高一《对数与对数函数》讲义【解析版】

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高一同步对数与对数函数讲义-

精锐教化学科老师辅导讲义一、日校回顾二、上节课学问点回顾三、学问梳理（一）、对数定义一般地，假如 ()1,0≠>a a a 的b 次幂等于N, 就是 N a b =，那么数 b 叫做以a 为底 N 的对数，记作 b N a =log ，a 叫做对数的底数，N 叫做真数（二）对数的性质（1）负数与零没有对数（∵在指数式中 N > 0 ）（2）1的对数是零；01log =a ，（3）底数的对数是1；1log =a a （4）对数恒等式 N aNa =log注：常用对数：以10为底的对数叫做常用对数,N 的常用对数N 10log 简记作lgN自然对数：在科学技术中经常运用以无理数e=2.71828……为底的对数，以e 为底的对数叫自然对数，为了简便，N 的自然对数N e log 简记作lnN底数的取值范围),1()1,0(+∞ ；真数的取值范围),0(+∞（三）、对数的运算法则（四）、对数函数的定义：函数叫做对数函数，定义域为，值域为． 1、函数x y x y x y lg ,log ,log 52===的图象如图所示，回答下列问题．（1）说明哪个函数对应于哪个图象，并说明为什么？（2）函数x y a log =与x y a1log =,0(>a 且)0≠a 有什么关系？(3)图象之间又有什么特别的关系？（4）已知函数x y x y x y x y a a a a 4321log ,log ,log ,log ==== 的图象，则底数之间的关系：．2、对数函数的性质由对数函数的图象，视察得出对数函数的性质．a ＞10＜a ＜1x y a log =)10(≠>a a 且),0(+∞),(+∞-∞log =y x a1 log =y x a2 log =y x a3 log =y x a4图象性质定义域：（0，+∞）值域：R过点（1，0），即当x=1时，y=0时时时时在（0，+∞）上是增函数在（0，+∞）上是减函数四、例题讲解例1、计算下列各题：(1)lg 2＋lg 5－lg 8lg 50－lg 40； (2)2(lg 2)2＋lg 2·lg 5＋lg 22－lg 2＋1.例2、求值：lg 3＋25lg 9＋35lg 27－lg 3lg 81－lg 27.例3、若函数y ＝lg(3－4x ＋x 2)的定义域为M.当x∈M 时，求f(x)＝2x ＋2－3×4x的最值及相应的x 的值．例4、已知f(x)＝log a 1＋x1－x(a>0，a≠1)．(1)求f(x)的定义域；(2)推断f(x)的奇偶性并予以证明； (3)求使f(x)>0的x 的取值范围．1111)1,0(∈x 0<y ),1(+∞∈x 0>y )1,0(∈x 0>y ),1(+∞∈x 0<y例13、函数f(x)是定义域为R 的偶函数，且对随意的x ∈R ，均有f(x ＋2)＝f(x)成立，当x ∈[0,1] 时，f(x)＝log a (2－x)(a ＞1)．(1)当x ∈[－1，－1]时，求f(x)的表达式；(2)若f(x)的最大值为12，解关于x ∈[－1,1]的不等式f(x)＞14.【答案】例1、解 (1)原式＝lg 2×58lg 5040＝lg54lg 54＝1.(2)原式＝lg 2(2lg 2＋lg 5)＋lg 22－2lg 2＋1＝lg 2(lg 2＋lg 5)＋|lg 2－1| ＝lg 2·lg(2×5)＋1－lg 2＝1.例2、解：解法一：原式＝lg 3＋45lg 3＋910lg 3－12lg 341g 3－3lg 3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋45＋910－12lg 34－3lg 3＝115.解法二：原式＝lg3×925×2712×35×3－12lg 8127＝lg 3115lg 3＝115.例3、解 ∵y＝lg(3－4x ＋x 2)，∴3－4x ＋x 2>0，解得x<1或x>3，∴M＝{x|x<1，或x>3}， f(x)＝2x ＋2－3×4x ＝4×2x －3×(2x )2.令2x＝t ，∵x<1或x>3，∴t>8或0<t<2.∴f(t)＝4t －3t 2＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫t －232＋43(t>8或0<t<2)．综上可知：当x ＝log 2 23时，f(x)取到最大值为43，无最小值．例6、解：(1)f(－x)＝－f(x)，即lg 1－ax 1－2x ＝－lg 1＋ax 1＋2x ，即1－ax 1－2x ＝1＋2x1＋ax ，整理得：1－a 2x 2＝1－4x 2，∴a ＝±2，又a≠2，故a ＝－2.(2)f(x)＝lg 1－2x 1＋2x 的定义域是⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12，∴0＜b≤12.(3)f(x)＝lg 1－2x 1＋2x＝lg－1＋2x ＋21＋2x ＝lg ⎝⎛⎭⎪⎫－1＋21＋2x .∴函数在定义域内是单调递减的．例7、解：(1)当x ∈[－1,0]时，f(x)＝f(－x)＝log a [2－(－x)]＝log a (2＋x)，所以f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧log a2－x ， x ∈[0，1]log a 2＋x . x ∈[－1，0].(2)因为f(x)是以2为周期的周期函数，且为偶函数，所以f(x)的最大值就是当x ∈[0,1] 时，f(x)的最大值．因为a ＞1，所以f(x)＝log a (2－x)在[0,1]上是减函数．所以[f(x)]max ＝f(0)＝log a 2＝12，所以a ＝4.当x ∈[－1,1]时f(x)＞14得⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x＜0log 42＋x ＞14或⎩⎪⎨⎪⎧0≤x≤1，log 42－x ＞14，得2－2＜x ＜2－ 2.例8、解(1)：要使函数有意义，必需：041212≥---x 即11212≤≤-⇒-≥--x x 值域：∵11≤≤-x ∴012≤-≤-x 从而 1122-≤--≤-x∴2124112≤≤--x ∴41412012≤-≤--x ∴210≤≤y(2)∵522++x x 对一切实数都恒有4522≥++x x ∴函数定义域为R 从而24log )52(log 222=≥++x x 即函数值域为2≥y(3)函数有意义，必需：5105405422<<-⇒<--⇒>++-x x x x x由51<<-x ∴在此区间内 9)54(max 2=++-x x∴ 95402≤++-≤x x从而 29log )54(log 31231-=≥++-x x 即：值域为2-≥y(4)要使函数有意义，必需： 02>--x x ①0)(log 2≥--x x a ②由①：01<<-x由②：当1>a 时必需 12≥--x x φ∈x当10<<a 时必需 12≤--x x R x ∈综合①②得 1001<<<<-a x 且当01<<-x 时 41)(max 2=--x x ∴4102≤--<x x ∴41log )(log 2a a x x ≥-- 41log a y ≥ )10(<<a例9、解：（1）令,011>-+x x 得011<-+x x ，即(x+1)(x-1)＜0，故f(x)的定义域为(-1，1)．又因为f(x)的定义域关于原点对称，所以f(x)是奇函数．例10、解：定义域 3601832-<>⇒>--x x x x 或单调区间是),6(+∞ 设2121),6(,x x x x <+∞∈且则)183(log 121211--=x x y )183(log 222212--=x x y---)183(121x x )183(222--x x =)3)((1212-+-x x x x∵612>>x x ∴012>-x x 0312>-+x x ∴183222--x x 183121-->x x 又底数1210<< ∴012<-y y 12y y <∴y 在),6(+∞上是减函数。

2021年新高考数学一轮专题复习第09讲-对数与对数函数(解析版)

(2)由题意，易知 a>1.
在同一坐标系内作出 y＝(x－1)2，x∈(1，2)及 y＝logax 的图象.
若 y＝logax 过点(2，1)，得 loga2＝1，所以 a＝2. 根据题意，函数 y＝logax，x∈(1，2)的图象恒在 y＝(x－1)2，x∈(1，2)的上方. 结合图象，a 的取值范围是(1，2]. 规律方法 1.在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项. 2.一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解. 考点三对数函数的性质及应用【例 3－1】已知函数 f(x)＝ln x＋ln(2－x)，则( )
调性时，一定要明确底数 a 的取值对函数增减性的影响，及真数必须为正的限制条件.
[方法技巧]
1.对数值取正、负值的规律
当 a>1 且 b>1 或 0<a<1 且 0<b<1 时，logab>0；
当 a>1 且 0<b<1 或 0<a<1 且 b>1 时，logab<0.
2.利用单调性可解决比较大小、解不等式、求最值等问题，其基本方法是“同底法”，即把不同底的对数式化
2.在第一象限内，不同底的对数函数的图象从左到右底数逐渐增大.
1，－1
3.对数函数 y＝logax(a>0，且 a≠1)的图象过定点(1，0)，且过点(a，1)，a
，函数图象只在
第一、四象限.
三、经典例题
考点一对数的运算
【例 1-1】
(1)计算：
lg1－lg 25 4
÷100－1＝________.

《对数与对数函数》课件

1 题目1
已知log35≈1.465，求log325的值。
3 题目2
已知log23≈1.585，求log63的值。
2 解答1
log325=log3((5)2)=2log35≈2×1.465≈2.93。
4 解答2
log63=log23/log26≈1.585/1.585≈1。
例题: 求解对数方程
1 题目1
求解方程log2(3x-2)=3。
3 题目2
求解方程log2x-14=log2(x-1)。
2 解答1
化为指数形式得：23=3x-2，解得x=7/3。
4 解答2
化为指数形式得：(2x-1)log42=x-1，解得x=3。
例题: 理解对数运算的应用
1 题目1
已知ab=c，则logac=?
2 解答1
根据对数的定义得：logac=b。
定义域为(0,+∞)，值域为(-∞,+∞)。

对数函数的图像特征
随着x的增加而变化
当x>1时，y随x的增加而增加；当x=1时，y=0；当 0<x<1时，y随x的减小而增加；当x<0时，对数函数无意义。
渐近线
对数函数的图像有两条渐近线，即x轴和y轴的反比例函数。
对数函数的性质
1
单调性
当a>1时，对数函数单调递增；当0<a<1
3 题目2
已知log23≈1.585，log27≈2.807，求log521 的值。
4 解答2
log221=log2(3×7)=log23+log27≈1.585+2.80 7=4.392。利用换底公式得： log521=log221/log25≈4.392/2.322≈1.892。

2010暑假班第9讲对数与对数函数-主体讲义

高一数学 <主体讲义>一、知识点概览【知识结构】1.2.⎧⎧⎪⎨⎩⎪⎪⎧⎨⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎩（1）定义对数（2）运算法则（1）定义对数函数（2）性质（3）图像（Ⅰ）对数【复习引入】对数既是一个重要的概念，又是一种重要的运算，而且它是与指数概念紧密相连的．它们是对同一关系从不同角度的刻画，表示为当0,1a a >≠时，log b a N b a N =⇔=．所以指数式ba N =中的底数，指数，幂与对数式 log a Nb =中的底数，对数，真数的关系可以表示如下：第 9 课对数与对数函数本节目标：1. 了解对数的概念，明确引入对数的意义，知道对数是指数的逆运算。

会计算一些特殊的对数式，会根据对数恒等变换进行化简；2. 了解对数函数的定义域，会利用对数函数的单调性解决不等式问题。

熟练掌握对数和指数中各个量的对应关系，并会相互转换。

【重点知识解析】 1、对数定义2、对数运算法则：【课内拓展】对数换底公式首先可以通过实例研究当一个对数式的底数改变时，整个对数式会发生什么变化?如求3log 5?=设3log 5x =，写成指数式是35x=，取以a 为底的对数得log 3log 5a a x = l o g 5l o g 3a a x ∴=即3log 5log 5log 3a a =．在这个等式中，底数3变成后对数式将变成等式右边的式子．一般地log log (0,0,1,1,0)log a b a NN a b a b N b=>>≠≠>关于对数换底公式的证明方法有很多，这里可以仿照刚才具体的例子计算过程证明对数换底公式，证明的基本思路就是借助指数式．换底公式的意义是把一个对数式的底数改变可将不同底问题化为同底，便于使用运算法则．如换底公式可以解决如下问题：(1)log log 1.a b b a ∙= (2) log log .(0,1,0)n ma a mb b a a b n=>≠>．（Ⅱ）对数函数【重点知识解析】一. 对数函数的概念定义：函数 ()(0,1)xf x a a a =>≠的反函数1()log (0,1)a f x x a a -=>≠叫做对数函数．二．对数函数的图像与性质 1. 作图方法由于指数函数的图像按1a >和01a <<分成两种不同的类型，故对数函数的图像也应以1为分界线分成两种情况1a >和01a <<，并分别以2log y x =和12log y x =为例画图．(1) 指数函数2x y =和1()2xy =的图像要尽量准确(关键点的位置，图像的变化趋势等)． (2) 画出直线y x =．(3) 2x y =的图像在翻折时先将特殊点(0,1)对称点(1,0)找到，变化趋势由靠近x 轴对称为逐渐靠近y 轴，而1()2xy =的图像在翻折时可提示学生分两段翻折，在y x =左侧的先翻，然后再翻在y x =右侧的部分．2. 性质(1) 定义域：(0,)+∞(2) 值域：R由以上两条可说明图像位于y 轴的右侧．(3) 截距：令0y =得 1x =，即在x 轴上的截距为1，与 y 轴无交点即以y 轴为渐近线． (4) 奇偶性：既不是奇函数也不是偶函数，即它不关于原点对称，也不关于y 轴对称． (5) 单调性：与a 有关．当1a >时，在(0,)+∞上是增函数．即图像是上升的当01a <<时，在(0,)+∞上是减函数，即图像是下降的．经典母题：★【母题一：对数基本运算】★ 例1求下列各式的值：（1）3log 333558log 932log 2log 2-+-；（2）2)2(lg 20lg 5lg 8lg 3225lg +∙++；解题小悟：（1）（2）（3）★【母题二：图象】★例1.如图是对数函数x y a log =的图象，已知a 值取101,53,34,3，则图象4321,,,C C C C 相应的a 值依次是（）A ．3、34、53、101 B ．3、34、101、53 C ．34、3、53、101D ．34、3、101、53例2函数()()log 1.1a y a a =+>的图象大致是例3.函数x y x y x y lg ,log ,log 52===的图象如图所示。

2024年新高一数学讲义(人教A版2019必修第一册)对数函数及其性质(解析版)

第17讲对数函数及其性质模块一思维导图串知识模块二基础知识全梳理（吃透教材）模块三核心考点举一反三模块四小试牛刀过关测1．理解对数函数的概念，知道对数函数模型是一类重要的函数模型；2．会求简单的对数型函数的定义域；3．会用描点法画出对数函数的简图；4．掌握对数函数的性质，会解决简单的与性质有关的问题.知识点1对数函数的概念1、对数函数的概念：函数log a y x =（0a >，且1a ≠）叫做对数函数，其中x 是自变量，定义域为()0,∞+．2、判断一个函数是对数函数的依据（1）形如log a y x =，且系数为1；（2）底数a 满足0a >，且1a ≠；（3）真数是x 而不是x 的函数；（4）整体只有一项；（5）定义域为()0,∞+．例如，2log (1)y x =+，22log y x =都不是对数函数，可称为对数型函数．3、两种特殊的对数函数（1）常用对数函数：以10为底的对数函数x y lg =．（2）自然对数函数：以无理数e 为底的对数函数x y ln =．知识点2对数函数及其性质1、对数函数的图象与性质a ＞10＜a ＜1图象性质定义域(0，＋∞)值域R过定点过定点(1，0)，即x ＝1时，y ＝0函数值的变化当0＜x ＜1时，y ＜0；当x ＞1时，y ＞0当0＜x ＜1时，y ＞0；当x ＞1时，y ＜0单调性是(0，＋∞)上的增函数是(0，＋∞)上的减函数2、底数a 对函数图象的影响（1）底数a 与1的大小关系决定了对数函数图象的“升降”：当1a >时，图象呈上升趋势；当01a <<时，图象呈下降趋势；（2）函数log a y x =与1log ayx=（0a >，且1a ≠）的图象关于x 轴对称；（3）底数的大小决定了图象相对位置的高低：无论1a >还是01a <<，在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大．知识点3反函数1、反函数的定义一般地，函数()()y f x x A =∈，设它的值域为C ，根据这个函数中,x y 的关系，用y 把x 表示出来，得到()x g y =．如果y 在C 中的任何取值，通过()x g y =，x 在A 中都有唯一值和它对应，则()x g y =就表示x 是关于自变量y 的函数．这样的函数()()x g y y C =∈叫做()()y f x x A =∈的反函数，记作1()y f x -=．例如，对数函数log a y x =(0a >,且1a ≠)是指数函数x y a =(0a >,且1a ≠)的反函数．2、反函数的性质（1）互为反函数的两个函数的图象关于直线y x =对称；（2）若函数()y f x =的图象上有一点(,)a b ，则点(,)b a 必在其反函数的图象上，反之也成立；（3）互为反函数的两个函数的单调性相同；（4）反函数的定义域是原函数的值域，反函数的值域是原函数的定义域；（5）单调函数必有反函数．考点一：对数函数的概念辨析例1．（22-23高一上·云南曲靖·月考）下列函数是对数函数的是（）A ．ln y x =B ．22log y x=C ．log 9ax y =D ．2log 2022y x =-【答案】A【解析】形如()log 0,1a y x a a =≠＞的函数叫作对数函数，它的定义域是()0,∞+，对于A ，e ln log y x x ==满足，故A 正确；对于B ，C ，D ，形式均不正确，均错误.故选：A【变式1-1】（22-23高一上·河北唐山·月考）下列函数是对数函数的是（）A ．()log 2a y x =B ．lg10xy =C ．()2log a y x x =+D ．ln y x=【答案】D【解析】因为函数log a y x =(0a >且1a ≠)为对数函数，所以ABC 均为对数型复合函数，而D 是底数为自然常数的对数函数.故选：D.【变式1-2】（23-24高一上·全国·课后作业）下列函数，其中为对数函数的是（）A ．12log ()y x =-B ．42log (1)y x =-C ．ln y x=D ．2()log a a y x+=【答案】C【解析】函数12log ()y x =-，42log (1)y x =-的真数不是自变量，它们不是对数函数，AB 不是；函数ln y x =是对数函数，C 是；函数2()log a a y x +=的底数含有参数a ，而a 的值不能保证2a a +是不等于1的正数，D 不是.故选：C【变式1-3】（23-24高一上·全国·课堂例题）（多选）下列函数中为对数函数的是（）A ．()12log y x =-B ．24log y x=C ．ln y x=D ．()22log a a y x ++=（a 是常数）【答案】CD【解析】对于A ，真数是x -，故A 不是对数函数；对于B ，242log log y x x ==，真数是x ，不是x ，故B 不是对数函数；对于C ，ln x 的系数为1，真数是x ，故C 是对数函数；对于D ，底数22172124a a a ⎛⎫+=++> ⎪⎝⎭+，真数是x ，故D 是对数函数．故选：CD考点二：对数函数过定点问题例2.（23-24高一下·广东湛江·开学考试）函数()()log 43a f x x =-（0a >且1a ≠）的图象所过的定点为（）A ．()1,0B ．3,04⎛⎫⎪⎝⎭C ．()1,1D ．3,14⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A【解析】因为函数()()log 43a f x x =-（0a >且1a ≠），令431x -=，解得1x =，则()log 110a f ==，所以()f x 的图象所过的定点为()1,0.故选：A.【变式2-1】（23-24高一下·甘肃威武·开学考试）函数()log (23)5a f x x =-+（0a >，1a ≠）的图象过定点A ，则A 的坐标为（）A ．(1,0)B ．(1,5)C ．(2,5)D ．(2,6)【答案】C【解析】令231x -=，则2x =，此时()log 155a f x =+=，故定点A 的坐标为(2,5).故选：C【变式2-2】（23-24高一上·全国·专题练习）函数1log 2x a y x a -=++（0a >且1a ≠）的图象恒过的定点是（）A ．()1,2B ．()1,3C ．()2,2D ．()0,2【答案】B【解析】当1x =时，()log a f x x =恒等于0，()1x g x a -=恒等于1，故1log 2x a y x a-=++恒等于0123++=，所以1log 2x a y x a -=++的图象恒过的定点是()1,3.故选：B【变式2-3】（23-24高一上·江苏苏州·月考）已知曲线log (2)1a y x =-+（0a >且1a ≠）过定点(,)s t ，若m n s t +=-且0m >，0n >，则91m n+的最小值为（）A ．16B ．10C ．8D ．4【答案】C【解析】对于log (2)1a y x =-+，令21x -=，即3x =，则1y =，即曲线log (2)1a y x =-+（0a >且1a ≠）过定点(3,1)，即3,1s t ==，故2m n +=，又0m >，0n >，则91191191()()(10(108222n m m n m n m n m n +=++=++≥⨯+=，当且仅当9n m m n=，结合2m n +=，即31,22m n ==时等号成立，故选：C考点三：与对数函数有关的函数图象例3.（23-24高一下·青海西宁·开学考试）函数()lg 1y x =+的图象是（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】因为()lg 10y x =+≥，故排除D ；当0x =时，()00lg 1y =+=，故排除BC ；结合对数函数的性质可知A 正确.故选：A.【变式3-1】（23-24高一上·四川攀枝花·月考）已知0a >且1a ≠，则函数()log 1a y x =+与1(1xy a=+在同一直角坐标系中的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】结合()log 1a y x =+与1()1xy a=+可知，两函数单调性一定相反，排除选项A ；因为()log 1a y x =+恒过定点()0,0，1()1xy a=+恒过定点()0,2，排除选项B ，D ．故选：C ．【变式3-2】（23-24高一下·浙江·期中）在同一直角坐标系中，函数()(1),()log a f x a x g x x =-=的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】函数()(1),()log a f x a x g x x =-=，由对数函数可知，0a >且1a ≠，当01a <<时，()(1)f x a x =-为过原点的减函数，()log a g x x =为减函数，则B 错误，D 正确；当1a >时，()(1)f x a x =-为过原点的增函数，()log a g x x =为增函数，则A 错误，C 错误；故选：D.【变式3-3】（23-24高一上·全国·专题练习）已知函数①y ＝log ax ；②y ＝log bx ；③y ＝log cx ；④y ＝log dx 的大致图象如图所示，则下列不等关系正确的是（）A ．a ＋c ＜b ＋aB ．a ＋d ＜b ＋cC ．b ＋c ＜a ＋dD ．b ＋d ＜a ＋c【答案】A【解析】由已知可得b ＞a ＞1＞d ＞c ，则a ＋b ＞a ＋c ，b ＋d ＞a ＋c ，故A 正确，D 错误；又a ＋d 与b ＋c 的大小不确定，故B ，C 错误．故选A.考点四：对数型复合函数的定义域例4.（23-24高一上·四川广安·期末）函数()1lg 12x x -+-的定义域为（）A ．(1,)+∞B ．[)(1,22),⋃+∞C ．(0,2)(2,)⋃+∞D ．(1,2)(2,)⋃+∞【答案】D【解析】要使函数有意义，则1020x x ->⎧⎨-≠⎩，解得1x >，且2x ≠.故函数()f x =()1lg 12x x -+-的定义域为(1,2)(2,)⋃+∞.故选：D.【变式4-1】（23-24高一上·河南洛阳·月考）函数2lg(21)()1x f x x -=-的定义域为（）A ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．(1,)+∞C ．()11,1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭ D ．()1,11,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】由2lg(21)()1x f x x -=-，则221010x x ->⎧⎨-≠⎩，解得12x >且1x ≠，即其定义域为()1,11,2∞⎛⎫⋃+ ⎪⎝⎭.故选：D ．【变式4-2】（23-24高一下·河南·开学考试）函数()log x f x -=的定义域为（）A ．{1xx >∣且2}x ≠B ．{12}xx <<∣C ．{2}xx >∣D ．{}1x x ≠∣【答案】C【解析】由题得21011320x x x x ->⎧⎪-≠⎨⎪-+>⎩，解得2x >，即函数()f x 的定义域为{2}xx >∣.故选：C 【变式4-3】（23-24高一上·湖北·期末）函数y =的定义域为（）A ．5,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．53,42⎛⎤⎥⎝⎦C ．3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【答案】B【解析】由题意可得()0.5log 450x -≥，∴0451x <-≤，∴5342x <≤，即y =53,42⎛⎤⎥⎝⎦，故选：B 考点五：对数型复合函数的单调性例5.（23-24高一上··期末）函数2lg 43()()f x x x =+-的单调递减区间是（）A ．3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．31,2⎛⎤- ⎥⎝⎦D ．3,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】D【解析】由()()243lg f x x x =+-可得，2430x x +->，解得()1,4x ∈-，故()f x 的定义域为()1,4-，由ln y x =为增函数，令243t x x =+-，对称轴为32x =，故其单调递减区间为3,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭，所以()()243lg f x x x =+-的单调递减区间为3,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭.故选：D.【变式5-1】（23-24高一下·山西大同·月考）函数()()lg 4f x x =-的单调递增区间为（）A ．()4,0-B ．(),0∞-C ．()0,4D ．()0,∞+【答案】A【解析】对于函数()()lg 4f x x =-，令40x ->，即4x <，解得44x -<<，所以函数的定义域为()4,4-，又4,044,0x x y x x x -≥⎧=-=⎨+<⎩，所以4y x =-在()0,∞+上单调递减，在(),0∞-上单调递增，函数lg y x =在定义域()0,∞+上单调递增，所以()()lg 4f x x =-的单调递增区间为()4,0-，单调递减区间为()0,4.故选：A【变式5-2】（22-23高一下·湖南长沙·期末）已知()()212log 3f x x ax a =-+在[)2,+∞上为减函数，则实数a的取值范围是（）A ．(],4∞-B ．(]4,4-C ．()0,2D ．(]0,4【答案】B【解析】设()23x x a g ax -+=，因为函数()()212log 3f x x ax a =-+在[)2,+∞上是减函数，可得()23x x a g ax -+=在[)+∞上是增函数，故有对称轴22ax =≤，即4a ≤，且()24230g a a =-+>，解得44a -<≤，即实数a 的范围是(]4,4-.故选：B.【变式5-3】（23-24高一下·贵州遵义·期中）已知函数log 1,1()(4),1a x x f x a x x +≥⎧=⎨-<⎩是R 上的单调递增函数，则a的取值范围是（）A ．[2,4)B ．[3,4)C ．(1,2]D ．(1,3]【答案】B【解析】由题意可知()f x 是R 上的单调递增函数，则1404log 11a a a a >⎧⎪->⎨⎪-≤+⎩，解得34a ≤<．故选：B.考点六：对数型函数有关的值域例6.（23-24高三上·陕西汉中·月考）已知()()24216log log f x x x =⋅，1,82x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()f x 的值域为（）A ．[]3,1-B ．[]1,3-C ．[]0,1D ．[]3,0-【答案】A【解析】令2log x t =，则[]1,3t ∈-，又24442216log log 16log 2log 2x x t x=-=-=-，所以原函数可变为()2y t t =-=-()211t -+，[]1,3t ∈-，所以max 1y =，min 3y =-，所以()f x 的值域为[]3,1-.故选：A.【变式6-1】（23-24高一上·四川眉山·期中）已知函数()()22log log 88x f x x ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭，则函数()f x 的值域为（）A ．[]9,0-B ．[)9,-+∞C ．(],9-∞-D ．[]12,0-【答案】B【解析】()()()()2222log 3log 3log 9f x x x x =-+=-．故()f x 的值域为[)9,-+∞．故选：B ．【变式6-2】（22-23高一下·云南保山·月考）函数()()2lg 2f x x x m =++的值域为R ，则实数m 的取值范围是（）A ．1m >B ．m 1≥C ．1m ≤D ．m ∈R【答案】C【解析】因为函数()()2lg 2f x x x m =++的值域为R ，所以，()0,∞+为函数22y x x m =++的值域的子集，所以，440m ∆=-≥，解得1m £.故选：C.【变式6-3】（23-24高一上·山东菏泽·月考）已知函数()2log 42x xy a a =-⋅+的值域为R ，则实数a 的取值范围是．【答案】(,0][4,)-∞+∞ 【解析】由函数()2log 42x xy a a =-⋅+，令()42x x f x a a =-⋅+，令20x t =>，可得()2g t t a t a =-⋅+，要使得函数()2log 42x xy a a =-⋅+的值域为R ，则()2,0g t t a t a t =-⋅+>的值域能取遍一切正实数，当0a >时，则满足2()40a a ∆=--≥，解得4a ≥；当0a =时，可得()20g t t =≥，符合题意；当a<0时，则满足()00g a =<，此时函数()g t 的值域能取遍一切正实数，符合题意，综上可得，实数a 的取值范围为(,0][4,)-∞+∞ .故答案为：(,0][4,)-∞+∞ .考点七：利用单调性比较大小例7.（23-24高一下·湖北·月考）已知32a -=，2log 3b =，4log 6c =，则（）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c b a <<D ．c<a<b【答案】B【解析】因为24222log 61log 6log 6log log 42c ====3所以根据对数函数的单调性可知1c b <<，又因为321a -=<，所以a c b <<，故选：B【变式7-1】（23-24高一下·河南开封·月考）已知0.10.52log 3,log 3,2a b c -===，则,,a b c 的大小关系是（）A ．a c b <==，故a c b <<，故选：A【变式7-2】（23-24高一下·浙江·期中）已知6log 2a =，0.6log 0.2b =，0.20.6c =，则a ，b ，c 的大小关系（）A ．a c b <=，即1b >；且6log y x =在定义域()0,∞+内单调递增，可得66610log 1log 2log 2=<<=，即102a <<；又因为00.20.30.31110.60.60.60.50.52=>>>>=，即112c <<；所以a c b <<.故选：A【变式7-3】（23-24高一下·湖南长沙·开学考试）已知3log 2a =，4log 3b =，5log 4c =，则（）A ．a b c >>B ．b a c>>C ．c b a>>D ．a c b>>【答案】C【解析】22243ln 2ln 4ln 3ln 3ln 2ln 3ln 2ln 42log 3log 20ln 4ln 3ln 3ln 4ln 3ln 4b a +⎛⎫- ⎪-⎝⎭-=-=-=>=22254ln 3ln 5ln 4ln 4ln 3ln 4ln 3ln 52log 4log 30ln 5ln 4ln 5ln 4ln 5ln 4c b +⎛⎫- ⎪-⎝⎭-=-=-=>=所以c b a >>.故选：C.考点八：利用单调性解对数不等式例8.不等式()3log 212x -≤的解集为（）A ．3,2∞⎛⎤- ⎥⎝⎦B ．1,52⎛⎤⎥⎝⎦C ．(],5∞-D ．7,2∞⎛⎤- ⎥⎝⎦【答案】B【解析】()3log 212x -≤= 3log 9，0219x ∴<-≤，15.2x ∴<≤∴不等式()3log 212x -≤的解集为1,52⎛⎤⎥⎝⎦．故选：B【变式8-1】（22-23高一下·湖南株洲·期中）已知()()44log 3log 1x x <+，则x 的取值范围为（）A ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】D【解析】因为4log y x =在定义域()0,∞+内单调递增，若()()44log 3log 1x x <+，则031<<+x x ，解得102x <<，所以x 的取值范围为10,2⎛⎫⎪⎝⎭.故选：D.【变式8-2】（23-24高一上·四川内江·月考）设函数()()2lg 1f x x =+，则使得()()211f x f x ->+成立的x的取值范围为（）A ．()0,2B ．()0,2C ．(),2-∞D ．()(),02,-∞+∞ 【答案】D【解析】因为()f x 为偶函数，且在()0,∞+上单调递增，因为()()211f x f x ->+，所以22211x x ->+，即2241412x x x x +->++，所以2360x x ->，所以0x <或2x >故选：D.【变式8-3】（23-24高一上·辽宁沈阳·月考）已知不等式()2log 21log (3)0x x x x +<<成立，则实数x 的取值范围（）A ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．11,32⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】当1x >时，不等式即为202131x x <+<<，由22103x x -+<解得112x <<，又1x >，所以x ∈∅；当01x <<时，不等式即为22131x x +>>，由22310x x -+>解得12x <或1x >；又13x >，所以1132x <<.综上，实数x 的取值范围为11,32⎛⎫⎪⎝⎭.故选：B.考点九：对数型函数的奇偶性例9.（23-24高一下·辽宁抚顺·开学考试）函数2()lg(1)1f x x =-+的图象关于（）对称.A ．直线y =xB ．原点C ．x 轴D ．y 轴【答案】B 【解析】21()lg(1)lg 11xf x x x -=-=++，令101x x->+得11x -<<，故2()lg(1)1f x x =-+的定义域为()1,1-，关于原点对称，又1111()()lglg lg(lg101111x x x xf x f x x x x x-+-++-=+=⋅==+-+-，故()()f x f x -=-.该函数为奇函数，关于原点对称.故选：B【变式9-1】（23-24高一上·湖南娄底·期末）已知函数()()lg22a xf x x x-=≠-+是定义在(),b b -的奇函数，则b a 的取值范围为（）A ．(]0,4B ．()0,4C ．(]1,4D ．()1,4【答案】C【解析】函数()()lg22a xf x x x-=≠-+是定义在(),b b -的奇函数，则有()0lg 02af ==，解得2a =，即()2lg2x f x x-=+，()f x 有意义，202xx ->+，解得22x -<<，所以有02b <≤，此时()()1222lg lg lg222x x xf x f x x x x-+--⎛⎫-===-=- ⎪-++⎝⎭，满足在(),b b -上为奇函数，由02b <≤，所以(]21,4b ba =∈.故选：C.【变式9-2】（23-24高一上·全国·专题练习）已知函数()()()22log 3log 3f x x x =++-.(1)求()f x 的定义域；(2)求证：函数()f x 为偶函数；(3)求f的值.【答案】(1)()3,3-；(2)证明见解析；(3)1【解析】（1）由()()()22log 3log 3f x x x =++-，则有3030x x +>⎧⎨->⎩，解得33x -<<，所以()f x 的定义域为()3,3-；（2）因为()f x 的定义域为()3,3-，又()()()()22log 3log 3f x x x f x -=-++=，故函数()f x 为偶函数；（3）(((2222log 3log 3log 33log 21f⎡⎤=+===⎣⎦.【变式9-3】（23-24高一上·陕西安康·期末）已知函数()2log 1x af x x+=-（a 为常数）是奇函数.(1)求a 的值与函数()f x 的定义域；(2)若2()log (1)f x x m +-<恒成立，求实数m 的取值范围.【答案】(1)1a =，函数的定义域为()1,1-；(2)[)1,+∞【解析】（1）因为函数()2log 1x af x x+=-（a 为常数）是奇函数，所以()()f x f x -=-，则22log log 11x a x ax x-++=-+-，即22log log 011x a x a x x -+++=+-，所以111x a x ax x-++⋅=+-，即21a =，解得1a =±，当1a =时()21log 1x f x x+=-，则令101x x +>-，解得11x -<<，即函数的定义域为()1,1-，且()()1222111log log log 111x x x f x f x x x x--+++⎛⎫-===-=- ⎪+--⎝⎭，所以()f x 为奇函数，符合题意，当1a =-时()()2211log log 11x x f x x x---==--函数无意义，故舍去；综上可得1a =，函数的定义域为()1,1-.（2）因为()21log 1x f x x +=-，则()()22221log (1)log log (1)log 11x f x x x x x++-=+-=+-，因为2()log (1)f x x m +-<恒成立，所以()2log 1x m +<对任意的()1,1x ∈-恒成立，又()2log 1y x =+在()1,1-上单调递增，所以()22log 1log 21x +<=，所以m 1≥，即m 的取值范围是[)1,+∞.考点十：反函数及其性质应用例10.（23-24高一上·湖南长沙·期中）若对数函数()f x 经过点()4,2，则它的反函数()g x 的解析式为（）A ．()2xg x =B ．()12xg x ⎛⎫= ⎪⎝⎭C ．()4xg x =D ．()2g x x=【答案】A【解析】设()log a f x x =，函数过()4,2，即()4log 42a f ==，即2a =，()2log f x x =，它的反函数()g x 的解析式为()2xg x =.故选：A【变式10-1】（23-24高一上·辽宁大连·期末）函数y =的反函数是（）A ．()22y x x =+-∞<<+∞B ．()222y x x =+≥C ．()222y x x =+≤D ．()220y x x =+≤【答案】D【解析】∵y =，∴0y ≤，∴y -=22y x =-，∴22x y =+，将x ，y 调换可得，()220y x x =+≤，故函数y =()220y x x =+≤．故选：D ．【变式10-2】（23-24高二上·天津和平·月考）如果直线2y ax =+与直线3y x b =-关于直线y x =对称，那么a ，b 的值分别为（）A ．13a =，6b =B ．13a =-，6b =C ．3a =，2b =-D ．3a =，6b =【答案】A【解析】因为直线2y ax =+与直线3y x b =-关于直线y x =对称，显然0b ≠，所以函数2y ax =+与函数3y x b =-互为反函数，又因为3y x b =-的反函数为1133y x b =+，所以13123a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即136a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，故选：A 【变式10-3】（23-24高一上·辽宁沈阳·月考）设函数()y f x =存在反函数()1y f x -=，且函数()2y x f x =-的图象过点()2,3，则函数()1y f x --的图象一定过点（）A ．()1,1-B ．()3,2C ．()1,0D ．()2,1【答案】A【解析】因为函数()2y x f x =-的图象过点()2,3，所以()2223f -=，解得()21f =，即()y f x =的图象过点()2,1，所以()1y f x -=的图象过点()1,2，()1y f x -=-的图象过点()1,2-，所以()1y f x -的图象过点()1,1-，故选：A一、单选题1．（23-24高一下·黑龙江绥化·开学考试）函数()()1ln 3f x x x=++的定义域为（）A ．(],3-∞-B ．(),3-∞-C ．()3,-+∞D ．()()3,00,-⋃+∞【答案】D【解析】因为()()1ln 3f x x x=++，所以030x x ≠⎧⎨+>⎩，解得3x >-且0x ≠，所以()f x 的定义域为()()3,00,-⋃+∞.故选：D.2．（23-24高一上·全国·课后作业）若函数()2()33log a f x a a x =-+是对数函数，则a 的值是（）A ．1或2B ．1C ．2D ．0a >且1a ≠【答案】C【解析】∵函数()2()33log a f x a a x =-+是对数函数，∴2331a a -+=，0a >且1a ≠，解得1a =或2a =，∴2a =，故选：C ．3．（23-24高一上·安徽马鞍山·期末）已知01a <<，在同一坐标系中，函数x y a -=与log a y x =-的图象可能是（）A ．B ．C．D．【答案】B【解析】由题意若01a <<，则指数函数1xxa y a-=⎛⎫= ⎪⎝⎭单调递增，并过定点()0,1，函数log a y x =单调递减，并过定点()1,0，而函数log a y x =-与函数log a y x =关于x 轴对称，所以log a y x =-单调递增，并过定点()1,0，对比选项可知，只有B 选项符合题意.故选：B.4．（23-24高一上·福建福州·月考）已知函数()5log f x x =，()g x 是()f x 的反函数，则()()11f g +=（）A ．10B ．8C ．5D ．2【答案】C【解析】因为函数()5log f x x =，()g x 是()f x 的反函数，故()5x g x =，故()()15log 15511f g =++=.故选：C5．（23-24高一下·湖南衡阳·开学考试）已知2169log 3,2,log 2a b c -===，则,,a b c 的大小关系为（）A ．a c b >>B ．c b a >>C ．a b c >>D ．c a b>>【答案】A【解析】依题意，1633111log 3log log 31627a ==>=，922111log 2log 9log 38c ==<=，又291log 2log 24c b -=>===，所以,,a b c 的大小关系为a c b >>.故选：A6．（23-24高一下·湖南长沙·期中）若函数()()ln 11f x a x ⎡⎤=-+⎣⎦在()2,3上单调递减，则实数a 的取值范围是（）A ．(),1-∞B ．2,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】易知函数ln y x =在(0,)+∞上单调递增，又函数()f x 在(2,3)上单调递减，所以()10a -<且()1310a -⨯+≥，解得213a ≤<．即实数a 的取值范围为2[,1)3故选：B二、多选题7．（23-24高一上·贵州黔南·月考）关于函数()2()lg 23f x x x =+-，下列说法正确的是（）A ．()f x 的定义域为()3,1-B ．()f x 的定义域为()(),31,∞∞--⋃+C ．()f x 的单调递增区间为()1,∞-+D ．()f x 的单调递减区间为(),3∞--【答案】BD【解析】由()2()lg 23f x x x =+-，得2230x x +->，解得1x >或3x <-，所以()f x 的定义域为()(),31,∞∞--⋃+，故A 错误，B 正确；令223u x x =+-，其在()1,∞+上单调递增，在(),3∞--上单调递减，又函数lg y u =在定义域内为增函数，所以()f x 的单调递减区间为(),3∞--，单调递增区间为()1,∞+，故C 错误，D 正确.故选：BD.8．（23-24高一下·贵州贵阳·月考）已知函数()ln 1ln 1f x x x =+--，则下列有关该函数叙述正确的有（）A ．()f x 是偶函数B ．()f x 是奇函数C ．()f x 在()1,1-上单调递增D ．()f x 的值域为()0,∞+【答案】BC【解析】函数()ln 1ln 1f x x x =+--，由1010x x ⎧+>⎪⎨->⎪⎩，解得1x ≠±，因此()f x 的定义域为()()(),11,11,∞∞--⋃-⋃+，显然()()ln 1ln 1f x x x f x -=--+=-，函数()f x 是奇函数，A 错误，B 正确；函数()12lnln 111x f x x x +==+--，显然ln y x =在()0,∞+单调递增，当11x -<<时，()2ln 11f x x ⎛⎫=-⎪-⎝⎭，函数211y x =--在()1,1-上单调递增，于是()f x 在()1,1-上单调递增，C 正确；当1x <-或1x >时，()2ln 11f x x ⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭，函数211y x =+-在()(),1,1,∞∞--+上单调递减，于是()f x 在()(),1,1,∞∞--+上单调递减，图像如图所示，所以值域为R ，故D 错误.故选:BC ．三、填空题9．（23-24高一·上海·假期作业）函数()()2lg 4f x x x =-+的值域是．【答案】(],2lg 2-∞【解析】由题意得240-+>x x ，即04x <<，所以()f x 的定义域为()0,4，因为24t x x =-+对称轴为2x =，且开口向下，且lg y x =在定义域内单调递增，由复合函数的单调性可知：()f x 在()0,2上单调递增，在()2,4上单调递减，当0x →（或4x →）时，()f x →-∞，当2x =时，()22lg 2f =，所以()(],2lg 2f x ∈-∞，故答案为：(],2lg2-∞．10．（23-24高一上·云南曲靖·月考）函数()log 325a y x =++（0a >且1a ≠）的图象恒过定点.【答案】1,53⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】令321x +=，解得13x =-，又1log 32553ay ⎡⎤⎛⎫=⨯-++= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以函数()log 325a y x =++（0a >且1a ≠）的图象恒过定点1,53⎛⎫- ⎪⎝⎭.故答案为：1,53⎛⎫- ⎪⎝⎭11．（23-24高一上·陕西咸阳·期末）已知函数()13xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象与()g x 的图象关于直线y x =对称，则()21g x +的值域为．【答案】(],0-∞【解析】因为函数()13xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象与()g x 的图象关于直线y x =对称，所以()13log g x x =，因此()()22131log 1g x x +=+，因为211x +≥，所以()21133log 1log 10x +≤=，因此()21g x +的值域为(],0-∞，故答案为：(],0-∞四、解答题12．（23-24高一上·云南昆明·期末）设函数()log (3)(,10a f x x a =-+>且1)a ≠．(1)若(12)3f =，解不等式()0f x >；(2)若()f x 在[4,5]上的最大值与最小值之差为1，求a 的值．【答案】(1)10(,)3+∞；(2)2a =或12a =【解析】（1）由(12)3f =可得log (123)13a -+=，解得3a =，即3()log (3)1,(3)f x x x =-+>，则()0f x >，即3log (3)10x -+>，即310,1333x x x >⎧⎪∴>⎨->⎪⎩，故不等式()0f x >的解集为10(,)3+∞；（2）由于()f x 在[4,5]上的最大值与最小值之差为1，故log 11(log 21)1a a +-+=，即log 21,2a a =∴=或12a =，即a 的值为2a =或12a =.13．（23-24高一上·河南驻马店·月考）已知函数()()()lg 1lg 1f x x x =--+．(1)求函数()y f x =的定义域；(2)判断函数()y f x =的奇偶性并说明理由；(3)求证：对于任意的()1,1x ∈-都有()2221x f f x x ⎛⎫= ⎪+⎝⎭．【答案】(1)()1,1-；(2)奇函数，理由见解析；(3)证明见解析【解析】（1）由1010x x +>⎧⎨->⎩，得11x -<<，∴函数()f x 的定义域为()1,1-．（2）因为()()11lg lg 11x x f x f x x x-+==-=--+-，且定义域为()1,1-，关于原点对称，所以函数()f x 为()1,1-上的奇函数.（3）对于任意()1,1x ∈-，有2222121lg 2111xx x f x x x -⎛⎫+= ⎪+⎝⎭++222221(1)lg lg 21(1)x x x x x x -+-==+++，又()221(1)22lg lg 1(1)x x f x x x --==++，所以()2221x f f x x ⎛⎫= ⎪+⎝⎭.。

高三数学一轮复习讲义对数与对数函数

对数与对数函数对数与对数运算内容对数的概念、运算性质，换底公式转化为自然对数或常用对数，对数化简运算的作用知识点1、定义：一般地a x =N ，x 是以a 为底N 的对数，记x=log a N ；x -对数、a -底数、N -真数2、对数的性质(1) log a 1=0，log a a =1 (2) a log a N =N (N>0)，log a a N =N (3) 负数、0没有对数3、对数运算性质，a > 0且a ≠ 1，M > 0，N > 0，则(1) log a (MN )=log a M +log a N (2) log a MN =log a M -log a N(3) log a M n =n log a M (n ∈R) (4) log a b =log m blog m a易错点对数运算时真数大于0例1 天文学中，天体的明暗程度可用星等或亮度描述。

两颗星的星等与亮度满足m 2 - m 1 = 52 lg E 1E 2，其中星等为m k 的星的亮度为E k (k =1,2)。

已知太阳的星等是-26.7，天狼星的星等是-1.45，则太阳与天狼星的亮度比值为()A 1010.1B 10.1C lg10.1D 10-10.1【答案】 A【分析】注意对实际问题中公式的理解【详解】m 2-m 1=52 lg E 1E 2 知：-1.45-(-26.7)=52 lg E 1E 2 ，E 1E 2 =1010.1【考核】对数应用例2 等比数列{a n }的各项均为正数，且a 10a 11 + a 9a 12 = 2e 5，则ln a 1 + ln a 2 +...+ ln a 20 =_____ 【答案】50【分析】对数的和等于真数积的对数【详解】ln a 1 + ln a 2 + ... + ln a 20 = 120219101110ln()ln()...ln()a a a a a a +++= 10 ln(a 10a 11)∵a 10a 11 + a 9a 12 = 2 a 10a 11 = 2e 5，ln(a 10a 11 ) = 5 ∴ln a 1 + ln a 2 + ... + ln a 20 = 50【考核】对数运算公式：log a (MN )=log a M +log a N 应用例3 计算(lg2)2 + lg2·lg50 + lg25=___ 【答案】2 【分析】【详解】(lg2)2 + lg2·lg50 + lg25 = lg2(lg2 + lg50) + 2lg5 = 2lg2 + 2lg5 = 2(lg2 + lg5) = 2 【考核】对数的运算：幂指数前置作乘，和变积例4 已知7p =2，7q =5，则lg2用p 、q 表示为_____ 【答案】 qp + q 【分析】【详解】p = log 27 =lg7lg2 ，q = log 57 = lg7lg5 ：p q = lg5lg2 = 1 - lg2lg2∴ lg2 =q p + q【考核】对数运算：换底公式的应用、除变差例5 计算lg8 + lg125 - lg2 - lg5lg 10 ·lg0.1【答案】- 4 【分析】【详解】lg8 + lg125 - lg2 - lg5 = 3lg2 + 3lg5 - lg2 - lg5 = 2(lg2 + lg5) = 2lg 10 ·lg0.1 = 12 ·(-1) = - 12∴lg8+lg125-lg2-lg5lg 10 ·lg0.1= - 4【考核】对数运算：加变乘例6 若log 2(log 3x ) = log 3(log 2y ) = 2，则x + y =_____ 【答案】593 【分析】【详解】log 2(log 3x ) = 2 ⇒ x = 34log 3(log 2y ) = 2 ⇒ y = 29 x + y = 593【考核】对数运算例7 函数f(x ) = ln(1+9x 2 -3x ) + 1，则f(lg2) + f(lg 12) = ( )A -1B 0C 1D 2【答案】D 【分析】【详解】f(x ) = ln(1+9x 2 - 3x ) + 1，f(-x ) = ln(1+9x 2 + 3x ) + 1∴有f(x ) + f(-x ) = 2f(lg2) + f(lg 12) = f(lg2) + f(-lg2) = 2【考核】对数运算：和变积总结对数运算、换底公式，明确公式成立的条件，防止错混；熟悉变换应用、逆应用等对数函数图像与性质内容对数函数模型、概念、单调性、图像特点知识点例1 函数y = 3 + log a (2x + 3)的图像必过( )A (-1,3)B (-1,4)C (0,1)D (2,2)【答案】A【分析】应用log a 1 = 0【详解】2x + 3 = 1，x = -1；必过(-1,3)【考核】对数的性质例2 已知a = log0.60.5，b = ln0.5，c = 0.60.5，则( )A a > b > cB a > c > bC c > a > bD c > b > a 【答案】B【分析】选用特殊中间值：0、1作比较【详解】log0.60.5 > 1 > 0.60.5 > 0 > ln0.5【考核】对数、指数的大小比较例3 已知y = log a (8 - 3ax)在[1,2]上递减，则实数a的取值范围( )A (0,1)B (1,43 )C (43,4) D (1,+∞)【答案】B【分析】a > 0，3a > 0：y = 8 - 3ax 单调减，复合函数y = log a (8 - 3ax )在[1,2]上递减即y = log a x 在[1,2]上递增【详解】y = log a x 在[1,2]上递增，得a > 1；而8 - 3ax > 0在[1,2]上成立，有a < 43【考核】含对数函数的复合函数单调性，对数的性质，不等式例4 函数f(x ) = ln x 的图像与函数g(x ) = x 2 - 4x + 4的图像的交点个数为( ) A 0B 1C 2D 3【答案】C【分析】数形结合【详解】【考核】对数函数图像例5 已知x = log 2 3 - log 2 3 ，y = log 0.5 π，z = 0.9-1.1，则( ) A x < y < zB z < y < xC y < z < xD y < x < z【答案】D【分析】转化成对数形式，以函数的方法与中间值比较大小【详解】log 2 3 - log 2 3 = 12 log 2 3，log 0.5 π = - log 2 π，0.9-1.1 = (109)1.1- log2 π < 0 < 12<12log2 3 < 1 < (109)1.1【考核】对数比较大小例6定义在R上是偶函数f(x)满足f(x+2) = f(x)，且当x∈[0,1]时，f(x) = x，则函数y = f(x) - log3|x|的零点个数( )A 2B 3C 4D 6【答案】C【分析】利用函数奇偶性、周期性判断f(x)与log3|x|交点个数【详解】偶函数f(x)，x∈[-1,0]时f(x) = f(- x) = - x【考核】函数图形及性质例7 偶函数f(x)在(0,+∞)上单调递增，a = f(log2 13)，b = f(32)，c = f(log3 2)，则下列关系式正确的是( )A a < b < cB a < c < bC c < a < bD c < b < a 【答案】D【分析】利用函数奇偶性和单调性，根据自变量大小比较函数值大小【详解】log2 13=- log2 3，log3 2 =1log2 3(1 < log2 3 < 2)；32= log2 2 2偶函数知：a = f(log2 13) = f(-log2 3) = f(log2 3)∴0 <1log2 3< 1 < log2 2 2 < log2 3【考核】对数的公式的灵活应用，比较大小例8 f(x )是定义在R 上的偶函数，对x ∈R ，都有f(x -2) = f(x +2)，且当x ∈[-2,0]时，f(x ) = (12 )x-1，若在区间(-2,6)内关于x 的方程f(x ) - log a (x +2) = 0 (a > 1)恰好有3个不同的实数根，则a 的取值范围( ) A (2,+∞) B (1,2) C (34 ,2)D (34 ,2]【答案】C【分析】奇偶性、周期性求出最小周期内的函数解析式，根据方程中3个不同实根，即函数图像有3个不同交点：首先确定图像边界：如2、4个交点的情况，这两种情况之间为3个交点的情况【详解】x ∈R 有f(x -2) = f(x +2) ⇒ f(x ) = f(x +4)，T=4且令x ∈[0,2]有f(x ) = f(-x ) = (12)-x - 1 = 2x -1与log a (x +2)(a > 1)的函数图像如下【考核】奇偶性、周期性，周期函数、对数函数图像性质例9 已知函数f(x ) = ⎩⎨⎧ x - 1，x ≤22 + log a x ，x > 2(a > 0且a ≠ 1)的最大值为1，则a 的取值范围( )A [12,1) B (0,1)C (0,12]D (1,+∞)【答案】A【分析】2 + log a x ≤1在定义域内恒成立的问题【详解】x > 2时，2 + log a x ≤1即可：0 < a < 1，x ≥1a ⇒ 1a ≤2，a ≥12a > 1时log a x 单调增，故没有最大值【考核】对数函数单调性，图像的性质例10 函数f(x ) = log 2 (4x - x 2)的单调减区间是( )A (0,4)B (0,2)C (2,4)D (2,+∞) 【答案】C【分析】真数大于0确定定义域，根据复合函数单调性确定减区间【详解】y = 4x - x 2 > 0，即x ∈(0,4)且(0,2)↑，(2,4) ↓y = log 2 x 单调递增∴ 复合函数“同增异减”：log 2 (4x - x 2)在(2,4) ↓【考核】对数的性质，复合函数单调性例11 已知log a 34< 1，那么a 的取值范围是____【答案】(0,34)∪(1,+∞)【分析】根据底数a 讨论对数函数单调性，求解不等式【详解】0 < a < 1，log a 34 < 1有a < 34a > 1，log a 34 < 1恒成立得a ∈(0,34)∪(1,+∞)【考核】对数底数的讨论解不等式总结1、对数函数y = log a x 图像及应用(1) 特殊点：(a ,1)，(1,0)，(1a ,-1)(2) 一般对数函数：通过对y = log a x 平移、对称、翻转等变换得到 (3) 方程、不等式恒成立：利用对数函数图像，数形结合 2、对数函数的性质及应用(1) 对数大小比较：化同底形式确定大小；中间过渡值比较大小，如：0、1或其它特殊值(2) 图像法：观察函数图像比大小(3) 利用单调性：比大小、解不等式、求最值 3、对数综合性问题需注意(1) 底数的范围 (2) 定义域(3) 对数问题的等价转化。

【高中数学必修一】2.2.1 对数与对数运算-高一数学人教版(必修1)(解析版)

一、选择题1．将指数式2a =b 写成对数式为A ．log 2b =aB ．log a b =2C ．log 2a =bD ．log b 2=a【答案】A【解析】指数式2a =b 所对应的对数式是：log 2b =a ．故选A ．2．若log a b •log 3a =5，则b =A ．a 3B ．a 5C ．35D ．53 【答案】C3．如果log 3x =log 6x ，那么x 的值为A ．1B ．1或0C ．3D ．6【答案】A【解析】∵log 3x =log 6x ，36log 1log 1==0，而对数函数3log y x =，6log y x =在x >0时，具有单调性，因此x =1．故选A ．4．1411log 9+1511log 3= A ．lg3B ．–lg3C ．1lg3D ．–1lg3【答案】C 【解析】原式=191log 4+131log 5=131log 2+131log 5=131log 10=log 310=1lg3．故选C ．5．若x =12log 16，则x = A．–4 B ．–3 C ．3 D ．4【答案】A【解析】∵x =12log 16，∴2–x =24，∴–x =4，解得x =–4．故选A ．6．log 8127等于A ．34B ．43C ．12D ．13【答案】A【解析】log 8127=3lg334lg34=．故选A ． 7．计算lg （103–102）的结果为A ．1B ．32C ．90D ．2+lg9【答案】D8．若x log 34=1，则4x +4–x 的值为A ．3B ．4C ．174D ．103【答案】D【解析】∵x log 34=1，∴43log x =1，则4x =3，∴4x +4–x =3+11033=，故选D ． 9．273log 16log 4的值为 A ．2 B ．32 C ．1 D ．23【答案】D【解析】原式=164332734433log 2log log 23log log 3==．故选D ．二、填空题10．已知log 3（log 2x ）=1，那么x 的值为__________．【答案】8【解析】由log 3（log 2x ）=1，得log 2x =3，解得x =8．故答案为：8．11．已知lg2=a ，lg3=b ，用a ，b 的代数式表示lg12=__________．【答案】2a +b【解析】lg12=lg （3×4）=lg3+2lg2=2a +b ．故答案为：2a +b ．12．求值：2log 510+log 50.25–log 39=__________．【答案】0【解析】原式=()25log 100.25⨯–2=25log 5–2=2–2=0．故答案为：0．13．若lg2=a ，lg3=b ，则log 418=__________．（用含a ，b 的式子表示）【答案】22a b a+14．若log 32=log 23x ，则x =__________．【答案】223(log ) 【解析】∵log 32=log 23x ，∴32321log log x =，∴223(log )x =．故答案为：223(log )．三、解答题15．计算（log 43+log 83）（log 32+log 92）的值．【解析】（log 43+log 83）（log 32+log 92）=lg3lg3lg2lg2lg4lg8lg3lg9⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭=lg3lg3lg2lg22lg23lg2lg32lg3⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ =1111524364+++=． 16．解方程：log 2（x –1）+log 2x =1．【解析】∵log 2（x –1）+log 2x =1，∴log 2（x –1）x =1， ∴x （x –1）=2，解得x =–1或x =2，经检验，得x =–1是增根，x =2是原方程的解，∴x =2．17．计算：（1）lg 12–lg 58+lg12.5–log 89•log 34+0.5log 32；（2）0.21log 35-–（log 43+log 83）（log 32+log 92）．（2）0.21log 35-–（log 43+log 83）（log 32+log 92） =5÷51log 35–（log 6427+log 649）（log 94+log 92）=15–5362lg3lg2lg2lg3⨯ =15–1512=554． 18．解关于x 的方程：lg （x 2+1）–2lg （x +3）+lg2=0．【解析】∵lg （x 2+1）–2lg （x +3）+lg2=0，∴()2221lg (3)x x ++=0，∴()2221(3)x x ++=1，解得x =–1或x =7，经检验满足条件．∴方程的根为：x =–1或x =7．。

高中数学§3.5《对数与对数函数》知识点讲解附真题PPT课件

b.logab= 1 ,推广:logab·logbc·logcd=logad(a,b,c均大于零且不等于1,d大于零);
logba
c.lo
g
a
m
Mn=
n m
logaM(a>0且a≠1,m,n∈R,m≠0).
(3)对数的运算法则
如果a>0且a≠1,M>0,N>0,那么
a.loga(MN)=③
logaM+logaN
数a的取值范围为
.
解题导引 (1)
(2)
(3) 解析 (1)因为函数y=a|x|(a>0,且a≠1)的值域为{y|y≥1},所以a>1,故y=loga|x| 为偶函数且在(0,+∞)上单调递增,故函数y=loga|x|的大致图象如选项B所示. 故选B. (2)令y=g(x)=|ax2-x|,由题意知g(x)≠0,作出其图象如下:
logaN lg N
自然对数
底数为e
ln N
2.对数的性质与运算法则 (1)对数的性质 a.alogaN =① N (a>0且a≠1,N>0); b.logaaN=② N (a>0且a≠1). (2)对数的重要公式
a.换底公式:logbN=
loga N logab
(a,b均大于零且不等于1,N>0);
函数f(x)=loga|ax2-x|在[3,4)上是增函数,
若a>1,则y=logax在(0,+∞)上单调递增,0<
1 a
<1,由g(x)的图象可知g(x)在[3,4)
上递增,故f(x)=loga|ax2-x|在[3,4)上单调递增,故a>1时成立;若0<a<1,则

对数与对数函数知识点及例题讲解

对数与对数函数1.对数（1）对数的定义：如果a b =N （a ＞0，a ≠1），那么b 叫做以a 为底N 的对数，记作log a N =b . （2）指数式与对数式的关系：a b =N log a N =b （a ＞0，a ≠1，N ＞0）.两个式子表示的a 、b 、N 三个数之间的关系是一样的，并且可以互化. （3）对数运算性质: ①log a （MN ）=log a M +log a N . ②log a NM =log a M －log a N .③log a M n =n log a M .（M ＞0，N ＞0，a ＞0，a ≠1） ④对数换底公式：log b N =bNa a log log （a ＞0，a ≠1，b ＞0，b ≠1，N ＞0）.2.对数函数（1）对数函数的定义函数y =log a x （a ＞0，a ≠1）叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）.注意：真数式子没根号那就只要求真数式大于零,如果有根号,要求真数大于零还要保证根号里的式子大于零，底数则要大于0且不为1对数函数的底数为什么要大于0且不为1呢？在一个普通对数式里 a<0,或=1 的时候是会有相应b 的值的。

但是，根据对数定义: log a a=1；如果a=1或=0那么log a a 就可以等于一切实数（比如log 1 1也可以等于2，3，4，5，等等）第二，根据定义运算公式：log a M^n = nlog a M 如果a<0,那么这个等式两边就不会成立（比如，log (-2) 4^(-2) 就不等于(-2)*log (-2) 4；一个等于1/16，另一个等于-1/16）（2）对数函数的图象x y> Oxy<a <y = l o g x a 111()) x 轴对称.（3）对数函数的性质: ①定义域：（0，+∞）. ②值域：R .③过点（1，0），即当x =1时，y =0.④当a ＞1时，在（0，+∞）上是增函数；当0＜a ＜1时，在（0，+∞）上是减函数.基础例题1.函数f （x ）=|log 2x |的图象是11xy y y y OA BC D解析：f （x ）=⎩⎨⎧<<-≥.10,log ,1,log 22x x x x答案：A2.若f －1（x ）为函数f （x ）=lg （x +1）的反函数，则f －1（x ）的值域为___________________.解析：f －1（x ）的值域为f （x ）=lg （x +1）的定义域.由f （x ）=lg （x +1）的定义域为（－1，+∞），∴f －1（x ）的值域为（－1，+∞）. 答案：（－1，+∞）3.已知f （x ）的定义域为［0，1］，则函数y =f ［log 21（3－x ）］的定义域是__________.解析：由0≤log 21（3－x ）≤1⇒log 211≤log 21（3－x ）≤log 2121⇒21≤3－x ≤1⇒2≤x ≤25. 答案：［2，25］4.若log x 7y =z ，则x 、y 、z 之间满足A.y 7=x zB.y =x 7zC.y =7x zD.y =z x解析：由log x 7y =z ⇒x z =7y ⇒x 7z=y ，即y =x 7z . 答案：B5.已知1＜m ＜n ，令a =（log n m ）2，b =log n m 2，c =log n （log n m ），则A.a ＜b ＜cB.a ＜c ＜bC.b ＜a ＜cD.c ＜a ＜b解析：∵1＜m ＜n ，∴0＜log n m ＜1. ∴log n （log n m ）＜0. 答案：D6.若函数f （x ）=log a x （0＜a ＜1）在区间［a ，2a ］上的最大值是最小值的3倍，则a 等于 A.42B.22C.41D.21解析：∵0＜a ＜1，∴f （x ）=log a x 是减函数.∴log a a =3·log a 2a . ∴log a 2a =31.∴1+log a 2=31.∴log a 2=－32.∴a =42. 答案：A7.函数y ＝log 2｜ax －1｜（a ≠0）的对称轴方程是x ＝－2，那么a 等于A.21B.－21C.2D.－2解析：y =log 2|ax －1|=log 2|a （x －a1）|，对称轴为x =a1，由a1=－2 得a =－21. 答案：B注意：此题还可用特殊值法解决，如利用f （0）=f （－4），可得0=log 2|－4a －1|.∴|4a +1|=1.∴4a +1=1或4a +1=－1. ∵a ≠0，∴a =－21.8.函数f （x ）=log 2|x |，g （x ）=－x 2+2，则f （x ）·g （x ）的图象只可能是xyxyx yxyABC D解析：∵f （x ）与g （x ）都是偶函数，∴f （x ）·g （x ）也是偶函数，由此可排除A 、D.又由x →+∞时，f （x ）·g （x ）→－∞，可排除B. 答案：C9.设f －1（x ）是f （x ）=log 2（x +1）的反函数，若［1+ f －1（a ）］［1+ f －1（b ）］=8，则f （a +b ）的值为 A.1B.2C.3D.log 23解析：∵f －1（x ）=2x －1，∴［1+ f －1（a ）］［1+ f －1（b ）］=2a ·2b =2a +b .由已知2a +b =8，∴a +b =3. 答案：C10.方程lg x +lg （x +3）=1的解x =___________________. 解析：由lg x +lg （x +3）=1，得x （x +3）=10，x 2+3x －10=0. ∴x =－5或x =2.∵x ＞0，∴x =2. 答案：2典型例题【例1】已知函数f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧<+≥,4),1(,4,)21(x x f x x则f （2+log 23）的值为 A.31B.61C.121D.241剖析：∵3＜2+log 23＜4，3+log 23＞4， ∴f （2+log 23）=f （3+log 23）=（21）3+log 23=241. 答案：D【例2】求函数y ＝log 2｜x ｜的定义域，并画出它的图象，指出它的单调区间. 解：∵｜x ｜＞0，∴函数的定义域是｛x ｜x ∈R 且x ≠0｝.显然y ＝log 2｜x ｜是偶函数，它的图象关于y 轴对称.又知当x ＞0时，y ＝log 2｜x ｜⇔y ＝log 2x .故可画出y ＝log 2｜x ｜的图象如下图.由图象易见，其递减区间是（－∞，0），递增区间是（0，＋∞）.1-1O xy注意：研究函数的性质时，利用图象会更直观.【例3】已知f （x ）=log 31［3－（x －1）2］，求f （x ）的值域及单调区间.解：∵真数3－（x －1）2≤3，∴log 31［3－（x －1）2］≥log 313=－1，即f （x ）的值域是［－1，+∞）.又3－（x－1）2＞0，得1－3＜x ＜1+3，∴x ∈（1－3，1］时，3－（x －1）2单调递增，从而f （x ）单调递减；x ∈［1，1+3）时，f （x ）单调递增.注意：讨论复合函数的单调性要注意定义域.【例4】已知y =log a （3－ax ）在［0，2］上是x 的减函数，求a 的取值范围. 解：∵a ＞0且a ≠1，∴t =3－ax 为减函数.依题意a ＞1，又t =3－ax 在［0，2］上应有t ＞0，∴3－2a ＞0.∴a ＜23.故1＜a ＜23.【例5】设函数f （x ）=lg （1－x ），g （x ）=lg （1+x ），在f （x ）和 g （x ）的公共定义域内比较|f （x ）|与|g （x ）|的大小. 解：f （x ）、g （x ）的公共定义域为（－1，1）. |f （x ）|－|g （x ）|=|lg （1－x ）|－|lg （1+x ）|.（1）当0＜x ＜1时，|lg （1－x ）|－|lg （1+x ）|=－lg （1－x 2）＞0；（2）当x =0时，|lg （1－x ）|－|lg （1+x ）|=0；（3）当－1＜x ＜0时，|lg （1－x ）|－|lg （1+x ）|=lg （1－x 2）＜0. 综上所述，当0＜x ＜1时，|f （x ）|＞|g （x ）|；当x =0时，|f （x ）|=|g （x ）|；当－1＜x ＜0时，|f （x ）|＜|g （x ）|. 【例6】求函数y =2lg （x －2）－lg （x －3）的最小值.解：定义域为x ＞3，原函数为y ＝lg 3)2(2--x x .又∵3)2(2--x x ＝3442-+-x x x ＝31)3(2)3(2-+-+-x x x ＝（x －3）＋31-x ＋2≥4，∴当x ＝4时，y min ＝lg4.【例7】（2003年北京宣武第二次模拟考试）在f 1（x ）=x 21，f 2（x ）=x 2，f 3（x ）=2x ，f 4（x ）=log 21x 四个函数中，x 1＞x 2＞1时，能使21［f （x 1）+f （x 2）］＜f （221x x +）成立的函数是A.f 1（x ）=x 21B.f 2（x ）=x 2C.f 3（x ）=2xD.f 4（x ）=log 21x解析：由图形可直观得到：只有f 1（x ）=x 21为“上凸”的函数. 答案：A探究创新1.若f （x ）=x 2－x +b ，且f （log 2a ）=b ，log 2［f （a ）］=2（a ≠1）. （1）求f （log 2x ）的最小值及对应的x 值；（2）x 取何值时，f （log 2x ）＞f （1）且log 2［f （x ）］＜f （1）？解：（1）∵f （x ）=x 2－x +b ，∴f （log 2a ）=log 22a －log 2a +b . 由已知有log 22a －log 2a +b =b ，∴（log 2a －1）log 2a =0. ∵a ≠1，∴log 2a =1.∴a =2.又log 2［f （a ）］=2，∴f （a ）=4. ∴a 2－a +b =4，b =4－a 2+a =2.故f （x ）=x 2－x +2，从而f （log 2x ）=log 22x －log 2x +2=（log 2x －21）2+47.∴当log 2x =21即x =2时，f （log 2x ）有最小值47. （2）由题意⎪⎩⎪⎨⎧<+->+-2)2(log 22log log 22222x x x x ⇒⎩⎨⎧<<-<<>⇒21102x x x 或0＜x ＜1. 2.已知函数f （x ）=3x +k （k 为常数），A （－2k ，2）是函数y = f －1（x ）图象上的点.（1）求实数k 的值及函数f －1（x ）的解析式；（2）将y = f －1（x ）的图象按向量a =（3，0）平移，得到函数 y =g （x ）的图象，若2 f －1（x +m －3）－g （x ）≥1恒成立，试求实数m 的取值范围.解：（1）∵A （－2k ，2）是函数y = f －1（x ）图象上的点， ∴B （2，－2k ）是函数y =f （x ）上的点.∴－2k =32+k .∴k =－3. ∴f （x ）=3x －3.∴y = f －1（x ）=log 3（x +3）（x ＞－3）. （2）将y = f －1（x ）的图象按向量a =（3，0）平移，得到函数 y =g （x ）=log 3x （x ＞0），要使2 f －1（x +m －3）－g （x ）≥1恒成立，即使2log 3（x +m ）－log 3x ≥1恒成立，所以有x +xm +2m ≥3在x ＞0时恒成立，只要（x +xm +2m ）min ≥3.又x +xm ≥2m （当且仅当x =xm ，即x =m 时等号成立），∴（x +xm +2m ）min =4m ，即4m ≥3.∴m ≥169.小结1.对数的底数和真数应满足的条件是求解对数问题时必须予以特别重视的.2.比较几个数的大小是对数函数性质应用的常见题型.在具体比较时，可以首先将它们与零比较，分出正负；正数通常都再与1比较分出大于1还是小于1，然后在各类中间两两相比较.3.在给定条件下，求字母的取值范围是常见题型，要重视不等式知识及函数单调性在这类问题上的应用.。

2020高一数学必修一：对数运算与对数函数(1对1讲义)

对数运算与对数函数一、知识梳理1、对数的概念①、定义：一般地，如果 ()1,0≠>a a a 的b 次幂等于N, 就是 N a b =，那么数 b 叫做以a 为底 N 的对数，记作 b N a =log ，a 叫做对数的底数，N 叫做真数①、①底数的取值范围：),1()1,0(+∞ ；①真数的取值范围,0(+∞①、指数式与对数式的互化：例如：1642= ⇔ 216log 4= ; 100102=⇔2100log 10=2421= ⇔212log 4=; 01.0102=-⇔201.0log 10-= 注意：负数与零没有对数 ①、几个重要性质： (1)01log =a ，(2)1log =a a(3)对数恒等式:如果把 N a b = 中的 b 写成 N a log , 则有 N a N a =log ①、常用对数：我们通常将以10为底的对数叫做常用对数为了简便,N 的常用对数N 10log 简记作lgN 例如：5log 10简记作lg5 ; 5.3log 10简记作lg3.5.①、自然对数：在科学技术中常常使用以无理数e=2.71828……为底的对数，以e 为底的对数叫自然对数，为了简便，N 的自然对数N e log 简记作lnN例如：3log e 简记作ln3 ; 10log e 简记作ln10 2、对数的运算法则： 1、log ()log log a a a MN M N=+log ()log log a a a MM N N=- log log n m a a mM M n=对数换底公式：aNN m m a log log log =( a > 0 ,a ≠ 1 ，m > 0 ,m ≠ 1,N>0)证明：设 a log N = x , 则 x a = N两边取以m 为底的对数：N a x N a m m m x m log log log log =⇒=从而得：a N x m m log log = ① aN m m a log log = 2.两个常用的推论:①1log log =⋅a b b a ， 1log log log =⋅⋅a c b c b a① b mnb a n a m log log =（ a, b > 0且均不为1）【例题精讲】一、指数对数的互化例1、完成下列指数式和对数式的互化（1）1642= （2）100102= （3）212log 4= （4）201.0lg -= （5）01ln =同步练习1、完成下列指数和对数的互化（1）1024210= （2）92732= （3）2110lg = （4）4625log 5=总结：指数式与对数式的互化中底数位置不变，其他的两个数互换位置。

对数函数(解析版)

考点15 对数函数【命题解读】1、理解对数的概念及其运算性质，换底公式使用方法，对数函数的概念、图象与性质；2、对数函数图象常结合着零点问题、复合函数问题等综合考察，则为较难题【基础知识回顾】1、对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象与性质底数 a >10<a <1图象性质定义域：(0，＋∞)值域：R图象过定点(1，0)，即恒有log a 1＝0当x >1时，恒有y >0；当0<x <1时，恒有y <0 当x >1时，恒有y <0；当0<x <1时，恒有y >0 在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数注意当对数函数的底数a 的大小不确定时，需分a >1和0<a <1两种情况进行讨论2、反函数指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称．对数函数的图象与底数大小的比较3、如图，作直线y ＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数．故0＜c ＜d ＜1＜a ＜b .由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大．1、函数f(x)＝log 2(－x 2＋22)的值域为( )A . ⎝⎛⎭⎫－∞，32B . ⎝⎛⎦⎤－∞，32 C . ⎝⎛⎭⎫32，＋∞ D . ⎣⎡⎭⎫32，＋∞ 【答案】B【解析】由题意可得－x 2＋22>0，即－x 2＋22∈(0，22]得所求函数值域为⎝⎛⎦⎤－∞，32.故选B .2、当a >1时，在同一坐标系中，函数y ＝a －x 与y ＝log a x 的图象为( )【答案】 C ．[来源:学。

科。

网]【解析： y ＝a －x＝⎝⎛⎭⎫1a x，∵a >1，∴0<1a <1，则y ＝a －x 在(－∞，＋∞)上是减函数，过定点(0，1)；对数函数y ＝log a x 在(0，＋∞)上是增函数，过定点(1，0).故选C. 3、不等式log 12(2x ＋3)<log 12(5x －6)的解集为( )A.(－∞，3)B.⎝⎛⎭⎫－32，3C.⎝⎛⎭⎫－32，65D.⎝⎛⎭⎫65，3【答案】 D【解析：由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3>0，5x －6>0，2x ＋3>5x －6，解得65<x <3. 4、(2018苏州期末）已知4a＝2，log a x ＝2a ，则正实数x 的值为________．【答案】12【解析】由4a ＝2，得22a ＝21，所以2a ＝1，即a ＝12.由log 12x ＝1，得x ＝⎝⎛⎭⎫121＝12.5、(2018盐城三模）．函数()ln(1f x =的定义域为 ▲ ．【答案】(2,3]【解析】由题意，10->，1<，即031x ≤-<，解得23x <≤. 6、已知表中的对数值有且只有一个是错误的．x 3 5 6 8 9 lg x2a －ba ＋c －11＋a －b －c3(1－a －c )2(2a －b )试将错误的对数值加以改正为________．【答案】 lg 5＝a ＋c【解析：由2a －b ＝lg 3，得lg 9＝2lg 3＝2(2a －b )，从而lg 3和lg 9正确，假设lg 5＝a ＋c －1错误，由⎩⎪⎨⎪⎧1＋a －b －c ＝lg 6＝lg 2＋lg 3，31－a －c ＝lg 8＝3lg 2，得⎩⎪⎨⎪⎧lg 2＝1－a －c ，lg 3＝2a －b ，所以lg 5＝1－lg 2＝a ＋c ．因此lg 5＝a ＋c －1错误，正确结论是lg 5＝a ＋c ．考向一对数函数的性质及其应用例1、（1）函数y ＝2－log 2x 的定义域是（）A. (]0,4B. (],4-∞C. ()0,+∞D. ()0,1．（2）设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ＞0，log 12（－x ），x ＜0.若f (a )＞f (－a )，则实数a 的取值范围是________．（3）若f (x )＝lg(x 2－2ax ＋1＋a )在区间(－∞，1]上递减，则a 的取值范围为________．【答案】（1） A ．（2）(－1，0)∪(1，＋∞)．（3） [1，2) 【解析】（1）由2－log 2x ≥0，得log 2x ≤2＝log 222，解得0＜x ≤4．∴所求定义域是(0，4]．（2）由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，log 2a ＞－log 2a或⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，log 12（－a ）＞log 2（－a ），解得a ＞1或－1＜a ＜0． ∴a 的取值范围是(－1，0)∪(1，＋∞)．（3）．令函数g (x )＝x 2－2ax ＋1＋a ＝(x －a )2＋1＋a －a 2，对称轴x ＝a ，要使函数在上(－∞，1]递减，则有⎩⎪⎨⎪⎧g （1）＞0，a ≥1，，即⎩⎪⎨⎪⎧2－a ＞0，a ≥1，，解得1≤a ＜2，即a ∈[1，2)．变式1、（1）函数的定义域为（）A ．B ．C ．D ．（2）已知a ＝log 2e ，b ＝ln 2，c ＝log 1213，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a ＞b ＞cB ．b ＞a ＞cC ．c ＞b ＞aD ．c ＞a ＞b（3）设函数f (x )＝⎩⎨⎧log 2x ，x ＞0，log 12（－x ），x ＜0.若f (a )＞f (－a )，则实数a 的取值范围是( )A ．(－1，0)∪(0，1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－1，0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(0，1)【答案】（1）B （2）D （3）C 【解析】（1）由已知得，解得.故选B（2）因为c ＝log 1213＝log 23>log 2e ＝a ，所以c ＞a .因为b ＝ln 2＝1log 2e ＜1＜log 2e ＝a ，所以a ＞b . 所以c ＞a ＞b .（3）由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，log 2a ＞－log 2a 或⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，－log 2（－a ）＞log 2（－a ），解得a ＞1或－1＜a ＜0.故选C. 变式2、（1）已知是偶函数，则（）A ．B ．C ．D ．（2）（2020·浙江衢州·期中）已知，，，则（）0.22a =2log 0.2b =0.2log 0.3c =A ．B ．C ．D ．【答案】（1） C （2）C 【解析】（1）∵是偶函数， ∴∴∴∴，函数为增函数，∵，∴故选：C （2）：，，，且，所以，，，故. 故选：C方法总结：对数函数的性质有着十分广泛的应用，常见的有：比较大小，解不等式，求函数的单调区间和值域、最值等等．(1)对数值大小比较的主要方法：①化为同底数后利用函数的单调性；②化为同真数后利用图像比较；③借用中间量(0或1等)进行估值比较．(2)在利用指数函数的性质解决与指数函数相关的问题时，要特别注意底数a 的取值范围，并在必要时须分底数0<a <1和a >1两种情形进行分类讨论，防止错解．考向二对数函数的图像及其应用例1、（1）已知函数y ＝log a (x ＋c )(a ，c 为常数，其中a ＞0，且a ≠1)的图象如图，给出以下结论正确的是（）A ．a ＞1，c ＞1B ．a ＞1，0＜c ＜1；C ．0＜a ＜1，c ＞1D ．0＜a ＜1，0＜c ＜1．（2）当0＜x ≤12时，4x ＜log a x ，则a 的取值范围是（） A. 20,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭ B. 2,12⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭ C. 2,2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭D. 1,12⎛⎫⎪⎝⎭． a b c <<a c b <=22log 0.2log 10b =<=0.20.2log 0.3log 0.21c =<=0.20.2log 0.3log 10>=1a >0b <01c <<b c a <<（3）若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋6，x ≤2，3＋log a x ，x ＞2(a ＞0，且a ≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a 的取值范围是________．【答案】（1） C （2）B （3）1＜a ≤2．【解析】（1）由题图可知，函数在定义域内为减函数，所以0＜a ＜1．又当x ＝0时，y ＞0，即log a c ＞0，所以0＜c ＜1．（2）由题意得，当0＜a ＜1时，要使得4x＜log a x ⎝⎛⎭⎫0＜x ≤12，即当0＜x ≤12时，函数y ＝4x 的图象在函数y ＝log a x 图象的下方．又当x ＝12时，412＝2，即函数y ＝4x的图象过点⎝⎛⎭⎫12，2．把点⎝⎛⎭⎫12，2代入函数y ＝log a x ，得a ＝22．若函数y ＝4x 的图象在函数y ＝log a x 图象的下方，则需22＜a ＜1(如图所示)．当a ＞1时，不符合题意，舍去．所以实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫22，1．（3）．由题意f (x )的图象如下图，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＞1，3＋log a 2≥4，∴1＜a ≤2．变式1、函数y ＝ln(2－|x |)的大致图象为( )【答案】A【解析】令f (x )＝ln(2－|x |)，易知函数f (x )的定义域为{x |－2＜x ＜2}，且f (－x )＝ln(2－|－x |)＝ln(2－|x |)＝f (x )，所以函数f (x )为偶函数，排除选项C 、D. 由对数函数的单调性及函数y ＝2－|x |的单调性知A 正确．变式2、关于函数()||2||f x ln x =-下列描述正确的有( ) A ．函数()f x 在区间(1,2)上单调递增 B ．函数()y f x =的图象关于直线2x =对称C ．若12x x ≠，但12()()f x f x =，则124x x +=D ．函数()f x 有且仅有两个零点【答案】ABD ．【解析】函数()||2||f x ln x =-的图象如下图所示：由图可得：函数()f x 在区间(1,2)上单调递增，A 正确；函数()y f x =的图象关于直线2x =对称，B 正确；若12x x ≠，但12()()f x f x =，则124x x +=，C 错误；函数()f x 有且仅有两个零点，D 正确．故选：ABD ．变式3、（2020·浙江月考）已知函数y =sin ax +b (a >0)的图像如图所示，则函数y =log a (x +b )的图像可能是（）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】根据函数的图象求出、的范围，从而得到函数的单调性及图象特征，从而得出结论．详解：由函数的图象可得，，故函数是定义域内的减函数，且过定点. 结合所给的图像可知只有C 选项符合题意. 故选：C.方法总结：(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图像的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想求解．(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图像问题，利用数形结合法求解．考向三对数函数的综合及应用例3、关于函数f (x )＝ln 1－x1＋x ，下列说法中正确的有( ) A ．f (x )的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞) B ．f (x )为奇函数C ．f (x )在定义域上是增函数D ．对任意x 1，x 2∈(－1,1)，都有f (x 1)＋f (x 2)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 21＋x 1x 2【答案】 BD【解析】函数f (x )＝ln 1－x 1＋x ＝ln ⎝⎛⎭⎫21＋x －1，其定义域满足(1－x )(1＋x )＞0，解得－1＜x ＜1， ∴定义域为{x |－1＜x ＜1}．∴A 不对．由f (－x )＝ln 1＋x 1－x ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 1＋x －1＝－ln 1－x 1＋x ＝－f (x )，是奇函数，∴B 对．sin (0)y ax b a =+>a b log ()a y x b =+sin (0)y ax b a =+>201,23b a πππ<<<<213a ∴<<log ()a y xb =+(1,0)b -函数y ＝21＋x －1在定义域内是减函数，根据复合函数的单调性，同增异减， ∴f (x )在定义域内是减函数，C 不对． f (x 1)＋f (x 2)＝ln 1－x 11＋x 1＋ln 1－x 21＋x 2＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 11＋x 1×1－x 21＋x 2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 21＋x 1x 2.∴D 对．变式1、(多选)已知函数f (x )的图象与g (x )＝2x 的图象关于直线y ＝x 对称，令h (x )＝f (1－|x |)，则关于函数h (x )有下列说法，其中正确的说法为( )A ．h (x )的图象关于原点对称B ．h (x )的图象关于y 轴对称C ．h (x )的最大值为0D ．h (x )在区间(－1,1)上单调递增【答案】 BC【解析】函数f (x )的图象与g (x )＝2x 的图象关于直线y ＝x 对称， ∴f (x )＝log 2x ，h (x )＝log 2(1－|x |)，为偶函数，不是奇函数， ∴A 错误，B 正确；根据偶函数性质可知D 错误；∵1－|x |≤1，∴h (x )≤log 21＝0，故C 正确．变式2、已知函数f (x )＝3－2log 2x ，g (x )＝log 2x ．(1)当x ∈[1,4]时，求函数h (x )＝[f (x )＋1]·g (x )的值域；(2)如果对任意的x ∈[1,4]，不等式f (x 2)·f (x )>k ·g (x )恒成立，求实数k 的取值范围．【解析】 (1)h (x )＝(4－2log 2x )·log 2x ＝－2(log 2x －1)2＋2，因为x ∈[1,4]，所以log 2x ∈[0,2]，故函数h (x )的值域为[0,2]． (2)由f (x 2)·f (x )>k ·g (x )得 (3－4log 2x )(3－log 2x )>k ·log 2x ，令t ＝log 2x ，因为x ∈[1,4]，所以t ＝log 2x ∈[0,2]，所以(3－4t )(3－t )>k ·t 对一切t ∈[0,2]恒成立， ①当t ＝0时，k ∈R ；②当t ∈(0,2]时，k <(34)(3)t t t --恒成立，即k <4t ＋9t －15，因为4t ＋9t ≥12，当且仅当4t ＝9t ，即t ＝32时取等号，所以4t ＋9t －15的最小值为－3，综上，k ∈(－∞，－3)．变式3、已知函数f (x )＝log 4(ax 2＋2x ＋3)．(1)若f (1)＝1，求f (x )的单调区间；(2)是否存在实数a ，使f (x )的最小值为0？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．【解析】 (1)因为f (1)＝1，所以log 4(a ＋5)＝1，因此a ＋5＝4，即a ＝－1，这时f (x )＝log 4(－x 2＋2x ＋3)．由－x 2＋2x ＋3＞0，得－1＜x ＜3，即函数f (x )的定义域为(－1，3)．令g (x )＝－x 2＋2x ＋3，则g (x )在(－1，1)上单调递增，在(1，3)上单调递减．又y ＝log 4x 在(0，＋∞)上单调递增，所以f (x )的单调递增区间是(－1，1)，单调递减区间是(1，3)． (2)假设存在实数a ，使f (x )的最小值为0，则h (x )＝ax 2＋2x ＋3应有最小值1，因此应有⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，3a －1a ＝1，解得a ＝12. 故存在实数a ＝12，使f (x )的最小值为0.方法总结：：高考对对数函数的考查多以对数与对数函数为载体，考查对数的运算和对数函数的图像和性质的应用，且常与二次函数、方程、不等式等内容交汇命题．解决此类问题的关键是根据已知条件，将问题转化为(或构造)对数函数或对数型函数，再利用图像或性质求解．1、(2018全国卷Ⅲ)设0.2log 0.3a =，2log 0.3b =，则（）A ．0a b ab +<，0b <，所以0ab <，所以0ab a b <+<．故选B ．2、(2018全国卷Ⅲ)下列函数中，其图象与函数ln y x =的图象关于直线1x =对称的是（）A ．ln(1)y x =-B ．ln(2)y x =-C ．ln(1)y x =+D ．ln(2)y x =+【答案】B 【解析】设所求函数图象上任一点的坐标为(,)x y ，则其关于直线1x =的对称点的坐标为(2,)x y -，由对称性知点(2,)x y -在函数()ln f x x =的图象上，所以ln(2)y x =-，故选B ．3、（2017新课标Ⅰ）已知函数()ln ln(2)f x x x =+-，则A ．()f x 在(0,2)单调递增B ．()f x 在(0,2)单调递减C ．()y f x =的图像关于直线1x =对称D ．()y f x =的图像关于点(1,0)对称【答案】C 【解析】由2(1)()(2)x f x x x -'=-，02x <<知，()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减，排除A 、B ；又(2)ln(2)ln ()f x x x f x -=-+=，所以()f x 的图象关于1x =对称，C 正确．4、（2017新课标Ⅱ）函数2()ln(28)f x x x =--的单调递增区间是A ．(,2)-∞-B ．(,1)-∞C ．(1,)+∞D ．(4,)+∞【答案】D【解析】由2280x x -->，得2x <-或4x >，设228u x x =--，则(,2)x ∈-∞-，u 关于x 单调递减，(4,)x ∈+∞，u 关于x 单调递增，由对数函数的性质，可知ln y u =单调递增，所以根据同增异减，可知单调递增区间为(4,)+∞．选D ．5、（2020全国Ⅱ理9）设函数()ln 21ln 21f x x x =+--，则()f x（） A ．是偶函数，且在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增 B ．是奇函数，且在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递减 C ．是偶函数，且在1,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭单调递增 D ．是奇函数，且在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭单调递减【答案】D【解析】由()ln 21ln 21f x x x =+--得()f x 定义域为12x x ⎧⎫≠±⎨⎬⎩⎭，关于坐标原点对称，又()()ln 12ln 21ln 21ln 21f x x x x x f x -=----=--+=-，()f x ∴为定义域上的奇函数，可排除AC ；当11,22x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()()()ln 21ln 12f x x x =+--， ()ln 21y x =+在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，()ln 12y x =-在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减， ()f x ∴在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，排除B ；当1,2x ⎛⎫∈-∞- ⎪⎝⎭时，()()()212ln 21ln 12ln ln 12121x f x x x x x +⎛⎫=----==+ ⎪--⎝⎭， 2121x μ=+-在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减，()ln f μμ=在定义域内单调递增，根据复合函数单调性可知：()f x 在1,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭上单调递减，D 正确．故选D 6、(2018全国卷Ⅰ)已知函数22()log ()=+f x x a ，若(3)1=f ，则a =________．【答案】7-【解析】由(3)1f =得，22log (3)1a +=，所以92a +=，即7a =-．7、(2018全国卷Ⅲ)已知函数())1f x x =+，()4f a =，则()f a -=___．【答案】2-【解析】由())14f a a =+=，得)3a =，所以())11)1f a a a -=+=-+=-+312=-+=-．8、已知函数f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )，a >0且a ≠1．(1)求f (x )的定义域；(2)判断f (x )的奇偶性并予以证明；(3)当a >1时，求使f (x )>0的x 的解集．【解析】(1)要使函数f (x )有意义．则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，1－x >0，解得－1<x <1．故所求函数f (x )的定义域为{x |－1<x <1}．(2)由(1)知f (x )的定义域为{x |－1<x <1}，且f (－x )＝log a (－x ＋1)－log a (1＋x )＝－[log a (x ＋1)－log a (1－x )]＝－f (x )，故f (x )为奇函数．(3) 因为当a >1时，f (x )在定义域{x |－1<x <1}内是增函数，(4) 所以f (x )>0⇔x ＋11－x >1，解得0<x <1．所以使f (x )>0的x 的解集是{x |0<x <1}．。

高考数学一轮复习第2章函数、导数及其应用第6讲对数与对数函数讲义理(含解析)-人教版高三全

第6讲对数与对数函数[考纲解读] 1.理解对数的概念及其运算性质，能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数，熟悉对数在简化运算中的作用．2.理解对数函数的概念及对数函数的相关性质，掌握其图象通过的特殊点．(重点、难点)3.通过具体实例了解对数函数模型所刻画的数量关系，并体会对数函数是一类重要的函数模型．y＝a x(a>0且a≠1)与对数函数y＝log a x(a>0且a≠1)互为反函数．[考向预测] 从近三年高考情况来看，本讲为高考中的一个热点．预测2020年高考主要以考查对数函数的单调性的应用、最值、比较大小为主要命题方向，此外，与对数函数有关的复合函数也是一个重要的考查方向，主要以复合函数的单调性、恒成立问题呈现.1．对数2．对数函数的图象与性质续表3．反函数指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)与对数函数□01y ＝log a x (a >0，且a ≠1)互为反函数，它们的图象关于直线□02y ＝x 对称．1．概念辨析(1)log 2x 2＝2log 2x .( )(2)函数y ＝log 2(x ＋1)是对数函数．( )(3)函数y ＝ln 1＋x1－x 与y ＝ln (1＋x )－ln (1－x )的定义域相同．( )(4)当x >1时，若log a x >log b x ，则a 0，a ≠1，函数y ＝a x与y ＝log a (－x )的图象可能是( )答案 B解析 y ＝log a (－x )的定义域是(－∞，0)，所以排除A ，C ；对于选项D ，由y ＝a x的图象知0<a <1，由y ＝log a (－x )的图象知a >1，矛盾，故排除D.故选B.(2)设a ＝log 213，b ＝e －12 ，c ＝ln π，则( )A ．c <a <bB ．a <c <bC ．a 1，所以a <b <c .(3)有下列结论：①lg (lg 10)＝0；②lg (ln e)＝0；③若lg x ＝1，则x ＝10；④若log 22＝x ，则x ＝1；⑤若log m n ·log 3m ＝2，则n ＝9.其中正确结论的序号是________．答案 ①②③④⑤解析 lg (lg 10)＝lg 1＝0，故①正确；lg (ln e)＝lg 1＝0，故②正确；③④正确；log m n ·log 3m ＝log 3nlog 3m·log 3m ＝log 3n ＝2，故n ＝9，故⑤正确．(4)若函数y ＝f (x )是函数y ＝2x的反函数，则f (2)＝________. 答案 1解析由已知得f (x )＝log 2x ，所以f (2)＝log 22＝1.题型一对数式的化简与求值1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，3－x＋1，x ≤0，则f [f (1)]＋f ⎝⎛⎭⎪⎫log 312的值是________．答案 5解析因为f (1)＝log 21＝0，所以f [f (1)]＝f (0)＝2. 因为log 312<0，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 312＝3－log 312 ＋1 ＝3log 32＋1＝2＋1＝3.所以f [f (1)]＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 312＝2＋3＝5.2．计算下列各式： (1)lg 2＋lg 5－lg 8lg 50－lg 40；(2)log 34273log 5[4 12 log 210－(33) 23 －7log 72]．解 (1)原式＝lg 2×58lg 5040＝lg54lg 54＝1.＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34log 33－log 33·log 5(10－3－2) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34－1log 55＝－14.3．已知log 189＝a,18b＝5，试用a ，b 表示log 3645. 解因为log 189＝a,18b＝5，所以log 185＝b ，于是log 3645＝log 1845log 1836＝log 189×51＋log 182＝a ＋b 1＋log 18189＝a ＋b2－a.对数运算的一般思路(1)拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算性质化简合并．(2)合：将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算．如举例说明2(1)．(3)转化：a b＝N ⇔b ＝log a N (a >0，且a ≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化．如举例说明3中18b＝5的变形．计算下列各式：(1)计算(lg 2)2＋lg 2·lg 50＋lg 25的结果为________； (2)若lg x ＋lg y ＝2lg (2x －3y )，则log 32 xy 的值为________；(3)计算：(log 32＋log 92)·(log 43＋log 83)＝________. 答案 (1)2 (2)2 (3)54解析 (1)原式＝lg 2(lg 2＋lg 50)＋lg 52＝lg 2×lg 100＋2lg 5＝2(lg 2＋lg 5)＝2lg 10＝2. (2)由已知得lg (xy )＝lg (2x －3y )2，所以xy ＝(2x －3y )2，整理得4x 2－13xy ＋9y 2＝0，即4⎝ ⎛⎭⎪⎫x y 2－13×x y＋9＝0，解得x y ＝1或x y ＝94.由x >0，y >0,2x －3y >0可得xy＝1，不符合题意，舍去，所以log 32 x y ＝log 3294＝2.(3)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 2lg 3＋lg 2lg 9·⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 3lg 4＋lg 3lg 8＝⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 2lg 3＋lg 22lg 3·⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 32lg 2＋lg 33lg 2＝3lg 22lg 3·5lg 36lg 2＝54. 题型二对数函数的图象及应用1．(2019·某某模拟)函数f (x )＝lg (|x |－1)的大致图象是( )答案 B解析易知f (x )为偶函数，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x －1，x >1，lg －x －1，x <－1，当x ＞1时，y ＝lg x 的图象向右平移1个单位，可得y ＝lg (x －1)的图象，结合选项可知，f (x )的大致图象是B.2．当0<x ≤12时，4x<log a x ，则a 的取值X 围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1 C ．(1，2) D ．(2，2) 答案 B解析构造函数f (x )＝4x和g (x )＝log a x ，画出两个函数在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上的草图(图略)，可知，若g (x )经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2，则a ＝22，所以a 的取值X 围为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1. 条件探究1 若举例说明2变为：若方程4x＝log a x 在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上有解，某某数a 的取值X围．解若方程4x ＝log a x 在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上有解，则函数y ＝4x和函数y ＝log a x 在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上有交点，由图象知⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，log a 12≤2，解得0<a ≤22. 条件探究2 若举例说明2变为：若不等式x 2－log a x <0对x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12恒成立，某某数a的取值X 围．解由x 2－log a x <0得x 2<log a x ，设f 1(x )＝x 2，f 2(x )＝log a x ，要使x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12时，不等式x 2<log a x 恒成立，只需f 1(x )＝x 2在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上的图象在f 2(x )＝log a x 图象的下方即可．当a >1时，显然不成立；当0<a <1时，如图所示，要使x 2<log a x 在x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上恒成立，需f 1⎝ ⎛⎭⎪⎫12≤f 2⎝ ⎛⎭⎪⎫12，所以有⎝ ⎛⎭⎪⎫122≤log a 12，解得a ≥116，所以116≤a <1.即实数a 的取值X 围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫116，1.条件探究3 若举例说明2变为：当0<x ≤14时，x <log a x ，某某数a 的取值X 围．解若x <log a x 在x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14时成立，则0<a <1，且y ＝x 的图象在y ＝log a x 图象的下方，如图所示，由图象知14<log a 14，所以⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，a12 >14，解得116<a <1.即实数a 的取值X 围是⎝ ⎛⎭⎪⎫116，1.1．对数函数图象的特征(1)底数与1的大小关系决定了图象的升降，即a >1时，图象上升；0<a <1时，图象下降．(2)对数函数在同一直角坐标系中的图象如图，其中图象的相对位置与底数大小有关，图中0<c <d <1<a 1和0<a <1的两种不同情况．(2)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想求解．(3)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．如举例说明2.1．已知lg a ＋lg b ＝0(a >0且a ≠1，b >0且b ≠1)，则函数f (x )＝a x与g (x )＝－log b x 的图象可能是( )答案 B解析因为lg a ＋lg b ＝0，所以lg (ab )＝0，所以ab ＝1，即b ＝1a，故g (x )＝－log b x＝－log 1ax ＝log a x ，则f (x )与g (x )互为反函数，其图象关于直线y ＝x 对称，结合图象知，B 正确．2．设实数a ，b 是关于x 的方程|lg x |＝c 的两个不同实数根，且a <b <10，则abc 的取值X 围是________．答案 (0,1)解析由图象可知0<a <1<b <10，又因为|lg a |＝|lg b |＝c ，所以lg a ＝－c ，lg b ＝c ，即lg a ＝－lg b ，lg a ＋lg b ＝0，所以ab ＝1，于是abc ＝c ，而0<c <1. 故abc 的取值X 围是(0,1)．题型三对数函数的性质及应用角度1 比较对数值的大小1．(2018·某某高考)已知a ＝log 2e ，b ＝ln 2，c ＝log 1213，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a >b >cB ．b >a >cC ．c >b >aD ．c >a >b 答案 D解析因为e ＝2.71828…>2，所以a ＝log 2e>log 22＝1；b ＝ln 2<ln e ＝1；又因为c ＝log 1213＝log 23>log 22＝1，又因为a ＝log 2e<log 23＝c ，所以c >a >b .角度2 解对数不等式2．(2018·某某模拟)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，log 12 －x ，x <0，若f (a )>f (－a )，则实数a 的取值X 围是( ) A ．(－1,0)∪(0,1) B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) C ．(－1,0)∪(1，＋∞) D ．(－∞，－1)∪(0,1) 答案 C解析若a >0，则log 2a >log 12 a ，即2log 2a >0，所以a >1.若a <0，则log 12 (－a )>log 2(－a )，即2log 2(－a )<0，所以0<－a <1，－1<a <0.综上知，实数a 的取值X 围是(－1,0)∪(1，＋∞)．角度3 与对数函数有关的综合问题 3．已知函数f (x －3)＝log ax6－x(a >0，且a ≠1)． (1)判断f (x )的奇偶性，并说明理由； (2)当0<a <1时，求函数f (x )的单调区间．解令x －3＝u ，则x ＝u ＋3，于是f (u )＝log a 3＋u3－u (a >0，且a ≠1，－30，且a ≠1，－3<x <3)．(1)因为f (－x )＋f (x )＝log a 3－x 3＋x ＋log a 3＋x3－x ＝log a 1＝0，所以f (－x )＝－f (x )．又定义域(－3,3)关于原点对称．所以f (x )是奇函数．(2)令t ＝3＋x 3－x ＝－1－6x －3，则t 在(－3,3)上是增函数，当0<a <1时，函数y ＝log a t是减函数，所以f (x )＝log a3＋x3－x(0<a <1)在(－3,3)上是减函数，即函数f (x )的单调递减区间是(－3,3)．1．比较对数值大小的方法若底数为同一常数可由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母，则需对底数进行分类讨论若底数不同，真数相同可以先用换底公式化为同底后，再进行比较若底数与真数都不同常借助1,0等中间量进行比较，如举例说明12．求解对数不等式的两种类型及方法类型方法形如 log a x >log a b 借助y ＝log a x 的单调性求解，如果a 的取值不确定，需分a >1与0<a <1两种情况讨论形如 log a x >b 需先将b 化为以a 为底的对数式的形式，再借助y ＝log a x 的单调性求解3．解决与对数函数有关的综合问题单调性的步骤一求求出函数的定义域二判判断对数函数的底数与1的关系，分a >1与0<a <1两种情况判断内层函数和外层函数的单调性，运用复合函数“同增异减”的原则判断函数的单调性，如举例说明3(2)1．(2016·全国卷Ⅰ)若a >b >1,0<c <1，则( ) A ．a cb >1,0<c <1，知a c>b c，A 错误； ∵0<c <1，∴－1<c －1<0，∴y ＝x c －1在x ∈(0，＋∞)上是减函数，∴bc －1>ac －1，又ab >0，∴ab ·bc －1>ab ·ac －1，即ab c >ba c，B 错误；易知y ＝log c x 是减函数，∴0>log c b >log c a ，∴log b c <log a c ，D 错误；由log b c <log a c <0，得－log b c >－log a c >0，又a >b >1>0，∴－a log b c >－b log a c >0，∴a log b c 0，若f [f (x )]≥－2，则x 的取值X 围为( )A ．[－2,1]B ．[42，＋∞)C ．[－2,1]∪[42，＋∞) D．[0,1]∪[42，＋∞) 答案 C解析解法一：①若x ≤0，则f [f (x )]＝log 22x＝x ≥－2，所以－2≤x ≤0.②若x >1，则f [f (x )]＝log 2(log 2x )≥－2，log 2x ≥2－2，x ≥2 14 ＝42，所以x ≥42. ③若0<x ≤1，则f [f (x )]＝2log 2x＝x ≥－2，所以0<x ≤1.综上知，x 的取值X 围是[－2,1]∪[42，＋∞)．解法二：作出函数f (x )的图象如下：由图象可知，若f [f (x )]≥－2，则f (x )≥14或f (x )≤0.再次利用图象可知x 的取值X 围是[－2,1]∪[42，＋∞)． 3．函数f (x )＝log 2x ·log 2(2x )的最小值为________．答案－14解析 f (x )＝12log 2x ·2log 2(2x )＝log 2x (log 22＋log 2x ) ＝log 2x ＋(log 2x )2＝⎝⎛⎭⎪⎫log 2x ＋122－14，所以当log 2x ＝－12，即x ＝22时，f (x )取得最小值－14.。

(word完整版)高一《对数与对数函数》讲义【解析版】

对数与对数函数【高考要求】1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化为自然对数或常用对数，了解对数在简化运算中的作用.2.理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性与函数图象通过的特殊点，知道指数函数y ＝a x与对数函数y ＝log a x 互为反函数(a>0，a ≠1)，体会对数函数是一类重要的函数模型．【知识梳理】1.对数的概念 (1)对数的定义如果a x ＝N (a >0且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作___ x ＝log a N ___，其中__ a __叫做对数的底数，__ N __叫做真数.真数N 为正数（负数和零无对数）．说明：①实质上，上述对数表达式，不过是指数函数x a y =的另一种表达形式，例如：8134=与81log 43=这两个式子表达是同一关系，因此，有关系式.log N x N a a x =⇔=②“log ”同“+”“×”“”等符号一样，表示一种运算，即已知一个数和它的幂求指数的运算，这种运算叫对数运算，不过对数运算的符号写在数的前面。

③对数的底数和真数从对数的实质看：如果a b ＝N (a >0且a ≠1)，那么b 叫做以a 为底N 的对数，即b ＝log a N .它是知道底数和幂求指数的过程.底数a 从定义中已知其大于0且不等于1；N 在对数式中叫真数，在指数式中，它就是幂，所以它自然应该是大于0的.(2)几种常见对数2．对数的性质与运算法则（1）．对数基本性质：log 10a =，log 1a a =，log a NaN =---对数恒等式（2）．对数运算性质：若0,1,0,0a a M N >≠>>且，则： ①log ()log log a a a MN M N=+②log log log aa a MM N N =-③log log ()na a M n M n R =∈（3）．换底公式：log log (0,1;0,1;0)log c a c bb a ac c b a=>≠>≠> 推论：①log log (,,0)m na a nM M m n R m m=∈≠ ②1log log a b b a =点评：（1）要熟练掌握公式的运用和逆用。

第09讲-对数与对数函数(讲义版)

第09讲-对数与对数函数一、考情分析1.理解对数的概念和运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；2.通过具体实例，了解对数函数的概念．能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点；3.知道对数函数y＝log a x与指数函数y＝a x互为反函数(a>0，且a≠1)．二、知识梳理1.对数的概念一般地，对于指数式a b＝N，我们把“以a为底N的对数b”记作log a N，即b＝log a N(a>0，且a≠1).其中，数a叫做对数的底数，N叫做真数，读作“b等于以a为底N的对数”.2.对数的性质、换底公式与运算性质(1)对数的性质：①a log a N＝N；②log a a b＝b(a>0，且a≠1).(2)对数的运算法则如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么①log a(MN)＝log a M＋log a N；②log a MN＝log a M－log a N；③log a M n＝n log a M(n∈R)；④log a m M n＝nm log a M(m，n∈R，且m≠0).(3)换底公式：log b N＝log a Nlog a b(a，b均大于零且不等于1).3.对数函数及其性质(1)概念：函数y＝log a x(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞).(2)对数函数的图象与性质a>10<a<1图象性质定义域：(0，＋∞)值域：R4.反函数指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称. [微点提醒]1.换底公式的两个重要结论 (1)log a b ＝1log ba ；(2)log a mb n ＝n m log a b . 其中a >0，且a ≠1，b >0，且b ≠1，m ，n ∈R .2.在第一象限内，不同底的对数函数的图象从左到右底数逐渐增大.3.对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象过定点(1，0)，且过点(a ，1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，－1，函数图象只在第一、四象限.三、经典例题考点一对数的运算【例1-1】 (1)计算：⎝⎛⎭⎫lg 14－lg 25÷100－12＝________. (2)计算：（1－log 63）2＋log 62·log 618log 64＝________.【解析】 (1)原式＝(lg 2－2－lg 52)×10012＝lg ⎝⎛⎭⎫122×52×10＝lg 10－2×10＝－2×10＝－20.(2)原式＝1－2log 63＋(log 63)2＋log 6 63·log 6(6×3)log 64＝1－2log 63＋(log 63)2＋1－(log 63)2log 64＝2(1－log 63)2log 62＝log 66－log 63log 62＝log 62log 62＝1.规律方法 1.在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算法则化简合并.2.先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算.3.a b ＝N ⇔b ＝log a N (a >0，且a ≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化. 考点二对数函数的图象及应用【例2-1】 (1)若函数f (x )＝a x －a －x (a >0且a ≠1)在R 上为减函数，则函数y ＝log a (|x |－1)的图象可以是( )(2)当x ∈(1，2)时，不等式(x －1)2<log a x 恒成立，则a 的取值范围是( ) A.(0，1) B.(1，2) C.(1，2]D.⎝⎛⎭⎫0，12 【解析】 (1)由f (x )在R 上是减函数，知0<a <1.又y ＝log a (|x |－1)是偶函数，定义域是(－∞，－1)∪(1，＋∞).∴当x >1时，y ＝log a (x －1)的图象由y ＝log a x 向右平移一个单位得到.因此选项D 正确. (2)由题意，易知a >1.在同一坐标系内作出y ＝(x －1)2，x ∈(1，2)及y ＝log a x 的图象.若y ＝log a x 过点(2，1)，得log a 2＝1，所以a ＝2.根据题意，函数y ＝log a x ，x ∈(1，2)的图象恒在y ＝(x －1)2，x ∈(1，2)的上方. 结合图象，a 的取值范围是(1，2].规律方法 1.在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项.2.一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解. 考点三对数函数的性质及应用【例3－1】已知函数f (x )＝ln x ＋ln(2－x )，则( ) A.f (x )在(0，2)上单调递增 B.f (x )在(0，2)上单调递减C.y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称D.y ＝f (x )的图象关于点(1，0)对称解析由题意知，f (x )＝ln x ＋ln(2－x )的定义域为(0，2)，f (x )＝ln[x (2－x )]＝ln[－(x －1)2＋1]，由复合函数的单调性知，函数f (x )在(0，1)上单调递增，在(1，2)上单调递减，所以排除A ，B ；又f (2－x )＝ln(2－x )＋ln x ＝f (x )，所以f (x )的图象关于直线x ＝1对称，C 正确，D 错误. 答案 C【例3－2】 (1)(一题多解)已知a ＝log 2e ，b ＝ln 2，c ＝log 1213，则a ，b ，c 的大小关系为( )A.a >b >cB.b >a >cC.c >b >aD.c >a >b(2)若log a (a 2＋1)<log a 2a <0，则a 的取值范围是( ) A.(0，1) B.⎝⎛⎭⎫0，12 C.⎝⎛⎭⎫12，1D.(0，1)∪(1，＋∞)【解析】 (1)法一因为a ＝log 2e>1，b ＝ln 2∈(0，1)，c ＝log 1213＝log 23>log 2e ＝a >1，所以c >a >b .法二 log 1213＝log 23，如图，在同一坐标系中作出函数y ＝log 2x ，y ＝ln x 的图象，由图知c >a >b .(2)由题意得a >0且a ≠1，故必有a 2＋1>2a ，又log a (a 2＋1)<log a 2a <0，所以0<a <1，同时2a >1，∴a >12.综上，a ∈⎝⎛⎭⎫12，1. 【例3－3】已知函数f (x )＝log a (3－ax ).(1)当x ∈[0，2]时，函数f (x )恒有意义，求实数a 的取值范围；(2)是否存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由.【解析】 (1)∵a >0且a ≠1，设t (x )＝3－ax ，则t (x )＝3－ax 为减函数，x ∈[0，2]时，t (x )的最小值为3－2a ，当x ∈[0，2]时，f (x )恒有意义，即x ∈[0，2]时，3－ax >0恒成立.∴3－2a >0.∴a <32.又a >0且a ≠1，∴a 的取值范围是(0，1)∪⎝⎛⎭⎫1，32. (2)t (x )＝3－ax ，∵a >0， ∴函数t (x )为减函数.∵f (x )在区间[1，2]上为减函数，∴y ＝log a t 为增函数，∴a >1，x ∈[1，2]时，t (x )最小值为3－2a ，f (x )最大值为f (1)＝log a (3－a )，∴⎩⎪⎨⎪⎧3－2a >0，log a（3－a ）＝1，即⎩⎨⎧a <32，a ＝32.故不存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1. 规律方法 1.确定函数的定义域，研究或利用函数的性质，都要在其定义域上进行. 2.如果需将函数解析式变形，一定要保证其等价性，否则结论错误.3.在解决与对数函数相关的比较大小或解不等式问题时，要优先考虑利用对数函数的单调性来求解.在利用单调性时，一定要明确底数a 的取值对函数增减性的影响，及真数必须为正的限制条件. [方法技巧]1.对数值取正、负值的规律当a >1且b >1或0<a <1且00；当a >1且01时，log a b <0.2.利用单调性可解决比较大小、解不等式、求最值等问题，其基本方法是“同底法”，即把不同底的对数式化为同底的对数式，然后根据单调性来解决.3.比较幂、对数大小有两种常用方法：(1)数形结合；(2)找中间量结合函数单调性.4.多个对数函数图象比较底数大小的问题，可通过比较图象与直线y ＝1交点的横坐标进行判定.5.在对数式中，真数必须是大于0的，所以对数函数y ＝log a x 的定义域应为(0，＋∞).对数函数的单调性取决于底数a 与1的大小关系，当底数a 与1的大小关系不确定时，要分0<a <1与a >1两种情况讨论.6.在运算性质log a M α＝αlog a M 中，要特别注意条件，在无M >0的条件下应为log a M α＝αlog a |M |(α∈N +，且α为偶数).7.解决与对数函数有关的问题时需注意两点：(1)务必先研究函数的定义域；(2)注意对数底数的取值范围.四、课时作业1．（2020·土默特左旗金山学校高一开学考试（文））设82log 9log 3a=，则实数a 的值为（）A ．32B ．23C ．1D ．22．（2020·长春市第二十九中学高三期末（理））函数y ＝ln |x |＋1的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．3．（2020·陕西省高三开学考试（文））若24log log 1x y +=，则（）A ．22x y =B ．24x y =C ．22xy =D ．24xy =4．（2020·九台市第四中学高一期末）函数0.5log (43)y x =-的定义域为（）A ．（34，1） B ．（34，∞） C ．（1，+∞） D ．（34，1）∪（1，+∞） 5．（2020·海南省海南中学高三月考）已知实数ln22a =，22ln2b =+，2(ln2)c =，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．c a b <≠，若1234x x x x <<<，且()()()()1234f x f x f x f x ===，则12341111x x x x +++=（）A ．2B ．4C ．8D ．随a 值变化7．（2020·榆林市第二中学高三零模（理））等比数列{}n a 的各项均为正数，且564718a a a a +=，则3132310log log log a a a +++=（）A ．12B ．10C ．8D ．32log 5+8．（2020·甘肃省甘谷第一中学高二开学考试（理））已知0,0a b >>，且1ab =，则函数()x f x a =与函数()log b g x x =-的图像可能是（）A ．B ．C ．D ．9．（2020·湖南省宁乡一中高一期末）设函数()1232,2()log 1,2x e x f x x x -⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩，则()()2f f 的值为（） A ．0 B ．1 C ．2 D ．310．（2020·甘肃省甘谷第一中学高一开学考试）已知函数2()log (23)a f x x x =+-，若(2)0f >，则此函数的单调递增区间是（）A ．(1,)(,3)+∞-∞- B ．(,3)-∞-B ．C ．(,1)-∞-D ．(1,)+∞11．（2020·内蒙古自治区集宁一中高二月考（文））已知定义在R 上的函数()f x 在区间[)0,+∞上单调递增，且()1y f x =-的图象关于1x =对称，若实数a 满足()12log 2f a f ⎛⎫<- ⎪⎝⎭，则a 的取值范围是（）A ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭C ．1,44⎛⎫⎪⎝⎭D ．()4,+∞12．（2020·甘肃省高三一模（文））若函数()20202020log 1010f x a x ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭为奇函数（其中a 为常数），则不等式()0f x ≥的整数解的个数是（） A ．1011B ．1010C ．2020D ．202113．（2020·湖南省宁乡一中高一期末）计算：02lg 2lg53⎛⎫++ ⎪⎝⎭的值是________． 14．（2020·江苏省盐城中学高三月考）已知函数221()log (1)1x a x f x x x ⎧+≤=⎨->⎩，，，若[(0)]2f f =，则实数a 的值是_______．15．（2020·海南枫叶国际学校高一期末）不用计算器求下列各式的值（1）()11230988.6427-⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）7log 23lg25lg472log +++16．（2020·甘肃省甘谷第一中学高一开学考试）设函数33()log (9)log (3)f x x x =⋅，且199x ≤≤．（1）求(3)f 的值；（2）令3log t x =，将()f x 表示成以t 为自变量的函数；并由此，求函数()f x 的最大值与最小值及与之对应的x 的值．17．（2020·四川省乐山沫若中学高一月考）已知函数()()()3 01a f x log ax a a -≠＝＞且．（1）当[]02x ∈，时，函数()f x 恒有意义，求实数a 的取值范围；（2）是否存在这样的实数a ，使得函数f （x ）在区间[]12，上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由．18．（2020·天水市第一中学高一月考）已知函数()()lg 2(01)x xf x m m =-<<．（1）当12m =时，求()f x 的定义域；（2）试判断函数()f x 在区间(,0)-∞上的单调性，并给出证明；（3）若()f x 在区间(,1]-∞-上恒取正值，求实数m 的取值范围．19．（2020·甘肃省甘谷第一中学高二开学考试（文））已知函数()log (2)(0,1)a f x x a a =+>≠．（1）求函数()f x 定义域；（2）若(2)2f =，判断函数()f x 单调性，并用单调性定义证明；（3）解关于x 的不等式()0f x >．20．（2020·山西省大同一中高二月考（理））已知函数()()2232log ,log f x x g x x =-=. (1)当[]1,4x ∈时，求函数()()()1h x f x g x ⎡⎤=+⋅⎣⎦的值域；(2)如果对任意的[]1,4x ∈，不等式()()2f x fk g x ⋅>⋅恒成立，求实数k 的取值范围．。

第18讲对数及对数式运算5大考题型总结(解析版)高一数学同步教学题型(人教A版2019必修第一册)

第18讲对数及对数式运算5大常考题型总结【考点分析】考点一：对数式的运算①对数的定义：一般地，如果(0x a N a =>且1)a ≠，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，读作以a 为底N 的对数，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数．②常见对数的写法：1.一般对数：以(0a a >且1)a ≠为底，记为log Na，读作以a 为底N 的对数；2.常用对数：以10为底，记为lg N ；3.自然对数：以e 为底，记为ln N ；③对数的性质：1.特殊对数：1log 0a =；log 1aa =；其中0a >且1a ≠2.对数恒等式：log Na a N =(其中0a >且1a ≠，0N >)3.对数换底公式：log log log c a c b b a =如：252log 7lg7ln 7log 7=log 5lg5ln 7==．倒数原理：1log log a b b a =如：321log 2log 3=．约分法则：log log log a b a b c c⋅=④对数的运算法则：1.log ()log log a a a MN M N =+；2.log log log aa a MM N N=-；3.log log (m na a nb b m m=，)n R ∈； 4.log a b a b =和log b a a b =．【题型目录】题型一：对数的定义题型二:指数对数的互化题型三:对数的运算求值题型四：换底公式的应用题型五：对数式的应用题【典型例题】题型一：对数的定义【例1】（2021·全国高一课前预习）在()()31log 32a b a -=-中，实数a 的取值范围为______.【答案】1223,3332⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【解析】由题意，要使式子()()31log 32a b a -=-有意义，则满足310311320a a a ->⎧⎪-≠⎨⎪->⎩，解得1233a <<或2332a <<，即实数a 的取值范围为1223,,3332⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故答案为：1223,3332⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【题型专练】1．（2022江苏省江阴市第一中学高一期中）使式子(31)log (3)x x --有意义的x 的取值范围是（）A ．3x >B ．3x <C ．133x <<D ．133x <<且23x ≠()1k +有意义，则实数k 的取值范围是______.【答案】()()1,00,1-U 【分析】结合对数性质建立不等关系，即可求解.【详解】若()()1log 1k k +-有意义，则满足101110k k k +>⎧⎪+≠⎨⎪->⎩，解得()()1,00,1k ∈-⋃.故答案为：()()1,00,1-U 题型二:指数对数的互化【例1】（2022全国高一专题练习）将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式.（1）53=125；（2）4-2=116；（3）log 3127=-3.【答案】（1）log 5125=3；（2）41log 216=-；（3）31327-=【解析】（1）∵53=125，∴log 5125=3.（2）∵21416-=，∴41log 216=-.（3）∵31log 327=-，∴31327-=【题型专练】1.（2022全国高一课前预习）把下列指数式化为对数式，对数式化为指数式．（1）3128-=；（2）17ab ⎛⎫= ⎪⎝⎭；（3）1lg31000=-．【答案】（1）21log 38=-；（2）17log b a =；（3）31101000-=．【解析】（1）由3128-=可得21log 38=-；（2）由17ab ⎛⎫= ⎪⎝⎭得17log b a =；（3）由1lg31000=-可得31101000-=．2.（2022全国高一课时练习）指数式和对数式互相转化：（1）4e a =⇒____________．（2）31327-=⇒____________．（3）21log 416=-⇒____________．（4）2log 83=⇒____________．【答案】ln 4a =31log 327=-41216-=328=【解析】log (0,1,0)ba a Nb N a a N =⇔=>≠>.故答案为：ln 4a =，31log 327=-，41216-=，328=.题型三:对数的运算求值【例1】（2022·浙江·高考真题）已知825,log 3ab ==，则34a b -=（）A ．25B ．5C ．259D ．53【例2】（2022陕西·长安一中高一期中）设函数()()211log 2,12,1x x x f x x -⎧+-<⎪=⎨≥⎪⎩，则2(2)(log 6)f f -⋅=（）A ．3B ．6C ．9D ．12【答案】C【分析】根据给定分段函数直接计算即可得解【详解】函数()()211log 2,12,1x x x f x x -⎧+-<⎪=⎨≥⎪⎩，则2(2)1log 43f -=+=，2log 62(log 6)223f =÷=，所以2(2)(log 6)9f f -⋅=.故选：C【例3】（2022全国高一专题练习）计算：（1）659log 25log 3log 6⋅⋅=_________．（2）()()24525log 5log 0.2log 2log 0.5++=_________．（3）235111log log log 2589⋅⋅=_________．（4）()24892log 3log 9log 27log 3log n n ++++⋅=L __________．（5）6log +=__________．【答案】11412-5212【解析】（1）原式226565365331log 5log 3log 62log 5log 3log 6log 5log 3log 62=⋅⋅=⋅⨯=⋅⋅lg5lg3lg 61lg 6lg5lg3=⋅⋅=（2）原式25log 5log log 2log log ⎛⎫⎛⎫=++=⋅ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭25111log 5log 2224=⨯=（3）原式232235235log 5log 2log 32log 5(3)log 2(2)log 3---=⋅⋅=-⨯-⨯-23512log 5log 2log 312=-⋅⋅=-（4）原式()2322322223log 3log 3log 3log 3log n n =++++⋅L ()22522222335log 3log 3log 3log 3log 2log 35lo 2g 22nn n =++++⋅=⨯=L（5）26662log log log 61===Q 所以原式12故答案为：1，14，12-，52，12【例4】（2022·全国·高一课时练习）已知()122021log 5a x x x ⋅⋅⋅=，则222122021log log log a a a x x x ++⋅⋅⋅+=______．【答案】10【分析】由同底数对数加法公式以及log log ba a Nb N =，可得答案.。

专题43对数与对数函数(精讲精析篇)-新高考高中数学核心知识点全透视(原卷版)

专题4.3 对数与对数函数（精讲精析篇）一、核心素养1.对数的运算性质与对数的换底公式相结合考查对数的运算，凸显数学运算的核心素养．2．与不等式等问题相结合考查对数函数的图象及其应用，凸显直观想象、数学运算的核心素养．3．与不等式等问题相结合考查对数函数的单调性、值域等性质，凸显直观想象、逻辑推理和数学运算的核心素养．二、考试要求(1)理解对数的概念及其运算性质,知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用.(2)理解对数函数的概念,理解对数函数的单调性,掌握对数函数图像通过的特殊点.(3)知道对数函数是一类重要的函数模型.(4)了解指数函数y＝a x(a>0且a≠1)与对数函数y＝log a x(a>0且a≠1)互为反函数.三、主干知识梳理1．对数概念如果a x＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝log a N，其中a叫做对数的底数，N叫做真数，log a N叫做对数式性质对数式与指数式的互化：a x＝N⇔x＝log a N log a1＝0，log a a＝1，a log a N＝N运算法则log a(M·N)＝log a M＋log a Na>0，且a≠1，M>0，N>0 log aMN＝log a M－log a Nlog a M n＝n log a M(n∈R)换底公式log a b＝log c blog c a(a>0，且a≠1，c>0，且c≠1，b>0)2．对数函数的图象与性质y ＝log a x a >1 0<a <1图象性质定义域为(0，＋∞) 值域为R过定点(1,0)，即x ＝1时，y ＝0 当x >1时，y >0；当x >1时，y <0；当0<x <1时，y <0当0<x <1时，y >0在区间(0，＋∞)上是增函数在区间(0，＋∞)上是减函数3．底数的大小决定了图象相对位置的高低不论是a ＞1还是0＜a ＜1，在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大，如图，0<c <d <1<a 0且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称．二、真题展示1.（2021·天津高考真题）设0.3212log 0.3,log 0.4,0.4a b c ===，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a b c <<B ．c a b <<C ．b c a <<D ．a c b <<2.（2021·山东高考真题）已知点(),2P m -在函数13log y x=的图象上，点A 的坐标是()4,3，那么AP 的值是（） A ．10B ．210C ．62D ．52考点01 对数的概念与性质【典例1】（2021·天津高考真题）若2510a b ==，则11a b+=（）A ．1-B ．lg 7C ．1D ．7log 10【典例2】()52016? 1.2b aa b a b log b log a a b 浙江卷已知＞＞若＋＝，＝，则a ＝，b ＝ . 【典例3】对数式log (a －2)(5－a )＝b 中，实数a 的取值范围是 ( ) A ．(－∞，5) B ．(2,5) C ．(2，＋∞) D ．(2,3)∪(3,5)【错解】A由题意，得5－a >0，∴a <5. 【易错提醒】对数的底数和真数都有范围限制，不能只考虑真数范围而忽视底数的范围．【总结提升】1. 对数式log a N ＝b 是由指数式a b ＝N 变化得来的，两式底数相同，对数式中的真数N 就是指数式中的幂的值，而对数值b 是指数式中的幂指数，对数式与指数式的关系如图：并非所有指数式都可以直接化为对数式．如(－3)2＝9就不能直接写成log (－3)9＝2，只有a ＞0且a ≠1，N ＞0时，才有a x ＝N ⇔x ＝log a N . 2. 对数性质在计算中的应用(1)对数运算时的常用性质：log a a ＝1，log a 1＝0.(2)使用对数的性质时，有时需要将底数或真数进行变形后才能运用；对于多重对数符号的，可以先把内层视为整体，逐层使用对数的性质． 3. 运用对数恒等式时注意事项(1)对于对数恒等式a log a N ＝N 要注意格式：①它们是同底的；②指数中含有对数形式；③其值为对数的真数．(2)对于指数中含有对数值的式子进行化简，应充分考虑对数恒等式的应用．考点02 对数的化简、求值【典例4】（2020·上海高三专题练习）已知2log (2)log log a a a M N M N-=+，则MN 的值为（）A ．14B ．4C ．1D ．4或1【典例5】（2021·安徽庐阳·合肥一中高三月考（文））下列运算正确的是（）A ．51152log 10log 0.252+=B ．42598log 27log 8log 59⋅⋅=C ．lg 2lg5010+=D ．()()()22235log 23log 24+--=-【规律方法】 1.对数运算的一般思路(1)拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后利用对数运算性质化简合并．(2)合：将对数式化为同底数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算．2.应用换底公式应注意的事项(1)注意换底公式的正用、逆用以及变形应用．(2)题目中有指数式和对数式时，要注意将指数式与对数式统一成一种形式，注意转化与化归思想的运用． 3．对数式的条件求值问题要注意观察所给数字特征，分析找到实现转化的共同点进行转化． 4．利用换底公式计算、化简、求值的一般思路：思路一：用对数的运算法则及性质进行部分运算→换成同一底数．思路二：一次性统一换为常用对数(或自然对数)→化简、通分、求值．考点03 对数函数的图象及应用【典例6】（2020·上海高一课时练习）函数y x a =-与函数log ay x =在同一坐标系的图像只可能是（）A ．B ．C ．D ．【典例7】（2020·北京高三二模）已知函数f （x ）=log a x +b 的图象如图所示，那么函数g （x ）=a x +b 的图象可能为( )A ．B ．C ．D ．【典例8】（2019·江西高三高考模拟（文））已知函数lg ,0()1lg ,0x x f x x x >⎧⎪=⎨⎛⎫-< ⎪⎪⎝⎭⎩，若()()f m f m >-，则实数m 的取值范围是（） A ．(1,0)(1,)-⋃+∞ B ．(,1)(1,)-∞-+∞ C ．(1,0)(0,1)-D ．(,1)(0,1)-∞-【总结提升】log a y x =的底数变化，其图象具有如下变化规律：（1）上下比较：在直线1x =的右侧，1a >时，底大图低（靠近x 轴）；01a <<时，底大图高（靠近x 轴）．（2）左右比较（比较图象与1y =的交点）：交点横坐标越大，对应的对数函数的底数越大.【特别提醒】对于对数概念要注意以下两点：(1)在函数的定义中，a>0且a≠1.(2)在解析式y＝log a x中，log a x的系数必须为1，真数必须为x，底数a必须是大于0且不等于1的常数．考点04 对数函数的性质及应用1.对数值log a x的符号(x>0，a>0且a≠1)规律：“同正异负”．(1)当0<x<1,0<a<1或x>1，a>1时，log a x>0，即当真数x和底数a同大于(或小于)1时，对数log a x>0，即对数值为正数，简称为“同正”；(2)当0<x<1，a>1或x>1,0<a<1时，log a x<0，即当真数x和底数a中一个大于1，而另一个小于1时，也就是说真数x和底数a的取值范围“相异”时，对数log a x<0，即对数值为负数，简称为“异负”．因此对数的符号简称为“同正异负”．2.比较对数式大小的类型及相应的方法(1)若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母，则需对底数进行分类讨论．(2)若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较．(3)若底数与真数都不同，则常借助1,0,1等中间量进行比较．3.解对数不等式的类型及方法（1）形如log a x＞log a b的不等式，借助y＝log a x的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a ＜1两种情况讨论．（2）形如log a x＞b的不等式，需先将b化为以a为底的对数式的形式．【典例9】（2019·天津高考真题（文））已知，，，则的大小关系为（）A. B.C. D.【典例10】（2020·河北新乐市第一中学高二月考）函数()213()log23f x x x=-++的单调递增区间是________．【典例11】（2020·上海高三专题练习）函数20.5log (43)y x x =-的定义域为．【易错提醒】利用对数函数的性质，求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的．另外，解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的使用．考点05 对数函数、指数函数图象和性质的综合运用1. 对数函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)和指数函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y=x 对称．2．复合函数y ＝f [g (x )]及其里层函数μ＝g (x )与外层函数y ＝f (μ)的单调性之间的关系(见下表).函数单调性 y ＝f (μ) 增函数增函数减函数减函数 μ＝g (x ) 增函数减函数增函数减函数 y ＝f [g (x )]增函数减函数减函数增函数【典例12】（2019·浙江高考真题）在同一直角坐标系中，函数且的图象可能是（）A. B.C. D.【典例13】满足()()0f x f x --=，且在0,单调递减，若1479a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，1597b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，21log 9c =，则()f a ，()f b ，()f c 的大小关系为（）A ．()()()f b f a f c <且1a ≠）在区间[]2,4-上的最大值是16，（1）求实数a 的值；（2）假设函数()()22log 32g x x x a =-+的定义域是R ，求不等式()log 121a t -≤的实数t 的取值范围．【易错提醒】解答对数函数型问题，易忽视函数的定义域而导致错误. 【总结提升】(1)已知某函数是奇函数或偶函数，求其中某参数值时，常用方法有两种： ①由f (－x )＝f (x )或f (－x )＝－f (x )直接列关于参数的方程(组)，解之得结果．②由f (－a )＝f (a )或f (－a )＝－f (a )(其中a 是某具体数)得关于参数的方程(组)，解之得结果，但此时需检验． (2)用定义证明形如y ＝log a f (x )函数的单调性时，应先比较与x 1，x 2对应的两真数间的大小关系，再利用对数函数的单调性，比较出两函数值之间的大小关系．1.（2020·宾县第二中学高二期末（文））已知,a b ∈R ，则“ln ln a b >”是“11()()33ab<”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件2.（2019·北京高考真题（文））下列函数中，在区间（0，+）上单调递增的是( ) A.B.y =C.D.3．（2021·湖南高考真题）函数3()log (1)f x x =+的定义域为（） A ．(,1)-∞-B ．(1,)-+∞C ．[1,)-+∞D ．(0,)+∞4．（2018·全国高考真题（文））下列函数中，其图像与函数ln y x =的图像关于直线1x =对称的是( ) A ．ln(1)y x =-B ．ln(2)y x =-C ．ln(1)y x =+D ．ln(2)y x =+5．（2020·内蒙古自治区高三二模（文））已知函数()log a y x b =-的大致图象如下图，则幂函数ba y x =在第一象限的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．6．（2021·上海市进才中学高三月考）函数()lg(1)f x x -________．7.（2021·上海高三）若函数()()2log 1a f x x ax =---（0a >且1a ≠）有最大值，则a 的取值范围是___________.8．（2020·全国高一课时练习）已知g (x )＝log a (x ＋1)(a >0，且a ≠1)在(－1,0)上有g (x )>0，则f (x )＝a x 在R 上的单调性为_______．9．（2022·全国高三专题练习）化简：lg 2lg 5lg8lg 501g40+--＝________．10．（2021·河北张家口·高一期末）已知函数()()22log 4f x ax ax =-+.（1）若()f x 在1,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，则实数a 的取值范围是___________；（2）若()f x 的值域是R ，则实数a 的取值范围是___________.。

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（2）在使用公式的过程中，要注意公式成立的条件。

例如：真数为两负数的积，).5(log ).3(log 22--不能写成).5(log ).3(log 22--=).5(log )3(log 22-+-3.对数函数的图象与性质① 对数函数定义：函数)1,0(log ≠>=a a x y a 且称对数函数，说明：（1）一个函数为对数函数的条件是： ①系数为1；① 底数为大于0且不等于1的正常数； ② 变量为真数.③ 在对数式中，真数必须是大于0的，所以对数函数y ＝log a x 的定义域应为{x |x >0}. ④ 对数型函数的定义域：特别应注意的是：真数大于零、底数大于零且不等于1。

②函数图像：1）对数函数的图象都经过点（0，1），且图象都在第一、四象限；2）对数函数都以y 轴为渐近线（当10<<a 时，图象向上无限接近y 轴；当1>a 时，图象向下无限接近y 轴）；3）对于相同的)1,0(≠>a a a 且，函数x y x y aa 1log log ==与的图象关于x 轴对称。

a >1 0<a <1图象性质(1)定义域：__(0，＋∞) ______(2)值域：__ R ____(3)过点___(1,0)_______，即x ＝1 ______时，y ＝_0_____ (4)当x >1时，_ y >0 _______ 当0<x <1时，__ y <0______ (5)当x >1时，__ y <0______ 当0<x <1时，__ y >0 ______ (6)在(0，＋∞)上是___增__(7)在(0，＋∞)上是_减____4.反函数反函数及其性质①互为反函数的两个函数的图象关于直线x y =对称。

②若函数)(x f y =上有一点),(b a ，则),(a b 必在其反函数图象上，反之若),(a b 在反函数图象上，则),(b a 必在原函数图象上。

由对数的定义容易知道:指数函数y ＝a x 与对数函数___.y ＝log a x _______互为反函数，它们的图象关于直线 ___y ＝x _____对称. 由指数函数)1,0(≠>=a a a y x 的定义域R ∈x ，值域0>y ，容易得到对数函数)1,0(log ≠>=a a x y a 的定义域为0>x ，值域为R ，变化对图象的影响在第一象限内，从顺时针方向看图象，逐渐增大；在第四象限内，从顺时针方向看图象，逐渐减小.奇偶性非奇非偶【考点突破】考点一对数形式与指数形式的互化【例1-1】下列指数式改写成对数式；①1624= ②27133=- ③205=a ④45.021=⎪⎭⎫⎝⎛b【例1-2】下列对数式改写成指数式；①3125log 5= ②23log 31-= ③699.1lg -=a【例1-3】求下列各式的.x①32log 8-=x ； ②4327log =x ； ③0)(log log 52=x ； ④.1)(lg log 3=x 【解析】①由32log 8-=x ，得32332)2(8--==x ，即41=x ；②由4327log =x ，得2743=x ，即3433=x ，故813)3(4343===x ；③由0)(log log 52=x ，得.12log 05==x 故551==x ； ④由1)(lg log 3=x ，得.3lg =x 故.1000103==x【点评】对数的定义是对数形式和指数形式互化的依据，而对数形式与指数形式的互化又是解决问题重要手段。

考点二对数式的化简求值与运算性质【例2-1】计算下列各式.①2log ②lg100ln + ③lg 25＋lg 2·lg 50＋(lg 2)2； ④(log 32＋log 92)·(log 43＋log 83).【解析】 ①22211log log log 21222==-=-②122115lg100lg10ln 2lg10ln 2222e e +=+=+=+= ③原式＝(lg 2)2＋(1＋lg 5)lg 2＋lg 52＝(lg 2＋lg 5＋1)lg 2＋2lg 5＝(1＋1)lg 2＋2lg 5＝2(lg 2＋lg 5)＝2.④原式＝⎝⎛⎭⎫lg 2lg 3＋lg 2lg 9·⎝⎛⎭⎫lg 3lg 4＋lg 3lg 8＝⎝⎛⎭⎫lg 2lg 3＋lg 22lg 3·⎝⎛⎭⎫lg 32lg 2＋lg 33lg 2＝3lg 22lg 3·5lg 36lg 2＝54. 【例2-2】已知,518,9log 18==b a 求.45log 36解法一：∵518,9log 18==b a ，∴.5log 18b =∴.2918log 12log 15log 9log )218(log )59(log 36log 45log 45log 181818181818181836a ba b a -+=++=++=⨯⨯==解法二：∵,518,9log 18==b a ∴.18lg 5lg ,18lg 9lg b a == ∴.218lg 18lg 218lg 18lg 9lg 18lg 25lg 9lg 918lg )59lg(36lg 45lg 45log 236a ba ab a -+=-+=-+=⨯==【例2-3】设3643==y x ，求yx 12+的值. 【解析】（1）∵,364,363==y x ∴,36log ,36log 43==y x ∴3log 3log 36log 136log 113636363===x ， ,4log 4log 36log 136log 113636364===y ∴4log 3log 2123636+=+yx .1)49(log 36=⨯= 【探究提高】 (1)在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后再运用对数运算法则化简合并，在运算中要注意化同底和指数与对数互化. (2)熟练地运用对数的三个运算性质并配以代数式的恒等变形是对数计算、化简、证明常用的技巧. 【练习】(1)计算：log 2.56.25＋lg1001＋ln e ＋3log 122+= ．213 （2）求值：3log 333558log 932log 2log 2-+-【解析】原式32log 3)9log 32(log 2log 23333-+--=3332log 25log 223log 231=-++-=-②22lg 25lg8lg5lg 20(lg 2)3++⋅+；原式=2102lg52lg 2lg lg(210)lg 22++⋅⨯+=2lg )12)(lg 2lg 1()25lg(22++-+⨯=3(3)设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1b＝2，则m 的值为( )A.10 B ．10 C ．20 D ．100【答案】A考点三对数的概念及应用【例3-1】对数函数的判断随写【例3-2】若函数2(21)log (54)a y x a a -=+-+是对数函数，则a 的值为______.【例3-3】若函数22log [(1))4ay ax a x =+-+的定义域为R ，则实数a 的取值范围是_____________. 【练习】（1）对数函数的图象过点（16，2），则函数的解析式为_________ （2）函数y ＝log 23（2x －1）的定义域是( )A ．[1，2]B ．[1，2)C ．1[,1]2D ．1(,1]2【解析】由23log (21)0x -≥⇒0<2x －1≤1⇒12<x ≤1. 【答案】D考点四对数函数的图象及应用【例4-1】函数log (1)2a y x =+-(0,1)a a >≠的图象恒过点________【例4-2】已知0<a n ____ 【解析】 ∵m <0，n <0，∵mn＝log a c ·log c b ＝log a b <log a a ＝1，∴m >n .【规律方法】用对数函数的图象与性质比较大小（1）同底数的两个对数值的大小比较【注意底数范围】（2）同真数的对数值大小关系（3）同对数值比较真数大小（4）利用中间量(0或1)（5）作差或作商法，结合换底公式及对数运算性质.【练习】（1）已知函数f (x )＝log a (x ＋b ) (a >0且a ≠1)的图象过两点(－1,0)和(0,1)，则a ＝______，b ＝____.(2）若点(a ，b )在y ＝lg x 图象上，a ≠1，则下列点也在此图象上的是( )A. 1(,)b aB.(10,1)a b -C. 10(,1)b a+D .2(,2)a b（3）比较大小： log 1.10.7与log 1.20.7.【解析】作出y ＝log 1.1x 与y ＝log 1.2x 的图象，如图所示，两图象与x ＝0.7相交可知log 1.10.7<log 1.20.7. 【答案】（1）a ＝2，b ＝2. （2）D （3）<考点五对数函数的值域与最值随写考点六对数函数的性质及应用角度一对数型函数的奇偶性【例6-1】若函数22()log (2)a f x x x a =++是奇函数，则a =【解析】由于22()log (2)a f x x x a =++是奇函数，∴()()0f x f x -+=，即2222log (2)log (2)0a a x x a x x a +++-++=， ∴222log 20212a a a a =⇒=⇒=±，又0a >，∴22a = 角度二对数型函数的单调性【例6-2-1】22()log (65)f x x x =-+-的单调减区间为（）A ．[3,)+∞B ．(0,3]C ．(1,3]D ．[3,5)【例6-2-2】已知y =log a (2－ax )在区间[0，1]上是x 的减函数，求a 的取值范围．【解析】先求函数定义域：由2－ax ＞0，得ax ＜2又a 是对数的底数，∴a ＞0且a ≠1，∴x ＜a2 由递减区间[0，1]应在定义域内可得a2＞1，∴a ＜2，又2－ax 在x ∈[0，1]是减函数 ∴y =log a (2－ax )在区间[0，1]也是减函数，由复合函数单调性可知：a ＞1 ∴1＜a ＜2【规律方法】求解与对数函数有关的复合函数的单调性的步骤： ①确定定义域；②弄清函数是由哪些基本初等函数复合而成的，将复合函数分解成基本初等函数y ＝f (u )，u ＝g (x )； ③分别确定这两个函数的单调区间；④若这两个函数同增或同减，则y ＝f (g (x ))为增函数，若一增一减，则y ＝f (g (x ))为减函数，即“同增异减”．角度三比较对数值的大小【例6-3-1】比较大小：log 323与log 565【解析】 ∵log 323<log 31＝0，而log 565>log 51＝0，∴log 323<log 565.【例6-3-2】设a ＝log 3π，b ＝log 23，c ＝log 32，则 ( )A ．a >b >cB ．a >c >bC ．b >a >cD ．b >c >a【解析】a ＝log 3π>1，b ＝12log 23，则12<b<1，c ＝12log 32<12，∴a>b>c.【例6-3-3】已知10<<<<a y x ，则有（）A ．0)(log <xy aB ．1)(log 0<<xy aC ．2)(log 1<<xy aD ．2)(log >xy a【解析】∵a y x a <<<<,10，∴1log log =>a x a a ，同理1log >y a .∴2log log >+y x a a ，即.2)(log >xy a【答案】D角度四解简单的对数不等式或方程【例6-4】已知f (x )是偶函数，且在[0，＋∞)上是减函数，若f (lg x )＞f (2)，则x 的取值范围是( )A ．1(,1)100 B ．1(0,)(1,)100+∞ C ．1(,100)100D ．(0,1)(100,)+∞ 【解析】法一：不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧lg x ≥0lg x ＜2或⎩⎪⎨⎪⎧lg x ＜0－lg x ＜2，解得1≤x ＜100或1100＜x ＜1，所以1(,100)100x ∈ 法二：由偶函数的定义可知，f (x )＝f (－x )＝f (|x |)，故不等式f (lg x )＞f (2)可化为|lg x |＜2，即－2＜lg x ＜2，解得1100＜x ＜100。