一多元函数的基本概念

一、多元函数的基本概念

1、平面点集，平面点集的内点、外点、边界点、聚点，多元函数的定义等概念

2、多元函数的极限

✧ 00(,)(,)lim (,)x y x y f x y A →=（或0

lim (,)P P f x y A →=）的εδ-定义 ✧ 掌握判定多元函数极限不存在的方法：

（1）令(,)P x y 沿y kx =趋向00(,)P x y ，若极限值与k 有关，则可断言函数极限不存在；

（2）找两种不同趋近方式，若

00(,)(,)lim (,)x y x y f x y →存在，但两者不相等，此时也可断言极限不存在。

✧ 多元函数的极限的运算法则（包括和差积商，连续函数的和差积商，等价无穷小替换，夹逼法则等）与一元类似：

例1．用εδ-定义证明2222(,)(0,0)1lim ()sin 0x y x y x y

→+=+ 例2（03年期末考试 三、1，5分）当0,0→→x y 时，函数22

2222()+++-x y x y x y 的极限是否存在？证明你的结论。

例3 设222222,0(,)0,0xy x y x y f x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩

，讨论(,)(0,0)lim (,)x y f x y →是否存在？ 例4（07年期末考试 一、2，3分）设2

222422,0(,)0,0⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩

xy x y x y f x y x y ，讨论

(,)(0,0)

lim (,)→x y f x y 是否存在？ 例5．求222

(,)(0,0)sin()lim x y x y x y →+

3、多元函数的连续性0000(,)(,)lim (,)(,)x y x y f x y f x y →⇔=

✧ 一切多元初等函数在其定义区域内都是连续的，定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域。

✧ 在定义区域内的连续点求极限可用“代入法”

例1． 讨论函数33

222222,0(,)0,0x y x y x y f x y x y ⎧++≠⎪+=⎨⎪+=⎩

在（0，0）处的连续性。

例2． （06年期末考试 十一，4分）试证2

222422,0(,)0,0⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩

xy x y x y f x y x y 在点

(0,0)不连续，但存在一阶偏导数。

例3．求

(,)(1,2)lim

x y x y xy →+ 例4．(,)(0,0)11lim x y xy xy →+- 4、了解闭区域上商连续函数的性质：有界性，最值定理，介值定理