约束方程大全

约束方程的分析与综合
by 人间火烧云 Kranichstein Darmstadt
约束方程的列写是考试不可缺少的一部分。 在分析约束之前，我们并不知道物体是的运动轨迹是什么样子的。 运动物体的约束方程是对物体的运动轨迹的隐函数表示。 有了物体的运动轨迹的数学描述， 就可以很直观的 分析出物体实时的支反力的方向： 垂直于物体的运动轨迹。 从微分几何的角度看， 这个方向是该物体运动 所在的曲面的法向量的方向。 这个求解法向量方向（梯度）的过程， 就是拉格朗日第一类方程的实际计算过 程； 从动力学的角度来看， 是通过虚功原理（支反力做功为零）推导而来的。 综合的来看， 支反力的方 向垂直于物体的运动轨迹，所以支反力并不做功。
grad f
y
f_
x
1
2 约束方程的分析
2.1 转动副
从平面运动的角度看， 转动副约束物体的两个平动自由度， 对这两个自由度分别列写约束 方程的话，会对应的出现两个独立的约束方程。
转动副约束方程大致分为两种， 1是连杆与地面铰链， 2是连杆与连杆铰 链。
S1
A 图1.1
y x
o
B
S1
S2
A 图1.2
圆柱副也是一个常见的约束， 约束刚体一个平动自由度， 在求解圆柱副约束方程的时候， 需要用到一个旋转矩阵。该约束有大致这三种形式:
A
y x
o
y1 x1
s1
x1 s2
y1
B s1
s2 K
s1
图1.4
图1.5
图1.6
对图1.4有：
¡
R~ S1
+
R~ AS1
~ex0
=
const:
(5)
对图1.5有：
对于图1.1来说，有这样的约束方程:
RS1 + RAS1 ¡ RA =~0
(1)
对于图1.2来说，有这样的约束方程：
R~ S2 + R~ BS2 ¡ ¡R~ S1 + R~ BS1 =~0
(般形式。
注意 2. 旋转副约束刚体两个平移自由度。
注意 3. R~ AS1向量直接通过连杆本身几何关系给出，后面所有类似的向量都遵循相同的计算规则。例如：
R~ s1 =
rs1x rs1y
!
,
0
而R~ AS1 =@
¡
l 2
cos'
¡
l 2
sin'
1
A.
2.2 平动副
同样的， 平动副约束刚体两个自由度， 分析比较简单， 首先限制了刚体的转动， 再次刚 体一个方向的平动。图1.3是一个简单的平动副：
2
y x
o
s1 '
A
图1.3
下面我们简单的列写一下这个平动副的约束方程：
hdatej14.03.2018i
3
1 约束方程的综合
综合的来看， 约束方程有两种， 一种是几何约束， 一种是运动约束， 几何约束直接规定 了刚体的位移轨迹， 运动约束规定了刚体的速度轨迹。 常见的几何约束有转动副约束， 平动副约 束与圆柱副约束；常见的运动约束为滚动约束。
如果系统存在多个运动方程， 那么在列写的时候，不能在其中一个约束方程中套用之前的约 束关系。

0R~ S2
¡
¡
0R~ S1
+0
R~ BS1

0~ey1
=
0;0
~ey1
=01
T
1~ey1
(6)
注意 5. 图1.6表示两个连杆在K点接触滑移，与1.5没有本质的区别，就不再列写了。
注意 6. 这里的约束方程虽然是二维向量的形式，但是方程本身是一个一维的方程(向量点乘的结果是一个标 量)。
注意 7. 约束方程的向量默认表示在绝对坐标系中。
约束方程中必须体现出被约束物体的信息， 如果一个铰链将物体S1与物体S2约束在了一起， 那么方程中必须体现出这两组坐标左边来。
约束方程写为隐函数的形式，他们彼此之间并不存在一个自变量与因变量的区别。 另外需要注意的一点， 德国的向量脚标是先写终点后写起点。 没有起点的向量默认从原点出 发，例如R~ S1表示从零点出发，到刚体重心的向量。 约束方程的写法不唯一， 但原则上我们一个约束方程约束一个自由度， 并将它们表达在绝 对坐标系中，这时候约束方程是唯一的。 物体的运动在绝对坐标下， 写成多元隐函数的形式表达， 是物体的约束方程； 物体的运动 在最小坐标系中， 写成参数向量函数的形式， 是物体的位姿向量函数， 此时多元隐函数的梯度 与位姿向量的切向量垂直。
¡ R~ S1 ¡ R~ S1A ~ey =~0
(3)
' = cons:
(4)
注意 4. 刚体在光滑的平面上滑动。 如果是纯滚动的话， 约束方程(3)是与平动副相同的， 但是约束(4)此时 变为一个运动约束（kinematishe Bindungen）。同样的， 纯滚动限制刚体的两个自由度。
2.3 圆柱副