高一下学期数学基础知识点整理(含答案)
2020-2021学年高一下学期数学(人教A版(2019)必修第二册)(含解析)
（1）求复数z；
（2）若复数z在复平面内所对应的点位于第一象限，且复数m满足 ，求 的最大值和最小值．
20．某中学为了解大数据提供的个性化作业质量情况，随机访问50名学生，根据这50名学生对个性化作业的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间 、 、…、 、 ．
【详解】
∵向量 ，
∴ ，又 ，
∴ ，
∴ .
故选：B.
6．D
【分析】
设出正六棱柱底面边长为 ，可知正六棱柱的高为 ，再通过正六棱锥与正六棱柱的侧面积之比为 可得正六棱锥的高，这样就可以得到答案.
【详解】
设正六棱柱底面边长为 ，由题意可知正六棱柱的高为 ，则可知正六棱柱的侧面积为 .
设正六棱锥的高为 ，可知正六棱锥侧面的一个三角形的边为 上的高为 ，
9．BD
【分析】
根据图表，对各项逐个分析判断即可得解.
【详解】
对A，在前四年有下降的过程，故A错误；
对B，六年的在校生总数为24037，平均值为4006以上，故B正确；
对C， ，未接受高中阶段教育的适龄青少年有468万人以上，故C错误；
对D， ，故D正确.
故选：BD
10．ABC
【分析】
对于A， ，可判断错误；对于B找出反例 不满足题意，判定错误；对于C若 ，则其不正确；对于D， ，则其虚部为0，故正确．故可得答案．
A．近六年，高中阶段在校生规模与毛入学率均持续增长
B．近六年，高中阶段在校生规模的平均值超过4000万人
C．2019年，未接受高中阶段教育的适龄青少年不足420万
D．2020年，普通高中的在校生超过2470万人
10．下列说法不正确的是（）
高一下期数学主要知识点
高一下期数学主要知识点【高一下期数学主要知识点】一、函数与方程1. 函数的定义与性质- 函数的定义域与值域- 函数的奇偶性与周期性2. 一次函数与二次函数- 一次函数的表示与性质- 二次函数的图像与性质3. 指数函数与对数函数- 指数函数的图像与性质- 对数函数的图像与性质4. 幂函数与反比例函数- 幂函数的图像与性质- 反比例函数的图像与性质5. 三角函数- 基本三角函数的关系- 三角函数的图像与性质6. 方程的基本概念与解法- 一元一次方程- 一元二次方程- 一元高次方程与有理方程二、平面几何与解析几何1. 二维坐标系与直线方程- 点、直线与坐标系的关系- 直线的斜率与截距2. 直线与圆的性质- 直线与圆的位置关系- 直线与圆的切线与切点3. 三角形的基本性质- 三角形的内部角度与外部角度 - 特殊三角形的性质4. 圆的性质与圆的方程- 圆的周长与面积- 圆的方程与参数方程5. 二次曲线的基本性质- 椭圆、双曲线与抛物线的定义 - 二次曲线的焦点、准线与方程三、概率与统计1. 随机事件与概率- 样本空间与随机事件的概念- 概率的定义与性质2. 事件间的关系与计算- 事件的和、积与差- 互斥事件与对立事件3. 随机变量与概率分布- 离散型与连续型随机变量- 二项分布、正态分布与指数分布4. 抽样与统计推断- 总体与样本的概念- 参数估计与假设检验四、解析几何与立体几何1. 空间直线与平面的位置关系- 直线与平面的相交、平行与垂直- 零点、倾斜角与方向角的概念2. 空间几何体的性质与计算- 空间直角坐标系与空间向量的表示- 球、柱面与圆台的体积与表面积3. 空间几何体的投影与旋转- 平面与空间几何体的投影- 空间几何体的旋转与截面以上即是高一下学期数学的主要知识点。
这些知识点覆盖了函数与方程、平面几何与解析几何、概率与统计以及解析几何与立体几何四个方面。
通过深入理解和掌握这些知识，同学们将打下坚实的数学基础，为接下来的学习打下良好的基础。
高一数学下学期知识点总结
高一数学下学期知识点总结数学作为一门科学，在我们的学习生涯中扮演着重要的角色。
高一数学作为数学学科链的开端，为高中数学的学习奠定了坚实的基础。
上学期，我们通过学习集合、函数、数列等知识，完成了从初中数学到高中数学的过渡。
而下学期，则是高中数学学习的关键时期。
在下学期中，我们学习了二次函数、三角函数、导数等重要概念。
下面让我们一起来回顾下高一数学下学期的知识点。
一、函数函数这一章节是高中数学学习中最为基础且重要的内容之一。
在下学期中，我们进一步学习了一次函数、二次函数、指数函数、对数函数等多种类型的函数。
一次函数：一次函数中包含了函数的各种基本概念，比如定义域、值域、图像等。
同时我们还学习了如何画出一次函数的图像，以及如何根据两个点的位置确定一次函数的解析式。
此外，我们还学习了一次函数的极值、单调性等重要的数学概念。
二次函数：二次函数在数学中有着广泛的应用。
我们通过二次函数的学习，不仅学会了如何求二次函数的顶点、轴对称轴等重要参数，还学习了二次函数的图像与方程之间的联系。
同时，我们还掌握了二次函数的因式分解法和完全平方公式，这些方法在后续的数学学习中也将经常出现。
指数函数、对数函数：在指数函数中，我们了解了指数的基本概念、指数的性质及指数函数的求值方法。
同时，我们在对数函数中也学习了对数的基本概念、对数的性质及对数函数的求值方法。
通过这两个章节的学习，我们深入了解了数学中的指数化和对数化现象。
二、三角函数三角函数是高中数学中难度较大的一部分，但又是数学中必不可少的内容。
下学期中，我们首先学习了三角函数的定义及其概念，并掌握了三角函数的性质。
接着，我们又将三角函数与解三角形的问题联系起来，学习了正弦定理、余弦定理、海伦公式等解三角形的方法。
同时，我们还学会了用三角函数求解平面向量问题，并在实际问题中应用了三角函数。
三、导数导数是高中数学中最重要、最难且最实用的内容之一。
在下学期中，我们首先学习了导数的定义，并掌握了导数的基本性质。
高一上下册数学知识点
高一上下册数学知识点数学作为一门科学，是我们在学习中常常遇到的学科之一。
而对于高一学生来说，数学课程无疑是十分重要的。
高一上下册的数学主要包括了以下几个知识点：1. 一元二次函数：一元二次函数是高一数学中的重要内容之一。
学生需要掌握如何求解一元二次方程以及解析式的含义。
另外，还需要了解函数图像的性质和性质之间的关系。
2. 平面向量：平面向量是高中数学的基本概念之一，这个知识点会涉及到向量的定义、运算、共线与垂直、平行四边形以及平面向量的线性相关性等知识点。
3. 三角函数：三角函数是高一数学中较难的知识点之一。
学生需要掌握正弦、余弦和正切函数的定义、性质以及图像。
同时，还需要熟练运用三角函数的基本关系式，如正弦定理和余弦定理等。
4. 解析几何：解析几何是高中数学中很重要的内容。
学生需要熟练掌握平面直角坐标系、点、直线、圆和抛物线的方程。
另外，还需要学习如何通过方程求解图形的性质以及与其他图形的关系。
5. 概率与统计：概率与统计是数学中的实用知识，也是高中数学重要的组成部分。
在这个知识点中，学生需要学习概率的基本概念、常见概率分布以及统计数据的收集和分析方法。
6. 导数与微分：导数与微分是高中数学重要的知识点之一。
学生需要学习导数的定义、性质以及求导法则。
此外，还需掌握微分的概念以及微分中值定理等相关知识。
以上只是高一上下册数学知识点的一部分内容，通过这些内容的学习，可以帮助学生建立良好的数学基础，为后续的学习打下坚实的基础。
同时，高中数学也要求学生进行实际问题的应用，培养学生的逻辑思维和解决问题的能力。
在学习数学的过程中，我们还需要注意以下几点：1. 理解概念：数学是一门基础学科，其中很多概念是相互关联的，因此我们要尽量理解每个概念的含义和性质，建立起完整的知识网络。
2. 多做题目：数学是一门需要多做题目的学科。
通过不断做题，可以帮助学生巩固所学的知识，并提升解题能力。
3. 注重应用：数学是一门实践性很强的学科，学生要善于将数学知识应用到实际生活中的问题中，提高解决实际问题的能力。
人教版高一数学知识点总结(优秀8篇)
人教版高一数学知识点总结(优秀8篇)高一数学知识点总结最新篇一集合一、集合有关概念1、集合的含义2、集合的中元素的三个特性：（1）元素的确定性如：世界上最高的山（2）元素的互异性如：由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y}（3）元素的无序性:如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合3、集合的表示：{…}如：{我校的篮球队员}，{太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋}（1）用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员}，B={1,2,3,4,5}（2）集合的表示方法：列举法与描述法。
注意：常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集）记作：N正整数集N或N+整数集Z有理数集Q实数集R1)列举法：{a,b,c……}2)描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。
{x∈R|x-32}，{x|x-32}3)语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}4)Venn图:4、集合的分类：（1）有限集含有有限个元素的集合（2）无限集含有无限个元素的集合（3）空集不含任何元素的集合例：{x|x2=-5｝关于集合的概念：（1）确定性：作为一个集合的元素，必须是确定的，这就是说，不能确定的对象就不能构成集合，也就是说，给定一个集合，任何一个对象是不是这个集合的元素也就确定了。
（2）互异性：对于一个给定的集合，集合中的元素一定是不同的（或说是互异的），这就是说，集合中的任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入同一个集合时只能算作集合的一个元素。
（3）无序性：判断一些对象时候构成集合，关键在于看这些对象是否有明确的标准。
集合可以根据它含有的元素的个数分为两类：含有有限个元素的集合叫做有限集，含有无限个元素的集合叫做无限集。
非负整数全体构成的集合，叫做自然数集，记作N;在自然数集内排除0的集合叫做正整数集，记作N+或N;整数全体构成的集合，叫做整数集，记作Z;有理数全体构成的集合，叫做有理数集，记作Q;（有理数是整数和分数的统称，一切有理数都可以化成分数的形式。
高一下册必修一数学知识点
高一下册必修一数学知识点高一下学期，学生们将开始学习高中数学的必修一内容。
必修一是数学课程中的基础部分，将为学生打下牢固的数学基础，为今后学习更为复杂和深入的数学知识打下坚实的基础。
下面将介绍高一下册必修一中的数学知识点。
1. 集合与函数：集合是数学中一个重要的概念，是由若干个元素组成的整体。
在集合的研究中，需要了解集合的基本运算，如并集、交集和差集等。
此外，还需要掌握集合的表示方法，如元素法、描述法和画图法等。
函数是数学中另一个重要的概念，它描述了两个集合之间的对应关系。
函数可以用公式、图像、表格等形式表示。
在函数的学习中，需要了解函数的定义、域、值域、自变量和因变量等概念。
此外，还需要理解函数的图像表达方式和函数的性质。
2. 三角函数：高一下学期还将学习三角函数的知识。
三角函数是与角度相关的函数，在几何和物理问题中应用广泛。
常见的三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。
学习三角函数需要掌握角度的度数和弧度的换算关系，理解三角函数的周期性和性质，以及掌握三角函数的图像、表达式和相关的计算方法。
此外，还需要了解三角函数在解决几何和物理问题中的应用。
3. 解析几何：解析几何是数学中的一个分支，它将代数和几何相结合。
在解析几何中，用坐标系和方程的方法来研究几何图形。
学习解析几何需要了解平面直角坐标系和空间直角坐标系的建立和使用，以及研究平面曲线和平面图形的方程。
在解析几何的学习中，需要掌握直线和线段的方程、圆的方程、抛物线的方程等基本知识，并能够用这些知识解决问题。
此外，还需要学会综合运用代数和几何的方法研究几何图形。
4. 概率论与数理统计：概率论与数理统计是数学中另一个重要的应用领域。
在概率论中，学生需要了解事件的概率、随机事件的性质和计算概率的方法。
在数理统计中，学生需要学会统计数据、分析数据和描述数据的方法。
学习概率论与数理统计需要掌握事件的基本概念、概率的计算方法、概率的性质和统计图表等基本知识，并能够用这些知识解决实际问题。
高一数学第1章知识点汇总
高一数学第1章知识点汇总在高中数学学科中，第1章是新学期开始的第一个单元。
本章主要包含一些基础的数学知识和概念，为学生打下坚实的数学基础。
下面将对本章的知识点进行汇总和简要介绍。
一、集合论集合是数学中重要的基础概念。
集合是由一些确定的、互不相同的元素构成的整体。
常用的表示集合的方式有描述法和列举法。
集合之间的关系有并集、交集和差集等。
二、函数函数是一种特殊的关系，它把每一个自变量和唯一的因变量相对应。
函数可以用图像、公式和表格来表示。
函数的基本性质有定义域、值域、单调性、奇偶性和周期性等。
三、数列与数列的极限数列是按照一定规则排列的一组数。
常见的数列有等差数列和等比数列。
数列的极限是指数列逐渐趋向于一个确定的值。
当数列的通项公式存在极限时，称数列收敛；否则称数列发散。
四、排列与组合排列是从一组元素中按照一定顺序选取若干个元素进行排列。
组合是从一组元素中不考虑顺序地选取若干个元素进行组合。
排列和组合常用于计算概率、统计和数学证明等问题。
五、三角函数三角函数是数学中常见的一类函数。
常见的三角函数有正弦函数、余弦函数和正切函数等。
三角函数有周期性和对称性等性质。
三角函数在几何、物理等领域中有广泛的应用。
六、立体几何立体几何是研究三维空间中物体的形状、大小和位置关系的数学分支。
常见的立体几何概念有平面、直线、角、棱、面等。
立体几何在现实生活中的应用广泛，如建筑、工程、设计等领域。
七、平面向量平面向量是用有向线段表示的量。
平面向量有大小和方向两个特征。
平面向量的基本运算有加法、减法和数量乘法等。
平面向量在解决几何问题和物理问题中有重要作用。
八、数学归纳法数学归纳法是一种证明方法。
数学归纳法分为递推步和基础步两个步骤。
基础步是证明命题在某个特定数值时成立；递推步是证明命题从某个特定数值成立时，对于下一个数值也成立。
以上是高一数学第1章的知识点汇总。
本章的内容相对较为简单，但是对于数学建模和后续学习打下了基础。
中专高一下数学知识点汇总
中专高一下数学知识点汇总中专高一下学期，数学是一门非常重要的学科，是培养学生逻辑思维、分析问题的能力的关键环节。
在这个学期中，学生们将学习更加复杂和深入的数学知识。
以下是我所整理的数学知识点汇总。
一、函数与方程1. 函数的概念：了解函数的定义、自变量与因变量的概念以及函数的性质。
2. 一次函数：掌握一次函数的定义、图像及其性质，能够解一次方程和不等式。
3. 二次函数：了解二次函数的定义、图像及其性质，能够求二次函数的零点和顶点，解二次方程和不等式。
4. 绝对值函数：掌握绝对值函数的定义、图像及其性质，能够求解绝对值方程和不等式。
5. 指数与对数函数：了解指数函数与对数函数的定义、图像及其性质，能够进行指数与对数运算。
6. 复合函数与反函数：了解复合函数和反函数的定义，并能够求解相关问题。
二、三角函数与图形的形状1. 三角函数的概念：了解正弦函数、余弦函数及其周期性、对称性等性质。
2. 三角函数的图像：能够根据函数的周期、频率、幅度等参数，绘制三角函数的图像。
3. 三角函数的性质：掌握三角函数的基本关系式、诱导公式等，能够进行简单的三角函数变换和化简。
4. 几何与三角函数的应用：能够利用三角函数解决几何问题，如求解三角形的边长和角度。
三、概率与统计1. 概率的基本概念：了解随机事件、样本空间、事件的概念，掌握概率的定义及其性质。
2. 概率的计算方法：掌握概率的加法原理、乘法原理以及条件概率的计算方法。
3. 排列与组合：了解排列和组合的概念，并能够计算排列与组合的数量。
4. 统计学基础：了解统计学的基本概念，包括数据收集、数据分析和数据展示的方法。
5. 统计图表与分析：能够根据实际数据制作直方图、折线图和饼图等图表，并能够进行简单的数据分析。
四、数列与数学归纳法1. 数列的概念：了解数列的定义及其常见的数列类型，如等差数列、等比数列等。
2. 数列的通项公式：能够根据数列的递推关系求解数列的通项公式。
高一数学考点下学期知识点整理
高一数学考点下学期知识点整理高一年级数学下学期知识点1对于a的取值为非零有理数，有必要分成几种情况来讨论各自的特性：首先我们知道如果a=p/q，q和p都是整数，则x^(p/q)=q次根号(x的p次方)，如果q是奇数，函数的定义域是R，如果q是偶数，函数的定义域是[0，+∞)。
当指数n是负整数时，设a=-k，则x=1/(x^k)，显然x≠0，函数的定义域是(-∞，0)∪(0，+∞).因此可以看到x所受到的限制来源于两点，一是有可能作为分母而不能是0，一是有可能在偶数次的根号下而不能为负数，那么我们就可以知道：排除了为0与负数两种可能，即对于x>0，则a可以是任意实数;排除了为0这种可能，即对于x<0和x>0的所有实数，q不能是偶数;排除了为负数这种可能，即对于x为大于且等于0的所有实数，a就不能是负数。
总结起来，就可以得到当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下：如果a为任意实数，则函数的定义域为大于0的所有实数;如果a为负数，则x肯定不能为0，不过这时函数的定义域还必须根据q的奇偶性来确定，即如果同时q为偶数，则x不能小于0，这时函数的定义域为大于0的所有实数;如果同时q为奇数，则函数的定义域为不等于0的所有实数。
在x大于0时，函数的值域总是大于0的实数。
在x小于0时，则只有同时q为奇数，函数的值域为非零的实数。
而只有a为正数，0才进入函数的值域。
由于x大于0是对a的任意取值都有意义的，因此下面给出幂函数在第一象限的各自情况.可以看到：(1)所有的图形都通过(1，1)这点。
(2)当a大于0时，幂函数为单调递增的，而a小于0时，幂函数为单调递减函数。
(3)当a大于1时，幂函数图形下凹;当a小于1大于0时，幂函数图形上凸。
(4)当a小于0时，a越小，图形倾斜程度越大。
(5)a大于0，函数过(0，0);a小于0，函数不过(0，0)点。
(6)显然幂函数无界。
高一年级数学下学期知识点2如果直线a与平面α平行，那么直线a与平面α内的直线有哪些位置关系?平行或异面。
高一数学下学期期末考试知识点总结
高一数学下学期期末考试知识点总结第一章集合与函数概念一、集合有关概念 1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。
2、集合的中元素的三个特性：1.元素的肯定性; 2.元素的互异性;3.元素的无序性 .第一章集合与函数概念一、集合有关概念1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。
2、集合的中元素的三个特性：1.元素的肯定性;2.元素的互异性;3.元素的无序性说明：(1)对于一个给定的集合，集合中的元素是肯定的，任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。
(2)任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一个集合时，仅算一个元素。
(3)集合中的元素是同等的，没有先后顺序，因此判定两个集合是否一样，仅需比较它们的元素是否一样，不需考核排列顺序是否一样。
(4)集合元素的三个特性使集合本身具有了肯定性和整体性。
3、集合的表示：{ … } 如{我校的篮球队员}，{太平洋大西洋印度洋北冰洋}1. 用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员}B={12345}2.集合的表示方法：罗列法与描写法。
注意啊：常用数集及其记法：非负整数集(即自然数集) 记作：N正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R关于“属于”的概念集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a是集合A的元素，就说a属于集合A 记作a∈A ，相反，a不属于集合A 记作 a?A罗列法：把集合中的元素一一罗列出来，然后用一个大括号括上。
描写法：将集合中的元素的公共属性描写出来，写在大括号内表示集合的方法。
用肯定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。
①语言描写法：例：{不是直角三角形的三角形}②数学式子描写法：例：不等式x-3>2的解集是{x?R| x-3>2}或{x| x-3>2}4、集合的分类：1.有限集含有有限个元素的集合2.无穷集含有无穷个元素的集合3.空集不含任何元素的集合例：{x|x2=-5｝二、集合间的基本关系1.“包含”关系子集注意：有两种可能(1)A是B的一部分，;(2)A与B是同一集合。
正切函数的性质与图象高一下学期数学人教B版(2019)必修第三册
4
课堂探究·素养提升
题型1 正切函数的定义域、值域问题
例1 (1)求下列函数的定义域：
1
①y＝
；
1+tan x
x
π
②y＝tan ( + )．
2
4
π
π
2
(2)求函数y＝－tan x＋2tanx＋5，x∈[－ ， )的值域．
3
3
状元随笔 (1)列出使各部分有意义的条件，注意正切函数自身的定
义域．
值重复出现．
(2)判定与正切函数有关的函数奇偶性的方法：
先求函数的定义域，看其定义域是否关于原点对称，若其不关于原
点对称，则该函数为非奇非偶函数；若其关于原点对称，再看f(－x)
与f(x)的关系．
(－ ＋kπ， ＋kπ)(k∈Z)
在开区间____________________内都是增函数
π
2
π
2
π
(2)函数y＝tan ωx(ω≠0)的最小正周期是________．
状元随笔 正切函数的图象是对称的吗？
[提示] 正切函数是奇函数，其图象关于原点对称，并且有无数个
kπ
对称中心，对称中心的坐标为( ，0)(k∈Z)，正切函数的图象不是轴
3
8
+ π，k∈Z.
4．函数y＝tan
3π
π
π
(kπ－ ，kπ＋ )，k∈Z
(x＋ )的单调增区间为___________________．
4
4
4
π
π
π
解析：令kπ－ <x＋ <kπ＋ ，k∈Z，
2
4
2
3π
π
得kπ－ <x<kπ＋ ，
高一数学基础知识点和习题
高一数学基础知识点和习题数学是一门基础学科，对于学生来说，建立起扎实的数学基础非常重要。
高一数学作为学生进入高中阶段的第一个学期，是数学知识和技能的重要积累期。
本文将介绍一些高一数学的基础知识点和习题，帮助学生巩固和提升数学能力。
一、代数与函数1. 一次函数一次函数是高中数学中最基础的函数之一。
它的函数表达式为y = kx + b，其中k为斜率，b为截距。
在解决实际问题中，可以利用一次函数来描述两个变量之间的关系。
例如，已知一辆汽车的速度与时间之间呈线性关系，可以利用一次函数来表示。
2. 二次函数二次函数的函数表达式为y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c分别为二次函数的系数。
二次函数的图像为抛物线，常常出现在物理学、几何学等领域中。
学生需要熟练掌握抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴等性质。
3. 幂函数与指数函数幂函数和指数函数是高中代数中的重要内容。
幂函数的函数表达式为y = x^a，指数函数的函数表达式为y = a^x，其中a为常数。
学生需要理解幂函数和指数函数的性质，例如幂函数的单调性、图像的变化趋势等。
二、几何与三角学1. 直线与曲线学生需要了解直线和曲线的基本概念和性质。
直线的特点是两点确定一条直线，曲线的特点是上面的点无法用直线连接，例如圆形、抛物线等。
2. 三角函数三角函数是高一数学的重点内容。
常见的三角函数有正弦函数、余弦函数和正切函数等。
学生需要熟练掌握三角函数的定义、性质和图像变化规律，并能够灵活运用三角函数解决实际问题。
3. 平面几何与立体几何平面几何主要包括平行线、垂直线、相交线等概念和性质。
立体几何则涉及到各种多面体、体积和表面积的计算。
学生需要通过大量的习题来巩固这些几何的基础知识。
三、数列与数学归纳法1. 等差数列与等比数列等差数列的特点是每一项与前一项之差都相等，等比数列的特点是每一项与前一项的比值都相等。
学生需要通过计算数列的通项公式、前n项和来掌握数列的性质和变化规律。
北师大高一下册数学知识点
北师大高一下册数学知识点北师大高一下册数学知识点是指北师大出版社出版的高一下学期数学教材中所包含的重要知识点。
下面将对这些知识点进行详细的介绍。
1. 二次函数二次函数是高中数学中的重要内容之一。
首先，我们来介绍二次函数的定义：二次函数是指形式为f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c为常数，且a不等于零。
学习二次函数的过程中，我们需要了解它的图像特征、顶点、对称轴等基本概念，并学习如何画出二次函数图像、解二次方程等操作。
2. 指数与对数函数指数与对数函数是数学中常见的函数类型。
指数与对数函数是互为反函数的，其中指数函数的定义是f(x) = a^x（其中a>0且a≠1），对数函数的定义是f(x) = loga(x)（其中a>0且a≠1）。
在学习指数与对数函数时，我们需要掌握它们的性质、图像特征以及指数方程、对数方程的解法。
3. 三角函数三角函数是数学中重要的内容之一，它包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。
我们需要掌握三角函数的定义、性质以及它们在解决几何和物理问题中的应用。
此外，我们还需要学习三角函数的图像变换、解三角方程等相关知识。
4. 概率概率是数学中与实际生活密切相关的一门学科。
学习概率时，我们需要了解概率的基本概念、计算方法以及事件之间的关系。
通过学习概率，我们可以更好地理解随机事件的发生规律，并能够在实际问题中运用概率知识进行推理和计算。
5. 数列与数列的极限数列是在高中数学中常见的一种数学对象。
数列是按照一定规律排列的一组数。
在学习数列时，我们需要了解数列的定义、常见数列的特征以及求和公式等相关知识。
此外，我们还需要学习数列的极限概念，了解数列逐项趋于无穷大或无穷小时的性质和应用。
6. 平面向量平面向量是几何学中的一种重要概念。
学习平面向量时，我们需要了解向量的定义、性质以及向量的运算规则，如向量相加、数量积、向量积等。
通过学习平面向量，我们可以更好地理解平面几何的性质，解决与平面几何相关的问题。
2023学年人教版高一数学下学期期中期末必考题精准练04 解三角形(解析版)
必考点04 解三角形题型一 利用正余弦定理解三角形例题1[在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边a ，b ，c 成公差为2的等差数列，C ＝120°. (1)求边长a ；(2)求AB 边上的高CD 的长．【解析】(1)由题意得，b ＝a ＋2，c ＝a ＋4，由余弦定理cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab 得cos 120°＝a 2＋(a ＋2)2－(a ＋4)22a (a ＋2)，即a 2－a －6＝0，所以a＝3或a ＝－2(舍去)．所以a ＝3. (2)法一：由(1)知a ＝3，b ＝5，c ＝7， 由三角形的面积公式得 12ab sin ∠ACB ＝12c ×CD ， 所以CD ＝ab sin ∠ACBc ＝3×5×327＝15314，即AB 边上的高CD ＝15314.法二：由(1)知a ＝3，b ＝5，c ＝7， 由正弦定理得3sin A ＝7sin ∠ACB ＝7sin 120°.即sin A ＝3314，在Rt △ACD 中，CD ＝AC sin A ＝5×3314＝15314.即AB 边上的高CD ＝15314.例题1(2019·全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .设(sin B －sin C )2＝sin 2A －sin B sin C . (1)求A ；(2)若2a ＋b ＝2c ，求sin C .[【解析】(1)由已知得sin 2B ＋sin 2C －sin 2A ＝sin B sin C ，故由正弦定理得b 2＋c 2－a 2＝bc .由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12.因为0°<A <180°，所以A ＝60°.(2)由(1)知B ＝120°－C ，由题设及正弦定理得2sin A ＋sin(120°－C )＝2sin C ，即62＋32cos C ＋12sin C ＝2sin C ，可得cos(C ＋60°)＝－22.由于0°<C <120°，所以sin(C ＋60°)＝22，故 sin C ＝sin(C ＋60°－60°)＝sin(C ＋60°)cos 60°－cos(C ＋60°)sin 60°＝6＋24. 【解题技巧提炼】1．已知△ABC 中的某些条件(a ，b ，c 和A ，B ，C 中至少含有一条边的三个条件)求边长时可用公式a ＝b sin A sin B ，b ＝a sin B sin A ，c ＝a sin C sin A ，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C .2．已知△ABC 的外接圆半径R 及角，可用公式a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C . [提醒] 已知△ABC 的两边及其一边的对角求边时可用正弦定理，但要对解的个数作出判断，也可用余弦定理解一元二次方程求得．涉及解三角形中的最值(范围)问题时若转化为边求解可利用基本不等式或二次函数；若转化为角求解可利用三角函数的有界性、单调性．1．已知△ABC 中某些条件求角时，可用以下公式sin A ＝a sin Bb ，sin B ＝b sin Aa，sin C ＝c sin Aa ，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab . 2．已知△ABC 的外接圆半径R 及边，可用公式sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R. [提醒] (1)注意三角形内角和定理(A ＋B ＋C ＝π)的应用． (2)解三角形中经常用到两角和、差的三角函数公式．题型二 判断三角形形状例题1设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形D ．不确定【答案】B 【解析】(1)法一：因为b cos C ＋c cos B ＝a sin A ， 由正弦定理知sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin A sin A ， 得sin(B ＋C )＝sin A sin A .又sin(B ＋C )＝sin A ，得sin A ＝1， 即A ＝π2，因此△ABC 是直角三角形．法二：因为b cos C ＋c cos B ＝b ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ·a 2＋c 2－b 22ac ＝2a 22a ＝a ，所以a sin A ＝a ，即sin A＝1，故A ＝π2，因此△ABC 是直角三角形．例题2在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若sin A sin B ＝ac ，(b ＋c ＋a )(b ＋c －a )＝3bc ，则△ABC 的形状为( ) A ．直角三角形 B ．等腰非等边三角形 C ．等边三角形 D ．钝角三角形【答案】C【解析】因为sin A sin B ＝a c ，所以a b ＝ac ，所以b ＝c .又(b ＋c ＋a )(b ＋c －a )＝3bc ， 所以b 2＋c 2－a 2＝bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12.因为A ∈(0，π)，所以A ＝π3，所以△ABC 是等边三角形． 【解题技巧提炼】[解题技法]1．判定三角形形状的2种常用途径2．判定三角形的形状的注意点在判断三角形的形状时一定要注意解是否唯一，并注重挖掘隐含条件．另外，在变形过程中要注意角A ，B ，C 的范围对三角函数值的影响，在等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解．题型三 三角形面积问题例题1△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a sin A ＋C2＝b sin A .(1)求B ；(2)若△ABC 为锐角三角形，且c ＝1，求△ABC 面积的取值范围．【解析】(1)由题设及正弦定理得sin A sin A ＋C 2＝sin B sin A ．因为sin A ≠0，所以sin A ＋C2＝sinB由A ＋B ＋C ＝180°，可得sin A ＋C 2＝cos B 2，故cos B 2＝2sin B 2cos B2.因为cos B 2≠0，所以sin B 2＝12，所以B ＝60°.(2)由题设及(1)知△ABC 的面积S △ABC ＝34a . 由(1)知A ＋C ＝120°，由正弦定理得a ＝c sin A sin C ＝sin (120°－C )sin C ＝32tan C ＋12.由于△ABC 为锐角三角形，故0°<A <90°，0°<C <90°. 由(1)知，A ＋C ＝120°，所以30°<C <90°， 故12<a <2，从而38<S △ABC <32. 因此，△ABC 面积的取值范围是⎝⎛⎭⎫38，32. 【解题技巧提炼】 1．求三角形面积的方法(1)若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值)，结合题意求解这个角的两边或该角的两边之积，代入公式求面积．(2)若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积．总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键． 2．已知三角形面积求边、角的方法(1)若求角，就寻求夹这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解． (2)若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解．题型四 解三角形的实际应用例题1如图，为了测量两座山峰上P ，Q 两点之间的距离，选择山坡上一段长度为300 3 m 且和P ，Q 两点在同一平面内的路段AB 的两个端点作为观测点，现测得∠P AB ＝90°，∠P AQ ＝∠PBA ＝∠PBQ ＝60°，则P ，Q 两点间的距离为________ m. 【答案】900【解析】由已知，得∠QAB ＝∠P AB －∠P AQ ＝30°. 又∠PBA ＝∠PBQ ＝60°，所以∠AQB ＝30°，所以AB ＝BQ . 又PB 为公共边，所以△P AB ≌△PQB ，所以PQ ＝P A . 在Rt △P AB 中，AP ＝AB ·tan 60°＝900，故PQ ＝900， 所以P ，Q 两点间的距离为900 m.例题2如图，为了测量河对岸电视塔CD 的高度，小王在点A 处测得塔顶D 的仰角为30°，塔底C 与A 的连线同河岸成15°角，小王向前走了1 200 m 到达M 处，测得塔底C 与M 的连线同河岸成60°角，则电视塔CD 的高度为________m. [【答案】6002[【解析】在△ACM 中，∠MCA ＝60°－15°＝45°，∠AMC ＝180°－60°＝120°，由正弦定理得AM sin ∠MCA ＝AC sin ∠AMC ，即1 20022＝AC32，解得AC ＝6006(m)．在△ACD 中，因为tan ∠DAC ＝DC AC ＝33，所以DC ＝6006×33＝6002(m)． 例题3游客从某旅游景区的景点A 处至景点C 处有两条线路．线路1是从A 沿直线步行到C ，线路2是先从A 沿直线步行到景点B 处，然后从B 沿直线步行到C .现有甲、乙两位游客从A 处同时出发匀速步行，甲的速度是乙的速度的119倍，甲走线路2，乙走线路1，最后他们同时到达C 处．经测量，AB ＝1 040 m ，BC ＝500 m ，则sin ∠BAC 等于________． [【答案】513[【解析】依题意，设乙的速度为x m/s ， 则甲的速度为119x m/s ，因为AB ＝1 040 m ，BC ＝500 m ， 所以AC x ＝1 040＋500119x ，解得AC ＝1 260 m.在△ABC 中，由余弦定理得，cos ∠BAC ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ＝1 0402＋1 2602－50022×1 040×1 260＝1213，所以sin ∠BAC ＝1－cos 2∠BAC＝1－⎝⎛⎭⎫12132＝513.【解题技巧提炼】测量距离问题的2个策略(1)选定或确定要创建的三角形，首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接求解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解．(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理．测量高度问题的基本思路高度也是两点之间的距离，其解法同测量水平面上两点间距离的方法是类似的，基本思想是把要求解的高度(某线段的长度)纳入到一个可解的三角形中，使用正、余弦定理或其他相关知识求出该高度．测量角度问题的基本思路测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解．[提醒] 方向角是相对于某点而言的，因此在确定方向角时，必须先弄清楚是哪一个点的方向角．题型五 正余弦定理在平面几何中的应用例题1如图，在平面四边形ABCD 中，DA ⊥AB ，DE ＝1，EC ＝7，EA ＝2，∠ADC ＝2π3，且∠CBE ，∠BEC ，∠BCE 成等差数列． (1)求sin ∠CED ； (2)求BE 的长． 【解析】设∠CED ＝α.因为∠CBE ，∠BEC ，∠BCE 成等差数列， 所以2∠BEC ＝∠CBE ＋∠BCE ，又∠CBE ＋∠BEC ＋∠BCE ＝π，所以∠BEC ＝π3.(1)在△CDE 中，由余弦定理得EC 2＝CD 2＋DE 2－2CD ·DE ·cos ∠EDC ， 即7＝CD 2＋1＋CD ，即CD 2＋CD －6＝0， 解得CD ＝2(CD ＝－3舍去)．在△CDE 中，由正弦定理得EC sin ∠EDC ＝CD sin α，于是sin α＝CD ·sin 2π3EC ＝2×327＝217，即sin∠CED ＝217. (2)由题设知0<α<π3，由(1)知cos α＝1－sin 2α＝1－2149＝277，又∠AEB ＝π－∠BEC －α＝2π3－α，所以cos ∠AEB ＝cos ⎝⎛⎭⎫2π3－α＝cos 2π3cos α＋sin 2π3sin α＝－12×277＋32×217＝714. 在Rt △EAB 中，cos ∠AEB ＝EA BE ＝2BE ＝714，所以BE ＝47. 【解题技巧提炼】与平面图形有关的解三角形问题的关键及思路求解平面图形中的计算问题，关键是梳理条件和所求问题的类型，然后将数据化归到三角形中，利用正弦定理或余弦定理建立已知和所求的关系．具体解题思路如下：(1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解；(2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果．[提醒] 做题过程中，要用到平面几何中的一些知识点，如相似三角形的边角关系、平行四边形的一些性质，要把这些性质与正弦、余弦定理有机结合，才能顺利解决问题．题型六 解三角形与三角函数的综合问题例题1已知函数f (x )＝cos 2x ＋3sin(π－x )cos(π＋x )－12.(1)求函数f (x )在[0，π]上的单调递减区间；(2)在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知f (A )＝－1，a ＝2，b sin C ＝a sin A ，求△ABC 的面积．【解析】(1)f (x )＝cos 2x －3sin x cos x －12＝1＋cos 2x 2－32sin 2x －12＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6， 令2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π6≤x ≤k π＋π3，k ∈Z ，又∵x ∈[0，π]，∴函数f (x )在[0，π]上的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤0，π3和⎣⎡⎦⎤5π6，π.(2)由(1)知f (x )＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6， ∴f (A )＝－sin ⎝⎛⎭⎫2A －π6＝－1， ∵△ABC 为锐角三角形，∴0<A <π2，∴－π6<2A －π6<5π6，∴2A －π6＝π2，即A ＝π3.又∵b sin C ＝a sin A ，∴bc ＝a 2＝4， ∴S △ABC ＝12bc sin A ＝ 3.【解题技巧提炼】解三角形与三角函数综合问题的一般步骤题型一 利用正余弦定理解三角形1．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a sin B cos C ＋c sin B cos A ＝12b ，且a ＞b ，则B ＝( ) A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π6【答案】A【解析】∵a sin B cos C ＋c sin B cos A ＝12b ，∴由正弦定理得sin A sin B cos C ＋sin C sin B cos A ＝12sin B ，即sin B (sin A cos C ＋sin C cos A )＝12sinB ．∵sin B ≠0，∴sin(A ＋C )＝12，即sin B ＝12.∵a ＞b ，∴A ＞B ，即B 为锐角，∴B ＝π6，故选A.2．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知sin 2B ＋sin 2C ＝sin 2A ＋sin B sin C .(1)求角A 的大小；(2)若cos B ＝13，a ＝3，求c 的值．【解析】(1)由正弦定理可得b 2＋c 2＝a 2＋bc ， 由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，因为A ∈(0，π)，所以A ＝π3.(2)由(1)可知sin A ＝32， 因为cos B ＝13，B 为△ABC 的内角，所以sin B ＝223，故sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝32×13＋12×223＝3＋226. 由正弦定理a sin A ＝c sin C 得c ＝a sin C sin A ＝3×(3＋22)32×6＝1＋263.题型二 判断三角形形状1．在△ABC 中，cos 2B 2＝a ＋c2c (a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边)，则△ABC 的形状为( )A ．直角三角形B ．等边三角形C ．等腰三角形D ．等腰三角形或直角三角形【答案】A【解析】已知等式变形得cos B ＋1＝a c ＋1，即cos B ＝ac ①.由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，代入①得a 2＋c 2－b 22ac ＝ac ，整理得b 2＋a 2＝c 2，即C 为直角，则△ABC 为直角三角形．2．[在△ABC 中，已知sin A ＋sin C sin B ＝b ＋c a 且还满足①a (sin A －sin B )＝(c －b )(sin C ＋sin B )；②b cos A ＋a cos B ＝c sin C 中的一个条件，试判断△ABC 的形状，并写出推理过程． 【解析】由sin A ＋sin C sin B ＝b ＋c a 及正弦定理得a ＋c b ＝b ＋ca ，即ac ＋a 2＝b 2＋bc ，∴a 2－b 2＋ac －bc ＝0， ∴(a －b )(a ＋b ＋c )＝0，∴a ＝b . 若选①△ABC 为等边三角形．由a (sin A －sin B )＝(c －b )(sin C ＋sin B )及正弦定理，得a (a －b )＝(c －b )(c ＋b )，即a 2＋b 2－c 2＝ab .所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，又C ∈(0，π)，所以C ＝π3.∴△ABC 为等边三角形． 若选②△ABC 为等腰直角三角形，因b cos A ＋a cos B ＝b ·b 2＋c 2－a 22bc ＋a ·a 2＋c 2－b 22ac ＝2c 22c ＝c ＝c sin C ，∴sin C ＝1，∴C ＝90°，∴△ABC 为等腰直角三角形.题型三 三角形面积问题1．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若b ＝6，a ＝2c ，B ＝π3，则△ABC 的面积为________． 【答案】63【解析】由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ． 又∵ b ＝6，a ＝2c ，B ＝π3，∴ 36＝4c 2＋c 2－2×2c 2×12，∴ c ＝23，a ＝43，∴ S △ABC ＝12ac sin B ＝12×43×23×32＝6 3.2．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，(2b －a )cos C ＝c cos A . (1)求角C 的大小；(2)若c ＝3，△ABC 的面积S ＝433，求△ABC 的周长．【解析】(1)由已知及正弦定理得(2sin B －sin A )·cos C ＝sin C cos A ， 即2sin B cos C ＝sin A cos C ＋sin C cos A ＝sin(A ＋C )＝sin B ， ∵B ∈(0，π)，∴sin B >0，∴cos C ＝12，∵C ∈(0，π)，∴C ＝π3.(2)由(1)知，C ＝π3，故S ＝12ab sin C ＝12ab sin π3＝433，解得ab ＝163.由余弦定理可得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝a 2＋b 2－ab ＝(a ＋b )2－3ab ， 又c ＝3，∴(a ＋b )2＝c 2＋3ab ＝32＋3×163＝25，得a ＋b ＝5.∴△ABC 的周长为a ＋b ＋c ＝5＋3＝8.题型四 解三角形的实际应用1．甲船在A 处观察乙船，乙船在它的北偏东60°的方向，相距a 海里的B 处，乙船正向北行驶，若甲船是乙船速度的 3 倍，甲船为了尽快追上乙船，朝北偏东θ方向前进，则θ＝( )A ．15°B ．30°C ．45°D ．60°【答案】B【解析】设两船在C 处相遇，则由题意得∠ABC ＝180°－60°＝120°，且AC BC＝3，由正弦定理得AC BC ＝sin 120°sin ∠BAC ＝3，所以sin ∠BAC ＝12.又因为0°<∠BAC <60°，所以∠BAC ＝30°. 所以甲船应沿北偏东30°方向前进．2．江岸边有一炮台高30 m ，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距________m. 【答案】103【解析】如图，OM ＝AO tan 45°＝30(m)， ON ＝AO tan 30°＝33×30＝103(m)， 在△MON 中，由余弦定理得，MN ＝900＋300－2×30×103×32＝300＝103(m)． 3．为了测量某新建的信号发射塔AB 的高度，先取与发射塔底部B 的同一水平面内的两个观测点C ，D ，测得∠BDC ＝60°，∠BCD ＝75°，CD ＝40 m ，并在点C 的正上方E 处观测发射塔顶部A 的仰角为30°，且CE ＝1 m ，则发射塔高AB ＝________ m. 【答案】202＋1【解析】如图，过点E 作EF ⊥AB ，垂足为F ，则EF ＝BC ，BF ＝CE ＝1，∠AEF ＝30°.在△BCD 中，由正弦定理得， BC ＝CD ·sin ∠BDC sin ∠CBD＝40·sin 60°sin 45°＝20 6.所以EF ＝206，在Rt △AFE 中，AF ＝EF ·tan ∠AEF ＝206×33＝20 2. 所以AB ＝AF ＋BF ＝202＋1(m)．题型五 正余弦定理在平面几何中的应用1.如图，在△ABC 中，D 是边AC 上的点，且AB ＝AD,2AB ＝3BD ，BC ＝2BD ，则sin C 的值为________． 【答案】66【解析】设AB ＝a ，∵AB ＝AD,2AB ＝3BD ，BC ＝2BD ，∴AD ＝a ，BD ＝2a 3，BC ＝4a 3.在△ABD 中，cos ∠ADB ＝a 2＋4a 23－a 22a ×2a 3＝33，∴sin ∠ADB ＝63，∴sin ∠BDC ＝63.在△BDC中，BD sin C ＝BC sin ∠BDC ，sin C ＝BD ·sin ∠BDC BC ＝66.2.如图，在平面四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AB ＝2，BD ＝5，∠BCD ＝2∠ABD ，△ABD 的面积为2. (1)求AD 的长； (2)求△CBD 的面积．【解析】(1)由已知S △ABD ＝12AB ·BD ·sin ∠ABD ＝12×2×5×sin ∠ABD ＝2，可得sin ∠ABD＝255，又∠BCD ＝2∠ABD ，在平面四边形ABCD 中，∠BCD ∈(0，π)，所以∠ABD ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以cos ∠ABD ＝55. 在△ABD 中，由余弦定理AD 2＝AB 2＋BD 2－2·AB ·BD ·cos ∠ABD ，可得AD 2＝5，所以AD ＝ 5.(2)由AB ⊥BC ，得∠ABD ＋∠CBD ＝π2，所以sin ∠CBD ＝cos ∠ABD ＝55. 又∠BCD ＝2∠ABD ，所以sin ∠BCD ＝2sin ∠ABD ·cos ∠ABD ＝45，∠BDC ＝π－∠CBD －∠BCD ＝π－⎝⎛⎭⎫π2－∠ABD －2∠ABD ＝π2－∠ABD ＝∠CBD ， 所以△CBD 为等腰三角形，即CB ＝CD .在△CBD 中，由正弦定理BD sin ∠BCD ＝CDsin ∠CBD ，得CD ＝BD ·sin ∠CBDsin ∠BCD＝5×5545＝54，所以S △CBD ＝12CB ·CD ·sin ∠BCD ＝12×54×54×45＝58. 题型六 解三角形与三角函数的综合问题1.在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，(2a －c )cos B －b cos C ＝0. (1)求角B 的大小；(2)设函数f (x )＝2sin x cos x cos B －32cos 2x ，求函数f (x )的最大值及当f (x )取得最大值时x 的值．【解析】(1)因为(2a －c )cos B －b cos C ＝0， 所以2a cos B －c cos B －b cos C ＝0， 由正弦定理得2sin A cos B －sin C cos B －cos C sin B ＝0， 即2sin A cos B －sin(C ＋B )＝0，又因为C ＋B ＝π－A ，所以sin(C ＋B )＝sin A . 所以sin A (2cos B －1)＝0.在△ABC 中，sin A ≠0，所以cos B ＝12，又因为B ∈(0，π)，所以B ＝π3.(2)因为B ＝π3，所以f (x )＝12sin 2x －32cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3， 令2x －π3＝2k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝k π＋5π12(k ∈Z )，即当x ＝k π＋5π12(k ∈Z )时，f (x )取得最大值1.一、单选题1．如图，某城市有一条公路从正西方MO 通过市中心O 后转向东北方ON ，为了缓解城市交通压力，现准备修建一条绕城高速公路L ，并在,MO ON 上分别设置两个出口,A B ，若AB 部分为直线段，且要求市中心O 与AB 的距离为20千米，则AB 的最短距离为（ ）A ．()2021-千米 B ．()4021-千米C ．)201D ．)401【答案】D【解析】在ABC 中，135AOB ∠=︒， 设,AO a BO b ==，则(222222cos1352AB a b ab a b ab =+-︒=+≥，当且仅当a b =时取等号，设BAO α∠=，则45ABO α∠=︒-，又O 到AB 的距离为20千米，所以20sin a α=，()20sin 45b α=︒-，故()400sin sin 45ab αα==︒-（22.5α=︒时取等号），所以)221600216001AB ≥=，得)401AB ≥，故选：D2．某生态公园有一块圆心角为π3的扇形土地，打算种植花草供游人欣赏，如图所示，其半径100OA =米.若要在弧AB 上找一点C ，沿线段AC 和BC 铺设一条观光道路，则四边形OACB 面积的最大值为（ ）A ．2500平方米B ．25003平方米C ．5000平方米D ．50003平方米【答案】C【解析】连接OC ，2211sin sin 22OAC OCB OACB OA S S AOC OA CS BO =⋅∠+∠+⋅=四边形△△2π1sin sin 23OA AOC AOC ⎡⎤⎛⎫=∠+-∠ ⎪⎢⎝⎭⎣⋅⎥⎦15000(sin )322cos AOC AOC +=∠∠π5000sin 50003AOC ⎛⎫=∠+≤ ⎪⎝⎭，当π6AOC ∠=时，等号成立. 所以四边形OACB 面积的最大值为5000.故选：C3．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a =2b =，1c =，则B C +=（ ）A ．90°B ．120°C ．60°D ．150°【答案】C【解析】因为a =2b =，1c =， 所以2221471cos 22122c b a A bc +-+-===-⨯⨯，由0180A <<︒︒，则120A =︒,18060B C A ∴+=︒-=︒故选：C4．已知某圆锥的轴截面是腰长为3的等腰三角形，且该三角形顶角的余弦值等于19，则该圆锥的表面积等于（ ） A ．4π B ．6π C ．10π D ．203π【答案】C【解析】设圆锥的底面半径为r ，则()2221233162339r -⨯=+⨯⨯=，解得2r =，故该圆锥的表面积等于12234102πππ⨯⨯⨯+=.故选：C.5．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若cos cA b<，则ABC 必为（ ） A ．钝角三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形 D ．等腰三角形【答案】A【解析】因为cos cA b <，由正弦定理可得sin cos sin C A B<，即sin cos sin C A B <， 又因为sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+，所以sin cos cos s co si in s n A B A B A B +<，即sin cos 0A B <，因为,(0,)A B π∈，所以sin 0,0cos A B ><，所以(,)2B ππ∈，所以ABC 为钝角三角形.故选：A. 二、多选题6．在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且2a =、3b =、4c =，下面说法错误的是（ ） A ．sin sin sin 234A B C =：：：： B ．ABC 是锐角三角形C ．ABC 的最大内角是最小内角的2倍D ．ABC 内切圆半径为12 【答案】BCD 【解析】A 选项，∵sin sin sin a b cA B C==，2a =、3b =、4c =，∵sin sin sin 234A B C =：：：：，对，B 选项，由于a b c <<，则ABC 中最大角为角C ，∵222222234cos 02223a b c C ab +-+-==<⨯⨯，∵2C π>，∵ABC 是钝角三角形，错，C 选项，假设ABC 的最大内角是最小内角的2倍，则2C A =， 即sin sin22sin cos C A A A ==⋅，又sin sin 12A C =：：，即sin 2sin cos 12A A A ⋅=：：，cos 1A =，不符合题意，错，D 选项，∵22222224311cos 222416a c b B ac +-+-===⨯⨯，∵sin B ==，∵11sin 2422ABCSac B =⋅=⨯⨯设ABC 的内切圆半径为r ，则()()1123422ABCS a b c r r =++⋅=⨯++⨯=∵r =故选：BCD.7．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin sin 2sin B C A +=（ ） A ．若π3A =，1c =，则1a =B ．若π3A =，1c =，则ABC 的面积为πC ．若2b =，则A 的最大值为π3D ．若2b =，则ABC 周长的取值范围为()4,12【答案】ACD【解析】因为sin sin 2sin B C A +=，所以2b c a +=. 对于A ，B ，若1c =，则21b a =-，22223421cos 2422b c a a a A bc a +--+===-，解得1a =，ABC 的面积1sin 2S bc A ==，A 正确，B 错误. 对于C ，若2b =，则22c a =-，222238831cos 12128881b c a a a A a bc a a +--+⎛⎫===-++- ⎪--⎝⎭312182⎡⎤≥-=⎢⎥⎣⎦，当且仅当2a =时，等号成立，所以A 的最大值为π3，C 正确.对于D ，若2b =，则根据三边关系可得,,a c b a b c +>⎧⎨+>⎩即222,222,a a a a +->⎧⎨+>-⎩解得443a <<，则4312a <<，ABC 的周长为3a b c a ++=，故ABC 周长的取值范围为()4,12，D 正确.故选：ACD 三、填空题8．在ABC 中，D 为BC 的中点，若4AB =，2AC =，AD =BC =______．【答案】【解析】法一：设BD x =，因为180ADB ADC ∠+∠=︒，所以cos cos 0ADB ADC ∠+∠=，由余弦定理，得22222222BD AD AB DC AD AC BD AD DC AD+-+-+=⋅⋅220=，所以x BC =法二：由D 为BC 的中点，得()12AD AB AC =+，所以()222124AD AB AB AC AC =+⋅+，即()1816242cos 44BAC =+⨯⨯∠+，所以3cos 4BAC ∠=，所以22232cos 16424284BC AB AC AB AC BAC =+-⋅∠=+-⨯⨯⨯=，所以BC =故答案为：9．如图所示，OA 是一座垂直与地面的信号塔，O 点在地面上，某人（身高不计）在地面的C 处测得信号塔顶A 在南偏西70°方向，仰角为45°，他沿南偏东50°方向前进20m 到点D 处，测得塔顶A 的仰角为30°，则塔高OA 为______m .【答案】20【解析】设塔高m OA x =，由题意得在直角AOC △中，45ACO ∠=︒，所以m OA OC x ==,由题意得在直角AOD △中，30ADO ∠=︒，所以m OD =， 由题意得在OCD 中，120,20m OCD CD ∠=︒=， 所以由余弦定理得2222cos OD OC CD OC CD OCD =+-⋅∠，所以22134002202x x x ⎛⎫=+-⋅⋅- ⎪⎝⎭，化简得2102000--=x x ，解得20x 或10x =-（舍去），所以塔高OA 为20m ，故答案为：20 四、解答题10．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知1a b c ===． (1)求sin ,sin ,sin A B C 中的最大值； (2)求AC 边上的中线长． 【解析】(1)521>，故有sin sin sin b a c B A C >>⇒>>，由余弦定理可得cos B =又(0,)B π∈，34B π∴=，故sin B(2)AC 边上的中线为BD ，则1()2BD BA BC =+，2222223(2)()2cos 121cos 14BD BA BC c a ca B π∴=+=++=++⨯=， 1||2BD ∴=，即AC 边上的中线长为12．11．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c sin cos A a B a =+.(1)求角B 的值；(2)若8c =，ABC 的面积为BC 边上中线AD 的长.【解析】(1)sin sin cos sin B A A B A =+，()0,πA ∈，sin 0A ≠cos 1B B =+，则π1sin 62B ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，()0,πB ∈，π3B ∴=；(2)1sin 2S ac B ==8c =，10a ∴=，由余弦定理22212cos 6425404922a AD c ac B ⎛⎫=+-⨯=+-= ⎪⎝⎭，得249AD =，7AD ∴=，12．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且()(sin sin )()sin a b B A b c C +-=-.(1)求A ；(2)若2a =，求ABC 面积的最大值.【解析】(1)由正弦定理及()(sin sin )()sin a b B A b c C +-=-， 得()()()b a b a b c c -+=-，即222b c a bc +-=， 由余弦定理，得2221cos 22b c a A bc +-==， ∵0A π<<，可得3A π=.(2)由余弦定理得222222cos a b c bc A b c bc =+-=+-， 因为222b c bc +≥， 所以22a bc bc ≥-，即24bc a ≤=，当且仅当2b c ==时取等号，∵11sin 422ABC S bc A =≤⨯=△ABC13．在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，向量()7,1m =，()cos ,1n C =，(),2cos p b B =，且0m n ⋅=.(1)求sin C 的值；(2)若8c =，//m p ，求B 的大小.【解析】(1)因为()7,1m =，()cos ,1n C =，且0m n ⋅=，所以7cos 10C +=，即1cos 7C =-，因为0C π<<，所以sin C ==. (2)因为()7,1m =，(),2cos p b B =，//m p ，所以14cos b B =， 在ABC 中，由正弦定理得sin sin c Bb C=，又8c =，sin C =b B ，14cos B B =，即tan B =0B π<<，所以3B π=.14．已知向量()2sin ,2cos 1m x x =-，()2cos ,1n x =，()f x m n =⋅.(1)求函数()y f x =的最小正周期；(2)在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()1f A =，a =ABC 的面积的最大值.【解析】(1)()22sin cos 2cos 1f x m n x x x =⋅=+-，sin 2cos 224x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，则其最小正周期22T ππ==； (2)由()214f A A π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，且()0,A π∈，所以4A π=，由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-，即(2222b c bc =+≥，所以2bc ≤=b c =时取等号，所以ABC 的面积21sin 244S bc π==≤，15．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且222sin sin sin sin sin A C B A C +=+． (1)求B ；(2)若点M 在AC 上，且满足BM 为ABC ∠的平分线，2,cos BM C ==BC 的长． 【解析】(1)在ABC 中，222sin sin sin sin sin A C B A C +=+，由正弦定理得：222a c b ac +=+.由余弦定理得：2221cos 22a cb B ac +-==. 因为()0,B π∈，所以3B π=.(2)因为()cos 0,C C π=∈，所以sin C = 因为3B π=，BM 为ABC ∠的平分线，所以6MBC π∠=.所以[]sin sin BMC MBC C π∠=-∠-∠()sin MBC C =∠+∠sin cos cos sin MBC C MBC C =∠∠+∠∠12==.在MBC △中，由正弦定理得：sin sin MB BC C BMC =∠=BC = 16．在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c，且)cos b c aC C +=+． (1)求角A ；(2)若2a =，ABCb c +的值.【解析】(1)由)cos b c a C C +=+及正弦定理得sin sin sin cos sin B C A C A C +=，又()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+，所以cos sin sin sin A C C A C +=，又sin 0C ≠cos 1A A -=，即2sin 16A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，可得1sin 62A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 因为0A π<<，则5666A πππ-<-<，所以，66A ππ-=，因此，3A π=. (2) 解：由余弦定理，得2222cos 3a b c bc π=+-，即()234b c bc +-=，又1sin 2ABC bc S A ==4bc =，所以4b c +=．17．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2sin 2sin 2cos 02A A A ++=.(1)求A ；(2)若cos cos 2b C c B +=，求ABC 面积的最大值. 【解析】(1)ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ， 且2sin 2sin 2cos 2sin cos sin cos 102AA A A A A A ++=+++=，2(sin cos )(sin cos )0A A A A ∴+++=， 即(sin cos )(sin cos 1)0A A A A +++=， sin cos 1A A +>-，sin cos 0A A ∴+=，所以tan 1A =-， 又()0,A π∈，34A π∴=； (2)ABC 中，由正弦定理可得sin sin a b A B =，sin b B ∴==⋅，同理可得，sin c C =⋅，cos cos 2b C c B +=，∴sin cos sin cos 2B C C B ⋅⋅+⋅⋅=，∴sin()2B C ⋅+=sin 24π⋅=，2a ∴=，由余弦定理可得22424cos 22b c bc A bc bc+--=-=， 当且仅当b c =时，取等号，422bc ∴+，即bcABC ∴面积⋅⋅=≤1sin 2bc A 1=-，所以ABC 1.。
中专数学高一下学期知识点
中专数学高一下学期知识点数学是一门既抽象又实用的学科，它贯穿着我们学习生涯的始终。
在中专的高一下学期，数学知识点变得更加复杂和深入。
在本文中，我将分享一些在这个学期里重要的数学知识点，帮助大家更好地应对学习中的挑战。
一、函数与导数在高一下学期的数学课程中，我们将进一步学习函数的概念和性质，以及导数的相关知识。
函数是数学中重要的概念之一，它描述了两个变量之间的关系。
我们会学习如何用公式和图像表示函数，以及如何分析函数的增减性、最值和对称性等特征。
同时，我们也会学习导数的概念和计算方法。
导数在实际问题中具有非常重要的意义，它能够帮助我们研究函数的变化趋势和速率。
二、几何与三角几何和三角是高一下学期数学课程的重要组成部分。
我们会学习平面几何中的变换、轨迹和圆锥曲线等内容。
掌握这些知识可以帮助我们解决实际生活中的空间问题，比如确定物体的位置、构建有特定形状的建筑等。
此外，三角函数也是我们不可忽视的一部分内容。
通过学习三角函数的定义、性质和应用，我们可以解决许多与角度和周期性有关的问题。
三、统计与概率在高一下学期的数学课程中，我们还将深入学习统计与概率。
统计学是一门应用广泛的学科，它通过数据的收集、整理和分析，揭示事物之间的规律。
我们会学习到如何制作统计表格、绘制统计图表以及进行统计推断等。
概率学是统计学的重要分支，它研究的是随机事件的发生可能性。
通过学习概率的基本概念、计算方法和应用，我们能够在面对不确定性的情况下做出合理的决策。
四、立体几何与向量立体几何与向量是高一下学期数学课程中的另一重点内容。
立体几何研究的是与三维空间相关的图形和性质。
我们会学习到如何计算体积、表面积和重心等，这对于解决与实际问题有关的空间计算非常重要。
同时，向量也是一个非常重要的数学工具。
通过学习向量的定义、运算和应用，我们可以更好地研究物体的运动、力的作用等问题。
总结起来，中专高一下学期的数学课程涵盖了函数与导数、几何与三角、统计与概率以及立体几何与向量等多个知识点。
浙江高一下数学知识点
浙江高一下数学知识点浙江高一下学期的数学知识点在浙江高中一年级的下学期学习中，数学是一门非常重要的学科。
数学不仅是一种工具，也是一种思维方式，培养了学生的逻辑思维和问题解决能力。
本文将介绍一些浙江高一下学期数学的重要知识点。
一、概率与统计概率与统计是高中数学的一个重要分支。
在下学期，浙江的高一学生将学习概率与统计的基本概念和方法。
概率是研究随机现象的数量关系，统计是以概率为基础的数据处理方法。
学生将学习计算事件的概率，计算样本空间、事件空间的基本概念。
他们将学习基本概率规则，例如加法原理和乘法原理。
学生还将探讨条件概率和独立性，概率分布和期望等概念。
此外，他们还将学习如何使用概率模型来解决实际问题。
统计方面，学生将学习数据的收集和整理技巧，包括抽样调查和问卷设计。
他们将学习如何分析和解读统计数据，例如频数表、直方图和折线图。
他们将学习如何计算均值、中位数和众数，并探讨它们的意义和用途。
二、函数与方程函数与方程是高中数学的核心内容。
在下学期，浙江高一学生将继续学习函数与方程的相关知识。
学生将学习如何分析和解决线性方程组。
他们将学习行列式和矩阵的基本概念，并掌握求解线性方程组的方法。
此外，学生还将学习如何应用线性方程组来解决实际问题，例如工程、经济和物理等领域的问题。
在函数方面，学生将进一步学习函数的性质和图像。
他们将学习多项式函数、指数函数、对数函数和三角函数等常见函数的定义、性质和图像。
学生还将学习如何求解函数的零点和最值，并应用函数来解决实际问题。
三、几何与向量几何与向量是高中数学的另一个重要分支。
在下学期，浙江高一学生将学习几何与向量的相关知识。
学生将学习平面几何的理论和方法。
他们将学习如何计算平面图形的周长、面积和体积，并探讨这些计算方法的意义和应用。
此外，学生还将学习平面几何的基本定理和证明方法，以及如何应用这些定理和方法来解决几何问题。
在向量方面，学生将学习向量的定义、性质和运算法则。
职高数学高一下知识点汇总
职高数学高一下知识点汇总在职业高中的数学课程中，高一下学期的知识点是一个重要的阶段，它为学生提供了建立数学基础的核心概念和技能。
本文将概述一些这个学期的主要知识点，包括代数、几何和统计学等。
一、代数1. 多项式函数高一下学期的数学课程中，多项式函数是一个重要的主题。
学生将学习如何识别多项式函数以及如何进行多项式函数的运算和简化。
此外，学生还将学习如何使用多项式函数来解决实际问题。
2. 指数与对数函数指数与对数函数也是一个重要的代数知识点。
学生将学习如何识别指数与对数函数，以及如何进行指数与对数函数的运算。
此外，学生还将学习如何应用指数与对数函数来解决实际问题。
3. 二次函数与方程二次函数与方程是高一下学期的另一个重要的代数知识点。
学生将学习如何识别二次函数与方程，以及如何进行二次函数与方程的运算和解答。
此外，学生还将学习如何应用二次函数与方程来解决实际问题。
二、几何1. 平面几何高一下学期的数学课程中，平面几何是一个重要的主题。
学生将学习如何识别和使用平面几何的基本概念和性质，包括点、线、平面、角等。
此外，学生还将学习如何进行平面几何的证明和推理。
2. 空间几何空间几何是高一下学期的另一个重要的几何知识点。
学生将学习如何识别和使用空间几何的基本概念和性质，包括点、线、面、体等。
此外，学生还将学习如何进行空间几何的证明和推理。
三、统计学1. 数据分析与统计高一下学期的数学课程中，数据分析与统计是一个重要的主题。
学生将学习如何收集和整理数据，以及如何使用统计方法来分析和解释数据。
此外，学生还将学习如何应用统计学方法来解决实际问题。
2. 概率与统计概率与统计也是高一下学期的另一个重要的统计学知识点。
学生将学习如何计算概率，并将其应用于统计学问题中。
此外，学生还将学习如何理解统计学中的一些重要概念，如均值、中位数、众数等。
总结起来，高一下学期的数学课程涵盖了一系列的代数、几何和统计学的知识点。
这些知识点将为学生建立起扎实的数学基础，并为他们未来的学习打下坚实的基础。
职高数学知识点高一下
职高数学知识点高一下在职业高中学习数学，对于学生们来说可能是一项挑战。
相对于一般高中的数学课程，职高的数学教学更加注重实用性和职业应用。
本文将带领大家回顾并巩固一些高一下学期的数学知识点，以帮助大家更好地应对职高数学学习。
1. 平面解析几何平面解析几何是数学中的重要分支，其中直线和圆是最基本的图形。
在高一下学期，我们将继续深入学习这些知识。
首先，我们回顾一下直线的方程。
直线可以使用点斜式、截距式和一般式表示。
这些方程形式各有特点，可以根据实际问题的需要进行选择和转换。
其次，我们来看一下圆的方程。
圆的方程可以用标准式表示，即(x-a)² + (y-b)² = r²，其中 (a,b) 是圆心的坐标，r 是半径的长度。
通过了解圆的方程，我们可以进行圆的方程的转换和分析，从而解决与圆相关的各种问题。
2. 函数与导数高中数学的一个重要内容就是函数与导数。
在高一下学期，我们将进一步学习函数的性质和导数的概念。
函数是数学中非常重要的概念，它描述了变量之间的关系。
我们需要了解函数的定义域、值域、奇偶性等性质，并学会根据函数的图像来分析函数的性态。
导数是函数的一个重要特征，它描述了函数在某一点的变化率。
我们需要学习导数的定义和计算方法，包括基本的求导法则和一些典型函数的导数公式。
通过理解导数的概念，我们可以对函数的图像、极值和拐点等性质进行深入的分析。
3. 概率与统计概率与统计是应用广泛的数学分支，它们在职业生活中具有重要的作用。
在高一下学期，我们将掌握概率与统计的基本概念和方法。
首先，我们需要了解概率的基本概念和计算方法。
概率描述了事件发生的可能性大小，我们可以通过频率概率和几何概率进行计算。
掌握概率的基本原理和计算方法，可以帮助我们进行合理的决策和预测。
其次，我们将学习统计学的基本概念和方法。
统计学是研究数据收集、整理、分析和解释的科学，我们将学会如何处理数据、绘制图表以及进行统计分析。
中职数学高一下知识点总结
中职数学高一下知识点总结高一下学期是中职数学学科中的重要阶段，学生需要牢固掌握和总结前期学习的基础知识，同时逐渐接触和理解更深入的数学概念和方法。
以下是中职数学高一下知识点的详细总结。
一、代数与函数1. 整式的加减乘除法：包括单项式与单项式、多项式与多项式的加减法，以及单项式与单项式、多项式与多项式的乘法和除法。
2. 因式分解：通过找出最大公因式，将多项式分解为可约的因式之积。
3. 基本初等函数：例如线性函数、二次函数、开方函数等，学生需要了解它们的定义、图像和基本性质。
4. 函数的概念与性质：包括定义域、值域、单调性、奇偶性等。
5. 方程与不等式：学生需要学习解一元一次方程、一元二次方程、简单的分式方程，以及简单的一元一次不等式和一元二次不等式。
二、几何与三角学1. 直线与角：学习直线的性质和角的定义、角平分线等基本概念。
2. 三角函数基础：学生需要了解正弦函数、余弦函数、正切函数的定义，以及它们的性质和图像。
3. 三角函数的应用：学习三角函数在解直角三角形、计算三角函数值以及求三角方程等方面的应用。
4. 平面图形的性质与关系：学习平行线、垂直线、四边形、圆等平面图形的定义和性质。
三、概率与统计1. 随机事件与概率：学生需要掌握事件的概念、事件间的关系以及计算概率的方法。
2. 古典概型与统计调查：学习利用古典概型计算事件的概率，以及收集数据、制作统计表、绘制统计图等统计调查的方法。
3. 随机变量与分布列：学生需要了解离散型随机变量的概念、分布列的制作，以及计算随机变量的数学期望和方差的方法。
四、数列与数理逻辑1. 等差数列与等比数列：学习等差数列和等比数列的定义、通项公式以及求和公式。
2. 数列的应用：将数列应用于数值问题，如等差数列的求和、等比数列的利率计算等。
3. 推理与证明：学生需要掌握逻辑运算、命题、演绎推理等数理逻辑的基本概念。
总结：高一下学期的数学学习内容涵盖了代数与函数、几何与三角学、概率与统计以及数列与数理逻辑等知识点。
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高一下数学基础知识竞赛
一． 解析几何
1. 直线方程：①过点P （x 0,y 0）,斜率为k 的直线方程为：【)(00x x k y y -=-】 ②过点P （x 0,y 0），斜率不存在的直线方程为：【0x x =】
2. 圆的方程：①圆的标准方程为：【()()22
2
r b y a x =-+-】，其圆心为:【()b a ,】，半径为:【r 】
②圆的一般方程：方程x 2+y 2+Dx +Ey +F =0表示圆的条件是:【0422>-+F E D 】
表示圆时，其圆心为:【)2
,2(E D --】，半径为:【2
422F
E D r -+=
】。
3. 点与圆的位置关系：设P （x 0,y 0），圆C ：x 2+y 2+Dx +Ey +F =0
①若P 在圆C 内，则:【0002
020<++++F Ey Dx y x 】； ②若P 在圆C 上，则:【0002
020=++++F Ey Dx y x 】；
③若P 在圆C 外，则:【0002
020>++++F Ey Dx y x 】。
4. 直线与圆的位置关系：
设直线l:Ax +By +C =0,圆C ：（x −a)2+(y −b)2=r 2,圆心C （a,b)到直线l 的距离:d = 【
2
2
B
A C Bb Aa +++】
①若直线与圆相交则:【r d <】，②若直线与圆相切则:【r d =】，
③若直线与圆相离则:【r d >】。
注意：切线条数是由点与圆的位置决定的；圆的弦长公式为：【222d r -】。
5. 圆与圆的位置关系：
设圆C 1：(x −a)2+(y −b )2=r 12, C 2：(x −m)2+(y −n )2=r 22
,则
①位置关系：若外离，则:【2121r r O O +>】，若外切，则:【2121r r O O +=】，
若相交，则:【212121r r O O r r +<<-】，若内切，则:【2121r r O O -=】，若内含，则:【2121r r O O -<】 ②相交弦：设C 1：x 2+y 2+D 1x +E 1y +F 1=0，C 1：x 2+y 2+D 2x +E 2y +F 2=0相交，则
相交弦所在直线方程为:【()0)()(212121=-+-+-F F y E E x D D 】。
二． 空间直角坐标系
1.设P （x 0,y 0,z 0），若P 在x 轴上则:【000==z y 】,若P 在xoy 平面内则:【00=z 】。
2.设P （x 0,y 0,z 0），则P 关于x 轴的对称点坐标为:【),,(000z y x --】，P 关于xoy 平面的对称点坐
标为:【()000,,z y x -】。
3.设P （x 0,y 0,z 0）,则P 在平面xoy 内的摄影点坐标为:【)0,,(00y x 】，P 在平面xoz 内的摄影点坐标为:【()00,0,z x 】，P 在平面yoz 内的摄影点坐标为:【()00,,0z y 】。
4.设P （x 1,y 1,z 1),Q （x 2,y 2,z 2),则PQ 中点坐标为:【⎪⎭
⎫
⎝⎛+++2,2,2212121z z y y x x 】
，:|PQ |=【
()()()2
12212212z z y y x x -+-+-】。
三．三角函数
1.与角α终边相同的角，连同角α在内，都可以表示为集合:【{}Z k k ∈+=,2απββ】。
2.若扇形的圆心角为α（α是角的弧度数），半径为r ，则：
弧长公式：【r l α=】； 扇形面积：【2
2
121r lr S α==】。
3.三角函数: （1）定义：设α是一个任意大小的角，α的终边上任意一点P
是(),x y ，它与原点的距离是()
0r OP r ==>，
则:sinα= 【
r y 】,cosα=【 r x 】,tanα=【 x
y 】。
（１）平方关系：【1cos sin 22=+αα】; （２）商数关系：【α
α
αcos sin tan =
】; (3) 1±2sinαcosα=【()2
cos sin αα±】。
4.三角函数的诱导公式：
（1）=+)2sin(απk 【αsin 】，=+)2cos(απk 【αcos 】，=+)2tan(απk 【αtan 】 （2）=+)sin(απ【αsin -】，=+)cos(απ【αcos -】，=+)tan(απ【αtan 】 （3）=-)sin(α【αsin -】，=-)cos(α【αcos 】，=-)tan(α【αtan -】 （4）=-)sin(απ【αsin 】，=-)cos(απ【αcos -】，=-)tan(απ【αtan -】 （5）=-)2sin(απ【αcos 】，=-)2cos(απ
【αsin 】
（6）=+)2sin(απ【αcos 】，=+)2
cos(απ
【αsin -】 5.图像变换
（1）平移变换（φ不同）：由y =Asin(ωx +φ1)的图像得到y =Asin(ωx +φ2)图像的方法 方向：当【012>-ωϕϕ】时，向左平移；当【012<-ω
ϕ
ϕ】时，向右平移。
平移量：【
ω
ϕϕ1
2-】。
（2）周期变换（ω不同）：由y =Asin(x +φ)的图像得到y =Asin(ωx +φ)图像的方法 【纵坐标不变，横坐标变为原来的
ω
1
倍】 （3）振幅变换（A 不同）：由y =sin(ωx +φ)的图像得到y =Asin(ωx +φ)图像的方法 【横坐标不变，纵坐标变为原来的A 倍】
6. 根据五点法求函数y=Asin(ωx +φ)(A >0,ω>)解析式步骤： ①利用【最值】求出A ； ②利用【周期】求出ω；
③利用【最高（或最低）点】以及φ的范围确定φ；其中最高点横坐标0x 满足：【=
+ϕω0x ππ
k 22+】
；最底点横坐标0x 满足：【=+ϕω0x ππ
k 22
3+】
sin y x = cos y x = tan y x =
图象
定义域 R R 【⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧∈+≠Z k k x x ,2ππ】
值域
【[]1,1-】
【[]1,1-】
R
最值
当【=x ππ
k 22
+】()k ∈Z 时，=max y 1；
当【=x ππ
k 22
+-
】()k ∈Z 时，
=min y 1-．
当【=x πk 2】（Z k ∈）时，
=max y 1；
当【=x ππk 2+】()k ∈Z 时，=min y 1-．
既无最大值也无最小值
周
期性
=T 【π2】
=T 【π2】
=T 【π】 奇偶性
【奇函数】 、 【偶函数】
【奇函数】
单调性
增区间：
【⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡++-ππππk k 22,22】
减区间：
【⎥⎦
⎤⎢⎣⎡++ππππk k 223,22】
增区间：
【[
]()
2,2k k k πππ-∈Z 】上是减区间： 【[]
2,2k k πππ+】
增区间：
【⎪⎭
⎫
⎝⎛++-ππππk k 2,2】
对
称性 对称中心【)0,(πk 】 对称轴为【ππ
k x +=
2
】
对称中心为【⎪⎭
⎫
⎝⎛+0,2ππk 】
对称轴为【πk x =】
对称中心【⎪⎭
⎫
⎝⎛0,2πk 】 无对称轴
函 数 性
质
8.三角恒等变换
（1） 两角和与差的正弦、余弦和正切公式：
①=-)cos(βα【βαβαsin sin cos cos + 】 =+)cos(βα【βαβαsin sin cos cos -】 ②=-)sin(βα【βαβαsin cos cos sin -】 =+)sin(βα【βαβαsin cos cos sin +】 ③=-)tan(βα【
βαβαtan tan 1tan tan +- 】 =+)tan(βα【β
αβ
αtan tan 1tan tan -+】
（2）二倍角的正弦、余弦和正切公式：
①=α2sin 【ααcos sin 2】．
②=α2cos 【αα22sin cos -】=【1cos 22-α】=【α2sin 21-】
③=α2tan 【
α
α
2tan 1tan 2-】．
（2） 降幂公式:
=ααcos sin 【α2sin 21】
，=α2sin 【22cos 1α-】，=α2cos 【2
2cos 1α
+】 (3) 辅助角公式：
=+x b x a cos sin 【)sin(22ϕ++x b a 】,其中【=ϕtan a
b
，】且点【()b a ,】与ϕ同象限。