复变函数期末复习提要

合集下载

复变函数与积分变换复习提纲知识

复变函数复习提纲(一)复数的概念1.复数的概念：z x iy =+，,x y 是实数, ()()Re ,Im x z y z ==.21i =-. 注：两个复数不能比较大小.2.复数的表示 1）模：z =2）幅角：在0z ≠时，矢量与x 轴正向的夹角，记为()Arg z （多值函数）；主值()arg z 是位于(,]ππ-中的幅角。

3）()arg z 与arctanyx之间的关系如下：当0,x > arg arctan yz x=；当0,arg arctan 0,0,arg arctan yy z xx y y z xππ⎧≥=+⎪⎪<⎨⎪<=-⎪⎩； 4）三角表示：()cos sin z z i θθ=+，其中arg z θ=；注：中间一定是“+”号。

5）指数表示：i z z e θ=，其中arg z θ=。

(二) 复数的运算1.加减法：若111222,z x iy z x iy =+=+，则()()121212z z x x i y y ±=±+±2.乘除法：1）若111222,z x iy z x iy =+=+，则()()1212122112z z x x y y i x y x y =-++；()()()()112211112121221222222222222222x iy x iy z x iy x x y y y x y x i z x iy x iy x iy x y x y +-++-===+++-++。

2）若121122,i i z z e z z e θθ==, 则()121212i z z z z e θθ+=；()121122i z z e z z θθ-= 3.乘幂与方根 1）若(cos sin )i z z i z e θθθ=+=，则(cos sin )nnn in z z n i n z e θθθ=+=。

复变函数期末复习摘要

第一章复数与复变函数1，复数的模、辐角及主值辐角：ArgZ=argZ+2k π k=0、±1、±2…主值： x y arctan当x>0,R y ∈（第一、四象限） 2π 当x=0,y>0 （正虚部） argz= π+xy arctan 当x<0，y>0 （第二象限） π-xy arctan 当x<0，y<0（第三象限） 2π- 当x=0，y<0时 2，复数方程所表示的曲线①1052=+++Z Z 的距离到表示11Z Z Z Z -解：由题知，动点到定点的距离为10，所以，该方程表示的曲线为椭圆②11+=-Z Z解：由题知，方程所表示的曲线为Y 轴3,21Z Z = −→−否 1Z Z =↓21Z Z = 4，复变函数：i y x v y x u z f ),(),()(+=分别连续、连续),(),()(y x v y x u z f ⇔5，复平面三点共线：3121z z z z --实数= 第二章解析函数点的导数在0)(z z f y =zz f z z f z f z ∆-∆+=→∆)()(lim )(0000' 点的某邻域内可微在点解析在00)()(z z f z z f ⇔ 1，点解析在可微点连续在否否00)()()(z z f z f z z f −−←−−←−→−−→− 2，可微在点满足柯西黎曼方程在否00)()(z z f z z f −→−−−←3，Rez （实部）、Imz （虚部）、Z 、Z 不解析4，可能不解析解析，)()(z f z f5，在区域D 内，内解析在的共轭调和函数，则是D i y x v y x u z f y x u y x v ),(),()(),(),(+=6，i e e z iz iz 2sin --=，2cos iziz e e z --=是周期函数，π2=T z e 为周期函数，i T π2= 7，z e ∞→z lim 、z z sin lim ∞→、z z cos lim ∞→ 不存在 8，z sin 、cosz 在复平面上（或Z 平面上）无界 ie e i e e zi i i i i 22sin 22)2(2-=-=--∙∙ 9，)2(arg ln ln πk z i z z W ++== k=0、±1、±2… eg:πππππ)12()2(1ln )2(1ln )1ln(+=++=++-=-k i k k i10，会解一些方程 eg:01=-z e 求z解：由题知1=z e 两边同时取对数得i k z π21ln ==11，判断函数的可微性与解析性①，y ix xy z f 22)(+= ②，22)(iy x z f +=解：2),(xy y x u = y x y x v 2),(= 解：2),(x y x u = 2),(y y x v = 2y u x =xy u y 2= xy v x 2= 2x v y = x u x 2= 0=y u 0=x v y v y 2= 根据C-R 方程，y x v u = x y v u -= 根据C-R 方程，y x v u = x y v u -=即22y x = xy xy 22-= ∴0=x ，0=y 即y x 22= 00= ∴y x = ∴)(z f 仅在原点可微，无解析点 ∴)(z f 在直线0=-y x 上可微不解析12，设5z W =，确定在从原点0=z 起与正实轴割破了的Z 平面上，并且1)1(-=-W ，试求)(i W -的值解：设θi re z =，则5255πk i i e r re W +==θθ k=0、±1、±2…C z ∈，π2arg 0≤≤z 当1-=z 时，1=r ，π=θ由211)1(525=⇒-==-+k e W k i ππ当i z -=时，1=r ，π23=θ i k i e e i W 10522351)(πππ-==-+ 教材P93 第22题第三章复积分1，计算积分dz ix y x ⎰+-c2)(，积分路径C 是0到i +1的直线段解：找出C 的方程：C 的参数方程t i t z )1()(+= 10≤≤t故⎰⎰⎰+=++-=+-102102c 2)1()1()()(dt t i i dt i it t t dz ix y x )1(313)1(102i t i +-=+-= eg:①i i z zdz ii 2232)2(2220220+=+==++⎰ ②i z zdz i isin sin cos 00==⎰2，柯西积分定理设)(z f 在单连通区域D 内解析，C 为D 内任一条周线，则⎰=cdz z f 0)( eg:①0sin 1=⎰=z zdz ②012722=+-⎰=dz z z e z z3，柯西积分公式)(2)(a if dz a z z f c π=-⎰ a 为区域C 内的一点高阶导数公式⎰∙=-+c n n i n z f dz a z z f π2!)()()()(1 eg:①⎰=++1252z z z dz解：i z z z z 2104)1(5222±-=⇒=++=++ ∴5=z >1 在1=z 外∴ ⎰=++1252z z z dz 0= ②0sin 2sin 2==⎰=θπdz zz z ③0)(cos !22)2(cos 2''23==-==⎰πππz z z i dz z z④i z z I z z z dz z z z z z z 49219)1)(9(122222222ππ=-=--=--===⎰⎰ ⑤2sin 212sin 212cos 00i z dz z ii ==⎰ ⑥320)3()2(2020232=+=+⎰z z dz z z 4，调和函数证明：22),(y x y x u -=为z 平面上的调和函数，并求以),(y x u 为实部的解析函数)(z f ，结合条件0)0(=f解：x u x 2=，y u y 2-=，2=xx u ，2-=yy u0=+yy xx u u ),(y x u ∴为Z 平面上的调和函数i y x v y x u z f ),(),()(+= y v x u ∂∂=∂∂ xv y u ∂∂-=∂∂ ⎰⎰+=+=+=)(2)(2)(),(y xy y ydx y dx v y x v x ϕϕϕ0)(2)(2''=⇒==+=y x u y x v x y ϕϕ 即c y =)('ϕ c xy y x v +=∴2),()2()(22c xy i y x z f ++-=∴ 令0=y 则ic x x f +=2)( ic z z f +=∴2)(由00)0(=⇒=c f 2)(z z f =∴ 教材P143 第16题①②第四章解析函数的幂级数表示法1，收敛半径①，∑∞=13n nn z 的收敛半径 R=131n C n = 1lim 1==+∞→nn n C C L 11==∴L R ②，∑∞=0n nnz 的收敛半径是 R=1③，∑∞=-02)!2()1(n nn n z 的和函数的收敛半径 R=+∞0)!2()1())!1(2()1(lim 1=-+-=+∞→n n L nn n +∞==∴LR 1 常用级数 ① +++=!212z z e z +∞<z ②∑∞=-=02)!2()1(cos n nn n z z +∞<z ③∑∞=++-=012)!12()1(sin n n n n z z+∞<z ④ ++-=+32)1ln(22z z z z 1<z。

复变函数复习提纲

复变函数复习提纲一、复数及复平面上的运算1.复数的定义和基本性质2.复数的表示形式：直角坐标形式和极坐标形式3.复数的加法和减法4.复数的乘法和除法5.复数的共轭、模和幅角二、复变函数的定义1.复变函数的定义和常见符号表示2.复变函数的实部和虚部3.复变函数的可导性和全纯性4.复变函数的解析函数和全纯函数5.复变函数与实变函数的区别三、复变函数的基本运算1.复变函数的和、差、积、商的性质2.复变函数的乘方和开方3.复变函数的复合函数和反函数4.复变函数的三角、指数和对数函数5.基本初等函数的推广四、复变函数的级数展开1.复变函数的幂级数展开2.零点的意义和展开中的唯一性3.幂级数的敛散性和收敛半径4.幂级数的和函数和导函数5.复变函数的泰勒级数展开和洛朗级数展开五、复变函数的积分1.复变函数的定积分和不定积分2.瑕积分和主值积分的定义3.复变函数的原函数和柯西-黎曼积分定理4.瑕积分和主值积分的计算方法5.狄利克雷定理和焦函数的应用六、解析函数的应用1.几何转化和连续映射2.物理应用：流体流动和电场问题3.工程应用：电阻网络和热传导问题4.统计应用：随机过程和随机变量5.数学应用：多复变数函数和复变函数的边界性质七、复变函数的解析延拓1.裂点和分岔点的概念和性质2.加点后的解析延拓和解析延拓的唯一性3.互补法和不动点法的应用4.点列内闭包性质和整函数性质的判别5.亚纯函数和亚纯函数的零点性质八、复变函数的几何应用1.复变函数的映射和对应关系2.线性变换和保持角度的特殊变换3.保形映射和自共轭函数的性质4.圆盘映射和单位圆盘函数5.黎曼映射和分式线性变换的应用九、复变函数的调和函数1.调和方程和调和函数的概念2.调和函数的基本性质和解析条件3.核函数和调和函数的唯一性4.调和函数的积分表示和傅里叶展开5.调和函数的应用：电势和温度分布以上是复变函数的复习提纲，包括了复数及复平面上的运算、复变函数的定义、复变函数的基本运算、复变函数的级数展开、复变函数的积分、解析函数的应用、复变函数的解析延拓、复变函数的几何应用和复变函数的调和函数等内容。

复变函数期末复习提要

2
2π i lim[( z z1 )
z z1
2i ] ( z z1 )( z z 2 )

残数在计算某些实积分上的应用
2π a2 1
（7.10）
n P( x) P( z ) d x 2 π i Res( , zj) Q ( x ) Q( z ) j 1
Res(
ei z ei z , a i ) lim ( z a i ) z a i ( z a i)( z a i) z2 a2 e a 2a i
最后，由（7.11）式得
ei x ei z d x 2 π i Res ( , a i) x 2 a 2 z2 a2 π a ae

z
1 4
5z 2 z 1 dz z
(
5z 2 ) z 1 z 0
2
注意：这里的积分路径的半径并非只能取件．解法 2 因点 z 0 为 f ( z ) 的孤立奇点，所以，在 N * (0 , ) : 0 z
1 ，只须使半径小于 1 即可满足定义 7.1 的条 4 1 3 1 内有 3
x2 dx ．例 4 计算积分 x 4 x 2 1

解
经验证，此积分可用（7.10）式计算．
首先，求出
P( z ) z2 4 在上半平面的全部奇点．令 Q( z ) z z 2 1
z4 z2 1 0
即
z 4 z 2 1 ( z 4 2 z 2 1) z 2 ( z 2 1) 2 z 2 ( z 2 z 1)( z 2 z 1)

4
Res( f , a )

电大《复变函数》期末复习资料

《复变函数》复习资料第1章：复数与复变函数复数是用有序数对),(y x 定义的，其中y x ,为实数。

要注意，因为复数是“有序数对”，所以一般地讲，),(),(x y y x ≠。

正如所有实数构成的集合用R 表示，所有复数构成的集合用C 表示，即},:),({R b a b a z C ∈==复数的四则运算定义为),(),(),(d b c a d c b a ++=+ ),(),(),(d b c a d c b a --=- ),(),(),(ad bc bd ac d c b a +-=⋅ 0,),(),(),(222222≠++-++=÷d c dc adbc d c bd ac d c b a 复数的四则运算满足以下运算律 ①加法交换律 1221z z z z +=+②加法结合律 321321)()(z z z z z z ++=++ ③乘法交换律 1221z z z z ⋅=⋅④乘法结合律 321321)()(z z z z z z ⋅⋅=⋅⋅⑤乘法对加法的分配律 3121321)(z z z z z z z ⋅+⋅=+⋅),(y x -称为),(y x z =的共轭复数，记为z 。

22y x +称为),(y x z =的模，记为z 。

共轭复数满足z zz z zz z z z Im i2,Re 2,2=-=+=⋅ 2121z z z z ±=± 2121z z z z ⋅=⋅ 0,)(22121≠=z z zz z 例1 设i 3,i 5221+=-=z z ，求21z z ．分析：直接利用运算法则也可以，但那样比较繁琐，可以利用共轭复数的运算结果。

解为求21z z ，在分子分母同乘2z ，再利用1i 2-=，得 i 101710110i 171)i 3)(i 52(2222121-=-=--=⋅⋅=zz z z z z z例2 求复数)i 21)(i 34()i 21)(i 34(+--+=A 的模．解令i 21,i 3421-=+=z z ，有2121z z z z A ⋅⋅=由共轭复数的运算结果得1212121212121=⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅=z z z z z z z z z z z z A复数的三角式 )s i n i (c o s θθ+=r z （其中z r =）复数的三角式 θi e r z = 由此得如下关系式)(i 21i 2i 1212121e e e θθθθ+⋅=⋅=⋅r r r r z z0,e e e 2)(i 21i 2i 1212121≠==-z r r r r z z θθθθ θn n n r z i e = 2121z z z z ⋅=⋅0,22121≠=z z z z z )A r g ()A r g ()A r g (2121z z z z +=⋅ )A r g ()A r g ()A r g (2121z z z z-=对于复数θi e r z =，它的n 次方根为)1,,1,0(e π2i-==+n k r z nk nn θ。

复变函数与积分变换期末考试复习知识点

复习要点一题型1、填空题（每题3分，共18分）2、单项选择题（每题3分，共21分）3、计算题（每题6分，共36分）4、解答题（4小题，共25分）二知识点第一章复数与复变函数1、会求复数的各种表示式（一般式、三角式、指数式）。

一般式：z=x+yi 三角式：z=r(cosθ+isinθ) 指数式：z=re iθ2、会求复数（各种表示式）的模、辐角、辐角主值。

3、掌握复数的四则运算、共轭运算、乘幂运算、方根运算。

4、理解区域、有界域、无界域、单连通域与多连通域等概念。

5、会用复变数的方程来表示常用曲线及用不等式表示区域。

6、理解复变函数的概念。

7、了解复变函数的极限与连续性的概念，会求常见的复变函数的极限。

例：1.1；1.2习题一：1.2（2）（3）；1.3；1.5第二章解析函数1、理解可导与解析的联系与区别（在一点；在一个区域）。

对于点：解析→可导→连续对于区域：解析↔可导2、会判别常见函数的解析性，会求常见函数的奇点。

3、了解柯西—黎曼方程。

4、掌握各类初等函数（指数函数、对数函数、幂函数、三角函数）的定义、性质。

例：1.4；2.1；3.1；3.2习题二：2.3（1）（2）（3）；2.4；2.9（1）（2）（3）；2.10；2.12（1）（3）第三章复变函数的积分1、熟悉复积分的概念及其基本性质。

2、了解复积分计算的一般方法。

3、会求常见的各类积分（包括不闭路径、闭路径）。

本章的主要方法如下，但要注意适用的积分形式。

（1）牛顿—莱布尼茨公式。

（2）柯西积分定理。

（3）柯西积分公式。

（4）高阶导数公式。

（5）复合闭路定理。

注意：上述方法中的（3）（4）（5）可与第五章中的留数定理的应用结合起来复习。

例：1.1；2.1；2.2；3.1；4.1习题三：3.1（1）；3.3；3.4；3.5；3.6；3.7第四章级数1、理解复数项级数的相关概念（收敛、发散、绝对收敛、条件收敛）。

2、会判常见复数项级数的敛散性，包括判绝对收敛和条件收敛。

复变函数期末考试复习重点

复变函数期末考试复习重点(一)复数的概念1.复数的概念：z x iy =+，,x y 是实数, ()()Re ,Im x z y z ==.21i =-. 两个复数相等当且仅当它们的实部和虚部分别相等. 注：一般两个复数不比较大小，但其模（为实数）有大小.2.复数的表示1）模：z =2）幅角：在0z ≠时，矢量与x 轴正向的夹角，记为()Arg z （多值函数）；主值()arg z 是位于(,]ππ-中的幅角。

3）()arg z 与arctanyx之间的关系如下：当0,x > arg arctan yz x=；（当z 落于一、四象限时，不变。

）当0,x = 0,arg 20,arg 2y z y z ππ⎧>=+⎪⎪⎨⎪<=-⎪⎩（z 为纯虚数，落于虚轴）当0,arg arctan (0,0,arg arctan (yy z xx yy z xππ⎧≥=+⎪⎪<⎨⎪<=-⎪⎩第二象限)第四象限)；4）三角表示：()cos sin z z i θθ=+，其中arg z θ=；注：中间一定是“+”号。

5）指数表示：i z z e θ=，其中arg z θ=。

3.共轭复数:实部相同而虚部绝对值相等符号相反的两个复数称为共轭复数. z x iy =- 共轭复数的性质：教材P3(二) 复数的运算 1.加减法：若111222,z x iy z x iy =+=+，则()()121212z z x x i y y ±=±+± 2.乘除法：1）若111222,z x iy z x iy =+=+，则()()1212122112z z x x y y i x y x y =-++；()()()()1122111121212122122222222222222222x iy x iy z x iy z z x x y y y x y x i z x iy z z x iy x iy x y x y +-++-====+++-++。

复变函数复习考试提纲

• 复数的三角（指数）表示以及复数的几何意义
z = x + iy = r (cos θ + i sin θ) = reiθ θ = Argz = arg z + 2kπ, k = 0, ±1, ±2, . . .
y
y
z
r
.θ O
xx
• 复数辐角主值的取值范围：−π < θ0 ≤ π. 辐角主值的计算方法（采用在复平面作图的办法确定辐角的取值）。
复变函数复习考试提纲
I 知识要点
第一章复数及平面区域
• 必备知识：复数的定义，实部、虚部。共轭复数，复平面，复数对应的向量及其模，复数的四则运算。
• 欧拉公式由此可得以及
eiθ = cos θ + i sin θ
cos θ
=
eiθ
+ e−iθ ,
sin θ = eiθ − e−iθ
2
2i
ei2kπ ≡ 1, k ∈ Z
• 留数基本定理设 D 是由复围线 L 围成的区域，函数 f (z) 在 D¯ 上连续，f (z) 在 D
内除去有限个孤立奇点 z1, z2, . . . , zn 外处处解析，则
∮
∑n
f (z)dz = 2πi Res(f, zk)
L
k=1
如果积分路径内各孤立奇点的留数都能求出，则立即可求出 f (z) 的路径积分。
2
2i
第四章复变函数的积分
• 由于复数是二元变量，关于复变函数的积分就成为平面曲线的曲线积分。
∫
∫
∫
∫
f (z)dz = [u(x, y) + iv(x, y)] d (x + iy) = [udx − vdy] + i [vdx + udy]

复变函数复习要点

复变函数复习要点第一章复习要点1、熟悉复数的三种表示，熟练掌握复数基本运算（加、减、乘除、乘方、开方以及共轭运算）并熟悉其它们的几何意义；2、熟练掌握直线和圆周的各种形式的复数方程；3、熟练掌握用复数关系来表示平面点集，能画出复数关系表示的平面点集的草图，并能判断一个给定的平面点集是否区域，如果是区域还要能判定此区域是单连通区域还是多连通区域；4、熟悉复变函数的三种表示（代数表示、极坐标表示、映射表示），熟练掌握复变函数极限和连续的定义以及复变函数极限、连续与其实部、虚部二元函数极限和连续的关系。

5、能准确地写出并证明复变函数极限和连续的基本性质（如：局部不等性、局部有界性等）；掌握有界闭集上连续函数的整体性质（有界性、模函数的最值性、一致连续性）。

第二章复习要点1、熟练掌握复变函数导数和微分的定义，复变函数导数的运算法则；2、熟练掌握解析函数的定义（包括区域内解析、一点解析和闭区域上解析），熟悉复变函数在一点可导和解析的关系，以及复变函数在区域内解析（在闭区域上解析）与在点的解析的关系；熟练掌握解析函数的运算法则（包括四则运算、复合运算、逆运算）；3、熟练掌握复变函数可导和解析的充要条件以及利用实部、虚部两个二元函数的偏导数计算复变函数导数的计算公式，能利用充要条件准确判断给定的具体复变函数在平面上的可到性和解析性；熟悉复变函数可导和解析的柯西—黎曼条件，能熟练地运用柯西-黎曼条件解决解析函数为常函数的各种条件；4、熟练掌握解析函数与其实部、虚部两个二元函数调和的关系，并能利用解析函数的实部或虚部，求出虚部或实部，从而求出解析函数；5、熟悉常用的初等单值解析函数（如：常函数，多项式函数、有理函数，指数函数，三角函数，双曲函数）；6、熟悉讨论多值函数的基本方法（找支点，作支割线，将多值函数的各分支函数单值化），并熟练掌握幅角函数、对数函数、根式函数和一般幂函数的单值化方法；7、熟悉幅角函数、对数函数、根式函数、一般幂函数的一般计算（即直接利用这些函数的结构表示来计算）；8、熟练幅角连续改变量的计算公式；熟练掌握幅角函数、对数函数、根式函数、一般幂函数的分支函数的已知初值求终值的公式，并能用这些公式正确计算相应的分支函数的函数值；P z是多项式）的单值化方法（包括支点的确定方法，支割线的作法），9、()以及它的分支函数的已知初值求终值的公式。

复变函数复习提纲

因此，
( z − z0 ) n f ( z ) = c− m ( z − z0 ) n − m + c− m+1 ( z − z0 ) n − m+1 + ⋅⋅⋅ + c−1 ( z − z0 ) n −1 + c0 ( z − z0 ) n + c1 ( z − z0 )n +1 + ⋅⋅⋅
d n −1 1 2 ⎡ ( z − z0 ) n f ( z ) ⎤ ⎦ = (n − 1)!c−1 + n !c0 ( z − z0 ) + (n + 1)n(n − 1) ⋅⋅⋅ 3 ⋅ c1 ( z − z0 ) + ⋅⋅⋅ dz n −1 ⎣
(2) 1 < z < 2 (3) 2 < z < +∞
(1) z < 1
10.将 f ( z ) =
1 在点 z = 1 和 z = 2 的去心邻域内展成洛朗级数。 ( z − 1)( z − 2)
第五章备注：以下几个简单的结论在判断函数零点的级数和极点的级数时应该很有用。请牢记。 (1) 设 f ( z ) = g ( z )ϕ ( z ) ， g ( z ), ϕ ( z ) 在 z0 解析且 ϕ ( z0 ) ≠ 0 。则 z0 为 f ( z ) 的 m 级零点当且仅当 z0 为 g ( z ) 的 m 级零点。这个结论说明函数之积的零点，只要看会使之为零的那一部分即可。证明：充分性若 z0 为 g ( z ) 的 m 级零点，则 g ( z0 ) = g ′( z0 ) = ⋅⋅⋅ = g ( m −1) ( z0 ) = 0 ， g ( m ) ( z0 ) ≠ 0 。当n < m ，

复变函数复习提纲 (1)

1 4 1
1
1
i
2 k
n
，，
i
k 0,1,
, n 1
如： z e
1 4

i 2 k
i
2 k
4
k 0,1, 2,3
2 k
2
二次根式：

z ei e
ln z
i 2 k
e
k 0,1
m z zk

1 d m1 m 计算： Re sf zk lim z zk f z z zk m 1 ! dz m 1
（3）本性奇点处的留数：判断： f z 的洛朗级数展开中有无穷多负幂项，则 z =zk 为本性奇点。计算：写出 f z 的洛朗级数，其 Resf zk a1 二、留数定理的应用 1、类型一：
2 2
2u 2u x 2 y 2 0 2 2 v v 0 2 2 x y
u x, y 为调和函数 v x, y 为调和函数
5、给定实部（或虚部），求解析函数 f z 。最常用的方法：（不定积分法，又叫偏微分法），大致步骤：若已知实部 u u x, y ，利用 C R 条件，得
z 2 k 1 2k 1! z 2k 2k !
z z
cos z 1
k 0
k
收敛半径：由展开中心到最近奇点间的距离决定。二、洛朗级数 1、洛朗级数：若 f z 在环形区域R2 z b R1内解析,
4
复变函数复习提纲
u 1 v 极坐标系下： 1 u v

复变函数积分变换复习提纲

复变函数积分变换复习提纲
一、积分变换的定义
1.复变函数积分变换的概念
2.不同积分变换的定义与区别（如拉普拉斯变换、傅立叶变换等）
二、积分变换的性质
1.线性性质：积分变换的线性性质以及相关的证明方法
2.逆变换：如何通过逆变换将变换后的函数还原为原函数
3.平移性质：积分变换中的平移性质以及具体计算方法
三、积分变换的计算方法
1.常用积分变换的计算：如拉普拉斯变换的计算步骤和方法
2.特殊函数的积分变换：如指数函数、正弦、余弦函数等
3.部分分数展开法：利用部分分数展开将复杂的函数进行积分变换
四、积分变换的性质应用
1.微分方程的解析解求解：利用积分变换可以将微分方程转化为代数方程进行求解
2.求极限：通过积分变换可以简化复杂函数的极限计算
3.求解积分：利用积分变换可以求解一些特定的积分问题
五、积分变换的应用举例
1.电路分析中的应用
2.信号与系统中的应用
3.滤波器设计中的应用
六、积分变换的常见问题与解决方法
1.变换域的收敛性与逆变换的存在性问题
2.利用积分变换求解非初值问题时需要注意的问题
3.实际问题的离散化处理：如何将连续问题转化为离散问题进行求解
七、积分变换的进一步研究与拓展
1.多变量复函数的积分变换
2.复杂函数的积分变换
3.积分变换在物理学、工程学等领域的应用
以上为复变函数积分变换的复习提纲，可以根据实际情况进行修改和补充。

希望对你的复习有所帮助！。

复变函数复习资料

复变函数期末复习一知识点1第一章主要掌握复数的四则运算，复数的代数形式、三角形式、指数形式及其运算。

2 第二章主要掌握函数的解析性，会判断函数是否是解析函数，会求解析函数的导数。

3 第三章掌握复变函数积分的计算，掌握柯西积分公式，掌握解析函数与调和级数的关系。

4 第四章掌握复数项级数的有关性质，会把一个函数展开成泰勒级数。

5 第五章掌握将函数展开为洛朗级数，掌握孤立奇点的分类及判断。

6 第六章掌握留数的计算，掌握用留数计算积分，掌握利用留数计算三类实积分。

二例题选讲1求i3的值。

知识点：利用定义bLna be a=。

解i 3=3iLn e=)23(ln πk i i e+=3ln 2i k e+-π=)3ln sin 3ln (cos 2i e k +-π。

2设1||=z ，试证：1_____=++baz a z b 。

知识点：复数，复数的模，共轭复数之间的关系。

2__2__||||z z z z ==证明：由1||=z 得，1__=z z ，baz zz a z b b az a z b ++=++____________=baz zz a b ++)(_______=1)()(_______________=++=++baz zaz b b az z z a b3求2sin Arc 的值。

知识点：初等函数的定义，函数值的计算，)1(sin 2z iz iLn z Arc -+-=，)1(cos 2z i z iLn z Arc -+-=解：)32(2s i n i i i L n A r c ±-= =iiLn )32(±-=i k i i ππ22)32[ln(++±-=)32ln(22±--i k ππ，,...2,1,0±±=k4 证明)|||(|2||||2221221221z z z z z z +=-++。

复变函数复习提纲(课堂)

复变函数复习提纲第一章1、复数的几何表示，几种表示方法之间的转换。

会计算。

尤其注意复数辐角、辐角主值、反正切函数主值之间的关系。

2、复数的乘幂与方根。

会计算。

一些方程的求解。

3、区域的概念。

会判断，会表示。

规则形状区域，多连域，单连域；规则形状曲线。

4、映射的概念。

会判断，会计算。

5、复变函数极限和连续性的概念。

会计算。

运算规则，有关定理。

第二章1、复变函数导数的概念。

会计算。

2、复变函数解析的概念。

会计算。

解析与可导的关系。

判断解析与可导的充要条件。

复变函数复习重点

复变函数复习重点(一)复数的概念1.复数的概念：z x iy =+，,x y 是实数, ()()Re ,Im x z y z ==.21i =-. 注：一般两个复数不比较大小，但其模（为实数）有大小.2.复数的表示1）模：z =2）幅角：在0z ≠时，矢量与x 轴正向的夹角，记为()Arg z （多值函数）；主值()arg z 是位于(,]ππ-中的幅角。

3）()arg z 与arctan y x之间的关系如下：当0,x > arg arctan y z x=；当0,arg arctan 0,0,arg arctan yy z x x y y z xππ⎧≥=+⎪⎪<⎨⎪<=-⎪⎩； 4）三角表示：()cos sin z z i θθ=+，其中arg z θ=；注：中间一定是“+” 5）指数表示：i z z e θ=，其中arg z θ=。

(二) 复数的运算1.加减法：若111222,z x iy z x iy =+=+，则()()121212z z x x i y y ±=±+±2.乘除法：1）若111222,z x iy z x iy =+=+，则()()1212122112z z x x y y i x y x y =-++；()()()()112211112121221222222222222222x i y x i y z x i y x x y y y x y x i z x i y x i y x i y x y x y +-++-===+++-++。

2）若121122,i i z z e z z e θθ==, 则()121212i z z z z e θθ+=；()121122i z z e z z θθ-=3.乘幂与方根1）若(cos sin )i z z i z e θθθ=+=，则(cos sin )n nn in z z n i n z e θθθ=+=。

复变函数复习要点

轴
轴轴轴
4
2.复变函数——映射
w f ( z ) u( x , y ) iv ( x , y )
u u( x , y ) v v ( x , y )
例3 求下列方程所表示的曲线: (1) z i 2; i z ) 4.
复变函数与积分变换复习概要
1.复数的运算
加减乘除共轭乘幂方根
zz z
2
复数的三角表示式： 1）模和幅角的定义 z x iy 习惯上把表示式称为复数的直角坐标表三示式或代数形式，利用直角坐标系和极坐标之间的角 x r cos y r sin 表联系则示
0
7.由调和函数确定解析函数
已知一个调和函数 u (v), 求调和函数 v( u), 使得u+vi是一个解析函数. 偏积分法凑微分法曲线积分法
dv v x dx v y dy u y dx ux dy .
不定积分法
f ( z ) ux iu y U ( z ) f ( z ) U ( z )dz ,
10
如果将 Lnz ln z iArgz 中 Argz 取主值arg z ,
那末 Lnz 为一单值函数，记为 ln z，称为 Lnz 的主值.
ln z ln z i arg z .
其余各值为 Lnz ln z 2ki ( k 1,2,),
对于每一个固定的k , 上式确定一个单值函数 , 称为 Lnz 的一个分支.
C2 Cn
常用参数方程形式
z (1 t )z1 tz2
0 t 1
(b)圆周
z z0 re
i
0 2

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

复变函数期末复习提要
中央电大数理教研室
第4章：解析函数的积分理论
⒈理解积分基本定理、积分基本公式、高阶导数公式；
⒉了解刘维尔定理、最大模原理，掌握证明它们的方法；
⒊掌握利用积分基本定理和莫瑞拉定理判别解析函数的方法；
⒋熟练掌握利用积分基本定理、积分基本公式和高阶导数公式计算函数沿闭曲线的积分。

积分基本定理
定理4.2 设G 为复平面上的单连通区域，c 为G 内的任意一条围线
（图4-3），若)(z f 在G 内解析，则
0d )(=⎰c
z z f
定理4.4 设有围线n c c c c ,,,,210 ，其中n c c c ,,,21 中的每一条均在其余各条的外部，而它们又全都在0c 的内部；又设G 为由0c 的内部与n c c c ,,,21 的外部相交的部分组成的复连通区域（图4-4），若)(z f 在G 内解析，且在闭区域G 上连续，则
0d )(10=⎰--+++n c c c z z f （4.6）积分基本公式
定理4.5 设G 是以围线c 为边界的单连通区域（图4-6），若)(z f 在G 内解析，且在G 上连续，则
G z z z z z f z f c ∈-=
⎰000d )(i π21)( （4.11）例1 计算积分⎰=-2
2d 1z z z z 。

解首先，识别积分类型．由于被积函数在积分路径内部含有两个奇点1-=z 与1=z ，所以，想到用“挖奇点”法来计算。

其次，为了用“挖奇点”法，作2
11:,211:21=-=+z c z c ，由定理4.4有 ⎰⎰⎰-+-=-=2
1d 1d 1d 12222c c z z z z z z z z z z 最后，计算上式右端两个积分，对这两个积分分别重复例4.4的解题步骤，得 ⎰⎰
+-=-1
1d 11d 12c c z z z z
z z z 1
]1[
i π2-=-=z z z i π=
⎰⎰-+=-22d 1
1d 12c c z z z z z z z 1
]1[
i π2=+=z z z i π=
故 i π2d 1
22=-⎰
=z z z z 高阶导数公式
定理4.6 设G 是以围线c 为边界的单连通区域（图4-7），若)(z f 在G 内解析，且在G 上连续，则)(z f 在区域G 内有各阶导数，并且有
G z z z z z f n z f c n n ∈-=⎰+0100)(d )()(i π2!)( （4.15）
例2 计算积分⎰=--113
4
d )
1(z z z z 。

解由高阶导数公式
141134
])[(!2i π2d )
1(==-''=-⎰z z z z z z i π12=
刘维尔定理
定理4.9 若)(z f 在复平面上解析，且有界，则)(z f 必为常数。

最大模原理
定理4.12 设G 为区域，c G G +=为有界闭区域，函数)(z f 在G 内不是常数，若)(z f 在G 内解析，且在G 上连续，则
G z M z f ∈<,)(
其中的M 为)(z f 在G 上的最大值。

最大模原理为我们提供了一种证明在区域G 内解析的函数)(z f 为常数的方法：只须证对G 内某点0z 有M z f =)(0即可，其中的M 为)(z f 在G 上的最大值。

莫瑞拉定理
定理4.15 设)(z f 在单连通区域G 内连续，c 为G 内任意一条围线，若
0)d (=⎰c
z z f
则)(z f 在G 内解析。

莫瑞拉定理不仅给出了一个函数为解析函数的充分条件，而且它与定理4.2（积分基本定理）一起可得解析函数的又一等价定义。