中考复习第6课时一元二次方程课件
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一元二次方程 初中初三九年级数学教学课件PPT 人教版
一元二次方程的一般形式： 二次项 一次项 常数项
a x 2 + b x + c = 0 (a ≠ 0)
二次项系数 一次项系数 思考：为什么要规定a≠0？
b、c 可以为零吗？
练习1.下列方程是一元二次方程吗？
（1） x 2 4
√
（2） x 2 1 x 2 x 1
×
× （3） x 2 4 (x 2)2
程？1 x(x 1)＝8 x2 75x 350 0
2这两个方程与一元一次方程的区别
在哪里？它们有什么共同特点呢？
特点: ①都是整式方程; ②只含一个未知数;
③未知数的最高次数是2.
一元二次方程的概念：
等号两边都是整式, 只含有一个 未知数(一元)，并且未知数的最高次 数是2 (二次)的方程,叫做一元二次 方程.
2.一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0（a≠0）和二 次项、二次项系数，一次项、一次项系数，常数项的 概念
练习2 将下列方程化为一般形式，并分别 指出它们的二次项、一次项和常数项及 它们的系数：
解：去括号得 3x2 3x 5x 10
移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形式
3x2 8x 10 0
注意：各项及各项系数都应带符号
1.一元二次方程的定义要求的三个条件。要灵活运用 定义判断方程是一元二次方程或由一元二次方程来确 定一些字母的值及取值范围
九年级-上册 第21章
21.1一元二次方程
： 难点
根据一元二次方程的一般形式，来确定各项系数
1
目录
复习回顾， 引入课题
新课讲授
课堂练习
小节
2
什么叫方程？ 目前我们已经学1 一元二次方程
中考数学复习 第二单元 方程(组)与不等式(组)第06课时 一元二次方程及其应用课件
基
础
知
识
巩
固
高
频
考
向
探
究
(续表)
应用类型
等量关系
面积问题
AB+BC+CD=a
S阴影=⑨ (a-2x)(b-2x)
S阴影=⑩(a-x)(b-x)
第八页，共三十四页。
S阴影= ⑪
-
·x
基
础
知
识
巩
固
高
频
考
向
探
究
对点演练
题组一 必会题
1.若关于x的方程(fāngchéng)(m-1)x2+mx-1=0是一元二次方程,则m的取值范围是 (
耗),窗框的上部是等腰直角三角形,下部是两个全等的矩形,窗框的总面积为 3 m2
(材料的厚度忽略不计).若设等腰直角三角形的斜边长为 x m,下列方程符合题意的
A.16(1+2x)=25
B.25(1-2x)=16
)
[答案] D
[解析]一种药品原价每盒25元,两次降价的百分
率都为x,所以第一次降价后的价格用代数式表
示为25(1-x),第二次降价后的价格用代数
式表示为25(1-x)·(1-x)=25(1-x)2,根据题意可
列方程为25(1-x)2=16,故选D.
C.16(1+x)2=25
D.25(1-x)2=16
第二十六页，共三十四页。
基
础
知
识
巩
固
高
频
考
向
探
究
角度( jiǎodù)2 图形面积问题
例4 [2018·安徽名校模拟] 如图6-2,某街道办事处把一块矩形空地进行绿化.已知该矩形空地
2022年中考数学人教版一轮复习课件：第6课 一元二次方程的解法及应用
26．(2020·广东)已知关于 x，y 的方程组ax＋ x＋y＝2 43y＝－10 3，与 xx－ ＋yb＝y＝2， 15的解相同． (1)求 a，b 的值； (2)若一个三角形的一条边的长为 2 6，另外两条边的长是关 于 x 的方程 x2＋ax＋b＝0 的解．试判断该三角形的形状，并 说明理由．
10.(2021·菏泽)列方程(组)解应用题. 端午节期间，某水果超市调查某种水果的销售情况，下面是 调查员的对话： 小王：该水果的进价是每千克 22 元； 小李：当销售价为每千克 38 元时，每天可售出 160 千克；若 每千克降低 3 元，每天的销售量将增加 120 千克. 根据他们的对话，解决下面所给问题：超市每天要获得销售 利润 3 640 元，又要尽可能让顾客得到实惠，则这种水果的销 售价为每千克多少元？
2.(2021·怀化)对于一元二次方程 2x2－3x＋4＝0，则它根的情况为
A．没有实数根
( A)
B．两根之和是 3
C．两根之积是－2
D．有两个不相等的实数根
3.一元二次方程根与系数的关系(韦达定理)
若 x1，x2 是关于 x 的一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根， 则 x1＋x2＝－ba，x1x2＝ac.
4.(2021·大连)“杂交水稻之父”袁隆平和他的团队探索培育的“海
水稻”在某试验田的产量逐年增加，2018 年平均亩产量约 500
千克，2020 年平均亩产量约 800 千克．若设平均亩产量的年
平均增长率为 x，根据题意，可列方程为
(D)
A．500(1＋x)＝800
B．500(1＋2x)＝800
A．k>－14 C．k＞－14且 k≠0
B．k<41 D．k<41且 k≠0
初三九年级数学 一元二次方程(复习课) ppt课件
移项（常数项移到方程右边） 二次项系数化为1
配方：方程两边都加上一次项系 数绝对值一半的平方
写成完全平方式 用直接开平方法解方程
公式法：
例 2x2-1=x
解: 2x2-x – 1=0 a=2, b= -1, c= -1
(1) 9 1 3 2 2 4
化为一般形式(方程右边为0) 找出 a, b, c(注意符号) 算出b 2-4ac的值
C.11或13
D.11和13
4.一根长 64cm 的铁丝被剪成两段，每段均折成 正方形，已知两个正方形的面积之和等于160cm2， 求两个正方形的边长。
课时小结：
如图，AO=BO=50cm，OC是射线， 蚂蚁甲以2cm/s的速度从A爬到B，蚂蚁 乙以3cm/s的速度从O到C，问：经过几 秒两只蚂蚁和O点围成的三角形的面积 为450cm2? O P
腰或底边
能力提高
1. 写出一个一根为－1，另一根为正数的一 注意:K的 x2-1=0.等 符号 。 元二次方程
2=h的形式， 2.把方程 2x2-7 x +3=0 配方成 ( x +k ) 25 7 , h= 则k= 16 . 4
3.如图是一个正方体的展开图,标注了 -2 字母A的面是正方体的正面，如果正 x x2 1 方体的左面与右面所标注的代数式的 A 值相等，求x的值。
用适当的方法解下列方程：
(1) (x-1) 2 =3 (3) 2y2-4y-2=0 (2) t2-4t=1 (4) x(x-1)=3-3x
小贴士
选择一元二次方程的解法的优先顺序是：先特殊， 后一般。即先考虑能否用直接开平方法和因式分解法， 如果不能用这两种特殊方法，再用公式法和配方法。
1.方程x2= 2x 的解是 x1=0; x2=2 . 2. 若一元二次方程x2-4x+3=0的两根恰好 是一等腰三角形的两边，则该三角形的 周长是 . 7
配方：方程两边都加上一次项系 数绝对值一半的平方
写成完全平方式 用直接开平方法解方程
公式法：
例 2x2-1=x
解: 2x2-x – 1=0 a=2, b= -1, c= -1
(1) 9 1 3 2 2 4
化为一般形式(方程右边为0) 找出 a, b, c(注意符号) 算出b 2-4ac的值
C.11或13
D.11和13
4.一根长 64cm 的铁丝被剪成两段，每段均折成 正方形，已知两个正方形的面积之和等于160cm2， 求两个正方形的边长。
课时小结：
如图，AO=BO=50cm，OC是射线， 蚂蚁甲以2cm/s的速度从A爬到B，蚂蚁 乙以3cm/s的速度从O到C，问：经过几 秒两只蚂蚁和O点围成的三角形的面积 为450cm2? O P
腰或底边
能力提高
1. 写出一个一根为－1，另一根为正数的一 注意:K的 x2-1=0.等 符号 。 元二次方程
2=h的形式， 2.把方程 2x2-7 x +3=0 配方成 ( x +k ) 25 7 , h= 则k= 16 . 4
3.如图是一个正方体的展开图,标注了 -2 字母A的面是正方体的正面，如果正 x x2 1 方体的左面与右面所标注的代数式的 A 值相等，求x的值。
用适当的方法解下列方程：
(1) (x-1) 2 =3 (3) 2y2-4y-2=0 (2) t2-4t=1 (4) x(x-1)=3-3x
小贴士
选择一元二次方程的解法的优先顺序是：先特殊， 后一般。即先考虑能否用直接开平方法和因式分解法， 如果不能用这两种特殊方法，再用公式法和配方法。
1.方程x2= 2x 的解是 x1=0; x2=2 . 2. 若一元二次方程x2-4x+3=0的两根恰好 是一等腰三角形的两边，则该三角形的 周长是 . 7
初三数学中考专题复习 一元二次方程 课件(共22张PPT)
• 8、若9am2-4m+4与5a9是同类项，则m= ___
• 9、某商场将进货价为30元的台灯以40元售 出，平均每月能售出600个，调查表明：， 这种台灯的售价每上涨1元，其月销售量就 将减少10个，若销售利润率不得高于100% ，为了实现平均每月10000元的销售利润， 这种台灯的售价应定为多少？这时应进台 灯多少个？
• 5、 若x，y为矩形的边长，且(x＋y＋4)(x ＋y＋5)＝42， 则矩形的周长为___．
• 6、如果正整数a是一元二次方程x2－3x＋ m＝0的一 个根，－a是一元二次方程
• x2＋3x－m＝0的一个 根，则a＝____．
• 7、一元二次方程ax2+bx+c=0，若x=1是它 的一个根，则 a+b+c= ___,若a-b+c=0， 则方程必有一根为___
运动与方程
如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，
AC=6m，BC=8m，点P、Q同时由A、
B速两点出发分别沿AC，BC方向 A
向点C匀运动，它们的速度都是 P 1m/s，几秒后四边形APQB的面积
为Rt△ACB面积的1\3？
C
QB
几何与方程
1.将一块正方形的铁皮四角剪去一个边长为4cm的小正 方形,做成一个无盖的盒子.已知盒子的容积是400cm3, 求原铁皮的边长.
适应于左边能分解为两个一次因式的积右边是00的方程一一元二次方程的定义1判断下面方程是不是一元二次方程14xx2023x2y103ax?bxc04853xx13????122方程m2xm3mx40是关于x的一元二次方程则m3方程m21x2m1x2m10当m时是一元二次方程
第二章 一元二次方程 复习
把握住：一个未知数，最高次数是2，
• 9、某商场将进货价为30元的台灯以40元售 出，平均每月能售出600个，调查表明：， 这种台灯的售价每上涨1元，其月销售量就 将减少10个，若销售利润率不得高于100% ，为了实现平均每月10000元的销售利润， 这种台灯的售价应定为多少？这时应进台 灯多少个？
• 5、 若x，y为矩形的边长，且(x＋y＋4)(x ＋y＋5)＝42， 则矩形的周长为___．
• 6、如果正整数a是一元二次方程x2－3x＋ m＝0的一 个根，－a是一元二次方程
• x2＋3x－m＝0的一个 根，则a＝____．
• 7、一元二次方程ax2+bx+c=0，若x=1是它 的一个根，则 a+b+c= ___,若a-b+c=0， 则方程必有一根为___
运动与方程
如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，
AC=6m，BC=8m，点P、Q同时由A、
B速两点出发分别沿AC，BC方向 A
向点C匀运动，它们的速度都是 P 1m/s，几秒后四边形APQB的面积
为Rt△ACB面积的1\3？
C
QB
几何与方程
1.将一块正方形的铁皮四角剪去一个边长为4cm的小正 方形,做成一个无盖的盒子.已知盒子的容积是400cm3, 求原铁皮的边长.
适应于左边能分解为两个一次因式的积右边是00的方程一一元二次方程的定义1判断下面方程是不是一元二次方程14xx2023x2y103ax?bxc04853xx13????122方程m2xm3mx40是关于x的一元二次方程则m3方程m21x2m1x2m10当m时是一元二次方程
第二章 一元二次方程 复习
把握住：一个未知数，最高次数是2，
《一元二次方程》教学PPT课件-人教版九年级上册数学
=0
②设x1=
-
b 2
+m，x2=
-
b 2
-m
(m≥0)
a
a
c
③根据韦达定理可得：x1·x2 = a
将第二步中的设定代入，求得m
④再求得x1, x2。
人教版九年级上册数学《一元二次方程》
【例题】
封面 目录
方程解法 之 特殊方法 • 赋值法
1、解方程 2x²-140x+1650=0 解：第一步将方程两边同时除以a=2
方程化为：x²-70x+825=0，此时可知：- =35
设x1=35+m，x2=35-m (m≥0) 根据韦达b定理可知：x1·x2 = 825
则有：2 (35+m)(35-m)=825 a 解得：m=20
∴ 方程的解为：x1=55， x2=15。
人教版九年级上册数学《一元二次方程》
D 拓展训练 ● 推导求根公式 ● 几何意义 ● 韦达定理
封面 目录
人教版九年级上册数学《一元二次方程》
基本概念 之 四种形式
【一般形式】
ax²+bx+c=0（a≠0）
【配方式】
( ) b x+ 2a
2=
b2-4ac 4a2
【变形式】
ax²+bx=0（a≠0） ax²+c=0（a≠0） ax²=0（a≠0）
【两根式】
a(x-x1)(x-x2)=0
封面 目录
5、法国的韦达（1540～1603）除推出一元方程在复数范围内恒有解外，还给出了根与 系数的关系。
人教版九年级上册数学《一元二次方程》
基本概念 之 判定条件
【判定条件】
一元二次方程成立必须同时满足三个条件： ①是整式方程，即等号两边都是整式。 方程中如果有分母，且未知数在分母上，那么这个方程就是分 式方程，不是一元二次方程； 方程中如果有根号，且未知数在根号内，那么这个方程也不是 一元二次方程（是无理方程）。 ②只含有一个未知数； ③未知数项的最高次数是2。
一元二次方程 初中九年级数学教学课件PPT 人教版
c: 常数项． 注：1. 方程右边等于0；
2. a≠0 ,但b和c可以等于0，
（1）若b=0,则一般形式：ax2+c=0 , 例：x2 -4=0
（2）若c=0,则一般形式：ax2+bx=0 ,例：x2 -2x=0
（3）若b=c=0,则一般形式：ax2=0 , 例：x2 =0
3. 一元二次方程的项和系数包括前面的符号。
什么是一元一次方程？
只含有一个未知数，并且未知数的最高次 数一的方程叫做一元一次方程。
一元二次方程的概念：
等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），
并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元
二次方程. 例：
x2＋2x－4=0
注： 1.是整式方程
2. 方程中只含有一个未知数；
3. 未知数的最高次数是2.
本节重点问高
次数是2的方程，叫做一元二次方程 .
2.一元二次方程的一般形式：ax 2 bx c 0 a 0 .
其中，ax2 是二次项； a是二次项系数； bx是 一次项 ； b是次项系数； c是常数项．
3.判断某数是否方程的解，只需将此数代入方程， 若左右两边相等，则它是方程的解，反之，不是。
例：判断下列方程中，哪些是关于x的一元二次方程？
x2 2 y 3 0； 不是
x3 x 4 0； 不是
2x2-4x+2=0
是
一元二次方程的一般形式
一般形式：ax 2 bx c 0 a 0 . 例：x2-4x+3=0
ax2 ：二次项
a： 二次项系数；
bx： 一次项
b: 一次项系数；
例： x2-6x+9=0 ，一次项：-6x
一元二次方程的解：
九年级数学《一元二次方程的解法综合及根的判别式》课件
第二十一章 一元二次方程
第6课时 一元二次方程的解法综合及根的判别式
1.关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个相等的实数根,
则b2－4ac满足的条件是( C )
A.b2－4ac>0
B.b2－4ac<0
C.b2－4ac＝0
D.b2－4ac≥0
2.(2020沈阳改编)一元二次方程x2－2x＋1＝0有两个
解:x2－7x＋10＝0, a＝1, b＝－7, c＝10. ∵b2－4ac＝9>0,
涵涵的作业
－b±
∴x＝
b2－4ac ＝ 7±3,
2a
2
∴x1＝5,x2＝2,
∴当腰为 5,底为 2 时,等腰三角形的三条边为 5,5,2;当腰为 2,底
为 5 时,等腰三角形的三条边为 2,2,5.
探究应用:请解答以下问题: 已知等腰三角形 ABC 的两边是关于 x 的方程 x2－mx＋m － 1＝0
为腰时,
1 2
＋ 1 < 3 ,∴ 1 , 1 , 3 不能构成三角形;当 3
2 2 222
2
为腰时,等腰三角形的三边为 3 , 3 , 1 ,此时周长为 3 ＋ 3 ＋ 1 ＝ 7.
222
2222
答:当 m＝2 时,△ABC 的周长为7.
2
(2)若△ABC 为等边三角形,则方程有两个相等的实数根,
(3)(y－1)2－2y(y－1)＝0(因式分解法).
y1＝1,y2＝－1
6.(北京中考)关于x的方程x2－2x＋2m－1＝0有实数根,且m为 正整数,求m的值及此时方程的根.
解:∵关于x的方程x2－2x＋2m－1＝0有实数根, ∴b2－4ac＝4－4(2m－1)≥0,解得m≤1,
第6课时 一元二次方程的解法综合及根的判别式
1.关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个相等的实数根,
则b2－4ac满足的条件是( C )
A.b2－4ac>0
B.b2－4ac<0
C.b2－4ac＝0
D.b2－4ac≥0
2.(2020沈阳改编)一元二次方程x2－2x＋1＝0有两个
解:x2－7x＋10＝0, a＝1, b＝－7, c＝10. ∵b2－4ac＝9>0,
涵涵的作业
－b±
∴x＝
b2－4ac ＝ 7±3,
2a
2
∴x1＝5,x2＝2,
∴当腰为 5,底为 2 时,等腰三角形的三条边为 5,5,2;当腰为 2,底
为 5 时,等腰三角形的三条边为 2,2,5.
探究应用:请解答以下问题: 已知等腰三角形 ABC 的两边是关于 x 的方程 x2－mx＋m － 1＝0
为腰时,
1 2
＋ 1 < 3 ,∴ 1 , 1 , 3 不能构成三角形;当 3
2 2 222
2
为腰时,等腰三角形的三边为 3 , 3 , 1 ,此时周长为 3 ＋ 3 ＋ 1 ＝ 7.
222
2222
答:当 m＝2 时,△ABC 的周长为7.
2
(2)若△ABC 为等边三角形,则方程有两个相等的实数根,
(3)(y－1)2－2y(y－1)＝0(因式分解法).
y1＝1,y2＝－1
6.(北京中考)关于x的方程x2－2x＋2m－1＝0有实数根,且m为 正整数,求m的值及此时方程的根.
解:∵关于x的方程x2－2x＋2m－1＝0有实数根, ∴b2－4ac＝4－4(2m－1)≥0,解得m≤1,
人教版九年级数学上册《解一元二次方程(第6课时)》示范教学课件
解一元二次方程（第6课时）
解一元二次方程的基本思想是“降次”，即通过配方、因式分解等，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解． 具体地，根据平方根的意义，可得出方程x2＝p和(x＋n)2＝p的解；通过配方，可将一元二次方程转化为(x＋n)2＝p的形式再解；一元二次方程的求根公式，就是对方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)配方后得出的．若能将ax2＋bx＋c分解为两个一次因式的乘积，则可令每个因式为0来解．
解：（1）原方程可化为(x－1)2－[2(x＋2)]2＝0．因式分解，得[(x－1)＋2(x＋2)][(x－1)－2(x＋2)]＝0．整理，得3(x＋1)· (－x－5)＝0，于是得x＋1＝0或－x－5＝0，解得x1＝－1，x2＝－5．
解：（2）整理，得3(x－4)2－(16－x2)＝0，即3(x－4)2＋(x2－16)＝0．因式分解，得3(x－4)2＋(x＋4)(x－4)＝0，即(x－4)[3(x－4)＋(x＋4)]＝0．整理，得(x－4)(4x－8)＝0，于是得x－4＝0或4x－8＝0，所以x1＝4，x2＝2．
归纳
类型二、配方法解方程
2．用配方法解方程：2x2－5x＋3＝0．
总结
3．用配方法证明：不论 x 取何值，代数式 x2－4x＋12的值总不小于8．
证明：因为x2－4x＋12＝(x2－4x＋4)＋8＝(x－ 2)2＋8，且(x－2)2≥0，所以(x－2)2＋8≥8，即x2－4x＋12≥8．所以不论 x 取何值，代数式x2－4x＋12的值总不小于8．
类型一、直接开平方法解方程
1．用直接开平方法解下列方程：（1）x2－9＝0； （2）3x2－54＝0；
类型一、直接开平方法解方程
1．用直接开平方法解下列方程：（3）(x＋2)2＝9； （4）(2y＋3)2＝16；
解一元二次方程的基本思想是“降次”，即通过配方、因式分解等，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解． 具体地，根据平方根的意义，可得出方程x2＝p和(x＋n)2＝p的解；通过配方，可将一元二次方程转化为(x＋n)2＝p的形式再解；一元二次方程的求根公式，就是对方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)配方后得出的．若能将ax2＋bx＋c分解为两个一次因式的乘积，则可令每个因式为0来解．
解：（1）原方程可化为(x－1)2－[2(x＋2)]2＝0．因式分解，得[(x－1)＋2(x＋2)][(x－1)－2(x＋2)]＝0．整理，得3(x＋1)· (－x－5)＝0，于是得x＋1＝0或－x－5＝0，解得x1＝－1，x2＝－5．
解：（2）整理，得3(x－4)2－(16－x2)＝0，即3(x－4)2＋(x2－16)＝0．因式分解，得3(x－4)2＋(x＋4)(x－4)＝0，即(x－4)[3(x－4)＋(x＋4)]＝0．整理，得(x－4)(4x－8)＝0，于是得x－4＝0或4x－8＝0，所以x1＝4，x2＝2．
归纳
类型二、配方法解方程
2．用配方法解方程：2x2－5x＋3＝0．
总结
3．用配方法证明：不论 x 取何值，代数式 x2－4x＋12的值总不小于8．
证明：因为x2－4x＋12＝(x2－4x＋4)＋8＝(x－ 2)2＋8，且(x－2)2≥0，所以(x－2)2＋8≥8，即x2－4x＋12≥8．所以不论 x 取何值，代数式x2－4x＋12的值总不小于8．
类型一、直接开平方法解方程
1．用直接开平方法解下列方程：（1）x2－9＝0； （2）3x2－54＝0；
类型一、直接开平方法解方程
1．用直接开平方法解下列方程：（3）(x＋2)2＝9； （4）(2y＋3)2＝16；
一元二次方程ppt课件
一元二次方程ppt课件
contents
目录
• 一元二次方程的定义 • 一元二次方程的解法 • 一元二次方程的应用 • 一元二次方程的判别式 • 一元二次方程的根的性质 • 一元二次方程的根与系数的关系
01
一元二次方程的定义
定义与特点
定义
只含有一个未知数，且未知数的 最高次数为2的整式方程叫做一元 二次方程。
根的判别条件
判别式
一元二次方程的判别式Δ=b²-4ac，当 Δ>0时，方程有两个不相等的实根；当 Δ=0时，方程有两个相等的实根；当 Δ<0时，方程没有实根。
VS
根的存在性
一元二次方程一定有两个实根，除非判别 式Δ<0。
根的性质与关系
根与系数的关系
一元二次方程的两个根x1和x2与系数a、b、c之间存在关系，如 x1+x2=-b/a，x1*x2=c/a等。
配方法
步骤 1. 将方程 $ax^2 + bx + c = 0$ 移项，使等号右侧为0。
2. 将二次项系数化为1，即方程两边都除以 $a$。
配方法
01
3. 将一次项系数的一半的平方加 到等式两边，使左侧成为一个完 全平方项。
02
4. 对方程两边同时开平方，得到 $x$ 的解。
公式法
总结词
利用一元二次方程的解的公式直接求解。
根的积
一元二次方程的根的积等于常数项与 二次项系数之比。
根的平方和与积的性质
要点一
根的平方和
一元二次方程的根的平方和等于常数项与二次项系数绝对 值的商。
要点二
根的平方积
一元二次方程的根的平方积等于二次项系数绝对值的商。
感谢您的观看
contents
目录
• 一元二次方程的定义 • 一元二次方程的解法 • 一元二次方程的应用 • 一元二次方程的判别式 • 一元二次方程的根的性质 • 一元二次方程的根与系数的关系
01
一元二次方程的定义
定义与特点
定义
只含有一个未知数，且未知数的 最高次数为2的整式方程叫做一元 二次方程。
根的判别条件
判别式
一元二次方程的判别式Δ=b²-4ac，当 Δ>0时，方程有两个不相等的实根；当 Δ=0时，方程有两个相等的实根；当 Δ<0时，方程没有实根。
VS
根的存在性
一元二次方程一定有两个实根，除非判别 式Δ<0。
根的性质与关系
根与系数的关系
一元二次方程的两个根x1和x2与系数a、b、c之间存在关系，如 x1+x2=-b/a，x1*x2=c/a等。
配方法
步骤 1. 将方程 $ax^2 + bx + c = 0$ 移项，使等号右侧为0。
2. 将二次项系数化为1，即方程两边都除以 $a$。
配方法
01
3. 将一次项系数的一半的平方加 到等式两边，使左侧成为一个完 全平方项。
02
4. 对方程两边同时开平方，得到 $x$ 的解。
公式法
总结词
利用一元二次方程的解的公式直接求解。
根的积
一元二次方程的根的积等于常数项与 二次项系数之比。
根的平方和与积的性质
要点一
根的平方和
一元二次方程的根的平方和等于常数项与二次项系数绝对 值的商。
要点二
根的平方积
一元二次方程的根的平方积等于二次项系数绝对值的商。
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一元二次方程课件ppt
• 问题1、绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼 房之间，开辟面积为900平方米的一块长方 形绿地，并且长比宽多10米，那么绿地的长 和宽各为多少？
（x＋10）
x
问题1、绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间， 开辟面积为900平方米的一块长方形绿地，并且 长比宽多10米，那么绿地的长和宽各为多少？
例1．将方程（8-2x）（5-2x）=18化成一元二次 方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次
项系数及常数项．
• 分析：一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a≠0）．因此， 方程（8-2x） （•5-2x）=18必须运用整式运算进行整理，包括 去括号、移项等．
• 解：去括号，得： • 40-16x-10x+4x2=18 • 移项，得：4x2-26x+22=0 • 其中二次项系数为4，一次项系数为-26，常数项为22．
3
你会用描点法画二次函数y=x2的图象吗?
观察y=x2的表达式,选择适当x值,并计算 相应的y值,完成下表：
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y=x2 … 9 4 1 0 1 4 9 …
描点,连线 y 10
y=x2
8
6
4
2
?
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x -2
二次函数 y=x2的图象 形如物体抛 射时所经过 的路线,我们 把它叫做抛 物线
方程
二次项 一次项 常数 系数 系数 项
2x2 x 3 0 2
1
－3
3x2 5 0
3
0
－5
x2 3x 0 1
－3
0
2、将下列一元二次方程化为一般形式，并分别 指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项：
一元二次方程 初中九年级数学教学课件PPT 人教版
否
注意：有些方程化
（5） 1 1 x2 1 5
简前含有二次项，
否
但是化简后二次项
（6）ax2 bx c （0 a，b，c为常数） 系数为0，这样的
否
方程不是一元二次
知识
问题Βιβλιοθήκη 课堂回顾探究
小结
探究二：利用一元二次方程的概念解决简
单的问题
活 动1
一元二次方程的概念和一元二次方程的根 的概念的应用
练习1：在下列方程中，一元二次方程A的
一元二次方程的一般a形x2 式bx： c （0 a 0）
其中ax2是二次项，a是二次 项系数； bx是一次项，b是一次项系数； c是常数项。
知识 回顾
问题 探究
课堂 小结
探究一：一元二次方程的概念
和一般形活式 动4
一元二次方程的一般形ax2式b：x c （0 a 0）
问题： （1）一元二次方程的一般形式有什么特点？ 等号的左、右分别是什么？
【解（题x+过1）程（】4x-1）
解：（1）原方程整理得：3x2+2x-3=0，所以是一元二次方程
二次项系数是3，一次项系数是2，常数项是-3。
（2）原方程整理得：9x+10=0，因此它不是 一元二次方程。 【思路点拨】将方程化成一般形式，再根据其一 般形式确定它的二次项系数、一次项系数和常数 项。
【思路点拨】先将原方程化为一般形式， 再根据一元二次方程的二次项系数不能为0， 求出m的范围。
个数是（ ）
①3x2+7=0
②
ax2+bx+c=0
3x2 5 0
x
③（x-2）（x+5）=x2-1 ④
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
中考数学总复习之一元二次方程及应用 课件
B．难题突破 8．(2020·临沂)一元二次方程 x2－4x－8＝0 的 解是( B ) A．x1＝－2＋2 3，x2＝－2－2 3 B．x1＝2＋2 3，x2＝2－2 3 C．x1＝2＋2 2，x2＝2－2 2 D．x1＝2 3，x2＝－2 3
9．(2020·通辽)关于 x 的方程 kx2－6x＋9＝0 有 实数根，k 的取值范围是( D )
(2)当 Δ＝0 时，原方程有 C．7x2－14x＋7＝0
两个相等的实数根； D．x2－7x＝－5x＋3
(3)当 Δ<0 时，原方程没
有实数根.
4.一元二次方程根与系 4.若方程 x2－5x＋2＝0
数的关系：
的两个根分别为 x1，x2，
若一元二次方程 ax2＋bx 则 x1＋x2－x1x2 的值为
答：预计4月份平均日产量为26 620个．
A．夯实基础
1．(2018·柳州)一元二次方程x2－9＝0的解是
_x_1＝__3_，__x_2_＝__－__3_．
2．(2017·广东)如果x＝2是方程x2－3x＋k＝0
的一个根，则常数k的值为( B )
A．1
B．2
C．－1
D．－2
3．(2020·邵阳)设方程 x2－3x＋2＝0 的两根分
A．1
B．－3
C．3
D．－4
2．(2020·常州)若关于x的方程x2＋ax－2＝0有 一个根是1，则a＝______1__．
3．(2020·扬州)方程(x＋1)2＝9的根是 __x_1＝__2_，__x_2_＝__－__4__．
4．(2020·齐齐哈尔)解方程：x2－5x＋6＝0.
解：因式分解，得(x－2)(x－3)＝0 于是得x－2＝0或者x－3＝0， x1＝2，x2＝3.
一元二次方程ppt课件
定义
一元二次方程是一个整式方程， 其一般形式为ax^2 + bx + c = 0 ，其中a、b、c是常数，且a≠0。
解释
一元二次方程只含有一个未知数， 并且未知数的最高次数是2。
举例
如2x^2 + 3x - 4 = 0，3x^2 - 5x + 2 = 0等。
一元二次方程的一般形式
形式
ax^2 + bx + c = 0，其中a、b 、c是常数，且a≠0。
判断下列哪个方程有两个不相 等的实数根，并说明理由： x^2 + 2x + 1 = 0
综合练习题
对于任何一个一元二次方程，如 何判断它的根的情况？
根据一元二次方程的特点，如何 利用配方法求解其根？
对于一个一元二次方程，如果它 的根的判别式小于0，那么这个
方程有什么特点？
CHAPTER 07
总结与回顾
• 如果Δ>0，方程有两个不同的实数解；
根的判别式的性质
• 如果Δ=0，方程有两个相同的实 数解；
• 如果Δ<0，方程没有实数解。
根的判别式的应用
通过根的判别式，我们可以快速判断一元二次方程的实数解的情况，不 需要求解方程。
在数学、物理、工程等领域中，根的判别式被广泛应用于解决涉及二次 方程的问题。
加强对一元二次方程的应用，结合实际 生活和相关学科，拓展应用领域。
进一步学习其他数学知识和方法，为后 培养自主学习和终身学习的意识，不断
续学习和工作打下坚实的基础。
学习和进步。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
公式法
通过配方法或公式法求解。
求根公式法
当Δ=b^2-4ac≥0时，方程有 实数解。此时，x=(b±√Δ)/(2a)。
一元二次方程是一个整式方程， 其一般形式为ax^2 + bx + c = 0 ，其中a、b、c是常数，且a≠0。
解释
一元二次方程只含有一个未知数， 并且未知数的最高次数是2。
举例
如2x^2 + 3x - 4 = 0，3x^2 - 5x + 2 = 0等。
一元二次方程的一般形式
形式
ax^2 + bx + c = 0，其中a、b 、c是常数，且a≠0。
判断下列哪个方程有两个不相 等的实数根，并说明理由： x^2 + 2x + 1 = 0
综合练习题
对于任何一个一元二次方程，如 何判断它的根的情况？
根据一元二次方程的特点，如何 利用配方法求解其根？
对于一个一元二次方程，如果它 的根的判别式小于0，那么这个
方程有什么特点？
CHAPTER 07
总结与回顾
• 如果Δ>0，方程有两个不同的实数解；
根的判别式的性质
• 如果Δ=0，方程有两个相同的实 数解；
• 如果Δ<0，方程没有实数解。
根的判别式的应用
通过根的判别式，我们可以快速判断一元二次方程的实数解的情况，不 需要求解方程。
在数学、物理、工程等领域中，根的判别式被广泛应用于解决涉及二次 方程的问题。
加强对一元二次方程的应用，结合实际 生活和相关学科，拓展应用领域。
进一步学习其他数学知识和方法，为后 培养自主学习和终身学习的意识，不断
续学习和工作打下坚实的基础。
学习和进步。
THANKS FOR WATCHING
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公式法
通过配方法或公式法求解。
求根公式法
当Δ=b^2-4ac≥0时，方程有 实数解。此时，x=(b±√Δ)/(2a)。
《一元二次方程》PPT优秀课件【可编辑全文】
一元一次方程与一元二次方程有什么联系与区别？
一元一次方程
一元二次方程
一般式
相同点
不同点
ax+b=0 (a≠0）
ax2+bx+c=0 (a≠0）
整式方程，只含有一个未知数
未知数最高次数是1
未知数最高次数是2
1.本节学习的数学知识是：
2、学习的数学思想方法是
3、如何理解一元二次方程的一般形式
1.当m为何值时,方程 是关于x的一元二次方程.
D
作业
3、课本P28 1、2
(1)x2+x =36
(2) x3+ x2=36
(3)x+3y=36
(5) x+1=0
下列方程哪些是一元二次方程? 为什么？
(2)2x2－5xy＋6y＝0
(5)x2＋2x－3＝1＋x2
(1)7x2－6x＝0
解: (1)、 (4)
练习巩固
1.关于x的方程(k－3)x2 ＋ 2x－1＝0,当k 时，是一元二次方程．
(x－4)2＋ (x－2)2＝ x2
即
x2－12 x ＋20 ＝ 0
4尺
2尺
x
x－4
x－2
(x－4)
(x－2)
1.根据题意，列出方程：
（１）有一面积为54m2的长方形，将它的一边剪短5m，另一边剪短2m，恰好变成一个正方形，这个正方形的边长是多少？
解：设正方形的边长为xm，则原长方形的长为(x＋5) m,宽为(x＋2) m，依题意得方程：
(8-2x)(5-2x)=18;
即 2x2 － 13x ＋ 11 = 0 .
(x＋６)2＋７2＝102
即 x2 ＋12 x －15 ＝0.
一元一次方程
一元二次方程
一般式
相同点
不同点
ax+b=0 (a≠0）
ax2+bx+c=0 (a≠0）
整式方程，只含有一个未知数
未知数最高次数是1
未知数最高次数是2
1.本节学习的数学知识是：
2、学习的数学思想方法是
3、如何理解一元二次方程的一般形式
1.当m为何值时,方程 是关于x的一元二次方程.
D
作业
3、课本P28 1、2
(1)x2+x =36
(2) x3+ x2=36
(3)x+3y=36
(5) x+1=0
下列方程哪些是一元二次方程? 为什么？
(2)2x2－5xy＋6y＝0
(5)x2＋2x－3＝1＋x2
(1)7x2－6x＝0
解: (1)、 (4)
练习巩固
1.关于x的方程(k－3)x2 ＋ 2x－1＝0,当k 时，是一元二次方程．
(x－4)2＋ (x－2)2＝ x2
即
x2－12 x ＋20 ＝ 0
4尺
2尺
x
x－4
x－2
(x－4)
(x－2)
1.根据题意，列出方程：
（１）有一面积为54m2的长方形，将它的一边剪短5m，另一边剪短2m，恰好变成一个正方形，这个正方形的边长是多少？
解：设正方形的边长为xm，则原长方形的长为(x＋5) m,宽为(x＋2) m，依题意得方程：
(8-2x)(5-2x)=18;
即 2x2 － 13x ＋ 11 = 0 .
(x＋６)2＋７2＝102
即 x2 ＋12 x －15 ＝0.
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考点聚焦
豫考探究
当堂检测
第6课时┃一元二次方程
【归纳总结】
1．根的判别式：关于 x 的方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0) 2 b 的根的判别式Δ ＝ －4ac .
两个不相等 的实根； (2)Δ ＝0⇔方程有 两个相等 的实根；
(1)Δ >0⇔方程有 (3)Δ <0⇔方程 (4)Δ ≥0⇔方程
无
有
2x)＝2×30×20，则x2＋25x－150＝0，解得x1＝5， x2＝－30(不合题意，舍去)．故彩纸宽度为5 cm.
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第6课时┃一元二次方程
【归纳总结】 1．增长率问题 (1)增长率＝增量÷ 基础量. (2)设a为原来的量，m为平均增长率，n为增长次数， b为增长后的量，则a(1＋m)n＝b，当m为平均下降率 时，则有a(1－m)n＝b. 2．销售利润问题 (1)毛利润＝售出价－进货价； (2)纯利润＝售出价－进货价－其他费用； (3)利润率＝利润÷ 进货价×100%.
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第6课时┃ 一元二次方程
豫 考 探 究
► 热考
例
一元二次方程的解法
B．x＝－3 D．x1＝2，x2＝－3
[2013· 河南] 方程(x－2)(x＋3)＝0 的解是( D ) A．x＝2 C．x1＝－2，x2＝3
变式题 [2012· 巴中] 解方程：2(x－3)＝3x(x－3).
解 析
可用因式分解法或公式法．
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豫考探究
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第6课时┃ 一元二次方程
解
解法一(因式分解法)：(x－3)(2－3x)＝0，x－3＝0或2－3x＝0， 2 所以x1＝3，x2＝ . 3 解法二(公式法)：2x－6＝3x2－9x，3x2－11x＋6＝0.a＝3，b＝ 11± 49 11±7 2 －11，c＝6b －4ac＝121－72＝49，x＝ ＝ .∴x1＝3， 6 2× 3 2 x2＝ . 3 方法点析 利用因式分解法解方程时，当等号两边有相同的
解 析
B．a>2
C．a<2且次方程有两个不相等实根的条件是 a<2 且 a≠1.
2 Δ ＝（－2） －4（a－1）×1＞0， 所以 a－1≠0，
故选择 C.
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第6课时┃ 一元二次方程
► 检测考点4 一元二次方程的应用
5． [2013· 贵阳] 2010 年底某市汽车拥有量为 100 万辆，而 截至到 2012 年底，该市的汽车拥有量已达到 144 万辆. (1)求 2010 年底至 2012 年底该市汽车拥有量的年平均 增长率； (2)该市交通部门为控制汽车拥有量的增长速度，要 求到 2013 年底全市汽车拥有量不超过 155.52 万辆.预 计 2013 年底报废的汽车数量是 2012 年底汽车拥有量 的 10%，求 2012 年底至 2013 年底该市汽车拥有量的 年增长率要控制在什么范围才能达到要求.
考点2 一元二次方程根的判别式、根与系数的关系
1．若关于x的一元二次方程kx2－2x－1＝0有两个不相等的实数 根，则k的取值范围是( B ) A．k＞－1 C．k＜1 B．k＞－1且k≠0 D．k＜1且k≠0
2．若x1，x2是一元二次方程x2－5x＋6＝0的两个根，则x1＋x2 的值是( B ) A．1 B．5 C．－5 D．6
豫考探究
当堂检测
第6课时┃一元二次方程
► 检测考点3 一元二次方程根的判别式
若关于x的方程x2－x＋a＝0有实根， C．0.5 D．0.25
3．[2013· 乌鲁木齐] A．2 B．1
则a的值可以是( D ) 4．[2011· 江津] 已知关于x的一元二次方程(a－1)x2－2x＋1 ＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是( C ) A．a<2
3000 万元.
考点聚焦
豫考探究
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第6课时┃一元二次方程
2．某校团委准备举办学生绘画展览， 为美化画面，在长为30 cm，宽为 20 cm的矩形画面四周镶上宽度相 等的彩纸，并使彩纸的面积恰好与 原画面的面积相等(如图6－1)，则 彩纸的宽度为 5 cm
解 析
.
设彩纸的宽度为xcm，由题意得(30＋2x)(20＋
考点聚焦 豫考探究 当堂检测
检测考点1
第6课时┃ 一元二次方程 ► 检测考点2 一元二次方程的解法
2．[2012· 安徽] 解方程：x2－2x＝2x＋1.
解
＝1＋4，
原方程化为x2－4x＝1，配方，得x2－4x＋4
整理，得(x－2)2＝5，∴x－2＝± 5，即x1＝2＋ 5， x2＝2－ 5.
考点聚焦
第6课时 一元二次方程
第6课时┃ 一元二次方程
考 点 聚 焦
考点1 一元二次方程的解法
2
1．一元二次方程x －3＝0的根为( C )
A．x＝3 C．x1＝ 3，x2＝－ 3
B．x＝ 3 D．x1＝3，x2＝－3
2．一元二次方程x2－2x＝5的根是x1＝1＋ 6，x2＝1－ 6 .
考点聚焦
豫考探究
当堂检测
其中a是方程x2－x＝6的根. a－2 （a＋1）（a－1）－（2a－1） 解 原式＝ 2 ÷ ＝ a －1 a＋1
a－2 a2－2a a－2 a＋1 1 ÷ ＝ × ＝ . a2－1 a＋1 （a＋1）（a－1） a（a－2） a2－a ∵a是方程x2－x＝6的根，∴a2－a＝6， 1 ∴原式＝ . 6
实数根； 实数根.
b －a
2．根与系数的关系：如果 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两 根 为 x1 ， x2 ， 那 么 x1 ＋ x2 ＝ ＝
c a
， x 1x 2
.
豫考探究 当堂检测
考点聚焦
第6课时┃ 一元二次方程
考点3
一元二次方程的应用
1．为落实“两免一补”政策，某市2012年投入教育 经费2500万元，预计2014年要投入教育经费3600 万元，已知2012年至2014年的教育经费投入以相 同的百分率逐年增长，则2013年该市投入的教育 经费为
第6课时┃ 一元二次方程
【归纳总结】 1．一元二次方程的解法：(1) 直接开平方法 ； (2)
配方法
；(3)
因式分解法 ；
(4) 公式法 . 2．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式是x＝ －b± b2－4ac (b2－4ac≥0). 2a
考点聚焦
豫考探究
当堂检测
第6课时┃ 一元二次方程
含未知数的因式时，不能随便先约去这个因式，因为如果约 去则是默认这个因式不为零，那么若此因式可以为零，则方 程会丢失一个根，出现漏根错误，所以应通过移项，提取公 因式的方法求解.
考点聚焦 豫考探究 当堂检测
第6课时┃一元二次方程
当 堂 检 测
► 一元二次方程的有关概念 2a－1 a－2 1．[2012· 资阳]先化简，再求值： 2 ÷ a－1－ ， a＋ 1 a －1