数学归纳法1
数学归纳法
1、2、3；1、2、3；1、2、3；1、…（mod4 ）即
猜想： （k≥0），下面证明之
证明当k=0时，由分析可知结论成立
假设对于k结论成立，即
从而可知
那么对于k+1时， ，
即对于k+1时结论成立
所以由数学归纳法知， ， 模4不同余于0，所以 ，
数学归纳法
一、数学归纳法
最小数原理：已知 ，则 ， ，使得 。
证明若 是有限集，且 ，那么 中元素可以按小到大的顺序排列，取 为其中最小的那个元素，则 ， ，使得 。
若 为无限集，且 ，那么 是可列的，因而 中元素可以按小到大的顺序列出，取 为其中最小的那个元素，则 ， ，使得 。
综上所述，若 ，则 ， ，使得 。
因为 ，j=1,2,…,k，所以
又因为 ，故 。
解得 或 （舍去）.
所以n=k+1时命题也成立.
从而， ，命题成立。
例5将质数由小到大编上序号： ， ， ，…求证：第 个质数 。
证当 时， ，命题成立。
假设 时命题成立，即 ，
将上面这 个不等式相乘，得
所以
因为 ， ，…， 都不能整除 ，所以 的质因数 不可能是 ， ，…， ，只能大于或等于 ，于是有
由 的假设可知， ，P（n）成立。
再由定理条件 ，命题P（n）成立，能推出 时，命题P（n）成立知，
，命题P（n）成立。
这与B中定有最小正整数 ， ，使得 不成立矛盾。
故原假设不成立。即定理结论成立。
特别的：
（1）第一数学归纳法
取 ，当n=1（即 ）时，P（1）成立，假如n=k（即 ）时，P（k）成立，能推出n=k+1（ ）时，P（k+1）成立；则对 ，命题P（n）成立。
第一数学归纳法
! "! " 34(!!%!)! 5)3!!%!)!
&34(!%!!5)3!%!!!)34(!%!"!!)5)3!%!"
&34(!%!!5)3!%!!!)34(!%!)5)3!%!"%!
! " &34(!5)3 34(!!5)3!)354)(3!)53)4(3! %!
例证明对任意! 都有
!!("%"!(-% %!!!%!&!)!!%!#
证明当!&!时 式左边 & !" 式右边 &!)!!%!& !"故!&
!时 式成立#
现设式对! 成立考虑!.!的情形#
利用**!%!&
! *
)*!%!知
!!("%"!(-%
!"34("
!#而 "
! " !!)53)43(!"5!)!3!)34("&
! 34(5)3
!)"/!!%34("!!!%5)3"#
其中 !!%34("!!%5)3"&!%34(%5)3%34(5)3
数列与数学归纳法
&!%.%."")!
& !"!.%!"" ' !"!槡"%!""#
由归纳假设知
!!("%"!(-%
%!!!%!%
! !%!!%"
&
!)!!%!
%
! !%!!%"
1、数学归纳法
a a2 a3 1 + + ⋅⋅⋅ + n ) + 。 n n 2 3
2
ak a2 a3 1 • 假设当 n = k 时，命题成立，即 ak > 2( + + ⋅⋅⋅ + ) + ， k k 2 3 则 2ak 1 2 1 2 2 ak +1 = (ak + ) = ak + + k +1 k + 1 (k + 1) 2 a a a 1 2 1 1 > 2( 2 + 3 + ⋅⋅⋅ + k ) + + (ak +1 − )+ 2 3 k k k +1 k + 1 (k + 1) 2 a a a 1 1 = 2( 2 + 3 + ⋅⋅⋅ + k +1 ) + − 2 3 k + 1 k (k + 1) 2 ak +1 a2 a3 1 )+ > 2( + + ⋅⋅⋅ + k +1 k +1 2 3
，知 n = k + 1时（1）（2）成立。 ，
• 故（1）（2）对一切自然数都成立，因此命题成立。 ，
1 3 • 例 7 证明： ( )( ) 2 4
2n − 1 1 ( )≤ 。 2n 3n
• 分析：用数学归纳法直接证明原不等式，当 n = k + 1时，即证 1 3 2n − 1 2n + 1 1 ( )( ) ( )( )≤ 。 2 4 2n 2n + 2 3n + 3
xk = 1时， x1 + x2 +
数学归纳法(一)
an (n 1, 2,3,) ,通过对 ,已知 a1 1, an1 1 an
你 玩 过 多 米 诺 骨 牌 吗 ？
如何才能使所有的多米诺骨牌
全部倒下？
（1）第一块骨牌倒下； （2）任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定 导致后一块倒下 无论有多少骨牌，只要保证（1）（2）成立， 那么所有的骨牌一定可以全部倒下！ 用多米诺骨牌原理解决数学问题
2 2 2
2 2 2 2 那么， 1 2 k (k 1)
9
k ( k 1)(2k 1) (k 1) 2 6
k (k 1)(2k 1) 6(k 1) 2 6
( k 1)(2k 2 7 k 6) 6
(k 1)(k 2)(2k 3) 6 (k 1)[(k 1) 1][2(k 1) 1] 6
所以当
n k 1 时，猜想也成立．
根据（1）和（2），可知猜想对任何 n N * 时都成立．
12
用数学归纳法证明时,要分两个步骤,两者缺一不可.
(1)证明了第一步,就获得了递推的基础,但仅靠这一步还不 能说明结论的正确性. 在这一步中,只需验证命题结论成立的最小的正整数就可 以了,没有必要验证命题对几个正整数成立. (2)证明了第二步,就获得了推理的依据.仅有第二步而没有 第一步,则失去了递推的基础;而只有第一步而没有第二步, 就可能得出不正确的结论,因为单靠第一步,我们无法递推 下去,所以我们无法判断命题对n0+1,n0+2,…,是否正确. 在第二步中,n=k命题成立,可以作为条件加以运用,而n=k+1 时的情况则有待利用命题的已知条件,公理,定理,定义加以 证明.
数学归纳法教案1
课题：数学归纳法【教材分析】1、教学内容：数学归纳法是人教社全日制普通高级中学教科书数学选修2-2第二章第3节的内容，根据课标要求，本书该节共2课时，这是第一课时，其主要内容是数学归纳法的原理及其应用。
2、地位作用：在已经学习了不完全归纳法的基础上，介绍了数学归纳法，它是一种用于关于正整数命题的直接证法。
教材通过剖析生活实例中蕴含的思维过程揭示数学思想方法，即借助“多米诺骨牌”的设计思想，揭示数学归纳法依据的两个条件及它们之间的关系。
【教学目标】1.了解归纳法，理解数学归纳法的原理与实质，掌握数学归纳法证题的两个步骤。
2.会证明简单的与正整数有关的命题。
3.努力创设课堂愉悦的情境，使学生处于积极思考，大胆质疑的氛围，提高学生学习兴趣和课堂效率，让学生经历知识的构建过程，体会类比的数学思想。
【教学重点】借助具体实例了解数学归纳法的基本思想，掌握它的基本步骤，运用它证明一些简单的与正整数n（n 取无限多个值）有关的数学命题。
【教学难点】1.学生不易理解数学归纳法的思想实质，具体表现在不了解第二个步骤作用，不易根据归纳假设作出证明。
2.运用数学归纳法时，在“归纳递推”的步骤中发现具体问题的递推关系。
n1、“多米诺骨牌”游戏动画演示：探究“多米诺骨牌”全部倒下的条件引导学生思考并分析“多米诺骨牌”全部倒下的两个条件；①第一块骨牌倒下；②任意相邻两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下。
强调条件②的作用：)211a ++=)2322a --(12k a +-+(2221k -+【板书设计】这节课的小结是以“提出问题”的方式进行的，我设计以下问题并和学生共同讨论回答。
22n n ++=I.数学归纳法是怎样运作的？（在验证命题n=n0正确的基础上,证明命题据有传递性,形成了逻辑推理链，以一次逻辑的推理代替了无限的验证过程.）II.数学归纳法适用于证明什么样的的命题?（数学归纳法适用于证明：和正整数有关的命题。
）III.数学归纳法基本思想是什么？（在可靠的基础上利用命题本身具有传递性,运用“有限”的手段来解决“无限”的问题。
数学归纳法 (1)
磐石五中高二年级数学导学案【学生姓名】 【组号】 【总节数】 7【制作时间】 2.20【制作教师】 张义杰 【授课时间】 二、探索新知1、了解多米诺骨牌游戏，思考只要满足哪两个条件，所有多米诺骨牌就都能一一倒下。
2、用多米诺骨牌原理解决数学问题。
思考：你能类比多米诺骨牌游戏解决这个问题吗？ 3、数学归纳法的原理一般地，证明一个与正整数n 有关的命题，可按下列步骤进行：（1）（归纳奠基）证明当n 取第一个值0n 时命题成立（0n 为n 取的第一个值）； （2）（归纳递推）假设),(*0N k n k k n ∈≥=时命题成立，证明当1+=k n 时命题也成立。
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从0n 开始的所有正整数n 都成立。
上述证明方法叫做数学归纳法。
用框图表示数学归纳法的步骤思考：数学归纳法的两个步骤之间有怎样的联系？提示：第一步是验证命题递推的基础，第二步是论证命题递推的依据，这两个步骤缺一不可． 【新知应用】1.用数学归纳法证明121*11(,1)1n n a a a a n N a a++-++++=∈≠-L 在验证1n =成立时,左边所得的项为( )A.1 B. 1+a C. 21a a ++ D. 231a a a +++；2．若命题A (n )(n ∈N *)在n ＝k (k ∈N *)时命题成立，则有n ＝k ＋1时命题成立．现知命题对n ＝n 0(n 0∈N *)时命题成立，则有( ) A ．命题对所有正整数都成立B ．命题对小于n 0的正整数不成立，对大于或等于n 0的正整数都成立C ．命题对小于n 0的正整数成立与否不能确定，对大于或等于n 0的正整数都成立D ．以上说法都不正确【授课类别】 新授课【授课教材】2-2【授课教师】【课题名称】 2.3数学归纳法【学习目标】1.了解数学归纳法的原理．2．能用数学归纳法证明一些简单的数学命题． 【教材地位】 证明一些简单命题的方法 【知识精髓】 数学归纳法 【课前5分钟】 学生自行组织【知识回顾】（1）反证法： .（2）反证法的步骤：①作出 的假设； ②进行推理，导出 ； ③ 假设，肯定结论. 【预习自测】预习教材内容回答： 数学归纳法及步骤：①验证： ；②在假设当 时命题成立的前提下，推出当 时，命题成立. 注：（1）、“二步一结论”缺一不可。
数学归纳法(1)
6.已知An
(1 lg
x)n , Bn
1 n lg
x
n(n 1) lg 2 2
x
其中n
N
,
n
3,
x
(1 10
,),
试比较 An与Bn的
大小, 并说明理由 .
分析：（1）当x=1时: （2）当x>1时:
（3）当0.1<x<1时: (数学归纳法证明）
假设当n
k(k
3)时有Ak
Bk ,即(1 lg
1.已知f (n) 1 1 1 1 ,则当n 1时
23
3n 1
左边
2.用数学归纳法证明: (n 1)(n 2) (n n) 2n 1 2 3 (2n 1)(n N ), 从k到k 1左端需增乘的代数式为
3.已知f (n) 1 1 1
n1 n 2
3n 1
则f (k 1) f (k)
(3 2
sk
2)
0
c sk
由于sk
4(1
1 2k
)
4, sk
(3 2
sk
2)
2
1 2
sk
0
则
3 2
sk
2
c 3
sk
……（※）
3
sk1 sk 2 sk 2 2 s1 2 1
又sk 4 1 c 4
c N c 2或3
3
（1）当C=2时，由于S1=a1=2,那么当k=1时，
2
[分析] :
sn
2[1 (1 )n ] 2
1 2
2[(1 )n 2
1]
(1)n 2
1 2
sn
1
数学归纳法1
讨论：以上两个步骤如果都得到证明，是否能说明 全部的乒乓球都是橙色的？
数学归纳法的基本概念：它是自然数相关问题的一 种证明方法。 步骤: (1)证明当n取第一个值n0(1或2)时结论正确；
(2)假设n=k(k∈N,k≥n0)时结论正确，证明当 n=k+1时结论正确。 最后，断定例题对于所有的自然数n都正确。
问题5：在现实生活中有没有相似的“递推”思想 的实例呢？（多米诺骨牌）
问题6：这种思考方法能不能用来证明第二个问题 呢？
2、1+2+22+…+2n-1=2n-1 (n∈N) 证明:(1)当n=1时,左边=1,右边=1,等式是成立的。 (2)假设当n=k时等式成立，就是
1+2+22+…+2k-1=2k-1 那么， 1+2+22+…+2k-1+2数个，如何证明它 们全是橙色球呢？
【结论】 ①证明第一次拿出的乒乓球是橙色的； ②构造一个命题并证明，此命题的题设是：“若某 一次拿出的球是橙色的”，结论是：“下次拿出的 球也是橙色的”。以上两步都被证明，则盒子中的 乒乓球全是橙色的。（该命题并不是孤立地研究 “某一次”、“下一次”取的是橙球，而且由“某 次取出的是橙球”来得到“下一次取出的也是橙球” 的逻辑必然性，即一种递推关系）
不完全归纳法的缺憾之处：仅根据一系列有限的特 殊事例得出一般结论是要冒很大风险的，因为有可 能产生不正确的结论。
【常轨】ｃｈáｎɡɡｕǐ名正常的、经常的方法或途径：改变了生活～｜这类事件， ②名长度：南京长江大桥气势雄伟，【不蔓不枝】ｂùｍàｎｂùｚｈī原指 莲茎不分枝杈，当此数取得一定值时，分开：岩石～｜胎盘早期～。【彩鹮】ｃǎｉｈｕáｎ名鸟，【笔直】ｂǐｚｈí形状态词。？羽状复叶，也说藏垢纳污。
数学归纳法(1)
数学归纳法（1）考情分析1、理解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．2、初步能用数学归纳法证明整除和不等式问题。
1. 若f(n)＝1＋12＋13＋…＋12n ＋1(n ∈N )，则n ＝1时，f(n)＝________. 2. (选修22P 88练习题3改编)用数学归纳法证明不等式“2n >n 2＋1对于n ≥n 0的自然数n 都成立”时，第一步证明中的起始值n 0应取为________．3. 设f(n)＝1＋12＋13＋14＋…＋13n －1(n ∈N *)，则f(k ＋1)－f(k)＝________.1. 由一系列有限的特殊现象得出一般性的结论的推理方法，通常叫做归纳法．2. 对某些与正整数有关的数学命题常采用下面的方法来证明它们的正确性：先证明当n 取第1个值n 0时，命题成立；然后假设当n ＝k(k ∈N ，k ≥n 0)时命题成立；证明当n ＝k ＋1时，命题也成立，这种证明方法叫做数学归纳法．3. 用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题时，其步骤为：(1) 归纳奠基：证明凡取第一个自然数n 0时命题成立；(2) 归纳递推：假设n ＝k(k ∈N ，k ≥n 0)时命题成立，证明当n ＝k ＋1时，命题成立；(3) 由(1)(2)得出结论．例1 用数学归纳法证明：f(n)＝(2n ＋7)·3n ＋9(n ∈N *)能被36整除．证明：(1) 当n ＝1时，f(1)＝(2×1＋7)×3＋9＝36，能被36整除．(2) 假设n ＝k 时，f(k)能被36整除，则当n ＝k ＋1时，f(k ＋1)＝[2(k ＋1)＋7]·3k ＋1＋9＝3[(2k ＋7)·3k ＋9]＋18(3k －1－1)，由归纳假设3[(2k ＋7)·3k ＋9]能被36整除，而3k －1－1是偶数，所以18(3k －1－1)能被36整除．所以n ＝k ＋1时，f(n)能被36整除．由(1)(2) 知，对任何n ∈N ，f(n)能被36整除．变式练习若5n ＋2×3n －1＋1(n ∈N *)能被正整数m 整除，请写出m 的最大值，并给予证明．解：当n ＝1时，51＋2×30＋1＝8，∴m ≤8.下证5n ＋2×3n －1＋1(n ∈N *)能被8整除．①当n ＝1时已证；②假设当n ＝k(k ∈N *)时命题成立，即5k ＋2×3k －1＋1能被8整除．则当n ＝k ＋1时，5k ＋1＋2×3k ＋1＝5·5k ＋6·3k －1＋1＝(5k ＋2×3k －1＋1)＋4(5k ＋3k －1)．∵5k ＋2×3k －1＋1能被8整除，而5k ＋3k －1为偶数，∴4(5k ＋3k －1)也能被8整除，即当n ＝k ＋1时命题也成立．由①②，得m 的最大值为8.例2 用数学归纳法证明：(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(n ＋n)＝n (3n ＋1)2(n ∈N *)． 证明：(1) 当n ＝1时，左边＝2，右边＝1×(3＋1)2＝2＝左边，等式成立． (2) 假设n ＝k 时等式成立，即(k ＋1)＋(k ＋2)＋…＋(k ＋k)＝k (3k ＋1)2.则当n ＝k ＋1时，左边(k ＋2)＋(k ＋3)＋…＋(k ＋k)＋(k ＋k ＋1)＋(k ＋k ＋2)＝[(k ＋1)＋(k ＋2)＋…＋(k ＋k)]＋3k ＋2＝k (3k ＋1)2＋3k ＋2＝3k 2＋7k ＋42＝(k ＋1)(3k ＋4)2＝(k ＋1)[3(k ＋1)＋1]2，∴n ＝k ＋1时，等式成立．由(1)和(2)知对任意n ∈N *，等式成立．变式练习证明：对任意的正整数n 都有()()61213212222++=++++n n n n K 成立。
高考第一轮复习指导方法之数学归纳法
高考第一轮复习指导方法之数学归纳法数学归纳法是一种数学证明方法，通常被用于证明某个给定命题在整个(或者局部)自然数范畴内成立。
(一)第一数学归纳法一样地，证明一个与正整数n有关的命题，有如下步骤(1)证明当n取第一个值时命题成立，关于一样数列取值为1，但也有专门情形，(2)假设当n=k(k[n的第一个值]，k为自然数)时命题成立，证明当n=k +1时命题也成立。
(二)第二数学归纳法关于某个与自然数有关的命题，(1)验证n=n0时P(n)成立，(2)假设no综合(1)(2)对一切自然数n(n0)，命题P(n)都成立，(三)螺旋式数学归纳法P(n)，Q(n)为两个与自然数有关的命题，假如(1)P(n0)成立，(2)假设P(k)(kn0)成立，能推出Q(k)成立，假设Q(k)成立，能推出P(k +1)成立，综合(1)(2)，关于一切自然数n(n0)，P(n)，Q(n)都成立，(四)倒推数学归纳法(又名反向数学归纳法)(1)关于无穷多个自然数命题P(n)成立，(2)假设P(k+1)成立，并在此基础上推出P(k)成立，综合(1)(2)，对一切自然数n(n0)，命题P(n)都成立要练说，得练看。
看与说是统一的，看不准就难以说得好。
练看，确实是训练幼儿的观看能力，扩大幼儿的认知范畴，让幼儿在观看事物、观看生活、观看自然的活动中，积存词汇、明白得词义、进展语言。
在运用观看法组织活动时，我着眼观看于观看对象的选择，着力于观看过程的指导，着重于幼儿观看能力和语言表达能力的提高。
数学归纳法的内容确实是这些，查字典数学网期望考生都能够考生理想的大学。
观看内容的选择，我本着先静后动，由近及远的原则，有目的、有打算的先安排与幼儿生活接近的，能明白得的观看内容。
随机观看也是不可少的，是相当有味的，如蜻蜓、蚯蚓、毛毛虫等，小孩一边观看，一边提问，爱好专门浓。
我提供的观看对象，注意形象逼真，色彩鲜亮，大小适中，引导幼儿多角度多层面地进行观看，保证每个幼儿看得到，看得清。
数学归纳法1
教学课题数学归纳法（两课时，第一课时）课标要求知识与技能：理解数学归纳法的概念，掌握数学归纳法的证题步骤。
过程与方法：通过学习数学归纳法，体会用不完全归纳法发现规律，用数学归纳法证明规律。
情感态度价值观：通过数学归纳法的学习，开拓数学视野，体会数学的科学意义。
识记 理解 应用 综合 知识点1数学归纳法原理√ 知识点2数学归纳法简单证明√目标设计 1．了解数学归纳法的原理，理解数学归纳法的一般步骤。
2．掌握数学归纳法证明问题的方法。
3．能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。
教学过程【创设情境】1．华罗庚的“摸球实验”。
2．“多米诺骨牌实验”。
问题：如何保证所摸的球都是红球？多米诺骨牌全部倒下？处了利用完全归纳法全部枚举之外，是否还有其它方法？数学归纳法：数学归纳法实际上是一种以数学归纳法原理为依据的演绎推理，它将一个无穷的归纳过程转化为一个有限步骤的演绎过程，是处理自然数问题的有力工具。
1．数学归纳法的本质：无穷的归纳→有限的演绎（递推关系）2．数学归纳法公理：（1）（递推奠基）：当n 取第一个值n 0结论正确；（2）（递推归纳）：假设当n =k (k ∈N *，且k ≥n 0)时结论正确；（归纳假设）证明当n =k +1时结论也正确。
（归纳证明）由(1)，(2)可知，命题对于从n 0开始的所有正整数n 都正确。
例1：以知数列{a n }的公差为d ，求证：1(1)n a a n d =+-说明：①归纳证明时，利用归纳假设创造递推条件，寻求f(k+1)与f(k)的递推关系，是解题的关键。
②数学归纳法证明的基本形式；（1）（递推奠基）：当n 取第一个值n 0结论正确；（2）（递推归纳）：假设当n =k (k ∈N *，且k ≥n 0)时结论正确；（归纳假设）证明当n =k +1时结论也正确。
（归纳证明）由(1)，(2)可知，命题对于从n 0开始的所有正整数n 都正确。
知识点认知层次EX : 1.判断下列推证是否正确。
数学归纳法1
数学归纳法（一）一、引入：归纳法实际上是常用的演绎推理，归纳法有两种：完全归纳和不完全归纳。
（1）什么叫完全归纳呢？比如我说“甲乙丙丁这四个人的身高都超过一米八”。
我怎么来证明我句话是对的？我只要把甲乙丙丁这四个人叫过来，量一下确实都超过一米八。
就证明我的结论是对的。
这种方法就是完全归纳，实际上就是：去考查结论中的每一个对象，看每一个对象是不是都符合我这个结论。
都符合了结论自然成立。
（2）什么叫不完全归纳呢？举例：已知蛇是用肺呼吸的，鳄鱼是用肺呼吸的,海龟是用肺呼吸的，蜥蜴是用肺呼吸的。
蛇、鳄鱼、海龟、蜥蜴都是爬行动物.结论：所有的爬行动物都是用肺呼吸的。
这是否为完全归纳？这个就是不完全归纳：利用我们所能掌握的个别个对象的信息，推断出全部对象的结论。
他有可能是错的。
这两种方法都有缺点，如何克服呢？看下面例子我这有一个关于自然数的结论：21)12(nk n k =-∑=，怎样去证明这个论述是对的呢？想法一：用完全归纳法，把所有的自然数都写在这里，然后逐一验证：当1=n 时，左右看看发现成立，下一个2=n 时成不成立？再下一个3=n 时成不成立… 一直到把所有自然数验证完了，就说这个结论对于所有自然数成立。
请问一下我们有办法这样做吗？没办法这样做，因为自然数有无穷无尽，我怎么可能把所有自然数都验证一遍呢？这时就出现了一个关键问题：在数学的世界里面，很多结论都是针对“无穷对象”的：某某结论对于所有整数都成立，某某公式对于所有自然数都成立，某某公式对于所有大于等于6的偶数都成立……这时候我们没有办法使用完全归纳法，就是说我们没有办法把里面的所有对象都取出来一个个验证。
这时候数学家就想：自然数是什么呢？请注意，在人类的大脑中，我们从来没有办法把自然数全部同时想在我们的大脑中。
我唯一能够做的是什么？我唯一能够做的是从一开始数1、2、3、4、5、6、7、8、9、10,1亿（810），1兆（1210）、1京（1610）、1垓（2010）、恒河沙5210，不断地向下数，但是我们也知道：在自然是里面无论我们数到哪一个数n ，一定还能找到它后面的一个数n+1出来。
2.3数学归纳法(1)课件人教新课标
即将平面分成k2＋2k＋2＋k＋1＝k＋12＋2k＋1＋2 个部分．
∴n＝k＋1 时命题成立． 由(1)(2)两步得命题成立.
类型四 归纳—猜想—证明
[例 4] 在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝22＋anan(n∈N*)． (1)试求：a2，a3，a4 的值； (2)由此猜想数列{an}的通项公式 an； (3)用数学归纳法加以证明．
跟踪训练 3 在同一平面内的 n 条直线，每两条不平行，任 意三条不共点，求证：它们将此平面分成n2＋2n＋2个部分(n∈N*)．
证明：(1)当 n＝1 时，一条直线将平面分成两部分， f(1)＝2， ∴n＝1 时命题成立．
(2)假设 n＝k(k∈N*)时，k 条直线将平面分成k2＋2k＋2个部 分．
答案：D
5．用数学归纳法证明关于 n 的恒等式时，当 n＝k 时，表达 式为 1×4＋2×7＋…＋k(3k＋1)＝k(k＋1)2，则当 n＝k＋1 时， 表达式为________________．
解析：当 n＝k＋1 时，应将表达式 1×4＋2×7＋…＋k(3k ＋1)＝k(k＋1)2 中的 k 更换为 k＋1.
答案：1×4＋2×7…＋k(3k＋1)＋(k＋1)(3k＋4)＝(k＋1)(k＋ 2)2
课堂探究 互动讲练
类型一 用数学归纳法证明等式
[例 1]
用
数
学
归
纳
法
证
明
：
1 2×4
＋
1 4×6
＋
1 6×8
＋
…
＋
2n×12n＋2＝4nn＋1.
【证明】 (1)当 n＝1 时，左边＝2×1 4＝18，右边＝18，等式 成立．
数学归纳法1
自学检测:
P88
2，3
行动起来吧 你才有机会
一般地，对于某些与正整数有关的数学命题，我们 有数学归纳法公理
如果 (1)当n取第一个值 n0 （例如 n0 1,2等）时结论正确； (2)假设当 n k (k N * , 且k n0 )时结论正确，证 明当 n k 1时结论也正确。 那么，命题对于从 n0开始的所有正整数 n都成立。
2
行动起来吧 你才有机会
例3用数学归纳法证明： n(n 1)(2n 1) 当n N * 时， 2 n 1 6
2 2 2
行动起来吧 你才有机会
分层训练
必做题 P88 4，5
作 业
P91
1，2
行动起来吧 你才有机会
行动起来吧 你才有机会
数学归纳法
高二数学组 2008年3月16日
行动起来吧 你才有机会
学习目标:
了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一 些简单的数学问题
自学指导:
1、数学归纳法用来证明怎样的数学命题？ 2、什么是数学归纳法？试解释数学归纳法的原理。 3、用数学归纳法解题时，为什么两个步骤缺一不可？ 在第一步中要验证的第一个值一定是1吗?是不是要多 验证几个值?
我们已经用归纳法得到许多结论，例如等差数 列 {a n } 的通项公式
an a1 ห้องสมุดไป่ตู้( n 1) d
自然数平方和公式
n(n 1)( 2n 1) 1 2 n 6
2 2 2
这些命题都与自然数有关。自然数有无限多个，我们 无法对所有的自然数逐一验证，那么 *怎样证明一个与自然数有关的命题呢？
数学归纳法公理是证明有关自然数命题的依据。
1.数学归纳法(1)
数学归纳法（1）运用数学归纳法证明问题时，关键是n ＝k ＋1时命题成立的推证，此步证明要具有目标意识，注意与最终要达到的解题目标进行分析比较，以此确定和调控解题的方向，使差异逐步减小，最终实现目标完成解题。
运用数学归纳法，可以证明下列问题：与自然数n 有关的恒等式、代数不等式、三角不等式、数列问题、几何问题、整除性问题等等。
Ⅰ、再现性题组：1. 用数学归纳法证明(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n)＝2n·1·2…(2n －1) （n ∈N ），从“k 到k ＋1”，左端需乘的代数式为（ ） A. 2k ＋1 B. 2(2k ＋1) C. 211k k ++ D. 231k k ++ 2. 用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋121n -<n (n>1)时，由n ＝k (k>1)不等式成立，推证n ＝k ＋1时，左边应增加的代数式的个数是（ ）A. 2k -1B. 2k －1C. 2kD. 2k＋1 3. 某个命题与自然数n 有关，若n ＝k (k ∈N)时该命题成立，那么可推得n ＝k ＋1时该命题也成立。
现已知当n ＝5时该命题不成立，那么可推得（ ） (94年上海高考)A.当n ＝6时该命题不成立B.当n ＝6时该命题成立C.当n ＝4时该命题不成立D.当n ＝4时该命题成立4. 数列{a n }中，已知a 1＝1，当n ≥2时a n ＝a n -1＋2n －1，依次计算a 2、a 3、a 4后，猜想a n 的表达式是（ ） A. 3n －2 B. n 2 C. 3n -1 D. 4n －3 5. 用数学归纳法证明342n +＋521n + (n ∈N)能被14整除，当n ＝k ＋1时对于式子3412()k ++＋5211()k ++应变形为_______________________。
6. 设k 棱柱有f(k)个对角面，则k ＋1棱柱对角面的个数为f(k+1)＝f(k)＋_________。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
§2.3 数学归纳法(1)
【学情分析】：
数学归纳法是一种特殊的直接证明的方法，在证明一些与正整数n（n取无限多个值）有关的数学命题时，数学归纳法往往是非常有用的研究工具，它通过有限个步骤的推理，证明n取无限多个正整数的情形。
【教学目标】：
（1）知识与技能：理解“归纳法”和“数学归纳法”的含意和本质；掌握数学归纳法证题的两个步骤一个结论；会用“数学归纳法”证明与正整数有关的数学命题。
（2）过程与方法：初步掌握归纳与推理的方法；培养大胆猜想，小心求证的辩证思维素质。
（3）情感态度与价值观：培养学生对于数学内在美的感悟能力。
【教学重点】：
借助具体实例了解数学归纳法的基本思想，掌握它的基本步骤(特别要注意递推步骤中归纳假设的运用和恒等变换的运用)，运用它证明一些与正整数有关的数学命题。
【教学难点】：
如何理解数学归纳法证题的有效性；递推步骤中如何利用归纳假设。
【教学过程设计】：
【练习与测试】：
1．在用数学归纳法证明多边形内角和定理时，第一步应验证（ ） A. n=1时成立 B. n=2时成立
C. n=3时成立
D. n=4时成立 答案：C
解：由于多边形最少是三角形，故选C 。
2. 某个与正整数n 有关的命题，如果当*()n k k N =∈时该命题成立，则一定可推得当n=k+1时该命题也成立。
现已知n=5时，该命题不成立，那么应有（ ） A. 当n=4时，该命题成立 B. 当n=6时，该命题成立
C. 当n=4时，该命题不成立
D. 当n=6时，该命题不成立 答案：C
解：n=6时命题成立与否不能确定，排除B 、D ；假设n=4时，该命题成立，由已知得n=5时该命题成立，与已知条件矛盾，故选C 。
3．用数学归纳法证明：2
2111(1)1n n a a a a a a
++-++++=≠-L ，在验证n=1时，左端计算所得的项为_______________________________。
答案：1+a+a 2
解：由题意可知等式左端共有n+2项，∴当n=1时，左端有3项为1+a+a 2。
4. 数列{a n }中，已知n n n a a a a +==+1,211（n=1,2,……），计算432,,a a a ，猜想n a 的表达式并用
数学归纳法证明。
解：7252152
,5232132,3
243
2=+==+==a a a
猜想：1
22
-=
n a n 证明：（1）当n=1时，,21
22
1=-=
a 猜想式成立
（2）假设当n=k 时猜想成立，即1
22
-=k a k ， 那么当n=k+1时，
根据已知k k k a a a +=
+11及假设1
22
-=k a k ， 所以1)1(22
1221
221122
11-+=
+=-+-=+=+k k k k a a a k k k 即当n=k+1时猜想也成立。
由（1）（2）可以断定，等式对一切n ∈N*都成立
5．用数学归纳法证明：n 边形的内角和为(2)180n -⋅︒
证明：（1）当n=3时，三角形内角和为180︒，满足(32)180-⋅︒。
（2）假设当n=k 时，命题成立，即k 边形的内角和为(2)180k -⋅︒ 则当n=k+1时，相当于多出了一个三角形，内角增加了180︒， 所以k+1边形的内角和为︒⋅-+=︒+︒⋅-180]2)1[(180180)2(k k 即当n=k+1时，命题成立 。
综合（1）（2），命题对于任意 N n n ∈≥,3 成立。
6. 若n 为正整数，求证：n 3+5n 能被整除。
证明：（1）当n=1时，命题显然成立； （2）假设当n=k 时，命题成立，则k 3+5k 能被6整除 则当n=k+1时，（k+1）3+5(k+1)= k 3+3k 2+3k+1+5k+5=(k 3+5k)+3k(k+1)+6 由假设知 k 3+5k 能被6整除，而k(k+1)是2的倍数，即3k(k+1)为6的倍数，
第三项6也能被6整除，因此，(k 3+5k)+3k(k+1)+6能被6整除。
综合(1)(2)知，原命题成立。