数学归纳法1

§2.3 数学归纳法(1)

【学情分析】：

数学归纳法是一种特殊的直接证明的方法，在证明一些与正整数n（n取无限多个值）有关的数学命题时，数学归纳法往往是非常有用的研究工具，它通过有限个步骤的推理，证明n取无限多个正整数的情形。

【教学目标】：

（1）知识与技能：理解“归纳法”和“数学归纳法”的含意和本质；掌握数学归纳法证题的两个步骤一个结论；会用“数学归纳法”证明与正整数有关的数学命题。

（2）过程与方法：初步掌握归纳与推理的方法；培养大胆猜想，小心求证的辩证思维素质。

（3）情感态度与价值观：培养学生对于数学内在美的感悟能力。

【教学重点】：

借助具体实例了解数学归纳法的基本思想，掌握它的基本步骤(特别要注意递推步骤中归纳假设的运用和恒等变换的运用)，运用它证明一些与正整数有关的数学命题。【教学难点】：

如何理解数学归纳法证题的有效性；递推步骤中如何利用归纳假设。

【教学过程设计】：

【练习与测试】：

1．在用数学归纳法证明多边形内角和定理时，第一步应验证（ ） A. n=1时成立 B. n=2时成立

C. n=3时成立

D. n=4时成立 答案：C

解：由于多边形最少是三角形，故选C 。

2. 某个与正整数n 有关的命题，如果当*()n k k N =∈时该命题成立，则一定可推得当n=k+1时该命题也成立。现已知n=5时，该命题不成立，那么应有（ ） A. 当n=4时，该命题成立 B. 当n=6时，该命题成立

C. 当n=4时，该命题不成立

D. 当n=6时，该命题不成立 答案：C

解：n=6时命题成立与否不能确定，排除B 、D ；假设n=4时，该命题成立，由已知得n=5时该命题成立，与已知条件矛盾，故选C 。

3．用数学归纳法证明：2

2111(1)1n n a a a a a a

++-++++=≠-L ，在验证n=1时，左端计算所得的项为_______________________________。 答案：1+a+a 2

解：由题意可知等式左端共有n+2项，∴当n=1时，左端有3项为1+a+a 2。

4. 数列{a n }中，已知n n n a a a a +==+1,211（n=1,2,……），计算432,,a a a ，猜想n a 的表达式并用

数学归纳法证明。

解：7252152

,5232132,3

243

2=+==+==a a a

猜想：1

22

-=

n a n 证明：（1）当n=1时，,21

22

1=-=

a 猜想式成立

（2）假设当n=k 时猜想成立，即1

22

-=k a k ， 那么当n=k+1时，

根据已知k k k a a a +=

+11及假设1

22

-=k a k ， 所以1)1(22

1221

221122

11-+=

+=-+-=+=+k k k k a a a k k k 即当n=k+1时猜想也成立。 由（1）（2）可以断定，等式对一切n ∈N*都成立

5．用数学归纳法证明：n 边形的内角和为(2)180n -⋅︒

证明：（1）当n=3时，三角形内角和为180︒，满足(32)180-⋅︒。

（2）假设当n=k 时，命题成立，即k 边形的内角和为(2)180k -⋅︒ 则当n=k+1时，相当于多出了一个三角形，内角增加了180︒， 所以k+1边形的内角和为︒⋅-+=︒+︒⋅-180]2)1[(180180)2(k k 即当n=k+1时，命题成立 。 综合（1）（2），命题对于任意 N n n ∈≥,3 成立。

6. 若n 为正整数，求证：n 3+5n 能被整除。 证明：（1）当n=1时，命题显然成立； （2）假设当n=k 时，命题成立，则k 3+5k 能被6整除 则当n=k+1时，（k+1）3+5(k+1)= k 3+3k 2+3k+1+5k+5=(k 3+5k)+3k(k+1)+6 由假设知 k 3+5k 能被6整除，而k(k+1)是2的倍数，即3k(k+1)为6的倍数，

第三项6也能被6整除，因此，(k 3+5k)+3k(k+1)+6能被6整除。

综合(1)(2)知，原命题成立。