高三数学第二轮专题复习系列(5)-- 平面向量

高三数学第二轮专题复习系列(5)--平面向量

一、本章知识结构：

二、高考要求

1、理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念。

2、掌握向量的加法和减法的运算法则及运算律。

3、掌握实数与向量的积的运算法则及运算律，理解两个向量共线的充要条件。

4、了解平面向量基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算。

5、掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件。

6、掌握线段的定比分点和中点坐标公式，并且能熟练运用；掌握平移公式。

7、掌握正、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形。

8、通过解三角形的应用的教学，继续提高运用所学知识解决实际问题的能力。

三、热点分析

对本章内容的考查主要分以下三类：

1.以选择、填空题型考查本章的基本概念和性质.此类题一般难度不大，用以解决有关长度、夹角、垂直、判断多边形形状等问题.

2.以解答题考查圆锥曲线中的典型问题.此类题综合性比较强，难度大，以解析几何中的常规题为主.

3.向量在空间中的应用（在B类教材中）.在空间坐标系下，通过向量的坐标的表示，运用计算的方法研究三维空间几何图形的性质.

在复习过程中，抓住源于课本，高于课本的指导方针.本章考题大多数是课本的变式题，即源于课本.因此，掌握双基、精通课本是本章关键.分析近几年来的高考试题，有关平面向量部分突出考查了向量的基本运算。对于和解析几何相关的线段的定比分点和平移等交叉内容，作为学习解析几何的基本工具，在相关内容中会进行考查。本章的另一部分是解斜三角形，它是考查的重点。总而言之，平面向量这一章的学习应立足基础，强化运算，重视应用。考查的重点是基础知识和基本技能。

四、复习建议

由于本章知识分向量与解斜三角形两部分，所以应用本章知识解决的问题也分为两

类：一类是根据向量的概念、定理、法则、公式对向量进行运算，并能运用向量知识解决平面几何中的一些计算和证明问题；另一类是运用正、余弦定理正确地解斜三角形，并能应用解斜三角形知识解决测量不可到达的两点间的距离问题。

在解决关于向量问题时，一是要善于运用向量的平移、伸缩、合成、分解等变换，正确地进行向量的各种运算，进一步加深对“向量”这一二维性的量的本质的认识，并体会用向量处理问题的优越性。二是向量的坐标运算体现了数与形互相转化和密切结合的思想，所以要通过向量法和坐标法的运用，进一步体会数形结合思想在解决数学问题上的作用。

在解决解斜三角形问题时，一方面要体会向量方法在解三角形方面的应用，另一方面要体会解斜三角形是重要的测量手段，通过学习提高解决实际问题的能力。 五、典型例题

平面向量

【例1】 在下列各命题中为真命题的是( ) ①若a =(x 1,y 1)、b =(x 2,y 2)，则a ²b =x 1y 1+x 2y 2

②若A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2)，则｜AB ｜=221221)()(y y x x -+- ③若a =(x 1,y 1)、b =(x 2,y 2),则a ²b =0⇔x 1x 2+y 1y 2=0 ④若a =(x 1,y 1)、b =(x 2,y 2)，则a ⊥b ⇔x 1x 2+y 1y 2=0 A 、①② B 、②③ C 、③④ D 、①④

解：根据向量数量积的坐标表示；若a =(x 1,y 1), b =(x 2,y 2)，则a ²b =x 1x 2+y 1y 2，对照命题(1)的结论可知，它是一个假命题、

于是对照选择支的结论、可以排除(A)与(D)，而在(B)与(C)中均含有(3)、故不必对(3)进行判定，它一定是正确的、对命题(2)而言，它就是两点间距离公式，故它是真命题，这样就以排除了(C)，应选择(B)、

说明：对于命题(3)而言，由于a ²b =0⇔a =0或b =0或a ⊥b ⇔x 1x 2+y 1y 2=0，故它是一个真命题、

而对于命题(4)来讲，a ⊥b ⇒x 1x 2+y 1y 2=0、但反过来，当x 1x 2+y 1y 2=0时，可以是x 1=y 1=0，即a =0，而我们的教科书并没有对零向量是否与其它向量垂直作出规定，因此x 1x 2+y 1y 2=0⇒/a ⊥b )，所以命题(4)是个假命题、

【例2】 已知a =(－3,－1), b =(1,

3)，那么a ，b 的夹角θ=( )

A 、30°

B 、60°

C 、120°

D 、150°

解：a ²b =(－3,－1)²(1，3)=－23 ｜a ｜=22)1()3(-+-=2 ｜b ｜=22)3(1+=2 ∴cos θ=

b

a b a ∙∙=

2232⨯-=2

3- 【例3】 已知a =(2,1), b =(－1,3),若存在向量c 使得：a ²c =4, b ²c =－9，试求向量c 的坐标、

解：设c =(x ,y ),则由a ²c =4可得： 2x +y =4；又由b ²c =－9可得：－x +3y =－9

于是有：⎩

⎨⎧=+-=+934

2y x y x )2()1(

由(1)+2(2)得7y =－14,∴y =－2,将它代入(1)可得：x =3 ∴c =(3,－2)、

说明：已知两向量a ，b 可以求出它们的数量积a ²b ，但是反过来，若已知向量a 及数量积a ²b ，却不能确定b 、

【例4】 求向量a =(1,2)在向量b =(2，－2)方向上的投影、 解：设向量a 与b 的夹角θ、 有cos θ=

b

a b a ∙∙ =

2

222)2(221)2(221-++-⨯+⨯=－

10

10

∴a 在b 方向上的投影=｜a ｜cos θ=5³(－

1010)=－2

2 【例5】 已知△ABC 的顶点分别为A(2，1)，B(3，2)，C(－3，－1)，BC 边上的高AD ，求AD 及点D 的坐标、 解：设点D 的坐标为(x ,y ) ∵AD 是边BC 上的高，