31a -成等差数列，故21321a a a =+-即111441a a a =+-，故11a =且10a ≠，故0n a ≠，故12nn a a -=即{}n a 为等比数列且公比为2，故12n na .（2）()()()()2222211111log log 212122121n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪-+-+⎝⎭,所以1111111111213352121221n T n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，因为0n b >，故{}n T 为增数列，故()1min 13n T T ==，故1323m>即233m <. 【点睛】方法点睛：数列求和关键看通项的结构形式，如果通项是等差数列与等比数列的和，则用分组求和法；如果通项是等差数列与等比数列的乘积，则用错位相减法；如果通项可以拆成一个数列连续两项的差，那么用裂项相消法；如果通项的符号有规律的出现，则用并项求和法.。