三重积分的计算方法与例题
三重积分的先二后一法例题
三重积分的先二后一法例题
三重积分是在三维空间中对一个三维区域进行求和的一种数学
工具。
它可以用来计算物体的体积、质量、质心以及其他与三维空间相关的物理量。
在计算三重积分时，有时使用先二后一法可以简化计算过程。
先二后一法是指将三重积分分解为一重积分和二重积分的组合，先计算二重积分，再计算一重积分。
这种方法的优点是可以将原本复杂的三重积分转化为更简单的一重积分和二重积分，从而简化计算过程。
举个例子来说明先二后一法的应用。
考虑一个球体的三重积分，我们要计算球体在某个区域内的体积。
传统的方法是直接计算三重积分，但是这个过程可能相对复杂。
如果使用先二后一法，我们可以先计算球体在每个平面上的面积，然后再将这些面积进行积分求和来得到球体的体积。
具体来说，我们可以先固定一个变量，比如说z，然后将球体的方程进行变换，将z表示为其他两个变量x和y的函数。
这样我们就得到了球体在每个平面上的截面形状。
然后我们可以计算每个截面的面积，再对这些面积进行积分求和，即可得到球体的体积。
通过使用先二后一法，我们可以将原本复杂的三重积分转化为更简单
的一重积分和二重积分。
这种方法在某些情况下可以大大简化计算过程，并且可以更好地理解三重积分的几何意义。
总之，三重积分是一种重要的数学工具，可以用来计算三维空间中的物理量。
先二后一法是一种常用的简化三重积分计算过程的方法，通过将三重积分分解为一重积分和二重积分的组合，可以简化计算并更好地理解几何意义。
三重积分先一后二例题
三重积分先一后二例题
摘要：
一、三重积分的概念和性质
1.三重积分的定义
2.三重积分的性质
二、三重积分的计算方法
1.先一后二法则
2.例题解析
a.计算三重积分∫∫∫(x^2y^3) dxdydz
b.计算三重积分∫∫∫(x^2z^2) dxdydz
三、三重积分在实际问题中的应用
1.物理中的应用
2.工程中的应用
正文：
三重积分是数学中的一种积分方法，用于计算空间中某一个函数在某一范围内的总和。
它的定义是将一个三维空间划分为无数个微小的矩形、立方体或者其它形状的小区域，然后对这些小区域中的函数值进行求和。
三重积分具有一定的性质，例如，它的积分次序可以改变，即先对x 积分、再对y 积分、最后对z 积分，或者先对y 积分、再对z 积分、最后对x 积分，结果是相同的。
这就是所谓的“先一后二”法则。
在计算三重积分时，我们可以利用“先一后二”法则，将三重积分转化为
多次单积分。
例如，对于函数f(x,y,z)=x^2y^3，我们可以先对x 积分，得到一个新的函数g(y,z)=y^3∫x^2dx，然后再对y 和z 积分。
这样就可以将复杂的三重积分转化为简单的多次单积分。
在实际问题中，三重积分常常应用于物理和工程等领域。
例如，在物理学中，可以用三重积分来计算物体的质量、体积和密度等；在工程中，可以用三重积分来计算流体的压力、速度和温度等。
用截面法计算三重积分例题
用截面法计算三重积分例题使用截面法计算三重积分可以在简化计算过程中起到积极的作用。
以下是一个简单的例子，使用截面法计算三重积分：假设要计算函数 f(x, y, z) = 2x + 3y + 4z 的立体区域 D 上的三重积分，其中 D 是由平面 x + y + z = 1、x = 0、y = 0 和 z = 0 所围成的空间。
我们可以使用截面法来计算三重积分：1.选择先对 z 进行积分的顺序。
2.固定z，将D 投影到xy 平面上，得到在xy 平面上的投影区域 R。
3.寻找表示 xy 平面上的投影区域 R 的边界曲线方程。
4.对每个固定 z 的截面区域 R，计算对应的积分。
5.将每个截面的积分结果相加，得到最终的三重积分结果。
在这个例子中，我们可以选择先对 z 进行积分，然后对 x 和 y 进行积分。
1.首先，固定 z，将 D 投影到 xy 平面上。
由平面 x + y + z = 1投影到 xy 平面上，可以得到一个等边三角形区域 R。
该等边三角形的边界曲线方程为 y = 1 - x。
2.对于每个固定的z，在区域R 上计算对应的积分。
积分表达式为∫∫(2x + 3y + 4z) dxd y。
3.根据等边三角形区域R 的范围，可以将积分区域变换为直角坐标系下的积分区域。
4.在区域R 上计算积分，并将每个截面的积分结果相加，得到最终的三重积分结果。
请注意，实际应用中，具体的计算过程可能更复杂，而且积分顺序和变换可能会根据具体问题而有所变化。
因此，在具体求解时，请根据问题的要求和条件来确定合适的积分顺序和方法。
三重积分例题分析
方程变为
4
;
球面方程变为r
=
a,
区域变为＊
{(r,, ) | 0 2 ,0 ,0 r a},
4
故
I (x2 y2 z2 )dxdydz
r2 r2 sindrdd
2
d
4 sind
a r 4dr
0
0
0
2 a5
4 sind
1 a5(2
2).
50
5
(该题也可选择柱面坐标计算，请读者自行完成.)
3x+2y =1Ω2 和 x+y+z z = 6所围成的区域
6
x+y+z=6
y=0 0
.
2 z=0
4
x
6
6
y
计算 I f (x, y,z)dxdydz ：平面y=0 , z=0，3x+y =6,
3x+2y =1Ω2 和 x+y+z z = 6所围成的区域
y
6
6 x y
6
I dxdy0 f ( x, y,z)dz
0
x
zdxdydz zrdrddz
y
*
1
1r 2
rdrd 0 zdz
D
2
1
1r 2
0 d 0 rdr0 zdz
2 1 r (1 r 2 )dr
0
2
4
例例 83. 计算三重积分 z dxdydz。
其中 ：平面 x 1, x 2, y x, z 0,及
2z y 所围成的闭区域.
例1. 计算 xdxdydz, 其中是由平面x+y+z=1
与三个坐标面所围闭区域.
三重积分先一后二例题
三重积分先一后二例题
摘要：
1.三重积分的概念
2.三重积分的一般步骤
3."先一后二"的例题演示
4.总结
正文：
一、三重积分的概念
三重积分是多元函数积分的一种，它是对一个三维空间中的函数值进行积分。
在实际问题中，常常需要对三维空间中的物理量进行积分计算，例如质点在空间中的位移、速度等。
三重积分就是解决这类问题的有力工具。
二、三重积分的一般步骤
1.确定被积函数：首先，要确定需要积分的函数。
2.确定积分区间：然后，要确定积分的区间，也就是x、y、z 的取值范围。
3.确定积分顺序：接下来，要确定积分的顺序，常见的顺序有"先一后二"、"先二后一"、"先三后二"等。
4.进行积分运算：最后，按照确定的积分顺序，逐步进行积分运算。
三、"先一后二"的例题演示
假设有一个被积函数f(x,y,z)，我们需要对它在区间[0,1]×[0,1]×[0,1] 上进行三重积分。
按照"先一后二"的顺序，我们首先对x 进行积分，然后在结果上对y 进行积分，最后在结果上对z 进行积分。
具体的积分过程如下：
1.对x 进行积分，得到一个关于y 和z 的函数F(y,z)。
2.对F(y,z) 关于y 进行积分，得到一个关于z 的函数G(z)。
3.对G(z) 关于z 进行积分，得到最终的结果。
四、总结
三重积分是解决三维空间问题的重要工具，其中"先一后二"是常见的积分顺序。
三重积分例题分析
3
例5. 计算 xdxdydz, 其中 是由平面 x+y+z=1
与三个坐标面所围闭区域.
解： D(x): 0≤ y ≤1–x, 0≤ z ≤ 1xy
z
1
0
x1
x:0≤x≤1
Байду номын сангаас
xdxdydz
1
0
xdx
dydz
D(x)
1
1
0
x
1 (1 2
x2 )dx
1 24
1 (1 x)2 2
y
y
1x
z=1xy
2
dy
1 x2 y2
f
(x, y, z)dz
z Dxz
解2：先对 y 积分，将 向 xz 平面投影：
z= x2+y2
y z x2
1
0 1 x
y z x2
y
z=1 Dxy: x2 ≤z ≤ 1,
1 ≤x≤1 z= x2+y2 y z x2
f
(x, y, z)dxdydz
1
1
dx
取第一卦限部分
y
x+ y = 4
.
1
o
4
x
例10. 计算 I f (x, y,z)dxdydz
Ω:曲面
z
x2
Ω
y2
1,平面z
x
y
4 及三个坐标面所围区域
x2 y2 1
I dxdy0
f ( x , y , z)dz
D
x
x y
dx dy
f ( x, y, z)dz
. .
y
y= 0
x+ y = 4
三重积分的各种计算方法
三重积分的各种计算方法计算： ()f x y z dxdydz Ω⎰⎰⎰，，. 当积分区域Ω的表面用柱(/球)坐标表示时方程简单，且被积函数 () f x y z ，， 用柱(/球)坐标表示时，可变量分离时，可将其转化为用柱(/球)坐标( )F z d d dz ρρθρθΩ⎰⎰⎰，，()2s ()in r F r drd d θϕϕθϕΩ⎰⎰⎰，或，计算三重积分比较简单。
—— 重积分的换元积分法_____________________________________________________________________三重积分的计算是化为三次积分进行的。
其实质是计算一个定积分（一重积分）和一个二重积分。
从顺序看：_____________________________________________________________________1. 如果先做定积分21() z z f x y z dz ⎰，，，再做二重积分(,)xyD F x y d σ⎰⎰，就是投影法，也即 “先一后二”。
步骤为：找Ω及在xoy 面投影区域D 。
过D 上一点() x y ，“穿线”确定z 的积分限，完成了“先一”这一步（定积分）；进而按二重积分的计算步骤计算投影区域D 上的二重积分，完成“后二”这一步，即()()21,,(,,)[(,,)]xy z x y D z x y f x y z dv f x y z dz d σΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰_____________________________________________________________________2. 如果先做二重积分⎰⎰zD d z y x f σ),,(再做定积分⎰21)(c c dz z F ，就是截面法，也即“先二后一”。
步骤为：确定Ω位于平面1 z c =与2 z c =之间，即12[,]z c c ∈，过z 作平行于xoy 面的平面截Ω，截面z D 。
高等数学三重积分例题
高等数学三重积分例题一、计算三重积分∭_varOmega z dV，其中varOmega是由锥面z = √(x^2)+y^{2}与平面z = 1所围成的闭区域。
1. 利用柱坐标计算在柱坐标下x = rcosθ，y = rsinθ，z = z，dV = rdzdrdθ。
锥面z=√(x^2)+y^{2}在柱坐标下就是z = r。
由锥面z = r与平面z = 1所围成的闭区域varOmega，其在柱坐标下的范围为：0≤slantθ≤slant2π，0≤slant r≤slant1，r≤slant z≤slant1。
2. 计算积分则∭_varOmegaz dV=∫_0^2πdθ∫_0^1rdr∫_r^1zdz。
先计算关于z的积分：∫_r^1zdz=(1)/(2)(1 r^2)。
再计算关于r的积分：∫_0^1r×(1)/(2)(1 r^2)dr=(1)/(2)∫_0^1(rr^3)dr=(1)/(2)((1)/(2)-(1)/(4))=(1)/(8)。
最后计算关于θ的积分：∫_0^2πdθ = 2π。
所以∭_varOmegaz dV=(1)/(8)×2π=(π)/(4)。
二、计算三重积分∭_varOmega(x + y+z)dV，其中varOmega是由平面x = 0，y = 0，z = 0及x + y+z = 1所围成的四面体。
1. 利用直角坐标计算对于由平面x = 0，y = 0，z = 0及x + y + z=1所围成的四面体varOmega，其范围为0≤slant x≤slant1，0≤slant y≤slant1 x，0≤slant z≤slant1 x y。
则∭_varOmega(x + y + z)dV=∫_0^1dx∫_0^1 xdy∫_0^1 x y(x + y + z)dz。
2. 计算积分先计算关于z的积分：∫_0^1 x y(x + y+z)dz=(x + y)z+(1)/(2)z^2big|_0^1 x y=(x + y)(1 x y)+(1)/(2)(1 x y)^2展开得x + y-(x^2+2xy + y^2)+(1)/(2)(1 2x 2y+x^2+2xy + y^2)进一步化简为x + y x^2-2xy y^2+(1)/(2)-x y+(1)/(2)x^2+xy+(1)/(2)y^2即(1)/(2)-x^2-xy (1)/(2)y^2。
三重积分习题课(一)
f ( x,
y , z )dxdydz dz f ( x , y , z )dxdy
c1 Dz
c2
2．利用柱面坐标计算 若 {(,
, z ) | z1 (, ) z z 2 (, ), 1 () 2 (), }
: r z 0r R2 r 2 , 2 R, 0 2 2
.
4
x
o
y
故有
zdxdydz
2 0
d
2 R 2 0
dr
R2 r 2 r
zrdz
2
2 R 2 0
1 1 2 2 R 4 r ( R 2r )dr 8 2
2 0
0
R
59 R 5 480
解法2：利用柱面坐标计算。
2 3 R 2 2 由于 在 xoy 平面的投影区域 D xy : x y 4
；
故在柱面坐标下，
3R : R R r z R r , 0 r , 0 2 2
2 2 2 2
于是有
z
2
dxdydz
解法二:利用球面坐标计算
zdxdydz
d sin cos d r 3dr 0
4 0
R
1 R 4 8
注：从上面两种解法的过程来看，虽然本题可用两种方法 来计算，但利用柱面坐标计算相对简便。
2 2 2 I ( x y z )dxdydz，其中 是由球面 【例7】求
其中 为平面 x 0 ，
z 0 ，x y z 1 ，所围成的四面体。 y 0，
解: （如图）在平面 xoy 上的投影域 D xy
三重积分习题课(2012)
t t 0
4 x2 y2 z2t2
解 I
f ( x 2 y 2 z 2 )dv。
x2 y2 z2t2
x
o
y
2
d
d
t f (r)r2 sindr 4
t r 2 f (r)dr
0
0
0
0
lim 1
f ( x 2 y 2 z 2 )dv。
t t 0
4 x2 y2 z2t2
4
a (a 2 z 2 )z 2dz
0
a 2
(a z4
2
z5 )
5
a
2 0
(a2
3
z3
z5 5
)
a a
2
59 a 5
480
24
例8 求 x2 y2 z2 2az与x2 y2 az所围立体的体积。 解一:用柱坐标: Dxy : x2 y2 a2
V
2
d
0
a
rdr
0
a r2 a
R r 2 fdr
0
0
0
3) : z R 2 x 2 y 2 与z x 2 y 2 所围
fdxdydz
2
d
4 sind
R r 2 fdr
0
0
0
4
4) : x 2 y2 (z R)2 R2
fdxdydz
2
d
2 sind
2R cos r 2 fdr
0
0
0
5) : x 2 y 2 z 2 2Rz与z x 2 y 2 所围
lim
t0
t4
tr2
0
f
(r )dr
lim
t 0
三重积分的计算方法及经典例题
三重积分的计算方法:三重积分的计算是化为三次积分进行的。
其实质是计算一个定积分（一重积分）和一个二重积分。
从顺序看：如果先做定积分j/a ,y, z）dz., 再做二重积分JJ FUOW ,就是“投影可D法”，也即“先一后二”。
步骤为：找C及在xoy面投影域D。
多D上一点（x,y）“穿线”确定z的积分限，完成了“先一”这一步（定积分）；进而按二重积分的计算步骤计算投影域D上的二重积分，完成“后二” 这一步。
JJJ/（x, y,Z）血=Jj[j/（X,y,Q D勺如果先做二重积分JJ7（x,y,z）〃b再做定积分⑵山，就是“截面法”, 也即“先二后一”。
步骤为:确定G位于平面z = c.^=c2之间，即二[12 ], 过Z作平行于xoy面的平面截G,截面2。
区域0的边界曲面都是Z的函数。
计算区域2上的二重积分完成了“先二”这一步（二[）、重积分）；进而计算定积分jF⑵心，完成“后一”这一步。
C2JJJ /（X, y, Z）dv = j [Jj /（x, y,C q以当被积函数f （z）仅为z的函数（与x,y无关），且D的面积b⑵容易求出时，“截面法”尤为方便。
为了简化积分的计算，还有如何选择适当的坐标系计算的问题。
可以按以下几点考虑：将积分区域Q投影到xoy面，得投影区域D（平面）（1）D是X型或Y型，可选择直角坐标系计算（当O的边界曲面中有较多的平面时，常用直角坐标系计算）（2）D是圆域（或其部分），且被积函数形如念2+冋,/（上）时，可X选择柱面坐标系计算（当。
为圆柱体或圆锥体时，常用柱面坐标计算）（3）Q是球体或球顶锥体，且被积函数形如/（〒+才+刊时，可选择球面坐标系计算以上是一般常见的三重积分的计算方法。
对。
向其它坐标面投影或Q不易作出的情形不赘述。
三重积分的计算方法小结:1・对三重积分，采用“投影法”还是“截面法”，要视积分域Q及被积函数的情况选取。
一般地，投影法（先一后二）：较直观易掌握；截面法（先二后一）：Q是。
三重积分计算详解例题
三重积分计算详解例题当我们进行三重积分计算时，通常会遇到一个三维空间中的函数，我们希望求解该函数在某个特定区域上的体积、质量、质心等物理量。
下面我将以一个具体的例题来详细解释三重积分的计算过程。
假设我们要计算函数f(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2在球体x^2 + y^2 + z^2 <= 1上的体积。
首先，我们需要确定积分的顺序，由于球体的形状对称性较好，我们选择球坐标系进行积分。
球坐标系下，积分区域为0 ≤ r ≤ 1, 0 ≤ θ ≤ π, 0 ≤ φ ≤ 2π。
接下来，我们可以按照r、θ、φ的顺序进行积分。
首先对r进行积分，然后是θ，最后是φ。
具体的计算过程如下：∫∫∫(球体内部) x^2 + y^2 + z^2 dV = ∫[0, 2π] ∫[0, π] ∫[0, 1] (r^2) r^2 sin(θ) dr dθ dφ。
其中，dV = r^2 sin(θ) dr dθ dφ是球坐标系下的体积元素。
对r进行积分后得到，∫[0, 2π] ∫[0, π] ∫[0, 1] r^4sin(θ) dr dθ dφ = 2π ∫[0, π] sin(θ) dθ ∫[0, 1]r^4 dr.继续计算可得，2π (-cos(π) + cos(0)) (1/5) = 2π (2) (1/5) = 4π/5。
因此，函数f(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2在球体x^2 + y^2+ z^2 <= 1上的体积为4π/5。
这就是对三重积分计算的详细解释。
在实际应用中，我们可以根据具体情况选择合适的坐标系和积分顺序，通过逐步积分来求解体积、质心等物理量。
希望这个例题能够帮助你更好地理解三重积分的计算过程。
三重积分的计算及重积分的应用
同理可得 设曲面的方程为：xg(y,z) 曲面面积公式为：
A 1(x)2(x)2dydz
Dyz
y z
设曲面的方程为： yh(z,x) 曲面面积公式为：
A 1(y)2(y)2dzdx
Dzx
z x
例3 求球面 z a2x2y2 被平面 zh(0ha)所截的球冠的面积。
其中由曲面 zx2y2,yx2 及平面 y1,z0
所围成的闭区域 .
z
提示: 积分域为
0zx2y2
: x2 y1
1x1
1
1
x2 y2
原式 d x d y f (x, y,z)dz
1
x2
0
x
y
P183 题8(3)计算三重积分
(y2z2)dv, 其中是由
a
a2 x2 y2
1(z)2 (z)2 x y
a a2 x2 y2
D :x2y2a2h2
A 1(z)2(z)2d
a
dxdy
D
x y
D a2 x2 y2
2
a2h2
d
a rdr
0
0
a2r2
2a(ah)
2aH(Hah)
A2a(ah) A2aH
半球面面积：
A lim 2 a (a h ) 2 a 2 h 0
球面面积：
A4a2
例4 求圆锥面 z x2 y2 被圆柱面 x2 y2 x 所截部分的面积。
所求曲面：z x2 y2 投影区域： D:x2y2x
z x
x x2 y2
z y
y x2 y2
A 1(z)2(z)2d
三重积分的计算方法与例题
三重积分的计算方法：三重积分的计算是化为三次积分进行的。
其实质是计算一个定积分（一重积分）和一个二重积分。
从顺序看：如果先做定积分⎰21),,(z z dz z y x f ，再做二重积分⎰⎰Dd y x F σ),(，就是“投影法”，也即“先一后二”。
步骤为：找Ω及在xoy 面投影域D 。
多D 上一点（x,y ）“穿线”确定z 的积分限，完成了“先一”这一步（定积分）；进而按二重积分的计算步骤计算投影域D 上的二重积分，完成“后二”这一步。
σd dz z y x f dv z y x f Dz z ⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ω=21]),,([),,(如果先做二重积分⎰⎰zD d z y x f σ),,(再做定积分⎰21)(c c dz z F ，就是“截面法”，也即“先二后一”。
步骤为：确定Ω位于平面21c z c z ==与之间，即],[21c c z ∈，过z 作平行于xoy 面的平面截Ω，截面z D 。
区域z D 的边界曲面都是z 的函数。
计算区域z D 上的二重积分⎰⎰zD d z y x f σ),,(，完成了“先二”这一步（二重积分）；进而计算定积分⎰21)(c c dz z F ，完成“后一”这一步。
dz d z y x f dv z y x f c c D z]),,([),,(21σ⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ω=当被积函数f （z ）仅为z 的函数（与x,y 无关），且z D 的面积)(z σ容易求出时，“截面法”尤为方便。
为了简化积分的计算，还有如何选择适当的坐标系计算的问题。
可以按以下几点考虑：将积分区域Ω投影到xoy 面，得投影区域D(平面)（1） D 是X 型或Y 型，可选择直角坐标系计算（当Ω的边界曲面中有较多的平面时，常用直角坐标系计算）（2） D 是圆域（或其部分），且被积函数形如)(),(22xyf y x f +时，可选择柱面坐标系计算（当Ω为圆柱体或圆锥体时，常用柱面坐标计算）（3）Ω是球体或球顶锥体，且被积函数形如)(222z y x f ++时，可选择球面坐标系计算以上是一般常见的三重积分的计算方法。
每日一题327：三重积分计算的五种常用思路、方法及典型题分析
每日一题327：三重积分计算的五种常用思路、方法及典型题分析练习题【注】如果公式显示不全，请在公式上左右滑动显示！练习327 ：计算三重积分其中积分区域为：先自己思考，动手尝试探索一下解题思路与解题过程，写写解题步骤，然后再对照下面的答案！【注1】每日一题参考解答思路一般不仅仅是为了解题，而重在分享、拓展思路，更多重在基本知识点的理解、掌握与应用！参考解答一般仅提供一种思路上的参考，过程不一定是最简单的，或者最好的，并且有时候可能还有些许小错误！希望在对照完以后，不管是题目有问题，还是参考解答过程有问题，希望学友们能不吝指出！如果有更好的解题思路与过程，也欢迎通过公众号会话框或邮件以图片、或Word文档形式发送给管理员，管理员将尽可能在第一时间推送和大家分享，谢谢！【注2】每日一题题目并非咱号完全原创，一般来自各类参考书或网络资源，由学友改编、整理并由咱号免费推送分享。
练习参考解答【注】如果公式显示不全，请在公式上左右滑动显示！练习327 ：计算三重积分其中积分区域为：【参考解答】：【思路一】由积分区域为上半球域，被积函数有两项的平方和，考虑球坐标方法计算三重积分. 建立球坐标变换如下则依据建立的球坐标系，可知积分域的球坐标变量范围为所以由三重积分的球坐标计算公式，得【思路二】由积分区域为上半球域，用平行于面的平面截取所得区域为圆域，即且. 又被积函数包含有项，故可以考虑先二后一的截面法计算三重积分. 并且二重积分由于积分区域为圆域，并且包含项，故可考虑极坐标方法，故得【思路三】由积分区域为上半球面和面围成，所以为简单的型区域，故可以考虑三重积分先一后二的投影法来计算三重积分，并且在面上的投影区域为根据投影区域的图形特征和被积函数包含有项，故对于后面的二重积分考虑极坐标方法计算，故得【注】：对于先一后二方法，如果先不计算定积分，直接将三重积分写成二重积分用极坐标描述的累次积分表达式，并且将的积分上下限和被积函数中的变量用极坐标变量描述，即则积分方法即为三重积分的柱坐标计算方法. 对于柱坐标、球坐标变换计算方法其实就是三重积分的换元法. 比如由球坐标变换关系式可得雅克比行列式的绝对值为故由三重积分换元法公式可以得到三重积分的球坐标计算公式，类似有柱坐标变换的换元结果.关于三重积分计算的一般思路与方法的详细分析与讨论可以参见视频课堂“《高等数学》解题思路与典型考题解析”课程中的“三重积分计算的一般思路与方法及三种坐标系下积分的计算步骤”章节中的五个教学视频：·第1节：三重积分计算的一般思路与步骤·第2节：计算三重积分的“先一后二”投影法的思路与步骤实例分析·第3节：柱坐标系中计算三重积分的思路与步骤实例分析·第4节：计算三重积分的“先二后一”截面法的思路与步骤实例分析·第5节：球坐标系中计算三重积分的思路与步骤实例分析另外在“第四届、第八届、第九届全国大学生数学竞赛预赛非数学类试题解析”等在线课堂对三重积分的柱坐标、球坐标和换元法分别进行了深入的分析与探讨！。
三重积分在球坐标系下的计算
一、球面坐标系 二、典型例题
一、球面坐标系
设 设 M ( x , y , z )为空间内一点, 则点 M可用三个有次序的数 r ,ϕ ,θ 来确定 .
r : 原点 O与点 M间的距离,
z
ϕ
O
M ( x, y, z )
ϕ : 有向线段 OM与z轴正向
所夹的角,
r
y
θ P ( x , y ,0)
Ω
例 求曲面 x 2 + y 2 + z 2 ≤ 2a 2 与 z ≥ 的立体的体积 . 解
x 2 + y 2 所围成
Ω 由锥面和球面围成 , 用球面坐标 .
x 2 + y 2 + z 2 = 2a 2 ⇒ r = 2a ,
z=
π x + y ⇒ϕ = . 4
2 2
π Ω : 0 ≤ r ≤ 2a , 0 ≤ ϕ ≤ , 4 0 ≤ θ ≤ 2 π.
θ : 有向线段 OM在xOy面上
的投影向量与 x轴正向的夹角
x
这样的三个数 r ,ϕ ,θ叫做点 M的球面坐标 .
0 ≤ r < +∞, 0 ≤ ϕ ≤ π, 0 ≤ θ ≤ 2π.
直角坐标与球面坐标的 关系
x = r sin ϕ cosθ , y = r sin ϕ sin θ , z = r cos ϕ .
V = ∫∫∫ dxdydz
Ω
= ∫ dθ ∫ dϕ ∫
0 0
2π
π 4
2a
r 2 sin ϕdr
4 = π( 2 − 1)a 3 . 3
体积元素 dv = r 2 sin ϕdrdϕdθ .
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三重积分的计算方法：三重积分的计算是化为三次积分进行的。
其实质是计算一个定积分（一重积分）和一个二重积分。
从顺序看：如果先做定积分⎰21),,(z z dz z y x f ，再做二重积分⎰⎰Dd y x F σ),(，就是“投影法”，也即“先一后二”。
步骤为：找Ω及在xoy 面投影域D 。
多D 上一点（x,y ）“穿线”确定z 的积分限，完成了“先一”这一步（定积分）；进而按二重积分的计算步骤计算投影域D 上的二重积分，完成“后二”这一步。
σd dz z y x f dv z y x f Dz z ⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ω=21]),,([),,(如果先做二重积分⎰⎰zD d z y x f σ),,(再做定积分⎰21)(c c dz z F ，就是“截面法”，也即“先二后一”。
步骤为：确定Ω位于平面21c z c z ==与之间，即],[21c c z ∈，过z 作平行于xoy 面的平面截Ω，截面z D 。
区域z D 的边界曲面都是z 的函数。
计算区域z D 上的二重积分⎰⎰zD d z y x f σ),,(，完成了“先二”这一步（二重积分）；进而计算定积分⎰21)(c c dz z F ，完成“后一”这一步。
dz d z y x f dv z y x f c c D z]),,([),,(21σ⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ω=当被积函数f （z ）仅为z 的函数（与x,y 无关），且z D 的面积)(z σ容易求出时，“截面法”尤为方便。
为了简化积分的计算，还有如何选择适当的坐标系计算的问题。
可以按以下几点考虑：将积分区域Ω投影到xoy 面，得投影区域D(平面)（1） D 是X 型或Y 型，可选择直角坐标系计算（当Ω的边界曲面中有较多的平面时，常用直角坐标系计算）（2） D 是圆域（或其部分），且被积函数形如)(),(22xyf y x f +时，可选择柱面坐标系计算（当Ω为圆柱体或圆锥体时，常用柱面坐标计算）（3）Ω是球体或球顶锥体，且被积函数形如)(222z y x f ++时，可选择球面坐标系计算以上是一般常见的三重积分的计算方法。
对Ω向其它坐标面投影或Ω不易作出的情形不赘述。
三重积分的计算方法小结：1.对三重积分，采用“投影法”还是“截面法”，要视积分域Ω及被积函数f(x,y,z)的情况选取。
一般地，投影法（先一后二）：较直观易掌握；截面法（先二后一）： z D 是Ω在z 处的截面，其边界曲线方程易写错，故较难一些。
特殊地，对z D 积分时，f(x,y,z)与x,y 无关，可直接计算z D S 。
因而Ω中只要],[b a z ∈, 且f(x,y,z)仅含z 时，选取“截面法”更佳。
2.对坐标系的选取，当Ω为柱体，锥体，或由柱面，锥面，旋转抛物面与其它曲面所围成的形体；被积函数为仅含z 或)(22y x zf +时，可考虑用柱面坐标计算。
三重积分的计算方法例题：补例1：计算三重积分⎰⎰⎰Ω=zdxdydz I ，其中Ω为平面1=++z y x 与三个坐标面0,0,0===z y x 围成的闭区域。
解1“投影法” 1.画出Ω及在xoy 面投影域D. 2. “穿线”y x z --≤≤10X 型 D ：xy x -≤≤≤≤101∴Ω：y x z x y x --≤≤-≤≤≤≤101013.计算⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰-----Ω+---=--===1010322110101102]31)1()1[(21)1(21dx y y x y x dy y x dx zdz dydx zdxdydz I x xyx x241]4123[61)1(6110410323=-+-=-=⎰x x x x dx x解2“截面法”1.画出Ω。
2. ]1,0[∈z 过点z 作垂直于z 轴的平面截Ω得z D 。
z D 是两直角边为x,y 的直角三角形，z y z x -=-=1,13.计算⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰====Ω1110][][zz zD D D dz zS dz dxdy z dz zdxdy zdxdydz I⎰⎰⎰=+-=--==10321010241)2(21)1)(1(21)21(dz z z z dz z z z dz xy z补例2：计算⎰⎰⎰+dv y x 22，其中Ω是222z y x =+和z=1围成的闭区域。
解1“投影法”1.画出Ω及在xoy 面投影域D. 由⎩⎨⎧=+=1222z y x z 消去z ，得122=+y x 即D ：122≤+y x2. “穿线”122≤≤+z y x ，X 型 D ：⎪⎩⎪⎨⎧-≤≤--≤≤-221111xy x x ∴ ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤+-≤≤--≤≤-Ω11111:2222z y x x y x x3.计算⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ω---+-----=+-+=+=+xxyx x x dy y x y x dxdz y x dydxdv y x 11111112222221122222226)1(π注：可用柱坐标计算。
解2“截面法”1.画出Ω。
2. ]1,0[∈z 过点z 作垂直于z 轴的平面截Ω得z D ：222z y x ≤+z D ： ⎩⎨⎧≤≤≤≤zr 020πθ用柱坐标计算 ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤≤≤Ω10020:z zr πθ3.计算⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ω====+=+1010200101030322222632]31[2][][zD z z dz z dz r dz dr r d dz dxdy y x dv y x ππππθ补例3：化三重积分⎰⎰⎰Ω=dxdydz z y x f I ),,(为三次积分，其中Ω：222x 2z 2-=+=及y x z 所围成的闭区域。
解：1.画出Ω及在xoy 面上的投影域D.由 ⎪⎩⎪⎨⎧-=+=22222xz y x z 消去z ，得122=+y x 即D ： 122≤+y x2.“穿线” 22222x z y x -≤≤+X 型 D ：⎪⎩⎪⎨⎧-≤≤--≤≤-221111xy x x Ω：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-≤≤+-≤≤--≤≤-22222221111x z y x x y x x3．计算 ⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ω-----+==11112222222),,(),,(x x x y x dz z y x f dydxdxdydz z y x f I注：当),,(z y x f 为已知的解析式时可用柱坐标计算。
补例4：计算⎰⎰⎰Ωzdv ，其中Ω为22226y x z y x z +=--=及所围成的闭区域。
解1“投影法”1.画出Ω及在xoy 面投影域D ， 用柱坐标计算由⎪⎩⎪⎨⎧===z z r y r x θθsin cos 化Ω的边界曲面方程为：z=6-r 2，z=r2.解262=⎩⎨⎧=-=r r z r z 得 ∴D ：2≤r 即⎩⎨⎧≤≤≤≤2020r πθ“穿线”26r z r -≤≤ ∴⎪⎩⎪⎨⎧-≤≤≤≤≤≤Ω262020:r z r r πθ3．计算⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰---Ω===Dr rr rr rdr z r zdz rdrd rdrd zdz zdv 22262026262]21[2][ππθθ ⎰⎰=+-=--=2522222392)1336(])6[(πππdr r r r dr r r r 。
解2“截面法”1.画出Ω。
如图：Ω由r z r z =-=及26围成。
2. ]6,2[]2,0[]6,0[Y =∈z 21Ω+Ω=Ω1Ω由z=r 与z=2围成； ]2,0[∈z ，z D ：z r ≤1Ω：⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤≤≤20020z z r πθ2Ω由z=2与z=26r -围成； ]6,2[∈z ，z D ：z r -≤62Ω：⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≤≤≤≤626020z z r πθ3.计算⎰⎰⎰Ωzdv =⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=+ΩΩ2621212][][z z D D dz rdrd z dz rdrd z zdv zdv θθ⎰⎰⎰⎰⎰⎰=-+=-+=+=2622362222622392)6(])6([)]([21πππππdz z z dz z dz z z dz z z dz zS dz zS z z D D 注：被积函数z 是柱坐标中的第三个变量，不能用第二个坐标r 代换。
补例5：计算⎰⎰⎰+dv y x )(22，其中Ω由不等式A z y x a ≤++≤≤2220，0≤z 所确定。
解：用球坐标计算。
由⎪⎩⎪⎨⎧===φρφθρφθρcos sin sin sin cos z y x 得Ω的边界曲面的球坐标方程：A a ≤≤ρP Ω∈，连结OP=ρ，其与z 轴正向的夹角为φ，OP=ρ。
P 在xoy 面的投影为P '，连结P O '，其与x 轴正向的 夹角为θ。
∴Ω：A a ≤≤ρ，20πφ≤≤，πθ20≤≤⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ω=+ππρφρφρφθ202022222sin )sin ()(Aa d d d dv y x =⎰253]51[sin 2πφρφπd A a =)(154132)(52sin )(52555520355a A a A d a A -=⨯⨯-=-⎰ππφφππ三重积分的计算方法练习1. 计算⎰⎰⎰+dv y x )22（，其中Ω是旋转面z y x 222=+与平面z=2,z=8所围成的闭区域。
2. 计算⎰⎰⎰Ω+dv z x )（，其中Ω是锥面22y x z +=与球面221y x z --=所围成的闭区域。
为了检测三重积分计算的掌握情况，请同学们按照例题的格式，独立完成以上的练习，答案后续。