函数的概念、定义域与值域、单调性、奇偶性与周期性

精锐教育学科教师辅导讲义

年 级： 高 一 辅导科目： 数学 课时数：3 课 题

函数的概念、定义域与值域、单调性、奇偶性与周期性

教学目的

1.理解函数的概念；理解构成函数的要素（定义域、值域、对应法则），了解映射的概念．

2.理解函数的三种表示方法（图象法、列表法、解析法），会选择恰当的方法表示简单情境中的函数．

3.理解和熟记函数的单调性和最值的定义；

4.掌握求解函数的值域和最值的基本方法，并能解决与函数值域和最值有关的问题．

5.理解和熟记函数的奇偶性和周期的定义；

6.掌握判定函数的奇偶性和周期性的基本方法，并能解决与函数奇偶性和周期性有关的问题．

教学内容

教材回归

◎基础重现：

1．函数的概念：

设A ，B 是两个非空的数集，如果按某个确定的对应关系f ，使对集合A 中的 元素x ，在集合B 中都有 的元素y 和它对应，那么称:f A B →为从集合A 到集合B 的一个函数，记作：()y f x =，x A ∈．其中 叫做函数()y f x =的定义域；将所有 叫做函数的值域．

2．函数的相等

函数的定义含有三个要素： 、 和 ．当函数的定义域及对应法则确定后，函数的值域也随之确定．因此，定义域和对应法则是函数的两个基本条件，当且仅当两个函数的 和 都分别对应相同时，两个函数才是同一个函数．

3．映射的定义

设A 、B 两个非空集合，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中的每一个元素，在集合B 中都有 的元素与之对应，那么，这样的对应关系叫做集合A 到集合B 的映射，记作：:f A B →．

4．函数的表示法

（1）解析法： ； （2）列表法： ； （3）图象法： ． 5．函数的定义域：

（1）函数的定义域是构成函数的非常重要的部分，如没有标明定义域，则认为定义域为使得函数解析式 x 的取值范围．

（2）实际问题中还需考虑自变量的实际意义，若解析式由几个部分组成，则定义域为各个部分相应集合的 ．

6．函数的值域：

当函数的自变量取遍定义域中 所有值时叫做函数的值域． 求函数值域主要有以下一些方法：

（1）函数的定义域与对应法则直接制约着函数的值域，对于一些比较简单的函数可直接 求得值域，有时也称为 ；

（2）二次函数或可转化为二次函数形式的问题常用 求值域；

（3）分子、分母是一次函数或二次齐次式的有理函数常用 求值域； （4）单调函数常根据函数的 求得值域；

（5）很多函数可拆配成基本不等式的形状，利用 求值域； （6）对于一些较复杂的函数,可运用 求值域. 7．函数单调性的定义：

（1）一般地，对于给定区间上的函数f （x ），如果对于属于这个区间的任意两个自变量的值x 1、x 2，当 时，都有 〔或都有 〕，那么就说f （x ）在这个区间上是增函数（或减函数）；

（2）如果函数y =f （x ）在某个区间上是增函数（或减函数），就说f （x ）在这一区间上具有单调性，这一区间叫做f （x ）的 ；如函数是增函数则称区间为 ，如函数为减函数则称区间为 ．

8．对于给定区间上的函数()f x ，如果对于属于这个区间的任意自变量x ，都有0()()f x f x ≤（0()()f x f x ≥），则0()f x 叫做函数在此区间上的最 值．

9．奇、偶函数的定义：

对于函数f （x ）的定义域内任意一个x ，都有 （或 ），则称f （x ）为奇函数；对于函数f （x ）的定义域内任意一个x ，都有 （或），则称f （x ）为偶函数．

10．周期函数的定义：

f(x)是定义在R 上的函数，如果存在非零常数T ，使得对任意的x 都有 ，则称f （x ）是R 上的周期函数，T 称为f （x ）的一个周期．如果在所有正周期中有一个最小的，则称它是 ．

11．奇、偶函数的性质：

（1）具有奇偶性的函数，其定义域关于 对称（也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于 对称）；

（2）奇函数的图象关于 对称，偶函数的图象关于 对称． 思维升华：

1．函数()y f x =的图象与直线x a =的交点个数为 ．

2．我们知道：若f(x)定义域为[a ，b]，复合函数f[g(x)]定义域由a ≤g(x)≤b 解出；若f[g(x)]定义域为[a ，b]，则f(x)定义域相当于x ∈[a ，b]时g(x)的值域；那么，（1）若函数)(x f y =的定义域为⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡2,21，则)(log 2x f 的

定义域为__________；（2）若函数2

(1)f x +的定义域为[2,1)-，则函数()f x 的定义域为________．

2．你对函数x

a

x y +

=的单调性质熟悉吗？试着说说看! 基础自测

1．设M={x|0≤x ≤2}，N={y|0≤y ≤3}，给出下列四个图形（如图所示），其中能表示从集合M

到集合N 的函数关系的是 ．(填序号)．

2．若(21)12,()f x x f x +=-=则 ．

3．（2010·东海期末）函数212

log (25)y x x =-+的值域是_________．

4．函数2

21

x y x =+的定义域是 ，值域是 ．

5．（2010·北京卷改编）给定函数①1

2

y x =，②12

log (1)y x =+，③|1|y x =-，④1

2

x y +=，期中在区间（0，

1）上单调递减的函数序号是

6．(2010·江苏省百校联考)若函数f (x )=x 2+ax ，x ∈[1，3]是单调函数，则实数a 的取值范围是___ __

7．（2010·江苏高考题）设函数()()()x

x

f x x e ae x R -=+∈是偶函数，则实数a =____．

8．( 2010·南京市高三第一次调研)定义在R 上的奇函数()f x ，当x ∈（0，+∞）时，2()log f x x =，则不等式()1f x <-的解集是 ．

经典例题

例1 根据下列条件求各函数的解析式：

（1）已知函数2,0

()21,(),1,0

x x f x x g x x ⎧≥=-=⎨

-<⎩求(())f g x 的解析式； （2）已知21

(1)f x x

+=，求()f x ；

（3）已知()f x 是一次函数，且(())41f f x x =-，求()f x ；

（4）已知2

211()3f x x x x

+=+-，求()f x ；

变式训练： (1)已知3

3

11()1f x x x x -=-

+，求()f x ．

(2)二次函数()y f x =对任意x R ∈，有2

(1)(1)24f x f x x x ++-=-，求()f x 的解析式．