高三数学第二轮专题复习系列(5)-- 平面向量

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2009年高考第二轮热点专题复习：平面向量

2009年高考第二轮热点专题复习：平面向量考纲指要：重点考察向量的概念、向量的几何表示、向量的加减法、实数与向量的积、两个向量共线的充要条件、向量的坐标运算等。

考点扫描：1．向量的概念：①向量；②零向量；③单位向量；④平行向量（共线向量）；⑤相等向量。

2．向量的运算：（1）向量加法；（2）向量的减法；（3）实数与向量的积。

3．基本定理：（1）两个向量共线定理；（2）平面向量的基本定理。

4．平面向量的坐标表示。

5．向量的数量积：（1）两个非零向量的夹角；（2）数量积的概念；（3）数量积的几何意义；（4）向量数量积的性质；（5）两个向量的数量积的坐标运算；（6）垂直：如果a 与b 的夹角为900则称a 与b 垂直，记作a ⊥b 。

6．向量的应用：（1）向量在几何中的应用；（2）向量在物理中的应用。

考题先知：例1．已知二次函数f （x ）＝x 2－2x ＋6，设向量a ＝（sin x ，2），b ＝（2sin x ，21）， c ＝（cos2x ，1），d ＝（1，2）．当x ∈[0，π]时，不等式f （a·b ）>f （c ·d ）的解集为___________．解：a ·b ＝2sin 2x ＋1≥1， c ·d ＝cos 2x ＋1≥1 ，f （x ）图象关于x ＝1对称，∴f （x ）在（1，＋∞）内单调递增．由f （a ·b ）>f （c ·d ）⇒a ·b >c ·d ，即2sin 2x ＋1>2cos 2x ＋1，又∵x ∈[0，π] ，∴x ∈（434ππ,）．故不等式的解集为（434ππ,）．例2．求函数y =.分析：由于向量沟通了代数与几何的内在联系，因此本题利用向量的有关知识求函数的值域。

解:因为y =所以构造向量21(2p x =+,21(2q x =-,则y p q =-,而(1,0)p q -=, 所以1y p q p q =-<-=,得11y -<<,另一方面:≥得0y ≥,所以原函数的值域是[0,1).点评：在向量这部分内容的学习过程中，我们接触了不少含不等式结构的式子，如||||||||||||||||||a b a b a b a b a b a b a b +≥-+≤+⋅≤⋅≤⋅，；等。

专题：利用三点共线结论解平面向量问题——高三数学二轮专题复习

专题：利用三点共线结论解平面向量知识梳理：三点共线定理 OC →＝ (1－t )OA →＋tOB →的证明：若OA →＝a ，OB →＝b 是平面内两不共线向量，对于平面内任一向量OC →＝c ，存在一对实数λ，μ使c ＝λa ＋μb .证明A 、B 、C 三点共线的充要条件是λ＋μ＝1.证明：（必要性）若A ，B ，C 三点共线，则存在实数t ，使得AC →＝tAB →，即OC →－OA →＝t (OB →－OA →)所以OC →＝ (1－t )OA →＋tOB → 令λ＝1－t ，μ＝t ，则有c ＝λa ＋t b ，即λ＋μ＝1.（充分性）若λ＋μ＝1，则c ＝λa ＋(1－λ)b 即c －b ＝λ(a －b ) 即OC →－OB →＝λ(OA →－OB →)即BC →＝λBA →.所以A 、B 、C 三点共线．(思考：当t=21时，会发现A,B,C 是什么情况？)典型例题：例1：（全国高考）设D 为△ABC 所在平面内一点，BC →＝3CD →，则( )A.AD →＝－13AB →＋43AC →B.AD →＝13AB →－43AC →C.AD →＝43AB →＋13AC →D.AD →＝－43AB →－13AC →例2：已知平面内的三点A ，B ，O 不共线，且AP →＝λOA →＋μOB →，则A ，P ，B 三点共线的一个必要不充分条件是( )A ．λ＝μB ．|λ|＝|μ|C ．λ＝－μD ．λ＝1－μ例3：如图所示，在△ABC 中，H 为BC 上异于B ，C 的任一点，M 为AH 的中点，若AM →＝λAB →＋μAC →，则λ＋μ＝________.例4：如图，在△ABC 中，点O 是BC 边的中点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M,N ，若N nA C A M mA B A==,,则m+n 的值为_______．练习：1、已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若3OA →＝a 5OB →＋a 9OC →，且A ，B ，C 三点共线，则S 13＝________．2、［2021•江苏卷，10］设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC .若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．3、（2021华美）在△ABC 中，N 是AC 边上一点，且AN →＝12NC →，P 是BN 上一点，若AP →＝mAB →＋29AC →，则实数m 的值为4、(2021·郑州质检)如图，在△ABC 中，N 为线段AC 上靠近A 的三等分点，点P 在BN 上且A P →＝⎪⎭⎫ ⎝⎛+112m AB →＋211B C →，则实数m 的值为________.5、（2021华美）A ，B ，C 是圆O 上不同的三点，线段CO 与线段AB 交于点D (点O 与点D 不重合)，若OC →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R )，则λ＋μ的取值范围是__________.专题：利用三点共线结论解平面向量例1：[解析] 由BC →＝3CD →知，B 、C 、D 三点共线，从四个选项知系数和为1的仅有A ，故选A.例2：解析 A ，P ，B 三点共线，即存在一个实数m ，使得AP →＝mAB →，∵AP →＝λOA →＋μOB →，∴mAB →＝λOA →＋μOB →，即m (OB →－OA →)＝λOA →＋μOB →，∴(m －μ)OB →＝(m ＋λ)OA →，∵A ，B ，O 三点不共线，∴m －μ＝0，m ＋λ＝0，即λ＝－μ＝－m ，∴A ，B ，P 三点共线的充要条件为λ＝－μ，结合各选项知A ，B ，P 三点共线的一个必要不充分条件为|λ|＝|μ|.故选B. 例3：解析由于B ，H ，C 三点共线，可令AH →＝xAB →＋(1－x )AC →，又M 是AH 的中点，所以AM →＝12AH →＝12xAB →＋12(1－x )AC →.又AM →＝λAB →＋μAC →，所以λ＋μ＝12x ＋12(1－x )＝12.例4：解析解法一：AO →＝12(AB →＋AC →)＝m 2AM →＋n 2AN →.∵M ，O ，N 三点共线，∴m 2＋n2＝1.∴m ＋n ＝2.解法二：MN 绕O 旋转，当N 与C 重合时，M 与B 重合，此时m ＝n ＝1，∴m ＋n ＝2.练习：1、[解析] 由3OA →＝a 5OB →＋a 9OC →，得OA →＝a 53OB →＋a 93OC →因为A ，B ，C 三点共线，所以a 53＋a 93＝1，即a 5＋a 9＝3，所以S 13＝13（a 1＋a 13）2＝13（a 5＋a 9）2＝392.所以S 13＝3922、解析 DE →＝DB →＋BE →＝12AB →＋23BC →＝12AB →＋23(AC →－AB →)＝－16AB →＋23AC →，∵DE →＝λ1AB →＋λ2AC →，∴λ1＝－16，λ2＝23，故λ1＋λ2＝12.（提示，过A 作DE 平行线交BC 延长线于点F,利用B,C,F 共线）3、答案1/34、解析设BP →＝λBN →＝λ(AN →－AB →)＝λ⎝⎛⎭⎫13 AC →－AB →＝－λAB →＋λ3 AC →(0≤λ≤1)， ∴A P →＝AB →＋B P →＝(1－λ) AB →＋λ3AC →. 又A P →＝⎝⎛⎭⎫m ＋211AB →＋211 BC →＝⎝⎛⎭⎫m ＋211AB →＋211(AC →－AB →)＝mAB →＋211AC →，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ3＝211，m ＝1－λ，解得⎩⎨⎧λ＝611，m ＝511，∴m ＝511.5、【答案】(1，＋∞) [设OC →＝mOD →，则m >1，因为OC →＝λOA →＋μOB →，所以mOD →＝λOA →＋μOB →，即OD →＝λm OA →＋μm OB →，又知A ，B ，D 三点共线，所以λm ＋μm＝1，即λ＋μ＝m ，所以λ＋μ>1。

高考数学二轮复习专题五平面向量

高考数学二轮复习专题五平面向量【重点知识回顾】向量是既有大小又有方向的量，从其定义可以看出向量既具有代数特征，又具有几何特征，因此我们要借助于向量可以将某些代数问题转化为几何问题，又可将某些几何问题转化为代数问题，在复习中要体会向量的数形结合桥梁作用。

能否理解和掌握平面向量的有关概念，如：共线向量、相等向量等，它关系到我们今后在解决一些相关问题时能否灵活应用的问题。

这就要求我们在复习中应首先立足课本，打好基础，形成清晰地知识结构，重点掌握相关概念、性质、运算公式法则等，正确掌握这些是学好本专题的关键在解决关于向量问题时，一是要善于运用向量的平移、伸缩、合成、分解等变换，正确地进行向量的各种运算，进一步加深对“向量”这一二维性的量的本质的认识，并体会用向量处理问题的优越性。

二是向量的坐标运算体现了数与形互相转化和密切结合的思想，所以要通过向量法和坐标法的运用，进一步体会数形结合思想在解决数学问题上的作用。

在解决解斜三角形问题时，一方面要体会向量方法在解三角形方面的应用，另一方面要体会解斜三角形是重要的测量手段，通过学习提高解决实际问题的能力因此，在复习中，要注意分层复习，既要复习基础知识，又要把向量知识与其它知识，如：曲线，数列，函数，三角等进行横向联系，以体现向量的工具性平面向量基本定理（向量的分解定理）的一组基底。

向量的坐标表示e e a →→→12，是平面内的两个不共线向量，为该平面任一向量，则存在唯一实数对、，使得，、叫做表示这一平面内所有向量λλλλ12112212a e e e e →→→→→=+表示。

. 平面向量的数量积数量积的几何意义：（2）数量积的运算法则i j x y →→，是一对互相垂直的单位向量，则有且只有一对实数，，使得()a x i y j x y a a x y →→→→→=+=，称，为向量的坐标，记作：，，即为向量的坐标()()()设，，，a x y b x y →→==1122()()()则，，，a b x y y y x y x y →→±=±=±±11121122()()λλλλa x y x y →==1111，，()()若，，，A x y B x y 1122()则，AB x x y y →=--2121()()||AB x x y y A B →=-+-212212，、两点间距离公式（）··叫做向量与的数量积（或内积）。

高三数学总复习平面向量整理资料新人教A版

平面向量一．向量有关概念：1．向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。

向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段（向量可以平移）。

例：已知A （1,2），B （4,2），把向量按向量a ＝（－1,3）平移得到的向量是_____2．零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：，注意零向量的方向是任意的；3．单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与AB 共线的单位向量是||AB AB ±)；4．相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；5．平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量a 、b 叫做平行向量，记作：a ∥b ，规定零向量和任何向量平行。

提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等； ②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合；③平行向量无传递性！（因为有0)；④三点A B C 、、共线⇔ AB AC 、共线； 6．相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。

的相反向量是－。

例：下列命题：（1）若a b =，则a b =。

（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。

（3）若AB DC =，则ABCD 是平行四边形。

（4）若ABCD 是平行四边形，则AB DC =。

（5）若,a b b c ==，则a c =。

（6）若//,//a b b c ，则//a c 。

其中正确的是_______ 二．向量的表示方法：1．几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如AB ，注意起点在前，终点在后； 2．符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如a ，b ，c 等；3．坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i ，为基底，则平面内的任一向量a 可表示为(),a xi y j x y =+=，称(),x y 为向量a 的坐标，a ＝(),x y 叫做向量a 的坐标表示。

数学高考复习名师精品教案：第44课时：第五章平面向量-平面向量小结

数学高考复习名师精品教案第44课时：第五章平面向量——平面向量小结课题：平面向量小结一．复习目标：1．进一步熟练有关向量的运算和证明；能运用解三角形的知识解决有关应用问题，2．渗透数学建模的思想，切实培养分析和解决问题的能力．三．课前预习：1．正方形PQRS 对角线交点为M ，坐标原点O 不在正方形内部，且(0,3)OP =，(4,0)OS --→=，则RM =（）()A 71(,22-- ()B 71(,)22 ()C (7,4) ()D 77(,222．下列条件中，ABC ∆是锐角三角形的是（）()A 1sin cos 5A A +=()B tan tan tan 0A B C ++>()C 0AB BC ⋅>()D 3,30b c B ===3．已知一个平行四边形ABCD 的顶点9(,7),(2,6)2A B --，对角线的交点为3(3,)2M ，则它的另外两个顶点的坐标为．4．把函数cos y x =图象沿(2,1)()2b k k Z ππ=+∈ 平移，得到函数的图象．5．在一幢20m 高的楼顶测得对面一塔吊顶的仰角为60 ，塔基的俯角为45 ，那么这座塔吊的高是．四．例题分析：例1．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且310,2,cos 4a c C A A +===，求：（1）c a的值；（2）b 的值．例2．已知向量(2,sin ),(cos ,1)a b θθ=-= ，其中(,)22ππθ∈-．（1）若a b ⊥ ，求θ的值；（2）令c a b =- ，求||c的最大值．例3．已知向量(,)u x y = 与向量(,2)v x y x =- 的对应关系记作()v f u =，求证：（1）对于任意向量a、b 及常数,m n 恒有()()()f ma nb mf a nf b +=+ ；（2）若(1,1)a =,(1,0)b = ，用坐标表示()f a 和()f b ；（3）求使()(,)f c p q = ，（,p q 为常数）的向量c的坐标．例4．如图所示，某城市有一条公路从正西方向AO 通过中心O 后转向东北方向OB ，现要修建一条铁路L ，L 在AO 上设一站A ，在OB 上设一站B ，铁路在AB 部DLLBO A分为直线段，现要求市中心O 与AB 距离为10km ，问把A ，B 分别设在公路上离中心O 多远处，才能使||AB 最短，并求出最短距离．五．课后作业：1．已知||||1,a b a == 与b 的夹角为90，23,4c a b d ka b =+=- ，c 与d 垂直，k 的值为（）()A 6- ()B 6 ()C 3 ()D 3-2．已知ABC ∆中，,,0AB a AC b a b ==⋅< ，154S ∆=，||3,||5a b == ，则a 与b 的夹角是（）()A 30 ()B 0150- ()C 0150 ()D 30 或01503．在直角坐标系中，O 为原点，点M 在单位圆上运动，(2,1)N -满足2OP OM ON=-的点P 的轨迹方程为（）()A 10x y +-= ()B 22(2)(1)4x y ++-= ()C 20x y += ()D 221x y +=4．已知O 为ABC ∆所在平面内一点，且满足()(2)0OB OC OB OC OA -⋅+-=，则 ABC∆的形状为．5．已知ABC ∆中，若0120C ∠=，则222sin sin sin sin sin C B A BA--= ．6．已知四点(3,12)A -，(3,4)B -，(5,4)C -，(5,8)D ，求AC 与BD 的交点P 的坐标，并求直线AC 分BD 所得的比入及P 分AC 所得的比μ．7．若(cos ,sin ),(cos ,sin ),a b ααββ== ，且|||ka b a kb +=-（0k >），（1）用k 表示数量积a b ⋅ ；（2）求a b ⋅ 的最小值，并求出此时a 与b的夹角．8．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边,,a b c ，cos b a C =，且ABC ∆的最大边长为12，最小角的正弦为12，（1）判断ABC ∆的形状；（2）求ABC ∆的面积．9．已知(3,4)OP =- ，OP 绕原点O 分别旋转090,120 到OQ 、OR 的位置，求点,Q R 的坐标．10．某人在静水中游泳，速度为/h，（1）如果他径直游向河对岸，水流速度为4/km h，他实际沿什么方向前进？速度大小为多少？（2）他必须朝哪个方向游，才能沿与水流垂直的方向前进？实际前进的速度大小为多少？。

高三数学二轮复习专题平面向量共线,极化恒等式,奔驰定理,轨迹等问题(解析版)

平面向量综合问题参考答案与试题解析一．试题（共38小题）1．如图，在ABC ∆中，13AN NC =，P 是BN 上的一点，若211AP mAB AC =+，则实数m的值为( )A ．911B ．511C ．211D ．311【分析】由已知中ABC ∆中，13AN NC =，P 是BN 上的一点，设BP BN λ=后，我们易将AP表示为(1)4AB AC λλ-+的形式，根据平面向量的基本定理我们易构造关于λ，m 的方程组，解方程组后即可得到m 的值【解答】解：P 是BN 上的一点，设BP BN λ=，由13AN NC =，则AP AB BP =+AB BN λ=+()AB AN AB λ=+-(1)AB AN λλ=-+(1)4AB AC λλ=-+211mAB AC =+1m λ∴=-，2411λ=解得811λ=，311m =故选：D ．【点评】本题考查的知识点是面向量的基本定理及其意义，其中根据面向量的基本定理构造关于λ，m 的方程组，是解答本题的关键．2．在平行四边形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 的中点，DE 交AF 于H ，记AB 、BC 分别为a 、b ，则(AH = )A ．2455a b -B ．2455a b +C ．2455a b -+D ．2455a b --【分析】欲求出向量则AH ，关键是求出向量则AH 与向量AF 的线性．关系过点F 作BC 的平行线交DE 于G ，则G 是DE 的中点，利用相似三角形有知识即可得出它们的线性关系，从而解决问题．【解答】解：过点F 作BC 的平行线交DE 于G ，则G 是DE 的中点，且1124GF EC BC ==14GF AD ∴=，则AHD GHF ∆∆∽ 从而14FH AH =，∴45AH AF =又12AF AD DF b a =+=+ ∴4124()5255AH b a a b =+=+ 故选：B ．【点评】本题主要考查了向量加减混合运算及其几何意义、平行四边形的几何性质，属于基础题．3．如图所示，在凸四边形ABCD 中，对边BC ，AD 的延长线交于点E ，对边AB ，DC 的延长线交于点F ，若BC CE λ=，ED DA μ=，3(,0)AB BF λμ=>，则( )A ．3144EB EF EA =+B ．14λμ=C ．11λμ+的最大值为1 D ．49EC AD EB EA⋅-⋅ 【解答】解：对于A ，因为3AB BF =，所以3()EB EA EF EB -=-，整理得3144EB EF EA =+，故A 正确；对于B ，过点B 作//BG FD ，交AE 于点G ，则AF AD BF DG =，BC DG CE DE =，所以1AF BC ED AD DG ED BF CE DA DG DE DA⋅⋅=⋅⋅=，因为BC CE λ=，ED DA μ=，3AB BF =，所以4AF BF =，BCCEλ=，ED DA μ=，所以41λμ=，所以14λμ=，故B 正确；对于C ，由B 知，114()84λμλμλμ+=+=，当且仅当12λμ==时等号成立，所以11λμ+的最小值为4，故C 错误；对于D ，因为BC CE λ=，ED DA μ=，所以(1)EB EC λ=+，(1)(1)EA DA AD μμ=+=-+，所以111455(1)(1)9(1)(1)244EC AD EC AD EB EA EC AD λμλμλμλμ⋅⋅-===-=--++⋅-++⋅+++，当且仅当12λμ==时取等号，故D 正确．故选：ABD ．【点评】本题主要考查平面向量的线性运算，基本不等式的应用，考查转化思想与数形结合思想的应用，属于中档题．4．已知向量a e ≠，||1e =，满足对任意t R ∈，恒有||||a te a e --，则( )A ．0a e ⋅=B ．()0a a e ⋅-=C ．()0e a e ⋅-=D ．()()0a e a e +⋅-=【分析】由平面向量数量积运算可得22210t te a e a -⋅+⋅-=，对任意t R ∈恒成立，则2(2)4(21)0e a e a ⋅-⋅-，然后求解即可．【解答】解：由向量a e ≠，||1e =，满足对任意t R ∈，恒有||||a te a e --，则2222222a te a t e a e a e -⋅+=-⋅+，即22210t te a e a -⋅+⋅-=，由题意有2(2)4(21)0e a e a ⋅-⋅-，即2(1)0e a ⋅-，即1e a ⋅=，则()0e a e ⋅-=，故选：C ．【点评】本题考查了平面向量数量积运算，重点考查了不等式恒成立问题，属基础题．5．已知e 为单位向量，向量a 满足()(5)0a e a e -⋅-=，则||a e +的最大值为( ) A ．4B ．5C ．6D ．7【分析】设(1,0)e =，(,)a x y =，根据向量a 满足()(5)0a e a e -⋅-=，可得x ，y 的关系式，并得出x ，y 的取值范围，||(1)a e x +=+ 【解答】解：设(1,0)e =，(,)a x y =，则()(5)(1a e a e x -⋅-=-，)(5y x ⋅-，22)650y x x y =-++=，即22(3)4x y -+=，则15x ，22y -，所以||(1)a e x +=+=，当5x =6，即||a e +的最大值为6，故选：C ．【点评】本题考查了向量数量积的应用，将所求问题坐标化转化为函数的最值问题是解题关键．6．已知ABC ∆中，对任意t R ∈，||||BA tBC AC -，则ABC ∆是以C 为直角的直角三角形．【分析】两边平方后整理成关于t 的一元二次不等式恒成立，再利用判别式小于等于0，以及正弦定理可得．【解答】解：对任意t R ∈，||||BA tBC AC -，即22()|BA tBC AC-，即22222cos 0a t act B c b -+-，则△2222(2cos )4()0ac B a c b =--，化简得222cos 1b B c -，即222sin b B c ，即sin b B c，设ABC ∆外接圆的半径为R ，则由正弦定理可得2b bR c，得2c R ，得sin 1C ，又sin 1C ，sin 1C ∴=，2C π∴=．故答案为：以C 为直角的直角．【点评】本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属中档题． 7．已知ABC ∆，若对任意t R ∈，||||BA tBC AC -，则ABC ∆一定为( )A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．答案不确定【解答】解：令AM BA tBC =-，则根据向量的减法的几何意义可得M 在BC 上，由||||BA tBC AC -对一切实数t 都成立可得：||||AM AC ，AC BC ∴⊥，则ABC ∆为直角三角形．故选：C ．【点评】本题是一道构造非常巧妙的试题，解题的关键是由||||BA tBC AC -对一切实数t都成立可得到AC 为A 到BC 的距离．8．如图，在平行四边形ABCD 中，AP BD ⊥，垂足为P ，且3AP =，则AP AC = 18 ．【分析】设AC 与BD 交于O ，则2AC AO =，在RtAPO 中，由三角函数可得AO 与AP 的关系，代入向量的数量积||||cos AP AC AP AC PAO =∠可求【解答】解：设AC 与BD 交于点O ，则2AC AO =AP BD ⊥，3AP =，在Rt APO ∆中，cos 3AO OAP AP ∠==||cos 2||cos 2||6AC OAP AO OAP AP ∴∠=⨯∠==，由向量的数量积的定义可知，||||cos 3618AP AC AP AC PAO =∠=⨯= 故答案为：18【点评】本题主要考查了向量的数量积的定义的应用，解题的关键在于发现规律：cos 2cos 2AC OAP AO OAP AP ⨯∠=⨯∠=．9．在ABC ∆中，M 是BC 的中点，1AM =，点P 在AM 上且满足向量2AP PM =，则向量()PA PB PC +等于( )A ．49-B ．43-C ．43D ．49【分析】由题意M 是BC 的中点，知AM 是BC 边上的中线，又由点P 在AM 上且满足2AP PM =可得：P 是三角形ABC 的重心，根据重心的性质，即可求解．【解答】解：M 是BC 的中点，知AM 是BC 边上的中线，又由点P 在AM 上且满足2AP PM =P ∴是三角形ABC 的重心∴()PA PB PC +2||PA AP PA ==-又1AM =∴2||3PA =∴4()9PA PB PC +=-故选：A ．【点评】本题考查向量的数量积的应用，解题的关键是判断P 点是三角形的重心，考查计算能力．10．在ABC ∆中，2AB =，3AC =，N 是边BC 上的点，且,BN NC O =为ABC ∆的外心，则(AN AO ⋅= ) A ．3B ．134C ．92D ．94【分析】利用平面向量的线性运算法则以及外心的性质、数量积的定义求解．【解答】解：因为O 为ABC ∆的外心，故2122AO AB AB ⋅==，21922AO AC AC ⋅==，又BN NC =，故N 为BC 的中点，故1()2AN AB AC =+，所以11()()22AN AO AB AC AO AO AB AO AC ⋅=+⋅=⋅+⋅1913(2)224=+=．故选：B ．【点评】本题考查平面向量数量积的定义以及平面向量线性运算的几何意义，属于中档题．11．设a 、b 、c 是单位向量，0a b =，则()()a c b c --的最小值为 1 【分析】利用向量的运算法则展开()()a c b c --，再利用余弦值的有界性求范围．【解答】解：设c 与a b +的夹角等于θ，()()(a c b c a b c --=-2)a b c ++20||||cos 10||1()1c a b a b a b θ=-++-++=-++2222211a b a b a b =+++=-++1=．故答案为：1【点评】本题主要考查两个向量的数量积的定义，两个向量垂直的性质，考查向量的运算法则：交换律、分配律，但注意不满足结合律，属于中档题．12．已知ABC ∆是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()()PB AB PB PC -+的最小值是( ) A ．1-B ．32-C ．2-D ．43-【分析】建立坐标系，设(,)P x y ，得出()()PB AB PB PC -+关于x ，y 的表达式，配方即可得出结论．【解答】解：以BC 为x 轴，以BC 边上的高为y 轴建立坐标系，则(0,3)A ，设(,)P x y ，则2(2,2)PB PC PO x y +==--，()(,3)PB AB PA x y -==--， 222233()()222322()22PB AB PB PC x y y x y ∴-+=+-=+--， ∴当0x =，32y =时，()()PB AB PB PC -+取得最小值32-，故选：B ．【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，属于中档题．13．如图，在平面四边形ABCD 中，AB BC ⊥，AD CD ⊥，120BAD ∠=︒，1AB AD ==．若点E 为边CD 上的动点，则AE BE 的最小值为( )A ．2116B ．32C ．2516D ．3【分析】如图所示，以D 为原点，以DA 所在的直线为x 轴，以DC 所在的直线为y 轴，求出A ，B ，C 的坐标，根据向量的数量积和二次函数的性质即可求出．【解答】解：如图所示，以D 为原点，以DA 所在的直线为x 轴，以DC 所在的直线为y 轴，过点B 做BN x ⊥轴，过点B 做BM y ⊥轴，AB BC ⊥，AD CD ⊥，120BAD ∠=︒，1AB AD ==， 1cos602AN AB ∴=︒=，3sin 60BN AB =︒，13122DN ∴=+=，32BM ∴=，3tan302CM MB ∴=︒=， 3DC DM MC ∴=+=，(1,0)A ∴，3(2B ，3)2，(0,3)C ，设(0,)E m ，∴(1,)AE m =-，3(2BE =-，3)2m -，03m，∴22233333321()()224216416AE BE m m m m =+-=-+-=-+，当34m =时，取得最小值为2116．故选：A ．【点评】本题考查了向量在几何中的应用，考查了运算能力和数形结合的能力，属于中档题． 14．在ABC ∆中，D 是BC 的中点，H 是AD 的中点，过点H 作一直线MN 分别与边AB ，AC 交于M ，N ，若,AM xAB AN y AC ==，则4x y +的最小值是( )A ．52B ．73C ．94D ．14【分析】根据题意，利用MH 与NH 共线，求出x 与y 的表达式，再利用基本不等式求出4x y +的最小值即可．【解答】解：在ABC ∆中，D 为BC 边的中点，H 为AD 的中点， ,AM xAB AN y AC ==，∴1()4AH AM MH xAB MH AB AC =+=+=+，∴11()44MH x AB AC =-+，同理，11()44NH AB y AC =+-， MH 与NH 共线，∴存在实数λ，使(0)MH NH λλ=<，即1111()()4444x AB AC AB y AC λλ-+=+-，即114411()44x y λλ⎧-=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得14x λ-=，114y λ-=， 1115159442(444444x y λλλλ--∴+=+⨯=--+-=，当且仅当14λλ-=-，即2λ=-时，“=”成立，4x y ∴+的最小值是94．故选：C ．【点评】本题考查了平面向量的线性运算，以及基本不等式的应用，属于中档题． 15．直角三角形ABC 中，P 是斜边BC 上一点，且满足2BP PC =，点M 、N 在过点P 的直线上，若AM mAB =，AN nAC =，(0,0)m n >>，则下列结论错误的是( ) A ．12m n+为常数 B ．m n +的最小值为169C ．2m n +的最小值为3D ．m 、n 的值可以为：12m =，2n = 【分析】作出图形，由2BP PC =可得出1233AP AB AC =+，根据三点共线的结论得出123m n+=，结合基本不等式可判断出各选项的正误，即可得出结论．【解答】解：如下图所示：由2BP PC =，可得2()AP AB AC AP -=-，∴1233AP AB AC =+，若,,(0,0)AM mAB AN nAC m n ==>>，则11,AB AM AC AN m n==， ∴1233AP AM AN m n=+，M 、P 、N 三点共线，∴12133m n+=，∴123m n +=，故A 正确；所以1,22m n ==时，也满足123m n +=，则D 选项正确；122252252(2)()2333333333n m n m n m n m n mn m +=++=++⋅=，当且仅当m n =时，等号成立，C 选项成立； 1222()()1211333333n m n m n m n m n m n m +=++=++⋅，当且仅当2n m =时，即1222,33m n ++==时等号成立，故B 选项错误．故选：B ．17．已知点O 、N 、P 在ABC ∆所在平面内，且||||||OA OB OC ==，0NA NB NC ++=，PA PB PB PC PC PA ⋅=⋅=⋅，则点O 、N 、P 依次为ABC ∆的( )A ．重心、外心、垂心B ．重心、外心、内心C ．外心、重心、垂心D ．外心、重心、内心【分析】根据O 到三角形三个顶点的距离相等，得到O 是三角形的外心，根据所给的四个选项，第一个判断为外心的只有C ，D 两个选项，只要判断第三个条件可以得到三角形的什么心就可以，移项相减，得到垂直，即得到P 是三角形的垂心．【解答】证明：||||||OA OB OC ==，O ∴到三角形三个顶点的距离相等， O ∴是三角形的外心，根据所给的四个选项，第一个判断为外心的只有C ，D 两个选项，∴只要判断第三个条件可以得到三角形的什么心就可以，PA PB PB PC PC PA ⋅=⋅=⋅，∴()0PB PA PC -=，∴0PB CA ⋅=，∴PB CA ⊥，同理得到另外两个向量都与相对应的边垂直，得到P 是三角形的垂心，故选：C ．【点评】本题是一个考查的向量的知识点比较全面的题目，把几种三角形的心总结的比较全面，解题时注意向量的有关定律的应用，不要在运算律上出错． 18．已知非零向量,AB AC 和BC 满足())0||||AB AC BC AB AC +⋅=，且1||||2AC BC AC BC ⋅=，则ABC ∆为( ) A ．等边三角形 B ．等腰非直角三角形C ．非等腰三角形D ．等腰直角三角形【解答】解：根据向量的性质可得||||1||||AB ACAB AC == ∴||||AB ACAB AC +在BAC ∠的角平分线上（设角平分线为)AD (())0||||AB ACBC AB AC +⋅= AD BC ∴⊥从而有AB AC =又因为12||||AC BC AC BC ⋅=且||||1||||AC BCAC BC ==所以60C ∠=︒三角形为等边三角形故选：A ．【点评】本题主要考查了平面向量的加法的四边形法则，向量的数量积的运算，考查了等边三角形的性质，属于综合试题．19．已知O 是平面上的一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足()2||cos ||cos OB OC AB ACOP AB B AC Cλ+=++，[0λ∈，)+∞，则动点P 的轨迹一定通过ABC ∆的( ) A ．内心B ．垂心C ．重心D ．外心【解答】解：设BC 的中点为D ， ()2||cos ||cos OB OC AB AC OP AB B AC C λ+=++，∴()||cos ||cos AB ACOP OD AB B AC C λ=++，即()||cos ||cos AB ACDP AB B AC Cλ=+，两端同时点乘BC ，||||cos()||||cos ()()(||||)0||cos ||cos ||cos ||cos AB BC AC BC AB BC B AC BC CDP BC BC BC AB B AC C AB B AC Cπλλλ⋅⋅⋅-⋅⋅=+=+=-+=DP BC ∴⊥，∴点P 在BC 的垂直平分线上，即P 经过ABC ∆的外心故选：D ．【点评】本题主要考查了空间向量的加减法，以及三角形的外心的知识，属于基础题． 20．设点O 在ABC ∆的内部，且有230OA OB OC ++=，则ABC ∆的面积与AOC ∆的面积的比为( ) A ．2B ．32C ．3D ．53【解答】解：分别取AC 、BC 的中点D 、E ，230OA OB OC++=，∴2()OA OC OB OC+=-+，即2 4OD=-OE，O∴是DE的一个三等分点，∴3ABCAOCSS∆∆=，故选：C．【点评】此题是个基础题．考查向量在几何中的应用，以及向量加法的平行四边形法则和向量共线定理等基础知识，同时考查学生灵活应用知识分析解决问题的能力和计算能力．21．已知点O在ABC∆内，且::4:3:2AOB BOC AOCS S S∆∆∆=，AO AB ACλμ=+，则(λμ+= A．1B．29C．59D．23【分析】先证明0AOB BOC AOCS OC S OA S OB∆∆∆⋅+⋅+⋅=成立，得到4320OC OA OB++=，利用向量的线性运算得到429AC AB AO+=，求出λ，μ，由此能求出结果．【解答】解：先证明0AOB BOC AOCS OC S OA S OB∆∆∆⋅+⋅+⋅=，延长AO交BC于Q，由题意得AOB BOC AOC ABCS S S S∆∆∆∆++=，由面积关系得：BOCABCS OQS AQ∆∆=，∴APB CPAABCS SAQ AQS∆∆∆+=⋅，||||||||AOC AOBAOC AOB AOC AOBS SQC QBAQ AB AC AB ACS S S SBC BC∆∆∆∆∆∆=⋅+⋅=⋅+⋅++，∴0AOC AOB BOCS OB S OC S AO∆∆∆⋅+⋅-⋅=，∴0AOB BOC AOCS OC S OA S OB∆∆∆⋅+⋅+⋅=，由题意知::4:3:2AOB BOC AOCS S S∆∆∆=，4320OC OA OB∴++=，∴429AC AB AO+=，∴24,99λμ==，23λμ∴+=．故选：D．22．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”()Mercedesbenz的log o很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．奔驰定理：已知O是ABC∆内的一点，BOC ∆，AOC ∆，AOB ∆的面积分别为A S ，B S ，C S ，则0A B C S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅=．若O 是锐角ABC ∆内的一点，A ，B ，C 是ABC ∆的三个内角，且点O 满足OA OB OB OC OA OC ⋅=⋅=⋅．则( )A ．O 为ABC ∆的外心B ．BOC A π∠+=C ．||:||:||cos :cos :cos OA OB OC A B C =D ．::tan :tan :tan A B C S S S A B C =【分析】选项A ，将OA OB OB OC ⋅=⋅移项，并结合平面向量的减法和数量积的运算法则，可得OB CA ⊥，同理推出OA CB ⊥，OC AB ⊥，得解；选项B ，根据选项A 中所得，可知2OBC C π∠+=，2OCB B π∠+=，再由三角形的内角和定理，得解；选项C ，延长CO 交AB 于点P ，结合诱导公式与余弦函数的定义，可证cos :cos :A B OA OB =，进而得解；选项D ，由三角形的面积公式与诱导公式，可得:tan :tan A B S S A B =，进而得解．【解答】解：对于选项A ，()00OA OB OB OC OB OA OC OB CA OB CA ⋅=⋅⇔⋅-=⇔⋅=⇔⊥，同理可得，OA CB ⊥，OC AB ⊥，故O 为ABC ∆的垂心，即A 错误；对于选项B ，因为OB AC ⊥，OC AB ⊥，所以2OBC C π∠+=，2OCB B π∠+=，所以OBC C OCB B π∠++∠+=，又OBC OCB BOC π∠+∠+∠=，所以BOC C B ∠=+，又A B C π++=，所以BOC A π∠+=，即B 正确；对于选项C ，由上可知，A BOC π=-∠，B AOC π=-∠，延长CO交AB 于点P ，cos :cos cos():cos()cos :cos ::OP OPA B BOC AOC BOP AOP OA OB OB OAππ=-∠-∠=∠∠==，同理可得，cos :cos :A C OA OC =，所以cos :cos :cos ::A B C OA OB OC =，即C 正确；对于选项D ，11:():():tan :tan tan :tan tan():tan()tan :tan 22A B S S OC BP OC AP BP AP OP POB OP AOP BOC AOC A B A Bππ=⋅⋅⋅⋅==∠∠=∠∠=--=，同理可得，:tan :tan A C S S A C =，所以::tan :tan :tan A B C S S S A B C =，即D 正确．故选：BCD ．【点评】本题考查平面向量在几何中的应用，熟练掌握平面向量的数量积，诱导公式，平面几何基础知识是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于难题．23．在矩形ABCD 中，1AB =，2AD =，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP AB AD λμ=+，则λμ+的最大值为( )A ．3B ．22C 5D ．2【分析】方法一：如图：以A 为原点，以AB ，AD 所在的直线为x ，y 轴建立如图所示的坐标系，先求出圆的标准方程，再设点P 的坐标为25(1θ+，252)θ+，根据AP AB AD λμ=+，求出λ，μ，根据三角函数的性质即可求出最值．方法二：根据向量分解的等系数和线直接可得．【解答】解：如图：以A 为原点，以AB ，AD 所在的直线为x ，y 轴建立如图所示的坐标系，则(0,0)A ，(1,0)B ，(0,2)D ，(1,2)C ，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上，设圆的半径为r ，2BC =，1CD =，22215BD ∴=+∴1122BC CD BD r ⋅=⋅， 5r ∴=，∴圆的方程为224(1)(2)5x y -+-=，设点P 的坐标为25(1θ+252)θ+，AP AB AD λμ=+，25(1θ∴+252)(1θλ+=，0)(0μ+，2)(λ=，2)μ， ∴251θλ+=2522θμ+=，255cos sin 2sin()255λμθθθϕ∴+=++=++，其中tan 2ϕ=， 1sin()1θϕ-+，13λμ∴+，故λμ+的最大值为3，方法二：根据向量分解的等系数和线，可得λμ+的最大值为3，如图所述故选：A ．【点评】本题考查了向量的坐标运算以及圆的方程和三角函数的性质，关键是设点P 的坐标，考查了学生的运算能力和转化能力，属于中档题．24．平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点(3,1)A 、(1,3)B -，若点C 满足OC OA OB αβ=+，其中α、R β∈，且1αβ+=，则点C 的轨迹方程为( )A ．32110x y +-=B ．22(1)(2)5x y -+-=C ．20x y -=D ．250x y +-=【分析】由点C 满足OC OA OB αβ=+，其中α、R β∈，且1αβ+=，知点C 在直线AB 上，故求出直线AB 的方程即求出点C 的轨迹方程．【解答】解：C 点满足OC OA OB αβ=+且1αβ+=，A ∴、B 、C 三点共线． C ∴点的轨迹是直线AB 又(3,1)A 、(1,3)B -，∴直线AB 的方程为：133113y x --=---整理得250x y +-= 故C 点的轨迹方程为250x y +-= 故选：D ．【点评】考查平面向量中三点共线的充要条件及知两点求直线的方程，是向量与解析几何综合运用的一道比较基本的题，难度较小，知识性较强．25．若动直线:440l mx y m -+-=与圆22:(4)(5)9C x y -+-=相交于A ，B 两点，则()A ．||AB 的最小值为42B ．CA CB ⋅的最大值为7-C ．(OA OB O ⋅为坐标原点）的最大值为78D ．AC AB ⋅的最大值为18【解答】解：440mx y m -+-=，(4)(4)0m x y ∴---=，故动直线l 恒过点(4,4)D ；圆22:(4)(5)9C x y -+-=的圆心为(4,5)C ，半径为3，则22||(44)(45)1CD =-+-=，故||AB 的最小值为2223142⨯-=；故选项A 正确；对于选项B ，||||cos 9cos CA CB CA CB ACB ACB ⋅=⋅∠=∠，易知当CD AB ⊥时，ACB ∠最小，此时22233(42)7cos 2339maxACB +-∠==-⨯⨯；故7()9()79max CA CB ⋅=⨯-=-；故选项B 正确；对于选项C ，设AB 的中点为M ，()()OA OB OM MA OM MA ⋅=+⋅-22229OM MA OM CM =-=+-，而点M 在以DC 为直径的圆2291(4)()24x y -+-=上，设1(4cos 2M θ+，91sin )([022θθ+∈，2]π，且)2πθ≠，故2222221911119(4cos )(sin )(cos )(sin )9222222OA OB OM CM θθθθ⋅=+-=+++++--284cos 4sin 2842sin()28424πθθθ=++=+++，故错误；对于选项D ，21||||cos ||2AC AB AC AB CAB AB ⋅=⋅∠=，故当||AB 取最大值，即AB 过圆心C 时，但动直线l 的斜率一定存在，故动直线l 不包括垂直于x 轴的直线，故AC AB ⋅的最大值不存在，即错误；故选：AB ．【点评】本题综合考查了直线与圆的位置关系的应用及平面向量的综合应用，属于难题．。

高三数学专题复习之平面向量与复数

平面向量与复数
高考分析及预测
从内容上看：向量的基本概念（共线、垂直）及其运算（加法、减法、数乘和数量积）是高考的必考内容；从题型上看，平面向量的考题比较灵活，多以向量的运算为主，平面几何图形作为载体，考查向量加减法的几何意义，考查学生分析问题、解决问题的能力和运算能力，填空题、解答题都有可能出现，可能是容易题，也可能是中档题。

复数题在高考中主要以小题形式呈现，难度不大，主要考查复数的运算。

高考能级要求：
知识梳理：
重点及易错点回顾：
典例精研：
目标达成反馈：
课堂小结：
学教反思：。

高三数学二轮复习重点

高三数学二轮复习重点高三数学第二轮重点复习内容专题一：函数与不等式，以函数为主线，不等式和函数综合题型是考点函数的性质：着重掌握函数的单调性，奇偶性，周期性，对称性。

这些性质通常会综合起来一起考察，并且有时会考察具体函数的这些性质，有时会考察抽象函数的这些性质。

一元二次函数：一元二次函数是贯穿中学阶段的一大函数，初中阶段主要对它的一些基础性质进行了了解，高中阶段更多的是将它与导数进行衔接，根据抛物线的开口方向，与x轴的交点位置，进而讨论与定义域在x轴上的摆放顺序，这样可以判断导数的正负，最终达到求出单调区间的目的，求出极值及最值。

不等式：这一类问题常常出现在恒成立，或存在性问题中，其实质是求函数的最值。

当然关于不等式的解法，均值不等式，这些不等式的基础知识点需掌握，还有一类较难的综合性问题为不等式与数列的结合问题，掌握几种不等式的放缩技巧是非常必要的。

专题二：数列。

以等差等比数列为载体，考察等差等比数列的通项公式，求和公式，通项公式和求和公式的关系，求通项公式的几种常用方法，求前n项和的几种常用方法，这些知识点需要掌握。

专题三：三角函数，平面向量，解三角形。

三角函数是每年必考的知识点，难度较小，选择，填空，解答题中都有涉及，有时候考察三角函数的公式之间的互相转化，进而求单调区间或值域;有时候考察三角函数与解三角形，向量的综合性问题，当然正弦，余弦定理是很好的工具。

向量可以很好得实现数与形的转化，是一个很重要的知识衔接点，它还可以和数学的一大难点解析几何整合。

专题四：立体几何。

立体几何中，三视图是每年必考点，主要出现在选择，填空题中。

大题中的立体几何主要考察建立空间直角坐标系，通过向量这一手段求空间距离，线面角，二面角等。

另外，需要掌握棱锥，棱柱的性质，在棱锥中，着重掌握三棱锥，四棱锥，棱柱中，应该掌握三棱柱，长方体。

空间直线与平面的位置关系应以证明垂直为重点，当然常考察的方法为间接证明。

专题五：解析几何。

最新-名师导学2021届高三数学理二轮复习课件：专题2第5讲平面向量及其应用精品

【命题立意】本题主要考查向量的数量积运算、向量的模及代数运算、二次函数的图象与性质，考查转化化归思想、抽象概括能力及运算求解能力，试题难度：难．
平面向量 (1)向量加法的法则：三角形法则与平行四边形法则． (2)向量减法的法则：三角形法则． (3)实数 λ 与向量 a 的积是一个向量，记作 λa，规定： |λa|＝|λ|·|a|. (4)向量 b 与非零向量 a 共线的充要条件是有且仅有一
1．平面向量的概念与线性运算例1(1)如图，A、B 分别是射线 OM、 ON 上的两点，给出下列向量．
①O→A＋2O→B；②12O→A＋13O→B；③ 34O→A＋13O→B；④34O→A－15O→B.这四个向量中以 O 为起点，终点在阴影区域内的是( )
A．①② B．①③ C．②③ D．②④
∴A→E＝A→C＋23C→B＝23A→B＋13A→C，则A→D·A→E＝12(A→B＋A→C)·13(2A→B＋A→C) ＝16(2A→B2＋3A→B·A→C＋A→C2) ＝16(2×22＋3×2×2×cos 120°＋22)＝1.
【点评】平面向量的数量积既有几何运算法则，
又有坐标运算，因此涉及与平面几何有关的问题，应充分将几何运算法则与几何图形和实数与平面向量乘法的几何意义恰当结合进行运算求解．
(2)设 f(t)＝D→M·B→N，g(t)＝at＋4－2a(a＞0)，分别根据以下条件，求出实数 a 的取值范围：
Ⅰ.存在 t1，t2∈(0，1)，使得f（2t1）＝g(t2)； Ⅱ.对任意 t1∈(0，1)，恒存在 t2∈(0，1)，使得 f（2t1）＝g(t2)．
【解析】(1)过点 M 作坐标轴的垂线段，则依题
＝2 2
3
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ2 .

2014高三数学二轮复习：平面向量的综合应用典型例题

2014高三数学：平面向量的综合应用典型例题1．利用向量的坐标运算，解决两直线的夹角，判定两直线平行、垂直问题例1、若非零向量b a ,满足||||b a =.0)2(=⋅+b b a ,则b a ,的夹角为（）A ．30oB ．60oC ．120oD ．150o1、非零向量a .b .c 满足||||||c b a ==,c b a =+,则向量a .b 夹角为（）A ．150°B ．120°C ．60°D ．30°2 ．已知向量(1,cos ),(1,2cos )θθ=-=a b 且⊥ab ,则cos 2θ等于（）A ．1-B ．0C ．12D ．223已知平面向量a ()2m =-,,b ()13=,,且()-⊥a b b ,则实数m 的值为（）A ．23-B ．23C ．43D ．634．设非零向量a,b 的夹角为θ,记θθsin cos ),(b a b a f -=.若21,e e 均为单位向量,且2321=⋅e e ,则向量),(21e e f 与),(12e e f -的夹角为____rad.5．已知A,B,C 是函数x e y =图象上的三点,横坐标分别为1,,1+-t t t .(1)当t=1时,求实数x,y 的值,使得OC y OA x OB +=,其中O 为坐标原点;(2)①证明:对任意实数t,A,B,C 三点不在同一条直线上;②问△ABC 是锐角三角形、直角三角形、还是钝角三角形?说明理由.6 ．已知O 是ABC ∆的外心,10,6==AC AB ,若AC y AB x AO ⋅+⋅=且5102=+y x ,则=∠BAC cos _____________.7、在ABC ∆中,若22()||5CA CB AB AB +⋅=,则tan tan AB= ________. 【答案】73 8、已知O 为△ABC 的外心,210||,16||==AC AB , 若AC y AB x AO +=,且32x+25y=25,则||OA →==_____.【答案】109、已知)2,3(),2,(x AC x x AB -==,若∠BAC 是钝角,则x 的取值范围是___________2．利用向量的坐标运算，解决有关线段的长度问题例2、已知非零向量a ,b 满足|a |=|a +b |=1,a 与b 夹角为120°,则向量b 的模为________.1、在平面直角坐标系中,O 是坐标原点,()2,0A,()0,1B ,则点集{},1,,P OP OA OB R λμλμλμ=++≤∈所表示的平面区域的面积是________.【答案】42、已知ABC ∆是边长为4的正三角形,D 、P 是ABC ∆内部两点,且满足11(),48AD AB AC AP AD BC =+=+,则APD ∆的面积为__________.【答案】343、若向量→a 、→b 满足|→a |=1,|→b |=2,且→a 与→b 的夹角为π3,则|→a +2→b |=_______ 【答案】 214、已知向量a =(2,1),a ·b =10,|a +b |52=,则|b |=__________【答案】55、已知在等边三角形ABC 中,点P 为线段AB 上一点,且(01)AP AB =≤≤λλ.(1)若等边三角形边长为6,且13=λ,求CP ;(2)若CP AB PA PB ⋅≥⋅,求实数λ的取值范围. 3．利用向量的坐标运算，用已知向量表示未知向量例3、已知点O 是，，内的一点，090BOC 150AOB =∠=∠∆ABC ,,,OA c OC b OB a ===设且,3,1,2===c b a 试用.,c b a 表示和1、如图，，的夹角为与，的夹角为与5OC ,30OA OC 120OB ,100===OA OB OA 用OB OA ，表示.OC 2、如图,在△OAB 中,已知P 为线段AB 上的一点,.OP x OA y OB =⋅+⋅(1)若BP PA =,求x ,y 的值;(2)若3BP PA =,||4OA =,||2OB =,且OA 与OB 的夹角为60°时,求OP AB ⋅ 的值.4．利用向量的数量积问题例题4、是圆C:22(1)(3)1x y -+-=上的一个动点,A(3,1),则OP OA 的最小值为______【答案】2(3-1) 1、直角三角形ABC 中,90,2ACB AC BC ︒∠===, P 是斜边AB 上的一个三等分点,则CP CB CP CA ⋅+⋅=__.【答案】41、在ABC ∆中,已知||||||2AB BC CA ===,则向量AB BC =（）A ．2B ．2-C ．23D．23-2、如图, 在等腰三角形ABC 中, 底边2=BC , DC AD =, 12AE EB =, 若12BD AC ⋅=-, 则AB CE ⋅=_____.【答案】3、在ABC ∆中,6BC=,BC 边上的高为2,则AB AC ⋅的最小值为________.【答案】5-4、在ABC ∆中,90=C 且3CA CB ==,点M 满足,2MA BM =则CB CM ⋅等于（）A ．2B ．3C ．4D ．65、若等腰梯形ABCD 中,//AB CD ,3AB =,2BC =,45ABC ∠=,则AC BD ⋅ 的值为________【答案】36、在ABC ∆中,已知a .b .c 成等比数列,且33,cos 4a c B +==,则AB BC ⋅=（B ） A ．32B ．32-C ．3D ．-37、如图,在正方形ABCD 中,已知2AB =,M 为BC 的中点,若N 为正方形内(含边界)任意一点,则AM AN ⋅的取值范围是______.）在Rt ΔAB C 中,C ∠=90.,若ΔABC 所在平面内的一点P 满足过0=++PC PB PA λ(I)当λ= 1时,222||||||PC PB PA +=_______(II) 222||||||PC PB PA +的最小值为______.【答案】(1)5;(2)1. 8、在△ABC 中,O 是中线AM 上一个动点,若AM=4,则的最小值是（B ） A ．-4 B ．-8C ．-10D ．-125．利用向量的数量积解决有关系数问题例5、如图,在△ABC 中,D,E 分别为边BC,AC 的中点. F 在边AB 上,且,则x+y的值为____【答案】521、向量b n a m b a --==若),3,2(),2,1(与b a 2+共线(其中,,0mm n R n n∈≠且）则等于_【答案】21-2、已知O 为△ABC 的外心,,120,2,20=∠==BAC aAC a AB 若AC AB AO βα+=,则βα+的最小值为____ 【答案】23、已知O 是锐角三角形△ABC 的外接圆的圆心,且,A θ∠=若cos cos 2,sin sin B CAB AC mAO C B+=则m =（）A ．sin θB ．cos θC ．tan θD ．不能确定4、已知ABC 和点M 满足0MA MB MC ++=.若存在实数m 使得AB AC mAM +=成立,则m = （）A ．2B ．3C ．4D ．55、如图,AB 是圆O 的直径,C D 、是圆O 上的点,60CBA ∠=,45ABD ∠=,CD xOA yBC =+,则x y +的值为（）A ．33-B ．13-C ．23D ．36、已知向量(3,4)a =, (2,1)b =-,如果向量a xb -与b 垂直,则x 的值为（ C ）A ．233B ．323C ．25D ．25-COAB D7、已知向量AB 与AC 的夹角为0120,且|AB →|=3, |AC →|=2,若λ=+AP AB AC ,且⊥AP BC ,则实数λ的值为__________.【答案】7128、已知△ABC 中,点D 是BC 的中点,过点D 的直线分别交直线AB.AC 于E 、F 两点,若()0>=λλAE AB ,AF AC μ=()0>μ,则14λμ+的最小值是________【答案】29 9、设21,e e 为单位向量,非零向量R y x e y e x b ∈+=,,21,若21,e e 的夹角为6π,则||||b x 的最大值等于________.6.利用向量的数量积解决与直线相关问题.例题6、已知A,B,C 是函数x e y =图象上的三点,横坐标分别为1,,1+-t t t .(1)当t=1时,求实数x,y 的值,使得OC y OA x OB +=,其中O 为坐标原点;(2)①证明:对任意实数t,A,B,C 三点不在同一条直线上;②问△ABC 是锐角三角形、直角三角形、还是钝角三角形?说明理由.1、将函数y =2x 的图像按向量a →平移后得到函数y =2x +6的图像,给出以下四个命题:①a →的坐标可以是(-3.0);②a →的坐标可以是(0,6);③a →的坐标可以是(-3,0)或(0,6);④a →的坐标可以有无数种情况,其中真命题的个数是（ D ）A ．1 B ．2 C ．3 D ．42、是平面上一定点,A ．B ．C 是平面上不共线的三个点,动点P 满足).,0[)||||(+∞∈⋅++=λλAC ACAB AB OA OP 则P 的轨迹一定通过△ABC 的（ B ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心3设P 是△ABC 所在平面内的一点,2BC BA BP +=,则（B ）A ．0PA PB += B ．0PC PA += C ．0PB PC +=D ．0PA PB PC ++=4、P 是ABC ∆所在平面内一点,若PB PA CB +=λ,其中R ∈λ,则P 点一定在（B ）(A)ABC ∆内部 (B)AC 边所在直线上 (C)AB 边所在直线上 (D)BC 边所在直线上7.利用向量的数量积解决与三角函数的综合.例题7、设向量(2,sin ),(1,cos ),a b θθθ==为锐角.(1)若136a b ⋅=,求sin cos θθ+的值;(2)若//a b ,求sin(2)3πθ+的值.1、已知向量(cos ,sin ),(cos ,sin ),(1,0)a a a b c ββ===-(Ⅰ)求向量b c +的长度的最大值;(Ⅱ)设a 4π=,且()a b c ⊥+,求cos β的值.2、已知向量a →=(cos3x 2,sin 3x 2),b →=(cos x 2,―sin x 2),且x ∈[0,π2].(1) 已知a →∥b →,求x;(2)若f(x)=a →·b →―2λ|a →+b →|+2λ的最小值等于―3,求λ的值.3、设(cos ,(1)sin ),(cos ,sin ),(0,0)2a b παλαββλαβ=-=><<<是平面上的两个向量,若向量a b +与a b -互相垂直.(Ⅰ)求实数λ的值;(Ⅱ)若45a b ⋅=,且4tan 3β=,求tan α的值. 4、设平面向量)23,21(),1,3(=-=b a ,若存在实数)0(≠m m 和角θ,其中)2,2(ππθ-∈,使向量θθtan ,)3(tan 2⋅+-=-+=b a m d b a c ,且d c ⊥.(Ⅰ)求)(θf m =的关系式;(Ⅱ)若]3,6[ππθ-∈,求)(θf 的最小值,并求出此时的θ值. 8.利用向量的新型的综合.例题8、已知两个非零向量a 与b ,定义sin θ⨯=a b a b ,其中θ为a 与b 的夹角. 若()3,4-a =, ()0,2b =,则⨯a b 的值为（ D ）A ．8- B ．6- C ．8D ．61、定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下:对任意的a=(m,n),b=(p,q),令a ⊙b= mq-np,下面说法错误的是（）A ．若a 与b 共线,则a ⊙b =0 B ．a ⊙b =b ⊙a C ．对任意的λ∈R,有(λa)⊙b =λ(a ⊙b)D ．(a ⊙b)2+(a·b)2= |a|2|b|22、已知向量a=(x +z,3),b=(2,y-z),且a ⊥ b.若x ,y 满足不等式1x y +≤,则z 的取值范围为（ D ）A ．[-2,2]B ．[-2,3]C ．[-3,2]D ．[-3,3]3、称(,)||d a b a b =-为两个向量,a b 间的距离.若a b 、满足:①||=1;b ②a b ≠; ③对任意的,t R ∈恒有(,)(,)d a tb d a b ≥,则（ B ）A ．()()a b a b +⊥-B ．()b a b ⊥-C ．a b ⊥D ．()a a b ⊥-4、以下命题:①若||||||a b a b ⋅=⋅,则a ∥b ;②a =(-1,1)在b =(3,4)方向上的投影为15;③若△ABC 中,a=5,b =8,c =7,则BC ·CA =20;④若非零向量a 、b 满足||||a b b +=,则|2||2|b a b >+.其中所有真命题的标号是______________【答案】①②④5、已知)2,3(),2,(x AC x x AB -==,若∠BAC 是钝角,则x 的取值范围是___________【答案】解析:不共线与且AC AB AC AB 0<⋅可得⎪⎭⎫⎝⎛+∞⋃⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋃⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-∈,340,3131,x 6、定义*a b 是向量a 和b 的“向量积”,它的长度*sin a b a b α=,其中α为向量a 和b 的夹角,若()2,0u =,(1,3u v -=-,则*()u u v +=_____________.【答案】23【平面向量的综合应用】一、选择题1.设A 、B 、C 、D 四点坐标依次是(－1，0)，(0，2)，(4，3)，(3，1)，则四边形ABCD 为( ) A.正方形B.矩形C.菱形D.平行四边形2.已知△ABC 中，AB =a ，AC =b ，a ·b <0，S △ABC =415,|a |=3,|b |=5,则a 与b 的夹角是( ) A.30°B.－150°C.150°D.30°或150°二、填空题3.将二次函数y =x 2的图象按向量a 平移后得到的图象与一次函数y =2x －5的图象只有一个公共点(3，1)，则向量a =_________.4.等腰△ABC 和等腰Rt △ABD 有公共的底边AB ，它们所在的平面成60°角，若AB =16 cm,AC =17 cm,则CD =_________.三、解答题5.如图，在△ABC 中，设AB =a ，AC =b ，AP =c , AD =λa ,(0<λ<1),AE =μb (0<μ<1),试用向量a ，b 表示c .6.正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的底面边长为a ,侧棱长为2a . (1)建立适当的坐标系，并写出A 、B 、A 1、C 1的坐标； (2)求AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角.7.已知两点M (－1，0)，N (1，0)，且点P 使NP NM PN PM MN MP ⋅⋅⋅,,成公差小于零的等差数列. (1)点P 的轨迹是什么曲线？(2)若点P 坐标为(x 0,y 0),Q 为PM 与PN 的夹角，求tan θ.8.已知E 、F 、G 、H 分别是空间四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 的中点. (1)用向量法证明E 、F 、G 、H 四点共面； (2)用向量法证明：BD ∥平面EFGH ；(3)设M 是EG 和FH 的交点，求证：对空间任一点O ，有)(41OD OC OB OA OM +++=.参考答案一、1.解析：AB =(1，2），DC =(1，2），∴AB =DC ，∴AB ∥DC ，又线段AB 与线段DC 无公共点，∴AB ∥DC 且|AB |=|DC |，∴ABCD 是平行四边形，又|AB |=5，AC =(5，3），|AC |=34，∴|AB |≠|AC },∴ABCD不是菱形，更不是正方形；又BC =(4，1），∴1·4+2·1=6≠0,∴AB 不垂直于BC ，∴ABCD 也不是矩形，故选D. 答案：D2.解析：∵21415=·3·5sin α得sin α=21,则α=30°或α=150°. 又∵a ·b ＜0,∴α=150°. 答案：C二、3.(2,0) 4.13 cm三、5.解：∵BP 与BE 共线，∴BP =m BE =m (AE －AB )=m (μb －a ), ∴AP =AB +BP =a +m (μb －a )=(1－m )a +m μb①又CP 与CD 共线，∴CP =n CD =n (AD －AC )=n (λa －b ), ∴AP =AC +CP =b +n (λa －b )=n λa +(1－n )b②由①②，得(1－m ）a +μm b =λn a +(1－n )b .∵a 与b 不共线，∴⎩⎨⎧=-+=-+⎩⎨⎧-==-010111m n m n n m a m μλμλ即 ③解方程组③得：m =λμμλμλ--=--11,11n 代入①式得c =(1－m )a +m μb =πμ-11［λ(1－μ)a +μ(1－λ)b ］. 6.解：(1)以点A 为坐标原点O ，以AB 所在直线为Oy 轴，以AA 1所在直线为Oz 轴，以经过原点且与平面ABB 1A 1垂直的直线为Ox 轴，建立空间直角坐标系.由已知，得A (0，0，0），B (0，a ,0）,A 1(0,0,2a ),C 1(－,2,23aa 2a ). (2)取A 1B 1的中点M ，于是有M (0，2,2a a ），连AM ，MC 1，有1MC =(－23a ,0,0）,且AB =(0，a ,0）,1AA =(0,02a )由于1MC ·AB =0，1MC ·1AA =0，所以M C 1⊥面ABB 1A 1，∴AC 1与AM 所成的角就是AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角.∵1AC =),2,2,0(),2,2,23(a aAM a a a =-a a a AM AC 49240221=++=⋅∴a a a AM a a a a AC 2324||,324143||22221=+==++=而 2323349,cos 21=⨯>=<∴aa aAM AC所以AM AC 与1所成的角，即AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角为30°.7.解：(1)设P (x ,y ）,由M (－1，0），N (1，0）得，PM =－MP =(－1－x ,－y ）,NP PN -= =(1－x ,－y ),MN =－NM =(2,0),∴MP ·MN =2(1+x ), PM ·PN =x 2+y 2－1,NP NM ⋅ =2(1－x ).于是，NP NM PN PM MN MP ⋅⋅⋅,,是公差小于零的等差数列，等价于⎩⎨⎧>=+⎪⎩⎪⎨⎧<+---++=-+03 0)1(2)1(2)]1(2)1(2[211222x y x x x x x y x 即所以，点P 的轨迹是以原点为圆心，3为半径的右半圆. (2)点P 的坐标为(x 0,y 0),30,1cos 21,3041||cos 42)24)(24()1()1(||||,210220002020*******πθθθ<≤≤<∴≤<-=⋅⋅=∴-=-+=+-⋅++=⋅=-+=⋅x x PNPM PN PM x x x y x y x PN PM y x PN PM||3cos sin tan ,411cos 1sin 02022y x x =-==∴--=-=∴θθθθθ 8.证明：(1）连结BG ，则EH EF EH BF EB BD BC EB BG EB EG +=++=++=+=)(21由共面向量定理的推论知：E 、F 、G 、H 四点共面，(其中21BD =EH ）(2）因为BD AB AD AB AD AE AH EH 21)(212121=-=-=-=.所以EH ∥BD ，又EH ⊂面EFGH ，BD ⊄面EFGH 所以BD ∥平面EFGH .(3）连OM ，OA ，OB ，OC ，OD ，OE ，OG 由(2）知BD EH 21=，同理BD FG 21=，所以FG EH =，EH FG ,所以EG 、FH 交于一点M 且被M 平分，所以).(41)](21[21)](21[212121)(21OD OC OB OA OD OC OB OA OG OE OG OE OM +++=+++==+=.。

第五次平面向量教师版

天津市复兴中学高三年级考试试卷年月班级姓名学号_____________………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ○ 密 ○ ○ 封 ○ ○ 线 ○ ○ …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………高三数学总复习试卷5（平面向量部分）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1、已知向量a ＝(1,2)，b ＝(1,0)，c ＝(3,4)．若λ为实数，(a ＋λb )∥c ，则λ＝( )． A.14B.12C ．1D ．2解析依题意得a ＋λb ＝(1＋λ，2)，由(a ＋λb )∥c ，得(1＋λ)×4－3×2＝0，∴λ＝12. 答案 B2、在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，设向量p ＝(a ＋c ，b )，q ＝(b －a ，c －a )，若p ∥q ，则角C 的大小为( )． A ．30°B ．60°C ．90°D ．120°解析由p ∥q ，得(a ＋c )(c －a )＝b (b －a )，整理得b 2＋a 2－c 2＝ab ，由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，又0°<C <180°，∴C ＝60°. 答案 B3、(2013·东北三校联考)已知|a |＝6，|b |＝3，a ·b ＝－12，则向量a 在向量b 方向上的投影是( )． A ．－4B ．4C ．－2D ．2解析设a 与b 的夹角为θ，∵a ·b 为向量b 的模与向量a 在向量b 方向上的投影的乘积，而cos θ＝a ·b |a ||b |＝－23，∴|a |cos θ＝6×⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝－4.答案 A4、(2013·鄂州模拟)在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知向量OA →＝(2,2)，OB →＝(4,1)，在x 轴上取一点P ，使AP →·BP →有最小值，则P 点的坐标是 ( )． A ．(－3,0)B ．(2,0)C ．(3,0)D ．(4,0)解析设P 点坐标为(x,0)，则AP→＝(x －2，－2)，BP →＝(x －4，－1)． AP →·BP →＝(x －2)(x －4)＋(－2)×(－1) ＝x 2－6x ＋10＝(x －3)2＋1.当x ＝3时，AP →·BP →有最小值1. ∴此时点P 坐标为(3,0)，故选C. 答案 C5、在△ABC 中，∠BAC ＝60°，AB ＝2，AC ＝1，E ，F 为边BC 的三等分点，则AE →·AF →＝( )． A.53B.54 C.109 D.158解析法一依题意，不妨设BE →＝12E C →，BF→＝2FC →，则有AE→－AB →＝12(AC →－AE →)，即AE →＝23AB →＋13AC →； AF→－AB →＝2(AC →－AF →)，即AF →＝13AB →＋23AC →.天津市复兴中学高三年级考试试卷年月班级姓名学号_____________………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ○ 密 ○ ○ 封 ○ ○ 线 ○ ○ …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………所以AE →·AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23AB →＋13AC →·⎝ ⎛⎭⎪⎫13AB →＋23AC → ＝19(2AB →＋AC →)·(AB →＋2AC →)＝19(2AB →2＋2AC →2＋5AB →·AC→) ＝19(2×22＋2×12＋5×2×1×cos 60°)＝53，选A. 法二由∠BAC ＝60°，AB ＝2，AC ＝1可得∠ACB ＝90°，如图建立直角坐标系，则A (0,1)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫－233，0，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，0， ∴AE →·AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－233，－1·⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，－1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－233·⎝ ⎛⎭⎪⎫－33＋(－1)·(－1)＝23＋1＝53，选A. 答案 A6、(2013·济南一模)已知A ，B ，C 是平面上不共线的三点，O 是△ABC 的重心，动点P 满足OP →＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫12OA →＋12OB →＋2OC →，则点P 一定为三角形ABC 的( )．A ．AB 边中线的中点B ．AB 边中线的三等分点(非重心)C ．重心D ．AB 边的中点解析设AB 的中点为M ，则12OA →＋12OB →＝OM →，∴OP→＝13(OM →＋2OC →)＝13OM →＋23OC →，即3OP →＝OM →＋2OC →，也就是MP →＝2PC →，∴P ，M ，C 三点共线，且P 是CM 上靠近C 点的一个三等分点．答案 B7、若点M 是△ABC 所在平面内的一点，且满足5AM →＝AB →＋3AC →，则△ABM 与△ABC 的面积比为( )． A.15B.25C.35 D.45解析设AB 的中点为D ，由5AM →＝AB →＋3AC →，得3AM →－3AC →＝2AD →－2AM →，即3CM →＝2MD →.如图所示，故C ，M ，D 三点共线，且MD →＝35CD →，也就是△ABM 与△ABC 对于边AB 的两高之比为3∶5，则△ABM 与△ABC 的面积比为35，选C. 答案 C8、(2012·天津)已知△ABC 为等边三角形，AB ＝2.设点P ，Q 满足AP →＝λAB →，AQ→＝(1－λ)AC →，λ∈R .若BQ →·CP→＝－32，则λ等于( )． A.12B.1±22C.1±102D.－3±222解析以点A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，则B (2,0)，C (1，3)，由AP→＝λAB →，得P (2λ，0)，由AQ →＝(1－λ)AC →，得Q (1－λ，天津市复兴中学高三年级考试试卷年月班级姓名学号_____________………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ○ 密 ○ ○ 封 ○ ○ 线 ○ ○ …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………3(1－λ))，所以BQ →·CP →＝(－λ－1，3(1－λ))·(2λ－1，－3)＝－(λ＋1)(2λ－1)－3×3(1－λ)＝－32，解得λ＝12.] 答案 A二．填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9、(2013·杭州模拟)若三点A (2,2)，B (a,0)，C (0，b )(ab ≠0)共线，则1a ＋1b的值为________．解析 AB →＝(a －2，－2)，AC →＝(－2，b －2)，依题意，有(a －2)(b －2)－4＝0，即ab －2a －2b ＝0，所以1a ＋1b ＝12. 答案 1210、已知A (7,1)，B (1,4)，直线y ＝12ax 与线段AB 交于C ，且AC →＝2CB →，则实数a ＝________.解析设C (x ，y )，则AC→＝(x －7，y －1)，CB →＝(1－x,4－y )，∵AC →＝2CB →，∴⎩⎨⎧ x －7＝2(1－x )，y －1＝2(4－y )，解得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝3.∴C (3,3)．又∵C 在直线y ＝12ax 上， ∴3＝12a ·3，∴a ＝2. 答案 211、若点O 是△ABC 所在平面内的一点，且满足|OB →－OC →|＝|OB →＋OC →－2OA →|，则△ABC 的形状为________．解析 OB →＋OC →－2OA →＝OB →－OA →＋OC →－OA →＝AB →＋AC →， OB→－OC →＝CB →＝AB →－AC →，∴|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|. 故A ，B ，C 为矩形的三个顶点，△ABC 为直角三角形．答案直角三角形12、(2012·扬州质检)设OA →＝(1，－2)，OB →＝(a ，－1)，OC →＝(－b,0)，a >0，b >0，O 为坐标原点，若A ，B ，C 三点共线，则1a ＋2b 的最小值为________．解析 AB→＝OB →－OA →＝(a －1,1)，AC →＝OC →－OA →＝(－b －1,2)．∵A ，B ，C 三点共线，∴AB→∥AC →.∴2(a －1)－(－b －1)＝0，∴2a ＋b ＝1. ∴1a ＋2b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b (2a ＋b )＝4＋b a ＋4ab ≥4＋2b a ·4a b ＝8.当且仅当b a ＝4a b ，即a ＝14，b ＝12时取等号． ∴1a ＋2b 的最小值是8. 答案 813、如图所示，在△ABC 中，点O 是BC 的中点．过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M ，N ，若AB→＝mAM →，AC →＝nAN →，则m ＋n 的值为________．天津市复兴中学高三年级考试试卷年月班级姓名学号_____________………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ○ 密 ○ ○ 封 ○ ○ 线 ○ ○ …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………解析 ∵O 是BC 的中点， ∴AO→＝12(AB →＋AC →)．又∵AB→＝mAM →，AC →＝nAN →，∴AO →＝m 2AM →＋n 2AN →. ∵M ，O ，N 三点共线，∴m 2＋n2＝1，则m ＋n ＝2. 答案 214、(2013·青岛期末)设i ，j 是平面直角坐标系(坐标原点为O )内分别与x 轴、y轴正方向相同的两个单位向量，且OA →＝－2i ＋j ，OB →＝4i ＋3j ，则△OAB 的面积等于________．解析由题意得点A 的坐标为(－2,1)，点B 的坐标为(4,3)，|OA →|＝5，|OB →|＝5.sin ∠AOB ＝sin(∠AOy ＋∠BOy )＝sin ∠AOy cos ∠BOy ＋cos ∠AOy sin ∠BOy ＝255×35＋55×45＝255.故S △AOB ＝12|OA →||OB →|sin ∠AOB ＝12×5×5×255＝5. 答案 5三．解答题（本大题共6题，共80分）15、如图，在平行四边形OADB 中，设OA →＝a ，OB →＝b ，BM →＝13BC →，CN →＝13CD →.试用a ，b 表示OM→，ON →及MN →.解由题意知，在平行四边形OADB 中，BM→＝13BC →＝16BA →＝16(OA →－OB →)＝16(a－b )＝16a －16b ，则OM→＝OB →＋BM →＝b ＋16a －16b ＝16a ＋56b . ON→＝23OD →＝23(OA →＋OB →)＝23(a ＋b )＝23a ＋23b ，MN→＝ON →－OM →＝23(a ＋b )－16a －56b ＝12a －16b .16、已知点G 是△ABO 的重心，M 是AB 边的中点．(1)求GA→＋GB →＋GO →； (2)若PQ 过△ABO 的重心G ，且OA →＝a ，OB →＝b ，OP →＝m a ，OQ →＝n b ，求证：1m ＋1n ＝3.(1)解 ∵GA→＋GB →＝2GM →，又2GM →＝－GO →，∴GA→＋GB →＋GO →＝－GO →＋GO →＝0. (2)证明显然OM →＝12(a ＋b )．因为G 是△ABO 的重心，所以OG →＝23OM →＝13(a ＋b )．由P ，G ，Q 三点共线，得PG →∥GQ →，所以，有且只有一个实数λ，使PG →＝λGQ →.而PG→＝OG →－OP →＝13(a ＋b )－m a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－m a ＋13b ， GQ→＝OQ →－OG →＝n b －13(a ＋b )＝－13a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n －13b ，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫13－m a ＋13b ＝λ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n －13b . 又因为a ，b 不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧13－m ＝－13λ，13＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －13，天津市复兴中学高三年级考试试卷年月班级姓名学号_____________………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ○ 密 ○ ○ 封 ○ ○ 线 ○ ○ …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………消去λ，整理得3mn ＝m ＋n ，故1m ＋1n ＝3.17、设向量a ，b 满足|a |＝|b |＝1及|3a －2b |＝7.(1)求a ，b 夹角的大小； (2)求|3a ＋b |的值．解 (1)设a 与b 夹角为θ，(3a －2b )2＝7，即9|a |2＋4|b |2－12a ·b ＝7，而|a |＝|b |＝1，∴a ·b ＝12，∴|a ||b |cos θ＝12，即cos θ＝12，又θ∈[0，π]，∴a ，b 的夹角为π3.(2)(3a ＋b )2＝9|a |2＋6a ·b ＋|b |2＝9＋3＋1＝13， ∴|3a ＋b |＝13.18、设两向量e 1，e 2满足|e 1|＝2，|e 2|＝1，e 1，e 2的夹角为60°，若向量2t e 1＋7e 2与向量e 1＋t e 2的夹角为钝角，求实数t 的取值范围．解由已知得e 21＝4，e 22＝1，e 1·e 2＝2×1×cos 60°＝1. ∴(2t e 1＋7e 2)·(e 1＋t e 2)＝2t e 21＋(2t 2＋7)e 1·e 2＋7t e 22＝2t 2＋15t ＋7.欲使夹角为钝角，需2t 2＋15t ＋7＜0，得－7＜t ＜－12.设2t e 1＋7e 2＝λ(e 1＋t e 2)(λ＜0)，∴⎩⎨⎧2t ＝λ，7＝tλ，∴2t 2＝7.∴t ＝－142，此时λ＝－14. 即t ＝－142时，向量2t e 1＋7e 2与e 1＋t e 2的夹角为π. ∴当两向量夹角为钝角时，t 的取值范围是 ⎝⎛⎭⎪⎫－7，－142∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－142，－12.19、(2012·东营模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 3A 2，sin 3A 2，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos A 2，sin A 2，且满足|m ＋n |＝ 3.(1)求角A 的大小；(2)若|AC→|＋|AB →|＝3|BC →|，试判断△ABC 的形状．解 (1)由|m ＋n |＝3，得m 2＋n 2＋2m ·n ＝3，即1＋1＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 3A 2cos A 2＋sin 3A 2sin A 2＝3，∴cos A ＝12.∵0<A <π，∴A ＝π3.(2)∵|AC→|＋|AB →|＝3|BC →|，∴sin B ＋sin C ＝3sin A ， ∴sin B ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－B ＝3×32，即32sin B ＋12cos B ＝32，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π6＝32.∵0<B <2π3，∴π6<B ＋π6<5π6， ∴B ＋π6＝π3或2π3，故B ＝π6或π2. 当B ＝π6时，C ＝π2；当B ＝π2时，C ＝π6. 故△ABC 是直角三角形.20、(2012·南通模拟)已知向量m ＝⎝⎛⎭⎪⎫3sin x 4，1，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x 4，cos 2 x 4.(1)若m ·n ＝1，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－x 的值；(2)记f (x )＝m ·n ，在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且满足(2a －c )cos B ＝b cos C ，求函数f (A )的取值范围．天津市复兴中学高三年级考试试卷年月班级姓名学号_____________………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ○ 密 ○ ○ 封 ○ ○ 线 ○ ○ …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………解 (1)m ·n ＝3sin x 4·cos x 4＋cos 2 x4 ＝32sin x 2＋1＋cos x22＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6＋12，∵m ·n ＝1，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6＝12.cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6＝12， cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－x ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝－12. (2)∵(2a －c )cos B ＝b cos C ，由正弦定理得(2sin A －sin C )cos B ＝sin B cos C ， ∴2sin A cos B －sin C cos B ＝sin B cos C . ∴2sin A cos B ＝sin(B ＋C )．∵A ＋B ＋C ＝π，∴sin(B ＋C )＝sin A ≠0. ∴cos B ＝12，∵0＜B ＜π，∴B ＝π3，∴0＜A ＜2π3. ∴π6＜A 2＋π6＜π2，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.又∵f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6＋12，∴f (A )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＋π6＋12.故函数f (A )的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32.备选：1、(2012·北京海淀模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若AB →·AC→＝BA →·BC →＝k (k ∈R )．(1)判断△ABC 的形状； (2)若c ＝2，求k 的值．解 (1)∵AB →·AC →＝cb cos A ，BA →·BC→＝ca cos B ，又AB →·AC →＝BA →·BC →，∴bc cos A ＝ac cos B ， ∴sin B cos A ＝sin A cos B ，即sin A cos B －sin B cos A ＝0，∴sin(A －B )＝0， ∵－π＜A －B ＜π，∴A ＝B ，即△ABC 为等腰三角形． (2)由(1)知，AB →·AC →＝bc cos A ＝bc ·b 2＋c 2－a 22bc ＝c 22＝k ， ∵c ＝2，∴k ＝1.2、在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(2sin B ，－3)，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2B ，2cos 2B 2－1且m ∥n . (1)求锐角B 的大小；(2)如果b ＝2，求S △ABC 的最大值．解 (1)∵m ∥n ，∴2sin B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos 2B 2－1＝－3cos 2B ，∴sin 2B ＝－3cos 2B ，即tan 2B ＝－ 3. 又B 为锐角，∴2B ∈(0，π)，∴2B ＝2π3，∴B ＝π3. (2)∵B ＝π3，b ＝2，由余弦定理cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，得a 2＋c 2－ac －4＝0.又a 2＋c 2≥2ac ，代入上式，得ac ≤4(当且仅当a ＝c ＝2时等号成立)．S △ABC ＝12ac sin B ＝34ac ≤3(当且仅当a ＝c ＝2时等号成立)，即S △ABC 的最大值为 3.3、(2012·北京海淀模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若AB →·AC →＝BA →·BC →＝k (k ∈R )． (1)判断△ABC 的形状； (2)若c ＝2，求k 的值．天津市复兴中学高三年级考试试卷年月班级姓名学号_____________………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ○ 密 ○ ○ 封 ○ ○ 线 ○ ○ …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………解 (1)∵AB →·AC →＝cb cos A ，BA →·BC →＝ca cos B ，又AB →·AC →＝BA →·BC →，∴bc cos A ＝ac cos B ， ∴sin B cos A ＝sin A cos B ，即sin A cos B －sin B cos A ＝0，∴sin(A －B )＝0， ∵－π＜A －B ＜π，∴A ＝B ，即△ABC 为等腰三角形． (2)由(1)知，AB →·AC →＝bc cos A ＝bc ·b 2＋c 2－a 22bc ＝c 22＝k ， ∵c ＝2，∴k ＝1.4、已知A ，B ，C 的坐标分别为A (3,0)，B (0,3)，C (cos α，sin α)，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2.(1)若|AC→|＝|BC →|，求角α的值；(2)若AC →·BC →＝－1，求2sin 2α＋sin 2α1＋tan α的值．解 (1)∵AC→＝(cos α－3，sin α)，BC →＝(cos α，sin α－3)，∴AC→2＝(cos α－3)2＋sin 2α＝10－6cos α， BC→2＝cos 2α＋(sin α－3)2＝10－6sin α，由|AC→|＝|BC →|，可得AC →2＝BC →2，即10－6cos α＝10－6sin α，得sin α＝cos α. 又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2，∴α＝5π4.(2)由AC →·BC→＝－1，得(cos α－3)cos α＋sin α(sin α－3)＝－1， ∴sin α＋cos α＝23.①又2sin 2α＋sin 2α1＋tan α＝2sin 2α＋2sin αcos α1＋sin αcos α＝2sin αcos α.由①式两边分别平方，得1＋2sin αcos α＝49， ∴2sin αcos α＝－59. ∴2sin 2α＋sin 2α1＋tan α＝－59.。

安徽省阜阳三中高考数学二轮复习平面向量1课件理

平面向量的基本概念和运算
பைடு நூலகம் 课前准备
请拿出你的 “平面向量的基本概念和运算 ”导学案、
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学习目标
1.理解平面向量的基本概念 2.掌握向量的线性运算，并理解其几何意义 3.理解平面向量的两个定理，会用坐标表示平面向量的线性运算和共线条件 4.以极度的热情投入到课堂学习中，体验学习的快乐。
导学案反馈
组别
1
2
3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
得分
存在的问题：
规范展示
展示内容
地点
（约5分钟）
展示
要求：
1.展示快速，书写认真、简洁。 2.非展示同学迅速整理、总结，准备补充、质疑。

高三数学第二轮专题复习系列(5)--平面向量

高三数学第二轮专题复习系列（5）--平面向量、本章知识结构：二、高考要求1、理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念。

2、掌握向量的加法和减法的运算法则及运算律。

3、掌握实数与向量的积的运算法则及运算律，理解两个向量共线的充要条件。

4、了解平面向量基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算。

5、掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件。

6、掌握线段的定比分点和中点坐标公式，并且能熟练运用；掌握平移公式。

7、掌握正、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形。

8、通过解三角形的应用的教学，继续提高运用所学知识解决实际问题的能力。

三、热点分析对本章内容的考查主要分以下三类：1•以选择、填空题型考查本章的基本概念和性质•此类题一般难度不大，用以解决有关长度、夹角、垂直、判断多边形形状等问题2•以解答题考查圆锥曲线中的典型问题•此类题综合性比较强，难度大，以解析几何中的常规题为主•3•向量在空间中的应用（在B类教材中）•在空间坐标系下，通过向量的坐标的表示，运用计算的方法研究三维空间几何图形的性质在复习过程中，抓住源于课本，高于课本的指导方针•本章考题大多数是课本的变式题，即源于课本•因此，掌握双基、精通课本是本章关键•分析近几年来的高考试题，有关平面向量部分突出考查了向量的基本运算。

对于和解析几何相关的线段的定比分点和平移等交叉内容，作为学习解析几何的基本工具，在相关内容中会进行考查。

本章的另一部分是解斜三角形，它是考查的重点。

总而言之，平面向量这一章的学习应立足基础，强化运算，重视应用。

考查的重点是基础知识和基本技能。

四、复习建议由于本章知识分向量与解斜三角形两部分，所以应用本章知识解决的问题也分为两类：一类是根据向量的概念、定理、法则、公式对向量进行运算，并能运用向量知识解决平面几何中的一些计算和证明问题；另一类是运用正、余弦定理正确地解斜三角形，并能应用解斜三角形知识解决测量不可到达的两点间的距离问题。

2022届高三数学第5章第2节平面向量的基本定理及坐标表示

平面向量的基本定理及坐标表示[考试要求]1.了解平面向量的基本定理及其意义.2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件．1．平面向量基本定理(1)定理：如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.(2)基底：不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 2．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘及向量的模设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa＝(λx 1，λy 1)，|a|＝x 21＋y 21.(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标． ②设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)， |AB→|＝x 2－x 12＋y 2－y 12.3．平面向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中a≠0，b≠0，a ，b 共线⇔x 1y 2－x 2y 1＝0. [常用结论]1．若a 与b 不共线，且λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0. 2．已知P 为线段AB 的中点，若A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则P 点坐标为.3．已知△ABC 的重心为G ，若A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，C(x 3，y 3)，则G .一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底．( ) (2)在△ABC 中，向量AB →，BC →的夹角为∠ABC.( ) (3)同一向量在不同基底下的表示是相同的．( )(4)若a ，b 不共线，且λ1a ＋μ1b ＝λ2a ＋μ2b ，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.( ) [答案] (1)× (2)× (3)× (4)√ 二、教材习题衍生1．已知平面向量a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，则向量12a －32b ＝( )A ．(－2，－1)B ．(－2,1)C ．(－1,0)D ．(－1,2)D [∵a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)， ∴12a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，32b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－32，∴12a －32b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－32，12＋32＝(－1,2)，故选D.] 2．若P 1(1,3)，P 2(4,0)且P 是线段P 1P 2的一个三等分点，则点P 的坐标为( ) A ．(2,2)B ．(3，－1)C ．(2,2)或(3，－1)D ．(2,2)或(3,1) D [由题意可知P 1P 2→＝(3，－3)．若P 1P →＝13P 1P 2→，则P 点坐标为(2,2)；若P 1P →＝23P 1P 2→，则P 点坐标为(3,1)，故选D.]3．已知向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，若ma ＋nb 与a －2b 共线，则mn ＝________.－12[由向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，得ma ＋nb ＝(2m －n,3m ＋2n)，a －2b ＝(4，－1)．由ma ＋nb 与a －2b 共线，得2m －n 4＝3m ＋2n －1，所以m n ＝－12.]4．已知▱ABCD 的顶点A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5,6)，则顶点D 的坐标为________． (1,5) [设D(x ，y)，则由AB →＝DC →，得(4,1)＝(5－x,6－y)，即⎩⎨⎧4＝5－x ，1＝6－y ，解得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝5.]考点一平面向量基本定理的应用平面向量基本定理解决问题的一般思路(1)先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示为向量的形式，再通过向量的运算来解决．(2)在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便．另外，要熟练运用平面几何的一些性质定理．是将OB →[典例1] 如图，已知在△OCB 中，A 是CB 的中点，D 分成2∶1的一个内分点，DC 和OA 交于点E ，设OA →＝a ，OB→＝b.(1)用a 和b 表示向量OC→，DC →；(2)若OE →＝λOA →，求实数λ的值．[解] (1)由题意知，A 是BC 的中点，且OD →＝23OB →，由平行四边形法则，得OB →＋OC →＝2OA →，所以OC →＝2OA →－OB →＝2a －b ，DC →＝OC →－OD →＝(2a －b)－23b ＝2a －53b.(2)由题意知，EC →∥DC →，故设EC →＝xDC →.因为EC →＝OC →－OE →＝(2a －b)－λa＝(2－λ)a－b ，DC →＝2a －53b.所以(2－λ)a－b ＝x ⎝⎛⎭⎪⎫2a －53b .因为a 与b 不共线，由平面向量基本定理，得⎩⎨⎧2－λ＝2x ，－1＝－53x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝35，λ＝45.故λ＝45.点评：本例(2)在求解中，以D ，E ，C 三点共线为切入点，借助EC →∥DC →及向量的合成与分解的相关知识求得λ的值．如果是小题，本题可以直接设OE →＝xOD →＋(1－x)OC →，利用OA →＝12OB →＋12OC →及同基底下向量表示的唯一性求得λ.[跟进训练]1．如果e 1，e 2是平面α内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是( )A ．e 1与e 1＋e 2B ．e 1－2e 2与e 1＋2e 2C ．e 1＋e 2与e 1－e 2D ．e 1＋3e 2与6e 2＋2e 1D [选项A 中，设e 1＋e 2＝λe 1，则⎩⎨⎧1＝λ，1＝0，无解；选项B 中，设e 1－2e 2＝λ(e 1＋2e 2)，则⎩⎨⎧λ＝1，－2＝2λ，无解；选项C 中，设e 1＋e 2＝λ(e 1－e 2)，则⎩⎨⎧λ＝1，1＝－λ，无解；选项D 中，e 1＋3e 2＝12(6e 2＋2e 1)，所以两向量是共线向量．故选D.]2．(2020·三明模拟)如图，A ，B 分别是射线OM ，ON 上的点，给出下列向量：①OA →＋2OB →；②12OA →＋13OB →；③34OA →＋13OB →；④34OA →＋15OB →，若这些向量均以O 为起点，则终点落在阴影区域内(包括边界)的向量是( ) A ．①② B ．①③ C ．②③D ．②④B [由向量共线的充要条件可得：当点P 在直线AB 上时，存在唯一的一对有序实数u ，v ，使得OP →＝uOA→＋vOB →成立，且u ＋v ＝1.可以证明当点P 位于阴影区域内的充要条件是：满足OP →＝uOA →＋vOB →，且u ＞0，v＞0，u ＋v ＞1.∵1＋2＞1，∴点P 位于阴影区域内，故①正确；同理③正确；而②④错误．故选B.]考点二平面向量的坐标运算平面向量坐标运算的技巧(1)利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．(2)解题过程中，常利用“向量相等，则坐标相同”这一结论，由此可列方程(组)进行求解．[典例2] (1)向量a ，b ，c 在正方形网格中，如图所示，若c ＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则λμ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4(2)已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设AB →＝a ，BC →＝b ，CA →＝c ，且CM →＝3c ，CN →＝－2b ，①求3a ＋b －3c ；②求M ，N 的坐标及向量MN →的坐标． (1)D [以O 为坐标原点，建立平面直角坐标系，设每个小正方形边长为1，可得a ＝(－1,1)，b ＝(6,2)，c ＝(－1，－3)．∵c ＝λa＋μb(λ，μ∈R)，∴⎩⎨⎧－1＝－λ＋6μ，－3＝λ＋2μ，解得λ＝－2，μ＝－12.∴λμ＝4.] (2)[解] 由已知得a ＝(5，－5)，b ＝(－6，－3)，c ＝(1,8)． ①3a ＋b －3c ＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8) ＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)． ②设O 为坐标原点，∵CM →＝OM →－OC →＝3c ， ∴OM →＝3c ＋OC→＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)．∴M(0,20)．又∵CN →＝ON →－OC →＝－2b ，∴ON →＝－2b ＋OC →＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)， ∴N(9,2)，∴MN →＝(9，－18)．点评：本例(1)在求解中，借助坐标系，把平面向量的线性运算坐标化，完美展示了坐标法的便捷性，在平时训练中，应注意这种意识的培养，尤其是规则几何图形中的向量问题，如正方形、矩形、直角三角形等．[跟进训练]1．在平行四边形ABCD 中，A(1,2)，B(－2,0)，AC →＝(2，－3)，则点D 的坐标为( ) A ．(6,1) B ．(－6，－1) C ．(0，－3)D ．(0,3)A [AB →＝(－3，－2)＝DC →，∴AD →＝AC →＋CD →＝AC →－AB →＝(5，－1)，则D(6,1)．故选A.]若AC→2.如图，在正方形ABCD 中，M ，N 分别是BC ，CD 的中点，＝λAM →＋μBN →，则λ＋μ＝________.85[法一：以AB ，AD 所在直线分别为x 轴，y 轴，建立平面直角坐标系，如图所示，设正方形的边长为1，则AM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，BN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1，AC→＝(1,1)，∵AC →＝λAM →＋μBN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫λ－12μ，λ2＋μ，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ－12μ＝1，λ2＋μ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝65，μ＝25，∴λ＋μ＝85.法二：由AM →＝AB →＋12AD →，BN →＝－12AB →＋AD →，得AC →＝λAM →＋μBN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫λ－μ2AB →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫λ2＋μAD →，又AC →＝AB →＋AD →，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ－μ2＝1，λ2＋μ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝65，μ＝25.∴λ＋μ＝85.]考点三向量共线的坐标表示平面向量共线的坐标表示问题的解题策略(1)如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，利用“若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件是x 1y 2＝x 2y 1”．(2)在求与一个已知向量a 共线的向量时，可设所求向量为λa(λ∈R)．利用向量共线求参数[典例3－1] 已知a ＝(1,0)，b ＝(2,1)． (1)当k 为何值时，ka －b 与a ＋2b 共线；(2)若AB →＝2a ＋3b ，BC →＝a ＋mb ，且A ，B ，C 三点共线，求m 的值． [解] (1)∵a ＝(1,0)，b ＝(2,1)， ∴ka －b ＝k(1,0)－(2,1)＝(k －2，－1)， a ＋2b ＝(1,0)＋2(2,1)＝(5,2)， ∵ka －b 与a ＋2b 共线， ∴2(k －2)－(－1)×5＝0，∴k ＝－12.(2)AB→＝2(1,0)＋3(2,1)＝(8,3)， BC →＝(1,0)＋m(2,1)＝(2m ＋1，m)． ∵A ，B ，C 三点共线， ∴AB →∥BC →，∴8m －3(2m ＋1)＝0， ∴m ＝32.点评：熟记两向量a ，b 共线的条件是求解此类问题的关键所在．利用向量共线求向量或点的坐标[典例3－2] 已知点A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，则AC 与OB 的交点P 的坐标为________．(3,3) [法一：由O ，P ，B 三点共线，可设OP →＝λOB →＝(4λ，4λ)，则AP →＝OP →－OA →＝(4λ－4,4λ)．又AC →＝OC →－OA→＝(－2,6)，由AP →与AC →共线，得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0，解得λ＝34，所以OP →＝34OB →＝(3,3)，所以点P 的坐标为(3,3)．法二：设点P(x ，y)，则OP →＝(x ，y)，因为OB →＝(4,4)，且OP →与OB →共线，所以x 4＝y 4，即x ＝y.又AP →＝(x －4，y)，AC →＝(－2,6)，且AP →与AC →共线，所以(x －4)×6－y×(－2)＝0，解得x ＝y ＝3，所以点P 的坐标为(3,3)．]点评：本例中“AC 与OB 的交点为P”，实际上变相告知“A，P ，C 三点共线”，故该问题便可转化为考向1，只需引入参数表示出点P 的坐标，借助向量共线的坐标计算求解便可．[跟进训练]1．已知向量a ＝(1,3)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－12，若c 为单位向量，且c ∥(a －2b)，则c ＝( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，－45或⎝ ⎛⎭⎪⎫35，45B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，45或⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－45C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，－22或⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，22或⎝ ⎛⎭⎪⎫22，－22B [由题意可知a －2b ＝(－3,4)，又c ∥(a －2b)，∴c ＝λ(－3,4)，即c ＝(－3λ，4λ)．又|c|＝1，∴5|λ|＝1，∴λ＝±15，即c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，45或⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－45，故选B.]2．(2020·北师大附中模拟)已知向量a ＝(1,1)，点A(3,0)，点B 为直线y ＝2x 上的一个动点，若AB →∥a ，则点B 的坐标为________．(－3，－6) [设B(x,2x)，则AB →＝(x －3,2x)． ∵AB →∥a ，∴x －3＝2x ，即x ＝－3. ∴B(－3，－6)．]备考技法3 共线定理的推广及应用平面向量的等和线由平面向量基本定理，OP →＝λOA →＋μOB →，当点P 不在直线AB 上时，可以过点P 作直线AB 的平行线，且与OA ，OB 所在的直线分别交于M ，N 两点，则由三点P ，M ，N 共线，不难得出：OP →＝xOM→＋yON →，且x ＋y ＝1，又由平行线分线段成比例定理，得：OM →＝kOA →，ON →＝kOB→⎝ ⎛⎭⎪⎫其中k ＝|OM||OA|，则OP →＝xOM →＋yON →＝kxOA →＋kyOB →，即λ＝kx ，μ＝ky ，故λ＋μ＝k(x ＋y)＝k.把过点P 作直线AB 的平行线MN 称为等和线．等和线的相关结论(1)当等和线恰为直线AB 时，k ＝1；(2)当等和线在点O 和直线AB 之间时，k ∈(0,1)； (3)当直线AB 在点O 和等和线之间时，k ∈(1，＋∞)； (4)当等和线过点O 时，k ＝0；(5)若两等和线关于点O 对称，则定值k 互为相反数.[技法展示] (2017·全国卷Ⅲ)在矩形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP →＝λAB →＋μAD →，则λ＋μ的最大值为( )A ．3B ．2 2C ． 5D ．2A [如图，由平面向量基底等和线定理可知，当等和线l 与圆相切时，λ＋μ最大，此时λ＋μ＝AF AB ＝AB ＋BE ＋EF AB ＝3ABAB＝3，故选A.][评析] 应用等和线解题的步骤 (1)求k ＝1的等和线；(2)平移(旋转或伸缩)该线，结合动点的可行域，分析何处取得最大值和最小值； (3)从长度比或者点的位置两个角度，计算最大值和最小值． [技法应用]1.如图，在正六边形ABCDEF 中，P 是△CDE 内(包括边界)的动点，设AP →＝αAB →＋βAF →(α，β∈R)，则α＋β的取值范围是________．[3,4] [当P 在△CDE 内时，直线EC 是最近的平行线，过D 点的平行线是最远的，所以α＋β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤AN AM ，AD AM ＝[3,4]．]2.如图，在扇形OAB 中，∠AOB ＝π3，C 为弧AB 上的动点，若OC→＝xOA→＋yOB →，则x ＋3y 的取值范围是________．[1,3] [OC →＝xOA →＋3y ⎝ ⎛⎭⎪⎫OB →3，如图，作OB′→＝OB →3，则考虑以向量OA →，OB′→为基底．显然，当C 在A 点时，经过m ＝1的平行线，当C 在B 点时，经过m ＝3的平行线，这两条线分别是最近与最远的平行线，所以x ＋3y 的取值范围是[1,3]．]3．如图，在边长为2的正六边形ABCDEF 中，动圆Q 的半径为1，圆心在线段CD(含端点)上运动，P 是圆Q 上及其内部的动点，设向量AP →＝mAB→＋nAF →(m ，n 为实数)，则m ＋n 的取值范围是( )A ．(1,2]B ．[5,6]C ．[2,5]D ．[3,5] C [随着动点圆心Q 在线段CD(含端点)上运动，点P 的运动区域为阴影部分所示，如图所示．作直线BF 的平行线l ，使得l 与阴影区域有公共点，离BF 最近的直线l 记为P 1G(P 1为l 与圆C 的切点，G 为l 与直线AB 的交点)，离BF 最远的直线l 记为P 2H(P 2为l 与圆D 的切点，H 为l 与直线AB 的交点)．设AP 1→＝mAB →＋nAF →，由等和线结论，m ＋n ＝AG AB ＝2AB AB ＝2. 此为m ＋n 的最小值．设AP 2→＝mAB →＋nAF →，由等和线结论，m ＋n ＝AH AB ＝5. 此为m ＋n 的最大值．综上可知，m ＋n ∈[2,5]．]。